Teorema do Pick e a Área de Polígonos Simples

A utilização do Teorema do Pick amplia as possibilidades de exploração do conceito de Área, especialmente no Ensino Médio (2º ano do Ensino Médio), trazendo para a sala de aula conhecimentos como a Fórmula de Pick e a utilização do software GeoGebra. O GeoGebra é um software de acesso livre, (é permitido utilizar, copiar e distribuir o aplicativo para fins não comerciais) e por isso mesmo poder vir a ser um importante aliado dos professores como recurso metodológico. Permite a abordagem de diversos conteúdos trabalhados na Educação Básica (Ensino Fundamental e Médio), especialmente Geometria e Funções. Por meio da construção interativa de figuras e objetos, podemos melhorar a compreensão dos alunos através da visualização, percepção dinâmica de propriedade, estímulo heurístico à descoberta e obtenção de conclusões "validadas" na experimentação. Os recursos que deverão estar disponíveis para a realização desse projeto são: Laboratório de Informática com internet, Datashow, note book e o software GeoGebra. O Aluno poderá ser avaliado da seguinte forma: * Observação e do registro do acompanhamento das atividades (0,5).    * Interesse, participação e a integração das equipes (0,5).    * Execução e apresentação do projeto (1,0). Vamos às atividades do Projeto: Teorema do Pick e a Área de Polígonos Simples

Atividade 1

Na atividade 1, construiremos no software GeoGebra os polígonos que serão utilizados nas demais atividades. Utilizaremos um tempo de 100 minutos na realização das atividade 1 e 2. Abaixo estão os passos a serem seguidos:

1º - Inicie o programa GeoGebra;2º - Feche a Janela de Álgebra e clique na ferramenta Exibir ou esconder os eixos para esconder os eixos;3º - Clique na ferramenta Exibir ou esconder a malha para exibir a malha;4º - Clique na ferramenta Polígono e construa os polígonos: retângulo, trapézio, triângulo, quadrado e losango;5º - Depois que construir os polígonos iremos determinar o comprimento de alguns elementos nos polígonos. Clique na ferramenta Distância, comprimento ou área e, passe no comprimento e largura do retângulo; na base do triângulo e na altura; na base maior, base menor, base maior e altura do trapézio; em dois lados do quadrado e na diagonal maior e na diagonal menor do losango (Figura 1 do anexo).7º - Clique em Arquivo e em Grava como... e digite figura 1 e clique em Gravar.6º - Clique na ferramenta Distância, comprimento ou área e na superfície interior de cada polígono, logo após aparecerá a área do respectivo polígono (Figura 2 do anexo).7º - Clique em Arquivo e em Grava como... e digite figura 2 e clique em Gravar.8º - Pedir ao aluno que calcule a área desses polígonos no caderno utilizando as fórmulas adequadas e comparar com o resultado encontrado no GeoGebra.

Atividade 2

Na atividade 2, os alunos conhecerão o Teorema de Pick . Quem criou? Para que serve? Onde pode ser aplicado?

O teorema de Pick foi publicado em 1899 pelo matemático Georg Alexander Pick, que nasceu em 1859 em Viena de Áustria e morreu em 1943, durante a segunda guerra mundial, no campo de concentração de Theresienstadt. Para compreender o teorema é preciso estabelecer alguns conceitos: * cada ponto de interseção de retas da malha quadriculada será chamado de nó; * cada pequeno quadrado será chamado de célula e possui uma unidade de área; * um polígono é chamado simples quando seu contorno for uma curva fechada simples, ou seja, ele não possui “buracos” no seu interior nem intersecções de suas arestas. A figura 1 representa um polígono simples. Na figura 2 o polígono não é simples, pois tem um vértice que pertence a mais de dois lados e o polígono da figura 3 não é simples porque tem um buraco.

O Teorema de Pick trata-se de um recurso interessante para o cálculo de área de polígonos com vértices sobre pontos de intersecção das retas de uma malha quadriculada, conforme figura 1.

O teorema de Pick permite calcular a área de um polígono simples contando o número de pontos de fronteira denominados B e o número dos seus pontos interiores denominados I. Esse teorema estabelece que: seja P um polígono cujos vértices pertencem a uma rede, indica-se com B e I, respectivamente, o número de pontos da rede situados sobre a fronteira (borda) e no interior de P. Então, a área A, desse polígono, é dada pela expressão seguinte:

A = I + B / 2 - 1

Atividade 3

Na atividade 3 , os alunos deverão calcular a área dos polígonos propostos na atividade 1 utilizando o Teorema de Pick e comparando o resultado com os encontrado na atividade 1. Utilizaremos um tempo de 100 minutos na realização das atividade 3 e 4. Deverão seguir os passos a seguir: 1º - Inicie o programa GeoGebra;2º - Clique em Arquivo e Abrir e, selecione figura 1, depois clique em Abrir;3º - Clique na ferramenta Novo Ponto e, a seguir clique no contorno de interior de cada polígono (figura 3 do anexo);4º - Pedir aos alunos que calculem a área desses polígonos utilizando a Fórmula de Pick e, peça que compare com os resultados encontrados na atividade 1.

Atividade 4

Na atividade 4, os alunos deverão criar 2 polígonos simples utilizando o GeoGebra e, calcular a área utilizando a Fórmula de Pick. Deverão seguir os passos a seguir:

1º - Inicie o programa GeoGebra;2º - Feche a Janela de Álgebra e clique na ferramenta Exibir ou esconder os eixos para esconder os eixos;3º - Clique na ferramenta Exibir ou esconder a malha para exibir a malha;4º - Clique na ferramenta Novo Ponto e marque na malha os pontos que definirão o polígono desejado;5º - Clique na ferramenta Segmento definido por Dois Pontos e una os pontos até fechar o polígono;6º - Clique na ferramenta Polígono e percorra o polígono inteiro clicando em cima dos pontos até completar uma volta inteira;7º - Clique na ferramenta Distância, comprimento ou área e na superfície interior do polígono criado, logo após aparecerá a área do respectivo polígono .7º - Repita os passos acima e crie mais um polígono;8º - Calcule a área dos dois polígonos utilizando a Fórmula de Pick compare com o resultado encontrado no GeoGebra.

Atividade 5

Na atividade 5 os alunos lidarão com um problema real e solucionarão utilizando a Fórmula de Pick. A situação problema é a seguinte: Durante um temporal um bairro da cidade de São Paulo inundou como mostra a foto que está no anexo 4. O aluno deverá determinar a área alagada do bairro utilizando a Fórmula de Pick.

Deverão seguir os passos a seguir:

1º - Inicie o programa GeoGebra;2º - Feche a Janela de Álgebra e clique na ferramenta Exibir ou esconder os eixos para esconder os eixos;3º - Clique na ferramenta Exibir ou esconder a malha para exibir a malha;4º - Clique no menu Editar , depois Inserir Imagem de, depois Arquivo;5º - Escolha o local onde você salvou a foto que está no anexo 4 , clique na imagem e depois em Abrir;6º - Clique com o botão direito do mouse em cima da figura e clique em configurações e marque a opção Imagem de Fundo Imagem(figura 4 no anexo 5);7º - Clique na ferramenta Novo Ponto e marque na foto o contorno da área alagada;8º - Clique na ferramenta Segmento definido por Dois Pontos e una os pontos até fechar o polígono;9º - Clique na ferramenta Polígono e percorra o polígono inteiro clicando em cima dos pontos até completar uma volta inteira;10º - Clique na ferramenta Distância, comprimento ou área e na superfície interior do polígono criado, logo após aparecerá a área do respectivo polígono . (figura 5 no anexo 6);11º - Calcule a área do polígono utilizando a Fórmula de Pick e compare com o resultado encontrado no GeoGebra. (figura 6 no anexo 7);

Anexo 1

Figura 1

Anexo 2

Figura 2

Anexo 3

Figura 3

Anexo 4

Anexo 5

Figura 4

Anexo 6

Figura 5

Anexo 7

Figura 6