- UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALRGICA DE VOLTA REDONDA PROFESSORA: SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI DISCIPLINA: RESISTNCIA DOS MATERIAIS

Energia de deformao na flexoAplicaes: Vigas que se comportam de uma maneira elstica linear, ou seja, o material segue a lei de Hooke e as deflexes e rotaes precisam ser pequenas. Seja uma viga biapoiada submetida flexo pura. A curva de deflexo um arco circular quase plano de curvatura constante = arco igual a L , onde L o comprimento da viga e o raio de curvatura. Dessa forma, tem-se:=LM . O ngulo compreendido por esse EI

= L =

ML EI

(1)

Figura 1 - Viga em flexo pura. A relao (1) mostrada na Figura 2. Conforme os binrios de flexo aumentam gradualmente em magnitude desde zero at seus valores mximos, eles realizam o trabalho W representado pela rea hachurada abaixo da linha OA e dado por: M W =U = (2)2

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Figura 2 - Diagrama mostrando a relao linear entre os momentos fletores M e o ngulo . Teorema de Castigliano Combinando as equaes (1) e (2) obtm-se a expresso da energia de deformao armazenada em uma viga em flexo pura: M 2L EI 2 ;U= (3a, b) U=2 EI 2L

Flexo No-Uniforme As equaes 3a e b aplicam-se a um elemento de viga como na Figura 3 e integra-se ao longo do comprimento, onde, d 2 (4) d = dx = 2dx

Figura 3 - Vista lateral de um elemento de uma viga submetida ao momento fletor M. A energia de deformao dU do elemento dada por qualquer uma das seguintes equaes:2 M 2 dx EI (d ) EI d 2 EI d 2 = dU = ; dU = dx = 2 dx 2 dx dx 2 2 dx 2 2 EI 2

dx

2

(5a, b)

2

Integrando-se as equaes anteriores ao longo do comprimento de uma viga tem-se:U=

M2 dx ; U = 2 EI

EI 2

d 2 dx 2

dx

2

(6a, b)

Se a fora de cisalhamento for considerada ser armazenada na viga uma energia de deformao adicional.

Exerccio: Uma viga engastada AB est submetida a um carregamento P em sua extremidade livre A. Determine a energia de deformao da viga e a deflexo vertical A devido ao carregamento P na extremidade A da viga.

Figura 4 - Viga engastada e livre suportando um carregamento simples P. Resposta: U =P 2 L3 PL3 , A = 6 EI 3 EI

Teorema de Castigliano Objetivo: Encontrar as deflexes de uma estrutura a partir da deformao da estrutura.

Seja uma viga engastada com um carregamento P atuando na extremidade livre como na Figura 4. A energia de deformao dessa viga dada por:U= P 2 L3 6 EI

(7)

3

Derivando-se a expresso (7) em relao ao carregamento P tem-sedU d P 2 L3 = dP dP 6 EI PL3 = 3 EI

(8)

A equao (8) mostra que a derivada da energia de deformao com relao ao carregamento igual a deflexo correspondente ao carregamento. O teorema de Castigliano uma afirmao generalizada dessa observao.

Deduo do teorema de Castigliano para Qualquer nmero de Carregamentos Histrico Um dos mais famosos teoremas na anlise estrutural foi descoberto por Carlos Alberto Pio Castigliano (1847-1884), engenheiro italiano. Consideraes Consideremos uma viga submetida a qualquer nmero de carregamentos, digamos n carregamentos com suas respectivas deflexes como est apresentada na Figura 5.

Figura 5 - Viga suportando n carregamentos. Quando os carregamentos so aplicados viga, eles aumentam gradualmente de em grandeza desde zero at seus valores mximos. Ao mesmo tempo, cada um dos carregamentos move-se atravs de seus deslocamentos correspondentes e produz trabalho. O trabalho total realizado pelos carregamentos igual a Energia de deformao U armazenada na viga: W=U W uma funo dos carregamentos atuantes na viga. (9)

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Consideremos que o ensimo carregamento aumentado levemente pela quantidade dPi enquanto os outros carregamentos so mantidos constantes. Esse aumento no carregamento ir causar um pequeno aumento dU na energia de deformao da viga. Esse aumento na energia de deformao pode ser expresso como a taxa de variao de U com relao a Pi vezes o pequeno aumento Pi. Dessa forma o aumento na energia de deformao :dU = U dPi Pi

(10)

Em que U Pi a taxa de variao de U com relao a Pi (Uma vez que U uma funo de todos os carregamentos, a derivada com relao a qualquer um dos carregamentos uma derivada parcial). A energia de deformao da viga dada por:U + dU = U + U dPi Pi

(11)

onde U a energia de deformao da eq. (9). Como o princpio da superposio mantm-se para essa viga, a energia de deformao total independente da ordem em que os carregamentos so aplicados. Quando o carregamento dPi aplicado primeiro, ele produz energia de deformao igual metade do produto do carregamento dPi e seu deslocamento correspondente d i . A quantidade de energia de deformao devido o carregamento dPi : dPi d i (12)2

Quando todos os carregamentos so aplicados a fora dPi se move atravs do deslocamento i . Fazendo isso ela produz trabalho adicional igual ao produto da fora e da distncia atravs da qual ela se move dado por: dPi i (13) A energia de deformao final para a segunda seqncia de carregamento :dPi d i + U + dPi i 2

(14)

Igualando (11) e (14)

dPi d i U + U + dPi i = U + dPi 2 Pi

(15)

Podemos descartar o primeiro termo porque ele contm o produto de dois diferenciais e infinitesimalmente pequeno comparado aos outros termos. Obtemos ento a seguinte relao:i =U Pi

(16)

Essa a equao conhecida como Teorema de Castigliano A derivada parcial da energia de deformao de uma estrutura com relao a qualquer carregamento igual ao deslocamento correspondente aquele carregamento.

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Referncias Bibliogrficas:

1. BEER, F.P. e JOHNSTON, JR., E.R. Resistncia dos Materiais, 3. Ed., Makron Books, 1995. 2. Gere, J. M. Mecnica dos Materiais, Editora Thomson Learning 3. HIBBELER, R.C. Resistncia dos Materiais, 3. Ed., Editora Livros Tcnicos e Cientficos, 2000.

Observaes: 1- O presente texto baseado nas referncias citadas. 2- Todas as figuras se encontram nas referncias citadas.

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