TEORIA DAS ORIENTAÇÕES (ANALÍTICA/DIGITAL) Introdução · Restituição Fotogramétrica...

unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA - CAMPUS DE PRESIDENTE PRUDENTE ______________ _____________________________________ FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA

____________________________________________________________ Restituição Fotogramétrica Analítica: Fotogrametria - II

Júlio Kiyoshi Hasegawa

Sem revisão - Provisória

1

FOTOGRAMETRIA II

(notas de aulas)

TEORIA DAS ORIENTAÇÕES (ANALÍTICA/DIGITAL)

Introdução


Presidente Prudente

2016





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Orientação Fotogramétrica – Analítica/Digital

SUMÁRIO

1. Introdução ........................................................................................................................ 3

1.1. Câmaras fotogramétricas ..................................................................................................... 4

2. Considerações iniciais ..................................................................................................... 5

2.1. Medição das coordenadas ................................................................................................... 6

2.1.1. Observações nos comparadores ................................................................................... 6

2.2. Observações ........................................................................................................................ 7

2.3. Métodos de orientação fotogramétrica analítica/digital ......................................................... 8

3. Equações básicas utilizadas na orientação fotogramétrica ........................................... 12

3.1. As equações de colinearidade ........................................................................................... 12

3.2. A equação de Coplanaridade ............................................................................................. 18

4. Termos técnicos ............................................................................................................ 21

5. Sistemas de Coordenadas ............................................................................................. 22

5.1. Sistema de Coordenadas do espaço imagem .................................................................... 22

5.2. Sistemas de coordenadas Terrestre ................................................................................... 23

5.3. Sistemas de coordenadas arbitrários ................................................................................. 24

6. Referências Bibliográficas ............................................................................................. 27





3

1. Introdução

A restituição fotogramétrica produz o primeiro esboço de um mapa, produto este

que tem como função à transferência de conhecimentos, idéias e informações acerca de

uma região, realizando a interface entre o mundo real e o homem por meios indiretos.

Dessa forma, as técnicas fotogramétricas de produção de mapas que têm a

preocupação de produzir resultados (rigorosamente) precisos dos pontos no espaço

objeto, foram desenvolvidas e popularizadas com o desenvolvimento dos restituidores

fotogramétricos.

Genericamente, podem-se classificar os instrumentos restituidores em: analógico,

analítico e digital. Os instrumentos analógicos (Figura 1.01) realizam a reconstrução da

superfície física projetando o feixe de raios perspectivos, por meio de componentes

óticos, mecânicos ou óticos-mecânicos. Os processos de reconstrução utilizado nos

instrumentos analógicos tendem a provocar erros devido ao uso, desgaste dos seus

componentes, ainda, a operação do instrumento depende exclusivamente de um técnico

especializado.

Segundo Slama (1980) uns dos primeiros restituidores desenvolvidos para

aplicações aéreas datam de 1906, com domínio de aproximadamente de 70 anos (1900 a

1970) projetado por Gasser, cujo instrumento tinha um sistema de projeção óptica. A

execução produção de mapa pelos restituidores analógicos, com passar dos tempos, tem-

se mostrado lentos e custosos, e muito limitado na hora da utilização pelos distintos

usuários. Entretanto, os instrumentos analógicos ganharam uma sobrevida com as

Figura 1.01: a) Restituidor Analógico Wild B-8; b) Modelo esquemático do Wild B-8





4

adaptações dos servos-motores e encoders conectados a computadores através de

interfaces, possibilitando assim, a conexão direta com sistemas gráficos. Esta adaptação

permitiu uma melhor comodidade operacional, observando aqui que, não houve uma

transformação de instrumento analógico em analítico, pois a reconstrução do terreno se

processa mecanicamente.

Num restituidor analítico (Figura 1.02), a projeção dos feixes perspectivos na

reconstrução é realizada matematicamente, eliminando assim, os erros provocados pelos

seus componentes mecânicos ou óticos, pois são poucos. A operação do equipamento,

menos complicada, depende ainda, de um técnico (menos) especializado. Os produtos

gerados, as informações, por serem numéricas tornam-se mais flexível e maleável na sua

utilização.

1.1. Câmaras fotogramétricas

A mais simples e primitiva câmara que representa com maior fidelidade às

considerações da óptica geométrica é a de pinhole, conhecida como câmara de orifício ou

buraco de agulha, que é uma caixa hermeticamente fechada com um pequeno orifício.

Este dispositivo, teoricamente, deixa passar os raios de luz provenientes dos pontos

objeto, projetando a cena invertida no plano oposto ao do orifício, produzindo uma

imagem sem aberrações e sem distorções.

Entretanto, esta câmara deixa passar pouca luminosidade pelo pequeno orifício,

tornando-a extremamente lenta, incapacitando-a para a maioria dos trabalhos

fotográficos. Com a finalidade de eliminar este problema, usam-se lentes para aumentar a

Figura 1.02: Restituidor analítico.





5

quantidade de luz que passa pelo orifício. Dessa forma, as lentes utilizadas na câmara

fotográfica têm por finalidade reunir os raios de luz que vêm do objeto e focalizá-los em

alguma posição do lado oposto à lente.

Contudo, o uso de lentes provoca imperfeições na imagem, degradando a nitidez e

produzindo aberrações (aberração esférica, astigmatismo e curvatura de campo, coma e

aberração cromática). Para diminuir estas aberrações, combinações de lentes com

diferentes índices de refração são utilizadas, procedimento este que provocam algumas

distorções.

Essas distorções (erros sistemáticos) provocam o deslocamento do ponto que

podem ser modelados, conhecida na área de Visão Computacional e Fotogrametria como

calibração dos parâmetros intrínsecos da câmara. Esses parâmetros são determinados

juntamente com os parâmetros extrínsecos de calibração durante o processamento

computacional. O processo de calibração dos parâmetros intrínsecos é de fundamental

importância no processo fotogramétrico, devido à sua especificidade não será abordada

neste trabalho (para maiores detalhes ver - Galo 1993). Existem várias formulações

matemáticas que representam com maior ou menor aproximação a condição física que

ocasionaram os erros. Dessa forma, é de grande importância a escolha adequada de um

modelo matemático. A decisão para a correção ou não do erro, deverá ser tomada para

cada caso, considerando a precisão requerida e a magnitude do erro sistemático.

2. Considerações iniciais

O mapa produzido pelo método fotogramétrico é gerado por um restituidor

fotogramétrico. O restituidor é um instrumento que possibilita a extração de informações

das imagens fotográficas, geradas por projeção perspectiva, convertendo-as em projeção

ortogonal, produzindo-se assim o material cartográfico. Algumas operações devem ser

realizadas nos restituidores para a correta produção do mapa, cuja finalidade consiste na

formação do modelo estereoscópico que são utilizados para as medidas (observações)

dos pontos a serem restituídos. Essas operações são concretizadas pelas orientações

interior e exterior. No modo analógico orientação exterior é dividida em orientação relativa

e absoluta, no modo analítico ou digital ela é realizada em um único processamento, no

entanto, devido a versatilidade, ela pode ser realizada como no modo analógico.

O processo de orientação analítica consiste basicamente em observar em um

instrumento capaz de fornecer coordenadas bidimensionais dos pontos na fotografia (com





6

precisão aceitável), e aplicar um modelo matemático de transformação para determinar as

coordenadas ajustadas. O instrumento pode ser um monocomparador, estereocomparador

ou um restituidor analítico. Assim, nesse procedimento a fase instrumental somente as

observações das coordenadas x e y dos pontos nas fotos é necessária, ficando a

determinação das coordenadas tridimensionais (X, Y e Z) para o modelo matemático

(ajustamento) através das equações de colinearidade. Dessa forma, a fase instrumental e

conseqüentemente, as observações são reduzidas a um mínimo (medidas de

coordenadas bidimensionais na imagem), proporcionando a mais alta precisão entre os

métodos existentes de orientação.

No caso de utilizar estação fotogramétrica digital as observações ficam restritas as

medidas das coordenadas de tela dos pontos.

2.1. Medição das coordenadas

Definidos e identificados os pontos que descrevem as feições e os de controle no

par de fotos, inicia-se o processo de leitura das coordenadas na imagem, utilizando

instrumento fotogramétrico (estereocomparador ou restituidor analítico).

As observações necessárias em uma orientação analítica/digital são:

a) leitura de todas as marcas fiduciais dos diapositivos;

b) leitura dos pontos que definem as feições;

c) leitura de todos os pontos de apoio, altimétrico, planimétrico ou duplo apoio.

A identificação e a codificação dos pontos, corretamente, são de fundamental

importância, pois é nesta fase que a probabilidade de ocorrer erros grosseiros é maior.

Ainda, a classificação correta dos pontos de controle (altimétrico, planimétrico ou duplo

apoio) deve ser cuidadosa, para se evitar possíveis erros grosseiros.

2.1.1. Observações nos comparadores

Os instrumentos fotogramétricos analíticos utilizados na coleta de dados na

orientação podem ser: estereocomparador e restituidor analítico. Nesta consideração foram

excluídos os monocomparadores, pois este instrumento não proporciona observações

estereoscópicas, muito embora, o modelo matemático proporcione a aplicação de

observações monoscópicas, o que neste caso provocaria uma perda de precisão.





7

Os estereocomparadores e os restituidores analíticos medem simultaneamente as

coordenadas dos pontos homólogos nos pares de diapositivos. Geralmente, estes

instrumentos têm dois sistemas de coordenadas distintos, uma para cada imagem. Como

eles utilizam o recurso estereoscópico, as medidas devem ser efetuadas nos pontos

homólogos, inclusive das marcas fiduciais. Esses instrumentos possuem um sistema de

coordenadas plano retangular distinto para cada projetor. Geralmente, os instrumentos

possuem um deslocamento relativo nos eixos X e Y do sistema de coordenadas do

primeiro projetor para o segundo. Assim, os estereocomparadores são dotados de 4 eixos

proporcionando coordenadas x, y, px e py (ver Figura 2.01).

X

Y

Sistema de coordenadas do instrumento

sistema de coord. fi

ducial

p

p p

X

Yp

p

sistema de coord. fiducial

Xp

pY

pX

Y

,

,

,X Y

,

Y,,

,X,

pY,,

,Xp

,

px

py

Imagem da esquerda Imagem da direita

Figura 2.01 - Sistema de coordenadas de um comparador para duas imagens.

O procedimento de produção do mapa utilizando um restituidor analítico pode ser

realizado de modo on-line, ou off-line. No modo on-line, as feições são visualizadas (na

tela graficamente) e transformadas para o sistema de coordenadas do espaço objeto na

medida em que elas são observadas, procedimento que pode ser realizado num

restituidor analítico. No caso de estereocomparadores a produção do mapa, geralmente,

se dá de forma off-line, nesse caso as observações são processadas após a etapa de

coleta de dados.

2.2. Observações

A realização da orientação está subordinada à determinação dos parâmetros de

transformação, que por sua vez dependem das observações realizadas nos

comparadores (precisão de 2 a 3 µm). Desta forma, é necessário medir as coordenadas

dos pontos (de apoio e das feições), inclusive as marcas fiduciais, de forma a possibilitar

a transformação dos pontos no sistema fotogramétrico.





8

Assim, considerando que observações foram realizadas pelo operador, erros

(grosseiros, aleatórios e sistemáticos) podem ocorrer, as possíveis fontes de erros

encontrados nas coordenadas são:

1) Erros de identificação;

2) Erros de registro;

3) Erros de observação;

4) Erros do comparador;

5) Influência da distorção das lentes;

6) Deformação do filme;

7) Influência da não planaridade do filme no instante da exposição;

8) Influência da Refração atmosférica; e

9) Influência da curvatura da terra.

Os três primeiros erros podem ser detectados através de observações redundantes

(recomendado no mínimo 3), e podem ser minimizados através de uma preparação ou

planejamento adequado e cuidadoso. Os erros 4 e 5 (itens) podem ser determinados e/ou

minimizado através da calibração constante do comparador e da câmara,

respectivamente. Os erros 6 e 7 (itens) podem ser evitados e/ou minimizados utilizando-

se das placas de “reseau” na câmara. Os erros 8 e 9 (itens) podem ser minimizados

através do conhecimento da altura de vôo e de outros parâmetros.

Os erros grosseiros são, nas maiorias dos casos, eliminados com as observações

redundantes ou a partir da análise dos resultados. Os aleatórios e parte dos sistemáticos

com efeitos semelhantes aos do aleatório são eliminados no processamento dos dados

(processo de ajustamento). Dessa forma, resta corrigir somente os erros sistemáticos,

que são modelados considerando-se a sua provável causa.

2.3. Métodos de orientação fotogramétrica analítica/digital

No processo de orientação, quando realizada analiticamente, a interior é efetuada

através dos modelos matemáticos, desenvolvido na aula Orientação Interior –

analítica/Digital, que são basicamente as etapas de transformação de sistemas da

máquina (observada) para o das marcas fiduciais e as correções dos erros sistemáticos.





9

A partir desta correção, dos erros sistemáticos, vários métodos de orientação podem ser

realizados, dependendo da finalidade e conseqüentemente da precisão requerida do

mapeamento.

Dentre os vários procedimentos de orientação fotogramétrica analítica que podem

ser realizados, a Figura 2.02 apresenta a que será aplicada nesta disciplina:

a) Realização da orientação relativa e absoluta separadamente (sequência “a” do

fluxograma da Figura 2.02):

a.1) A orientação relativa analítica, etapa que produz um modelo

tridimensional do terreno no sistema arbitrário, pode ser realizada com base

em duas equações a de coplanaridade e as de colinearidade.

a.2) A orientação absoluta do modelo tridimensional formado pode ser

realizada com a transformação geométrica isogonal ou afim no espaço

tridimensional, nessa etapa o modelo é orientado e escalado em relação ao

referencial do terreno adotado.





10

Figura 2.02 - Fluxograma das etapas de uma restituição fotogramétrica

analítica.

b) Realização da orientação exterior em uma única etapa, tendo como base as

equações de colinearidade, para a determinação dos parâmetros de orientação

exterior das câmaras e as coordenadas tridimensionais dos pontos. Nesses casos,

Restituição Fotogramétrica Analítica

Orientação

Relativa: (1)

Determinação das

coordenadas do

modelo.

Orientação Exterior: Determ. dos elementos de orientação.(3)

Determinação simultânea:(3)

elementos de orientação e

coordenadas dos pontos.

Coordenadas

3D:Interseção de

raios homólogos,

utilizando (1).

Coordenadas 3D:

Utilizando (1) e

aplicando MMQ.

Orientação

Absoluta.(2)

Coordenadas 3D dos objetos

Orientação Interior: Correção dos erros sistemáticos (reconstrução

dos feixes de raios)

Orientação separada das 2

fotos

Orientação conjunta das 2 fotos

(mesma etapa)

(1) Equação de colinearidade ou de coplanaridade.

(2) Modelo de transformação Isogonal 3D.

(3) Equação de colinearidade.

a)

b.1)

b.2)

b.3)





11

pode-se realizar a orientação e restituição do objeto fotografado, segundo os três

procedimentos colocados a seguir:.

b.1) Determinação dos elementos de orientação exterior de uma foto por vez

e, posteriormente, determinação das coordenadas tridimensionais dos pontos

(definem a feição) por interseção dos pares de raios homólogos dos feixes

(dois) perspectivos. Esse procedimento é denominado de resseção espacial.

b.2) Determinação dos elementos de orientação exterior das duas fotos

somente com os pontos de apoio e, posteriormente, determinação das

coordenadas tridimensionais do ponto, de forma semelhante ao caso b1.

b.3) Determinação simultânea dos parâmetros de orientação exterior da

câmara e das coordenadas tridimensionais dos pontos (apoio e feição).





12

3. Equações básicas utilizadas na orientação fotogramétrica

Diversos modelos matemáticos podem ser utilizados para realizar uma restituição

analítica. Esses modelos determinam as coordenadas tridimensionais dos pontos a partir

das fotocoordenadas (observadas nas imagens) bidimensionais dos pontos.

Na orientação relativa do modelo pode-se utilizar além das equações de

colinearidade as de coplanaridade.

3.1. As equações de colinearidade

As equações de colinearidade reproduzem, matematicamente, o processo de

formação da imagem, fazendo a ligação entre as coordenadas dos pontos no espaço

objeto (3D) e suas correspondentes coordenadas no espaço imagem (2D). As equações

de colinearidade regem a condição de que os três pontos (centro perspectivo, ponto

imagem e ponto objeto) pertencem à mesma reta. Essa condição pode ser aplicada a

todos os raios que passam pelo centro de projeção (ou ponto de vista ou ponto

perspectivo), produzindo-se analiticamente a imagem.

Seja um sistema de coordenadas cartesianas com origem no centro de projeção

(ver Figura 3.01) denominado referencial da imagem, pode-se relacionar o ponto P = (X´,

Y´, Z´)T com o ponto imagem p=(xp,yp,zp) T descritos no mesmo referencial via a equação

perspectiva.

Figura 3.01: Sistema de coordenadas cartesianas local.

O triângulo

∆COD (espaço objeto)

é semelhante ao ∆Cod (espaço

imagem)

e, similarmente,

∆COA~ ∆Coa.





13

Desta forma, conforme a Figura 3.01, pode-se deduzir a equação geral da reta:

x

X

y

Y

z

Z

p p p

, , ,= = , (3.01)

que é a equação de uma reta no espaço passando pela origem do sistema referencial

cartesiano (X, Y, Z)´.

Desenvolvendo a equação (3.01), obtêm duas equações linearmente

independentes:

x zX

Zp p=

,

, (3.02)

y zY

Zp p=

,

, (3.03)

Considerando os sistemas de coordenadas envolvidos (ver Figura 3.02),





14

Figura 3.02: Sistemas de coordenadas da imagem e do objeto.

o ponto P(XP, YP, ZP) no sistema de coordenadas do referencial geodésico pode ser

relacionado com o ponto P(X´, Y´, Z´) no sistema de coordenadas cartesianas local com a

equação ,

X

Y

Z

M

X X

Y Y

Z Z

p c

p c

p c

,

,

,

= ⋅

−

−

−

λ (3.04)

que é uma transformação de similaridade (ou isogonal), que realiza matematicamente a

transformação entre os dois sistemas de coordenadas, onde:

M = Rx(ω)Ry(φ)Rz(κ)

e

Rz(κ) =

−

100

0)cos()(

0)()cos(

κκκκ

sen

sen

, (3.05)

Ry(φ) =

− )cos(0)(

010

)(0)cos(

φφ

φφ

sen

sen

e (3.06)





15

Rx(ω) =

−

)cos()(0

)()cos(0

001

ωωωω

sen

sen (3.07)

assim,

M =

m m m

m m m

m m m

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(3.08)

com:

(3.09)

e,

X´, Y´ e Z´ são as coordenadas cartesianas de P em relação ao sistema de coordenadas

da imagem (referencial do espaço imagem),

Xp, Yp e Zp são as coordenadas cartesianas de P em relação ao sistema de coordenadas

do objeto (referencial do espaço objeto),

Xc, Yc e Zc são as coordenadas do centro perspectivo em relação ao sistema de

coordenadas do objeto,

λ é o fator de escala entre os dois sistemas de referência,

M é a matriz de rotação, determinada em função das três rotações em torno dos eixos

cartesianos e

κ, φ e ω são os ângulos de rotação em torno dos eixos Z, Y e X, respectivamente.

Assim, desenvolvendo-se as equações (3.04) têm-se:

[ ][ ][ ]

X X X m Y Y m Z Z m

Y X X m Y Y m Z Z m

Z X X m Y Y m Z Z m

p c p c p c

p c p c p c

p c p c p c

,

,

,

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= ⋅ − + − + −

= ⋅ − + − + −

= ⋅ − + − + −

λ

λ

λ

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(3.10)

+−

−−+

−

=

)cos()cos()()()cos()cos()()cos()()cos()()(

)cos()()()()()cos()cos()cos()()()()cos(

)()()cos()cos()cos(

ϕωκϕωκωκϕωκωϕωκϕωκωκϕωκω

ϕκϕκϕ

ωϕκ

sensensensensensen

sensensensensensensen

sensen

M





16

substituindo X´, Y´ e Z´das equações (3.10) nas equações (3.02 e 3.03) obtém-se:

x zm X X m Y Y m Z Z

m X X m Y Y m Z Zp p

p c p c p c

p c p c p c

=− + − + −

− + − + −11 12 13

31 32 33

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (3.11)

y zm X X m Y Y m Z Z

m X X m Y Y m Z Zp p

p c p c p c

p c p c p c

=− + − + −

− + − + −21 22 12

31 32 33

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (3.12)

assumindo que zp seja igual à distância focal (-f), o sinal negativo é devido a

compatibilização de sistemas (imagem/objeto), tem-se

x fm X X m Y Y m Z Z

m X X m Y Y m Z Zp

p c p c p c

p c p c p c

= −− + − + −

− + − + −11 12 13

31 32 33

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (3.13)

y fm X X m Y Y m Z Z

m X X m Y Y m Z Zp

p c p c p c

p c p c p c

= −− + − + −

− + − + −21 22 23

31 32 33

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) (3.14)

Com base nas equações (3.13) e (3.14), conhecidas como equações de

colinearidade, podem-se formalizar as várias aplicações na fotogrametria.

3.2. As equações de colinearidade inversa

Em várias aplicações fotogramétricas as equações de colinearidade inversa são

úteis, tais como na restituição estereoscópica (intersecção fotogramétrica),

monorestituição, geração de ortoimagens e outras.

As equações de colinearidade inversa pode ser deduzida, a partir das equação

3.04, reescrita para melhor compreensão:

X

Y

Z

M

X X

Y Y

Z Z

p c

p c

p c

,

,

,

= ⋅

−

−

−

λ

Substituindo as equações 3.02 e 3.03 nas 3.04, obtém-se:

−

−

−

⋅=

cp

cp

cp

p

p

p

p

ZZ

YY

XX

M

Z

yz

Z

xz

Z

λ

'

'

'

(3.15)

Aplicando a transformação inversa na 3.15, obtém-se:





17

⋅=

−

−

−−−

'

'

'

1 1

Z

yz

Z

xz

Z

M

ZZ

YY

XX

p

p

p

p

cp

cp

cp

λ , readequando: (3.16)

⋅=

−

−

−−

p

p

p

p

cp

cp

cp

z

y

x

z

ZM

ZZ

YY

XX

T

'1λ , resulta em (3.17)

[ ]

[ ]

[ ]332313

'1

322212

'1

312111

'1

mzmymxz

ZZZ

mzmymxz

ZYY

mzmymxz

ZXX

ppp

p

cp

ppp

p

cp

ppp

p

cp

++⋅=−

++⋅=−

++⋅=−

−

−

−

λ

λ

λ

(3.18)

Dividindo a 1ª e a 2ª pela 3ª, resulta em:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]332313

'1

322212

'1

332313

'1

312111

'1

mzmymxz

Z

mzmymxz

Z

ZZ

YY

mzmymxz

Z

mzmymxz

Z

ZZ

XX

ppp

p

ppp

p

cp

cp

ppp

p

ppp

p

cp

cp

++⋅

++⋅

=−

−

++⋅

++⋅

=−

−

−

−

−

−

λ

λ

λ

λ

(3.19)

Simplificando e isolando os termos Xp e Yp, resulta na equação de colinearidade

inversa.

( ) [ ][ ]

( )[ ][ ]332313

322212

332313

312111

mzmymx

mzmymxZZYY

mzmymx

mzmymxZZXX

ppp

ppp

cpcp

ppp

ppp

cpcp

++

++−+=

++

++−+=

e para o caso de dispositivo, (3.20)





18

( ) [ ][ ]

( )[ ][ ]332313

322212

332313

312111

fmmymx

fmmymxZZYY

fmmymx

fmmymxZZXX

pp

pp

cpcp

pp

pp

cpcp

−+

−+−+=

−+

−+−+=

(3.21)

3.3. A equação de Coplanaridade

A equação de coplanaridade impõe a condição de que os dois centros perspectivos

o ponto Pi no espaço objeto e as suas imagens nas duas fotos pertencem a um mesmo

plano (ver Figura 3.03). Da Figura 3.03, deduz-se que a condição de coplanaridade pode

ser escrita em função de um produto vetorial e um produto escalar. Na Figura 3.03, pode-

se definir basicamente três vetores:

rVeque liga o ponto Pi (espaço objeto) com o centro perspectivo Oe;

rVd que liga o ponto Pi (espaço objeto) com o centro perspectivo Od; e

rB que liga os centros perspectivos Oe e Od.

VeVd

B

x

y

y

xe

e

d

d

Oe

Od

Pi

pdi

pei

Figura: 3.03 - Condição de coplanaridade, vetores rVe ,

rVd e

rB pertencem ao mesmo plano.

Desta forma, convencionando que o vetor rVe inicia no centro perspectivo (Oe) da

foto da esquerda passa pelo ponto imagem pei e termina no ponto Pi. E o vetor rVd inicia

no centro perspectivo da foto da direita passa pelo ponto imagem pdi e termina no ponto

Pi. O vetor rB inicia no centro perspectivo Oe e termina no centro perspectivo Od.





19

Para atender a condição de coplanaridade basta impor a condição de que os três

pontos estão no mesmo plano, ou os três vetores (rVe ,

rVd e

rB ). Desta forma, a condição

de coplanaridade pode ser dada pelo produto vetorial entre os dois vetores rVe e

rVd ,

resultando em um vetor normal à eles. Tomando agora o vetor resultante do produto

vetorial basta aplicar um produto escalar com o vetor rB , e considerar que este produto

seja nulo, ou seja, aplicar a condição de perpendicularidade entre dois vetores.

(rVe x

rVd ).

rB = 0. (3.22)

Expressando o vetor rVe em função de seus componentes, obtém-se:

rVe = ( ) ( ) ( )X X i Y Y j Z Z kp c

e

p c

e

p c

e− + − + −r r r

(3.23)

relacionando os componentes do vetor rVe (equação 3.23) com suas respectivas

coordenadas no espaço imagem, através de uma transformação isogonal, obtém-se:

X X m x m y m zp c

e

e p p p− = + +λ [ ]11 12 13 ;

Y Y m x m y m zp c

e

e p p p− = + +λ [ ]21 22 23 ; e (3.24)

Z Z m x m y m zp c

e

e p p p− = + +λ [ ]31 32 33 ;

onde,

mij são os elementos da matriz de rotação,

xp e yp são as coordenadas corrigidas dos erros sistemáticos da foto da esquerda, e

λ e é o fator de escala.

Fazendo,

u m x m y m ze p p p= + +[ ]11 12 13

v m x m y m ze p p p= + +[ ]21 22 23 ; e (3.25)

w m x m y m ze p p p= + +[ ]31 32 33 ;

as equações (3.24) pode ser escritas,

X X up c

e

e e− = λ





20

Y Y vp c

e

e e− = λ ; e (3.26)

Z Z wp c

e

e e− = λ .

Similarmente pode-se escrever para o vetor rVd as seguintes equações:

X X up c

d

d d− = λ

Y Y vp c

d

d d− = λ ; e (3.27)

Z Z wp c

d

d d− = λ .

O vetor rB pode ser expresso em função das coordenadas tridimensionais dos dois

centros perspectivos:

rB = ( ) ( ) ( )X X i Y Y j Z Z kc

d

c

e

c

d

c

e

c

d

c

e− + − + −r r r

(3.28)

Aplicando a condição de coplanaridade imposta na equação 3.22, em forma de

determinante, obtém-se:

( ) ( ) ( )X X Y Y Z Z

u v w

u v w

c

d

c

e

c

d

c

e

c

d

c

e

e e e

d d d

− − −

= 0 (3.29)

Desenvolvendo a equação 3.29,

( )( ) ( )( ) ( )( )X X v w v w Y Y u w u w Z Z u v u vc

d

c

e

e d d e c

d

c

e

d e e d c

d

c

e

e d d e− − + − − + − − = 0 (3.30)

que é a equação de coplanaridade.





21

4. Termos técnicos

Neste item serão realizadas algumas definições de termos técnicos necessários no

processo de fototriangulação analítica, verificado em Analytical Photogrammetry escrito

por Merchant (1979) e definição de alguns sistemas de coordenadas utilizados em

processamentos fotogramétricos.

Marcas fiduciais - são marcas de referencias fixadas rigidamente no corpo (cone) da

câmara métrica que são gravadas no negativo, durante a exposição. Estas marcas,

geralmente (quatro) nas laterais (Fig. B.01- a) ou nos cantos (Fig. B.01 - b), têm

como objetivo recuperar a geometria interna (orientação interior) da câmara.

Centro fiducial - é um ponto definido sobre a foto (diapositivo) pela interseção das linhas

que conectam as marcas fiduciais opostas.

Ponto principal - adotado como o ponto na qual o eixo z do sistema de coordenadas, da

foto, intercepta o plano da foto perpendicularmente. Observa-se aqui que existem

várias outras denominações para este ponto, bem como outras definições (para mais

detalhes ver Merchant 1979 Part I).

Pontos Nodais - Dois pontos relacionados ao sistema de lentes da câmara, com a

característica de produzir raios incidentes e refratados paralelos, quando estes

incidem no ponto Nodal anterior (exterior) e emergem no ponto Nodal posterior

(interior). Geralmente nos modelos matemáticos, estes pontos fisicamente

espaçados, são considerados coincidentes, conhecidos como centro perspectivo.

Distância Focal - distância entre o ponto nodal posterior e o plano focal imagem da

objetiva. Seu valor é obtido, para um sistema ótico, pela aplicação das equações da

óptica geométrica.

Distância Focal Calibrada - ou distância principal ou constante da câmara, é um valor

calculado numericamente para compensar a distorção radial. Na aerofotogrametria a

(1/f=1/c+1/o) distância focal tem o mesmo valor que a distância principal (termo

utilizado em óptica), pois para objetos distantes da lente o valor de o é "bem" maior

que c, assim, 1/o é igual a zero e f = c.

Estação de exposição - (Xc, Yc, Zc) - Posição espacial da tomada fotográfica ou posição

3D do centro perspectivo no instante da exposição.





22

5. Sistemas de Coordenadas

Os sistemas de coordenadas espaciais, utilizado em fotogrametria analítica podem

ser divididos, basicamente, em dois grupos, conforme o uso do espaço físico:

• espaço imagem, quando utiliza o espaço compreendido entre o ponto nodal posterior e

o plano do negativo, associando-se assim, as informações, os sistemas de

coordenadas referenciadas às imagens.

• Espaço objeto, o espaço compreendido entre o ponto nodal anterior e todos os pontos

do espaço fotografado.

5.1. Sistema de Coordenadas do espaço imagem

Sistema de coordenadas fiducial - é um sistema de coordenadas retangular

bidimensional, com origem no centro fiducial. O eixo ox é definido como sendo a

linha que contém as marcas fiduciais opostas que estão dispostas

perpendicularmente a linha lateral aos dos registros dos relógios. O eixo ox é

convencionado positivo na direção dos relógios. O eixo oy é normal ao eixo ox no

centro fiducial, formando um sistema dextrogiro e situados no plano do diapositivo.

Nas fotografias em que as marcas fiduciais são fixadas nos cantos, o eixo x é

definido como antes, mas girado de 45 graus.

x'

Y' Y'

x'45 o

(a) (b)

Figura B.01 - Sistemas de coordenadas fiduciais.





23

Sistema de coordenadas da foto - é um sistema retangular cartesiano dextrógiro

tridimensional com origem no centro perspectivo. Os eixos x e y são paralelos e

orientados aos seus homônimos do sistema fiducial.

x'

y'

x

y

z

pp

O

Figura B.02 - Sistema de coordenada da foto e ponto principal.

5.2. Sistemas de coordenadas Terrestre

Os modelos matemáticos empregados em processamento fotogramétrico utilizam

sistemas de coordenadas tri-retangulares. Geralmente, é um sistema Cartesiano 3-D

dextrógiro, sua origem é variável, muito embora, seja convencionado que o eixo Z é

paralelo a vertical do ponto (origem), com sentido positivo para o zênite, compondo com

os eixos X e Y um sistema de coordenadas dextrógiro.





24

Figura B.03: Sistemas de coordenadas Terrestres (Fonte - Lugnani 1987).

Uma discussão mais aprofundada de sistemas de coordenadas terrestres, cujo

assunto é complexo e extenso fugindo, portanto, do assunto em questão, pode ser

encontrado com maiores detalhes em, Lugnani 1987, Blachut et al 1979.

5.3. Sistemas de coordenadas arbitrários

Os sistemas de coordenadas arbitrários, utilizados em fotogrametria podem ser

definidos tanto no espaço imagem como no espaço objeto. Estes sistemas podem ser bi

ou tri dimensional, ortogonal ou não, dependendo da definição matemática ou do

instrumento utilizado.

Como exemplo de sistemas de coordenadas bi-dimensionais pode-se citar:

• Sistema de coordenadas dos monocomparadores e estereocomparadores;

• Mesas digitalizadoras, coordenatógrafos;

• E mais recentemente, sistema de coordenadas da tela (levogiro) do computador

utilizado em fotogrametria digital;

O sistema de coordenadas tridimensionais, utilizados em restituição analítica pode

ser:





25

• Sistema de coordenadas do modelo com origem na foto da esquerda.

Neste sistema, a foto da esquerda permanece fixa (inclinação nula) e realiza

(define) o sistema de coordenadas do modelo, na Figura B.04 o sistema de

coordenadas do modelo é definido pelo sistema XYZ, com origem no centro

perspectivo C1.

y´

x´

bz

by

Y

z´ x"

y" z"

C1

C2

f

f

bx = cte

P(X Y Z)

X

Z

Figura B.04: Sistemas de coordenadas do modelo estereoscópico.





26

• Sistema de coordenadas com a base coincidente com o eixo x.

Neste sistema as duas câmaras são movimentadas de tal forma a proporcionar

orientação relativa sem fixar as câmaras.

Figura B.05: Sistemas de coordenadas de um modelo estereoscópico com o eixo X paralelo à

base (bx).

X

Y

Z

C2

X

y

´

x"

y"

C1

f f

bx = cte

P(X Y Z)

x

´

z

´

z"





27

6. Referências Bibliográficas ANDRADE, J. B. “Refração Fotogramétrica”, Boletim da Universidade Federal do Paraná, no 24,

1980.

ANDRADE, J. B. e OLIVAS, M. A A, “Calibração de Câmeras Fotogramétricas”, Boletim da

Universidade Federal do Paraná, no 26, 1981

BLACHUT, T.J. AND CHRZANOWSK, A. AND SAASTAMOINEN, J. H. "Urban Surveying and

Mapping". Spring-Verlag, 1979.

HASEGAWA, J. K., "Fototriangulação em linha com Depuração de erros em micro-computador",

Dissertação de Mestrado, 1991.

KRAUS, K. “Photogrammetry” Ferd. Dümmlers Verlag. 397 p. 1993.

MERCHANT, D. C. “Analytical Photogrammetry - Theory and Practice - Parte I”. Ohio State

University. 1979.

MERCHANT, D. C. “Analytical Photogrammetry - Theory and Practice - Parte II”. Ohio State

University. 1979.

MOFFIT, F. H e MIKHAIL, E. M. “Photogrammetry”, Harper & Row, Inc. 1980.

LUGNANI, J. B. “Introdução à Fototriangulação” UFPR. 134 p. Curitba PR. 1987.

SLAMA, C. C. “Manual of Photogrammetry”. ASP - Falls Church. 1980.

OLIVEIRA, C. “Dicionário Cartográfico”, 4a Edição – Rio de Janeiro. IBGE, 1993.

WOLF, P. R. “Elements of Photogrammetry”. McGraw-Hill Book Company 1988.

TEORIA DAS ORIENTAÇÕES (ANALÍTICA/DIGITAL) Introdução · Restituição Fotogramétrica...

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