Teoria das carteiras Risco e Aversão ao Risco Risco e Aversão ao Risco Distribuição do Capital...
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Teoria das carteirasTeoria das carteiras
Risco e Aversão ao RiscoRisco e Aversão ao Risco
Distribuição do Capital entre Activos Distribuição do Capital entre Activos com Risco e Activos sem Riscocom Risco e Activos sem Risco
Carteiras Óptimas com RiscoCarteiras Óptimas com Risco
O processo de investimento O processo de investimento consiste em duas tarefas:consiste em duas tarefas:
Segurança e análise de Segurança e análise de dados do dados do mercado;mercado;
Formação de uma carteira Formação de uma carteira óptima óptima de activos.de activos.
Risco e aversão ao risco
W1 = € 150
W2 = € 80
p =.6
1-p =.4 W= € 100
Inv. com Risco
T-bills
Prémio de Risco = € 17
E[w]E[w] = pw = pw11+(1-p)w+(1-p)w22 = € 122,000 = € 122,000
σσ 22 = p[w= p[w11-E[w]]-E[w]]22+(1-p)[w+(1-p)[w22-E[w]] -E[w]] 2 2
= € 1,176,000,000= € 1,176,000,000 σσ = € 34,292,86= € 34,292,86
Risco Numa Perspectiva Simples
Lucro
€ 50
- € 20
€ 5
Risco e aversão ao risco
•GenéricamenteGenéricamente
n
E[r] = Pr(s)r(s) s=1
n2 = Pr(s)[r(s)-E[r]]2
s=1
REGRA 1
REGRA 2
Risco e aversão ao risco
Variância ou Desvio Padrão
Reto
rno E
sp
era
do
1
2 3
42 domina 1
2 domina 3
4 domina 3
; tem maior retorno
; tem maior risco
; tem maior retorno
Principio da Dominância
Risco e aversão ao risco
Aversão ao Risco e Utility Value
Curva de indiferença
U = E[rp]-.005A 2
U – Utility valueA - Aversão
E[r]
E[rd]
p
Risco e aversão ao risco
Investir em activos para reduzir o risco da Investir em activos para reduzir o risco da carteira é chamado carteira é chamado hedginghedging..
Consideremos o problema da Consideremos o problema da HumanexHumanex, , uma organização sem lucro em que a maior uma organização sem lucro em que a maior parte do seu rendimento provém do retorno parte do seu rendimento provém do retorno de doações. Anos atrás, os fundadores da de doações. Anos atrás, os fundadores da Best CandyBest Candy deram acções da sua empresa à deram acções da sua empresa à HumanexHumanex com a condição de não as poder com a condição de não as poder vender. Este bloco de acções é agora de 50% vender. Este bloco de acções é agora de 50% do dote da do dote da HumanexHumanex. A . A HumanexHumanex é livre de é livre de escolher onde investir o resto de sua escolher onde investir o resto de sua carteira.carteira.
Risco da carteira
O valor das acções da Best Candy é sensível ao preço do açúcar. À anos atrás quando a Caribbean Sugar faliu, o preço do açúcar aumentou significativamente e a Best Candy perdeu perdas consideráveis. A fortuna da Best Candy é descrita pela seguinte análise:
Ano normal do Ano normal do açúcaraçúcar
Ano Ano AnormalAnormal
do açúcardo açúcar
Tendência Tendência de subida de subida
do do mercadomercado
Tendência Tendência de de
descida descida do do
mercadomercado
Crise do açúcarCrise do açúcar
ProbabilidadeProbabilidade 0.50.5 0.30.3 0.20.2Taxa de Taxa de retornoretorno
25%25% 10%10% -25%-25%
Risco da carteira
HumanexHumanexCom vista a reduzir o risco a Com vista a reduzir o risco a HumanexHumanex investiu a parte investiu a parte
restante do seu dote em restante do seu dote em T-billsT-bills, que garantem uma taxa , que garantem uma taxa de retorno de 5%.de retorno de 5%.
E[rE[rHumanexHumanex] = 0.5E[r] = 0.5E[rBestBest] + 0.5r] + 0.5rbillsbills= (0.5*10.5) + (0.5*5)= (0.5*10.5) + (0.5*5) =7.75%=7.75%
HumanexHumanex= 0.5= 0.5Best Best + 0.5+ 0.5bills bills = 0.5*18.9 + 0.5*0 = = 0.5*18.9 + 0.5*0 = 9.45%9.45%
Risco da carteira
Ano normal do Ano normal do açúcaraçúcar
Ano Anormal do Ano Anormal do açúcaraçúcar
TendênciTendência de a de
subida subida do do
mercadomercado
TendênciTendência de a de
descida descida do do
mercadomercado
Crise do açúcarCrise do açúcar
ProbabilidadeProbabilidade 0.50.5 0.30.3 0.20.2Taxa de Taxa de retornoretorno
1%1% -5%-5% 35%35%
Risco da carteira
E[rSugar Kane] = 6%
Sugar Kane = 14.73%
Sugar KaneSugar Kane
CarteiraCarteira Retorno Retorno EsperadoEsperado
Desvio PadrãoDesvio Padrão
Tudo em Best Tudo em Best CandyCandy
10.50%10.50% 18.90%18.90%
Metade em T-BillsMetade em T-Bills 7.575%7.575% 9.45%9.45%Metade em Sugar Metade em Sugar KaneKane
8.25%8.25% 4.83%4.83%
Os números são expressivos. A Carteira Os números são expressivos. A Carteira Sugar KaneSugar Kane domina a domina a estratégia simples da redução do risco de investir nos estratégia simples da redução do risco de investir nos seguros seguros T-billsT-bills. . Este exemplo demostra que as acções que estão Este exemplo demostra que as acções que estão inversamente inversamente relacionadas são as mais poderosas redutoras de risco.relacionadas são as mais poderosas redutoras de risco.
Risco da carteira
SallySally
Cov[rCov[rBestBest,r,rSugarSugar]]
BestBest Sugar Kane
Cov[rCov[rBestBest,r,rsugarsugar]=]= Pr(s)[rPr(s)[rBestBest(s)-E[r(s)-E[rBestBest]] * [rSugar (s)-]] * [rSugar (s)-E[rE[rSugarSugar]]]] ss
(Best,Sugar Kane) (Best,Sugar Kane) ==
Risco da carteira
Quantificação do Quantificação do poder de poder de
diversificaçãodiversificação
DISTRIBUIÇÃO DE CAPITAL ENTRE DISTRIBUIÇÃO DE CAPITAL ENTRE ACTIVOS COM E SEM RISCOACTIVOS COM E SEM RISCO
• Investir num activo sem risco é mais seguro
• Investir num activo com risco pode implicar um lucro bem mais generoso
Então, Então,
ONDE INVESTIR ???ONDE INVESTIR ???
TUDO ou NADA ? =>
Distribuir o capital entre os
activos com e sem risco
MAS QUAL SERÁ O PESO DO INVESTIMENTO EM CADA ACTIVO ?
Distribuição de capital entre activos com e sem risco
Movimentação de Movimentação de ValoresValores
Cart
eir
as
Cart
eir
as
Activ
os
Activ
os
25%
75%
40%
55%
55%
60%
45%
45%
Distribuição de capital entre activos com e sem risco
Activos sem riscoActivos sem risco
Obrigações de TesouroObrigações de Tesouro
Certificados do Banco de DepósitosCertificados do Banco de Depósitos
Papel ComercialPapel Comercial
Activos sem risco
FormulárioFormulário
Taxa de retorno da carteira global
rC = yrp + (1 – y)rf
Valor esperado da taxa de retorno da carteira global
E(rC) = rf + y(E(rp) – rf)
Desvio padrão da carteira global
C = yp
Carteiras de um activo com risco e um activo sem risco
Exemplo NuméricoExemplo NuméricoVamos tomar os seguintes valores:
E(rp) = 15 % ; p = 22 % ; rf = 7 %
Temos então que o Risco de Prémio será:
RP = 15 % - 7 % = 8 %
e y = C/22 vindo que o valor esperado procurado
será:
E(rC) = rf + y(E(rp) – rf) = 7 + (8/22) C
O valor esperado de retorno de uma carteira global, como função do seu desvio padrão, é uma recta cujo declive será:
S = (E(rp) – rf) / p = 8/22
Distribuição de capital entre activos com e sem risco
Gráfico de combinações Gráfico de combinações Retorno Esperado/Desvio Retorno Esperado/Desvio
PadrãoPadrãoE(r)
CAL
rf = 7
P15
220
S1
}Prémio de risco
S2
Distribuição de capital entre activos com e sem risco
Tolerância ao risco e distribuição de Tolerância ao risco e distribuição de activosactivos
Como já vimos:
U = E(r) – 0,005A2
O investidor procura maximizar o nível de utilidade. Temos então que :
Max U = E(rC) – 0,005A2C
y = rf + y(E(rp) – rf) – 0,005A y22
p
Resolvendo este problema de maximização vem que: E(rp) – rf
0,01A2p
y* =
Tolerância ao risco e distribuição do activo
Voltando ao exemplo numérico, consideremos um investidor com um grau de aversão 4, isto é, A = 4. Temos então que:
y* = (15 – 7) / (0,01*4*222) = 0,41
Vindo,
E(rC) = 7 + 0,41*(15 – 7) = 10,28 %
e
C = 0,41*22 = 9,02 %
O prémio de risco seria: PR = 10,28 – 7 = 3,28 %
Tolerância ao risco e distribuição do activo
E(r)
rf = 7
P15
220
A = 2A = 4Certainty Equivalent diferente para dois
investidores diferentes
Tolerância ao risco e distribuição do activo
Solução gráfica para uma decisão de Solução gráfica para uma decisão de carteiracarteira
E(r)
CAL
rf
PE(rf)
0
E(rC)
pC
C
Distribuição de capital entre activos com e sem risco
Estratégias PassivasEstratégias Passivas
Uma estratégia activa não é grátisUma estratégia activa não é grátis
Benefício livreBenefício livre
Estratégias passivas: Recta de mercados de capitais
Carteiras óptimas com Carteiras óptimas com riscorisco
n
n
Risco Único
Risco do Mercado
DiversificaçãoDiversificação
Risco Único Risco de Mercado
Diversificação e risco de uma carteira
Carteira de dois activos com Carteira de dois activos com riscorisco
Retorno esperadoDesvio Padrão
Covariância
Coef. de correlação
Bonds Acções
8% 13%
12% 20%
72
0,30
rp = wdrd + were
E(rp) = wd E(rd) + we
E(re)
Carteiras de dois activos com risco
Proporção na carteirawd
we
Covariâncias
wd wd
2d Cov(rd,re
)Cov(rd,re
)2
e
2p= w2
e2e + w2
d2d +
2wewdCov(re,rd)
NOTA: Cov(re,re) = 2e ; Cov(rd,rd) =
2d
Matriz de covariânciaMatriz de covariânciaCarteiras de dois activos com risco
Cov(rd,re) = cov(re,rd)
= -1
= 0
= 1
( wdd - wee )2
w2e2
e + w2d2
d
( wee + wdd )2
| wee - wdd |
w2e2
e + w2d2
d
wee - wdd
Variância da carteira
Desvio Padrão da carteira
Cov(re,rd) =eded
2p= w2
e2e + w2
d2d + 2wewd
eded
Influência do coeficiente de Influência do coeficiente de correlaçãocorrelação
Carteiras de dois activos com risco
Como escolher as proporções do Como escolher as proporções do activo de forma a criar uma posição activo de forma a criar uma posição
perfeita de perfeita de hedginghedging ? ?
= -1
e
e + d
wd =
d
d + e
we = = 1 - wd
Carteiras de dois activos com risco
Retorno esperado em função Retorno esperado em função das proporções dos das proporções dos
investimentosinvestimentosE[r(carteira
)]
13%
8%
Fundo de Acções
Fundo de bonds
-0,5 0,0 1,0 2,0
1,5 1,0 0,0 -1,0
we
wd
Carteiras de dois activos com risco
-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
1,5 1,0 0,5 0,0 -0,5
Desvio Padrão da carteira
we
wd
=-1 =0 =0,3
=1
Relação desvio padrão e Relação desvio padrão e proporção dos investimentosproporção dos investimentos
Carteiras de dois activos com risco
No nosso casoNo nosso caso
e -Cov(re,rd)
e +
d -2Cov(re,rd)
wMin(D)
=
202 – 72
122 + 202 – 2x72= =
0,82
wMin(E) = 1 - 0,82 =0,18
Min(P) = [0,822x122 + 0,182x202 + 2x0,82x72]½ = 11,45%
Carteiras de dois activos com risco
Carteira óptima com dois Carteira óptima com dois activos com risco e um activos com risco e um
activo sem riscoactivo sem riscoConsidere-se duas carteiras A e B, sendo A a carteira de variância mínima:
Carteira ACarteira A
Acções Bonds
18% 82%
30% 70%
Então temos que: E(rA) = 8,9% A = 11,45%
E(rB) = 9,5% B = 11,7%
Considere-se Treasury-Bills com r = 5%.
Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills
Desvio Padrão da carteira
E[r]
13%
8%
=-1
=0
=0,3
=1
Relação Retorno/RiscoRelação Retorno/RiscoDistribuição de activos com acções, bonds e T-bills
Os reward-to-variability ratio das CAL’s considerando, as carteiras A e B, respectivamente, e T-bills são:E(rA) – rf
A
SA = =8,9 - 5
11,43= 0,34
9,5 - 5
11,7= 0,38
SB = SB > SA
Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills
A
B
E
E[r]
9.58.9
11.45 11.7
Determinação da CAL tangenteDeterminação da CAL tangente
Resolução do problema: Maximizar Sp
Função objectivo:
E(rp) – rf
p
Sp =
Restrição: wi = 1
No caso de 2 activos com risco, a solução para wd e we é:
[E(rd)-rf]2e – [E(re) – rf]Cov(rd, re)
[E(rd) – rf]2e + [E(re-rf]2
d – [E(rd) – rf + E(re) – rf]Cov(rd, re)wd =
vindo, we = 1 - wd
Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills
Construção da carteira Construção da carteira óptima com risco óptima com risco PP
(8-5)x400 – (13-5)x72
(8-5)x400 + (13-5)x144 – (8-5+13-5)x72wp = =0,4 ; we = 0,6
E(r) CAL
Opportunity
D
E (acções)
PE(rp) = 11%
rf = 5%
p = 14.2%
Set
(Bonds)
Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills
Como utilizar o nível individual de Como utilizar o nível individual de aversão ao risco ?aversão ao risco ?
Por exemplo, para A = 4, vem que:
(E(rp) – rf)
0,01A2p
y = =11-5
0,01x4x14,22=0,7439
O investidor deverá, então, investir:
74,39% carteira com risco P
25,61% T-Bills
ATENÇÃO: carteira com risco P é constituída por 40% de bonds e 60% de acções, logo
ywd = 0,4x0,7349 = 0,2976
ywe = 0,6x0,7349 = 0,4463
E(r) CAL
Opportunity Set
D
E (acções)
P11%
5%
14.2
C
(Bonds)
Carteira óptima Completa
Curva da indiferença
Carteira Óptima com risco
Determinação gráfica Determinação gráfica da carteira óptima da carteira óptima
completacompleta
Distribuição de activos com acções, bonds e T-bills
Caso GeralCaso Geral
n
iiiP
rEwrE1
Retorno esperado da carteira P:
Desvio Padrão da carteira P:
n
jii
n
jjiji
n
iiiP
rrCovwww1 11
22 ,
- n estimativas de E(ri)
- n estimativas das 2i
- n(n-1) estimativas das covariâncias
2
Modelo de selecção de carteiras de Markowitz
Fronteira de EficiênciaFronteira de Eficiência
E(r)
E(r1)
E(r2)
E(r3)
A
B
C
Modelo de selecção de carteiras de Markowitz
Distribuição de capitais Distribuição de capitais e propriedades de e propriedades de
separaçãoseparaçãoIntrodução do activo sem risco
E(r)
CAL(P)
P
F
CAL(B)
CAL(A)
Modelo de selecção de carteiras de Markowitz
Q
Investidor mais averso ao risco
S
Investidor mais tolerante ao risco
P
E(r)
Fronteira eficiente de activos com risco
Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco
Investidores que podem emprestar sem Investidores que podem emprestar sem risco, mas que estão proibidos de pedir risco, mas que estão proibidos de pedir
emprestadoemprestado
P
B
Q
E(r)
A
Frf
CAL
Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco
Investidores que podem pedir Investidores que podem pedir emprestadoemprestado
P1
P2
E(r)
rf F
CAL1
CAL2Fronteira eficiente
A
Investidores na defensiva
rBf
Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco
P2
E(r)
rBf
CAL2
Fronteira eficiente
B
Investidores mais Investidores mais agressivosagressivos
Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco
rf
Investidores Investidores intermédiosintermédios
E(r)
rf
rBf
P2
P1
C
Fronteira eficiente
CAL1
CAL2
Carteiras óptimas com restrições no activo sem risco