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Teorema de Pitágoras
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Teorema de Pitágoras
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Memórias póstumas de Pitágoras
Olá! Eu sou
Pitágoras, vivi
entre 569 e 475
a.C. e adoro
mistérios da
Natureza e
também
religião.
Sou filho do grande
mercador de Sirus,
Mnesarchus, que
vive a vida viajando
e se encontrando
com grandes sábios
da Síria e da Caldeia.
Sou conhecido como
prodígio, pois desde
pequeno a Filosofia me
encanta. Mas sou
sempre muito bem
assessorado por dois
grandes mestres (Tales
e Anaximandro) que me
instigam a pensar e
descobrir os encantos
da Filosofia.
Pobre Tales!!!
Conquistou muita
fama e respeito
por suas
descobertas e
pensamentos,
mas é uma pena
que ele já esteja
um pouco
velhinho.
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Hoje vamos
falar de
triângulos!
Tudo bem
para você?
Meu grande
mestre, Tales.
O que temos
para hoje?
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Pitágoras,
deves ir ao
Egito.
Lá tu podes
adquirir muitos
conhecimentos
!
Não
quero
saber de
Egito!!!
Que
Egito
que
nada!?
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Tales passou noEgito quando joveme agora fica meperturbando paraque eu faça omesmo. Mas comoele é meu mestre,tão sábio, devesaber o que diz.Os mistériossagrados dosegípcios mefascinaram.Os sacerdotesdiziam que eu eradivino, só porquetinha um sinal, denascença, na perna.Que estranho, não?Começaram a dizerque eu tinha sidofavorecido pelo deusOsíris.
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Terminei
indo ao
Egito!!!
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Por volta de 525 a.C., fui feito prisioneiro
dos guerreiros Persas e levado para a
Babilônia - a mais rica cidade do mundo, na
época.
Lá aprendi muito com um tal de Zaratustra
(um dos maiores filósofos da Babilônia) e adquiri a maioria
dos seus conhecimentos de
matemática (modéstia à parte, mas adquiri
mais conhecimentos de matemática do que o meu velho mestre
Tales).
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Voltei para Samos,depois daBabilônia, e causeigrande modinhadevido às minhascalças e posturasdo Oriente. Aspessoas da cidadepassaram a olhar-me com grandeespanto.
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Depois, conquistei um
bom número de seguidores
(#Pitágoras) e resolvi criar uma escola chamada
o “Semi-Círculo”. Ela ficou famosa pois eu tive a
ideia de também admitir mulheres
e onde nos sentíamos irmãos e trabalhávamos
como tal.
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Éramos vegetarianos, não nos apegávamos
aos bens pessoais e era eu quem
ensinava aos meus “irmãos” desde que jurassem
segredo.
Os “alunos” desta escola eram
fascinados pela ideia de que tudo
se reduzia à Matemática e
também à mistura do misticismo do Oriente com o
pensamento grego.
.
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A
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Para terminar,
tenho mais um fato que me torna muito
orgulhoso. Fui um dos
primeiros a pensar e
defender que a Terra era esférica.
O Triângulo Retângulo
O triângulo ABC da figura ao lado representa um
triângulo retângulo em A, pois o ângulo
 é reto (90º).
O lado oposto ao ângulo reto é chamado de HIPOTENUSA, enquanto os outros dois são
chamados CATETOS.
Triângulo que apresenta um ângulo reto (90º)
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é consideradouma das mais importantes descobertasda Matemática. Com ele pode-sedescobrir a medida de um lado de umtriângulo retângulo, a partir damedida de seus outros dois lados.
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A partir dele podemos determinar a altura de prédios, torres, montanhas, largura de rios, dentre outras inúmeras aplicações.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida dahipotenusa (a) é igual à soma dos quadrados das medidasdos catetos (b e c).
a2 = b2 + c2
5
acb
C
B
A
4
3
+ a2
b2 c2
b = 4
c =
3
Exemplo: sabendo-se que os catetos b e c valem, respectivamente, 4 e 3, determine o
valor da hipotenusa a.
Teorema de Pitágoras
Diagonal de um quadrado
O triângulo ADC é retângulo em D.
Podemos aplicar então o teorema de Pitágoras:
Como determinar a medida da diagonal do quadrado ABCD, da figura abaixo, com aresta medindo a?
A B
CD
d
a
a a
a
Altura de um triângulo equilátero
O triângulo ABH é retângulo em H.
Aplicando o teorema de Pitágoras, temos:A
B C
h
H
a a
a
a a
Aplicações
Como determinar a medida da altura de um triânguloequilátero de aresta medindo a?
Diagonal de um paralelepípedo
Como determinar a diagonal principal (D) de umparalelepípedo cujas arestas medem a, b, c?
Temos que o triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa medeD, mas para calculá-la precisamos encontrar o valor de d.
Aplicando o teorema de Pitágoras:
O cubo é um caso particular doparalelepípedo em que a = b = c =a; assim:
A
B C
I
E F
HH
D
d
a
b
c
A
B C
D
I
F
HG
E
d
a
a
a
Triângulo inscrito numa semicircunferência
Dizemos que um triângulo está inscrito numasemicircunferência quando um dos seus vérticespertence à semicircunferência e os outros doisvértices são extremidades de um diâmetro.
Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é TRIÂNGULO RETÂNGULO.
A
BOC
A
BOC
13
12
5
Os Ternos pitagóricos
Ternos pitagóricos são ternos de números inteiros positivos a, b e c que obedecem à
relação a2 = b2 + c2.
Vamos lá! Agora é com você...Tente pensar em um terno pitagórico.
Os mais conhecidos são:
5
4
3
Classificação dos triângulos quanto aos ângulos conhecendo-se as medidas de seus três lados.
Considere um triângulo com lados medindo a, b e c, sendo o lado a o maior lado.
Se a2 = b2 + c2, o triângulo é RETÂNGULO.
Se a2 > b2 + c2, o triângulo é OBTUSÂNGULO.
Se a2 < b2 + c2, o triângulo é
ACUTÂNGULO.
2
0
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No Egito, os antigos egípciosutilizavam uma corda com 13 nósigualmente espaçados que eradividida em 12 partes iguais paramarcação das áreas dos territóriosna agricultura, mas com a cheiaanual do Rio Nilo, estas marcaçõeseram desfeitas e eles novamenteremarcavam.
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Egito Antigo
Usando essa corda, os egípciosconstruíram um triângulo particularcujos lados mediam 3, 4 e 5unidades, formando um ângulo retoentre os dois lados menores. Aconstrução de pirâmides de basequadrada é uma das muitasaplicações do conhecimentogeométrico dos antigos egípcios, queusavam um processo prático paraobter “cantos” retos (ângulos de90º).
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Uma piscina retangular mede 24 m de comprimento por 18 m de largura. Nadando na diagonal dessa piscina, um atleta consegue nadar ida e volta em um total de:
Exercício 01
A) 54 m.B) 56 m.C) 58 m.D) 60 m.E) 62 m
Exercício 02
• (Uflavras 2000)Qual deve ser a altitude do balão para que sua distância ao topo do prédio seja de 10 km?
a) 6 kmb) 6.200 mc) 11.200 md) 4 kme) 5 km
Exercício 03
Do topo de uma torre, três cabos de açoestão ligados à superfície por meio deganchos, dando sustentabilidade àtorre. Sabendo que a altura da torre éde 30 metros e que a distância dosganchos até à base da torre é de 40metros, determine quantos metros decabo precisa ser comprado.
a) 100 mb) 150 mc) 80 md) 50 me) n.d.a.
(PMST1101/009 – 2012) Emum dos efeitos visuais, parapromover o início de vendasdos apartamentos, um feixeretilíneo de luz parte do topodo prédio e atinge o solo emum determinado ponto,conforme indicado na figura.Desse modo, pode-seconcluir, corretamente, que aaltura do prédio, em metros,indicada por h na figura, é:
A) 22.B) 24.C) 25.D) 28.E) 30.
Exercício 04
Dois garotos, tentando pular o muro daescola, precisaram encostar um banco de50 cm de altura no muro e colocar a escadasobre ele conforme mostra a figura.O pé daescada precisou ser colocado no ponto A,para que essa escada atingisse o topo domuro, no ponto B. O comprimento AB dessaescada, em metros, é
•
• (A) 5,5.
• (B) 5,2.
• (C) 4,8.
• (D) 4,4.
• (E) 4,0.
Exercício 05
