Geodesia Modelos de Tierra Cartograf´ıa Modelos de Tierra ... · ´ıntimamente ligada a la...

GeodesiaCartografıa

Fundamentos de Navegacion AereaTema 2: Modelos de la superficie terrestre. Geodesia y

cartografıa. Rutas aereas.


La geodesia a traves de la HistoriaModelos de TierraModelos gravitatorios de la Tierra

Geodesia

Geodesia: Ciencia que se ocupa de la forma, medida yrepresentacion de la Tierra y de su campo gravitatorio.Tambien estudia otros fenomenos, como por ejemplo elmovimiento de las placas tectonicas, la rotacion de la Tierra,el desplazamiento de los Polos o las mareas.

Forma de la Tierra: Se plantean modelos locales(utiles para una cierta region, como por ejemplo unpaıs) o globales.

Medida de la Tierra: A pequena escala (topografıa:estudios geodesicos, triangulaciones geodesicas conteodolitos), o a gran escala (radio de la Tierra,aplanamiento, etc...).

Representacion de la Tierra: En este aspecto,ıntimamente ligada a la cartografıa.

Campo gravitatorio de la Tierra: en este aspecto sedenomina geodesia fısica (rotacion, mareas,densidad de las capas de la Tierra...). 2 / 62



Modelos de Tierra en la Antiguedad

En tiempos antiguos (primeras civilizaciones), losdesplazamientos eran muy cortos y por tanto el efecto de lacurvatura muy poco apreciable.

Por tanto, tıpicamente se asumıa un modelo de Tierra plana1.

No obstante ya habıa algunos efectosapreciables para una mente observadora:

En un eclipse de Luna, la sombra de laTierra es circular (¿y si la Tierra fuera undisco?).Cuando un barco se adentra en el mar, ¡loultimo que desaparece son las velas!

Los griegos fueron los primeros en proponerotro modelo de Tierra diferente: una Tierraesferica.

1Aun existe quien ası lo piensa, p.ej. los miembros de la Flat Earth Society.

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Modelos de Tierra en la Antiguedad

Los griegos eligieron una esfera por coherencia con lasobservaciones, pero sobre todo por motivos filosoficos: laesfera es el solido mas perfecto.Entre otros, argumentaron que la Tierra era una esferaPitagoras, Aristoteles, Platon o Arquımedes.

El primero en estimar la circunferencia de laesfera terrestre fue Eratostenes, alrededordel ano 240 A.C.

Eratostenes de Cirene era un matematico,poeta, atleta, geografo y astronomo griego.

Tambien estimo la inclinacion del eje de laTierra con respecto a la eclıptica (planodonde orbita la Tierra en torno al Sol), y sele atribuye estimar la distancia Tierra-Sol yla invencion del ano bisiesto. 4 / 62



Midiendo la circunferencia de la Tierra

Eratostenes uso trigonometrıa para medir el radio de la Tierra,supuesta esta esferica (el radio real es aproximadamente 6370kilometros).En Asuan, durante el Solsticio de Verano, el Sol se encontrabatotalmente vertical. ¿Que es el Solsticio de Verano y queimplica que el Sol este vertical?

El mismo dıa, en Alejandrıa, un obeliscoproyectaba una sombra de angulo 7,12o.

Eratostenes sabıa que la distancia entreAlejandrıa y Asuan era de unos 5000estadios.

En unidades modernas, 1 estadio = 157.5metros.

Ejercicio: Reproducir el calculo deEratostenes. 5 / 62



Modelo de Tierra esferico

Posteriormente Ptolomeo (en el siglo II D.C.) estimo elperımetro de la Tierra en 29000 kilometros (realmente sonunos 40000 kilometros). Dado el prestigio de Ptolomeo, estaestimacion se mantuvo durante la Edad Media y Renacimientoy fue la utilizada por Colon para planear su viaje a las Indias.

Si la Tierra es esferica, se pueden definirlatitud, longitud, meridianos y paralelos.

¿Cual es la latitud y longitud de Sevilla?

¿que longitud tiene un cierto arco dadosobre un meridiano? ¿y sobre un paralelo?

Tomando el radio de la Tierra como 6366.7kilometros, ¿que longitud cubre un minutode arco de meridiano? (1’=1/60 grados)

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Modelo de Tierra elipsoidal

Cassini (Francia, s.XVIII) midio con precision un arco demeridiano y observo el siguiente fenomeno: tomando comoreferencia Parıs, 1 grado de arco medido hacia el Norte eramas largo que un grado de arco medido hacia el Sur.

Para resolver la discrepancia, propuso unmodelo elipsoidal (de revolucion) de laTierra, de forma que el radio en el Polo esmayor que el radio en el Ecuador.

Huygens y Newton habıan propuestodecadas atras el modelo opuesto, unelipsoide de revolucion con mayor radio en elEcuador que en el Polo.

El asunto se convertio en una cuestion deorgullo nacional, Francia vs. Gran Bretana.

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La geodesia en tiempos modernos

La academia de Ciencias francesa mando una expedicion aregiones polares para hacer medidas mas precisas.Las medidas dieron la razon a los ingleses.Este fue el primer avance importante en geodesia en casi 20siglos.

En el siglo XIX, la geodesia aparece comociencia independiente gracias a lascontribuciones de Bessel, Gauss, etc...

En tiempos modernos, la geodesia haexperimentado un nuevo auge gracias a laexploracion del espacio.

Sistemas basados en satelites como GPS yotros permiten determinar medidasgeodeticas con una precision antesinalcanzable. 8 / 62



Modelos de Tierra

Dependiendo del objetivo que se pretende alcanzar, endiferentes disciplinas se pueden emplear diferentes modelos deTierra.En estudios simplificados y locales se puede usar Tierra plana(p. ej. en Mecanica del Vuelo).En el otro extremo esta la superficie topografica de la Tierra:es la forma real de la Tierra, pero para poder usarla hacenfalta infinitos puntos: no es practica en la mayor parte de loscasos.Otra posibilidad es definir una superficie ideal, matematica, dereferencia, admitiendo que la Tierra “se parece” a pero no esexactamente dicha superficie. Hay dos posibilidades:

Esfera: mas simple pero menos precisa.Elipsoide de revolucion achatado en los polos.

Finalmente, el geoide es una superficie compleja que aproximabien la topografica, definida en base al modelo geopotencial(gravitatorio y de rotacion terrestre). 9 / 62



Elipsoides de referencia

Puesto que la Tierra tiene una forma aproximadamenteelipsoidal, este modelo tiene el merito de ser losuficientemente simple como para ser manejable y losuficientemente preciso como para ser util en la practica.

Para definir un elipsoide son necesarios dos parametros:re

= semieje ecuatorial (mayor) [a veces llamado a].rp

= semieje polar (menor) [a veces llamado b].

Tıpicamente no se emplea b, sino que seutiliza el “factor de achatamiento” o deaplanamiento (flattening): f = 1� r

p

/re

.

En tablas se suele dar mas bien 1/f .

Otra alternativa a f es la excentricidade =

q1� r2

p

/r2e

.

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Elipsoides de referencia

Existen muchos elipsoides definidos, que aproximan mejordiferentes zonas de la Tierra.

Es sencillo convertir coordenadas de un elipsoide a otro.

En la actualidad ha emergido un estandarcomunmente aceptado en todo el mundo.

Se denomina Elipsoide Internacional deReferencia WGS84.

Para el WGS84, re

= 6378,137 kilometros y1/f = 298,257224.

El uso del WGS84 se debe a que esempleado por los satelites GPS; todos losreceptores GPS trabajan con coordenadasdefinidas por el elipsoide WGS84.

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Otros elipsoides de referencia

Ejemplos de otros elipsoides de referencia:

En Espana hasta hace poco se usaba el ED50, basado en elInternacional, pero ahora se usa el ETRS89 (basado en elGRS80) que es equivalente (por milımetros) al WGS84.

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Sistema Geografico de referencia

Tambien llamado ejes Tierra o ECEF (EarthCentered, Earth Fixed).

Ligado a la Tierra, rota con ella.

Util para referenciar posiciones en toda laTierra.

Coordenadas cartesianas:xECEF = [xECEF yECEF zECEF]T.

El plano Oxey e contiene al Ecuador y elplano Oxeze al Meridiano de Greenwich.

La forma de la Tierra se asimila al elipsoideWGS84.

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Coordenadas geodeticas o geodesicas

Un punto queda determinado por sualtitud h, latitud geodesica � y longitudgeodesica �.

Observese que h mide la altitud sobreuna perpendicular al suelo (verticallocal) que no coincide en general conuna lınea que una el punto con elcentro de la Tierra.

Relacion con las coordenadas cartesianas:

x

ECEF =

h +

r

ep1 � f (2 � f ) sen2 �

!cos� cos� =

h +

r

ep1 � e

2 sen2 �

!cos� cos�,

y

ECEF =

h +

r

ep1 � f (2 � f ) sen2 �

!cos� sen� =

h +

r

ep1 � e

2 sen2 �

!cos� sen�,

z

ECEF =

h +

r

e

(1 � f )2p

1 � f (2 � f ) sen2 �

!sen� =

h +

r

e

(1 � e

2)p

1 � e

2 sen2 �

!sen�.

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Coordenadas geocentricas

Tambien se pueden emplear coordenadasesfericas tradicionales:Un punto P quedadeterminado por el radio r (medido desde elcentro de la Tierra), la latitud geocentrica �

C

yla longitud geocentrica �

C

.

Es evidente que �C

= �, al ser el elipsoide derevolucion. No obstante, � 6= �

C

.

En la figura se ha elegido un meridiano � por elque se ha “cortado” el elipsoide.

Usando la figura se pueden demostrar lasformulas de la anterior transparencia.

Relacion con las coordenadas cartesianas:

x

ECEF = r cos�C

cos�C

, r =q

(xECEF)2 + (yECEF)2 + (zECEF)2,

y

ECEF = r cos�C

sen�C

, tan�C

= y

ECEF

x

ECEF ,

z

ECEF = r sen�C

, tan�C

= z

ECEFq

(xECEF)2+(yECEF)2.

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Demostracion de las expresiones

Consideremos primero un punto sobre elelipsoide (h = 0).

La ecuacion del elipsoide es z

2

r

2p

+ �2

r

2e

= 1. La

pendiente de la recta tangente z = z(�),derivando, se obtiene como 2zz 0

r

2p

+ 2�r

2e

= 0, es

decir, z 0 = ��z

r

2p

r

2e

.

Puesto que la pendiente estan(⇡/2 + �) = � 1

tan� y de la figuraz

� = tan�C

llegamos rapidamente a

tan� = z

�r

2e

r

2p

= tan�C

r

2e

r

2p

.

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Por otro lado, de la ecuacion del elipsoide,

�2 = r2e

� z2 r2e

r

2p

. Sustituyendo la anterior

expresion:

�2 = r2e

� �2 tan2 �

r4p

r4e

!r2e

r2p

Luego,operando:

�2 =r2e

1 + tan2 �r

2p

r

2e

=r2e

cos2 �

1�⇣1� r

2p

r

2e

⌘sen2 �

Igualmente:

z2 = �2 tan2 �r4p

r4e

=r2e

sen2 �r

4p

r

4e

1�⇣1� r

2p

r

2e

⌘sen2 �

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Teniendo en cuenta que r

p

e

e

= 1� f y quex = � cos�, y = � sen�, se llega a lasexpresiones para h = 0.

Para h 6= 0, es claro que hay que anadir unacantidad h cos� a � y h sen� a z , llegando alas expresiones anteriores.

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Pasar de coordenadas cartesianas a geodesicas

Dadas las coordenadas geodesicas, es inmediato obtener lascoordenadas xECEF.El procedimiento inverso ha de hacerse numericamente.Unicamente se puede calcular con facilidad � de

tan� = y

ECEF

x

ECEF .Para ello conviene definir la funcion N(�) = r

ep1�e

2 sen2 �y

escribir p =p(xECEF)2 + (yECEF)2.

1 Asumir h0 = 0. Entonces tan�0 =z

ECEF

p(1�e

2).

2 Iterar para i = 0, 1, . . .:a Calcular N

i

= r

ep1�e

2 sen2 �i

.

b Calcular hi+1 =

p

cos�i

� Ni

.

c Calcular �i+1 de tan�

i+1 =z

ECEF

p

⇣1�e

2 N

i

N

i

+h

i+1

⌘ . Volver a (a).

3 Parar cuando el procedimiento iterativo converja.19 / 62



Sistema de referencia local y radios de curvatura

En la figura se ve un sistema de ejesdefinido localmente, llamado NED:North-East-Down.

Coincide con el sistema definido por lascoordenadas curvilineas �, �, h, deforma que N=e�, E=e�, D=�e

h

.

Dicho sistema es fundamental ennavegacion aerea, a veces se llama“navigation frame”.

El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un meridiano

(� =cte) es Rmer

= r

e

(1�e

2)

(1�e

2 sen2 �)3/2.

El radio de curvatura del elipsoide a lo largo de un paralelo(� =cte) es R

normal

cos�, donde Rnormal

= r

ep1�e

2 sen2 �.

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Modelos gravitatorios

Si la Tierra fuera una esfera perfecta, homogenea por capasesfericas (como una cebolla), la aceleracion de la gravedad g

serıa igual a G = �µe

r

3 r , donde r = xECEF.En realidad, se tiene que G = G (r ,�,�).Para estudiar G es mas sencillo usar un potencial UG yutilizar coordenadas geocentricas r , �

C

, �C

.Por tanto G = rUG , es decir, en esfericas:G = @UG

@r er

+ 1r

@UG

@�C

e�C

+ 1r cos�

C

@UG

@�C

e�C

.

Modelo esferico: UG = µe

r

.Modelo elipsoidal (J2):

UG = µe

r

h1 + J2

2

�r

e

r

�2(1� 3 sen2 �

C

)i, donde J2 es un

coeficiente.Modelo EGM96: hasta 360 terminos realizando correcionespor la forma de la Tierra y la distribucion masica.

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La rotacion de la Tierra

La Tierra rota con una velocidad !e

en torno al eje ze . Puestoque los ejes ECEF son solidarios con la Tierra, en dichos ejeshay que anadir las fuerzas de inercia ficticias.

Concretamente aparece una aceleracion centrıfuga, dada poracent

= �!e

⇥ (!e

⇥ xECEF).

Se tiene que acent

= �!2e

⇥xECEF yECEF 0

⇤T

.

Si escribimos U! = !2e

r

2 cos2 �C

2 , se tiene que acent

= rU!.

Notese que desde el punto de vista de un observador, laaceleracion centrıfuga es completamente indistinguible de lagravitatoria.

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El geopotencial

Por tanto a todos los efectos se puede sumar la aceleracioncentrıfuga a la gravitatoria, y considerar la suma como la“gravedad sentida” g .

Se tiene por tanto g = G + acent

.

A nivel de potenciales, Ug = UG + U!.

La funcion Ug se denomina geopotencial.

Observese que esta misma operacion no se puede realizar conla otra fuerza de inercia producto de la no inercialidad delsistema de referencia ECEF, que es la fuerza de Coriolis.

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El geoide

El geopotencial se utiliza para definir el geoide, una superficieque aproxima la forma verdadera de la Tierra.Se define el geoide como la superficie equipotencial (conrespecto al geopotencial Ug ) que mejor aproxima (en elsentido de mınimos cuadrados) el nivel medio del mar global.

Un geoide (exagerado).

Con los modelos gravitatorios antesexpuestos:

1 Si se considera la gravedad de una esfera yse desprecia la rotacion de la Tierra, setiene que el geoide es una esfera.

2 Si se considera la gravedad con el modeloJ2 (de un elipsoide) y con la rotacion de laTierra, se obtiene el elipsoide WGS84.

3 Si se considera el modelo completo degravedad EGM96 se obitene el llamadogeoide EGM96.

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El geoide

En las figuras se puede ver la relacion entre la superficie de laTierra (topografica), el geoide, y el elipsoide.Se define N como la undulacion del geoide. Se tieneN 100 m (para el geoide EGM96 respecto al elipsoideWGS84). En la figura de la izquierda aparece la altura

elipsoidal (como h) y la altura ortometrica oelevacion geoidal (como H).

La altura AGL hAGL

es la distancia a lasuperficie, y se define como altitud menosaltura elipsoidal.

Un modelo de terreno vendra dado comouna funcion que da la altura elipsoidaldependiendo de los valores de � y �. 25 / 62



Otros modelos gravitatorios de referencia

Para simplificar, en ocasiones se usan otros modelos massimples de gravedad, p.ej. gravedad constante. No obstante, sise quiere una gran precision habra que utilizar el modelo mascomplejo disponible.La mayor parte de los sistemas de navegacion empleanmodelos simplificados, donde se define g como un escalar yluego se escribe gn = [0 0 g ], donde n es el sistema dereferencia NED (luego D es “hacia abajo”).Nosotros usaremos g = µ

e

(re

+h)2.

El WGS84 define un modelo simplificado con algunoscoeficientes (no lo usaremos).Puesto que el modelo no es correcto, se debe incluir laposibilidad de que tenga errores (anomalıas gravitatorias):gn = [⇠g � ⌘g g ], donde ⇠ y ⌘ son pequenos angulos, que semantendran constantes en pequenas distancias.

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Lınea de plomada y deflexion vertical

La linea de plomada o vertical astronomicaes perpendicular al geoide, y es hacia dondeen la realidad se dirige g .

La linea perpendicular al elipsoide es haciadonde se dirige g segun el modelo de laanterior transparencia.

La diferencia entre ambas es la llamada“deflexion vertical”.

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Proyecciones. Mapas y CartasRutas ortodromicas y loxodromicas

Cartografıa

Cartografıa: es la disciplina que estudia la teorıa y laconfeccion de mapas geograficos y cartas.Para ello combina ciencia, tecnica e incluso estetica, partiendode la premisa de que se puede comunicar informaciongeografica de forma efectiva modelando adecuadamente larealidad fısica.

Los principales problemas que encuentra lacartografıa son:

Seleccionar los aspectos geograficos que semuestran en una representacion.Eliminar la complejidad innecesaria oirrelevante contenida en una representacion.Combinar los elementos representativos quetiene una representacion para comunicar deforma efectiva la informacion deseada.Plasmar la representacion de la realidadtridimensional sobre una superficie plana (elmapa o carta): mediante proyecciones. 28 / 62



Proyecciones. Mapas y Cartas

Mapas/Cartas: representaciones en un plano y a tamanoreducido de la superficie de la Tierra o una parte de ella.Un mapa siempre introduce distorsiones (es decir, no escompletamente fiel a la realidad) debido a que la superficieque se pretende representar tiene curvatura.Esto fue demostrado matematicamente por Euler.

Para crear un mapa se emplea una proyeccion.Concretamente, se proyecta el plano terraqueo sobre unacierta superficie:

Un plano (proyeccion tipo azimutal).Un cilindro (proyeccion cilındrica).Un cono.

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Proyecciones.

Otras formas de clasificar una proyeccion podrıan ser:Por la orientacion de la superficie respecto al Ecuador:normales, trasversales u oblicuas.Por la posicion del globo terraqueo respecto a la superficie:tangente (podrıa tener una lınea sin deformacion) o secante(podrıa tener dos lıneas sin deformacion).

Mas importante es el tipo de proyeccion; p.ej. para el casode un plano:

Gnomonica (la proyeccion pasa por el centro de laTierra).Estereografica (pasa por el punto antipodal).Ortografica (la proyeccion tiene una direccion fija).Escenografica (la proyeccion viene desde fuera delglobo terrestre).

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Propiedades de una proyeccion

Las propiedades mas importantes de una proyeccion son:Conformidad. Una proyeccion es conforme si preserva losangulos (y por tanto los rumbos); ademas preserva las formasa nivel local. Los meridianos y paralelos siguen siendoperpendiculares. Muy utiles en navegacion.Conservacion de areas. Una proyeccion es equiareal si mantienela proporcion entre areas. Utiles sobre todo en aplicacionesadministrativas/polıticas.Equidistancia: una proyeccion NO puede mantener laproporcion correcta entre TODAS las distancias. No obstantesı pueden existir algunas lıneas con esta propiedad: lıneasautomecoicas. Una carta que tenga “muchas” lıneasautomecoicas se denomina equidistante.

Un mapa no puede ser conforme y equiareal (Euler); si lofuera, serıa una representacion perfecta del globo terrestre.Siempre hay que renunciar al menos a una de las propiedades.

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Proyeccion de Mercator.

Muy utilizada en navegacion marıtima.

Inventada en el siglo XVI.

Cilındrica, trasversal y conforme.

Ecuaciones matematicas:x = �� 0, y = ln

⇣tan⇣

⇡4 + �

2

⌘⌘.

No acotada en y : se suele cortar aaltas latitudes.

Cuanto mas cerca de los polos, mas

se distorsiona el mapa (observar

como se amplıa la distancia en

proyeccion entre paralelos

equidistantes en la realidad).32 / 62



Proyeccion cilındrica equidistante.

Permite ver la Tierra completa.

Cilındrica, trasversal, tangente, ortografica.

Tıpicamente usada para representar trazas de satelites.

Ecuaciones matematicas:x = �� 0, y = �.

Acotada en y . Por tanto, noconforme.

Tampoco es equiareal.

Su sencillez la hace popular en

representaciones generadas por

ordenador.

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Proyeccion estereografica.

Util para estudiar las proximidades deun punto, p.ej. el Polo.Conforme.Plana, normal, tangente, estereografica.

Ecuaciones matematicas:x = cos� sen(� � �0),

y = cos�0 sen� � sen�0 cos� cos(� � �0).

No acotada: se suele cortar apuntos cercanos al antipodal delcentro de la proyeccion.

Util para estudiar las proximidades

de un punto.

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Proyeccion de Lambert.

Utilizada en navegacion aerea.

Conica, normal, secantey estereografica.

Las lineas rectas aproximan rutasortodromicas (ver mas adelante).

Ecuaciones matematicas:x = ⇢ sen(n(� � �0)), y = ⇢0 � ⇢ cos(n(� � �0)),

donde: n =ln(cos�1 sec�2)

ln(tan(⇡/4+�2/2) cot(⇡/4+�1/2)),

⇢ = F cotn(⇡/4+�/2), ⇢0 = F cotn(⇡/4+�0/2),

F = 1/n cos�1 tann(⇡/4 + �1/2).

No acotada se suele reducir a unazona de interes.

2 paralelos automecoicos (�1, �2).

Suelen ser locales y no globales.

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Proyeccion azimutal equidistante.

En el emblema de la ONU.

Azimutal, escenografica,tangente, normal.

Ecuaciones matematicas:x = c

sen c

cos� sen(� � �0),

y = c

sen c

[cos�0 sen� � sen�0 cos� cos(� � �0)], donde

cos c = sen�0 sen� � cos�0 cos� cos(� � �0).

Acotada: convierte el punto antipodal enuna circunferencia limıtrofe.

Solo libre de distorsion en torno al puntocentral.

Todas las distancias medidas desde el

punto central son verdaderas (lıneas

automecoicas).36 / 62



Rutas mas usuales

Dado un mapa, un origen y un destino, se plantea el problemade encontrar el camino mas apropiado para ir de uno a otro.

En la realidad, esta eleccion del camino (que se plasma en elplan de vuelo) esta sujeta a numerosas restricciones. A dıa dehoy, se vuela entre “waypoints”.

Ademas habrıa que tener en cuenta los vientos.

No obstante, en esta leccion vamos a simplificar el problema yvamos a suponer que en principio cualquier camino es volable.Ademas supondremos que la Tierra es una esfera de radio R

e

.

Veremos dos posibilidades:El camino mas corto: Ruta ortodromica.El camino mas simple de volar: Ruta loxodromica.

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Rutas ortodromicas. Cırculos maximos

Una Ruta ortodromica entre dos puntos de la Tierra es elcamino mas corto entre dichos puntos.Podemos traducir el problema a terminos matematicos,considerando un modelo de Tierra esferica.Dados dos puntos P

A

y PB

en la esfera, dados como (�A

,�A

)y (�

B

,�B

), de todas las curva sobre la esfera que unen dichospuntos, ¿cual es la de mınima distancia?Si estuvieramos en el plano, la respuesta es una lınea recta.En una superficie con curvatura, dicha curva se denominageodesica y en general no es una recta.La geometrıa diferencial da unas ecuaciones para hallar lageodesica en funcion de la primera forma diferencial, lossımbolos de Christo↵el, etc...Para el caso de la esfera, la solucion es simple y solo requiereel uso de geometrıa elemental.

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Cırculos maximos

®

En una esfera, un “cırculo mayor” (grancırculo, cırculo maximo) viene dado por lainterseccion de un plano que pasa por elcentro de la esfera con la esfera.

Las “rectas esfericas” (geodesicas) sonlos cırculos mayores. Observese quecualesquiera dos rectas esfericas cortansiempre en dos puntos; por tanto, noexisten paralelas en geometrıa esferica.

El problema queda reducido a:Dados dos puntos, determinar el cırculo mayor que contiene aambos. ¿Es dicho cırculo unico?Medir la distancia sobre dicho cırculo: dara la distancia entrelos dos puntos.

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Cırculo maximo entre dos puntos

Dados dos puntos PA

= (�A

,�A

), PB

= (�B

,�B

), se dice quePA

y PB

son antipodales si �B

= ��A

y �B

= 180o + �A

.

Si PA

y PB

NO son antipodales, existe un unico cırculomaximo que contenga a ambos. La ortodromica sera el arcomas corto que los una.

Si PA

y PB

son antipodales, existen infinitos cırculos maximosque los unen; cualquier semicircunferencia de dichos cırculosmaximos es una ortodromica. ¿Por que? ¿Cual es por tanto ladistancia entre dos puntos antipodales (en millas nauticas)?

¿Son los meridianos ortodromicas?

¿Son los paralelos ortodromicas?

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Calculo de la ruta ortodromica. Rumbo

Recordemos que en una esfera,r = R

e

[cos� cos� cos� sen� sen�].Recordemos ademas los vectores que definen la base local encoordenadas curvilıneas:

er

=

2

4cos� cos�cos� sen�

sen�

3

5 , e� =

2

4� sen� cos�� sen� sen�

cos�

3

5 , e� =

2

4� sen�cos�0

3

5 .

Fısicamente er

apunta hacia el cenit, e� hacia el Norte y e�hacia el Este.Dada una curva cualquiera en la esfera, se define el rumbo(tambien llamado azimut) en un punto de la curva como elangulo que forma el vector e� con el vector tangente de dichacurva e

t

, medido en el sentido de las agujas del reloj.¿Que significado fısico tienen los rumbos 0o, 90o, 180o y 270o?En general el rumbo cambiara segun el punto de la curva y elsentido en que se recorra. 41 / 62



Calculo de la ruta ortodromica

Escribamos los vectores de los puntos:

rA

= Re

2

4cos�

A

cos�A

cos�A

sen�A

sen�A

3

5 , rB

= Re

2

4cos�

B

cos�B

cos�B

sen�B

sen�B

3

5 .

Geometricamente, se puede ver que el arco que abarca laortodromica es el angulo ↵ formado por los vectores.Por tanto:

rA

· rB

= krA

kkrB

k cos↵,y se llega a:

cos↵ = sen�A

sen�B

+ cos�A

cos�B

cos(�B

� �A

)

¿Cual serıa la ecuacion implıcita que verificarıan todos lospuntos de la ortodromica?Una vez se tiene ↵, d

A,B = ↵Re

.42 / 62



Calculo del rumbo en la ortodromica I

¿Como calcular el rumbo del que habrıa que partir desde Apara recorrer la ortodromica? Recordemos que el rumbo serıael angulo entre el vector e� en A y la tangente e

t

en A.En primer lugar, se tiene que el vector normal al plano quedefine la ortodromica sera:

n = rA

⇥ rB

Por otro lado, et

sera perpendicular tanto a n como a er

enA. Por tanto:

et

(A) = n ⇥ er

(A) = (rA

⇥ rB

)⇥ er

(A)

Usando la identidad: a⇥ (b ⇥ c) = (a · c)b � (a · b)c , se llegaa:

et

(A) = �er

(A)⇥ (rA

⇥ rB

) = (er

(A) · rA

)rB

� (er

(A) · rB

)rA

= Re

(rB

� cos↵rA

)43 / 62



Calculo del rumbo en la ortodromica II

El modulo de dicho vector et

es:

ket

(A)k = kRe

(rB

� cos↵rA

) k= R

e

p(r

B

� cos↵rA

) · (rB

� cos↵rA

)

= Re

qR2e

+ cos2 ↵R2e

� 2R2e

cos2 ↵ = R2e

sen↵

Por tanto el vector et

normalizado es:

e⇤t

(A) =er

(B)� cos↵er

(A)

sen↵

El rumbo �(A) se encontrara de

cos�(A) = e�(A)·e⇤t (A) =e�(A) · er (B)� cos↵e�(A) · er (A)

sen↵

44 / 62



Calculo del rumbo en la ortodromica III

Luego finalmente:

cos�(A) =e�(A) · er (B)

sen↵Sustituyendo el valor de los vectores, se llega a:

cos�(A) =cos�

A

sen�B

� cos�B

sen�A

cos(�B

� �A

)

sen↵¿Es el rumbo constante en todos los puntos de laortodromica?¿Como se resolverıa el problema inverso? (Dado un puntoinicial, un rumbo inicial y una distancia a volar, determinar elpunto al que se llega siguiendo una ortodromica).¿Cual es el rumbo en el caso antipodal?Observacion: las calculadoras devuelven el arcocoseno entre 00

y 1800: rumbo con componente Este. Si B esta al Oeste de A,es necesario corregir (360 grados menos arcocoseno).

45 / 62



Rutas loxodromicas

En la practica, un piloto no puede volar una ruta ortodromicaporque el rumbo de la ruta se modifica continuamente.

La ruta mas facil de volar es una que mantenga el rumboconstante.

Una ruta loxodromica entre dos puntos de la Tierra es elcamino mas corto entre dichos puntos tal que el rumbo dedicho camino es constante.

Por tanto, son faciles de volar para un piloto humano.

Una ruta ortodromica sera mas corta, pero no volable; portanto se puede aproximar por varios segmentos loxodromicos.

¿Son los meridianos loxodromicas?

¿Son los paralelos loxodromicas?

¿Son las loxodromicas curvas cerradas?46 / 62



Calculo de la loxodromica I

En primer lugar resolvamos el problema inverso: dado unrumbo � y un punto inicial, ¿que curva se obtiene si se vuelacon dicho rumbo constante? La solucion esta clara en el casode meridianos y paralelos.Supongamos, en el caso general, que describimos la curvasobre la esfera con una ecuacion del tipo � = �(�). Por tantose tendrıa:r(�) = R

e

[cos�(�) cos� cos�(�) sen� sen�(�)]T

De geometrıa diferencial sabemos que et

= d

d� r(�). Portanto: e

t

= Re

�e��

0 + e� cos��. Se calcula facilmente que

ket

k = Re

p�02 + cos2 �.

Puesto que cos� = e� · e

t

ket

k , obtenemos: cos� = �0p�02+cos2 �

,

y despejando �0 llegamos a la ecuacion diferencial

�0

cos�=

1

tan� 47 / 62



Calculo de la loxodromica II

Puesto que se tieneR

d�cos� = � ln tan (⇡/4� �/2), integrando

llegamos a la siguiente solucion:

ln

✓tan (⇡/4� �

A

/2)

tan (⇡/4� �/2)

◆=

�� A

tan�

¿Cual serıa la distancia entre dos puntos de una loxodromica?Recordar:

d =

Z �

�A

ket

kd� = Re

Z �

�A

p�02 + cos2 �d�

Usando la ecuacion diferencial:

d = Re

Z �

�A

�0p1 + tan2 �d� = R

e

1

cos�

Z �

�A

�0d� = Re

1

cos�

Z �

�A

d�

Se llega a: d = Re

��A

cos� .48 / 62



Calculo de la loxodromica III

Ya podemos resolver el problema directo: dados dos puntos Ay B, hallar la loxodromica que los une y la distancialoxodromica que los separa.En primer lugar hallar el rumbo de la ecuacion:

ln

✓tan (⇡/4� �

A

/2)

tan (⇡/4� �B

/2)

◆=

�B

� �A

tan�

Observacion 1: Si |�B

� �A

| > ⇡, para ir por el camino corto(atravesando el meridiano 1800) hay que corregir �

B

: sumar2⇡ (si �

B

< 0) o restar 2⇡ (si �B

> 0).Observacion 2: las calculadoras devuelven el arcotangenteentre �900 y 900: rumbo con componente Norte. Si B esta alSur de A, es necesario corregir (arcotangente mas 180 grados).

En segundo lugar calcular la distancia de: d = Re

�B

� �A

cos�.

Tener cuidado con los casos especiales (paralelos)!!En una proyeccion de Mercator las loxodromicas son rectas. 49 / 62



Rutas ejemplo

Estudiemos las rutas entre Sevilla (� = 5o590W,� = 37o240N) y las ciudades:

Madrid (� = 4o10W, � = 40o460N).Nueva York (� = 73o580W, � = 40o470N).Melbourne (� = 144o580E, � = 37o490S).

Los resultados obtenidos fueron los siguientes:

Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)Madrid 411.01 23.78 411.02 24.38NY 5728.8 296.27 5877.2 273.67

Melbourne 17466 100 17641 118.3

Si numericamente se calculan los mismos casos sobre elelipsoide WGS84, se obtienen los siguientes resultados:

Ciudad Distancia (ort., km) Rumbo inicial (grados, ort) Distancia (lox., km) Rumbo (lox., grados)Madrid 410.64 23.86 410.65 24.47NY 5742.7 296.26 5891.5 273.65

Melbourne 17469 99.86 17644 118.16

50 / 62



Rutas ejemplo: Sevilla-Madrid

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450−6

−5.5

−5

−4.5

−4

distancia (km.)

long

itud

(gra

d.)

OrtodromicaLoxodromica

0 50 100 150 200 250 300 350 400 45037

38

39

40

41

distancia (km.)

latit

ud (g

rad.

)


0 50 100 150 200 250 300 350 400 45023.5

24

24.5

25

25.5

distancia (km.)

Rum

bo (g

rad.

)


51 / 62



Rutas ejemplo: Sevilla-Nueva York

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000−80

−60

−40

−20

0

distancia (km.)

long

itud

(gra

d.)

LoxodromicaOrtodromica

0 1000 2000 3000 4000 5000 600035

40

45

distancia (km.)la

titud

(gra

d.)


0 1000 2000 3000 4000 5000 6000240

260

280

300

distancia (km.)

Rum

bo (g

rad.

)


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Rutas ejemplo: Sevilla-Melbourne

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000−50

0

50

100

150

distancia (km.)

long

itud

(gra

d.)


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 18000−40

−20

0

20

40

distancia (km.)

latit

ud (g

rad.

)


0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 1800090

100

110

120

130

distancia (km.)

Rum

bo (g

rad.

)


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Aproximacion de ortodromicas por loxodromicas

En el ejemplo (Sevilla-NY) se crean dos waypoints extra deforma que la ortodromica se aproxima por tres loxodromicas.

La proyeccion de la figura es tipo Mercator.

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Problemas inversos

Los problemas inversos consisten en, dado un punto inicial, unrumbo y una distancia, encontrar el lugar a donde se llega,siguiendo una ruta bien ortodromica, bien loxodromica. Losresolvemos como problema de clase.

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El “Jet Stream”

Se conoce como “Jet Stream” (corriente de chorro) unascorrientes de aire que se pueden encontrar en la atmosferaterrestre a la altura de la tropopausa.Fluyen fundamentalmente hacia el Este por caminos“sinuosos”, en forma de tubos estrechos.Pueden alcanzar velocidades desde 100 km/h hasta incluso400 km/h (mas velocidad en invierno que en verano).

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Uso del “Jet Stream”

En los vuelos largos hacia el Este se busca el “Jet Stream”para economizar combustible y disminuir considerablemente eltiempo de vuelo (incluso hasta un 30%!). Ejemplo: Tokyo -Los Angeles.

Tambien se utiliza en vuelos continentales en Norteamerica.Volando hacia el Oeste, simplemente se evita el “Jet Stream”.

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Apendice: Trigonometrıa Esferica

Objeto: Estudiar relaciones angulares en triangulos esfericos (lostriangulos de la geometrıa esferica), permite demostracionessimples para ortodromicas (no loxodromicas).

®

La Encyclopædia Britannica de 1911 dice:

“Perhaps to the student there is no part of ele-mentary mathematics so repulsive as is sphericalgeometry.”

En una esfera, un “cırculo mayor” (grancırculo, cırculo maximo) viene dado por lainterseccion de un plano que pasa por elcentro de la esfera con la esfera.

Las “rectas esfericas” (geodesicas) sonlos cırculos mayores. Observese quecualesquiera dos rectas esfericas cortansiempre en dos puntos; por tanto, noexisten paralelas en geometrıa esferica.

El angulo entre dos rectas esfericas vienedado por el angulo entre las tangentesen el punto de corte. 58 / 62




®

¯

°b ca

Al-JayyaniMatematico musulman nacido en Cordoba o Jaenen el siglo X. Escribio el primer tratado sobre trigo-nometrıa esferica, “Libro de los arcos desconocidos

sobre una esfera”.

Un triangulo esferico es eldeterminado por tres rectas esfericas.

En un triangulo esferico hay seisangulos: los formados entre las rectasen los vertices, que llamaremos ↵, � y�, (que NO suman 180o) y tresangulos interiores, a, b, y c , que seoponen a los anteriores.

Observese que si el radio de la esferaes unidad, entonces a, b y c (enradianes) corresponden a laslongitudes de los arcos que forman eltriangulo; por ello se denominan“lados”, mientras que ↵, � y � sonlos “angulos”.

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®

¯

°ac

b

Figura: Representacion de untriangulo esferico

Existen otras formulas,pero estas son las masimportantes. A veces seusan simultaneamentepara resolverambiguedades de signo.

Por simplicidad, podemos representar untriangulo esferico como en la figura.

Se cumplen las siguientes relaciones:Leyes de cosenos:

cos a = cos b cos c + sen b sen c cos↵

cos b = cos a cos c + sen a sen c cos�

cos c = cos b cos a+ sen b sen a cos �

cos↵ = � cos� cos � + sen� sen � cos a

cos� = � cos↵ cos � + sen↵ sen � cos b

cos � = � cos� cos↵+ sen� sen↵ cos c

Ley de senos:sen↵

sen a=

sen�

sen b=

sen �

sen c

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Observese que si los lados a, b, c son pequenos, entonces setiene que sen a ⇡ a y cos a ⇡ 1� a2/2.Usando estas aproximaciones:

La ley del coseno (cos a = cos b cos c+sen b sen c cos↵) queda:

1� a2

2⇡ (1� b2

2)(1� c2

2) + bc cos↵ = 1� b2

2� c2

2+

b2c2

4+ bc cos↵

despreciando terminos de orden alto y cambiando el signo:

a2 = b2 + c2 � 2bc cos↵

La ley de senos queda:sen↵

a=

sen�

b=

sen �

c

Estos son los teoremas del seno y el coseno de trigonometrıaplana. Por tanto para pequenas distancias la trigonometrıaesferica coincide con la plana.

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®

¯

°ac

b

El razonamiento anterior permite intuir quecuanto mas “grande” sea un trianguloesferico, mas grande sera la desviacion de untriangulo plano.

Esta idea intuitiva se puede cuantificarmediante el llamado Teorema de Girard.

Si llamamos S a la superficie del triangulo esferico, y R alradio de la esfera en la que esta inscrita el triangulo, severifica que:

S = (↵+ � + � � ⇡)R2

S cuantifica el tamano del triangulo, y la formula↵+ � + � � ⇡ (llamada el exceso esferico) cuantifica ladesviacion de la trigonometrıa plana (donde los angulos de untriangulo suman ⇡).

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