Teorema do Confronto 

Se não pudermos obter o limite diretamente, talvez possamos obtê-lo indiretamente com o teorema do confronto. O teorema se refere a uma função f cujos valores estão limitados entre os valores de outras duas funções, g e h. Se g e h tiverem o mesmo limite quando , então f também terá esse limite.

cx

Teorema – Teorema do Confronto Suponha que para qualquer x em um intervalo de aberto contendo c, exceto possivelmente em x = c . Suponha também que

)()()( xhxfxg

Lxhxgcxcx

)(lim)(lim

Então

Lxfcx

)(lim

Exemplo 6 – Aplicação do Teorema do Confronto

(a) Uma vez que sen para qualquer

0lim)(lim00

, temos que:

0senlim0

(b) Uma vez que cos10 para qualquer , temos que

0)cos1(lim0

ou

1coslim0

0y

Limites Laterais

Para ter um limite L quando x se aproxima de a, uma função f deve ser definida em ambos os lados de a e seus valores f(x) devem se aproximar de L quando x se aproxima de a de cada lado. Por isso, limites comuns são bilaterais. 

Se f não tem um limite bilateral em a, ainda pode ter um limite lateral, ou seja, um limite cuja aproximação ocorre apenas de um lado. Se a aproximação for feita pelo lado direito, o limite será um limite à direita. Se for pelo lado esquerdo, será um limite à esquerda.

Definições: Limites Laterais à Direita e à Esquerda. 

Seja f(x) definida em um intervalo (a, b), onde a > b. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de L conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à direita L em a e escrevemos

Lxfax

)(lim

Seja f(x) definida em um intervalo (c, a), onde c < a. Se f(x) fica arbitrariamente próximo de M conforme x se aproxima de a nesse intervalo, dizemos que f tem limite lateral à esquerda M em a e escrevemos

Mxfax

)(lim

Exemplo: Para a função na figura, temos:  

e

x

xxf )(

1)(lim0

x

xxf

x 1)1(limlim)(lim000

xxx x

xxf

Teorema 5 – Relação entre os Limites Lateral e Bilateral 

Uma função f(x) terá um limite quando x se aproximar de c se e somente se tiver um limite lateral à direita e um à esquerda e os dois limites laterais forem iguais:

Lxfcx

Lxfcx

)(

lim)(

lime Lxf

cx

)(lim

Exemplo 8 – Limites da Função no Gráfico da Figura

Em x = 0: 1)(lim0

xf

x

)(lim0

xfx e )(lim 0 xfx não existem. A função não é

definida à esquerda de x = 0.

Em x = 1: 0)(lim1

xf

xainda que f(1) = 1,

,1)(lim1

xf

x

)(lim 1 xfx não existe. Os limites à direita e à esquerda não são

iguais.

Em x = 2:

1)(lim2

xf

x

1)(lim2

xf

x

1)(lim 2 xfx ainda que f(2) = 2

Em x = 3:

)(lim)(lim)(lim 333xfxfxf xxx f(3) = 2

Em x = 4:

1)(lim4

xf

xainda que f(4) 1

)(lim4

xfx

)(lim 4 xfxe não existem. A função não é

definida à direita de x = 4.

Em qualquer outro ponto a em [0,4], f(x) tem limite f(a).

Exemplo 9 – Uma Função que Oscila Demais

Mostre que

xy

1sen não tem nenhum limite lateral quando x se

aproxima de zero de ambos os lados (Figura abaixo).

Solução: Conforme x se aproxima de zero, seu recíproco, 1/x, cresce

x

1sen repetem-se ciclicamente de

de –1 a 1. A função não tem limite à direita nem à esquerda em x = 0.

sem limitação e os valores de

Limites Envolvendo sen

Teorema 6

1sen

lim0

( em radianos)

Prova

O objetivo é mostrar que os limites à direita e à esquerda são iguais a 1. Então saberemos que o limite bilateral também é 1. Para mostrar que o limite à direita é 1, começamos com valores positivos de menores que (Figura abaixo). Observe que: 2

Área OAP OAP OATárea do setor área

Podemos expressar essas áreas em termos de da seguinte maneira:

sen2

1))(sen1(

2

1

2

1 alturabaseOAPÁrea

2)1(

2

1

2

1 22 rOAPÁrea do setor

tgtgalturabaseOAT2

1))(1(

2

1

2

1Área

Logo,

tg2

1

2

1sen

2

1

A última desigualdade não se altera se dividimos os três termos pelonúmero positivo (1/2) :sen

cos

1

sen1

Tomando os recíprocos a desigualdade é revertida:

cos

sen1

Uma vez que 1coslim0

do Teorema do Confronto resulta

1sen

lim0

Tenhamos em mente que sen e são ambos funções ímpares.

Então, /)(sen)( f é uma função par, com um gráfico

simétrico em relação ao eixo y. Essa simetria implica que o limiteà esquerda em 0 existe e tem valor igual ao limite à direita:

sen1

senlimlim

00

1)(senlim 0 Então pelo Teorema 4.

Exemplo 10: Usando 1sen

lim0

Mostre que 5

2

5

2senlim

0

x

x

x

x

x

x

x

xx 5)5/2(

2sen)5/2(

5

2senlimlim

00

x

x

x 2

2sen

5

2lim

0

5

2)1(

5

2

Agora a equação (1) se aplica a

= 2x.

Limites Envolvendo o Infinito

Definições Limites com x

1. Dizemos que f(x) possui o limite L quando x tende ao infinito eescrevemos: Lxf

x

)(lim

2. Dizemos que f(x) possui o limite L com x tendendo a menos infinito e escrevemos:

se, à medida que x se distancia da origem no sentido positivo, f(x) fica cada vez mais próximo de L.

Lxfx

)(limse, à medida que x se distancia da origem no sentido negativo, f(x)fica cada vez mais próximo de L.

Exemplo 1 – Limites de 1/x e k quando x

Demonstre que(a)

(b)

011

limlim xx xx

kkkxx

limlim

Solução:

(a) Podemos observar que y = 1/x se aproxima cada vez mais de zero à medida que o valor de x se afasta da origem, tanto para o lado positivoquanto para o negativo.

(b) Não importa quanto o valor de x se afaste da origem, a função Constante y = k sempre tem exatamente o valor k.

Teorema 7 – Regras para Limites quando xSe L, M e k são números reais e

Lxfx

)(lim ,)(lim Mxgx

e então

1. Regra da Soma: MLxgxfx

))()((lim

2. Regra da Subtração:

MLxgxfx

))()((lim3. Regra do Produto:

MLxgxfx

))()((lim

4. Regra da Multiplicação por Constante:

Lkxfkx

))((lim5. Regra do Quociente:

0,)(

)(lim

MM

L

xg

xf

x

6. Regra da Potenciação:

Se r e s são inteiros, , então0ssrsr

x

Lxf

))((lim

Desde que srL seja um número real.

Exemplo 2 – Usando o Teorema 7

xx xxx

15

15 limlimlim

505

(a) Regra da Soma

Limites Conhecidos

xxx xx

113

3limlim 2

xx xxx

113 limlimlim

0003

(b) Regra do Produto

Limites Conhecidos

Exemplo 3 – Numerador e Denominador de Mesmo Grau

)/2(3

)/3()/8(5

23

3852

2

2

2

limlim x

xx

x

xx

xx

3

5

03

005

Divida o numerador e o denominador por x2.

Exemplo 5 – Grau do Numerador Maior que o Grau do Denominador

)/4(7

)/3(2

47

32limlim

2

x

xx

x

x

xx

Divida o numerador e o denominador por x.O numerador agora tende a ao passo que o denominador tende a7, então a razão .

Limites Fundamentais

Daremos a seguir três proposições que caracterizam os chamadoslimites fundamentais. Estaremos tratando de casos particulares de indeterminações do tipo 1,0/0 e .0

Proposição 1: (Como já vimos) 1sen

lim0

x

x

x

Proposição 2:

ex x

x

)/11(lim

Onde e é o número irracional neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459... .

Exemplo

Provar que ex x

x

1

0

)1(limEm primeiro lugar provaremos que ex x

x

1

0

)1(lim

De fato, fazendo x = 1/t temos quando . Logo,t 0x

etx t

t

x

x

)11()1( limlim 1

0

Da mesma forma, prova-se que ex x

x

1

0

)1(lim

Portanto, ex x

x

1

0

)1(lim

Proposição 3:

ax

a x

x

ln1

lim0

).1,0( aa

(Prova no livro – Flemming e Gonçalves , Cálculo A, pág 125.)

Exemplos

x

ba xx

x

lim0

Temos,

x

ba

b

x

ba x

xx

x

xx

x

1

limlim00

xba

b

x

x

x

x

1

limlim00

b

aln1

b

aln

Exemplo 2

1

112

1lim

x

ae xx

x

Neste exemplo, utilizamos artifícios de cálculo para aplicarmos a Proposição 3.

)1)(1(

)1()1(

1

11

12

11

1limlim

xx

ae

x

ae xx

x

xx

x

1

1

1

1

1

1 1

1

1

11limlimlim x

a

x

e

x

x

x

x

xx

.1

1

1

1

2

1 1

1

1

1limlim

x

a

x

e x

x

x

x

Fazemos t = x – 1 e consideramos que, quando , , temos1x 1x

0t 0t, .

Portanto,

t

a

t

e

x

ae t

t

t

t

xx

x

11

2

1

1 limlimlim00

2

11

1

)ln(ln2

1ae

).ln1(2

1a

Continuidade

Definição – Continuidade em um Ponto

Ponto interior: Uma função y = f(x) é contínua em um pontointerior c de seu domínio quando:

).()(lim cfxfcx

Extremidades: Uma função y = f(x) é contínua na extremidadeesquerda a ou é contínua na extremidade direita b de seu domínio quando:

)()(lim afxfax

ou )()(lim bfxfbx

respectivamente

Exemplo 2 – Uma Função Contínua em seu Domínio

A função 24)( xxf é contínua em todos os pontos de seu domínio,

2,2 , inclusive em x = -2, quando f é contínua à direita, e x = 2

quando f é contínua à esquerda.

Exemplo 3 – Uma Função com Descontinuidade de Salto

A função ‘salto unitário’ U(x) é contínua à direita em x = 0, mas não é nem contínua à esquerda nem contínua aí. Ela apresentadescontinuidade de salto em x = 0.

Teste de Continuidade

Uma função f(x) será contínua em x = c se e somente se ela obedeceràs três condições seguintes:

1. f(c) existe (c está no domínio de f)

2. existe (f tem um limite quando ))(lim xfcx cx

3. (o limite é igual ao valor da função))()(lim cfxfcx

Teorema – Propriedades de Funções Contínuas

Se as funções f e g são contínuas em x = c, então as seguintescombinações são contínuas em x = c.

1. Somas: f + g

2. Diferenças: f - g

3. Produtos: f . g

4. Constantes Múltiplas: k . f, para qualquer número k

5. Quocientes: f / g, uma vez que g(c) 0

Teorema – Composta de Funções Contínuas

Se f é contínua em c e g é contínua em f(c), então a composta

fg é contínua em c.