Teoria dos Grafos e Análise CombinatóriaApresentação da disciplina e revisão de Matemática Discreta

Rodrigo Machadorma@inf.ufrgs.br

Instituto de InformáticaUniversidade Federal do Rio Grande do SulPorto Alegre, Brasilhttp://www.inf.ufrgs.br

Conteúdo

Apresentação da disciplina

Revisão de matemática discreta

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Apresentação da disciplina

Revisão de matemática discreta

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Sobre a disciplina

INF05512 – Teoria dos Grafos e Análise Combinatória

Sobre o que trata:• matemática discreta• resolução de problemas de contagem e enumeração• grafos e resolução de problemas envolvendo grafos

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Sobre o conteúdo

A disciplina possui duas etapas bem caracterizadas: inicia com análisecombinatória e conclui com teoria dos grafos.

Cronograma aproximado:• ± 4 semanas: princípios de contagem e aplicações.• ± 4 semanas: funções geradoras e resolução de recorrências.• ± 4 semanas: grafos simples e problemas associados.• ± 4 semanas: grafos valorados e problemas associados, planaridade e

coloração de grafos simples.

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Sobre a bibliografia

Análise combinatória• Introdução à Análise Combinatória

(José Plínio O. Santos, Margarida P.Mello, Idani T. C. Murari)

• Enumerative Combinatorics (RichardStanley)

• Enumerative Combinatorics(Charalambos A. Charalambides)

• A Walk Through Combinatorics: AnIntroduction to Enumeration and Graph

Theory (Miklós Bóna)Teoria dos Grafos• Introduction to Graph Theory (Douglas

B. West)

• Introduction to Graph Theory (RichardJ. Trudeau)

• Graph Theory (Frank Harary)

• Grafos: Teoria, Modelos, Algoritmos(Paulo Oswaldo Boaventura Netto)

Nota: os exercícios numerados apresentados nestes slides referem-se aosexemplos desenvolvidos no livro Introdução à Análise Combinatória, de JoséPlínio Santos et al.

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Sobre o professor

Rodrigo Machado

• Interesses: programação funcional, reescrita algébrica de grafos, lógica esemântica de programas.

• Página pessoal: http://www.inf.ufrgs.br/∼rma

Contato:• Pessoalmente: sala 217, prédio 72 (a caminho das impressoras)

• Por email: rma@inf.ufrgs.br

• Via Moodle: ele envia automaticamente um email para mim, e fica registrado(forma preferencial).

• Em caso de dúvidas/sugestões/críticas: entrem em contato!!!

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Sobre a metodologia

O que está na súmula:• 60 h teóricas (em sala de aula)

• 0 h práticas (em laboratório). Nota: na verdade serão várias horas bem práticasresolvendo exercícios extra-classe.

É uma disciplina matemática: o que significa• assistir passivamente: não adianta muito para absorver o conteúdo.

• melhor forma de estudar = mão na massa (resolver problemas).

• vamos ver uma série de tipos de problemas e técnicas de resolução.

• listas de exercício

• possível implementação (grafos)

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Sobre a metodologia (2)

Exemplos de problemas que aprenderemos a resolver:• De quantas formas podemos distribuir 10 bolas idênticas entre 4 caixas numeradas de

forma que cada caixa não esteja vazia?

• Qual o número mínimo de pessoas que precisamos ter em um grupo para garantir que aomenos 3 delas façam aniversário no mesmo dia da semana?

• Quantos anagramas distintos possui a palavra ASSASSINOS?

• A população de sapos de um lago quadruplica a cada ano. No primeiro dia de cada ano,100 sapos são removidos do lago e transferidos para outro local. Assumindo queinicialmente havia 50 sapos no lago, quantos sapos o lago terá após 20 anos? Há umafórmula que nos diga o número de sapos em X anos?

• Considerando o mapa rodoviário de uma dada localidade:

◦ Como verificar eficientemente se exista um trajeto que passe exatamente uma vezpor cada trecho de rodovia?

◦ Como calcular eficientemente a distância mínima entre duas cidades?

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Sobre a metodologia (3)

Plataforma de acompanhamento do curso: Moodle da UFRGS (não é o doINF).

http://moodle.ufrgs.br

Acesso pelo usuário e senha institucionais (Cartão UFRGS)

Toda a comunicação oficial do professor com a turma se dará atravésdo Moodle! Ex:• marcação e possível troca de data de prova• disponibilização de slides e listas de exercício• determinação de trabalhos práticos

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Sobre a avaliação

Atividades de avaliação:• M1 = Prova 1 (análise combinatória)• M2 = Prova 2 (teoria dos grafos, peso 0.8) + Trabalhos (peso 0.2)

Ao longo do semestre serão definidos o número total de trabalhos (tipicamente2) e o seu respectivo tipo (lista de exercício e/ou implementação).

Cálculo da média final:M = (M1 + M2)/2

Aprovação: frequência (≥ 75%) + nota mínima (M ≥ 6).

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Sobre o conceito final

Frequência menor que 75%: FF

Frequencia maior que 75%, com média M:

M < 6 D6 ≤ M < 7.5 C7.5 ≤ M < 9 B9 ≤ M A

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Sobre a recuperação

Se o aluno tiver frequência mínima porém não tiver nota mínima, estaráhabilitado à um exame de recuperação R.

Sobre o exame:• versa sobre todo o conteúdo do semestre• a nota do exame é utilizada para substituir a menor nota entre prova 1 e

prova 2, sendo recalculada uma média de recuperação MR utilizando amesma fórmula anterior.

Se MR for maior que 6, o aluno estará aprovado.

Alunos que queiram realizar exame para aumento de conceito deverãomanifestar interesse até 48h da realização do mesmo.

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Apresentação da disciplina

Revisão de matemática discreta

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Conjuntos

• Coleções de elementos◦ Sem ordem◦ Sem repetição

• Descritos por extensão ou compreensão:

◦ Extensão: Enumeração dos elementos entre chaves

{4, 5} {a, b, c} {}

◦ Compreensão: Propriedade que caracteriza os elementosEx.: Conjunto dos números inteiros maiores que 42

{x | x ∈ Z ∧ x > 42}

• Conjunto vazio: ∅ ou {}. Importante: note que {∅} 6= ∅

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Operações sobre conjuntos

• x ∈ A (pertinência): Relaciona um elemento x a um conjunto A, sendoválida se x pertencer a A.

4 ∈ N {4} 6∈ N

• A ⊆ B (continência): Relaciona um conjunto A a um conjunto B, sendoválida se todo elemento de A for também elemento de B.

4 6⊆ N {4} ⊆ NN ⊆ Z ∅ ⊆ {1, 2, 3, 4}

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Operações sobre conjuntos (cont.)

• A ∪ B (união): Conjunto contendo todos os elementos que ocorrem em Aou em B.

{1, 2, 3} ∪ {5} = {1, 2, 3, 5} {a, b} ∪ {a} = {a, b}

• A ] B (união disjunta): Conjunto contendo todos os elementos queocorrem em A ou em B, diferenciando ocorrências do mesmo elemento emcada conjunto de origem. Intuição: introdução de anotações nos elementospara diferenciar origem.

{1, 2, 3} ] {5} = {11, 21, 31, 52} {a, b} ] {a} = {a1, b1, a2}

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Operações sobre conjuntos (cont.)

• A ∩ B (interseção): Conjunto contendo todos os elementos que ocorremem A e em B.

{1, 2, 3} ∩ {5} = ∅ {a, b} ∩ {a} = {a}

• A × B (conjunto dos pares): Conjunto de todos os pares ordenados(a, b), onde a ∈ A e b ∈ B.

A = {a, b} B = {1, 2}

A × B = { (a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2) }

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Operações sobre conjuntos (cont.)

• P(A) ou 2A (conjunto potência): Conjunto de todos os subconjuntos deA.

P({a, b}) = { {}, {a}, {b}, {a, b} }

Exercício: Escreva o conjunto potência P(A × B), onde A = {1, 2} eB = {x, y}.

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Principais conjuntos numéricos

Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .}

Naturais positivos N+ = {1, 2, 3, 4, . . .}

Inteiros Z = {. . . – 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, . . . , }

Racionais (frações) Q = {– 12 , –1, 0, 1

2 , 1, . . .}

Irracionais I = {–√

2,√

2,√

3,π, e, . . .}

Reais R = Q ∪ I = {–π, –1, 0, 1,√

2, 12 , e, 2, . . .}

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Relações

• Uma relação binária R ⊆ A × B é uma associação entre elementos de umconjunto A e elementos de um conjunto B.

Exemplo:

A = {a, b} B = {1, 2} R = { (a, 1), (a, 2), (b, 2) }

R :

a 1

b 2

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Relações: propriedades

Uma relação R ⊆ U × U pode ser (para todo a, b, c ∈ U)• reflexiva: aRa• transitiva: aRb ∧ bRc ⇒ aRc• simétrica: aRb ⇒ bRa• anti-simétrica: aRb ∧ bRa ⇒ a = b• total: para todo a existe b tal que aRb• sobrejetora: para todo b existe a tal que aRb• funcional: aRb ∧ aRc ⇒ b = c• injetora: aRc ∧ bRc ⇒ a = b

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Relações: tipos importantes

• função parcial (funcional)

Ex: (x 7→ x – 1) ⊆ N × N

• função (funcional e total)

Ex: (x 7→ x + 1) ⊆ N × N

• ordem parcial (reflexiva, transitiva e anti-simétrica)

Ex: (≤) ⊆ N × N

• equivalência (reflexiva, transitiva e simétrica)

Ex: (≡) ⊆ N × N onde x ≡ y sss (x e y pares) ou (x e y ímpares)

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Funções

• Uma função f : A → B é um mapeamento de elementos de A paraelementos de B

◦ A é o domínio (ou origem) de f. Escrito dom(f).◦ B é o contradomínio (ou destino) de f. Escrito cod(f).◦ O conjunto de todos os elementos de B aos quais algum a ∈ A está associado

é chamado de imagem de f. Escrito img(f).

a 1b 2c 3

4

A f B

dom(f) = {a, b, c}cod(f) = {1, 2, 3, 4}img(f) = {1, 2}

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Funções parciais

• Funções parciais são aquelas onde é possível (mas não necessário) que umelemento do domínio não tenha associação no contradomínio.

Exemplo:a 1b 2c 3

• f(c) = ⊥ denota que f é indefinida para o elemento c.• Utiliza-se f : A ⇀ B para denotar que f é parcial e f : A → B para denotar

que f é totalmente definida.• Funções totais são casos especiais de funções parciais.

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Composição de funções parciais

• Considere f : A → B e g : B → C.

a 1 xb 2 yc 3 z

A f B g C

• A função g ◦ f : A → C é denominada a composição de f e g, ondeg ◦ f(x) = g(f(x)).

a xb yc z

A g ◦ f C

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Cardinalidade

• Cardinalidade = tamanho de um conjunto.• |X|, #(X) ou n(X) denotam a cardinalidade de X.• Exemplo:

|∅| = 0|{7}| = 1

|{a, b, {c, d}}| = 3|N| = infinito contável|R| = infinito incontável

• Nesta disciplina: essencialmente conjuntos finitos.

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Cardinalidade e funções totais

Uma função total f : A → B pode ser

Injetora:x 6= y ⇒ f(x) 6= f(y)

Exemplo:

a 1b 2

3

Nota: |A| ≤ |B|

Sobrejetora:cod(f) = img(f)

Exemplo:

a 1b 2c

Nota: |A| ≥ |B|

Bijetora:injetora e sobrejetora

Exemplo:

a 1b 2c 3

Nota: |A| = |B|

Dois conjuntos A e B possuem a mesma cardinalidade sss existe uma funçãobijetora f : A → B.

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Cardinalidade e operações de conjuntos

Cardinalidade do resultado de operações sobre conjuntos finitos:

|A ∪ B| = |A| + |B| – |A ∩ B|

|A ] B| = |A| + |B|

|A ∩ B| = |A| + |B| – |A ∪ B|

|A × B| = |A| × |B|

|P(A)| ou |2A| = 2|A|

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SomatórioSomatório: maneira compacta de descrever somas de termos que possuamum padrão de formação.• faixa de valores em inteiros:

5∑i=1

xi = x1 + x2 + x3 + x4 + x5

• faixa de valores em conjuntos: seja A = {1, 3, 7}∑i∈A

xi

i = x1

1 + x3

3 + x7

7

• faixa de valores como soluções para certas equações/inequações:∑i,j∈N,1≤i<j≤4

ij = 1

2 + 13 + 1

4 + 23 + 2

4 + 34

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Produtório

Produtório: maneira compacta de descrever produtos que possuam padrão deformação.

Exemplo: ∏i∈N,i<12 e i é primo

i2 = 22 × 32 × 52 × 72 × 112

Nota:

• Somatório 0-ário = 0 (elemento neutro da adição).• Produtório 0-ário = 1 (elemento neutro da multiplicação)

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Multiconjuntos

• Coleções de elementos◦ Sem ordem◦ Com possível repetição (finita)

• Notação: B = Hd, a, b, d, c, a, dI• Um multiconjunto B de elementos tirados de um conjunto X é uma função

do tipo X → N+ que associa um número finito de ocorrências para cadaelemento de X

Exemplo: B : {a, b, c, d} → N+, onde B = {a 7→ 2, b 7→ 1, c 7→ 1, d 7→ 3}

• Nota: um multiconjunto m onde img(m) = {1} representa um conjunto!

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Multiconjuntos: cardinalidade

A cardinalidade de um multiconjunto é o número de elementos que estepossui, contando repetições.

Exemplo: se A = Ha, a, a, b, b, c, dI, então |A| = 7

Como A é uma função do tipo {a, b, c, d} → N+, ondea 7→ 3, b 7→ 2, c 7→ 1, d 7→ 1 temos que |A| = 3 + 2 + 1 + 1.

Definição: seja A um multiconjunto do tipo X → N+. Então

|A| =∑x∈X

A(x)

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Tuplas ou sequências• Coleções de elementos

◦ Finitas◦ Com ordem◦ Com possível repetição◦ Generalização do produto cartesiano (pares ordenados)

• Notação: (): tupla vazia, (a): produto unário, (a, b): dupla, (a, b, c):tripla, (a, b, c, d): quádrupla, . . .

• Uma n-tupla sobre um conjunto U é um elemento do produto

n︷ ︸︸ ︷U × U × · · · × U

• Nota: apesar de multiplicação de conjuntos não ser concretamenteassociativa, isto é, U × (U × U) 6= (U × U) × U, há uma bijeção entre oselementos das duas multiplicações (a, (b, c)) 7→ ((a, b), c), portanto aordem das multiplicações é habitualmente ignorada.

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Coleções de elementos

Conjuntos vs Multiconjuntos vs Tuplas

Ordem\Repetição Sim NãoSim Tupla (a, b, a) Tupla (a, b, c)Não Multiconjunto Ha, b, aI Conjunto {a, b, c}

Exercício: dados os elementos a, b, c, gere todas as coleções abaixo:1. conjuntos com no máximo 3 elementos2. multiconjuntos com no máximo 3 elementos3. pares (com repetição e sem repetição)4. triplas (com repetição e sem repetição)

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Função fatorial

A função fatorial : N → N ocorre frequentemente na resolução de problemasde análise combinatória.

Notação: fact(n) ou n!

Definição:

n! ={

1 se n = 0∏1≤i≤n i se n > 0

Exemplo:

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

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Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é famosa por possuir relação com diversosprocessos naturais.

Definição:

F1 = 1F2 = 1Fn = Fn–1 + Fn–2 para n > 2

Primeiros termos:

n Fn1 12 13 24 35 56 87 138 21...

...

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Indução matemática

Indução matemática é uma importante técnica de prova de propriedadessatisfeitas por todos os elementos de um conjunto infinito.

Aplicável quando os elementos do conjunto são construídos de forma indutiva,como por exemplo:

• Números naturais:0 : N esucc : N → N

• Listas:empty : Lista(A) econs : A × Lista(A) → Lista(A)

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Indução matemática (cont.)

• Para provar que propriedade P vale para todos os elementos de umconjunto A, devemos demonstrar que:1. P vale no caso base (para os naturais, 0)2. supondo que P valha para um elemento qualquer n (hipótese indutiva), deve

continuar valendo após aplicarmos um construtor sobre n (para os naturais,succ(n)).

Em outras palavras, a propriedade é preservada pela construção doselementos de A.

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Indução matemática: exemplo

Exemplo: prove por indução que a seguinte igualdade vale para todo n ∈ N+:

n∑i=1

2i – 1 = n2

Nota:1 = 11 + 3 = 41 + 3 + 5 = 91 + 3 + 5 + 7 = 16 · · ·

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Indução matemática forte

Na indução matemática, justificamos a validade de um propriedade P para n apartir da hipótese que P vale para n – 1.

Algumas estruturas (como árvores binárias) podem ter construção maiscomplexa e que não necessariamente referenciar o elemento imediatamenteinferior.

Exemplo: construção de árvore com 8 folhas baseada em duas árvores de 4folhas.

Para provar propriedades de tais estruturas, utilizamos uma descriçãoalternativa do princípio da indução matemática (chamado de indução forte).

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Indução matemática forte (cont.)

Ao utilizarmos a indução matemática forte:• provamos que P vale para o caso base (0 para N)• provamos que P vale para n ∈ N a partir da hipótese indutiva que P vale

para todo k ∈ N tal que k < n.

Nota: indução matemática (fraca) e indução matemática forte são princípiosequivalentes.

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Indução matemática forte: exemplo

Exemplo: Demonstre que, para todo n ∈ N+,

Fn <(

74

)n

Nota:

n Fn(

74

)n

1 1 1, 752 1 3, 063 2 5, 354 3 9, 375 5 16, 416 8 28, 727 13 50, 26...

......

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Indução matemática: exercício 1

Exercício:

Demonstre que, para todo n ∈ N+,

Fn = 1√5

(φn – φn)

ondeφ = 1 +

√5

2e

φ = 1 –√

52

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Indução matemática: exercício 2

Exercício:

Considere a seguinte definição de Sm

Sm =m∑

i=1i2

Demonstre que, para todo m ∈ N+,

Sm = 16m(m + 1)(2m + 1)

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