LUIS CARLOS MACHADO

TEOREMA DE PITAGORAS

Monografia apresentada como requisitoparcial a obtencaodo tftulo de Especialistaem Educacao Matematica Curso de P6s-Graduacao em Educalaquoao MatemilticaUniversidade Tuiuti do Parana

Orientador Prof Dra TAMIA MARTAYAMAMOTO

CURITIBA

2003

SUMARIO

LlSTA DE ILUSTRAltOES v

FIGURA 1 - TRIANGULO RETANGULO

FIGURA 2 - QUADRADO DOS CATETOS

FIGURA 3 - GEOMETRIA DOS EGiPClos

FIGURA 4 - VELAS PARA SAVEIROS

10

14

20

21

1 INTRODUltAO

11 PITAGORAS

01

12 PITAGORAS E OS NUMEROS

02

04

13 PIT AGORAS FILOSOFO 05

0614 NUMEROS IRRACIONAIS

15 0 PRIMEIRO VEGETARIANO

16 CITAyOES

17 TRIANGULO RETANGULO

2 CURIOSIDADES

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR QUADRADO DE UM

07

08

09

10

NUMERO

22 TRIOS PITAGORICOS

11

12

3 DEMONSTRAltOES DE PITAGORAS 13

31DEMONSTRAyAO 1 13

32DEMONSTRAyAO 2 14

33DEMONSTRAyAO 3

34 DEMONSTRAyAO 4

35 DEMONSTRAyAO 5

4 APLICAyOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA DOS ANTIGOS EGiPCIOS

15

16

17

19

42 CONSTRUyAo DE VELAS PARA SAVEIROS

19

20

43 A DISTANCIA DA lINHA DO HORIZONTE

CONCLUSAO

21

22

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 23

1 INTRODU~Ao

o presente trabalho tern par objetivo apresentar ao lei tor talvez a maior

celebridade que a historia conheceu

Pitagoras como e conhecido e sem duvida algumaum dos matematicos

mais conhecidos dentre os estudantes infelizmente apenas par seus teoremas

matemcHicos

Porem com certeza ap6s a leitura deste trabalho veremos que seus

conhecimentos transcend em a matematica pais temas registros de seu

envolvimento com Filosofia Astronomia e ate em Medicina al8m disso

veremos curiosidades aplic896es e algumas demonstra(6es do teorema de

Pitagoras

OBJETIVOS

Mostrar a importancia de Pitagoras na historia da matematica

apresentando aplica90es e algumas demonstra90es leitas por seus discipulos

e alguns matematicos famosas

11 PITAGORAS

Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar

Egeu pelos anos de 570 a C

Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de

sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda

comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa

do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu

T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos

hom ens mais sabios de lodos as tempos

No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras

Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das

melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do

jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io

para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca

provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros

AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0

mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos

numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos

toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou

mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da

religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi

levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance

para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais

Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e

fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador

Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os

Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona

no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias

conceituadas

Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde

pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral

Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa

filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados

ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao

indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa

enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros

dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas

em paz com mais de 80 anos

4

12 PITAGORAS E OS NUMEROS

Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros

atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0

som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja

descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica

em relayao a matematiC8

A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao

como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn

intervalo

Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de

S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do

universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso

Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros

Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a

exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao

essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas

constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito

Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam

entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam

externamente a estrutura numerica inerente

De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma

representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes

literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos

A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos

nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos

pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam

para justificar 0 que ha de essencial no universo

13 PITAGORAS FILOSOFO

Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso

para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo

sfmbolos da ordena9ao universal divina

Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das

esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade

sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade

originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao

em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio

da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese

resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a

progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria

6

14 NUMEROS IRRACIONAIS

A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que

logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal

impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi

levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores

musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas

inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a

diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles

com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao

comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na

traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de

determina9ao exaustiva como -2

o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de

Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos

quadrados construfdo sobre as catetos)

Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo

isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha

que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros

primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era

afinal nem par nem fmpar

Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento

pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

SUMARIO

LlSTA DE ILUSTRAltOES v

FIGURA 1 - TRIANGULO RETANGULO

FIGURA 2 - QUADRADO DOS CATETOS

FIGURA 3 - GEOMETRIA DOS EGiPClos

FIGURA 4 - VELAS PARA SAVEIROS

10

14

20

21

1 INTRODUltAO

11 PITAGORAS

01

12 PITAGORAS E OS NUMEROS

02

04

13 PIT AGORAS FILOSOFO 05

0614 NUMEROS IRRACIONAIS

15 0 PRIMEIRO VEGETARIANO

16 CITAyOES

17 TRIANGULO RETANGULO

2 CURIOSIDADES

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR QUADRADO DE UM

07

08

09

10

NUMERO

22 TRIOS PITAGORICOS

11

12

3 DEMONSTRAltOES DE PITAGORAS 13

31DEMONSTRAyAO 1 13

32DEMONSTRAyAO 2 14

33DEMONSTRAyAO 3

34 DEMONSTRAyAO 4

35 DEMONSTRAyAO 5

4 APLICAyOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA DOS ANTIGOS EGiPCIOS

15

16

17

19

42 CONSTRUyAo DE VELAS PARA SAVEIROS

19

20

43 A DISTANCIA DA lINHA DO HORIZONTE

CONCLUSAO

21

22

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 23

1 INTRODU~Ao

o presente trabalho tern par objetivo apresentar ao lei tor talvez a maior

celebridade que a historia conheceu

Pitagoras como e conhecido e sem duvida algumaum dos matematicos

mais conhecidos dentre os estudantes infelizmente apenas par seus teoremas

matemcHicos

Porem com certeza ap6s a leitura deste trabalho veremos que seus

conhecimentos transcend em a matematica pais temas registros de seu

envolvimento com Filosofia Astronomia e ate em Medicina al8m disso

veremos curiosidades aplic896es e algumas demonstra(6es do teorema de

Pitagoras

OBJETIVOS

Mostrar a importancia de Pitagoras na historia da matematica

apresentando aplica90es e algumas demonstra90es leitas por seus discipulos

e alguns matematicos famosas

11 PITAGORAS

Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar

Egeu pelos anos de 570 a C

Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de

sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda

comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa

do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu

T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos

hom ens mais sabios de lodos as tempos

No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras

Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das

melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do

jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io

para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca

provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros

AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0

mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos

numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos

toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou

mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da

religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi

levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance

para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais

Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e

fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador

Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os

Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona

no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias

conceituadas

Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde

pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral

Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa

filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados

ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao

indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa

enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros

dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas

em paz com mais de 80 anos

4

12 PITAGORAS E OS NUMEROS

Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros

atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0

som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja

descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica

em relayao a matematiC8

A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao

como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn

intervalo

Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de

S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do

universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso

Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros

Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a

exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao

essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas

constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito

Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam

entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam

externamente a estrutura numerica inerente

De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma

representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes

literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos

A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos

nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos

pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam

para justificar 0 que ha de essencial no universo

13 PITAGORAS FILOSOFO

Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso

para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo

sfmbolos da ordena9ao universal divina

Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das

esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade

sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade

originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao

em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio

da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese

resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a

progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria

6

14 NUMEROS IRRACIONAIS

A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que

logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal

impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi

levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores

musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas

inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a

diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles

com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao

comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na

traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de

determina9ao exaustiva como -2

o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de

Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos

quadrados construfdo sobre as catetos)

Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo

isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha

que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros

primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era

afinal nem par nem fmpar

Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento

pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

43 A DISTANCIA DA lINHA DO HORIZONTE

CONCLUSAO

21

22

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 23

1 INTRODU~Ao

o presente trabalho tern par objetivo apresentar ao lei tor talvez a maior

celebridade que a historia conheceu

Pitagoras como e conhecido e sem duvida algumaum dos matematicos

mais conhecidos dentre os estudantes infelizmente apenas par seus teoremas

matemcHicos

Porem com certeza ap6s a leitura deste trabalho veremos que seus

conhecimentos transcend em a matematica pais temas registros de seu

envolvimento com Filosofia Astronomia e ate em Medicina al8m disso

veremos curiosidades aplic896es e algumas demonstra(6es do teorema de

Pitagoras

OBJETIVOS

Mostrar a importancia de Pitagoras na historia da matematica

apresentando aplica90es e algumas demonstra90es leitas por seus discipulos

e alguns matematicos famosas

11 PITAGORAS

Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar

Egeu pelos anos de 570 a C

Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de

sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda

comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa

do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu

T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos

hom ens mais sabios de lodos as tempos

No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras

Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das

melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do

jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io

para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca

provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros

AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0

mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos

numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos

toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou

mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da

religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi

levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance

para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais

Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e

fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador

Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os

Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona

no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias

conceituadas

Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde

pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral

Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa

filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados

ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao

indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa

enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros

dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas

em paz com mais de 80 anos

4

12 PITAGORAS E OS NUMEROS

Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros

atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0

som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja

descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica

em relayao a matematiC8

A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao

como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn

intervalo

Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de

S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do

universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso

Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros

Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a

exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao

essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas

constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito

Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam

entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam

externamente a estrutura numerica inerente

De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma

representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes

literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos

A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos

nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos

pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam

para justificar 0 que ha de essencial no universo

13 PITAGORAS FILOSOFO

Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso

para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo

sfmbolos da ordena9ao universal divina

Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das

esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade

sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade

originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao

em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio

da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese

resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a

progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria

6

14 NUMEROS IRRACIONAIS

A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que

logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal

impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi

levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores

musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas

inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a

diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles

com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao

comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na

traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de

determina9ao exaustiva como -2

o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de

Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos

quadrados construfdo sobre as catetos)

Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo

isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha

que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros

primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era

afinal nem par nem fmpar

Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento

pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

1 INTRODU~Ao

o presente trabalho tern par objetivo apresentar ao lei tor talvez a maior

celebridade que a historia conheceu

Pitagoras como e conhecido e sem duvida algumaum dos matematicos

mais conhecidos dentre os estudantes infelizmente apenas par seus teoremas

matemcHicos

Porem com certeza ap6s a leitura deste trabalho veremos que seus

conhecimentos transcend em a matematica pais temas registros de seu

envolvimento com Filosofia Astronomia e ate em Medicina al8m disso

veremos curiosidades aplic896es e algumas demonstra(6es do teorema de

Pitagoras

OBJETIVOS

Mostrar a importancia de Pitagoras na historia da matematica

apresentando aplica90es e algumas demonstra90es leitas por seus discipulos

e alguns matematicos famosas

11 PITAGORAS

Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar

Egeu pelos anos de 570 a C

Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de

sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda

comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa

do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu

T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos

hom ens mais sabios de lodos as tempos

No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras

Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das

melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do

jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io

para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca

provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros

AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0

mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos

numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos

toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou

mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da

religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi

levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance

para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais

Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e

fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador

Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os

Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona

no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias

conceituadas

Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde

pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral

Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa

filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados

ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao

indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa

enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros

dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas

em paz com mais de 80 anos

4

12 PITAGORAS E OS NUMEROS

Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros

atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0

som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja

descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica

em relayao a matematiC8

A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao

como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn

intervalo

Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de

S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do

universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso

Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros

Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a

exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao

essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas

constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito

Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam

entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam

externamente a estrutura numerica inerente

De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma

representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes

literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos

A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos

nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos

pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam

para justificar 0 que ha de essencial no universo

13 PITAGORAS FILOSOFO

Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso

para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo

sfmbolos da ordena9ao universal divina

Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das

esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade

sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade

originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao

em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio

da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese

resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a

progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria

6

14 NUMEROS IRRACIONAIS

A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que

logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal

impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi

levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores

musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas

inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a

diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles

com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao

comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na

traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de

determina9ao exaustiva como -2

o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de

Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos

quadrados construfdo sobre as catetos)

Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo

isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha

que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros

primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era

afinal nem par nem fmpar

Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento

pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

11 PITAGORAS

Pitagoras fundador da escola pitagorica nasceu na ilha de Samas no mar

Egeu pelos anos de 570 a C

Pitagoras viveu ha 2500 anos e nao deixou obras escritas 0 que S8 sabe de

sua bibliografia e de suas ideias e uma mistura de lenda e historia real A lenda

comeya antes mesma de Pitagoras nascer por volta de 580 aC a sacerdotisa

do Deus Apolo disse a urn casal que vivia na ilha de Samas no mar Egeu

T ereis urn filho de gm de beleza e extraordinEuia inteligencia sera urn dos

hom ens mais sabios de lodos as tempos

No mesmo ana 0 casal leve urn filho Era Pitagoras

Lenda ou nao lenda a inteligencia do jovem assombrava as doutores das

melhores escolas de Samas nao conseguiam responder as perguntas do

jovem de 16 an os Nessas condi96es s6 havia uma coisa a fazer manda-Io

para Mileto para que estudasse com Tales - 0 maior sabio da epoca

provavelmente 0 primeiro gregG a dedicar-se cientificamente aos numeros

AduHo Pitagoras resolveu ampliar seus interesses E come90u a viajar 0

mundo como percebeu que seus conhecimentos nao se limitariam apenas aos

numeros mas a outros temas como a ciencias e as religioes de outros povos

toi a Sfria Arabia Persia india e como ultima parada 0 Egito onde passou

mais de 20 anos e se fez sacerdote para melhor conhecer os misterios da

religiao Egipcia Dizem que quando Cambises conquistou 0 Egito Pitagoras foi

levado em cativeiro a Babil6niaCurioso como era 0 gregG aproveitou a chance

para se interar de assuntos relacionados a ciencias naquele pais

Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e

fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador

Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os

Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona

no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias

conceituadas

Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde

pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral

Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa

filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados

ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao

indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa

enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros

dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas

em paz com mais de 80 anos

4

12 PITAGORAS E OS NUMEROS

Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros

atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0

som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja

descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica

em relayao a matematiC8

A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao

como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn

intervalo

Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de

S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do

universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso

Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros

Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a

exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao

essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas

constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito

Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam

entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam

externamente a estrutura numerica inerente

De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma

representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes

literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos

A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos

nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos

pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam

para justificar 0 que ha de essencial no universo

13 PITAGORAS FILOSOFO

Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso

para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo

sfmbolos da ordena9ao universal divina

Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das

esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade

sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade

originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao

em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio

da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese

resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a

progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria

6

14 NUMEROS IRRACIONAIS

A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que

logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal

impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi

levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores

musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas

inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a

diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles

com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao

comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na

traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de

determina9ao exaustiva como -2

o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de

Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos

quadrados construfdo sobre as catetos)

Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo

isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha

que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros

primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era

afinal nem par nem fmpar

Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento

pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

Muito tempo tinha passado e seu desejo era voltar a sua terra natal e

fundar uma escola mas Samos sua cidade natal tinha mudado e 0 ditador

Policrates que governava a ilha nao queria saber de escolas nem de tempi os

Entao em fungao da situagao se obrigou a mudar de ideia e foi para Crotona

no sui da Italia onde comegou a ensinar primeiramente aos filhos de familias

conceituadas

Depois aproveitando a oportunidade Pitagoras entao fundou a escola onde

pas sou a ensinar aritmetica geometria musica astronomia religiao e moral

Mais que uma escola Pitagoras conseguiu criar uma comunidade religiosa

filos6fica e pOlitica seus alunos eram tao bem formados que quando formados

ocupavam altos cargos do governo 0 que causou no restante da populayao

indigna~ao com isso atos de violeuromcia segundo relatos essa massa

enfurecida incendiou a escola prenderam 0 professor e 0 mataram outros

dizem que Pitagoras foi exilado para Metaponto onde morreu esquecido mas

em paz com mais de 80 anos

4

12 PITAGORAS E OS NUMEROS

Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros

atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0

som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja

descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica

em relayao a matematiC8

A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao

como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn

intervalo

Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de

S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do

universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso

Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros

Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a

exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao

essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas

constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito

Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam

entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam

externamente a estrutura numerica inerente

De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma

representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes

literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos

A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos

nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos

pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam

para justificar 0 que ha de essencial no universo

13 PITAGORAS FILOSOFO

Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso

para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo

sfmbolos da ordena9ao universal divina

Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das

esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade

sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade

originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao

em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio

da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese

resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a

progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria

6

14 NUMEROS IRRACIONAIS

A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que

logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal

impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi

levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores

musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas

inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a

diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles

com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao

comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na

traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de

determina9ao exaustiva como -2

o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de

Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos

quadrados construfdo sobre as catetos)

Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo

isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha

que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros

primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era

afinal nem par nem fmpar

Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento

pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

4

12 PITAGORAS E OS NUMEROS

Pitagoras teria chegado a concepcao de que todas as eoisas sao numeros

atraves de urna observarao no campo musical verificou no monoc6rdio que 0

som produzido varia de acordo com a extensao da corda sonora Ou seja

descobriu que ha urna dependencia do som em relayao a extensao da musica

em relayao a matematiC8

A partir do pr6prio Pitagoras 0 pitagorismo primitivo concebe a extensao

como descontfnua constitufda por unidades indivisiveis e separadas por urn

intervalo

Segundo a cosmologia pitagorica - que descreve 0 cenario cosmico an de

S8 processa a purific8yao da alma esse intervalo resultaria da respirarao do

universe que vivo inalaria 0 ar infinito (pneuma apeiron) em que estaria imerso

Minima de extensao minima de corpo as unidades comporiam as numeros

Estes nao seriam portanto como virao mais tarde numeros sfmbolos a

exprimir a valor das grandezas para as pitagoricos as numeros sao reais sao

essencias realizadas sao a propria alma das coisas sao entidades corporeas

constituidas por unidades contfguas e a pronunciar as atomos de Democrito

Assim quando as pitagoricos falam que as coisas imitam as numeros estariam

entendendo essa imitagao num senti do realista as coisas manifestariam

externamente a estrutura numerica inerente

De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma

representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes

literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos

A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos

nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos

pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam

para justificar 0 que ha de essencial no universo

13 PITAGORAS FILOSOFO

Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso

para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo

sfmbolos da ordena9ao universal divina

Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das

esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade

sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade

originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao

em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio

da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese

resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a

progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria

6

14 NUMEROS IRRACIONAIS

A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que

logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal

impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi

levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores

musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas

inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a

diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles

com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao

comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na

traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de

determina9ao exaustiva como -2

o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de

Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos

quadrados construfdo sobre as catetos)

Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo

isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha

que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros

primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era

afinal nem par nem fmpar

Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento

pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

De acordo com essa conceP9ao os pitagoricos adotaram uma

representaBo figurada dos nmeros em substituiBo as representaoes

literais mais arcaicas usadas pel os gregos e depois pel os romanos

A representaBo figurada permitia explicitar a lei da composiBo dos

nmeros e torna-se um fator de avano das investigaoes matematicas dos

pitagoricos Os primeiros numeros representados figurativamente bastavam

para justificar 0 que ha de essencial no universo

13 PITAGORAS FILOSOFO

Segundo a filosofia pitagorica os numeros constituem a chave de acesso

para a compreensao das leis da harmonia do universo Sao por esse motivo

sfmbolos da ordena9ao universal divina

Os numeros deixam transparecer par isso a sobre-humana harmonia das

esferas Neste pressuposto os numeros sagrados adquirem uma qualidade

sacra Temos em primeiro lugar 0 Deus criador entendido como a unidade

originaria 0 um representa toda a sistematizalaquoao porque toda a construlaquoao

em que nao prevalece a unidade do principio e viciosa Manifesta-se por meio

da dualidade 0 dois distingue sempre a combinaBoDa tese e da antitese

resulta a sinlese da trindade (0 triangulo) 0 tres caracterlza sempre a

progressao que nao sendo ternaria se torna ilus6ria

6

14 NUMEROS IRRACIONAIS

A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que

logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal

impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi

levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores

musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas

inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a

diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles

com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao

comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na

traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de

determina9ao exaustiva como -2

o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de

Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos

quadrados construfdo sobre as catetos)

Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo

isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha

que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros

primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era

afinal nem par nem fmpar

Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento

pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

6

14 NUMEROS IRRACIONAIS

A primitiva cOnCep(f80 pitagorica de numeras apresentava limita96es que

logo exigiria dos proprios pitagoricos tentativas de reformula9ao 0 principal

impasse enfrentado par essa aritmo-geometria baseada em inteiros foi

levantado pel os numeras irracionais Tanto na rela980 entre certos valores

musicais quanta na base mesma da matematica surge grandezas

inexprimfveis naqueta COnCeP9aO de numero Assim a relag8o entre 0 lado e a

diagonal do quadrado ( que e a hipotenusa do triangulo retangulo isosceles

com 0 caleto) tarnava-S8 irracional aquetas linhas naD apresentavam razao

comum ou comum medida a que S8 evidenciava pelo aparecimento na

traduyao aritmetica da relacao entre elas de valores sem possibilidade de

determina9ao exaustiva como -2

o escandalo dos irracionais manifestava-se no proprio teorema de

Pitagoras (quadrado construfdo sobre a hipotenusa e igual a soma dos

quadrados construfdo sobre as catetos)

Com efeito desde que se atribufsse valor urn ao cateto de urn triangulo

isosceles a hipotenusa seria igual a J2 Ou entao quando se pressupunha

que as valores correspondentes a hipotenusa e aos catetos eram numeros

primos entre si acabava-se par se concluir pelo absurdo de urn deles naa era

afinal nem par nem fmpar

Apesar deste impasse e em grande parte par causa deles a pensamento

pitagorico evaluiu e expandiu-se influenciando praticamente todo 0

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

desenvolvimento da ciencia e da filosofia grega Sua astronomia estreitamente

vinculada a sua religiao astral toi 0 ponto de varias doutrinas que os gregos

farmulariam pressupondo 0 universo harmonicamente constitufdo par astros

que desenvolvem trajetorias presos a esferas homocentricas Essa

geometriza9ao do cosmo estava aliada no pitagorismo as concep90es

musicais tambem desenvolvidas pela escola separadas por intervalos

equivalentes aos intervalos musicais aquela esferas produziram em seu

movimento sons de acorde perteilo Essa harmonia das esferas

permanentemente soante seria a propria 2tessitura 0 que 0 homem considera

silencio

150 PRIMEIRO VEGETARIANO

o primeiro vegetariano moderno proeminente foi deg filosofo grego Pitagoras

que viveu no final do sEkulo VI aC A dieta pitagorica passou a ser sinonirno de

absleng80 de todos as tipos de carne A etica pitag6rica tornou-se primeiro

uma moral filos6fica entre 490-430 a C objetivando criar uma lei absoluta

que incluisse as injun90es de nao matar criaturas vivas e abster-se do

grosseiro derramamento de sangue sobretudo do sacriffcio de animais e de

nunca comer carne (do livro de The Herectics Feast de Colin Spencer)

esferas a Terra e as corpos celestes

Tessitura palavra italiana que designa a disposiyao das notas para se acomodarem a certa voz

au a cerIa instrumenlO

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

Pitagoras 0 antigo sabio que nos deu 0 teorema de Pitagoras foi tambem 0

pai do vegetarianismo no ocidente

acomodarem a certa voz OU a certo instrumento

16 CITA90ES

Ah que maldade introduzir carne em nossa propria carne engordar nossos

corpos 91u1685 empazinando-nos com outros corpos alimentar uma criatura

viva com a morte de Dutra No meio de tanta riqueza como a terra a melhor

das maes prove nada na verdade te satisfaz a nao S8r comportar-se como

cfclopes que infligem dolorosos ferimentos com seus dentes crueis NaG podes

apaziguar 0 desejo faminto de teu estomago cruel e gluto exceto destruindo

outras vidas-Oescrito em Ovfdio Metamonoses

Enquanto 0 homem continuar a destruir impiedosamente os seres vivos

inferiores nao conhecera a saude e a paz Pois enquanto as hom ens

massacrarem os animais matarao uns aos outros Realmente aquele que

semeia morte e dar nao pode colher alegria e amor-atribuldo por Ovfdio

Os animais dividem conosco 0 privilEsectgio de terem uma alma-atribuido par

Ovidio

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

17 TRIANGULO RETANGULO

E um triangulo que possui urn dos seus angulos medindo noventa graus ou

seja possui um angulo reto dar 0 nome triangulo r8tangulo Como a soma das

medidas dos angulos internos de um triangulo e igual a 180 graus entao a

soma dos outros dois sera de 90 graus (angulos complementares)

LADOS DE UM TRIANGULO RETiiNGULO

Os lados de um triangulo retangulo sao denominados par hipotenusa que eo lado maior e que e oposto ao angulo de 90 graus e as dais que formam 0

angulo de 90 graus sao cham ados de catetos

Os names hipotenusa e cateta sao de origem 9re9a

hypoteinusa hypo(por baixo) + teino(eu estendo)

cathetos (perpendicular)

Triangulo Retangulo2 2

a = b + c

c (cateto)

b (cateto)

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

10

2 CURIOSIDADES

Eles as pitagoricos eram tao fascinados pelos numeros que chegaram a

Ihes atribuir qualidades muito curiosas Para eles os numeros pares eram

considerados femininos e os impares com exc8lt2o do 1 eram masculinos 0

numero 1 era 0 gerador de todos os outros 0 5 era 0 simbolo do casamento

pais e a soma do primeiro numero feminino 0 2 com 0 primeiro masculino 03

Uma relagao interessante entre os numeros 220 e 284 foram tambem

estabelecidas pelos pitagoricos que chamavam estes numeros de amigos

Vejamos porque

Considere todos os divisores positivos de 220 com exceCao do proprio 220

1 2 4 5 10 11 20 22 44 55 e11 0 A soma desses divisores de 220 e igual a

284

Agora considere os divisores de 284 com exceCao do proprio 284 1 2 4

71 e 142A soma desses divisores e igual a 220

Oai a explic8g80 que as pitagoricos davam para dizerem que as numeros

220 e 284 sao amigos

Os pitagoricos levaram ao extrema sua adoragao pelos numeros baseando

neles sua filosofia e seu modo de ver 0 mundo

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

II

21 REGRA DE PITAGORAS PARA CALCULAR 0 QUADRADO DE UM

NUMERO

Sabemos que para calcular uma patencia basta multiplicar a sua base 0

numero de vezes do expoente au seja por exemplo

4=4x4= 16

No entanto Pitagoras conseguiu arranjar outra regra para calcular potencias

baseando-se na soma de numeros fmpares

Exemplo

o primeiro numero impar e 1 entao 12 = 1

Os primeiros dais numeros impares sao 1 e 3 entao 22 = 1 + 3 = 4 as

primeiros tres numeros fmpares sao 1 3 e 5 entaD 32 = 1 + 3 + 5 = 9 os quatro

primeiros numeros fmpares sao 1 3 5 e 7 entao 42 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 e

assim sucessivamente

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

12

22 TRIOS PITAGORICOS

o que e urn trio pitagorico

E urn grupo de tres numeros inteiros de maneira que 0 quadrado de urn

deles e soma dos quadrados dos Quiros dais

Pelo que se conhece Euclides par volta do ana de 300 aC foi a primeiro a

estudar esses trios e 0 seu objetivo principal era demonstrar que existe urn

num8ro infinito de trios tendo side notado por ele que a diferen9a entre

quadrados sucessivQs e sempre urn numero fmpar No entanlo a

demonstrarao de Euclides fez com que as disci pulos de Pitagoras nao s6

ensinassem a prova do Teorema de Pitagoras mas tambem explicasse

maneira de como encontrar esses trios

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

13

3 DEMONSTRACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

31 DEMONSTRAvAO 1

No lundo quase todas as demonstra6es lundamentam-se no fato de as

somas das areas de dais quadrados pequenos construidos nos lados menores

sera igual area quadrado maior construfdo sobre a hipotenusa

Por conveniencia utiliza-se a letra a para a hipot en usa lib e e para as

catetos donde surgiu a seguinte formula

Estao ia publicadas 367 demonstra6es deste importante teorema

Presume-se que este teorema loi descoberto na Babil6nia entre 1900-1600

aC

Pitagoras ou alguns de seus seguidores lizeram dele aplicaao e talvez

ten ham feito mesma a primeira demonstralt3o Contudo a primeira

demonstraao que chegou ate nos foi leita por Euciides (330 aC)

Esta demonstray3o feita por Euclides talvez seja a mais vista pais e de facil

entendimento basta separarmos um triangulo retangulo pelos seus lados

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

14

sendo lados a b e cot donde iremos denominar a como sendo 0 lado maior

chamado de hipotenusa e os outros b e e como catetos elevando cada urn

destes valores ao quadrado teremos 0 valor de cada area e utilizando 0

Tecrema de Pitagoras teremos 82 = b2 + c2

32 DEMONSTRA9AO 2

Esta demonstrayao e no fundo urna aproximag8o das anteriores

Considere dois quad rados ambos com lados iguais (b + c) 0 primeiro ecomposto por seis figuras um quadrado de lado a um quadrado de lado b e

quatro triangulos retangulos de catetas b e e Chamam-se S de area de urn

desses triangulos e sendo a area total da figura temas

(c + b) 2 = c2 + b2 + 48

c b c

tjjDb

a segundo quadrado e composto tambem de quatro triangulos retangulos

iguais aos anteriores e de urn quadrado de lado c equivalente a hipotenusa

dos triangulos Logo nesse quadrado temos (c + b) 2 = a2 + 48

Igualando os segundos membros das equ8yoes resulta

82 + 4S = c2 + b2 + 4S

E cancelando 48 em ambos os membros resultaa = c + b

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

15

33 DEMONSTRA9AO 3

Partindo do triangulo ABC laremos uma construao auxiliar traando a altura

AD Os triangulos ABC BDA e ADC sao semelhantes e verifica-se

~A C

AB BD

BC AB

AC DC

BC AC

Escrevendo de maneira diferente teremos

AB ~BC _BD e AC ~BC DC

Somando as igualdades acima membro a membra obtemos 0 seguinte

1AB + AC ~BC DC +BC BD 011

2 2 2AIl + AC ~BdDC+ BD)~BCBC~ BC

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

16

34 DEMONSTRA9AO 4

TRAPEZIO

Esta e a demonstraltao de J A Garfield (1876) contraria as anteriores nao

recarfe a area de urn quadrado mas sim a area de urn trapezia

a

a

Portanto

s = (a + b)2 x (a + b) = (a + b) 22 = a22 + ab + b22

Mas esta area tambem e dada pela soma das areas dos triangulos

Veja

s = ab2 + ab2 + c22 = ab + c22

Comparando as duas e multiplicando par 2 tamos

Ou

Multiplica-se par 2

T eremos 0 Teorema de Pitagoras a2 + b2 = c2

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

17

35 DEMONSTRA9AO 5

ARTESANATO AFRICANO

A observaltao do artesanato africano e a explorag3o de motivos ornamentais

poderao construir urn meio favoravel a demonstra9ao do teorema de Pitagoras

a partir das vias algebricas e geometricas

Vejamos uma demonstraltao do teorema de Pitagoras a partir de motivQs

ornamentals africanos

Prendendo urn pequeno lao a volta de urn botao quadrado entrelaado Ii

passfve1 fechar a tampa de urn cesto com e feito comumente no sui de

Moambique (Gerdes)

o botao quadrado Ii entrelaado com duas tiras A figura 1 mostra como se

comea a entrelaar 0 botao e a figura 2 mostra 0 botao quadrado

entrelaltado vista de cima Depois de retificar as linhas levemente curvas e

tornar as linhas escondidas visiveis obtem-se 0 padrao representacto na figura

3 No seu meio aparece outro quadrado( ver figura 3)

fig 1 fig 2 fig 3

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

18

Juntando alguns botoes quadrados entrela9ados obtemos a figura 4 e

apagando alguns deles aparece-nos a figura 5 Par observa9ao destas duas

ultimas figuras conclui-se que a2 = b2 + 02 que e nao mais que a teorema de

Pitagaras

0 povo dos Bakuda habita a parte central da bacia do rio Congo (Republica

do Zaire) vivendo na savana ao sui da densa floresta equatorial Famosos

sao os produtos da metalurgia Bakuda como punhais armas e joalheria As

aldeias tinham-se especiaHzado em determinactos trabalhos de artesanato

como a fabricaltao de caixas e ta9as de madeira ornamentadas tapetes de

veludo cachimbos de cobre roupa de reifia (designaltao de varias palmeiras

fornecedoras de boa fibra) etc

A figura exposta aeirna representa uma variante Bakuda do padrao defesa e

elefante (Segundo Gerdes este padrao encontra-se em alguns objetos da

exposiltao permanente De clas para civilizacoes no museu de Budapeste)

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

19

4 APLlCACOES DO TEOREMA DE PITAGORAS

41 GEOMETRIA 005 ANTIGOS EGIPCIOS

Como os egipcios faziam para obter imgulos retos

Usanda uma corda com 12 nos os antigos egipcios construiam urn triangulo

retangulo particular para abter cantos em angulo reto

Esse triangulo particular tem lados medindo 3 unidades 4 unidades e 5

unidades de comprimento Neste triangulo 0 angulo formado pelos dois lados

menores e urn Angulo reto

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

20

42 CONSTRUyAO DE VELAS PARA SAVEIROS

o leorema de Pitagoras e conhecido e utilizado desde os tempos antigos em

varias atividades Uma delas e a construgao de velas para saveiros Essa

aplicaltao esla explicada no Irecho reproduzida do artigo Saveiro it vista da

revista Superinteressante ano 12 n 4 abril de 1988

Liltao antiga

o corte das velas quadrangulares era simples de abler com 0 graminho e as

outras medidas dos barcas Para as triangulares as construtores S8 valiam de

uma versao popular do teorema de Pitagoras conhecida como regra do 3-4-5

a lado maior que deveria medir 30 a mais do que 0 comprimento total do

saveiro (obtido com 0 graminho) recebia 0 valor 5 Era a hipotenusa Os outros

lados (catetos) recebiam os valores proporcionais 3 e 4 formando um angulo

reta entre si Para saveiro com dais mastros a hipotenusa da vela menor teria

comprimento igual da quilha

Graminho e uma tabua com alguns tratados e medidas necessarias para a construvao de

saveiros 0 graminho tradicional tern 20 par 40 centlmelros

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

21

43 A DISTANCIA DA LlNHA DO HORIZONTE

Um homem de 180 m de altura passeia a pe numa praia e va a linha do

horizonte A que distancia ele S8 encontra dessa linha

Veja a ligura abaixo

A

Onde

H= local da terra em que 0 hom em S8 encontra

c= linha do horizonte

AC= reta tangente a circunferencia pelo ponto C

o raio da terra mede aproximadamente 6370 km

E a altura media do homem e de 180 m

Aplicando 0 Teorema de Pitagoras no triangulo ABC temas

(6370 + 00018)2 = 637()2 + X2 e dai X2 = 2 x 6370 x 00018 + (00018) 2

Desprezandomiddotse a parcela (00018) 2 que e muito pequena podemos esc rever

x = 2 x 6370 x 00018

x = 48 km

Quando voce for a praia observe a linha do horizonte e lembre-se que ela

esta a uma distancia aproximada de 4800 metros

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

22

CONCLusAo

Lenda ou nao do que se escreveu sabre Pitagoras e que dependemos e

muito destes conhecimentos pais talvez se nao fassem descritos estarfamos

hoje alguns seculos atrasados

o fato de negar-se a historicidade de Pitagoras (como alguns fazem) por

nao ter as maos documentayao bastante nao impede que seja 0 pitagorismo

uma realidade empolgante na hist6ria cuja influencia atavessa os seculos ate

os dias de hoje

Se nao existiu Pitagoras de Sam~s houve com certeza alguem que

construiu esta doutrina e que por casualidade chamava-se Pitagoras

Este trabalho buscau enriqu8cer e trazer informay6es nem sempre vistas em

livros no ensina fundamental 8 media pois infelizmente fala-s8 pouca sabre

Pitagoras e agora podemas ver que esle ser incrivel alem da malematica

desenvolveu trabalhas em praticamente todas as areas

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23

REFERENCIAS

GEBRANGUINES Pitagoras 2 ediao Editora Litero-Tecnica sern data

BARBOSA RUI M Descobrindo Padr6es pitagoricos Atual Editora Uda

Sao Paulo 1988

GUELLIOSCAR Maternatica urna aventura do pensarnento Editora Atica

Sao Paulo 1997

REVISTA SUPERINTERESSANTE Ano 12 N 4 de1988

SITES

Pitltigoras de Sarnos- rnar~o de 2003wwwmunciodosfilosofoscombrlpitauorasPortal Malcmalico- maio de 2003wwwsOmlICm3Iic3colllbr

Sitio VcgctarimoVegetarianos FamososPilagoras-fevereiro de 2003wwwivuorop0rIuo-uesepcoplchisLorypvlhaoor1s

23