Teor´ıa de Colas o Feno´menos de Espera Area de Estad ... · PDF...

Teorıa de Colas o Fenomenos de Espera

Area de Estadıstica e Investigacion OperativaLicesio J. Rodrıguez-Aragon

Febrero 2011

Introduccion 2

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Colas o Lıneas de Espera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Procesos Estocasticos, Conteo y Poisson 6

Proceso Estocastico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Proceso de Conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Teorema 1:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Teorema 2:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Distribucion Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Modelos de Nacimiento y Muerte 15

Procesos de Nacimiento y Muerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Distribucion de Probabildad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Ecuaciones de Balance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Proceso Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Sistema de Colas 22

Descripcion del Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Hipotesis Consideradas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Notacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Notacion de Kendall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Formula de Little . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Modelo M/M/1 28

M/M/1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Lq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Formulas de Little . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Espera de los clientes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Costes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1

Modelo M/M/s 36

M/M/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Estado Estacionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Pn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Calculo Recursivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Lq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Formulas de Little . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Espera de los Clientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2

Introduccion 2 / 43

Introduccion

Colas: Son muy cotidianos los fenomenos en los que entidades discretas: individuos, maquinas,productos, que denominamos usualmente como clientes, utilizan adaptandose a unas normaspreestablecidas unos servicios de caracter limitado que hay a su disposicion.

Inherente a cada fenomeno de espera esta el numero y la naturaleza de los servidores.

Centro de Servicio: Conjunto de todos los servidores.

Llegada de Clientes y Tiempo de Servicio pueden estar determinados o pueden quedar al libre albedrıodel azar.

� Fenomenos Determinısticos.

� Fenomenos Probabilısticos.

Licesio J. Rodrıguez-Aragon Metodos Cuantitativos Org. Ind. – 3 / 43

Colas o Lıneas de Espera

En algunos casos, los clientes son obligados a permanecer en el Centro de Servicio no solo el tiempode servicio sino que han de soportar una espera, formando una cola.

En otros casos, el centro de servicio estara funcionando por debajo de su capacidad, con servidoresdesocupados.

En la industria debemos tomar decisiones sin conocer:

� ¿Cuando llegaran los clientes?

� ¿Cuanto tiempo sera necesario para prestar servicio?

El compromiso con una estructura de servicio puede llevarnos a:

� Servidores Desocupados: Demasiado servicio conlleva costes excesivos y perdidas en forma detiempos de inactividad.

� Colas o Esperas: Carecer de la capacidad adecuada de servicio ocasiona esperas demasiadolargas en algunos momentos y perdidas de clientes, entre otros costes.


3

Objetivo

El objetivo es lograr un balance entre costes y servicios.

La Teorıa de Colas no resuelve el problema, sino que modeliza el fenomeno y nos proporcionainformacion vital para la toma de decisiones.


Procesos Estocasticos, Conteo y Poisson 6 / 43

Proceso Estocastico

Un fenomeno de espera suele ser modelado como un proceso estocastico, en tiempo continuo, con unnumero discretos de estados, que evoluciona a saltos cuando aparecen nuevos clientes en el sistema ocuando desaparecen de el.


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Proceso Estocastico

Proceso Estocastico: Se define como un conjunto de variables aleatorias {X(t)}t∈T con t tomandovalores en un conjunto dado.

� T , con frecuencia, es el conjunto de enteros no negativos N.

� X representa una caracterıstica de interes medida usualmente en el instante de tiempo t.

Ejemplo: El proceso estocastico X(1),X(2),X(3), . . . puede representar los valores al cierre decotizacion de una accion, el dıa 1 de cotizacion, 2, 3, . . .

� Saldo de una cuenta.

� Demanda de un producto.


Proceso Estocastico

{X((t), t ∈ T} es un Proceso Estocastico, P.E., si X(t) es una Variable Aleatoria, V.A., para cadat ∈ T , siendo T usualmente el tiempo.

Los procesos estocasticos, como conjunto de v.a. pueden ser:

� Continuos.

� Discretos.

X(t) = x, significara que el P. E. X toma el valor x en el instante t de tiempo.Esto es equivalente a decir que el P.E. se encuentra en el estado x en el instante t.


5

Proceso de Conteo

Recibe el nombre de Proceso de Conteo o Proceso de Llegadas, todo P. E. N(t) en tiempo continuo,t ≥ 0, donde N(t) es el numero de llegadas a un sistema, u ocurrencias de un suceso, durante elintervalo de tiempo [0, t].

Matematicamente:Decimos que un P.E. {N(t), t ≥ 0} es un proceso de conteo, si y solo si:

1. N(0) = 0 casi seguro, c.s.

2. N(t) solo toma valores enteros y no negativos, c.s.

3. Si s < t entonces N(s) ≤ N(t).

4. N(t) − N(s) son el numero de ocurrencias en el intervalo de tiempo (s, t].


6

Proceso de Poisson

El Proceso de Poisson es un proceso de conteo que se utiliza en la modelizacion de fenomenos deespera.

Un proceso de Poisson verificara:

� El valor de N , V. A., en [t0, t0 + t], es independiente de la historia anterior a t0.

� La probabilidad de “n” llegadas en un intervalo, solo depende de su longitud.

� La probabilidad de que tenga lugar un solo suceso en un intervalo de tiempo de amplitud ∆t o dtes proporcional a esa longitud. La probabilidad de dos o mas sucesos es despreciable frente a ∆t.

� El numero de sucesos que ocurren en intervalos disjuntos, V. A., son independientes.

Matematicamente:Siendo Pn(t) = P (N(t) = n).

Dado un Proceso de Conteo, {N(t), t ≥ 0} se dice que es un Proceso de Poisson de parametro ointensidad λ > 0 si verifica las siguientes propiedades:

� El proceso tiene incrementos independientes: Si se tiene instantes 0 ≤ t0 < t1 · · · < tn entoncesN(t1) − N(t0), N(t2) − N(t1), . . . , N(tn) − N(tn−1) son independientes.

� P (N(t) = 1) = λt + o(t).

� P (N(t) ≥ 2) = o(t).

En un Proceso de Poisson de parametro λ:

� P (N(t) = 0) = 1 − λt + o(t)

� P (N(t) = 1) = λt + o(t)

� P (N(t) ≥ 2) = o(t)

El parametro λ del Proceso de Poisson se interpreta como numero de ocurrencias del fenomeno porunidad de tiempo, INTENSIDAD:

limh→0+

E(N(t + h) − N(t))

h= λ


7

Teorema 1:

Sea {N(t), t > 0} un Proceso de Poisson de parametro λ, entonces la variable aleatoria N(t) sigueuna distribucion de Poisson de parametro λt:

P (N(t) = n) =(λt)ne−λt

n!


Teorema 2:

Sea {N(t), t > 0} un Proceso de Poisson de parametro λ, y sean 0 ≤ t0 < t1 < · · · < tn los tiemposde ocurrencia de los sucesos.Definamos:

τi = ti − ti−1

Entonces las variables aleatorias continuas τi, seran V. A. mutuamente independientes eidenticamente distribuidas siguiendo una distribucion exponencial de parametro λ.

f(τ) = λe−λτ

Recıprocamente:

Si {N(t), t > 0}, es un Proceso de Conteo, y los tiempos entre ocurrencias del suceso, τi son V. A.independientes e identicamente distribuidas mediante la distribucion exponencial de parametro λ,entonces {N(t), t > 0} es un Proceso de Poisson de parametro λ.


8

Propiedades de la Distribucion Exponencial

Sea T una V. A. C. que representa el tiempo entre ocurrencias consecutivas, que sigue unadistribucion exponencial de parametro λ. Entonces su funcion de densidad sera:

f(τ) = λe−λτ

� f(τ) es estrictamente decreciente.

� La distribucion no tiene memoria.

P (T > t + ∆t|T > ∆t) = P (T > t)

� Sea {X(t), t ∈ T} un proceso de Poisson, parametro λ.

P (X(t) = n) =(λt)n · e−λt

n!


9

Modelos de Nacimiento y Muerte 15 / 43

Procesos de Nacimiento y Muerte

El proceso de Poisson es util para modelizar situaciones en las que se producen determinadasocurrencias de un suceso.

En otros procesos mas generales, se contemplan no solo llegadas sino tambien la partida de clientes.

Los procesos de Nacimiento y Muerte, son un caso general, y permiten que las tasas tanto denacimientos como de muertes varıen segun el numero de individuos de la poblacion.

Definicion: Sea un P.E. {N(t), t ≥ 0} y un conjunto de estados E0, E1, E2, . . . . Diremos que N(t)en el instante t se encuentra en el estado i−esimo, Ei, si N(t) = i.

Propiedades:

� Existen λi, i = 1, 2, . . . y µi, i = 1, 2, . . . llamadas tasas de nacimiento y muerterespectivamente.

� Las probabilidades de transicion de un estado a otro en un intervalo de tiempo (t, t + h) deamplitud h:

P (Ei → Ei−1) = µi · h + o(h) P (Ei → Ei+1) = λi · h + o(h)

� La probabilidad de que ocurra mas de un cambio de estado en un intervalo de tiempo deamplitud h es del orden de o(h).


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Distribucion de Probabildad

El proceso de Poisson es un caso particular en el que λi = λ y µi = 0.

Vamos a intentar expresar la probabilidad de encontrarnos en instante de tiempo t + h en el estado ibasandonos en las probabilidades de estar en el instante t en los diferentes posibles estados:i, i + 1, i − 1.

Denotaremos,Pi(t) = P (N(t) = i) ≡ Prob. que en el instante t estemos en Ei

Pi(t + h) =Pi−1(t) · P (Ei−1 → Ei)+

Pi+1(t) · P (Ei+1 → Ei)+

Pi(t) · P (Ei → Ei)

Pi(t + h) − Pi(t)

h=Pi−1(t) · λi−1 + Pi+1(t) · µi+1−

Pi(t) · (λi + µi) +o(h)

h

limh→0

Pi(t + h) − Pi(t)

h=

dPi(t)

dt= P ′

i (t) =

Pi−1(t) · λi−1 + Pi+1(t) · µi+1 − Pi(t) · (λi + µi)


Ecuaciones de Balance

Llamaremos entonces al siguiente sistema de ecuaciones, el sistema de ecuaciones de balance:

(I)

{

P ′

i (t) = Pi−1(t) · λi−1 + Pi+1(t) · µi+1 − Pi(t) · (λi + µi)

P ′

0(t) = P1(t) · µ1 − P0(t) · λ0

Con las siguientes condiciones iniciales:

{

P0(0) = 1

Pi(0) = 0 ∀i > 0

Este sistema da lugar a un sistema de ecuaciones diferenciales.


11

Proceso de Poisson

Para el caso particular de un proceso de Poisson:

{

µi = 0 ∀i

λ = λi ∀i

En este caso, el sistema de balance se corresponde con:

{

P ′

i (t) = Pi−1(t)λ − λPi(t)

P ′

0(t) = −λP0(t)

Y su solucion se puede comprobar que corresponde con:

Pi(t) =e−λt(λt)i

i!


Proceso Estacionario

Un proceso estocastico es estacionario cuando las funciones Pn(t) = P (N(t) = n) son constantes Pn,es decir, no depende de t.

Si el proceso es estacionario, el sistema de ecuaciones de balance se transforma en un sistema deecuaciones lineales:

0 = P1 · µ1 − P0 · λ0 i=0

0 = P0 · λ0 + P2 · µ2 − P1 · (λ1 + µ1) i=1

. . .

0 = Pn−2 · λn−2 + Pn · µn − Pn−1 · (λn−1 + µn−1) i=n-1

P1 = P0λ0

µ1

P2 = P0λ0·λ1

µ1·µ2

. . .

Pn = P0λ0·λ1...λn−1

µ1·µ2...µn

Siendo,

cn =λ0 · λ1 . . . λn−1

µ1 · µ2 . . . µn


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Estado Estacionario

Sabemos que Pn son probabilidades, luego:

1 =∞

∑

n=0

Pn = P0 +∞∑

n=1

cnP0 = P0(1 +∞∑

n=1

cn)

P0 =1

1 +∑

∞

n=1 cn

La condicion∑

∞

n=1 cn < ∞ es necesaria y suficiente para que exista el estado estacionario.


Sistema de Colas 22 / 43

Descripcion del Sistema

Todo fenomeno de colas se divide en cuatro secciones claramente diferenciadas:

� Ingreso de clientes desde una fuente (finita o infinita).

� Linea de espera o cola, puede constar de uno o mas canales.

� Centro de servicio donde los clientes reciben el servicio por parte de uno o mas servidores.

� Salida de los clientes, hacia la fuente original o hacia otro servicio.


13

Hipotesis Consideradas

� Sobre el tamano de la poblacion.

� Sobre las llegadas: y siendo t0 < t1 < . . . los tiempos de llegadas de clientes consecutivos, ydefinido τk = tk − tk−1,

– τk =cte. es el caso determinista.

– τk =aleatorio, Proceso de Poisson de parametro λ.

� Capacidad de la cola: finita o infinita.

� Disciplina de la cola: FIFO, LIFO, RSS, RR, etc.

� Mecanismo de Servicio: Determinista (mismo tiempo para cada cliente) o Aleatorio(exponencial).

� Numero de servidores: 1, s o servidores en funcion de la demanda.


14

Notacion

Basandonos en los Procesos de Nacimiento y Muerte:

� N(t): Numero de clientes en el sistema en el instante t de tiempo.

� Nq(t): Numero de clientes en la cola en el instante t de tiempo.

� Pn(t): Probabilidad de que en el instante t de tiempo se encuentren n clientes en el sistema.

� s: Numero de servidores operativos que forman parte del centro de servicio.

� λn: Numero medio de clientes que han llegado al sistema por unidad de tiempo cuando en elsistema se encuentran n clientes.

Tasa de llegadas, si esta no depende del numero de clientes en el sistema entonces es constantey se denota por λ.

� µn: Numero medio de clientes que han sido servidos en el centro de servicio por unidad detiempo cuando en el sistema se encuentran n clientes.

Tasa de servicio, si esta no depende del numero de clientes en el sistema representaremos por µel numero medio de clientes que son servidos por cada servidor y por unidad de tiempo.

µn = nµ si n = 1, 2, . . . , s − 1 y µn = sµ si n ≥ s.

� ρ: Intensidad de Trafico,

ρ =λ

sµ.

� N : Variable Aleatoria Discreta que representa el numero de clientes en el sistema.

� Nq: Variable Aleatoria Discreta que representa el numero de clientes en la cola.

� Pn: Probabilidad de que se encuentren n clientes en el sistema.

� L: Numero medio de clientes en el sistema, L = E(N).

� Lq: Numero medio de clientes en la cola, Lq = E(Nq).

� W: Variable Aleatoria Continua que representa el tiempo que pasa un cliente en el sistema.

� Wq: Variable Aleatoria Continua que representa el tiempo que pasa un cliente en la cola.

� W : Tiempo medio que pasa un cliente en el sistema, W = E(W).

� Wq: Tiempo medio que pasa un cliente en la cola, Wq = E(Wq).


15

Notacion de Kendall

A/B/s

� A indica la distribucion del tiempo entre las llegadas consecutivas.

� B indica la distribucion del tiempo de servicio.

� s indica el numero de servidores.

M : Exponencial, Markov.D: Determinista.G: Generica, normal.Ek: Erlang.U : Uniforme.

A/B/s/K/H/Z

� K capacidad de la cola.

� H tamano de la poblacion.

� Z disciplina de la cola.


Formula de Little

Para los modelos M/M/s, se verifica la siguiente relacion conocida como formula de Little:

L = λ · W

Lq = λ · Wq

Otra relacion importante es:

W = Wq +1

µ


16

Modelo M/M/1 28 / 43

M/M/1

� Tiempos entre llegadas consecutivas, distribucion exponencial λ.

� Tiempos de servicio, distribucion exponencial µ.

� 1 servidor.

� Capacidad de la cola infinita.

� Poblacion infinita, sin restricciones.

� Disciplina de la cola, FIFO.

{

λi = λ ∀i

µi = µ ∀i


17

Estado Estacionario

Tal y como hemos visto en los procesos de Nacimiento y Muerte:

Pn =λ0 . . . λn−1

µ1 . . . µn

P0 = cn · P0 ∀n = 1, 2, . . .

cn =λ0 . . . λn−1

µ1 . . . µn

=λn

µn=

(

λ

µ

)n

= ρn ∀n = 1, 2, . . .

1 = P0 + P1 + P2 + . . .

1 = P0 + c1 · P0 + c2 · P0 + . . .

1 = P0 + ρ · P0 + ρ2 · P0 + . . .

1 = P0(1 +

∞∑

n=1

ρn)

P0 =1

1 +∑

∞

n=1 ρn

La condicion de proceso estacionario equivale a la convergencia de la serie geometrica:

∞∑

n=1

cn =

∞∑

n=1

ρn

Esta serie sera convergente si y solo si |ρ| < 1, al ser ρ > 0 esta condicion equivale a:

ρ < 1

λ < µ

Entonces y bajo la condicion de proceso estacionario, tendremos:

P0 =1

1 +∑

∞

n=1 ρn=

1

1 + ρ1−ρ

= 1 − ρ

Siendo entonces para n = 1, 2, . . . :

Pn = cn · P0 = ρn · P0 = ρn(1 − ρ)

Obteniendose entonces, una expresion general que nos determina la probabilidad de encontrar npersonas en el sistema:

Pn = ρn(1 − ρ) ∀n


18

L

Numero medio de clientes en el sistema, esperanza:

L =

∞∑

n=0

n · Pn =

∞∑

n=1

n · ρn(1 − ρ) = (1 − ρ)

∞∑

n=1

n · ρn

(1 − ρ)ρ∞∑

n=1

n · ρn−1 =(1 − ρ)ρ

(1 − ρ)2=

ρ

1 − ρ=

λ

µ − λ

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20


Lq

Numero medio de clientes en la cola, esperanza:

Lq =

∞∑

n=0

n · Pqn

Sabemos que si s = 1, entonces, Pqn= Pn+1.

Lq =∞

∑

n=0

n · Pn+1 =∞

∑

m=1

(m − 1) · Pm =∞∑

m=1

m · Pm −∞∑

m=1

Pm

= L − (1 − P0) =ρ

1 − ρ− (1 − (1 − ρ)) =

ρ2

1 − ρ=

λ2

µ(µ − λ)


19

Formulas de Little

L = λ · W ⇒ W =L

λ=

1

µ − λ

Lq = λ · Wq ⇒ Wq =Lq

λ=

λ

µ(µ − λ)

Ademas podemos comprobar que se verifica:

W = Wq +1

µ


Espera de los clientes

Ademas si deseamos tener mas informacion sobre la espera de los clientes en el sistema, deberemoscalcular la distribucion de probabilidad de la V.A. W, tiempo pasado por un cliente en el sistema.

W ≡ exp(µ − λ)

f(t) = (µ − λ)e−(µ−λ)t

E[W] = W =1

µ − λ

P (W < t) =

∫ t

0(µ − λ)e−(µ−λ)xdx = 1 − e−(µ−λ)t


20

Costes

Coste de Servicio Total= s · Cs.

Coste de Espera en Sistema= λ · W · CW .

Coste de Espera en Cola= λ · Wq · CW .

Coste Total= s · Cs + λ · W · CW .


Modelo M/M/s 36 / 43

M/M/s

� Tiempos entre llegadas, exponencial λ.

� Tiempos de servicio, exponencial µ.

� s servidores.

� Capacidad de la cola infinita. Poblacion infinita. Disciplina FIFO.

λi = λ ∀i

µi =

{

i · µ i = 1, 2, . . . , s − 1

s · µ i = s, s + 1, . . .

ρ =λ

sµ


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Estado Estacionario

cn =λ0 · λ1 . . . λn−1

µ1 · µ2 . . . µn

=

{

λn

n!µnn = 1, 2, . . . , s − 1

λn

s!sn−sµnn = s, s + 1, . . .

Para determinar el estado estacionario del sistema, basta con analizar la convergencia:

∞∑

n=1

cn =s−1∑

n=1

λn

n!µn+

∞∑

n=s

λn

s!sn−sµn=

s−1∑

n=1

λn

n!µn+

λs

s!µs

∞∑

n=s

ρn−s

=

s−1∑

n=1

λn

n!µn+

λs

s!µs·

1

1 − ρ=

s−1∑

n=1

λn

n!µn+

λs

(s − 1)!µs−1(sµ − λ)


Pn

Entonces:

P0 =1

1 +∑

∞

n=1 cn

=1

1 +∑s−1

n=1λn

n!µn+ λs

(s−1)!µs−1(sµ−λ)

.

Con lo que,

Pn = cn · P0 =

{

λn

n!µn· P0 n = 1, 2, . . . , s − 1

λs

s!µs· ρn−s · P0 n = s, s + 1, . . .

Problemas en el calculo de (s − 1)!.


22

Calculo Recursivo

Pn = cn · P0 =

{

λn

n!µn· P0 n = 1, 2, . . . , s − 1

λs

s!µs· ρn−s · P0 n = s, s + 1, . . .

Definimos:

c0 =λ0

0!µ0= 1,

entonces tendremos de forma recursiva que,

cn = cn−1 ·λ

nµn = 1, . . . , s − 1, y cn = cn−1 ·

λ

sµn = s, . . .

y por lo tanto,∞∑

n=s

cn = cs−1 ·λ

sµ − λy P0 =

1∑s−1

0 cn +∑

∞

n=s cn

.


Lq

Numero medio de clientes en la cola, esperanza:

Lq = E(Nq) = 0(P0 + P1 + · · · + Ps) +∞∑

n=s+1

(n − s) · Pn

=

∞∑

n=s

(n − s) · Pn =

∞∑

n=s

(n − s) ·λs

s!µs· ρn−s · P0

=λs

s!µs· P0 ·

∞∑

n=s

(n − s) · ρn−s =λs

s!µs· P0 ·

∞∑

k=0

k · ρk

=λs

s!µs· P0 ·

ρ

(1 − ρ)2=

λs+1 · P0

(s − 1)!µs−1(sµ − λ)2.


23

Formulas de Little

Wq =Lq

λ⇒ Wq =

λs · P0

(s − 1)!µs−1(sµ − λ)2

W = Wq +1

µ⇒ W =

λs · P0

(s − 1)!µs−1(sµ − λ)2+

1

µ

L = λ · W ⇒λs+1 · P0

(s − 1)!µs−1(sµ − λ)2+

λ

µ


Espera de los Clientes

Probabilidad de que un cliente este en la cola o en el sistema:

P (Wq ≤ t) =

1 − λsP0

(s−1)!µs−1(sµ−λ)e−(sµ−λ)t si t ≥ 0

0 si t < 0

P (W ≤ t) =

1 − (1 + λsP0t(s−1)!µs−2(sµ−λ)

)e−µt si t ≥ 0

0 si t < 0

Probabilidad de que un cliente no tenga que esperar:

P (Wq = 0) = P (Wq ≤ 0) = P (N ≤ s − 1) =

s−1∑

n=0

Pn


24

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