Teoria dos Grafos Aula 17 - land.ufrj.brclasses/grafos/slides/aula_17.pdf · Teoria dos Grafos Aula...
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Figueiredo 2011
Teoria dos GrafosAula 17
AulapassadaCiclodeEulerCiclodeHamiltonQuemfoiTuring
AuladehojeColoraoAlgoritmogulosoNmerocromtico
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Figueiredo 2011
Colorindo um Mapa
Colorir o maparegies vizinhas (com fronteira) no podem ter mesma cor
Mapa de regies (estados)
Problema 1: Como colorir um mapa de forma atendendo a restrioProblema 2: Qual o menor nmero de cores necessrio?
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Figueiredo 2011
Colorindo um MapaAbstrao via grafosVrtices: regies (estados)Arestas: duas regies so vizinhas
GO
MG
SPRJ
BA
ES
TO
MS
BA e ES so vizinhos
Nmero mnimo de cores?
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Alocao de FrequnciasRede telefonia celular
Estaes base (torre)Clulas vizinhas no podem usar mesma frequncia
interferncia!
Mesma abtrao!
Problema 1: Como alocar frequncias s clulas?Problema 2: Qual o menor nmero de frequncias necessrio?
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Alocao de FrequnciasVrtices: estaes baseArestas: duas estaes so vizinhas (interferem)
B
C
DE
F
A
Estaes C e F se interferem
Nmero mnimo de frequncias?
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Colorao em GrafosColorao de vrtices Dado grafo G = (V, E)Restrio: vrtices vizinhos no possuem mesma cork-colorao: colorao que utiliza exatamente k cores
grafo k-colorvelNmero cromtico: menor nmero de cores necessrio colorir o grafo
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ExemploUma colorao qualquer?Nmero cromtico?
A
B
C
D
E
F
G H
Colorao qualquer fcil, nmero cromtico difcil
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Algoritmo para ColoraoAlgoritmo para colorir um grafo com o menor nmero de cores possvelIdias???Mtodo guloso
Mas como? Guloso em que?
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Algoritmo GulosoGuloso no grau dos vrtices
maior o grau, mais restrito, colorir primeiro
1.Colorir(G)2.Ordenar vertices em ordem decrescente de graus3.Define conjunto C[i] = 0 para i=1,...,n 4.Incluir v[1] em C[1] // colorir v[1]5.Para j=2, ..., n faca6. Selecione r, a menor cor para colorir v[j]
// menor r tal que nenhum vertice em C[r] // seja vizinho de v[j]
7. Incluir v[j] em C[r]
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Algoritmo GulosoAlgoritmo funciona?
gera uma colorao de G?Sim! Prova pelo funcionamento
Algoritmo obtm nmero cromtico?utiliza menor nmero de cores?
No! Contra-exemplo?
Complexidade?
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Figueiredo 2011
Nmero CromticoProblema difcil!No se conhece algoritmo eficiente para determinar o nmero cromticoDeterminar se um grafo k-colorvel igualmente difcil, para k > 2
para k = 2 fcil, j fizemos aqui
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Colorao de MapasCaso especial de colorao de grafosGrafo induzido pelo mapa planar
restrio geomtrica das fronterias.Grafo planar: possvel desenhar o grafo sem cruzar as arestas
Problema: Qual o menor nmero de cores necessrio para colorir qualquer mapa?
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Figueiredo 2011
ExemploAmrica do Sul
Nmero cromtico?Exemplo com 4 cores?
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Figueiredo 2011
Teorema das 4 CoresQuatro cores so suficientes para colorir qualquer mapaConjectura de De Morgan em 1852Vrias provas erradas da conjectura!Provado somente em 1972 por Appel, Haken e um computador
prova por fora bruta mostra que no h mapa para qual 5 cores seja necessrioAnlise de 2000 casos, via computador!
Primeira grande prova com ajuda do computadorMatemticos no gostam: e se tiver bug no programa?
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