Teoria Integracion Dario Sanchez 2004

8/2/2019 Teoria Integracion Dario Sanchez 2004

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Daro Snchez H Teora de la Medida e Integracin 1

Teorade la

Medida e IntegracinJos Daro Snchez Hernndez

Bogot-Colombia, Junio del [email protected]

[email protected]

El objeto de estas notas es brindar al lector un modelo de aprendizaje. A continuacin encontrar msde cien resultados bsicos, entre los cuales se hallan definiciones, teoremas, corolarios y algunos

ejemplos, es posible que encuentre la manera de volver a redactar algunos, entonces hgalo de formaque los pueda recordar despus. Para las demostraciones es indispensable el uso de una bibliotecacon un buen nmero de textos sobre teora de la medida e Integracin, en esta forma el estudianteutiliza tcticas de investigacin y emplear la biblioteca. Luego encontrar resultados en donde se hadado una posible demostracin, la cual se supone es correcta, sin descartar la posibilidad de que hayaalgunos errores; el lector deber revisarlas analizando cual de los resultados bsicos se han utilizadoen la prueba.

1. RESULTADOS BASICOSMedida y Convergencia.1.Sea un conjunto y tal que , es un si y slo siH f H f f semi-anillo WE E F E F " f f

, WE E F E F G # 33"

8

f

para algn y para algn8 G " 3 83 f

(el smbolo se usa para denotar una reunin disyunta) f f H f es una si y slo si es un semi-anillo y .emi-lgebra f es una semi-lgebra si y slo si

3 E F E F f f 33 E E G G f f-3"

8

3 3

333 H f2.Las siguientes afirmaciones son equivalentes;Res cerrada con respecto a


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Unin finita y diferencia. 3Unin finita y diferencia propia. 33Diferencia simtrica e interseccin finita. 333Unin finita disyunta, diferencia propia e interseccin finita. 3@

R es un si satisface alguna de las condiciones anteriores (yanillo

consecuentemente las cuatro). es una lgebra si es un anillo y .R R RH

R es una si y slo si es cerrado por reuniones finitas ylgebracomplementos.

3.Si es un semi-anillo resp. semi-lgebra entonces la familia de lasf f R sumas finitas distintas de elementos de es un anillo resp. lgebra y concidef con el anillo resp. lgebra generado por . f 5es un -anillo si y slo si es cerrado por diferencia y por unionesenumerables. Si es un -anillo, se dice una -gebra si 5 5 H 5es un -anillo si y slo si es cerrado por interseccin finita, diferencia

propia y suma enumerable.4. 5es una clase -aditiva si y slo si es cerrado por diferencia propia, sumafinita y unin creciente,

(es decir, E E E E E

3 "" # 8 3 3

Si es una clase no vaca de conjuntos cerrados por interseccin finitagentonces la clase -aditiva generada por es igual a5 g 5 g 5. es una si es cerrada por unin enumerable creciente y porlase montonainterseccin enumerable decreciente.

Si es un anillo entonces la clase montona generada por es .R R R5 Una funcin es llamada una funcin de conjunto.. E E Sea una funcin de conjunto, es si y slo si. . finitamente aditiva

3"

8

3

8 E E E E . .y ,3 33"

86. Si es un semi-anillo es una aditiva si y slof . f ! medida finitamentesi y es finitamente aditiva.. . ! Una medida finitamente aditiva que es -aditiva es llamada una .5 medida La definicin de medida sobre semi-lgebras, anillos, lgebras,

5 5 .-anillos, y -lgebras es la misma, excepto en el caso que toma a en

los casos de -anillos y -lgebras.5 57.Sea una medida sobre un semi-anillo . Entonces. f 3 E F E F aE F . . f 33 E E E E E E 8 " 8 8 88"

. . f


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Una tripla , donde es un conjunto, es un -anillo contenido en H . H 5 H . y es una medida sobre , es llamada un . Al parespacio de medida H es llamada un .espacio medible Un espacio de medida tal que es una -lgebra, o sea, y H . 5 H

. H " es llamado un .espacio de probabilidad

8.Sea un espacio de medida, se tienen las siguientes afirmaciones: H . " E F F F E F E . . . .(en forma creciente ) # E E E E E E 8 8 8

8. .lim

en forma decreciente y existe tal que $ E E E E 8 8 8 ! entonces. . .E E E 8 8

8!lim

% E E 8 "

. . 8 88"

Para toda sucesin de elementos de & E 8 8 y si para algn ,. . .

lim inf lim inf E E 8 E

8 88 8 ! 8

!

entonces lim sup lim sup. .E E8 8 En particular si es un espacio de probabilidad T H E E T E T E 8 8 ' E E !

8"

8 8. . lim sup

9.Sea una medida finitamente aditiva sobre el semianillo . Entonces existe. funa nica medida finitamente aditiva sobre el anillo generado por que es. f

una extensin de .. Sea un semi-anillo, es una medida sobre yf . f

para alguna sucesin[ H f E E G G G a8

8 "8 8 88 [ 5 [ [es un -anillo. Si F E E F

Si , en esta forma es llamado -anilloH f [ H [ 5 G G T

8 "8 8

hereditario.

E E G E G G a8

8 "Para cada , definimos[ . . f

8"

8 8 8 inf . [ d d d

. G G a8 G G Dada una sucesin , existe una sucesin8 8 8 88 8

w w f f

a8 G G

8 "

tal que . 88"

w8

Sea como se defini arriba, se tiene entonces. " E E Ef . . # ! ! E E . . [

$ E F E F aE F . . [ . % E E aE E a8

8 ". . [ 8 8 8 8 8


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10.Dado un -anillo hereditario , una funcin de en la cual5 [ . [ d satisface las condiciones de la afirmacin anterior, es llamada una#$% medidaexterior sobre .[ Q aE E E Q E Q [ [ . . .se dice si ,medible -

11.Se denota es medible .A [ Q Q 3 Q Q Q Q " # " #A A, y , se tiene 33 Q Q Q Q aE " # " #A [

. . . " # " #E Q Q E Q E Q 333 Q Q Q Q Q Q Q Q " # " # " # " # A . . .

3@ Q Q Q Q " # " #A A @ Q ! Q Q . [ A

QObsrvese que para mostrar que es medible basta mostrar que . . . [ . - E E Q E Q aE E

3 Q a8 Q 8 8A A8 "

33 E Q 8 Q [ A8 8para todo los disyuntos dos a dos, entonces

. .

8" 8"

8 8 8E Q E Q 333 Q a8 Q 8 8A los , son disyuntos dos a dos, entonces

. .

8" 8"

8 8 Q Q f A12.Una medida sobre un -anillo se dice si y slo si. 5 completa

, ,F E E E ! F . Dada una medida sobre un semi-anillo , existen un -anillo tal que. f 5 A

A f A 5 f . A (y por lo tanto ) y una medida completa sobre la cual esunaextensin de .. Si es -finita, entonces la extensin a es nica.. 5 5 f 13. Sea un espacio de medida, se define H .

para algn . E R E R Q Q Q ! .

. dE R E

tenemos que es un espacio de medida compacto. En estas condiciones H . se dice que es el de con respecto a . El completado de una .completadomedida sobre un espacio de medida completo, es nico.

14.Una familia de subconjuntos de se dice una si y slo si7 H clase compactapara toda sucesin tal que tenemos - - - a8 -

8

3 "

3 "8 8 8 3 3 7

Si es una clase compacta entonces la familia de las uniones finitas de7 C0

elementos de es una clase compacta.7,

PRUEBA E E a883 "

Sea una sucesin de elementos de tal que 8 8 0 3 C


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para algn para algna4 E - 5 - " 3 5 M 5

3 "4 34 4 34 4

4

7 Sea el cual hacemos un espacio topolgico con la topologa4 4 " # 5

discreta. es compacto . 4Sea = , es compacto Teorema de Tychonoff . # 4"

4

Sea J B B - B 8 " # 8

4 "8 " # 4 4

De se tiene y cada es cerrado porque es unin finita de M J a8 J 8 8conjuntos del tipo con AdemsB B B " 4 8" 8 8" 4 4

se tiene que . Como cada es compacto (cerrado contenido en unJ J J " # 8

compacto) se tiene que . Sea pues .

8 " 8 "J + + + J 8 " # 8 8

Entonces para todo . Como es una clase compacta tenemos8

4 "- + 84 4 7

4 " 4 "- + - + E a4 E 4 4 4 4 4 4. Como tenemos que .

Sea una medida finita finitamente aditiva, sobre un anillo . Si para toda. Rsucesin de elementos de tal que en forma decreciente valeE E p8 8 8 R que entonces es una medida.. . E p !815.Sea una medida finita finitamente aditiva sobre un semi-anillo y una. f Cclase compacta, , . Entonces es unaC C E G G E G f . . . supmedida. E Para todo se tiene[ . . A . 5 f

E F E F F E F

inf inf

aqu indica la restriccin de a .. . 5 f E F E F E FSi , se dice un de si y slo si ,[ 5 fecubrimiento medibley para todo tal que , entonces tenemos .G G F E G !5 f . E EPara todo existe un recubrimiento medible de .[

A 5 f . A 5 f es el de con respecto a o sea .ompletado E Si es el anillo generado por entonces para todo tal queR f 5 f

. % . %E ! F E F y para todo existe tal que .R 16. es un , es decir, tal que H . aE bE spacio de medida finito-5 8E E E E 8

8 "8 8 8 .y para todo :

3 . . 5 [ es la inducida por sobre el -anillo hereditariomedida exterior

generado por , es decir, y [ H [ E E F F aE . . E F E F inf . 33 5 . .es el -anillo obtenido por el completado de con respecto de , es laextensin de a .. E E F F E F Dado definimos .[ . . sup


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. [ . d arriba definida es denomida inducida por sobremedida interior[. E E ESe observa que si . . .17. + ! ! E aE . . [

, E F E F aE F

. . [

- E F F F E . . sup tal que , y, con tenemos . aE bF F E aG G E F [ .G ! F E. En estas condiciones se dice un de , y como enncleo medibleel caso del recubrimiento medible, tenemos . .F E / E Para toda sucesin de elementos de , disyuntos dos a dos y8 8 para todo ,E E F E F [ . . 8 8

8" 8"

y con tenemos 0 aF F F F aE E E . . . [ . .

que E

Para todo tales que

1 E H E H [

. . . . E H E H E H 2 aF aE F E F E F [ . . . -18.Sea un espacio topolgico. Entonces se dice una -lgebra de IC C5 5Borel borelianosen inducida por . Los elementos de son llamados .I C C5 W Sea una familia de conjuntos y sea una semi-lgebra en paraH H3 3M 3 3cada . Entonces3 M

f H F F F W #3M

3 3 3 3 3salvopara unnmerofinitode ndices en los cuales

es una semi-lgebra en =H H#3M

3

d5 f 5R Rdonde denota la -lgebra de Borel en 8 Usaremos la letra para indicar la medida extensin de la medida de-Lebesgue a .5 f R

Los elementos de la -lgebra (completado de con respecto a que5 -R Rcoincide con la clase de los -medibles) son llamados conjuntos medibles-

segn Lebesgue. A se le llama .R -5 lgebra de Lebesgue19.OBSERVACION: La familia tambin #" H G d G B B d 8

3"

3 3

genera en el sentido de que .R R5 H # G G G l+l G df : f - : - f y siendo el semi-anillo usual en . $ : :R R R R, .

"

% + !: : :es -medible si , tiene inversa y es -medible.R R" 3 E d E l+l E E l+l E Para todo y- : - - : - 33 E E E l+l ESi entonces , y, .A : A - : - + "En particular si , es invariante por translaciones bajo .- A

dExisten subconjuntos de no medibles Lebesgue.


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20.Sean y espacios medibles se dice medible si para H H H H \ w w wtodo E \ E w w " w \ Si y es una clase de subconjuntos de por definicinH H H w wC

\ \ G G " " C C \ \ Si y es una -lgebra en entonces es una -H H 5 H 5

w w "

T Tlgebra en .H \ Si y es una clase de subconjuntos de entoncesH H H w wT

\ \" " 5 5T T .21. Sea y espacios medibles y una clase de H H H H \ w w w Tsubconjuntos de tales que . En estas condiciones siH 5 w w " T T \ entonces es medible.\ 3 M Sean un conjunto, una familia de espacios medibles yH H 3 3

0 3 M 0 3 3 3H H 5 H , . La menor -lgebra de que vuelve todas las medibles, esllamada -lgebra .5 inicial

3 M En las condiciones de la definicin anterior, si para cada , es una claseT3de subconjuntos de tal que entonces la -lgebra inicial coincideH 5 53 3 3 T con la -lgebra generada por la familia5 H 0 G G 34 M 4 " # 8

8

4 " 34

"34 34 34 T

0Sean y las son las proyecciones naturales de sobre , laH H H H#3M

3 3 3

5 5-lgebra es llamada . Si es una -lgebrainicial -5 lgebra productoproducto es denotada por .#

3M3

22. Si son espacios medibles y son

H H H H H H H 0 1 w w ww ww w w ww

funciones medibles, entonces es una funcin medible.1 0 0 Sean una familia de espacios medibles, un conjunto y H H H H3 3 3 33M

a3 M . Sea la -lgebra inicial correspondiente sobre . Sean an un 5 H H w wespacio medible y . Entonces es medible si y slo si es medible0 0 0 0 H Hw 3a3 M.

0Si en la afirmacin anterior las funciones son las proyeccionesH H 1#3M

3 3 3

de sobre y es la -lgebra producto entonces es medible si y slo siH H 53 013 0 a3 M es medible .23.Si es una familia de espacios medibles, es un conjunto y H H3 3 3M0 3 M 3 3H H entonces H F 0 F 3 M "3 3es la menor -lgebra en que vuelven las medibles, es llamada la5 H 035- .lgebra final El par donde es una -lgebra, es llamado espacio medible. H 5 0 d 0 d H se dice si y slo si .edible "


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0 d H d D H 0 D Sean y un conjunto denso en . Si para todoH entonces es medible. Donde .0 0 D 0 D "24. Sea un espacio topolgico y sea la -lgebra de Borel \ C CB 5 5correspondiente. Toda aplicacin es continua superiormente (o0 \ dcontinua inferiormente) y - -medible. En particular, toda aplicacin continua

BR

es medible.PRUEBA: Si es continua superiormente entonces es abierto o sea0 0 Dpertenece a y por lo tanto pertenece a , para todo . En el casoC CB D d5 de ser continua inferiormente lo mismo ocurre para los puntos del tipo00 D.

25. Si indica la -lgebra de Borel de entonces .R R R R R8 85 d 8 0 0 d H un espacio medible y funciones a valor en . Entonces ellas" 8son medibles si y slo si la funcin esA 0 A 0 A 0 A " # 8- medible.R8

0 1 - H un espacio medible, dos funciones medibles, un nmero real.Entonces , y , son medibles.-0 0 l0 l 0 0 0 1 0 1# 0 d H Hespacio medible. Entonces es medible si y slo si

0 0 0 0 l0 l

! 0 y , es medible.

sisi | |

- d 0 1 H un espacio medible , y son funciones medibles con valores end -0 0 l0 l 0 0 0 1. Entonces son funciones medibles. Si sobre el conjunto#

0 1 0 1 0 1 ! 0 1definimos entonceses tambin medible.

26.Si es una sucesin de aplicaciones medibles de en entonces0 d8 8"# Hsup inf lim sup lim inf 0 0 0 0 8 8 8 8, y , son medibles. M 0 1 d 0 1 Si son medibles entoncesH MM 0 dSi es una sucesin de aplicaciones medibles de en , entonces8 H

A 0 A H 8 8"# es convergente . 0 d + + d E EH se dice una si y slo si existenuncin simple " 8 " 8elementos de dos a dos disyuntos tales que . ;0 +

3"

8

3 E3

Si en la definicin anterior tuviramos una suma enumerable en lugar definita decimos que es una 0 funcin elemental. Observacin; Las funciones simples forman un retculo vectorial (es decir, un

espacio vectorial con respecto a , y , ). 27. Toda funcin medible , es el lmite punto a punto de una sucesin0 dHde funciones simples. Si la sucesin puede ser tomada creciente.0 !

0 ! 0 8 0 0 Si tomar y observar que8 83"

8#3"# 08

88

03" 3# #8 8

; ;] ]


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28. Se dice que una propiedad vale en casi toda parte en si el ->: Hconjunto de los puntos en los que ella no se verifica, es medible y tiene medidanula. En espacios de probabilidad es comn usar la expresin .asi verdadera 0 0 !8 converge a si y slo si para todo existecasi uniformemente %

E E 0 0 E . %tal que y uniformemente en .8-

0 !8 se dice si y slo si para todocasi uniformemente fundamental %existe tal queE 3 E . %

Para todo , existe tal que implica 33 ! 8 8 7 8$ ! ! l0 A 0 A l aA E8 7

- $ 0 0 0 Si las y son finitas se dice que si y slo si8 8 converge a en medida0para cada , .% . % ! l0 0 l !lim

88

29.Si converge para uniformemente entonces casi en toda parte.0 0 0 p 0 8 8PRUEBA: Para todo existe tal que y uniformemente en .8 E E 0 p 0 E8 8 8"8 -8. Sea entonces . Dado para algn y por loE E E ! A E A E 8

8 "8 8-.

tanto , es decir, .0 A p 0 A 0 p 0 ->: 8 8 30.Si converge a casi uniformemente, entonces0 0 0 0 8 8 .TEOREMA: Supongamos que es un espacio de medida totalmente finito, H . es decir, , y son finitas. Si entonces casi. H 0 0 0 p 0 ->: 0 p 0 8 8 8 uniformemente.

0 p 0 ->: 0 p 0 En las condiciones del teorema anterior, si entonces en8 8 .medida. 0 !8 es una sucesin si y slo si para todo yfundamental en medida %para todo existe tal que implican .$ . % $ ! 8 7 8 8 l0 0 l ! ! 8 7 + 0 0 0 Si entonces es una sucesin fundamental en medida.8 8.

Si es medible, y , entonces . , 1 d 0 0 0 1 0 1 ->: H . .8 831. Si es una sucesin fundamental en medida, entonces admite una0 8subsucesin casi uniformemente fundamental.0 85 0 0 0 0 p 0 ->: Si entonces existe una subsucesin tal que .8 8 8 . 5 5 0 Si es una sucesin fundamental en medida, entonces existe una funcin8

medible tal que .0 d 0 0 H. 8

0 1 dSea un conjunto un espacio medible , entoncesH H H H H w w w1 0 2 des -medible si y slo si, existe -medible de manera que

" w w w

H 1 20.32.Sea un conjunto y una coleccin de subconjuntos de , se dice que\ \H Hes una -lgebra en si5 \

" \ H # E E H H- $ E E

8 "8 8H H


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\La pareja ordenada formada de un conjunto y una -lgebra de H 5 Hsubconjuntos de es llamado un .\ espacio de medida Los conjuntos en son llamados -medibles.H H \ \ Sea un conjunto dos -lgebras de , sea entonces esH H 5 H H H H" # " #una -lgebra.5

33.Sea un conjunto y una familia de -lgebras en entonces\ \ H 50 0 FH H 5

0 F0 es una -lgebra.

\ E \Sea un conjunto y una coleccin cualesquiera de subconjuntos de .Entonces existe la menor -lgebra conteniendo a , que es la interseccin5 H Ede todas las -lgebras conteniendo a . es llamada -lgebra5 H 5E generadapor .E \ 0 \ d 0 Sea un conjunto, una -lgebra, una funcin a valor real, esH 5 medible si para todo , . H d B \0 B

34.Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una funcin 0 \ dmedible: + a d E B \0B H

, a d F B \0B H - a d G B \0B H

. . a d H B \ 0B H 0 1 -Sean y funciones a valor real, medibles y sea un nmero real. Entonceslas funciones son tambin medibles.-0 0 0 1 01 l0l#

35. Sea es medible . Sean y, funciones noQ \ 0 \ d0 0 0 H negativas definidas por 0 B 0 B ! 0 B 0 B ! 0 B !

sup sup inf

se tiene que .0 0 0 l0 l 0 0 0 l0 l 0 0 l0 l 0 0 Como y se tiene que es medible si y slo si " "# #

0 0 y son medibles. 0 \ d d B0 B a d es medible si y slo si , y H constituyen las llamadas funciones a valor real extendidas.

36. Una funcin real extendida es medible si y slo si los conjuntos0E B \ 0 B F B \0 B pertenecen a y la funcinHreal definida por es medible.

sisi

0 0 B 0 B B E F! B E F" "

0 Q \Sea un sucesin en y se definen las funciones

8 8 H

0 B 0 B J B 0 B inf sup8 8 0 B 0 B J B 0 B 8 8 lim inf lim supentonces , y, pertenecen a0 J 0 J Q \ H 0 Q \ 0 \ 0Si es una sucesin de que converge para en entonces 8 8 Hesta en .Q \ H37.Para sea la de definida por8 0 0 8 "truncacion"


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sisisi

0 B 0 B l0 B l 88 0 B 8 8 0 B 8

8

0 Q \ 0 0 Q\ Si entonces la truncacin de , para cualquierH HR

R .

0 Q \ Si es una funcin no negativa en , entonces existe una sucesinH : H8 8 en tal queQ \ para + ! B B B \ 8 : : 8 8"

para cada , 0 B B B \ lim:8Cada tiene solamente un nmero finito de valores reales. - :838. es una funcin a valor real extendida definida en una -na medida . 5

lgebra de subconjuntos de tal queH \ 3 !.

para todo 33 I ! I . Hes en el sentido de que si es una 333 I . enumerablemente aditiva

8sucesin disyunta de subconjuntos de , entoncesH

.. . I I

8 " 8 8

8"

I JSea una medida definida en una -lgebra . Si y pertenecen a y. 5 H H

I J I J I , de donde . Si + entonces. . . .. . . J I J I

39.Sea una medida definida en una -lgebra .. 5 HSi es una sucesin creciente en , entonces + I8 8 H

. .

8 "

I I8 88

lim

, J J Si es una sucesin decreciente en y si entonces8 "8 H ... .

8 "J 8 J lim

88

40. Sea un espacio de medida. Se define \ H . ' ; . .I. I0 0es una funcin simple; cuando es una funcin medible real, tomando unnmero finito de valores

0 + 0 + I a3 3 3 3";I341.Sea es simple positiva con la representacin cannica: f H : : \ : ; : . +

4"

8

4 I4definimos de con respecto a la medida como elintegral

nmero real

.' : . .. + I 4"

8

4 4

\ - !Sean , entonces< : f H


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' '" - . - .: . : .. ' ' '# . . .: < . : . < .

42.Si funciones positivas, medibles definimos la integral de0 Q \ 0 Hrespecto a por el nmero real extendido.

' '0 . .. : .supdonde el supremo es extendido sobre toda funcin simple tal que: f H \ ! B 0 B B : Hpara todo . 0 1 Q \ 0 1 0 . 1.Sean si entonces H . .' ' 0 I 0 . 0 .La integral de sobre un conjunto es ' 'I . ; .I 0 Q \ I J I J 0 . 0 .

I J

H H . .entonces .' '43.Sea un espacio de medida, se define \ J H . H

.- . H I I J aI Entonces es una medida en .- H

\ + + + ! +Sea medidas en y , entonces

H . . . H . ." # 8 " # 8 3 3

3"

8

es una medida en .H \ I . I Sea se define . Entonces as definido es: f H - : . H - I 'una medida en .H

44.Teorema de la convergencia montoma: Sean una0 Q \8 Hsucesin creciente. Sea , entonces0 0 0 0 . 0 . lim sup lim

8 88 8 8' '. .

El teorema de la convergencia montona para una sucesino es verdaderode funciones decrecientes, como se puede ver en el siguiente ejemplo:0 0 ! 0 . ! 0 . 8 8 8 8

" "8 88 8 8

; . . .y' ' lim lim45.Sean , entonces ,0 1 Q \ - ! 0 1 . 0 . 1. H . . .' ' ' ' '-. - 0 . . . 1 Q \ 1 . 1 .Sea entonces8 8 8

H . .' ' 8" 8"

0 Q \ I 0 . I Sea defnase entonces es una medida IH - . H -'en .H

46. Decir que son funciones tales que -casi en toda0 1 Q \ 0 1 H .parte - , significa que . . .->: B \0 B 1 B ! \ 0 Q \ Sea un espacio de medida H . H

- .'0. ! 0 ! ->:. . 0 1 Q \ 0 1 ->: 0 . 1.Sean si - entonces . H . . . ' '47.Dado , es una aplicacin tal que \ dH - Huna carga

" !-es una familia disyunta, entonces . # I I I 8 8 8

8"

H - -

0 Q \ Una funcin es integrable siH.! 0 . ! 0 . ' ' . .


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0 . 0 . 0 .Se define .' ' '. . . I 0 . 0 . 0 .Si se define .H . . .' ' 'I I I 48.Sea cargas en entonces es una- - - H - -" # 8 " # 8 3 3

3"

8

+ + + d +carga en .H

0 I 0 . I Sea una funcin integrable , entonces es una carga- . H - 'Ien .H49.Lema de Fatou: Sea una sucesin entonces0 Q \ 8 H.' ' lim inf lim inf 0 . 0 .8 8. .

El resultado del lema de Fatou no es vlido en general, en el caso defunciones no positivas, como se ve en el siguiente ejemplo:0 0 ! 0 . "8 8 8

"8 !" 8

; .entonces , y, , ahoralim '.' 'lim inf lim inf 0 . ! 0 .8 8. .

0El lema de Fatou puede ser extendido a funciones tomando valores8

negativos. Sea y supongamos que . Si la sucesin2 Q \ 2.

H .' 0 Q \ 2 0 a88 8en es tal que entoncesH.' ' lim inf lim inf 0 . 0 .8 8. .

50.Si existe integrable tal que , entonces1 l0 l 1 a8 8 .' 'lim inf lim inf 0 . 0 .8 8. .

0 Q \ d 0 . I B \0 B Sea tal que si entonces ' .. I !. 0 l0 lUna funcin medible es integrable si y slo si es integrable.

0 1 0 0 1son funciones integrables, entonces tambin son integrables. 0 0 0 0 ->: 0 0 Q \ Sea integrable , e integrables, entonces" # " #

. H

' ' '0 . 0 . 0 .. . ." # .51.Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue: Sea una 08 8sucesin de funciones integrables, que converge en casi toda parte para unafuncin a valor real medible . Si existe una funcin integrable tal que0 l0 l 18para todo , entonces es integrable y .8 0 0 . 0 .' '. .lim

88

0 \ + , d 0 > + , > + , 0 Sea medible para todo , existe tal que > ! >!es integrable, para todo , es derivable ademsB \ 0 0 1 B 1B B

..>

integrable entonces ...> .>

.0 >' ' 0 B > . . B. .B 52.Sea y un intervalo, una funcin continua tal \ + , 0 \ + , dH .que sea medible para todo " 0 > \ d > + ,

sea continua para todo # 0 B + , d B \ Existe integrable tal que . $ 1 \ d l0 B > l 1 B

Entonces

' ' ' ' + +, , 0 B > . .> 0 B > .>. . .


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\ dSea un espacio de medida tal que H - H " !-

disyuntos . # I I3 I33 H - - DEntonces es llamado una .- carga

53.Si es una carga en entonces un conjunto en se dice con- H HT positivorespecto a cuando para todo en . Por dualidad un conjunto- - HI T ! I R I T !en se dice con respecto a cuando para todoH - -negativoI ^ I ^ !H H - -. Un conjunto en se dice con respecto a cuando ,nuloaI H.

E E E

3 "Sea una sucesin de elementos de positivos entonces es8 3H

positivo. (Tmese )E E E E E E E8 "w w

8 4 " 8 3 8 " 8

4 " 3 "

\ E E ! I E I Si carga tal que entonces existe tal que H - H -es positivo .- I !54.Descomposicin de Hahn: Si es una carga en , entonces existen- Hconjuntos y con y tal que es positivo y esT R \ T R T R T R negativo con respecto a .- \ Sea espacios de medida dos medidas, se dice que ,y, son H . . . ." # " #mutuamente singulares y se nota cuando existen , en. . H" # E Fdisyuntos tal que adems .\ E F E F !. ." # \ Sea un espacio de medida se dice si existe una sucesin H . . 5-finita

\ \ \ \ a88 8 8H .tal que , y, ,55.Sea un espacio de medida medidas en , es \ H - . H - absolutamentecontinua en relacin a y se nota si . O tambin. - . . -

I ! I !

como:tal que .a ! b ! I I % $ % . $ % - %

56.Teorema de Radon-Nikodym: Sean y medidas -finitas tal que es- . 5 -absolutamente continua con respecto a . Entonces existe una funcin en. 0Q \ H tal que - . H 'I 0 . aI IMs an, la funcin esta unvocamente determinada -casi en toda parte,0 .esto es si = . 1. 0 1 ->: - . .' 0La funcin cuya existencia fue establecida en el teorema de Radon-Nikodym es con frecuencia llamada la de conderivada de Radon-Nikodym -

respecto a y es denotada por .. ..-.

57.Sea una sucecin de funciones convergentes para una funcin en0 0 P8 "se denota 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 8 8 8

sup

0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 8 8

inf y se tiene

.0 0 0 0 0 0 8 8 8


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58.Teorema de descomposicin de Lebesgue: Sean y medidas -- . 5finitas en . Entonces existe una medida que es singular con respecto a yH - ."una medida que es absolutamente continua con respecto a tal que- .#- - - - - " # " #, adems y son nicas. 0 : l0 l . " : Una funcin es -integrable cuando .

': .

0 1 0 1 ->: Dos funciones se dicen -equivalentes si y slo si .. . " : P \ Si el espacio consiste de todas las -clases de: H . .equivalencia de las funciones a valor real -medible para las cuales tieneH 0 l0 l:

integral respecto a ..

59.El espacio consiste de todas las clases de equivalencia deP P \ H .las funciones a valor real -medibles que son acotadas en casi toda parte, dosHfunciones son equivalentes cuando ellas son iguales -casi en toda parte. Si.0 P R R ! y con definimosH .

y .W R l0 B l B R m0 m W R R R ! sup inf H . PLos elementos de son llamados

esencialmente limitados o acotados

.P \ P \ " H . H .60.Si y son descomposiciones de Hahn de una carga y ,T R T R I " " # # - Hentonces .- - - - I T I T I R I R " # " # \ T R Si es una carga en y sea descomposiciones de Hahn para . Las- -variaciones negativas y positivas de son funciones medibles , definidas- - -

para en porI H,- - - - I I T I I R

l l I La de es la medida definida para en porvariacin total - - H l l I I I - - - 61. Si es una carga en , ella esTeorema de descomposicin de Jordan: - Hdiferencia de dos medidas finitas en . En particular es diferencia de y .H - - - Ms an, si donde son medidas finitas en entonces- . / . / H . - / -I I I I

para todo .I H 0 P \ Si pertenece a y esta definida por la ecuacin H . - - . 'I 0 .Ientonces y son dadas para en por- - - H l l I

.- . - . - . I I I ' ' 'I 0 . I 0 . l l I l0 l.62.Una carga es con respecto a una carga cuando la- .bsolutamente continuavariacin total de es absolutamente continua con respecto a .l l l l- - . 0Observacin: La funcin dada por el teorema de Rodan-Nikodym nonecesariamente es integrable; en efecto es -equivalente a una funcin0 .integrable si slo si es una medida finita.-

63.Teorema de representacin de Riesz a : Si es un espacio deP \ ; H .medida y es una funcional lineal acotada en , entoncesK P \ " : : H .existe un en , donde tal que la ecuacin1 P \ ; ;

::" H .


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K 0 0 1 ' .se tiene para todo en . Adems .0 P mKm m1m: : P \ K P dUna funcional lineal en es una aplicacin de en tal que: : H .

K +0 ,1 +K 0 ,K 1 + , d 0 1 P para todo en y en . Una funcional:lineal es acotada si existe una constante tal que para todoK Q lK 0 l Q m0 m

:

0 Pen .: K PSea una funcional lineal acotada en . Entonces existen dos funciones:lineales positivas acotadas tal que para todoK K K 0 K 0 K 0 0 P:.

64. Si es un espacio deTeorema de representacin de Riesz: \ H .medida -finito y una funcional lineal acotada en entonces5 H .K P \ " existe una funcin en tal que , se tiene para todo1 P \ K 0 01. 0 'H . .en . Adems si es una funcional lineal positiva, entonces yP K mKm m1m" 1 !.

\ J \Sea un conjunto cualquiera, si pertenecen a " \ J # F J F J-Si pertenecen a entonces $ F F F J F J " # 8 3

3 "

8

entonces con estas propiedades es llamado un .J lgebra

65.Si es una lgebra de conjuntos de entonces una medida en es unaJ \ J funcin real extendida definida en tal que. J

" !. # E ! aE J .

Si es una sucesin de subconjuntos disyuntos de tal que

$ F J J 8

8 " 8 "

F J F F 8 8 88"

entonces . En particular es aditiva.. . .

\ F \ Dada una lgebra si es un subconjunto arbitrario de , definimos .. 4 4 4F I I inf

4"

donde el nfimo es extendido sobre toda subsucesin

de subconjuntos en tal que . Esta funcin as definida es .F I

4 "4

usualmente llamada la generada por .edida exterior .66.La funcin de la definicin satisface las siguientes propiedades:.

+ !.

, para . , F ! F \ .

Si entonces - E F E F . . Si entonces . F F F . .Si es una sucesin de subconjuntos de , entonces / F \8 8

. . 8 88"

F F

8 "

I \Un subconjunto de se dice -medible si.


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. . . -E E I E I

para todo subconjunto de . La coleccin de todos los subconjuntosE \. -medibles es un conjunto denotado por .

67.Teorema de extensin de Caratheodory: La coleccin de todos losconjuntos -medibles es una -lgebra conteniendo a . Adems, si. 5

8 8

I

es una sucesin disyunta en , entonces . . 8 88"

8 "I I El teorema de Caratheodory muestra que una medida en la lgebra. puede siempre ser extendida a una medida en una -lgebra. 5

conteniendo . La -lgebra as formada es automticamente completa en el 5sentido que si con y si entonces y .I I ! F I F F ! . .

68.Teorema de extensin de Hahn: Supngase que es una medida -. 5finita en una lgebra . Entonces existe una nica extensin de a una medida .en .

1 d d 1Sea una funcin montona creciente de en . Supongamos que escontinua a la derecha en cada punto, esto es .1 - 1 - 2 lim 2!Puesto que es montona tambin se sigue que existen,1 1 B 1 Blim lim

B B

an que ellos puedan ser - , o, + . Para tal funcin definimos .1 + , 1 , 1 + .1

B , 1 , 1 Blim

.1B

+ 1 B 1 +lim..1

B B 1 B 1 Blim lim

Una clase montona es una coleccin de subconjuntos con laspropiedades:

Si entonces para 3 E F E E F F 3 " # 3 3 3 3" 3 3" Si , , entonces y . 33 E E F F E F

3 " 3 "3 3

69. Teorema de representacin de Riesz: Si es una funcional linealKacotada en , entonces existe una medida definida en un subconjunto deG N #Borel de tal que para todo en Adems, la normad K 0 0 . 0 G N mKm 'N #de es igual a .K N# Donde / | , es continua es un espacioG N 0 N + , d m0 m 0 B l 0

sup

B Nde Banach.

70.Producto de medidas: Si y son espacios de medida, \ ] entonces el conjunto de la forma con y es llamadoE F E F rectngulo medible, o simplemente rectngulo, en . Denotaremos las^ \ ]reuniones finitas de todos los rectngulos por .m! ^La coleccin es una lgebra de subconjuntos dem!


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\ ] Si y son espacios medibles, entonces denota la m 5-lgebra de subconjuntos de generado por los rectngulos^ \ ] E Fcon y . Se resear a los conjuntos de como a los conjuntosE F mm-medibles o como los subconjuntos medibles de ^ \ ] Si y son espacios medibles. Entonces existe una medida

. / 1

definida en tal que para todo ym 1 . / E F E F E F 5 1. Si estos espacios son -finitos entonces existe una nica medidateniendo la propiedad . 71.Si es un subconjunto de y , entonces la -seccin de esI ^ \ ] B \ B I el conjunto I C ] B C IBAnlogamente, si entonces la -seccin de es el conjuntoC ] C I I B \ B C IC 0 ^ d B \ B 0 Si es una funcin definida en y , entonces la -seccin de esla funcin definida por ,0 ] d 0 C 0 B C aC ] B B

Anlogamente, si entonces la -seccin de es la funcinC ] C 0 0 \ dC

definida por 0 B 0 B C aB \C + I ^ ILema: Si es un subconjunto medible de , entonces cada seccin de es medible. , 0 ^ d 0 Si es una funcin medible, entonces cada seccin de es medible.72.Una clase montona esta formada por subconjuntos en talesQ J Q 8que y de subconjuntos en . J Q J Q J Q 8 8 8Si es una coleccin de clases montonas entonces tambin es unaQ \ Q clase montona de . As tiene sentido hablar de la menor clase montona\que contiene una coleccin de subconjuntos de .\

As si es una coleccin de subconjuntos no vaco de , entonces la f5 f -lgebra engendrada por contiene la clase montona engendradaQpor . Lema: Si es una lgebra de conjuntos, entonces la -lgebra generada 5 fpor coincide con la clase montona generada por . Q \ ] I Lema: Sea y espacios medibles -finitos. Si . / 5 m entonces las funciones definidas por

,0 B I 1 C I / .B Cson medibles, y ' ' \ ]0 . I 1.. 1 /73.Teorema de Tonelli: Sea y espacios de medidas - \ ] . / 5finitos y sea una funcin medible no negativa en . EntoncesJ ^ \ ] dlas funciones definidas en y por\ ] 0 B J . 1 C J . ' '] \B C/ .son medibles y

.' ' '\ ^ ]0 . J . 1.. 1 /

En otros simbolos


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.' ' ' ' ' \ ] ^ ] \ J . . J . J . ./ . 1 . / 74.Teorema de Fubini: Sea y espacios -finitos y sea la \ ] . / 5 1

medida en producto de y . Si la funcin en a esm . / J ^ \ ] dintegrable con respecto a , entonces las funciones a valor real extendidas,1definida casi en toda parte por 0 B J . 1 C J . ' '] \B C/ .tienen integral finita y ' ' '

\ ^ ]0 . J . 1.. 1 /

En otros smbolos.' ' ' ' '

\ ] ^ ] \ J . . J . J . ./ . 1 . / 75. Si es un espacio vectorial entonces una funcin a valor real, en esi iRllamada una para en el caso que cumpla con:'norma' i

. para todo3 R @ ! @ i 33 R @ ! @ !

para todo y real333 R @ l lR @ @ i para todo .3@ R ? @ R ? R @ ? @ i Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial juntamente con unanorma en .i

76.En se distinguen tres tipos de normasd8 R ? ? ? l? l l? l l? l" " # 8 " # 8 R ? ? ? l? l l? l l? l : ": " # 8 " # 8

: : : ": R ? ? ? l? l l? l l? l " # 8 " # 8 sup \ 0 P\ R 0 l0 l. Sea un espacio de medida. Si definimos 'H . H . ..Se demuestra que es una semi-morma en el espacio .R P\ . H .

77.Sea , bajo las operacionesP\ 0 1 B 0 B 1 B 0 B 0 B H . B \ P\ R P\ , es un espacio vectorial y es una semi-norma en .H . H ..Adems, si y slo si para -casi todo enR 0 ! 0 B ! B \. . P P\ Dos funciones en se dicen -equivalentes si ellas son igualesH . .

.-casi en toda parte. La clase de equivalencia determinada por en es al0 Pmismo tiempo determinado por y consiste del conjunto de todas las0 funciones en que son -equivalentes a . El espacio de LebesgueP 0.P P \ P 0 P" " " H . .consiste de todas las -clases de equivalencia en . Sidefinimos su norma por m0m l0l." ' .78.El espacio de Lebesgue es un espacio vectorial normado.P \ " H . " : P P \ Si el espacio consiste de todas las clases: : H .. H-equivalentes de funciones -medibles a valor real para las cuales tienel0 l:

integral finita con respeto a sobre . Dos funciones son. \. .-equivalentes si ellas son iguales -casi en toda parte. Tenemos

m0 m l0 l .::

": ' .


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79.Desigualdad de Hlder:Sea y donde y0 P 1 P : ": ; ": "; " 0 1 P m0 1m m0 m m1m. Entonces y ." " : ; 0 1 PDesigualdad de Cauchy-Bunyakovskii-Schwarz. Si y recorren #

entonces es integrable y0 1 0 1. l0 1l.? m0 m m1m ' '. # #80.Desigualdad de Minkowski. Si y recorren a entonces0 2 P : " 0 2:recorre a yP m0 2m m0 m m2m: : : : 0 P PUna sucesin en es una secuencia de Cauchy en si para cada 8 : :nmero existe tal que si entonces . La% % % % ! Q 7 8 Q m0 0 m 7 8 :secuencia en es convergente a en si para cada nmero 0 P 0 P !8 : :8 %existe un tal que si entonces . Un espacio linealR 8 R m0 0 m % % %8normado es si cada sucesin de Cauchy converge a algn elementocompletodel espacio. 0 0 PSi la sucesin converge para en , entonces es una sucesin de 8 :8Cauchy.

81.Teorema de completez: Si , entonces el espacio es un espacio" : P:vectorial normado completo con la norma m0 m l0 l . :

: ": ' . P P \ El espacio consiste de todas las clases de funciones H .

H-medibles a valor real que son acotadas casi en toda parte, dos funciones sedicen equivalentes cuando ellas son iguales -casi en toda parte . Si y. 0 PR R ! W R l0 B l B R H .con definimos y supm0 m W R R R ! P inf H . . A los elementos de se llaman funcionesesencialmente acotadas. PEl espacio es un espacio vectorial normado completo bajo la norma dadapor .m0 m W R R R ! inf

H .

82.La sucesin de funciones a valor real definidas en un espacio de 08 8medida fijo para si para todo existe un \ 0 !H . %onverge uniformementenmero natural tal que si y , entonces | .R 8 R B \ 0 B 0 B l % % %8 0 0 ! B \Una sucesin para si para cada y 8 8 converge puntualmente %existe un nmero tal que si , entonces .R B 8 R B l0 B 0 B l % % %883.Una sucesin para si existe un conjunto 0 08 8 converge casi en toda parteQ Q ! ! B \ Q en con tal que para cada y existe un nmeroH . % natural , tal que si , entonces .R B 8 R B l0 B 0 B l % % %8 0 P P \ 0 PUna sucesin en para si para 8 : : : 8 H . converge enP:cada existe un nmero natural tal que si entonces% % % ! R 8 R m0 8 0 m l0 0 l . : 8

: ": ' . %. 0 PEn el caso de que una sucesin converge en indicamos tambin 8 :8este hecho diciendo que 08 8 converge en medida.84.Supongamos que y que es una sucesin en que.\ 0 P 8 :8converge uniformemente en para . Entonces pertence a y la sucesin\ 0 0 P: 0 P 08 :8 converge en para .


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0 PSea una sucesin en que converge casi en toda parte para una 8 :8funcin medible . Si existe un funcin en tal que0 1 P: l0 B l 1 B B \ 8 8 entonces pertenece a y converge en para .0 P 0 P 0 : 8 :8 \ 0 PSea y sea una sucesin en que converge casi en toda.

8 :8

parte para una funcin medible . Si existe una constante tal que0 Ol0 B l O B \ 8 0 P 0 P8 : 8 :8 entonces pertenece a y converge enpara 0

85.Una sucesin de funcin medible a valor real se dice 08 8 convergente enmedida para la funcin medible a valor real cuando0 lim

88. B \ l0 B 0 B l !

0Una sucesin se dice cuando 8 8 una sucesin de Cauchy en medida lim

787 8. B \ l0 B 0 B l !

para cada . ! 0 0Si converge uniformemente para entonces el conjunto 8 8 { ; |B \ 0 B 0 B l 8 es vaco para suficientemente grande, por tanto convergencia uniforme8implica convergencia en medida.

86. La sucesin , donde , la cual converge en casi toda parte 0 0 8 88 88" ;para la funcin muestra que convergencia puntual no implica necesariamente!convergencia en medida a menos que el espacio tenga medida finita. PObsrvese, sin embargo que convergencia en implica convergencia en:medida. Pues entoncesI B \ l0 B 0 B l 8 8

' ' l0 0 l . l0 0 l . I 8 8 8

: : :

I

. . . 8 87. F.Riesz Si una sucesin converge en medida para , entonces0 08 8

alguna subsucesin converge -casi en toda parte para .. 0 0Sea una sucesin de funciones medibles a valor real la cual es de 8 8Cauchy en medida. Entonces existe una subsucesin que converge -casi en.toda parte y en medida hacia una funcin medible a valor real .0 0Sea una sucesin de funciones medible a valor real la cual es de 8 8Cauchy en medida. Entonces existe una funcin medible a valor real para la0cual la sucesin converge en medida. Esta funcin lmite es unvocamente0determinado -casi en toda parte..

88.Tomando vemos que la sucesin converge0 8 0 8 8 8; " #8 8 uniformemente para la funcin y nos muestra adems que convergencia en!medida no implica convergencia en .P: 0 PSin embargo sea una sucesin de funciones en la cual converge en 8 :8medida para y sea tal que . Entonces y0 1 P l0 B l 1 B ->: 0 P: 8 : . 0 P 08 :8 converge en a .


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89.Una sucesin de funciones medibles se dice convergente 08 8 casi-uniformementepara una funcin medible si para cada existe un conjunto0 !$I \ I 0 0 \ $ $ en con tal que converge uniformemente para en. $ 8 8I$. 0Una sucesin se dice si

8 8

casi-uniformemente de Cauchypara cada existe un conjunto en con tal que es$ . $ ! I \ I 0 $ $ 8 8uniformemente convergente en .\ I$ Es claro que convergencia casi-uniformemente es implicada porconvergencia uniformemente.

90. Sea una sucesin casi-uniformemente de Cauchy. Entonces existe 08 8una funcin medible tal que converge casi-uniformemente y en casi0 0 8 8toda parte para . En consecuencia convergencia uniforme implica0convergencia casi en toda parte. 0 0Si una sucesin converge casi-uniformemente para , entonces 8 8converge en medida. Inversamente, si la sucesin converge en medida 2

8 8para entonces alguna subsucesin converge casi-uniformemente para .2 2 PSe sigue que si una sucesin converge en , entonces tiene una subsucesin:la cual converge casi-uniformemente. 0 8 !La sucesin la cual converge, en casi toda parte para la funcin ,8 ; " #8 8muestra, que convergencia casi-uniformemente no implica convergencia en .P: 0 La sucesin muestra que convergencia en casi toda parte, no8 88";

implica convergencia casi-uniformemente.

91.Teorema de Egoroff: Supngase que y que es una. \ 0 8 8sucesin de funciones medibles a valor real la cual converge casi en toda parte

en a una funcin medible a valor real . Entonces la sucesin\ 0 0 8 8converge casi-uniformemente y en medida para .0 EI EY =convergencia en casi toda parte. =convergencia casi-uniforme

=convergencia en =convergencia en medida. Se tiene:P P Q: :> Subsucesiones convergente

implicacin

Caso general Espacio tiene medida finita Convergencia dominada

El lema de Fatou contina vlido si en casi toda parte esonvergeciareemplazada por .onvergencia en medida El teorema de la convergencia dominada de Lebesgue contina verdadera, siconvergencia en casi toda parte, es reemplazada por convergencia en medida.


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92.Teorema de convergencia de Vitali: Sea una sucesin en 08 8P \ " : : H . . Entonces las siguientes afirmaciones son necesarias ysuficientes para que la sucesin converja en para 0 P 0 8 :8

converge en medida para3 0 0 8 8Para cada existe un conjunto con tal que si33 ! I I % H .% % J J I l0 l . 8 H . % y , entonces para todo% ' 8 : :Para cada existe un , tal que si y333 ! ! I I % $ % H . $ %

entonces para todo .'l0 l . 8 8 : :. % 93.Sea una sucesin de funciones en , decimos que es 0 P 08 : 88 8 equicontinua, si dada una sucesin de conjuntos decreciente tal que I 8 H I ! R a5 R 5 y dado existe tal que% '

I8

5

l0 l. a8. %

94.Una sucesin es si dado existe 0 !8 8 uniforme absolutamente continua, %$ H ! aI tal que , se tiene . $ . %I l0 l. a8'I 895.Una familia es si para existe , 0 ! 5 58 8 uniformemente integrable, % %tal que '

0 58

8

l0 l. a8. %

0 0Si es una sucesin equicontinua entonces es uniforme 8 88 8 absolutamente continua. 0 \ Si es una sucesin uniforme, absolutamente continua, y 8 8 .sup8

l0 l. 0 ' 8 8 8. entonces es equicontinua y uniformemente integrable. \ Si entonces.

es uniforme absolutamente continua

es equicontinua 008 88 896.Sea , una sucesin convergente para en si y slo si0 P 0 0 P 0 p 08 : 8 : 88 en medida y es equicontinua. l0 l8 : 8 PNtese que para obtener convergencia en es necesario que se tenga:convergencia dominada.


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97.DERIVACON E INTEGRACIN. Sea una coleccin de intervalos. EntoncesIdecimos que es un recubrimiento de en el sentido de Vitali, si para cadaI I

% % ! B I M B M M y cada existe un intervalo tal que y .I l ILema de Vitali: Sea un conjunto de medida exterior finita

esto es y una coleccin de intervalos cerrados los cuales.

I I

cubren a en el sentido de Vitali. Entonces dado existe una coleccinI !%disyunta finita de intervalos en tal queM M M " # R I

.7 I M 88 "

R%

98.Con el objeto de hablar de derivada de una funcin, primero definimos unconjunto de cuatro cocientes llamados las de en como sigue:erivadas 0 B H 0 B H 0 B 0 B2 0 B 0 B 0 B22 2 lim lim2! 2! H 0 B H 0 B

0 B2 0 B 0 B 0 B22 2 lim

2! 2!

lim

Claramente tenemos y .H 0 B H 0 B H 0 B H 0 B

H 0 B H 0 B H 0 B H 0 B 0 Si , entonces decimos que es

diferenciable en y define como el valor comn de las derivadas en .B 0 B Bw 99.Sea una funcin a valor real montona creciente en el intervalo .0 + ,Entonces es diferenciable en casi toda parte. La derivada es medible y0 0w

.' +, w0 B .B 0 , 0 +100.Sea una funcin a valor real definida en el intervalo y sea0 + ,+ B B B , + ,! " 5 cualquier subdivisin de .Se define

: 0 B 0 B 8 0 B 0 B

3" 3"

5 5

3 3" 3 3"

,> 8 : l0 B 0 B l 3"

5

3 3"

donde = y siendo .sisi

< < l-Algunas veces se escribe para denotar la dependencia en el+ +

, ,

intervalo o de la funcin . Si decimos que es de+ , 0 X 0 variacin acotada o limitada sobre . Esta notacin es algunas veces denotada como .+ , 0 Z P101.Si es de variacin acotada en entonces y0 + , X T R + + +, , ,0 , 0 + T R + +, ,. 0 + , 0 Una funcin es de variacin acotada en , si y slo si, es la diferenciade dos funciones montonas a valor real en .+,


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0 + , 0 B BSi es de variacin acotada en entonces existe para casi todo enw +,.

102. . es montona pero no de variacin acotada enEjemplos: 3 0 B B todo .d330 B " /

lBl es montona y adems de variacin acotada en

3330 B / B# es de variacin acotada en .

3@ 0 B =/8 B lBl

! lBl "B# si

sies de variacin acotada en

1

1

@ 0 B B=/8 B !

! B ! "B si

sies acotada pero no es de variacin acotada

103.Si es una funcin integrable en entonces la funcin definida por0 + , J J B 0 > .> + , '+B , es continua, de variacin acotada en . 0 + , J B 0 > .> J +Si es una funcin acotada y medible en y '+Bentonces , para casi todo en .J B 0 B B + ,w 0 + ,Si es una funcin integrable en , y si se supone que

J B J + 0 > .> J B 0 B B + , '+B w, entonces , para casi todo en .104.Una funcin a valor real definida en es si dado+, absolutamente continua% $ ! !, existe un tal que

3"

8

3w

3l0 B 0 B l %

para cada coleccin finita de intervalos con B B 3 3w.

3"

8

3w

3lB B l $

Una funcin absolutamente continua es continua y se sigue que la integral

indefinida es absolutamente continua. 0 + ,Si es absolutamente continua en entonces es de variacinacotada en

+,.

0 0Si es absolutamente continua, entonces tiene derivada casi en toda parte.

105. Si es absolutamente continua en y en casi toda parte0 + , 0 B !w entonces es constante.0 JUna funcin es una integral indefinida si y slo si es absolutamentecontinua. Una funcin absolutamente continua, es la integral indefinida de su derivada. J + ,Sea una funcin continua a derecha, montona creciente en defina .J

en el intervalo por . Entonces es absolutamente+ , + , J , J + J .Jw w w w

continua si y slo si , siendo la medida de Lebesgue.. - -J

2. RESULTADOS PROBADOS


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1.Sea una sucesin de subconjuntos de un conjunto . Si consiste de E \ E8 8todo tal que pertenece a infinidad de los conjuntos , mostrar queB \ B E8

E E

7 "

8 78 .

SOLUCION:3 B E 7 " B E

Si entonces para todo , o sea que

7 "

8 7

8 78 8 a7 " b8 7 7 B E B Etal que , lo cual es equivalente a para8 7 8 infinitos o sea .8 B E33 B E B E 8Si entonces para infinitos , por lo tanto8

. a7 b8 7 8B E B E 8 7 8 7 " 8 7

2.Sea una sucesin de subconjuntos de un conjunto . Si consiste de E \ F8 8todos los los cuales pertenecen a casi todos los salvo para un nmeroB \ E8

finito de ndices , mostrar que8 .F E

7 " 8 7 8

SOLUCION:Sea entonces para todo salvo para un nmero finito. SiB F B E 88el conjunto entonces para todo entonces8 B E B E 8 8 8

B E B E

7 "

7 " 8 78 8 .

Si entonces existe de donde8 B E 7 8 B E B E 8 ! 8 8min

para todo , por consiguiente, tal que o sea8 7 " 7 b7 B E! " " 8

8 7"

que .B E

7 " 8 7 8

Recprocamente, si entonces tal que o seaB E b7 B E

7 " 8 7

7 " 8 8

que, de donde , para todo , salvo un nmero

b7 a8 7 B E B E 8 8 8

finito, o sea .B F

3.Sea un espacio de medida y una funcin a valor real definida en . \ 0 \HMostrar que es -medible si y slo si para cualquier conjunto0 0 I H H" borelianoI.

SOLUCION: Como y0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E" " " " " - "3 3 3 3 33 -

3 M 3 M 3 M 3 M

basta entonces mostrar la afirmacin para los generadores de la5-lgebra de Borel, que son los intervalos abiertos. 0) Si es medible entonces tenemos que 3 0 + B \+ 0B " H 330 , B \ 0B , " H 3330 + , B \+ 0B ," B \+ 0 B B \0 B , H


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esto equivale a decir que si (donde indica el conjunto de losI conjuntos borelianos) entonces , ya que es expresado como una0 I I " Hreunin o una interseccin numerable de los intervalos de la forma + , + , 0 I I Supongamos que para cualquier conjunto boreliano , en"

H

particular para , tenemos queI + 0 + B \ + 0B " Hentonces esto significa que es medible.0

4. Dado supongamos que existe , con y \ d l H . H H . H . .w w w w Hadems es completa en relacin a .H .w w

Sean , entonces . Si , y ,I J I ! I J ! I I ! a8H . . H . 8entonces .. I !

8 "8

SOLUCION:Se tiene que entonces de la monotona de se recibeI J I .. . . I J I ! I J !o sea que .Para cada , sea , obtengamos una sucesin creciente de8 E I 8 58

5 "subconjuntosas con las siguientes propiedades J E E I 8 8 8" 83 J J 8 7, ya que si se tiene8 7 J J E E E E E E 8 7 8 7 78" 7" 8"

- - -

E E E E E E7 8 8 7- - - -

8" 7"

E E E E

E E E E E7 8" 7 7 8"

7 8" 8-8"

33 J !. 8 , en efecto,entoncesJ I J I J !8 8 8 8 8. . .

333 J I , en efecto 8 " 8 "

8 8

sea existe ; esto implica que asB I 8 B I 8 B I

8 "8 8 8

existe entonces se tiene7 8 B I min 8y , ,B I B I a< " # 7 "7 B ">Adems, si , entonces . Use esto y el problema anterior para> + ! / />B +B

justificar la diferenciacin bajo el signo integral y obtener la frmula

'! 8 BB / .B 8x

SOLUCION:Si entonces del estudio de las integrales de Riemann se sigue> !que

' ' ! + ,>B >B >B ,>, , ," " "> > >,

!/ .B / .B / / lim lim lim

" " " "> > >, /lim ,>

La funcin es creciente por lo tanto , de donde o sea/ / / B >B +B " "/ /+B >B/ />B +B

Para tenemos> !

' ' ' !

,8 >B 8 >B 8 >B

, ! !

B / .B B / .B B / . Blim

.

B / !Se tiene haciendo uso del problema anterior, pues y es continua8 >B

ya que es el producto de dos funciones continuas.Ahora

' !

8 >B 8"B / . B 8x> ". Para probar esta afirmacin, seguiremos el mtodo de induccin sobre .8Para tenemos8 !

' ' ' ! !

! >B >B >B !"

, !, "

>B / . B / . B / .B !x>. . lim

obtenindose verdadero para .8 !Supngase que la frmula es vlida para , esto es8 "

' !8 " >B 8

B / . B 8 " x>

-

.

Llamando vemos que por hiptesis de induccin para0 B > B / > ! 8" >B0 B > \ ! es integrable en y se tiene

para `0`> 8 >B 8 BB > l B / l B / ! > La funcin ; ya queB /8 B es integrable


41/94


' ' ' !

8 >B 8 B 8 B 8" B

, ,! !

, ," 8

!

,

B / . B B / .B B / B / .B. lim lim

3 , / B / .B 8 " x 8x lim lim

, ,

" 8 88 , 8" B 8 8"!, '

33

3 Aqu se aplica integracin por partes as ' ' '! !, ,8 BB / .B ?.@ ?@ @.? ? B

.@ / .B8 B

B / B / .B

.? 8B .B@ /

8"

" B

" 88 B 8" B

!

,

!,

'

33 Aqu se hace uso de la hiptesis de induccin y del hecho de quelim lim

, ,

, 8" B 8" > 8!,

!

/ ! B / .B B / 8 " x !

' ' .Ahora aplicando un resultado bsico cal? para :

> !

..> `>

!

`0

' ' 0 B > . B > .. .o sea que

. `.> `>

!

8" >B ' ' !

8" >BB / . B. B / . B.

por hiptesis de induccin ' !

8 >B 8B / . B 8 " x>. , as

..>

8 8 >B

!

'8 " x> B / . B.o sea que

8 8 " x> B / . B '8" 8 >B

! .

por consiguiente para 8 '

!

8 >B 8"B / . B 8x>. lo que prueba la validez de la frmula para todo . " 8En particular para tenemos> " ' ' ! 8 B 8 B

!

B / .B B / . B 8x.

15.Pruebe que si es una sucesin de funciones integrables tales que y0 0 p08 8' '0 . p 0 . 0

8 . .. Siendo integrable entonces 'l0 0 l. p !8 . SOLUCION: 3 0 0 0 0 0 0 0 0 8 8 8y

En efecto; 0 0 0 0 B ! 0 B 0 B !8 8 8 sup sup 0 B ! 0 B ! 0 0 sup sup8

0 0 0 0 B ! 0 B 0 B !8 8 8 sup sup

. 0 B ! 0 B ! 0 0 sup sup8


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33 0 0 Sabemos de la hiptesis que esto equivale a quelim8

8

lim lim8 8

8 8 8 0 0 ! 0 0 0 0 !o sea de donde

lim lim8 8

8 8 0 0 0 0 ! "

En efecto; si existe tal que entoncesB 0 0 B !! 8 !8

lim

lim8 8 ! ! 0 B 0 B ! en cuyo casolim lim

8 88 ! ! 8 ! ! 8 ! !

0 B 0 B 0 B 0 B 0 B 0 B ! po locual es contradictorio. En forma anloga se muestra que , delim

88

0 0 !donde se tiene la veracidad de " ' '333 0 . 0 .Tambin sabemos de la hiptesis general que , estolim

88 . .

equivale a escribir que lim lim

8 88 8 ' ' '0 . 0. 0 0 . !. . .

o sea que

lim8

8 8 ' 0 0 0 0 . !.de donde tenemos lim lim

8 88 8

' ' 0 0 . 0 0 . !. .as se obtiene lim lim

8 88 8

' ' 0 0 . 0 0 . #. . 3@ 0 8Sabemos tambin de la hiptesis que es positiva para todo , por lo8tanto es positiva y de la parte tenemos0 3

ya que y 0 0 0 0 0 0 ! 0 0 8 8 8 8 8ya que y

0 0 0 0 0 0 0 0 !8

8 8

entonces lim

88'l0 0 l. . lim8 8 8 ' 0 0 0 0 ..

0 0 . 0 0 .lim lim8 8

8 8 ' ' . .

# 0 0 .#

lim8

8' .

@ Afirmacin: lim8

8' 0 0 . !.

En efecto, de la parte tenemos 3 0 0 0 0 0 8 8 entonces la sucesin es integrable para todo y1 0 0 8 1 0 a8 0 8 8 8

integrable, se sigue del teorema de la convergencia dominada de Lebesgue quelim lim8 88 8'1 . 1 .. .Como entonceslim lim lim lim

8 8 8 88 8 8 8

1 0 0 ! 1 . 0 0 . ! ' '. .Luego o sea .lim lim

8 88 8 8

' ' ' l0 0 l. # 0 0 . l0 0 l. p !. . .


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16.Sea medidas -finitas en . Sean y .- . 5 H - . - . \ 0 . . Si entonces1 \` H '1. 10 . . .'SOLUCION:Sabemos por el teorema de Radon-Nikodym que como son -- . 5finitas y entonces existe tal que , para todo- . ` H - . 0 \ I 0 . 'I 1 \H ` HSupongamos que es una funcin simple, esto es existen

+ + + 1 + I B \1 B + " # < 3 I 3 33"

> >

! > E K! > E F " > E > K " > E > K

; ; ; ;E EK K

.l l > >! > + K! > E K" > K E E K

; ; ;E E KK ?

39.Sea un conjunto, un lgebra de subconjuntos de y una medida\ \T .en . Si es un subconjunto arbitrario de , sea definida porT .F \ Fw . . T . . Tw w F E F E I I I inf . Mostrar que para todo y que. . . . w w F F \ . Muestre que en el caso de que es una reuninnumerable de conjuntos con medida -finita. Es enumerablemente aditiva?.. .w

SOLUCION: " I E I E I I E I . . T . T .w inf inf . . . . w 3"

3 3 F F F I I Fya que dondeinf 3 "

E E F E I I F I . T . T 3"

3 3 3

esta contenencia se tiene, ya que

donde y . . E I I E I a3 "3"

3 " 3


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Luego

inf inf E E F E I I F I . T . T 3 3 3 Q R d Q R Recurdese que si entonces inf inf Luego . . w

F F

# \ \ \ Veamos que si con8 8 8 w. . . Hemos probado en que en general , resta ver que" F F. . w

. .w F F o sea que I I F I E E F E

. T . T3 3 3En efecto,

.. . T T E I I F I E I F E 3 3 3 3 . es finita

3 "

8

por lo tanto tomando se tiene. . T E E E F E inf inf inf I I F I E E E

. T . T3 3 3

por lo tanto . . w F F aF \Luego tenemos en este caso que .. . w

40. Sea un subconjunto medible Lebesgue de . Mostrar que existe unE dconjunto medible Borel de tal que y . Mostrar queF d E F F E ! l

todo conjunto medible Lebesgue es la reunin de un conjunto medible Borel

con la misma medida y un conjunto de Lebesgue de medida nula.SOLUCION: 3 dComo es localmente compacto, -compacto de Hausdorff5tenemos que donde cada es compacto. As parad O O O O E" # 8 8y entonces y existen conjuntos abiertos% ! O E Z O El 8 8 8 tal que l 8 8 # Z O E 8 " # $ "%8"Si , entonces , as queZ Z Z E Z O E Z E 8 8 8 # l %Aplicando esto a en lugar de ; existe un conjunto abierto tal queE E [ E- -

l - - -# [ E J [ EJ [ E% . Si , entonces .

Si es cerrada, entonces cada es compacto yJ J O J O J 8 8l l " # 8 O O O J J 8 cuando .Si haciendo obtenemos conjuntos cerrados y abiertos% 4 " # J Z "4 4 4 tales que y .J E Z Z J 4 4 4 4 "4l Tomando y , entonces es un y es unQ J F Z Q E F Q J F 4 4 5K F Q ! F E F Q F E F Q $, y . Como se sigue que ,l l l

luego donde abierto .l 4 4 F E ! F Z Z a3

4 "


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33 E 3Sea cualquier conjunto medible Lebesgue entonces de la parte se sigueque donde , cerrado , asE Q F Q Q J J a4 4 4l F Q ! y

.l l l l l E Q F Q Q F Q Q

41.Sea un conjunto no enumerable y sea una coleccin de subconjuntos\ ITtales que es finito o es finito. Sea en definida as:I I- . T

si es finitosi es finito

. I ! I I-Mostrar que es una medida en . Calcule la medida . Calcule la funcin de. T .

conjuntos definida as " " son ellas las. . . Tw w F E F E infmismas?

SOLUCION: " es una medida. pues es finito3 !.

Sea , si es finito, , si finito33 I I I ! I I T . . -

I !. Si , es finito, entonces en ese caso333 a8 I I ! I ! . .8 8

I I I I 8 "

8 T es finito ,o, es infinito

Si es finito, entonces existe tal que en ese casoI 8 I a8 8 ! 8 !

. . . 8 8

I ! I I 8 8 88

y se tiene .

Si es infinitoI I !. 8 "

8

En efecto, entonces es un conjunto infinito entonces

8 " 8 "

I I8 8T

# # es contradictorio por que no es un conjunto

8 "

I \ po \ 8

enumerable, luego es finito y concluyndose que

8 " 8 "

I I !8 8.

. . 8 "

I I !8 8

8

# F I I F I tales que. . T

3"

3 3 3 inf 3 "

3 F F Si es finito, entonces esta en yT . .

33 F FSi es infinito, entonces puede ser infinito enumerable o infinito noenumerable. Si es infinito no enumerable entonces es finito en ese casoF F-

F F F T .o infinito no numerable tmese en este caso y tendramos- . . - F F. Ahora en el caso enumerable entonces es infinito no enumerable.Sea como as queda, F , , ! F , F !T . .

, F

definida ..

$ Clculo de la funcin .w


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Si entonces y son no enumerables, entoncesF F FT -

. . Tw F E E F E infEntonces en ese caso luego. . T 3 3 3 F I I F I inf

3

. .w F F .Si entonces o son finitos y tenemosF F FT

-

. . Tw - F E E F E ! F Finf si es finito+ si si es finito

. . T 3 3 3 - F I I F I ! F Finf 3 si es finito+ si si es finitoAs .. .w F F

42. Sea un conjunto y sea la funcin definida para subconjuntos\ arbitrarios de y con valores en , cumpliendo con la desigualdad\ d

! I I J I J I J \ f

donde y son subconjuntos de . Sea

es la coleccin de todos los subconjuntos de tales queI \

E E I E I para cada . Si , entonces es un lgebra y es aditiva en .E \ f fSOLUCION: 3 I \ E E I E I f

E E E ESolo basta ver que !

! !

por lo tanto f

33 \ E \ E E \ E \ ya que f f 333 E F F E F E aF \ f F E F E F E F E- C CC

F E F E F Luego E - f 3@ I I Mostremos que esta en , o sea debemos mostrar que" # f E E I I E I I " # " #

I E I E I I E I I " # " # # "f I E E I E I # # #f

Sea yF E I I F I E I I F I E I " # # # " # #


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Tenemos, como queI F F I F I # ##f E I I E I I E I " # # " # E I I E I I I E I I I " # " # # " # #Ahora = E I I I E I I I E I I I " # # " # # " # #C C C E

C C C CI I I I E I I E I I E I I " # # # " # # " # "

y tenemos entonces que E I I I FI E I " # # # # E I E I I E I I "# # " # " E E I E I ## # E I I E I I E I $ " # # " #o sea de y tenemos " # $ E E I I E I I " # " #de donde tenemos que .I I " # fPor lo tanto entonces por loC C C C CI I I I " # " #f f I I f f " #tanto I I I I " # " #CC fAditividad.Sean y . Para todo tenemosI I I I E \ " # " #f E I I E I I I E I I I " # " # " # "" E I E I

" #Luego haciendo tenemos ya queE \ I I I I \ I I " # " # " "\ I I # #. E I I I E I I I I E I " # " " " # " "

E I I I E I I I I E I I E I " # " # #- - - -" " " "# I I-" #43.Puede suceder que la coleccin del problema sea vaco. Por ejemplof %#

sea para todo I " .I \SOLUCION: Sea entonces existe entoncesf f I E E J E I " " " poesto es contradictorio, luego f


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44.Sea y dados como en el problema y sea la -lgebra generada\ $#T T 5"por . Sea la medida del conteo en y sea . Mostrar queT . T . . . ." " # " " # #

en pero no enT T".

SOLUCION: Sea \ ! "T T c T + ,+ , \ + , \ reuniones finitas de entonces ya que si" + + + + T" " "8 88 " .Sea donde , y seE E + , + , \ + , B \+ B , T

8

5 "5 5 5 5 5 5 5 5

tiene entonces en . Claramente en. . . . . T . . T" # " " # " # " E # ya que si y es finito entonces y por loI I I 8 I #8T . ." " # tanto en .. . T" # "

45.Si denota el espacio de medida consistente de los nmeros reales d junto con los conjuntos de Borel, mostrar que cada subconjunto abierto de

d d pertenece a . En efecto, esta -lgebra es la -lgebra 5 5

generada por los subconjuntos abiertos de (en otras palabras, esd d

el lgebra de Borel de ).d d

SOLUCION: Sea el espacio de la hiptesis, se sabe que en todo d dsubconjunto abierto es obtenido como una reunin enumerable de intervalosdisyuntos. Por otra parte como un abierto de es obtenido como unad dreunin de abiertos elementales y cada abierto elemental es el producto de dosintervalos, entonces trivialmente se sigue el problema.

46. Sean y funciones a valor real en e respectivamente. Suponer que0 1 \ ] 0es -medible y que es -medible. Si es definido para en pork l1 2 B C \ ] 2 B C 0 B 1 C 2 , mostrar que es -mediblek l .SOLUCION: Supngase sin perdida de generalidad que son no negativas, Por0 1un resultado bsico (cal?) podemos escribir

donde y son funciones simples0 0 lim8

8 8 8: : :

donde y son funciones simples1 1lim8

8 8 8< < J > 0 B> 0 B>> > > > 8 88 8 . B Q. B Q ! " Q ' ' . . .

aqu es tal que | .Q l Q `0`> 0 B > 0 B > B > > > > > >8 8 8`0`> w wdonde , entonces

.0 B> 0 B>> > `>

`0 w 88

B > Q As , tomando lmite y usando el teorema de la convergenciaJ > J >

> > 8

8 Q

dominada de Lebesgue, tenemos

' ' ! !8 88 8" "8 80 B> 0 B> 0 B> 0 B>> > > >lim lim .B .Bll

.' ' ! !8

8" "`0`> > > .> .>8

J > J > . .B > .B J > 0 B > .Blim

70.Sea . Mustrese que" : < P !" P !"

: : . Si , entonces y entonces por elVerdadero

teorema de Tonelli tendramos

contradiccin' ' ' ' ' ' ! ! ! !

" " " "B

CO .C .B O.B.C O .B .C poU

Si , entonces casi en todas partes y y entonces75 ! ! 5 ! 5 ! ->: por el teorema de Tonelli nuevamente se tiene

' ' ' ' M M ! ! 5.C .B 5.C .Bll ll

" "

' ' ' ' ! ! ! !

" " " " 5.B .C 5.B .C po

estas ultimas igualdades son contradictorias

, 0 0 ! a8Verdadera. Tmese la sucesin de funciones 8 8"8 8;

adems es decreciente y es integrable, tenindose0 08 8y adems .lim

88 8' '0 . 0 p! 0 0 . !- -

74.Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas.


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+ Q B C D OSea una funcin real no negativa, medible, en el cubo unitariotal que la integral repetida

' ' ' ! ! !

" " "Q BCD .B .C .D

existe y es finita. Entonces es necesariamente Lebesgue-integrable en .Q O

, 0 Sea una sucesin de funciones medibles en la recta, que converge8puntualmente, y sea su lmite puntual. Entonces0 ' '

d d/ =/8 0 B . p / =/8 0 B .lBl lBl8 - -

cuando donde denota la medida de Lebesgue.8p -

- P ! "Sea el espacio vectorial de las funciones complejas esencialmenteacotadas en provisto de la norma . Sea una funcin! " m0 m /= l0 > l Ksup

> ! "

lineal acotada en Entonces existe una funcin dondeP ! " 1 P ! " -es una medida de Lebesgue.

. 0 Una sucesin de funciones Lebesgue integrables en la recta es tal que8' 'lim inf lim inf lim inf 0 0 ! 0 0 8 8 8y . Entonces si se debe tener que7B 0 B ! ! 7B 0 B ! ! y .SOLUCION: + QVerdadero.Pues si es real no negativa y medible, vale elteorema de Tonelli, y se recibe que

' ' ' ' ' ' O

Q B C D .B.C.D Q B C D .B .C .D ! ! !

" " "

Luego es necesariamente Lebesgue integrable.Q , / =/8 0 B p / =/8 0 B =/8Verdadero. Pues puesto que es una funcinlBl lBl8continua; tambin vale que que es integrable. Por ell/ =/8 0 B l /

lBl lBl

8

teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, tenemos.' ' d d

/ =/8 0 B . / =/8 0 B .lBl lBl8 - - - ? ! "0

. Tmese la medida concentrada en . Sea se tieneFalso . V "#

0 "#

a0 ! " ? 0 l m0 m ?V que | Entonces por el teorema de Hahn-Banach se puede extender a . Suponga que tal queP ! " 1 P ! " a0 P ! " "

? 0 0 1 a0 ! " 0 1 0 ' ' ! !

" " "#

. En particular ,V

" 1 "'!

"


79/94


# 0 1 " m" 0 m "'!

"% %

as " l 1 0 1l " 0 1 l1lp ! po' ' % %% %' '" "# #

" "# #

% %

lo cual es contradictorio

. 70 ! ! 0 !. Pues si entonces casi en toda parte y por elVerdadero

lema de Fatou se tiene ' ' lim inf lim inf 0 . 0 po8 8.Por otra parte si , se sigue que y entonces70 ! ! 0 ! ->: ' ' lim inf0 . 0 po8 . no puede ser , .

75. Dar un ejemplo de una sucesin de funciones medibles que converge enmedida pero no converge puntualmente en casi todo punto.

SOLUCION: Tome E ! " E ! E " E ! ! " # $" " "# # $E E " E ! E % & ' (

" # # " " "$ $ $ % % #

y as sucesivamente, y sea

0 M 0 ! 8 8 8E"88.

Tenemos que para todo y todo . Luego. % % . % . 0 p ! 0 0 ! 0 0 8 8 8y entonces Pero no converge casi en toda parte apues toma alternativamente los valores y para todo .0 B ! " B ! "8

76.Probar que si es una sucesin de funciones positivas y Lebesgue0 8integrables tal que converge para en casi toda parte y , entonces0 0 0 p 0 8 8' ''l 0 0 l p !8SOLUCION: Ntese primeramente que y que es integrable pues0 ! ->: 0 ' ' ' ' 0 p 0 0 0 l " 88 8 !implica que | para algn y entonces!' '0 0 " 8! .Defnase ahora y ntese que2 0 0 l0 0 l8 8 8 3 2 ! ->: 0 0 l l0 l l0 l 0 0 ->: 8 8 8 8pues | y entonces2 0 0 0 0 ! ->: 8 8 8 33 Tenemos an que|2 l 2 0 0 l0 0 l 0 l0 0 0 l 0 l0 l #l0 l 2 #l0 l8 8 8 8 8 8 8 333 2 0 0 l0 0l #0 ->: 2 p #0 as .lim lim

8 88 8 8 8

->:

Entonces por el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, tenemos

lim lim' ' ' 2 . 2 . # 0 .8 8. . .Por otro lado

' ' ' ' 2 0 0 l0 0l8 8 8

y tomando en ambos lados lmite, tenemos # 0 . 0 . 0 . l0 0l.' ' ' ' . . . .lim 8Luego, como tenemos' '0 . l0 0 l. !. .lim 8


80/94


77.Si y , entonces la aplicacin es una correspondencia0 Q - ! - : < :uno a uno entre funciones simples en con y funciones simples de: :


81/94


Mostremos que , con este fin definamos las siguientes' 0 . 0 8.8"

funciones:si sisi si

: :" # 8 8 0 " 8 " 0 # 8 #! 8 " ! 8 #:

3

8 0 3 8 3

! 8 3

si

si.

Dado se tienen la siguiente sucesin de conjutos:5 I 7 7 " "" 3 : I 7 7 # ## 3 : I 7 7 8 88 3 : Adems entoncesI " I 0 7 7" 78 8

" ": : ' lim8 8 77"

: . .. 0 7 I

ll

' ' 0 . . 0 7. : .lim8

7"

I 7 ". . 7 .

80.Sea y la medida de Lebesgue en . Si , entonces la\ d 0 H - ;8 !8sucesin es montona creciente hacia . Aunque las funciones son0 ;

!

uniformemente acotadas por y las integrales de las son todas finitas," 08

tenemos: se puede aplicar el teorema de la convergencia'0 . -montona?

SOLUCION: Sabemos por hiptesis se tiene , donde0 08 8"0 B B B 8 8 " B 8 " " B ! 8

! B ! 88 !8 ; sisio entonces se sigue queB ! 0 0 0 0 l0 B l " a88 8" 8 8

lim8

8 !0 ; . Luego aplicar el teorema de la convergenciai podemosmontona y se recibe: ' ' ; - ; - -! !8

8 8 8. . ! 8 8 lim lim lim

81.Sea y la medida de Lebesgue en si ,\ d 0 H - H ;8 "8 8 entonces la sucesin es montona decreciente y converge uniformemente

08

para pero .0 ! ! 0 . 0 . ' '- -lim 8SOLUCION: Hacindolo directamente tenemos como es uniformemente ;8acotada por se sigue que as;" !lim

8 8

;8

' ' ' 0 . . . 8 8 " " "8 8 88 8- ; - ; - -. 0 . 0 . ! ' '"8 8lim - -


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82. + 0 "8 0 ! 0 Sea , . Mostrar que la sucesin converge8 8!8;uniformemente hacia , pero que . Por que no se contradice0 0 . 0 .' '- -lim 8el teorema de la convergencia montona? Se aplica el lema de Fatou?

' ', 1 8 1 ! 1. 1 .Sea . Mostrar que . Converge8 8

" #8 8

; - -lim

uniformemente para ? Puede aplicarse el teorema de la convergencia1 18

montona? Puede aplicarse el lema de Fatou?

SOLUCION: + 0 ! 8Como , entonces8 "8 ; a ! b8 8 8 l B l aB% ; %! ! "8 !8dado que ,

si

si"8

"8;! 8 B

B !8

! B ! 8

para el primer caso, , implica que , basta as tomar .l l 8 8 8" " " "8 8 !% % %Ahora .' ' '0. !. ! " 0 .- - -8 lim lim lim lim lim

' ' ' 0 . . . 8 "8

" " " "8 8 8 8!8 !8 !8

- ; - ; - - ;

esto es contradictorio ya que la sucesin es decreciente y el po ! 8"8 ;teorema de la convergencia montona es para funciones crecientes y no sepuede aplicar. El lema de Fatou no se contradice ya que ' ' lim inf lim inf 0 . ! " 0 .8 8- - , Se tiene: ' ' ' 1 . 8 . 8 . 8 8 8 "8 " # " # " # # " "8 8 8 8 8 8 8 8 8- ; - ; - -entonces . Por otro ladolim lim' ' ' ' 1 . " 1. !. ! " 1 .8 8- - - -La convergencia no es uniforme ya que

| a ! b8 aB 8 8 1 B l % % %! ! 8Ahora

si a ! b8 a8 #8 l1 B l B % %! ! 8 " #8 8Basta tomar tal que en ese caso para8 !

# "8 8!

" #8 8 8 !! ! " #8 8! !

B l1 B l l8 B l a8 #8 ; %Como 1 B 88 ; " #8 8

1 8 "8" ; " #8" 8"para tenemos que y . Luego la sucesin de# #8" 8 8 8" B 1 B " 1 B ! funciones no es creciente. El lema de Fatou aplicar.e puede

83.El lema de Fatou tiene una extensin al caso donde las funciones toman08valores negativos. Sea en y supngase que Si es2 Q \ 2. 0 8 'H .una sucesin en y si entoncesQ \ 2 0 H 8


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' ' lim inf lim inf 0 . 0 .8 8. .SOLUCION: Tenemos inicialme

Teoria Integracion Dario Sanchez 2004

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