Teoria das Estruturas - volume 3 - Exercícios - parte 01

7/28/2019 Teoria das Estruturas - volume 3 - Exerccios - parte 01

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ContedoVolume l/Teoria

1 Introduo, 1Sistemas Equivalentes de Esforos, 1Condio de Equilbrio, 2Vnculos, 3Classificao das Estruturas, 5

Estruturas Isostticas, 11Determinao das Reaes de Apoio, 11Determinao de Esforos Solicitantes, 22

3 Clculo de Deformaes, 61Esforos e Deslocamentos Correspondentes, 61Aplicao do Princpio dos Trabalhos Virtuais parao Clculo de Deformaes de Estruturas (Mtododa Carga Unitria), 64Estruturas Espaciais, 71Casos Especiais de Carregamento, 71Casos teis na Resoluo de Estruturas Hiperes-. tticas (Casos Lineares), 76Superposio de Efeitos, 81

4 Estruturas Hiperestticas - Resoluo pelo Processodos Esforos, 86Estudo Geral, 86Classificao das Estruturas Hiperestticas, 87Processo dos Esforos, 89

5 Estruturas Hiperestticas - Processo dos Desloca-mentos,244Preliminares, 244Sistemas de Referncia, 249Transformao de Coordenadas, 250. Estudo de Matriz de Rigidez para Barras, 258.Resoluo de Estruturas, 283Modelos Aplicveis a Infra-estrutura de Pontes eOutros Casos, 302Flambagem-Determinao da Carga de Flamba-gem de Estruturas, 418

Bibliografia, Indice Alfabtico, II a IV

Volume 2/Teoria

Processo de Cross, 433Coeficiente de Propagao, 433Coeficiente de Rigidez, 434Coeficiente de Distribuio, 436Conveno de Sinais para os Momentos Fletores,438Estruturas Indeslocveis e Deslocveis, 439Resoluo de Vigas Contnuas e Prticos Indeslo-cveis, 441Prticos Deslocveis, 459

7 Linhas de Influncia, 508Classificao dos Carregamentos, 508Diagramas de Linhas de Influncia, 521Utilizao das Linhas de Influncia, 522Determinao de Linhas de Influncia para Estru-turas Isostticas, 527Determinao de Linhas de Influncia para Estru-turas Hiperestticas, 568Arcos, 576Estruturas Constitudas de Barras de Altura Vari-


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vel,579Linhas de Influncia de Deformaes (Desloca-mentos e Rotaes), 5858 Energia de Deformao, 592

Conceitos Gerais, 592Teoremas de Energia, 598Estudos da Energia de Deformao Relativa aosEsforos Solicitantes Tpicos, 604Superposio de Efeitos, 615Estudo da Energia Complementar em Funo dosEsforos Solicitantes, 618Determinao Aproximada de Linha Elstica -Processo de Rayleigh Ritz, 620Estudo da Flambagem, 631Teoremas Relativos Energia de Deformao, 637

Estudo dos Perfis Fechados de Paredes Delga-das (Seces Celulares), 706Toro em Perfis Abertos, 72310 Fadiga, 750

Teoria de Bauschinger, 751Resultados Experimentais e Definies, 751Tenso de Fadiga, 752Diagrama de Goodman, 754Estudo da Fadiga no Caso de Estado Duplo deTenso, 756Fatores que Influem no Limite de Resistncia Fadiga, 758Estudo Generalizado para Variaes de Tensocom o Tempo e Critrio de Minner, 758Aplicao ao Concreto Armado, 761

9 Cisalhamento em Perfis Delgados, 683Consideraes Gerais, 683 Bibliografia, 783Tenses de Cisalhamento em Perfis DelgadosAbertos, 688 ndice Alfabtico, I a III

Volume 3/Exerccios1 Estruturas Isostticas, 787 2 Estruturas Hiperestticas - Processo dos Esforos, 898

Introduo, 787Resoluo de Estruturas: Determinao deEsforos Solicitantes, 787Parte 1 Vigas e Prticos, 797Parte 2 Trelias, 848Parte 3 Clculo de Deformaes, 871Esforos e Deslocamentos Correspondentes, 871

Resoluo de Estruturas pelo Processo Geral dosEsforos,898 .Vigas Contnuas, 1027Clculo de Deformaes, 10743 Processo dos Deslocamentos, 1090

Aplicao a Estruturas Constitudas Somente deElementos Deformveis, 1090Aplicao a Estruturas Constitudas de ElementosDeformveis Associados aElementos Rgidos, 1173

Volume 4/Exerccios4 Processo de Cross, 1277

Formulrio, 1277Exerccios, 12925 Linhas de Influncia, 1531

Formulrio, 1531Estruturas Isostticas, 15336 Energia de Deformao, 1749

Aplicao de Teoria, /749

7 Cisalhamento em Perfis Delgados, 1793Formulrio, 1793Perfis Abertos, 1800Perfis Fechados, 1816

8 Fadiga, 1841Aplicao de Teoria, 1841


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1Estruturas Isostticas

Introduo

-.esoluo de estruturas:urlrerminao de esforos_lCi-tantes".-io de teoria

~o

A~ estudo das estruturas devemos conhecer os vnculos_-=':lICS- e o sistema de esforos (foras ou momentos aplica- ENGASTAMENTO~ as mesmas). Devemos considerar o seguinte:,

LTURAS PLANASde vnculos externos e esforos que introduzem

) e quilograma (kg) se referem a unidades de fora. corres-~1IZ::D:la tf e kgf. FAZ

APOIOSIMPLES ARTICULAO

0L YISTEMADEREFERNCIAo x

F

F..... A


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Se no h carregamento externo aplicado ao longo dabarra FI, vlida a relao:

b. Equaes de equilbrio da esttica.Estas equaes impem a condio de equilbrio quantoa efeitos de foras e de momentos que podem agir sobre aestrutura.De acordo com as equaes de equilbrio da esttica,para que uma estrutura esteja em equilbrio necessrio que:- Seja nula a somatria das projees em uma determi-nada direo de todas as foras externas atuantes sobre aestrutura e das foras introduzidas pelos vnculos.Como podemos sempre decompor as foras segundoduas direes perpendiculares x e y, desta condio resultamduas equaes:IFxi=O,OIFyi =0,0

- Seja nula a somatria dos momentos dos esforosexternos que agem sobre a estrutura e dos esforos introduzi-dos pelos vnculos, em relao a um ponto qualquer do plano.IM(p) =0,0

:. I M(p) = I Fi di + I M, = 0,0sendo Fi uma fora genrica e M, um momento genrico queagem sobre a estrutura.

y

P

o x

ponto P = ponto genrico do planoFi =fora genrica que age sobre a estruturaM, =momento genrico que age sobre a estruturaIFxi = 0,0IFyi =0,0IM(p) =0,0P =ponto genrico do plano.2. ESTRUTURAS ESPACIAISa. Tipos de vnculos786

'\

IlzENGASTAMENTOr z ~ ESPACIAL~ Y "

xSISTEMA DEREFERNCIA Ilx

,RTULA

AO PLANO DE APOIO DA ESFERA

Se no h carregamento externo aplicado ao longo dabarra CD, temos a relao:

Para a fora F B no fio, temos sempre a relao:


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Ilz

,III

Ily

. Ilx

II'.J

. Equaes de Equilbrio da Esttica.Analogamente ao caso de estruturas planas, para quetrutura espacial esteja em equilbrio, de acordo com as_e da esttica, necessrio que:- Seja nula a somatria das projees em uma deterrni-. o de todas as foras externas atuantes sobre asrz:::::a e das foras introduzidas pelos vnculos.o podemos sempre decompor as foras segundo trs_~)S .r, y, z. perpendiculares entre si, desta condio:-=1iiU;a:~:n trs equaes:_- =.0.0.0

Ily

,--------- --'1/ ;' I \/ Fvl / Ir- --------1 II F; I I: F,; I : IIxI I II Fzi I /I ~

Ilz

- = - RA GENRICA QUE AGEBRE A ESTRUTURA

- - 'a nula a somatria dos momentos dos esforosCllII:: ::r.::s aplicados sobre a estrutura e dos esforos introduzi-_I(:IIe:.,s=in ulos, em relao a um eixo qualquer do espao.Podemos sempre considerar o vetor que representa um*RI:::ce:ido momento, decomposto em trs direes x, y, z.f1111p1:uti:r.IlaJresntre si. Desta condio resultam trs equa-

=.0=.0.:=.0

M , =momento genrico queage sobre a estrutura

1.4;fi ao plano PLANO tr ~ P O O DE AGEO MO ENTOM,

O SENTIDO DO VETORMOMENTO DADO PELAREGRA DA MO DIREITA

Decomposio de M i:O momento M, provoca rotao em torno de um eixoperpendicular ao plano 7T

f- 'M / x ~ PROVOCA ROTAO EM ITORNO DA DIREO x. IM lx ~ PROVOCA ROTAO EM :TORNO DA DIREO y. IM / x ~ PROVOCA ROTA~O EM ITORNO DA DIREAO z.Ily

-----------./ Mil' /1/ / II / I

II

M ix :~=------::.....J :.._;/ IlxI I I_ M !,: . /

/lz

v :Momento de uma fora Fi em torno de um eixo genrico

PLANO .k.AO EIXO v EIXOv

P

PLANO!}di

fora Fi: tem uma direo qualquer no espaoF' i= projeo de Fi no plano fiO plano fi perpendicular ao eixo vdi = distncia do ponto P linha de ao de FiP = ponto de encontro do eixo v com o plano fiO momento de Fi em relao ao eixo v dado por:Mv(FJ =Fi .diDevemos notar que se a fora paralela ao eixo. noprovoca momento em relao a este eixo, pois a projeo

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desta fora sobre o plano perpendicular ao eixo se reduz a umponto, tendo portanto valor nulo. (

P

F; Iivixov

: F'j = 0,0PLANOn

PLANonkAO EIXOv

3. CLCULO DE REAES DE APOIO EMESTRUTURAS ISOSTTICASPara calcular os esforos que os vnculos externos intro-duzem na estrutura, procedemos do modo seguinte:a. Aplicamos sobre a estrutura o sistema de esforosexternos, que poder ser constitudo de foras e momentos, eretiramos os vnculos externos, substituindo-os pelos esfor-os que introduzem na estrutura.Estes esforos podero ser foras ou momentos, con-forme o tipo de vnculo.b. Quanto ao sentido dos esforos que os vnculos intro-duzem, inicialmente ser adotado arbitrariamente.c. Aplicamos a todo o conjunto as equaes de equilbrioda esttica, obtendo um sistema de equaes que, resolvido,nos fornece o valor dos esforos introduzidos pelos vnculos.Os valores destes esforos podero resultar positivos ounegativos, sendo a seguinte a interpretao de sinais:O esforo que resulta positivo tem seu sentido verda-deiro coincidente com o adotado.O esforo que resulta negativo tem seu sentido verda-deiro contrrio ao adotado.d. Observao:Se ao invs de um sistema de esforos externos temosaplicado estrutura uma variao de temperatura, eprocedendo conforme foi exposto, resultar valornulo para as reaes de apoio.Por exemplo:

I Fxi = 0,0 :. HA = 0,0IFYi = 0,0 :. VA +VD = 0,0 :. VA = - VDI MA = 0,0:. HA (0,0) +VA (0,0) +VD' e = 0,0:. VD = 0,0:. VA =0,0Diagrama de estado, relativo a um determinado esforosolicitante F j o o grfico que representa a variao desteesforo solicitante ao longo da estrutura.

A

DAGRAMA DE F j

A ordenada 'Y /s representa o valor de F, que age na secoS.4. DETERMINAO DE DIAGRAMAS DE ESTADOPara determinar os diagramas de esforos solicitantespara uma estrutura devemos conhecer o sistema de esforosexternos aplicados (foras e momentos) e os esforos intro-duzidos pelos vnculos.Como os esforos solicitantes so esforos internos, so-mente podem ser evidenciados atravs de cortes tericos naestrutura.Para determinar os esforos solicitantes em uma secogenrica S, em uma estrutura procedemos como segue:a. Cortamos teoricamente a estrutura nesta seco. Re-sulta ento que a estrutura ser separada em duas partes.b. Retiramos uma das partes e transportamos para a

B dt, C B dt, C

h, }_/ ~D L vL HA L Ae y~,

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- o de corte (seco S) todos os esforos que agem sobre ae retirada.Transportamos assim todos os esforos externos (forasomentos) e esforos dos vnculos, resultando ento naS, onde foi efetuado o corte, o efeito da parte da.:~ que foi retirada.z: Os esforos que resultam na seco S, pelo transporte- - "'" foros do item anterior, representam os esforos solici-- - na seco S.Pelo transporte dos esforos que agem na parte retirada,os como conseqncia foras e momentos na seco Sfoi efetuado o corte terico.d. Para obter os esforos solicitantes, considerando umgeral, devemos proceder como segue:- Determinamos para a seco transversal da barra,_ rrespondente seco S, o centro de gravidade e as dire-_ y e idos eixos principais centrais de inrcia.

CG ~ CENTRO DE GRAVIDADEx ~ EIXOLONGITUDINAL

- Considerando uma fora genrica F que tenha sidorransportada, esta dever ser decomposta nas trs direes x ,s .:,fornecendo:

IF IIIIIIIII

- I /---..1/

Fs = fora normal = N (tem direo perpendicular aoplano da seco transversal) .Fy = fora cortante na direo y = Qy(age no plano daseco transversal)Fi = fora cortante na direo i= Qi (age no plano daseco transversal)- Considerando um momento genrico M que resultatransporte dos esforos, este dever ser representado poretor M e ser decomposto nas direesx, y , i,resultando:

-- _ / -;1IIIIII

Ms =momento de toro (age no plano da seco trans-versal)Mt=momento fletor (age no plano perpendicular sec-o transversal e cujo trao y)My = momento fletor (age no plano perpendicular sec-o transversal e cujo trao i)Estes momentos tero os sentidos seguintes:

Conveno de sinais: Como conveno clssica de sinaispara os esforos solicitantes, devemos adotar:Para a fora normal: NN =(+) : quando de traoN = (-) : quando de compressoPara a fora cortante: QQ (+) quando tende a girar a seco no enridohorrioQ (- ) quando tende a girar a seco no enridoanti-horrioPara o momento fletor: MM = (+) : quando traciona as fibras inferiore da otransversalM =(-):quando traciona as fibras superiore da setransversal


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No caso em que esta conveno no se aplica, pode seradotada uma conveno particular para cada caso.O diagrama de momento fletor dever ser desenhadocom as ordenadas colocadas no lado em que o momentotraciona.Para o momento de toro MT' no h conveno cls-sica, devendo ser adotada em cada caso uma conveno par-ticular.Observaesa. Quando aplicamos a uma estrutura isosttica somenteuma variao de temperatura, como as reaes deapoio resultam nulas e no h esforos externos apli-cados, todos os diagramas de esforos solicitantesresultam nulos.b. Para determinar esforos solicitantes nas estruturashiperestticas, adotamos o mesmo procedimento in-dicado para o caso das estruturas isostticas.Porm, nas estruturas hiperestticas, somente aaplicao das equaes da esttica no suficientepara resolver a estrutura, devendo ser completadaspor equaes de compatibilidade de deformaes.c. Ainda no caso das estruturas hiperestticas devemoster em mente que, quando aplicamos estrutura so-mente uma variao de temperatura, os esforos soli-citantes podero ser diferentes de zero, o que geral-mente ocorre, devido interferncia dos vnculos hi-perestticos (externos ou internos) com as deforma-es devido temperatura.d. Para determinar o valor do momento fletor mximo,devemos levar em conta que no estudo do equilbriode um trecho de comprimento infinitsimo, perten-cente estrutura, temos:

q1 1 1 1 1 1M( ) "+d .

a f a +dadx,rExaminando o equilbrio deste elemento, temos:

Q - q . dx - (Q +dQ) = 0,0:. dQ = - qdx(M +dM) - M +q . dx ( d2X ) - Q . dx = 0,0Desprezando os infinitsimos de ordem superior,resulta:

dM =QdxConseqentemente, quando temos somente carrega-mento distribudo sobre a barra, o momento mximo se donde a fora cortante se anula.Analisando a estrutura dada a seguir para a qual temos notrecho AB tambm uma fora concentrada, com um esquemade carregamento do tipo:

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P, P,

~8jC

Na pesquisa do momento mximo no trechoAB, depen-dendo do problema, poderemos ter as trs situaes:l.ocaso:

a

M

2.0 caso:

3.0 caso:

a

"M

- - - - - - - - ~- - - - - - - - - - - - - --- -- --- --


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Solicitantes ~~7 eI fr b ka: MI (It ~~! p

I p. aM- e e

Pae

M"'\A~F====e=====Z4I

Pabe

~2 Me+

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2- Viga embalano

A~~======:l[- f e ~

p.( ! p{F I ======.J

+o- - - - -

x,

+

Q. = ~b ( c ++); Q. = _ ~b ( a ++)M e = q ~ a ( c ++); M D = q ~ C ( a ++)

Q ( Xo - , a vo = a + + : . M o = Q. Xo - q JM~

~ l: r+ e t- A!M 4~i r1 ~

Me

'=====~B~- - - - - - ~( - - - - - - - - - '~

792

p

p

p.(


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~B_I e IQ "'ijF======\

- I e ~

f V l r : Mt ; =1 =====~0,0

ZERO@qe

@ M

@ qt'2

~ B~1A~ e ~

M( M~i@ ZERO


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794

D 1 I I m J . - B~~A l I a IbaI bqb ( a ++ )-: a (b ++) D 1 I I m J ~r. l . ba qb+

+.o- - - - - -tU

q. a'-2- ~ 2

\


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Parte 1

Vigas e Prticos

1. Determinar os diagramas de esforos solicitantes para b.vigas seguintes:a.

A~ z

x

2t 2x\12tI o,~ 0,0A c::=3- (t1Ie::::::============~B~2t

~A x B v .2x

I

2,0 tlm

AX ~~;2 t::::=='=='=~x 0,0 B2 x . x/2 /,2x2,0 tlm

- =0,0= -2,0 t (gira no sentido anti-horrio)-f = -2x (traciona a fibra superior) Q =-2x

M = - (2x) . ..:....= - x22MB =_ pf22QB = -pfN =0,0

AM(tm) Q(t)~

~6,0

Diagramas:6,0,. ;;;; ;J ,-L .... I. . . .J .-L .. . .I ....J .-l... J . ...... j . . . .L .... J ....... j ....L .. . .J . ...... j . .",J B

J ,3,0

MB = -2,0 . 3,0 = -6 tm~9.0M(tm)~

A B


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o diagrama construdo por pontos. Trecho AC: (0,0 ~ x ~ 1,0m)c.iP=2t ~

'" = : := 1 1 ] 1 = = = = = = = = = 2 = m= 1 BQ =0,0M =0,0N =0,0

Trecho CB: (1,0 ~ x ~ 3,0 m)Q = -2,0 (x - 1)ou Q = -2x' sendo x' = x - 1,0

(x-1) x'M = - 2,0(x-1) --ou M = - (2x') _ = - (X')22 2N=0,0

Trecho AC: 0,0 ~ x ~ 1,0m Q(t)

~

BA _4,0

~,AQ = 0,0M = 0,0N =0,0

M(tm)

Trecho CB: (1,0 ~ x ~ 3,0 m)b2MB = - ~ sendo b = 2,0 m2

e.r t2(x-1) ( i : : : : : : : ! ========1,31m(~=~=3=m ==1,

x

I ,=~2,0 tM=-2,0(x-1)ouM=-2,Ox' sendox'=x-1,0N=0,0QW A B--cIIilEJ IIJ 2,0 Q =0,0M =-3,0 tmN=0,0- - -n1Tl4,0M(lm)~d . M(tm)DJII.rn.ITIJ 3,0

lmc~'~x~

f.A ! FI 2tm I : 2m 1m

121 2tm I : x i G Jx'A !79 6


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recho AC: (0,0 "" x "" 2,0 m)=-_ t-=0, 0= - 2xx = O ,Op MA- = 0,0--- x = 2,0 I? Me = -4,0 trnrecho CB: 2,0 "" x "" 3,0 m

-=0 ,0=2 t x' = 0,0 .'. M = -2,0 tm= -4,q +,2,0 - 2X' ==-2,0 '- 2X' x' = 1,0 .'. M = -4,0 tmo x' = x - 2,0

A BQ(t) 0 I I I I I I : ' J I [ ] ] 2 . 0

~

.O4.0

M(tm) A C 2 . 0 B

= _ O= - qz'x

Como~= 2,0x 3,01 2x x2=-"--'x=-233


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i. Observao:O problema pode ser resolvido por superposio.

ft 1 3tA- : -"-"C1' - - - - , , - S_=2 m _ l c

Trecho AB: 0,0,,;;; x ,,;;;1,0 mN =0,0Q =-2,0 tM =2X -lo

S

x'>-------.

~

t2tm C CS x' "

Trecho BC: 1,0,,;;; x ,,;;;3,0 mN =0,0Q =-5,0 tM = ~2 '- 5x' sendo x' = x- 1,0Na seco B para a fora cortante h uma descontinui-dade

A S C2,0 I T I I D U I J J l l J i l l 5 OO(t)

r t I, I!::====S===== "Cj 3t IA===S=======" C

O(t)

1 1 I I I I I I t i I I I I I I I 12,0; 0JJJRIIrn3,0I I I I I hTTTInTTn~5,0~ 6 , 0

: ----nl16 O~

12,0M(tm) .=- l.....L .. I .... J ..- I ... J ....L ... J ..... l. .- L ... L .... I . .- l.- I ....

S C2. Determinar os diagramas de esforos solicitantes paraas vigas seguintes:a .

. . . . . - - _ l 6 . 0 ' f 6 , 0~A .. ==========:;t" H~=======2.0 m , = = = = = = = l'O m L :1 v .M(tm) ",,"- .J . ....L - l. . . .L .. J .. .. L .J .... J .... L .. J . .... L ... I . . . .J .... L .. J .... I .... JA

,r 2,0 m 1< 4,0 m798

v .


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,I Fxi = 0,0 . . HA = 0,0IF)Ii=O,O .. VA+VB-6,0=0,0I MA= 0,0 .. VB 6,0 - 6,0 (2,0) = 0,0VB =2,0 t {VA =4,Ot

tz i2 'O t

No trecho AC: 0,0 ~ x ~ 2,0 m{ N = =.4:0 tM = 4x na seco C, esquerda: x = 2,0 m{ Q = 4,0 tM = 4,2 = 8,0 tmNo trecho CB: ,2,0 ~ x ~ 6,0 m

. - = 0,0 portanto na seco C, direita: Q = -2,0 tQ = 4;0 - 6,0 = -2,0 t.1=4x-6(x-2)ara x'= 2,0 m . . M = 4 . 2- 0,0 = 8 tmpara x = 6,0 m :. M = 4 ; 6 - 6 (6 - 2)= 0,0 tmObservao:Para estudar o trecho CB, podemos comear partindo do'oB.'M = 2 x 'I Q =-2,0 t. = 0,0 x ' =0,0 mx ' =4,Om M = 0,0M = 8,0 tm

4,0Q(t)

LL...Ll-L..!-.LJLLLLLJ 2,0

2,0 t/rnA l i li11110 111!1:k4,0 m '

clculo das reaes de apoio

IFxi = 0,0I F)Ii = 0,0IMA = 0,0

:. HA =0,0{ VA +VB - 2,0 (4,0) = 0,040:. V B 4,0 - (2,0)(4,0) . -' '_ = 0,02portanto VA = VB = 4,0 t

~,O t~4 ,O tf----xN = 0,0

Q = 4,0 - 2x I x= 0,0ex = - = 2,0 m2 .x = e = 4,0 m Q =4,0 tQ =0,0Q =- 410 tx2M = 4x - 2 _ = 4x - x22

~=0,0 mx = 2,0 m=4,0 m

M'=0,0M=4 '2-4=4tmM =0,0

4 t.m

c.

6 ,0tm (A==============;l B:L 4 ,O m ~clculo das reaes de apoio


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6 ' 4 0tmA B ~~._~======:=:::::I < l xHAVA V.

};F..= 0,0 :. H A = 0,0} FII = 0,0 :. VA +VB = 0,0}; MB =0,0 :. ~ VA (4,0) =0,0Vy-VB =1,5 t~

6.0tmt x ~ Ij;:: :==1'5tr 5 t

N =0,0Q =1,5 t{X = 0,0 m M = -6 tmM =-6,0 +1,5x x =4,0 m M =0,0

Q(t) _1,5'~,0

M(tm)

d.

A 6,Olmr">. B

3,Om

Clculo das reaes de apoioy

x

6,OtmHA A ,....., B-!=k==========~3,O~t==='jL.

}; F,ri =0,0 ..} FII =0,0 ,.IM A =0,0 .. HA - 3,0 = 0,0 .. HA = 3,0 tVA + VB =0,0VB (4,0) +6,0 = 0,0VB = -1,5 t VA = +1,5 t

3,01H11,51~

x'6,OlmH1' B

3,01 1 1,51- - x - - '800

Trecho AC: 0,0 :s;:x :s;:3,0 mQ =1,5 tM =1,5 x {X =0,0 m M =0,0x = 3,0 m M = 4,5 t-rn (seco C esquerda)N =-3,0 tTrecho CB (partindo do apoio B): 0,0 :s;:x' :s;:1,0 m

Q =1,5 tN=0,0M =-1,5 x' {X' = 0,0 m M = 0,0x' = 1,0 m M = -1,5 t-rn (secoC esquerda)ObservaoPodemos determinar os esforos partindo do apoio A3,0:s;: x:S;:4,0 mN =-3,0 + 3,0 =0,0Q =1,5 tM =4,5 - 6,0 + 1,5 (x - 3) =-1,5 + 1,5 (x - 3){X =3,0 m M =-1,5 t-rn (seco C direita)x = 4,0 m M = 0,0

Q(t) U 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ij 1 1 [J]] 1 1 ] 1 1 1 1 O J 11,5C

A~5M(tm) ~B4,5

e.

~4.~(Ot/m:t~6,0m

Clculo das reaes de apoio

y +

+x


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1.Fri = 0,0 .. HA = 0,01.Flri = 0,0:. VA +VB _ 4,0(6,0)2I M A = 0,0 :. VB (6,0) _ (4,0~6,0)

{ V A =8,0 tVB =4,0 t

=0,02- (6,0) = 0,03

~" 4,0 tlm0,0 A4 ,O t l ~ : O t

~=0,0q , x : . q , x = ~ . X = 2xX 6 3

Q = 4 O - ~ = 4 O - 2x . ~ = 4,0 -~, 2 ' 3 2 3_1 = 4,0 X - ~ ~ = 4x _ ~ . X2 3. 3 2, X3

x3=4x -- 9x2para Q = 0,0 :. 4 - - = 0,03

_1M (3,46)2:.X = v2 = 3,46m:. Mmx.4 3,46 - --9-=9,25 tm

)

4'0~ - 8,03,46 m 3,46 mI I I , 9,25. M(tm~

_. Determinar os diagramas de esforos solicitantes para

c r t 2,0 tlm~- =====;~2,5 m f 4.0 m ,~ .

Clculo das reaes de apoio1 Fri = 0,0 :. HA + 3,0 = 0,0 :. HA = -3,0 t~ FJIi = 0,0 :. VA +VB - 2,0 - 2,0 (4,0) ~ 0,0~ I A = 0,0 :. 3,0'(0,0) + 2,0'(2,5) + VB(4,0) -- (2,0) '(4,0) . (2,0) = 0,0

VB = 2,75 tVA = 7,25 t

3,Ot

+-- x ~~x~ - - ~

Trecho CA: 0,0 : o ; ; X : o ;; 2,5 mN =-3,OtQ = -2,0 tM = -2x { X = 0,0 m M = 0,0X = 2,5 m M = -5 trnTrecho AB ( mais interessante comear pelo apoio B)0,0 : o ; ; X I : o ; ; 4,0 m -N = 0,0

{Xi = 0,0 m Q = -2,75 tQ = -2,75 + 2 X' x' = 4,0 m Q = 5,25 tM = 2,75 x ' - 2 (X ')2 = 2,75 x ' _ (X ')22Poderamos tambm determinar os esforos solicitan-tes partindo da extremidade C, e ento teramos: 2,50 : o ; ; x

: o ; ; 7,50 mN = -3,0 +3,0 = 0,0Q = -2,0 +7,25 - 2,0(x - 2,5) = 5,25 - 2,O'(x - 2,5)para x = 2,5 m Q = 5,25 t (seco direita)M = - 2x +7,25 (x - 2,5) ~ 2 (x - 2,5)2 2o momento mximo ocorre onde a fora cortante seanula.

N(t) 1 I E l I J 1 . . . 3_ ,0_ - -= Z :.:E .:...:.R O :: ::.- _ BC AQ(t)

2,0~LLJ L..J - 2,75

4. Determinar os diagramas de esforos solicitantesa viga:


21/30

2,01 i : f f iI 1,Otlm 1 1'01 ~. A OIII I I I I I Je @ xC ~ t---i. 4,01V. I v .

J 3,0m 5,0 m , 2,0 m ,

Clculo das reaes de apoio1,0112'0 I

4,0ID

~ 3,0m 5,0 m I2,0 m I

IFXi=0,0 ..IFyi=O,O .. HA + 4,0 = 0,0 .. HA = -4,0 tVA + VB - 2,0 - 1,0 - (1,0)(5;0) = 0,0IMA = 0,0:. (2,0)(3,0) + VB (5,0) + (4,0)(0,0)

-(1,0)(7,0) -(1,0)(5,0). (5;0) = 0,0VB=2,7tVA =5,3 t

1,0I2,0 I4,0Ie D

2,7 Ir 2,Om f

c 4,0I5,3I

~--


22/30

3,3t 1,7t 1,0tIDs . o m. , ,"o l , "m* \ - 4,Ot B"T' 4,Otr 2,Otm 12,7t5,3t

1,0Q(t) C . - - - . , . . . . , . . - . - + - I . . . . . . . . . J . . . . I . . . . . J " " ; ; ; ; . . . , , . , . . . . , . . . . , . . . . , . . . . , - : : : - L -. . . . . .. . I . . . . , j2,0

M(tm)

N(t)

::, Determinar os diagramas de esforos solicitantes paradada:

1,0ttm12,Ot

8,0~ ~\ XOt~2,OtmI 5,OtE

~ C ~ D 1 tl 1 , 0 m ~~ 4-'-,0_m ~~_2'-,0_m_ ~ 2,Om 1A =Articulao B =Apoio simples

Clculo das reaes de vnculo3,0 tl4,0 112,0t ""'\ 1~8,Otm) ~2,Otm, ' ~ t~l ~~rr=========================================~~Ot= 1 v.~~1-'-,0_m~t- ----'4,_0~m ~t-----'2,_0_m_ ~~ 2,0m J ~ . .

I Fxi = 0,0 " H A - 1,0 +5,0 == 0,0 " H A = -4,0 tI FYi = 0,0 .. VA +VB - 4,0 - 12,0 - 3,0 == 0,0 " VA +VB =)9,\0 tI MA = 0,0 .. 4,Q, 1,0 + 8,Q - p,O ' 4,0 ++VB ' 6,0 ...:3,0 ' 8,0 - 2,0 ='0,0" -62,0 +VB ' 6,0 = 0,0.. VB = 10,33 tVA ;", 19,0 - 10,33 = 8,67 t /

803


23/30

Trecho C-AeSQUerda:0,0 "" x, "" 1,0 mN =1,0 tQ =-4,0 tM =-4,0 x,Na seco A esquerda: (x, := 1,0 m)N=+1,0 tQ = -'4,0 tM =-4,0 tmNa seco A direita: (x, := 1,0 m)N = + 1,0 + 4,0 = 5,0 tQ = -4,0 + 8,67 = 4,67 tM = -4,0 tmTrecho Adlrelta - DeSQUerda:,0 "" X2 ::;; 4,0 mQ =+4,67 tN =+5,0 tM =-4,0 + 4,67 X2Na seco D esquerda: X2 = 4,0 m .. M = 14,67 tmNa seco D direita: Q =+4,67 - 12,0 =-7,33 tN = +5,0 tM = 14,67 - 8,0 = 6,67 tmTrecho Ddlrelta - BeSQUerda:0,0 "" X3 "" 2,0 mQ =-7,33 tN = +5,0 tM=6,67 - 7,33 X3Na seco BeSQUerda:X3 = 2,0 m :. M = -8,0 tmTrecho Bdlrelta - E: 0,0 "" X4 "" 2,0 mN =+5,0 tQ = +3,OtM =-2,0 - 3,0 X4Seco Bdlrelta X4 = 2,0 m .. M = -8,0 tmSeco BesQuerda {M = -8,0 tm ",N =+5,0 t .Q = +3,0 - 10,33 = -7,33 tConfirmando os resultados:Trecho BeSQUerda Ddlrelta: 0,0 "" X5 "" 2,0 mN=+5,0 tQ = -7,33 tM =-8,0 + 7,33 X5Na seco Ddlrelta: X5 =2,0 m .. M:= 6,67 tmNa seco DeSQUerda:N =+5,0 tQ = -7,33 + 12,0 = 4,67 tM :d 6,67 + 8,0 =14,67 tm

804

c liA liBN(I ) 5,01'0~~~~~~LL~~~LLLL~~~~LL~~~

4,0Q(I)

8,0

6. Determinar os diagramas de esforos solicitantes paraa viga dada.1,0 t/rn 13,0I 1,0 t/rn

4,0I mn t nTTl- i ; i / . : =====~L ) r .=B ; ===; ;; C ====A : ~D ======2 E

J 2,0 m J 2,0 m , I 4,0 m J 2,0 m-t

Ao invs de comear pela determinao das reaes devnculo neste caso, faremos pelo equilbrio dos trechos:Trecho A-BesQUerda

1,0 t/rn

4~ r:::=====::::jA 2,0 mQaesq.

IFxi = 0,0 .. 4,0 + NB = 0,0 .. NB = -4,0 tIFYi = 0,0 .. - (1,0)(2,0) - QBeSQ== 0,0 .. QBeSQ= -2,0 t(2,0)IMB = 0,0:. (1,0) (2,0) -- + MB = 0,0:. MB2

=2,Otm

1,01/m~ 2,01m

4~ t * * * t \ ~O IAI--- B 1 Jx,2,01

E

3,0

2,0


24/30

" 0 i r ~tm~

I FIIi = 0,0:.


25/30

7. Determinar os diagramas de esforos solicitantes paraa estrutura:1,01F

1,0mA B E

3,Om2,012,01 D

3,Om 2,0 m

N(I)1 ,O L-L--L-.l':=L-L-l-li

2,0

0(1)2,0L.......I.---'---'--'--'----r'--1----~

3,0M(lm)

8. Determinar os diagramas de esforos solicitantes paraa estrutura:D c

4,0 m

O

~/N 1 > o5,0

O B

5,01

806

Trecho ACN =5,0 sen aQ = 5,0 cos aM =5,0 (R sen a) 15,0 sen aTrecho CDN =0,0 tQ =5,0 tM =-5,0 tmDiagramas:

0(1)

M(lm)20,0

N(I) ZERO

A"1

5,05,0

9. Determinar os diagramas de esforos solicitantes paraa estrutura:

2,Otm~E

2,Om 2.0 m


26/30

Clculo das reaes de vnculo

4'O_t_~,============~=o=t=m========i ~I v . I v .x2 Fxi = 0,0 .. 4,0 + HB = 0,0 HB = -4,0 t2FYi=0,0 .. VA+VB=O ,O2 MB = 0,0 .. -4,0 (1,0) - 2,0 - V A (4,0) = 0,0.. VA =-1,5 tV B = 1,5 t4,Ot

2,Ot.m~!VA=1,5t

E

Foras cortantesTrecho CDQc =4,0 tTrecho DAQ = 0,0Trecho ABO A B =-1,5 t

co ZERO A

Foras normaisTrecho CD: N =0,0Trecho DA: N =-4,0 tTrecho AB: N = -4,0 t

Momentos fletoresTrecho CD: M =4 x,Para x, = 1,0 m :. MD = 4,0 mTrecho DA: M =4,0 tm

o ~ - -- - -- ~ -- - -- - ~

o momento de 4,0 tm funciona como um momento ex-terno aplicado em A, resultando:Trecho ABMA =4,0 tmentre A e B:M =4,0 - 1,5 X2 entre A e E

BA

em E esquerda: MEesQ = 4,0 - 1,5 . 2,0 = 1,0 tmem E direita: MEdir =1,0 + 2,0 =+3,0 tmseco B: MB = 0,0

1,5t verificao: entre E e BM :: 4,0 - 1,5 X2 + 2,0 = }- 6,0 - 1,5 X2 MB = 6,0 - 1,5 . 4 = 0,0para X2 = 4,0 m

M(tm) c

B

3,0

~ 10. Determinar os diagramas de esforos solicitantes__ '--L -J '------ ''- - - - - -'- - - - '- - - - '- ---- L - - - -L- - - -L- - - -'- - - -- '---- -' ----- '------ '------ '- - - - -'- - - - - - ' - - - - - -'- - - - - -'- - - - - -' .. ; viga:


27/30

1 2 . 0 tD

sen 37 =0,6cos 37 =0,8Trecho CD

1/ .D /1~2t-.>x, I

I,I- L.x

N =-1,2 t (compresso)Q =1,6 t{Xl = 0,0 :. M = 0,0M =-1,6 x, x, =1,25 m :. M =-2,0 tm

ou ento podemos fazer:{X = 0,0 :. M = 0,0X =1,0 m :. M =-2,0 tm= -2,0 X

Trecho CB

1.0 tlm

-~B

N =-2,0 t (compresso){ X2 =0,0 :. Q =0,0X2 = 1,0m :. Q = 1,0t=I ,Ox2

808

X2 x~M = - 2,0 - 1,0+ - 2,0 - -2-{

X2 =0,0 :. M =- 2,0 trnX2 = 1,0 m :. M = - 2,5 tm

Trecho EB

11.2t

1.6t EB ----lx,

N=1,6 t (trao)Q =1,2 tM = -1,2 Xa { Xa =0,0 :. M =0,0Xa =1,0 m :. M =-1,2 tmTrecho AB j3.2 t~ ~7tmJ I....-- __ + -- I F.. I B 2.6tA ~entre B e FN =2,6 tQ = 3,2 t 'M = -3,7 - 3,2 X4 { X4 =0,0 ..X4 =1,0m M =-3,7 tm:. M =-6,9 tmM F direita =-6,9 tmM F esquerda = -6,9 +5,0 = -1,9 tmentre F e A

~A

3.2 t I.~tm-. EI 2.6tx,

N =2,6 tQ = 3,2 tM = -1,9 - s. a x, {Diagramas:

Xs = 0,0 .. M = -1,9 tmx, = 1,0 m :. M = -5,1 tm

D

2 .6:: .u.J .J -L JL ... . t:LL L l. .L L ~t- 7.. .J ..J J .. J .:J .~A


28/30

I

1,0

5,1

11. Determinar os diagramas de esforos solicitantesa estrutura da figura:

5,01mB

EF q1,0 m J . 3~2,0 m 1,Om ~~

Trecho CD2,0 I~ \\1,61 \0/

~

' J { < ' 1,21~?x,37--- -----c=-1,2 tQ =1,6 t

M =-1,6 x, {Xl = 0,0 :. M = 0,0x, = 1,25 m :. M = -2,0 tm

Trecho CB

1,01/m

N = -2,0 tM = - 2,0 - 1,0 x~ = - 2,0 - 0,5 x 2{ Xz =0,0 :. M =-2,0 tmX2 = 1,0 m :. M = -2,0 - 0,5 = -2,5 tmQ 1 { X 2 =0,0 :. Q =0,0= , X2 X2 = 1,0 m :. Q = 1,0 tTrecho HE

E

~

~O ... a\..-""'"'" ~

" - ~ 3, O sen '", '"3,0 cos '"

N = -3,0 sen aQ = 3,0 cos aM =-3,0 R sen a =-1,5 sen aTrecho EBB

X, IE. . 3,0 I -::1,51m

N = 3,0 tQ =0,0M =1,5 tm

Trecho BA~ ~

5,01m 12'01 1,0

~Ar=> . .B 3,0j 1,Om L 1,Om l


29/30

I Fxi = 0,0 :. 6 + 6 - HB = 0,0 .. HB = 12,0 tIFyi=O,O:. VA+VB-10,0=0,0I M(B) = 0,0 :. VA 10,0 - 6,0 . 3,0 - 10,0 . 5,0.+6,0. 3,0 = 0,0VA 10,0 - 18,0 - 50,0 + 18,0 = 0,0 :. VA = 5,OtVB = 10,0 - 5,0 = 5,0 t :. VB = 5,0 t

Trecho IAN= 3,0 tQ =2,0 tM = 2,0 - 2,0 x, { x, = 0,0 .. M = 2,0 tmx, = 2,0 m :. M = 0,0 tm

~~~6~ O~m~_{~ __6~ O_m_ ~

Trecho BI o"o3N=3,0 tQ =2,0 tM =-1,0 - 2,OX4 { X4 = 0,0 ., M = -1,0 tmX4 = 1,Om :. M = -3,OtmDiagramas:

D a. Clculo das reaes de vnculo:

0(1)

~tX lliL .CD = v '(10)2 + (6)2 = VI36== 11,66 tcos a = 10,0 = 0,85711,65 sen a = ~ = 0,51411,65 .

3,0- F

G

b. Determinao dos esforos solicitantes:

12. Determinar os diagramas de esforos solicitantespara a estrutura da figura:

A

E-12,01-1 5 , 0 I

810


30/30

Trecho AC

c

1~~1 , 0 ' x . ' > - 1 5 , 0 12y,

f5 'O 1_- = -5,0 tQ = -1,0 Y I = - Y I { Y I = 0,0 .. Q = 0,0Y I = 6,0 m :. Q = -6,0 t

{ Y l = 0,0 .. M = 0,0Y I = 6,Om :. M = -18,OtmTrecho CD

18,01 .2 0 \ > 9 ~

~\""'''\\1~Olm7 1~l. 1,201I '1- ' '-. :., x,/ x"-2

7,72 1 \ 1,201,,",,0=2,571

.-=-7,74t= 1,20 - XI {Xl = 0,0 :. Q = 1,20 tXI = 11,66m :. Q = -10,46 t= - 180+ 12OX _ (Xl)2, , I 21= 0,0 .. M = - 18,0tm1=11,66m .. M=-72,OtmQ = 0,0 . . 1,20 - XI = 0,0 . . Xl = 1,20'm

~Imx = - 18,0 + 1,20 . 1,20 _ (1,20)22= - 17,28tm

ho BDeando pelo apoio B

-=-5,0 t=12,0 t=-12 Y 2 { X2 = 0,0 .. M = 0,0X2 = 6,0 m :. M = -72,0 tm

y,

72,Otm

~~\.0, \ f : ) .

~

\. D.12,OI"'2 , '" ~ ~~ a /~,171

4,295,0112,01

10,46 7,72

5 , 0

13. Determinar os diagramas de esforos solicitantespara a estrutura da figura:

! 2 ' O 1D 1,0 t

A B

j~_-=2:.!.:,o:..::m,,--_:--_--=2-'-",o_m_ ,- l

Clculo das reaes de apoio- como a barra AB biarticulada e no h carrega-mento externo aplicado ao longo de seu comprimento, a rea-o RA tem a direo da barra.

Teoria das Estruturas - volume 3 - Exercícios - parte 01

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