Teoria não comutativa de integração edinâmica hiperbólica

Gabriel Elias Mantovani

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

Assinatura:

Teoria não comutativa de integração e dinâmicahiperbólica1

Gabriel Elias Mantovani

Orientador: Prof. Dr. Ali Tahzibi

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Mate-máticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dosrequisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências- Matemática. VERSÃO REVISADA

USP - São CarlosAgosto/2013

1Este trabalho teve suporte financeiro da FAPESP

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

M293tMantovani, Gabriel Elias Teoria não comutativa de integração e dinâmicahiperbólica / Gabriel Elias Mantovani; orientadorAli Tahzibi. -- São Carlos, 2013. 59 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduaçãoem Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticase de Computação, Universidade de São Paulo, 2013.

1. desintegração. 2. dinâmica hiperbólica. 3.medida SRB. 4. grupoide. 5. teoria não comutativade integração. I. Tahzibi, Ali, orient. II. Título.

Aos meus pais.

“No, no! The adventures first, explanati-ons take such a dreadful time.”

Lewis Carroll, Alice in Wonderland

Agradecimentos

Ao meu orientador Ali Tahzibi, pelo apoio, atenção, pelos momentos de discussão frutíferae pelo enriquecimento da minha experiência matemática.

Aos meus pais, Elenice e Luiz Eduardo, e a minha irmã Sarah, por terem sempre meapoiado nas minhas decisões, e por terem contribuído de forma fundamental na minhaformação pessoal.

Aos colegas de mestrado Jorge Parejas e Laís Oliveira pelo suporte fundamental duranteo primeiro semestre do mestrado.

À FAPESP pelo suporte financeiro.

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Resumo

MANTOVANI, G . E. Teoria não comutativa de integração e dinâmica hiperbólica.2013. 71 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,Universidade de São Paulo, São Carlos, 2013.

Uma das caracterizações de medidas SRB é a de que a sua desintegração em relaçãoas partições mensuráveis subordinadas as variedades instáveis são absolutamente continuascom respeito a medida Lebesgue nestas mesmas variedades. Este trabalho segue os pas-sos de Segert [16] ao analisar a aplicabilidade da teoria de integração não comutativa deAlain Connes ao estudo de medidas SRB de sistemas dinâmicos hiperbólicos do tipo (M, f)

com M uma variedade compacta e f um difeomorfismo C2. Nesta dissertação é realizada ademonstração do teorema da desintegração de Rokhlin utilizando o conceito de esperançacondicional. É fornecida uma introdução a teoria de integração não comutativa de AlainConnes. E apresenta-se uma injeção entre medidas SRB de sistemas dinâmicos hiperbólicose as medidas transversas definidas sobre este sistema.

Palavras-chave: desintegração, grupoides, teoria não comutativa de integração, dinâmicahiperbólica, medidas SRB.

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Abstract

MANTOVANI, G. E. Non commutative integration theory and hiperbolic dynamic.2013. 71 f. Dissertação (Mestrado) - Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,Universidade de São Paulo, São Carlos, 2013.

A characterization of SRB measures is that its disintegration in relation to measurablepartitions subordinate to unstable manifolds is absolutely continous with respect to the Les-besgue measures in the same manifolds. This work follows the footsteps of Segert [16] in thestudy of the applicability of the non commutative integration theory of Alain Connes to theanalysis of SRB measures for hyperbolic dynamical systems of the type (M, f) with M acompact manifold and f a C2 diffeomorphism. In this work the proof of Rokhlin’s disinte-gration theorem is presented using the concept of conditional expectation. An introductionto the theory of non commutative integration of Alain Connes is provided. It’s shown theexistence of a injection between SRB measures in hyperbolic dynamical systems and trans-verse measures defined on this system.

Keywords: disintegration, non commutative integration theory, hyperbolic dynamic, SRBmeasures.

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Sumário

Lista de Abreviaturas e Símbolos ix

1 Introdução 1

2 Medida, Desintegração e Dinâmica 32.1 Espaços de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Partições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 O Teorema da Desintegração de Rokhlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Sistemas Dinâmicos Uniformemente Hiperbólicos . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Sistemas Dinâmicos Não Uniformemente Hiperbólicos . . . . . . . . . . . . . 19

3 Introdução a Teoria Não Comutativa de Integração 213.1 Grupoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Grupoides de Medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Funções Transversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.5 Medidas Transversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4 Teoria de Integração não Comutativa e Sistemas Dinâmicos 454.1 Funções Transversas de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Homomorfismo Jacobiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.3 Medidas Transversas e Medidas SRB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Referências Bibliográficas 57

Índice Remissivo 59

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Lista de Abreviaturas e Símbolos

sse se, e somente se (análogo a sigla da língua inglesa iff ).R+ Conjunto dos números reais não negativos, i.e. [0,+∞).R∗

+ Conjunto dos números reais positivos, i.e. (0,+∞).R+ Conjunto dos reais extendidos positivos [0,+∞].. Multiplicação.fn f A sequência de funções (fn) é crescente e converge pontualmente para a função f .det Função determinante.C0(X) Conjunto das funções contínuas de X em R.Cn(X) Conjunto das funções com n-ésima derivada contínua de X em R.Df Derivada da função f .E ⊕ F Espaço vetorial resultante da soma direta de E com F .#A Cardinalidade do conjunto A.εy Medida de Dirac em y.f Símbolo definido pela igualdade f(γ) = f(γ−1), ∀γ.

Capítulo 2.

σ(W ) σ-álgebra gerada pelo conjunto W , p. 3.χA Função característica do conjunto A, p. 5.X ⊗ Y Produto das σ-álgebras X e Y, p. 4.A = B mod 0 Existe conjunto de medida total F tal que A ∩ F = B ∩ F , 5.TCM Teorema da Convergência Monótona, p.5.TCD Teorema da convergência Dominada, p.6.µ ≪ ν A medida µ é absolutamente contínua com respeito a medida ν, p. 6.P ≼ Q A partição Q é mais refinada que a partição P, p. 7.P ∨ Q Partição menos refinada que refina P e Q, p. 7.W u(x) Conjunto globalmente instável, p. 20.W s(x) Conjunto globalmente estável, p. 20.

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Capítulo 3.

G(0) Conjunto dos objetos do grupoide G, p. 21.G(2) Conjunto dos elementos multiplicáveis do grupoide G, p.21.1x Homomorfismo identidade de x em x, p. 21.r, s, inv Funções alvo, fonte e inversão em grupoides, p. 22.GA Subgrupoide de G obtido pela restrição de G(0) a A, p. 22.F+(G) Espaço das funções mensuráveis de G → [0,∞), p. 25.F+(G) Espaço das funções mensuráveis de G → [0,∞], p. 25.C+ Espaço dos kernels próprios de um dado grupoide, p. 27.Rν , Lν p. 27.ν ∗ f Convolução de kernel por função, p.27.f ∗

νg Convolução de f por g segundo o kernel ν, p. 27.

ν ∗ µ Convolução de kernel por kernel, p.28.Sν Suporte do kernel ν, p. 30.E+ Espaço das funções transversas próprias de um dado grupoide, p. 33.δ Função modular, p. 34.∆ Medida transversa, p. 34.∆ν Medida induzida pela função transversa ν, p. 35.⊗ Produto tensorial, p. 40.

Capítulo 4.

Gu Grupoide instável, p. 45.δu Homomorfismo Jacobiano, p. 51.

x

Capítulo 1

Introdução

No estudo de um sistema dinâmico certas probabilidades invariantes são especialmenteúteis, entre estas se destacam as medidas físicas ou SRB, denominadas desta forma em ho-menagem aos pesquisadores pioneiros em seu estudo, Sinai, Ruelle e Bowen. Esta dissertaçãose baseia na seguinte forma de se caracterizar a medida SRB de um sistema dinâmico: umamedida invariante em um sistema dinâmico é uma medida SRB se quase todos elementosde sua desintegração em relação a uma partição subordinada as folheações instáveis sãoabsolutamente contínuas com respeito a medida de Lebesgue nesta folhação instável.

A desintegração de uma probabilidade em relação a uma partição é uma família deprobabilidades indexada pelos elementos da partição, de tal sorte que cada probabilidadetem seu suporte no respectivo elemento da partição; e é possível reobter a probabilidadeoriginal a partir de um processo de integração desta família. Para um exemplo considerea partição por linhas horizontais do quadrado [0, 1] × [0, 1], para cada átomo da partição(i.e. cada linha horizontal) associa-se a probabilidade boreliana usual unidimencional. Tem-se portanto que o suporte de cada probabilidade está em sua respectiva partição; e peloteorema de Fubini pode-se reobter a probabilidade boreliana do quadrado atrávez de umaintegral.

Uma partição é dita mensurável se pode ser obtida por um processo de limite decres-cente, i.e., que os átomos da partição podem ser escritos como uma interseção decrescenteenumerável de conjuntos mensuráveis. O teorema da desintegração de Rohklin garante queum espaço métrico compacto dotado de uma medida de probabilidade boreliana semprepossui uma desintegração em relação a uma partição mensurável.

Esta dissertação segue os passos de Segert [16] que buscou estudar as medidas condicio-nais (desintegração) de um sistema dinâmico sob a luz da teoria não comutativa de integraçãode Alain Connes. Segert encontrou uma injeção entre as medidas transversas definidas emum grupoide associado as variedades instáveis de um sistema dinâmico e as medidas SRBdeste sistema.

Este trabalho foi escrito com o objetivo de fazer uma análise sobre mensurabilidadede partições, desintegração de medidas no contexto de sistemas hiperbólicos, teoria nãocommutativa de integração de A. Connes, e explorar possíveis conexões entre estes temas.A referência principal para este estudo é a tese de doutorado de Jan Segert [16]. É digno de

1

nota que apesar desta dissertação ter como foco sistemas dinâmicos, este trabalho é maisfortemente relacionado a Teoria da Medida do que a sistemas dinâmicos em si. A seguir érealizada uma descrição capítulo a capítulo.

Na primeira seção do capítulo 2 é apresentada uma breve revisão dos conceitos funda-mentais de teoria da medida que serão utilizados ao longo da dissertação. Na segunda seçãoé apresentado o conceito de partições de forma rigorosa, e as partições mensuráveis são de-finidas. A terceira seção traz a prova do teorema da desintegração de Rokhlin. E finalmentenas duas últimas seções é realizada uma breve revisão dos conceitos de dinâmica utilizadosna dissertação, tais conceitos são apresentados utilizando as noções de medidas condicionaise partições subordinadas. Este capítulo tem como principais referências [14] e [6].

No capítulo 3 é fornecida uma introdução a Teoria de Integração Não Comutativa deAlain Connes. Ao inicio do capítulo se define o conceito de grupoide e grupoide mensurável.Nas três seções seguintes são apresentados os conceitos, relativamente abstratos, de kernel,função transversa e medida transversa. Com o objetivo de facilitar o entendimento de taisconceitos o capítulo termina com uma seção composta exclusivamente de exemplos. Estecapítulo tem como principais referências [7] e [3].

O último capítulo traz uma uma série de resultados de [16] que apresentam uma unificaçãodos conceitos trabalhados, e abrem caminho para uma possível linha de estudo sobre medidasSRB.

2

Capítulo 2

Medida, Desintegração e Dinâmica

O objetivo principal deste capítulo é compreender a seguinte caracterização de medi-das SRB: para um sistema hiperbólico as medidas SRB são aquelas cuja desintegração emrelação as partições mensuráveis subordinadas as variedades instáveis deste sistema são ab-solutamente continuas com respeito a medida Lebesgue nestas mesmas variedades. Com esteobjetivo em mente na primeira seção é apresentada uma breve revisão dos conceitos funda-mentais de teoria da medida que serão utilizados ao longo da dissertação. Na segunda seção éapresentado o conceito de partição de um espaço mensurável de forma rigorosa, e o conceitode partição mensurável é definido. A terceira seção traz a prova do teorema da desintegraçãode Rokhlin. E finalmente nas últimas duas seções é realizada uma breve revisão dos conceitosde dinâmica utilizados na dissertação. Este capítulo tem como principais referências [14] e[6].

2.1 Espaços de MedidaSeja X um conjunto, uma σ-álgebra X de X é um subconjunto do conjunto das partes

de X, 2X , que é fechado por união enumerável, por complementariedade e possui X comoum elemento. Assim X ⊂ 2X é σ-álgebra sobre X se satisfaz :

1. X ∈ X;

2. Se A ∈ X então X\A ∈ X;

3. Se (An)n∈N é sequência de elementos de X então∪

n∈NAn ∈ X.

Neste caso denomina-se a dupla ordenada (X,X) de espaço mensurável , e todo conjuntoA ∈ X se diz mensurável .

Dado conjunto W ⊂ 2X define-se a σ-álgebra gerada por W , σ(W ) como sendo amenor σ-álgebra que contém W , i.e., se X é σ-álgebra em X tal que W ⊂ X então σ(W ) ⊂ X1. A existência de σ(W ) é garantida pelo fato de que 2X é uma σ-álgebra e de que interseções

1A σ-álgebra foi definida de forma não construtiva. É um fato importante mas comumente negligênciadoque σ(W ) pode ser obtida de forma construtiva [4].

3

arbitrárias de σ-álgebras são σ-álgebras. Assim pode-se escrever

σ(W ) =∩

W⊂A, A é σ-álgebraA.

Uma σ-álgebra X é dita enumeravelmente gerada caso exista um conjunto W enumeráveltal que X = σ(W ).

Sejam (X,X), (Y,Y) espaços mensuráveis, uma função f : (X,X) → (Y,Y) é dita funçãomensurável se A ∈ Y ⇒ f−1(A) ∈ X, i.e., a imagem inversa de cada conjunto mensurávelde Y é um conjunto mensurável de X. Caso Y = σ(B) para algum B ⊂ 2Y , f é mensurávelsse f−1(A) ∈ X,∀A ∈ B.

Seja Y um conjunto e g : (X,X) → Y uma função, denomina-se a σ-álgebra induzidaem Y pela função g o conjunto Y = E ⊂ Y |g−1(E) ∈ X. É de fácil verificação que Y éσ-álgebra e que é a menor σ-álgebra que torna g : (X,X) → (Y,Y) uma função mensurável .Uma bijeção h : (X,X) → (Y,Y) é chamada de isomorfismo mensurável se tanto h comoh−1 são funções mensuráveis.

Seja (X, τ) um espaço topológico ([13], [11]). Define-se a σ-álgebra de Borel, ou bore-liana X de X como sendo a σ-álgebra gerada pelos abertos de X. Assim X = σ(τ). Se (X,X)

e (Y,Y) são espaços mensuráveis com X e Y suas respectivas σ-álgebras de Borel tem-se quetoda a função contínua entre X e Y é mensurável. Em particular todo homeomorfismo entreX e Y é um isomorfismo mensurável.

Define-se a σ-álgebra produto de dois espaços mensuráveis (X,X) e (Y,Y) como sendoa σ-álgebra gerada por conjuntos da forma A × B com A ∈ X e B ∈ Y, e denota-se porX ⊗ Y. Assim X ⊗ Y = σ(E ⊂ X × Y |E = A × B,A ∈ X, B ∈ Y). Se (X,X) (Y,Y)

são espaços topológicos separáveis então a σ-álgebra de Borel do espaço topológico X × Y

é igual a X ⊗ Y [4].Uma função µ : X → R+ é chamada de medida sobre a σ-álgebra X se satisfaz as

seguintes condições:

1. µ(∅) = 0;

2. Se (An)n∈N é sequência de elementos de X dois a dois disjuntos então µ(∪An) =∑µ(An);

neste caso a tripla ordenada (X,X, µ) é chamada de espaço de medida. Caso µ(X) = 1

então µ é chamada de medida de probabilidade e (X,X, µ) é chamado de espaço deprobabilidade.

Seja X um espaço topológico e µ uma medida de Borel em X, i.e., uma medida definidana σ-álgebra de Borel de X, e seja E um subconjunto mensurável de X, µ é chamadaexternamente regular em E se

µ(E) = infµ(U)|E ⊂ U,U aberto

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e é chamada internamente regular em E se

µ(E) = supµ(K)|K ⊂ E,K compacto.

Se µ é uma medida externamente e internamente regular em todos os borelianos de X entãoµ é uma medida regular. Pelo resultado 7.8, p. 217 de [4], tem-se que toda medida deprobabilidade boreliana definida em um espaço topológico métrico compacto X é regular.

Uma função característica, ou indicadora, de um conjunto mensurável A ⊂ X,denotada por χA é tal que χA(x) = 1, ∀x ∈ A e χA(x) = 0, ∀x ∈ X\A. χA : X → R+ éobviamente mensurável. Uma função simples φ : X → R+ é qualquer função mensurávelque pode ser escrita como combinação linear finita de funções características, assim existemAi, 1 ≤ i ≤ n conjuntos mensuráveis e ai, 1 ≤ i ≤ n constantes reais tais que

φ(x) =n∑

i=1

aiχAi.

Define-se a integral da função simples φ em relação a medida µ como

∫φdµ =

n∑

i=1

aiµ(Ai)

Para uma função mensurável qualquer ψ : X → R+ define-se a integral de ψ com respeito amedida µ como

∫ψdµ = sup

∫φdµ

∣∣ φ é função simples e φ ≤ ψ

.

Define-se L+(X) = ψ : X → R+|ψ é mensurável . Segue o enunciado do Teorema daConvergência Monótona, TCM.

Teorema 2.1. Teorema da Convergência Monótona. Se (fn)n∈N é uma sequência emL+(X) tal que fj ≤ fj+1, ∀j ∈ N, e f(x) = limn→∞ fn(x),∀x ∈ X então

∫f = limn→∞

∫fn.

Dada uma função mensurável ψ : X → R+, é sempre possível encontrar uma sequênciacrescente de funções simples (φn)n∈N tais que φn → ψ pontualmente, i.e., lim

n→∞φn(x) →

ψ(x),∀x ∈ X, além disso se ψ for limitada, pode-se supor que esta convergência é uniforme[1]. Aplicando este resultado conjuntamente com o TCM tem-se

∫ψdµ = limn→∞

∫φndµ.

Se diz que uma propriedade vale quase sempre, q.s., ou em quase todo ponto, q.t.p.,quando esta é válida no complementar de um conjunto de medida nula. Assim seja (X,X, µ)

um espaço de medida e p uma proposição sobre os pontos de X. p é válida para q.t.p. x ∈ X

se ∃N ∈ X tal que µ(N) = 0 e p(x) é verdadeira para todo x ∈ X\N . Quando uma igualdadeé válida quase sempre pode-se dizer que é uma igualdade mod 0 , assim sejam A e B doisconjuntos mensuráveis de tal sorte que existe um subconjunto mensurável F de medida totaltal que F ∩ A = F ∩B nestas condições se diz que A = B mod 0.

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Seja ψ : X → R uma função mensurável. Define-se ψ+ = (|ψ| +ψ)/2 e ψ− = (|ψ| −ψ)/2

as partes positivas e negativas de ψ. Note que ψ+ e ψ− são positivas e mensuráveis, caso∫ψ+dµ,

∫ψ−dµ < ∞ então se diz que ψ é integrável . Neste caso define-se sua integral,∫

ψdµ, como∫ψdµ =

∫ψ+dµ −

∫ψ−dµ. O conjunto de todas as funções integráveis em

um espaço de medida (X,X, µ) é denotado L1µ(X). A seguir o Teorema da Convergência

Dominada, TCD, que é uma generalização do TCM, é enunciado [4].

Teorema 2.2. Teorema da Convergência Dominada : Seja (fn)n∈N uma sequência defunções em L1 tal que fn(x) → f(x) q.s. e existe função não negativa g ∈ L1 tal que |fn| ≤ g

q.s. para todo n. Então f ∈ L1 e∫f = lim

n→∞

∫fn.

Sejam µ e ν duas medidas definidas sobre o mesmo espaço mensurável (X,X), se diz queµ é absolutamente contínua em relação a ν caso µ “mora” em ν, i.e., ∀A ∈ X tal queν(A) = 0 ⇒ µ(A) = 0. Representa-se a relação de continuidade aboluta pelo símbolo ≪,no caso, µ ≪ ν. É uma consequência do teorema de Radon-Nikodym que caso ν e µ sejammedidas σ-finitas com µ ≪ ν então existe uma função f ∈ L(X,X, ν) tal que

∫gdµ =

∫gfdν

para toda função g ν integrável [4] a função f é chamada de derivada de Radon-Nikodymde ν com respeito a µ.

Um espaço polonês é um espaço topológico separável e completamente metrizável comσ-álgebra gerada pelos conjuntos abertos, i.e., é um espaço topológico homeomorfo a umespaço métrico completo que tem subconjunto enumerável e denso e é dotado da σ-álgebra deBorel. Um espaço standart é um espaço topológico isomorfo a um subconjunto mensurávelde um espaço polonês. Espaços standart e espaços poloneses são de interesse especial paraeste trabalho. Seguem alguns resultados referentes a estes espaços

Proposição 2.3. Dois espaços standart M1 e M2 são Borel isomorfos sse tem a mesmacardinalidade [8].

Proposição 2.4. Seja M um espaço standart, e A um subconjunto de M . A é standart sseA é um subconjunto mensurável de M [12].

Proposição 2.5. O produto de dois espaços standart ( respectivamente poloneses) (M,B) e(M ′,B′) é espaço standart (respectivamente polonês) [12].

Aqui termina a breve revisão dos conceitos fundamentais de Teoria da Medida que sãoutilizados no decorrer da dissertação. Esta revisão foi baseada nas referências [1] [4]. Comoreferência de topologia recomenda-se [11] [13].

2.2 PartiçõesUma partição em um espaço de medida, como o nome já indica é uma forma de particionar

este espaço em conjuntos mensuráveis. Exemplos incluem o conjunto das retas horizontaisno R2, a partição trivial que é todo o conjunto, ou a partição discreta em que todo elementodo espaço é um elemento da partição. Uma desintegração de uma probabilidade em relação

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a uma partição é associar a cada elemento da partição uma probabilidade de tal sorte que (i)

suporte da probabilidade associada esteja no elemento da partição e (ii) a medida originalpossa ser obtida por um processo de integração das probabilidades. O teorema da desinte-gração de Rohklin fornece uma condição suficiente para que seja feita uma desintegração deuma probabilidade em relação a uma partição.

Seja (X,X) um espaço mensurável. P ⊂ X é dita uma partição sobre X se os elementosde P são dois a dois disjuntos e a união de todos os elementos de P é X. Assim se A,B ∈ Pcom A = B então A ∩B = ∅ e

∪A∈P A = X.

Sejam P e Q duas partições sobre o espaço (X,X). Pode-se definir a seguinte relaçãode ordem parcial não estrita ≼, que age da seguinte maneira P ≼ Q sse para cada Q ∈ Q,∃P ∈ P tal que Q ⊂ P . Os seguintes fatos são de fácil verificação P ≼ P ; se P ≼ Q e Q ≼ Pentão P = Q; e finalmente se P ≼ Q e Q ≼ Z então P ≼ Z. Quando P ≼ Q, se diz que Qé mais refinada que P .

Dadas duas partições P ,Q de (X,X) define-se P ∨ Q como sendo a partição menosrefinada que refina P e Q. Assim se Z é tal que P ≼ Z e Q ≼ Z então P ∨ Q ≼ Z. Éfácil ver que se A ∈ P ∨ Q, logo A = P ∩ Q para algum P ∈ P e algum Q ∈ Q. Assimpara partições P ,Q finitas tem-se que #P ∨ Q ≤ #P × #Q e para partições enumeráveis#P ∨Q = #N×#N = #N. Onde para um conjunto C o símbolo #C denota a cardinalidadede C. De forma equivalente, dada uma sequência (Pn)n∈N de partições de (X,X) define-se∨

n∈N Pn como sendo a partição menos refinada que refina Pn,∀n ∈ N. Assim se Z é tal quePn ≼ Z,∀n ∈ N então

∨n∈N Pn ≼ Z.

Dada uma partição P de (X,X), o mesmo símbolo P será utilizado para denotar a funçãoP : X → P , que associa a cada x ∈ X o elemento P(x) ∈ P que contém x. Apesar da notaçãoser ambígua, o contexto torna claro qual dos dois significados possíveis estão sendo atribuídosao símbolo. A função P induz em X a relação de equivalência x ∼ y ⇔ P(x) = P(y), i.e.,x, y ∈ X são equivalentes sse eles estão contidos no mesmo elemento da partição P .

Quando (X,X) é um espaço de medida, com medida µ pode-se definir uma σ-álgebra euma medida na partição P . A σ-álgebra será induzida pela função P , i.e., será o conjuntoE ⊂ P|P−1(E) ∈ X, portanto E ⊂ P é mensurável sse P−1(E) ⊂ X é mensurável. Amedida µ em P será o push-foward da medida µ, i.e., µ(E) = µ(P−1(E)), para todo E ⊂ Pmensurável.

Do ponto de vista do Teorema da Desintegração de Rokhlin será interessante trabalharcom partições cujos elementos possam ser obtidos por um processo de limite de elementosque possuem volume. A qualidade “ser obtido por um processo de limite” é definida a seguir.

Definição 2.6. P é dita partição mensurável se existem subconjuntos mensuráveisE1, E2,

..., En, ... de X tais que

P = E1, X\E1 ∨ E2, X\E2 ∨ ... ∨ En, X\En ∨ ... mod 0

Assim ∃F0 ⊂ X,µ(F0) = 1 tal que ∀P ∈ P tem-se

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P ∩ F0 = E∗1 ∩ E∗

2 ∩ ... ∩ E∗n ∩ ... ∩ F0

com E∗j = Ej ou E∗

j = X\Ej, ∀j ≥ 1.

É consequência direta da definição que toda partição finita ou enumerável é uma partiçãomensurável. A seguinte equivalência fornece uma definição alternativa.

Proposição 2.7. P é mensurável sse existem partições finitas ou enumeráveis P1 ≼ P2 ≼... ≼ Pn ≼ ... tais que P =

∨∞n=1 P mod 0.

Demonstração. Claramente a segunda definição implica na primeira. Por outro lado sejaP =

∨∞n=1 Pn e para cada i ∈ N seja Pi,jj∈N enumeração dos elementos de Pi. Dado P ∈ P

nota-se que devido ao fato da sequência de partições ser não decrescente garante-se que paracada partição Pi, ∃!Pi,j(i) ∈ Pi tal que P ⊂ Pi,j(i). Assim pode-se escrever

P =∩

i∈NPi,j(i) =

∩

i∈NPi,j(i) ∩

∩

i,k∈N,k =j(i)

X\Pi,k mod 0.

Após reenumeração dos Pi,j pode se escrever

P = P ∗1 ∩ P ∗

2 ∩ ... ∩ P ∗n ∩ ... mod 0

donde segue a equivalência.

Exemplo 2.8. A partição por singletons de [0, 1] é mensurável, i.e., P = x|x ∈ [0, 1] émensurável.

Demonstração. Define-se

Pn =

[0,

1

2n

),

[1

2n,

2

2n

), ...,

[2n − 1

2n, 1

], ∀n ∈ N

logo (Pn)n∈N é sequência crescente de partições finitas. Além disso P =∞∨

n=1

Pn pois se

x ∈ [0, 1], tem-se que x ⊂∩

n∈NPn(x) trivialmente, e suponha que exista y = x tal que

y ∈∩

n∈NPn(x), isto implica que a distância entre x e y é menor do que 1

2ipara todo i ∈ N,

absurdo.

Uma observação importante sobre o exemplo anterior é que apesar da partição ser men-surável, a σ-álgebra gerada por P , σ(P), não é enumeravelmente gerada, i.e., σ(P) =σ(A1, A2, ...) para toda sequência (An)n∈N segue a demonstração deste fato.

8

Demonstração. Supõe-se que exista sequência de subconjuntos de [0, 1], (An)n∈N, tal queσ(P) = σ(A1, A2, ...). Neste caso nota-se que todo An pertence a σ(P), e que

σ(P) = E ⊂ [0, 1] | E é enumerável ou Ec é enumerável .

Com Ec sendo o complementar do conjunto E em relação ao conjunto [0, 1]. Portanto cadaAn é enumerável ou Ac

n é enumerável. Para cada n tal que An satisfaz a última condiçãotroca-se An por A′

n = Acn. Nota-se que apesar da troca a σ-álgebra gerada pela sequência de

conjuntos continua a mesma pois

σ(A1, A2, ...) = σ(A∗1, A

∗2, ...)

Assim sem perda de generalidade pode-se supor que todos os An são enumeráveis. Define-seA =

∪

n∈NAn e

F = F ⊂ [0, 1] | F ⊂ A ou F = G ∪ Ac, para algum G ⊂ A

é simples verificar que F é uma σ-álgebra. E além disso Ai ⊂ F , ∀i ∈ N, e portantoF ⊃ σ(A1, A2, ...). Mas Ac é obviamente não vazio, assim escolhe-se x ∈ Ac. Pela definiçãode F tem-se que x /∈ F . Assim

σ(P) = σ(A1, A2, ...)

a contradição prova que σ(P) não é enumeravelmente gerado.

O próximo exemplo pode ser utilizado para construir partições não mensuráveis.

Exemplo 2.9. Seja f : X → X transformação mensurável tal que (f, µ) é ergódica. Seja Ppartição de X cujos elementos são órbitas de f . Se f não possui nenhuma órbita com medidatotal, então P não é mensurável.

Demonstração. Supõe-se que exista sequência Pnn∈N de partições enumeráveis não decres-centes tal que P = ∨∞

n=1Pn mod 0. Todo elemento P ∈ Pn é invariante pela ação de f , estefato juntamente com a ergodicidade de (f, µ) implica µ(P ) = 0 ou 1. Segue que quase todaórbita de f está contida em algum elemento Pn da partição Pn. Denote P = ∩∞

n=1Pn. Entãoµ(P ) = 1 e P é uma órbita de f , a conclusão segue pela contra positiva.

O próximo exemplo é uma generalização do exemplo 2.8.

Exemplo 2.10. Seja X = Y ×Z, com Y, Z espaços métricos compactos e Q uma partição deX em linhas horizontais Y × z, z ∈ Z. Então Q é partição mensurável de X.

9

Demonstração. Z é métrico e compacto, donde é separável, seja xjj∈N conjunto enumerávele denso de Z. Define-se I(x, i, n) = z ∈ Z|(i − 1)/2n ≤ d(z, x) < i/2n, i.e., I(x, i, n) éo setor circular em Z centrado em x ∈ Z com raio interno (i − 1)/2n e raio externo i/2n.Define-se as partições

Pn,m = Y × I(xn, i,m)|i = 1, 2, ..., 2m

e define-se indutivamente a sequêcia de partições (Qn)n∈N.

Q1 = Y × I(x0, i, 0)|i = 1 = P0,0

Q2 = Y × I(x0, i, 1)|i = 1, 2 ∨ Y × I(x1, i, 0)|i = 1 = P0,1 ∨ P1,0

Q3 = Y × I(x0, i, 2)|i = 1, 2, 3, 4 ∨ Y × I(x1, i, 1)|i = 1, 2 ∨ (Y × I(x2, 1, 0)) =

P0,2 ∨ P1,1 ∨ P2,0

Assim Qn =∨n

i=0 Pi,n−i. Repare que para cada n a partição Qn é finita, e tem-se que

Q =∨

n∈NQn

donde segue que Q é partição mensurável.

Antes de terminar esta seção mais alguns resultados sobre espaços standart são apresen-tados.

Proposição 2.11. O quociente X/P de um espaço standart X por uma partição mensurávelP é um espaço standart ([12], [15]).

Definição 2.12. O gráfico de uma relação de equivalência em um espaço X é osubconjunto X ×X de pares (x, y), onde x é equivalente a y.

Proposição 2.13. Seja P uma partição mensurável em um espaço standart M . O gráficoR da partição P (considerado como uma relação de equivalência) é um subspaço mensurávelde M ×M [16].

2.3 O Teorema da Desintegração de RokhlinDefinição 2.14. Seja (X,X, µ) um espaço de probabilidade e P uma partição sobre X. Umsistema de medidas condicionais de µ em relação a P , também chamado de desinte-gração de µ em relação a P , é uma família (µP )P∈P de medidas de probabilidade em X talque

1. µP (P ) = 1, µ.q.t.P ∈ P

10

2. Dada qualquer função integrável ψ : X → R, a função P ∋ P →∫ψdµP é mensurável

e∫ψdµ =

∫ (∫ψdµP

)dµ(P )

O teorema da desintegração de Rokhlin garante que quando X é um espaço métricocompacto, e P é uma partição mensurável sobre X, então para toda medida de probabilidadeem X existe uma desintegração em relação a partição P . Seja µ probabilidade em X. A ideiabásica comumente utilizada [17] 2, [14] para construir a família de medidas que desintegra µ éa seguinte: Primeiramente escreve-se P =

∨Pn, com Pn sequência decrescente de partições.Dado um elemento P ∈ P tem-se que P =

∩Pn(P ), a medida µP , é “definida” da seguinteforma

µP (A) = limn→∞

1

µ(Pn(P ))

∫

Pn(P )

χAdµ

para todo conjunto A mensurável. Assim a probabilidade µP é obtida ao se tomar umasequência de médias sobre conjuntos cada vez menores.

Para esta dissertação não é utilizada esta técnica. Apesar disto, o conceito de média éapresentado, e a partir deste conceito é obtida a demonstração, mas o passo de tirar sucessivasmédias é substituído por uma aplicação inteligente da derivada de Radon-Nikodym. Estademonstração foi fortemente baseada na demonstração apresentada no livro de Einsiedler eWard [6].

Teorema 2.15. [6] Seja (X,B, µ) espaço de probabilidade, seja A ⊂ B uma σ-álgebra. Entãoexiste uma aplicação

E(·|A) : L1(X,B, µ) → L1(X,A, µ)

denominada de esperança condicional que satisfaz as seguintes propriedades:

(1) Para f ∈ L1(X,B, µ), a imagem de f , E(f |A), é caracterizada pelas propriedades:

· E(f |A) é A-mensurável;

· Para todo conjunto A ∈ A,∫

AE(f |A)dµ =

∫Afdµ.

(2) E(·|A) é positivo, i.e. E(f |A) ≥ 0 quase sempre se f ∈ L1(X,B, µ) satisfaz f ≥ 0;

(3) Se f ∈ L1(X,A, µ) então E(f |A) = f quase sempre.

Demonstração. (1) Supõe-se que f ≥ 0. Então a medida definida por

µf (B) =

∫

B

fdµ

2Deve-se ter algum cuidado com esta publicação online, uma vez que a demonstração de três linhas daproposição 7 parece estar incorreta ou incompleta.

11

é finita e absolutamente contínua a µ em (X,B). Segue que µf |A é absolutamente contínuacom respeito a µ|A, assim existe uma derivada de Radon-Nikodym g em L1(X,A, µ) tal que

µf (A) =

∫

A

gdµ

portanto ∫

A

fdµ =

∫

A

gdµ

para todo conjunto A ∈ A. Fazendo g = E(f |A) tem-se a existência, resta provar que gsatisfaz as demais propriedades.

(3) Prova-se a unicidade da esperança condicional no complementar de conjuntos demedida nula. De fato se g1 e g2 satisfazem ambas as propriedades então

A = x|g1(x) < g2(x) ∈ A

tem-se que ∫

A

g1dµ =

∫

A

fdµ =

∫

A

g2dµ

e logo µ(A) = 0, de modo similar µ(x|g1(x) > g2(x)) = 0. Assim g1 = g2 quase sempre.Uma vez provada a unicidade prova-se a linearidade facilmente.

(2) Para a positividade seja f função não negativa em L1(X,B, µ) e seja

A = x ∈ X|E(f |A) ≤ 0

então0 ≤

∫

A

fdµ =

∫

A

E(f |A)dµ

implica que µ(A) = 0.

Definição 2.16. Seja (A,A) um espaço mensurável e seja x ∈ A um ponto qualquer. Define-se o átomo de A em x, [x], como sendo o conjunto

[x] =∩

x∈A∈AA

Observa-se que como a interseção não é necessariamente enumerável [x] pode não ser umconjunto mensurável. A proposição a seguir mostra que o átomo de qualquer ponto em umaσ álgebra gerada por uma partição é o próprio elemento da partição que contém o ponto.

Proposição 2.17. Seja X um conjunto, P uma partição deste conjunto e seja x ∈ X umelemento qualquer. Tem-se que não existe B ∈ σ(P) tal que x ∈ B, B ⊂ P(x) e B = P(x).Em outras palavras o átomo de x em σ(P) é P(x).

12

Demonstração. Considera-se a partição P\P(x) de X\P(x). Seja A = σ(P\P(x)) σ-álgebra em X\P(x). E define-se

A′ = A ⊂ X|A ∈ A ou A = E ∪ P(x), com E ∈ A

é fácil verificar que A′ é σ-álgebra em X, além disso segue da definição que A′ ⊃ σ(P). Maspela definição de A′ tem-se que P(x) é átomo de A′, como A′ ⊃ σ(P) e P(x) ∈ σ(P) entãoP(x) é átomo de x em σ(P). Portanto não existe B ∈ σ(P) tal que x ∈ B, B ⊂ P(x) eB = P(x), como queria demonstrar.

A importância de que os elementos da partição sejam átomos é de que qualquer funçãoque seja σ(P)-mensurável é constante em cada elemento da partição. Este fato é utilizadona próxima demonstração.

A seguir demonstra-se o teorema da desintegração de Rokhlin. O teorema é apresentadoaqui baseado na demonstração presente no livro [6]. Neste livro a desintegração é realizadaem relação aos átomos de uma sub-σ-álgebra enumeravelmente gerada. Conforme mostradonos comentários após o exemplo 2.8 a σ-álgebra gerada por uma partição mensurável nãoé necessariamente enumeravelmente gerada. Assim para obter a desintegração em relaçãoaos átomos de uma partição mensurável é necessário estender o teorema. Felizmente estaextensão é trivial.

Teorema 2.18. [6] (Teorema da Desintegração de Rohklin) Seja X um espaço métricocompacto e seja (X,B, µ) um espaço de probabilidade boreliana. A ⊂ B é uma σ-álgebra deB e P é partição mensurável de X. Existe um conjunto de medida total X ′ ⊂ X e umsistema de medidas µx|x ∈ X ′ sobre X, denominado sistema de medidas condicionais comas seguintes propriedades

(1) µx é medida em X comE(f |A)(x) =

∫f(y)dµx(y) (2.1)

quase sempre para toda f integrável. Em outras palavras, para toda f integrável,∫f(y)dµx(y)

existe para quase todo x e a aplicação

x 7→∫f(y)dµx(y)

é A-mensurável e além disso∫

A

∫f(y)dµx(y)dµ(x) =

∫

A

fdµ

para todo A ∈ A.

13

(2) Se P é partição mensurável de X, então

µP(x)(P(x)) = 1,∀x ∈ X ′.

com µP(x) = µx, ∀x ∈ X ′.

(3) Propriedade (1) determina µx unicamente para quase todo x ∈ X.

Demonstração. (1) Para a existência, seja

F = f0 ≡ 1, f1, f2, ... ⊂ C(X)

um espaço vetorial sobre Q que é denso em C0(X,R). Escolha de tal F é possível poisC0(X,R) admite um subconjunto denso e enumerável, e o spam deste conjunto sobre ocorpo dos racionais é um espaço vetorial enumerável. Para cada i ≥ 1, escolha uma funçãoA-mensurável e µ-integrável gi com gi = E(fi|A). Define-se g0 como sendo a função constante1. Então

• gi ≥ 0 quase sempre se fi ≥ 0;

• |gi(x)| ≤ ||fi||∞ quase sempre;

• se fi = αfj + βfk com α, β ∈ Q, então gi(x) = αgj(x) + βgk(x) para quase todo x.

Seja N ∈ A a união de todos os conjuntos nulos no complementar donde as propriedadesacima são válidas; como esta união é enumerável, N é um conjunto nulo para µ.

Para x /∈ N , defina ∆x(fi) como sendo gi(x). Então pelas propriedades acima ∆x é umaaplicação Q-linear de F em R com ||∆x|| ≤ 1. Segue que se ∆x se estende de forma única aum funcional linear continuo e positivo

∆x : C(X) → R

Pelo teorema da representação de Riesz [6] existe uma medida µx em X caracterizada pelapropriedade

∆x(f) =

∫fdµx

para toda f ∈ C(X), além disso ∆x(1) = 1 pois E(1|A) = 1. Portanto µx é medida deprobabilidade. Pela escolha de conjunto F , para toda f ∈ C(X) existe sequência (fni) confni → f uniformemente. Já foi estabelecido que

x 7→∫fnidµx

é A-mensurável uma vez que é equivalente a x 7→ E(fni|A)(x) e que∫

A

∫fnidµxdµ(x) =

∫

A

fnidµ (2.2)

14

para todo conjunto A ∈ A pois∫

AE(fni|A)(x)dµ(x) =

∫Afnidµ. Assim pelo teorema de

convergência dominada (lembra-se que pode-se supor convergência uniforme) a função

x 7→∫fdµx

é A-mensurável pois é o limite de uma sequência de funções reais mensuráveis x 7→∫fnidµx.

Além disso por argumento similar segue que∫

A

∫fdµxdµ(x) =

∫

A

fdµ

para todo A ∈ A. Assim prova-se (1) para toda a f ∈ C(X), i.e., toda f contínua. A seguirestende-se este resultado para toda a f integrável.

Seja C a classe de funções que satisfazem (1), segue que C(X) ⊂ C.Se A é um conjunto aberto de X então χA, função característica do conjunto A, pertence

a C. Para mostrar este fato define-se a função f : X → R por f(x) = d(x,X\A), sendod a métrica de X. Note que f é contínua e portanto limitada. Considera-se a sequência defunções contínuas fn = n

√f, ∀n ∈ N, cada fn é contínua e fn → χA pontualmente além disso

max |fn| ≤ maxmax |f |, 1. Assim pelo teorema da convergência dominada, TCD, segueque χA satisfaz as condições do lema.

Seja F ⊂ C a família de todas as funções características de conjuntos mensuráveis quesatisfazem a conclusão da proposição. Nota-se que se (χAn)n∈N é sequência de elementosem F , logo χ∪

An = limn

supχA1 , χA2 , ..., χAn também pertence a F pelo TCD. Tambémtem-se que se χA ∈ F , logo 1−χA ∈ F e portanto χX\A ∈ F . Pelo parágrafo anterior tem-seque as funções características de todos os conjuntos abertos estão em F . Assim a classe deconjuntos mensuráveis cujas funções características estão em F contém todos os abertos e éfechada por complementar e união enumerável, donde segue que é toda a σ-álgebra de X.

Tem-se que todas as funções características de conjuntos mensuráveis estão em C, e queeste conjunto é fechado por convergência pontual crescente de funções positivas pelo TCM.Donde segue que todas as funções B-mensuráveis positivas estão em C. Finalmente dadauma função f B-mensurável e integrável qualquer, pode-se escrever

f = f+ − f−

com f+, f− não negativas, mensuráveis e integráveis. Então por (2.2)∫f+dµx,

∫f−dµx < ∞

quase sempre. Em particular, f é µx-integrável para quase todo x, donde é µx-integrável,∫fdµx é função A mensurável de x. Assim 5.9 é verdadeira provando (1).(2) Suponha agora que A = σ(P), i.e., A é gerada por uma partição mensurável. Então

15

pelo item (3) do teorema 2.15 tem-se que

E(χP(x)|A)(x) = χP(x)(x) = µx(P(x))

para quase todo x. Logoµx(P(x)) = 1

quase sempre. Relembra-se que o mapa

X ′ ∋ x 7→∫fdµx

é A-mensurável para todo f ∈ C(X). Logo utilizando a mensurabilidade juntamente com oresultado 2.17 tem-se que ∫

fdµx =

∫fdµy

se x, y ∈ X ′ e P(x) = P(y), logo P(x) = P(y) implica que µx = µy. Assim pode-se identificarµx com µP(x).

(3) Procede-se a prova da unicidade.Supõe-se que ρx e νx são famílias de medidas definidas para quase todo x e que

ambas satisfazem (1) para um conjunto enumerável e denso fnn∈N em C0(X,R). Entãopara cada n ≥ 1 e para quase todo x,

∫fndρx = E(fn|A) =

∫fndνx.

Assim existe um conjunto de medida µ nula N com a propriedade de que (5.7) é válida paratodo n ≥ 1 e x /∈ N . Pela convergência uniforme e o TCD tem-se que

∫fdρx =

∫fdνx

para toda f ∈ C0(X,R) e x /∈ N . Assim ρx = νx para x /∈ N , o que mostra que as medidascondicionais são únicas.

2.4 Sistemas Dinâmicos Uniformemente HiperbólicosUm sistema dinâmico é uma dupla ordenada (X,F), com X um espaço dotado de al-

guma estrutura e uma família de mapas F = ft : X → Xt∈A que preservam a estrutura deX. O cojunto de índices A é usualmente um grupo ou semigrupo. Assim caso X seja um es-paço topológico ftt∈A é uma família de funções contínuas. O caso de interesse contempladopor este trabalho é quando F é uma família de bijeções cujas respectivas inversas tambémpreservam a estrutura de X, neste caso diz-se que F é uma família de automorfismos de X.Assim caso X seja um espaço de probabilidade os automorfismos de X em X correspondem

16

a bijeções mensuráveis, com inversa mensurável e que preservem a medida (medida de umconjunto mensurável B é igual a medida de f(B)).

O conjunto de índices A usualmente é igual a N, Z ou R. Nos dois primeiros casos osistema dinâmico é chamado de discreto. Caso A = R então o sistema dinâmico é chamadode contínuo. Em sistemas dinâmicos discretos tem-se que ft = (f1)

t.Em sistemas dinâmicos, especialmente teoria ergódica, existe interesse em medidas que

são invariantes pela dinâmica do sistema. Diz-se que uma medida µ é invariante por f ousimplesmente f-invariante se µ(A) = µ(f−1(A)) para todo conjunto A mensurável .

Este trabalho foca no caso em que X é uma variedade C2, e portanto dotada de umamétrica riemanniana ||.||. f : X → X é um difeomorfismo C2, e o sistema dinâmico édiscreto.

Definição 2.19. Um sistema dinâmico (M, f) é chamado de sistema dinâmico unifor-memente hiperbólico se existe uma separação contínua do fibrado tangente TM , que éinvariante sob ação do mapa diferencial Df , i.e.,

TM = Es ⊕ Eu, Df(Es) = Es, Df(Eu) = Eu

e tal que existem constantes c e δ, c > 0 e 0 < δ < 1, tais que para todo t ∈ Z,

|Df t|Es| < cδt, t ≥ 0

|Df−t|Eu| < cδt, t ≥ 0

com c, δ independentes de x ∈ M .

É digno e nota que nem sempre possível encontrar uma métrica riemanniana adaptadaem X de forma que c = 1.

Definição 2.20. Dado x ∈ M definem-se os conjuntos estáveis W s(x) e instáveis W u(x)

por

W s(x) = y ∈ M | limn→∞

d(fn(y), fn(x)) = 0

W u(x) = y ∈ M | limn→−∞

d(fn(y), fn(x)) = 0

Dado x ∈ M os conjuntos W s(x) e W u(x) definem classes de equivalência da formax ∼ y ⇔ y ∈ W s,u(x) [16]. Além disso os conjuntos globalmente instáveis e estáveis sãofolheações em X.

Definição 2.21. Define-se a taxa de expansão da variedade no ponto x, Ju(x) relativoa uma métrica Riemanniana pela equação

Ju(x) = | det(Df |Eu(x))| (2.3)

onde det(Df |Eu(x)) é o determinante da matriz Df referente ao subespaço Eu(x).

17

Definição 2.22. Uma partição mensurável P de M é dita subordinada a W u se para µq.t.x, P(x) é um elemento de P contido em W u(x), i.e., µ q.t.x, P(x) ⊂ W u(x), e para µq.t.x, P(x) possui uma vizinhança aberta de x na topologia de subvariedade de W u(x).

Definição 2.23. Seja mx a restrição da medida de Riemann em W u(x). Uma medidade probabilidade f -invariante µ tem medidas condicionais absolutamente contínuasem variedades instáveis se para toda partição mensurável P subordinada a W u tem-seµP(x) ≪ mP(x) µ.q.t.x, i.e., µP(x) é absolutamente contínua em relação a medida de Riemannmx de P(x).

O próximo resultado relaciona desintegração de medidas de Riemann com medidas SRB,sendo portanto a motivação deste trabalho.

Teorema 2.24. [18] Seja (M, f) um sistema uniformemente hiperbólico, com f um dife-omorfismo C2. Então existe uma única medida de probabilidade boreliana µ em M que écaracterizada por cada uma das condições equivalentes

(i) µ tem medidas condicionais absolutamente contínuas em variedades instáveis;

(ii) Se hµ(f) é entropia métrica de f então

hµ(f) =

∫| det(Df |Eu)|dµ;

(iii) Existe um conjunto V ⊂ M de medida de Lebesgue total tal que para cada funçãocontínua ψ : M → R tem-se que ∀x ∈ V

1

n

n−1∑

i=0

ψ(f i(x)) →∫ψdµ.

A medida µ é denominada medida SRB em homenagem aos pesquisadores pioneirosno assunto, Sinai, Ruelle e Bowen.

O próximo resultado é de interesse para o último capítulo desta dissertação.

Exemplo 2.25. Arnold’s Cat Map. Seja T2 = R/Z×R/Z o toro. Considere o sistema dinâmico(T2, f) com f : T2 → T2 sendo a transformação linear dada por:

f((x, y)) =

[2 1

1 1

][x

y

]=

[1 1

0 1

][1 0

1 1

][x

y

]mod 1

Observa-se que det(f) = 1 e logo é uma bijeção invariante pela medida de Lebesgue notoro, além disso os autovalores de f são

λs =3 −

√5

2< 1 λu =

3 +√

5

2> 1

18

Define-se Es como sendo a reta em R2 definida pela equação y = λsx e Eu a reta definidapela equação y = λux. Nota-se que TM = Es ⊕ Eu, Df(Es) = Es e Df(Eu) = Eu. Alémdisso tem-se que

|Df t|Es| < (λs + ϵ)t, t ≥ 0

|Df t|Eu| < (λu + ϵ)t, t ≤ 0

para ε > 0 pequeno o suficiente, pois

(Df t)v = λtsv, ∀v ∈ Es.

(Df t)v = λtuv, ∀v ∈ Eu.

Para determinar W s e W u define-se es e eu versores unitários na direção estável instávelrespectivamente, i.e., versores paralelos as retas Es e Eu respectivamente. Assim x ∈ T2

pode ser escrito como

x = αses + αueu

com αs, αu ∈ R. Assim

|An(αses + αueu)| = |λnsαse1 + λn

uαueu| =√

(αsλns )2 + (αuλn

u)2

o que implica que

|An(αses + αueu)| −→n→∞

0 ⇔ αu = 0

logo W s(x) = x+ Es, e de forma análoga W u(x) = x+ Eu.Nota-se que

Ju(x) = | det(Df)|Eu(x)| = λu

Não é difícil ver que a partição do quadrado nas linhas finitas de inclinação δu é umapartição mensurável, e que sua desintegração em relação a esta partição é a própria medidade Borel unidimensional. Esta medida de Borel unidimensional corresponde a medida deRiemann em W u(x) para ξ(x). Assim do item (i) do teorema 2.24 segue que a medida deBorel bidimensional é a única medida SRB do sistema.

2.5 Sistemas Dinâmicos Não Uniformemente HiperbólicosA seguinte definição foi particularizada.

Definição 2.26. [5] Dado um sistema dinâmico (M, f), com M variedade riemanniana e fdifeomorfismo C2, define-se o expoente de Lyapunov de um ponto x ∈ M e de um vetor

19

v ∈ TM porλ(x, v) = lim

n→∞1

nln ||(Dxf)n(v)||

para cada x ∈ M a função λ(x, ·) pode assumir no máximo um número finito de valoresdistintos λ1(x), ..., λi(x) que determinam os subespaços Vi := v ∈ TxM |λ(x, v) ≤ λi(x).Tem-se ainda que

0 = V +0 (x) ⊂ ... ⊂ Vi(x) = TxM

Um sistema dinâmico (M, f) em que para todos os pontos x ∈ M e para todos os vetoresv ∈ TxM λ(x, v) = 0 será chamado de sistema hiperbólico não uniforme.

Para sistemas dinâmicos não uniformemente hiperbólicos as variedades instáveis W u

satisfazem

W u(x) = y ∈ M | lim supn→∞

1

nln(d(f−n(x), f−n(y))) < 0. (2.4)

As medidas SRB em sistemas dinâmicos não uniformemente hiperbólicos são aquelas quesatisfazem o item (i) do teorema 2.24, i.e., são medidas cuja a desintegração em partiçõesmensuráveis subordinadas as variedades instáveis é absolutamente contínua com respeito amedida de Lebesgue destas variedades. O seguinte teorema será necessário para o últimocapítulo desta dissertação.

Teorema 2.27. ([10] citado por [16]) Seja m uma medida SRB e seja P uma partiçãosubordinada as variedades instáveis, seja ρ a densidade da medida condicional mP(x) comrespeito a medida riemanniana de volume na variedade instável. Então para µ-q.t. x, ρ éuma função positiva estritamente positiva em P(x) satisfazendo

ρ(y)

ρ(x)=

∞∏

i=1

Ju(f−ix)

Ju(f−iy).

20

Capítulo 3

Introdução a Teoria Não Comutativa de Inte-gração

Neste capítulo é apresentada uma curta introdução a Teoria de Integração Não Comu-tativa de Alain Connes. O objetivo é estudar a relação entre medidas em um espaço comas medidas transversas definidas em um grupoide sobre este espaço (definições são apre-sentadas adiante). A última seção deste capítulo contém vários exemplos. Várias definiçõesapresentadas são bastante abstratas, caso a leitura se torne enfadonha aconselha-se a ler ocorpo do capítulo de forma paralela a seção de exemplos. Este capítulo é fortemente base-ado no trabalho original de Connes, [3], e na posterior discussão de Kastler [7] sobre estapublicação. Também conta com algumas contribuições de Segert [16].

3.1 GrupoidesUm grupoide (em inglês grupoid) G é uma categoria com inversão. Especificamente tem-

se um conjunto G(0) que é o conjunto dos objetos tal que para cada x, y ∈ G(0) se associaum conjunto (possivelmente vazio) Gy

x de morfismos γ : x → y, G é união disjunta de todosos Gy

x, x, y ∈ G(0). Além disso para cada par γ : x → y, γ′ : y → z, com x, y, z ∈ G(0), existeo produto γ′γ : x → z com as seguintes propriedades:

(i) Associatividade: Se γ : x → y, γ′ : y → z, γ′′ : z → u, com x, y, z, u ∈ G(0) sãomorfismos em G, tem-se que γ′′(γ′γ) = (γ′′γ′)γ.

(ii) Elemento Neutro: Para cada y ∈ G(0), existe unidade 1y : y → y com as propriedades1yγ = γ e γ′

1y = γ′ sempre que γ : x → y e γ′ : y → z, x, y, z,∈ G(0).

(iii) Elemento Inverso: Para cada γ : x → y existe γ−1 : y → x com a propriedade deque γ−1γ = 1x e γγ−1 = 1y.

Do item (ii) segue que 1y é único para cada y ∈ G(0), pois 1′y = 1

′y1y = 1y. Esta

unicidade permite identificar cada 1y com y, e pode-se entender G(0) como um subconjuntode G. Do item (iii) tem-se que que γ−1 é único.

Define-se a função s : G → G(0) chamada de fonte (em inglês source) que associa acada γ : x → y, o domínio, i.e., s(γ : x → y) = x. De forma análoga se define a função

21

r : G → G(0) denominada alvo (em inglês range ou target) que associa a cada γ o contradomínio, i.e., r(γ : x → y) = y. É denominado o conjunto de pares multiplicáveisG(2) ⊂ G×G é definido pela propriedade (γ, γ′) ∈ G(2) sse s(γ) = r(γ′).

SejaA subconjunto deG(0), denota-seGA como sendo o grupoide obtido deG ao restringirG(0) a A, i.e.,

GA = γ ∈ G|s(γ) ∈ A, r(γ) ∈ A (3.1)

Exemplo 3.1. Caso G(0) = x, i.e., o conjunto de objetos é apenas um ponto, tem-se que Gé um grupo com elemento neutro x, e a operação de grupo composição de morfismos.

No contexto desta dissertação um grupoide G deve ser entendido como um conjunto deflechas que conectam os objetos de G(0). Não se está particularmente interessado na estruturadas flechas. Isto se justifica pois como é visto adiante os objetos de G(0) são usualmentesingletons e portanto desprovidos de estrutura interessante. O único interesse será em saberquando dois singletons estão relacionados por alguma flecha.

Um grupoide induz uma relação de equivalência ∼ em G(0), em que dois objetos de G(0)

são equivalentes se existe uma flecha que os conecta. Assim x ∼ y sse ∃γ ∈ G tal ques(γ) = x e r(γ) = y. É fácil verificar que ∼ é relação de equivalência [16].

Define-se a função

P : G → G(0) ×G(0)

γ 7→ (r(γ), s(γ))(3.2)

quando G provém de uma relação de equivalência então diz-se que a imagem de P é o gráficoda relação de equivalência.

Definição 3.2. G é um grupoide principal se a função P da equação (3.2) é injetiva.

A função P ser injetiva implica que entre dois objetos quaisquer de G(0) existem nomáximo duas flechas (em direções opostas) que conectam os dois elementos. Além dissoa injetividade permite entender um grupoide principal G como sendo um subconjunto deG(0) ×G(0) associando-se uma flecha qualquer γ : y → x ao ponto (x, y) ∈ G(0) ×G(0).

Existe uma correspondência bijetiva entre relações de equivalência em G(0) e grupoidesprincipais em G(0). Devido a arbitrariedade da definição de morfismos dada uma relação deequivalência é sempre possível construir um grupoide principal G que consiste de elementosγ : x → y para todos os objetos equivalentes x, y ∈ G(0).

Definição 3.3. Dada uma relação de equivalência ∼ em G(0), o único grupoide principal Gcorrespondendo a ∼ sob a bijeção mencionada é chamado de grupoide principal associadoa ∼.

Exemplo 3.4. [16] Seja G(0) = [0, 1] ⊂ R dotado da relação de equivalência trivial, i.e.,x ∼ y, ∀x, y ∈ G(0). O gráfico da relação de equivalência é simplesmente [0, 1] × [0, 1]. Para

22

todo x, y ∈ G(0) existe uma única flecha γ ∈ G tal que γ : y → x. Denote γ = (x, y).Observa-se que o mapa P da equação (3.2) é de fato bijetivo, assim se identifica o gráficode G ⊂ G(0) ×G(0) com o grupoide G. Os mapas fonte e alvo tomam a forma

r(x, y) = x s(x, y) = y

Os elementos (z, y) e (y′, x) podem ser multiplicados caso y = y′, neste caso

(z, y) (y′, x) = (z, x)

Os elementos identidade de G são identificados com elementos da forma (y, y). A inversade (x, y) é (y, x).

Exemplo 3.5. Seja G(0) = [0, 1] novamente e seja A ⊂ G(0) conjunto qualquer. Define-se arelação de equivalência x ∼ y sse x = y ou x ∈ A e y ∈ A. Seja G o grupoide principalassociado a ∼. Note que o gráfico de G é igual a A × A ∪ D, onde D ⊂ [0, 1] × [0, 1] é adiagonal.

De um modo geral seja P partição de [0, 1], ∼ a relação de equivalência induzida pelapartição (dois elementos são equivalentes sse pertencem ao mesmo elemento da partição) eG o grupoide principal associado a relação de equivalência. O gráfico de G ⊂ [0, 1] × [0, 1] é

∪

A∈PA× A ⊂ [0, 1] × [0, 1]

Exemplo 3.6. [16] Considere a partição do toro T2 em linhas de inclinação irracional α.Defina a relação de equivalência ∼ induzida pela partição. O grupoide principal associado aG pode ser identificado como

G = (x, y, x, y) ∈ T2 × T2|y − y = α(x− x) + αk mod 1 , k ∈ Z

Neste caso o conjunto das unidades é a diagonal T2 ⊂ T2 × T2. O grupoide G tambémpode ser entendido como T2 × R com o conjunto de unidades igual a T2 × 0 da seguinteforma

s : T2 × R → T2 × 0(x, y, z) 7→ (x+ z, y + αz, 0) mod 1

r : T2 × R → T2 × 0(x, y, z) 7→ (x− z, y − αz, 0) mod 1

onde mod 1 age sobre todos os elementos do vetor. É simples verificar que para quaisquerdois pontos p, q ∈ T2 na mesma partição existe um único ponto t ∈ T2 × R tal que s(t) = p

e r(t) = q.

23

3.2 Grupoides de MedidaDefinição 3.7. Um grupoide de medida é um grupoide G dotado de uma σ-álgebra Gde tal sorte que os singletons (pontos) são conjuntos mensuráveis e as seguintes aplicaçõessão mensuráveis

inv : G → G

γ 7→ γ−1

: G(2) → G

(γ, γ′) 7→ γ′γ

r, s : G → G(0)

onde a σ-álgebra de G × G é G ⊗ G. E as σ-álgebras de G(0) e G(2) são as induzidas pelainclusão G(0) ⊂ G e G(2) ⊂ G×G.

Exemplo 3.8. O grupoide G do exemplo 3.6 com a σ-álgebra usual de T e R é um grupoidede medida.

Definição 3.9. Seja G um grupoide associado a uma relação de equivalência ∼ definida emum espaço mensurável (G(0),G(0)). Seja G σ-álgebra gerada por conjuntos da forma s−1(A)∩r−1(B), com A,B ∈ G(0). O espaço mensurável (G,G) é chamado de grupoide principalassociado , ou simplesmente grupoide associado (em inglês principal associated grupoid)a relação ∼.

Sejam π1 e π2 projeções de G(0) × G(0) na primeira e segunda variável respectivamente.Observa-se que s−1(A)∩r−1(B) = π−1

1 (A)∩π−12 (B)∩G. Por esta observação é natural afirmar

que a σ-álgebra de um grupoide associado é precisamente a mesma σ-álgebra induzida sobreo grupoide pela inclusão G ⊂ G(0) ×G(0). Isto realmente é verdadeiro porém há um detalhe.Na definição de grupoide de medida o contra-domínio das funções r, s deve ser entendidocomo a diagonal G(0) ⊂ G e não com os "eixos". Assim para fazer a identificação com osoperadores projeção é necessário primeiro mostrar que a σ-álgebra induzida em G(0) pelainclusão da diagonal em G, i.e., a σ-álgebra induzida pela inclusão G(0) ⊂ G pode seridentificada com G(0) a σ-álgebra nos "eixos". Para isso utiliza-se o seguinte lema

Lema 3.10. Seja X um conjunto, e seja B ⊂ 2X uma coleção de subconjuntos de X. SejaG ⊂ X. A seguinte igualdade é verdadeira

G ∩ σ(B) = σ(G ∩ B) (3.3)

onde σ(B) denota a σ-álgebra gerada por B. G ∩ σ(B) é a σ-álgebra induzida em G porσ(B) também chamada de σ-álgebra traço em G e G ∩ B = A ⊂ X|A = G ∩B,B ∈ B.

Continuando seja D a diagonal de G(0) ×G(0), note que D ⊂ G. Assim

24

D ∩ (G ∩ σ(A×BA,B∈G(0))) = D ∩ σ(G ∩ A×BA,B∈G(0)) =

σ(D ∩G ∩ A×BA,B∈G(0)) = σ(D ∩ A×BA,B∈G(0)) =

σ(D ∩ A ∩B × A ∩BA,B∈G(0)) = σ(D ∩ A× AA∈G(0))

Nota-se que o último termo é facilmente identificado com σ(AA∈G(0)) = G(0) como queriademonstrar. Assim a σ-álgebra induzida sobre a diagonal de G pode ser identificada com aσ-álgebra em G(0). E portanto pode-se identificar r, s com projeções restritas a G.

Deste resultado segue a próxima proposição que mostra, ao contrário do que afirma [16],que todo grupoide associado a uma relação de equivalência é um grupoide de medida.

Proposição 3.11. Seja (G(0),G(0)) um espaço mensurável, e ∼ uma relação de equivalênciasobre G(0).O grupoide associado (G,G) é um grupoide de medida.

Demonstração. Seja π : G(0) × G(0) → G(0) a projeção na segunda variável. Tem-se ques : G → G(0) é claramente mensurável pois s−1(A) = G ∩ π−1(A) que é um subconjuntomensurável da σ-álgebra induzida por G(0) ⊗ G(0) sobre G sempre que A ∈ G(0). Argumentosimilar se aplica a r : G → G(0).

Para a inversa note que pelo lema 3.10 e pela definição de G(0)⊗G(0), conjuntos da formaB = s−1(A1) ∩ r−1(A2), A1, A2 ∈ G(0) geram G e observe que

inv : B → B′ = s−1(A2) ∩ r−1(A1)

e B′ pertence a família geradora, logo inv é uma função mensurável.Para a multiplicação observa-se

−1(B) = G(2) ∩ (s−1(A1) × r−1(A2)) ⊂ G(2) ∩G×G

e claramente G(2) ∩ (s−1(A1)×r−1(A2)) é um subconjunto mensurável da σ-álgebra induzidaem G(2) por G×G. Logo é função mensurável.

Definição 3.12. Quando um grupoide principal associado G for de tal sorte que G podeser identificado com um subconjunto mensurável de G(0) × G(0) então G é dito grupoideprincipal compatível , ou simplesmente grupoide compatível .

Corolario 3.13. O grupoide principal compatível G a uma relação de equivalência em umespaço standart G(0) é um grupoide de medida sse G é um espaço standart [16].

3.3 KernelDado um espaço mensurável (Y,Y) define-se F+(Y ) = f : Y → R+|f é mensurável e

F+(Y ) = f : Y → R+|f é mensurável .

25

Definição 3.14. Dados dois espaços mensuráveis (Y,Y) e (Y ′,Y′) um kernel λ de Y a Y ′

é uma função λ : F+(Y ) → F+(Y ′), denotada por λ : Y → Y ′, que satisfaz as propriedades

(i) Linearidade, i.e., λ(αf + βg) = αλ(f) + βλ(g), ∀α, β ∈ R+, f, g ∈ F+(Y );

(ii) Normalidade, i.e., se (fn)n∈N é sequência de elementos de F+ tal que fn f , istoimplica que λ(fn) λ(f).

Denote por M+(Y ) o conjunto de medidas positivas de Y . Um kernel λ é completamentedeterminado pela função

Y ′ → M+(Y )

y′ 7→ λy′

com λy′(S) = λ(χS)(y′), S ∈ Y. Para ver isso basta notar que uma função qualquer f ∈

F+(Y ) pode ser escrita como o limite pontual de uma sequência crescente de funções simplese aplica-se então as propriedades de kernel. Formalmente seja φn sequência de funções simplestais que φn f , tem-se que

λ(f)(y′) = λ(limnφn)(y′) = λ

(lim

n

∑

i

ainχAin

)(y′) =

limnλ

(∑

i

ainχAin

)(y′) = lim

n

∑

i

ainλy′(Ain) =

limn

∫φdλy′

(y) =

∫f(y)dλy′

(y) = λy′(f)

com λy′(f) sendo a integral da função f segundo a medida λy′ , i.e.,

∫f(y)dλy′

(y) ≡ λy′(f).

Dado um grupoide G, um conjunto A ⊂ G e uma flecha γ ∈ G. A multiplicação aesquerda de A por γ, γA, é definida pela igualdade

γA = γ′ ∈ G|γ′ = γγ′′ para algum γ′′ ∈ A que satisfaça r(γ′′) = s(γ)

De modo análogo se define a multiplicação a direita, Aγ.

Exemplo 3.15. Seja (X,X, µ) um espaço métrico compacto com medida de probabilidadeboreliana e ξ uma partição mensurável. Seja µCC∈X/ξ desintegração de µ com respeito apartição ξ. Define-se o kernel λ : X → X/ξ por

(λ(f))(C) =

∫

C⊂X

fdµC .

Segue da definição de desintegração que λ(f) é função mensurável em X/ξ.

Definição 3.16. Suponha que π : Y → Y ′ é uma sobrejeção mensurável. Diz-se que o kernelλ : F+(Y ) → F+(Y ′) é carregado , ou fibrado , por π se para cada y′ ∈ Y ′, a medida λy′

é tal que λy′(A) = λy′

(A ∩ π−1(y′)), para todo A ⊂ Y mensurável.

26

Proposição 3.17. Seja λ : Y → Y ′ kernel, λ é fibrado por π sse para cada f ∈ F+(Y ) eg ∈ F+(Y ′) tem-se que

λ(f.(g π)) = g.λ(f)

onde o . indica a multiplicação usual em R.

Demonstração. A prova é consequência direta da forma integral de λ.

Um kernel λ : Y → Y ′ é chamado de σ-finito (respectivamente próprio) sempre que épossível exibir uma sequência (Bn)n∈N de conjuntos mensuráveis de Y tais que

∪n∈NBn =

Y e λ(χBn) é função finita (respectivamente limitada) para todo n ∈ N. É simples verque a existência de uma função não nula f ∈ F+ com λ(f) finita (respectivamente limi-tada) implica que λ é σ-finito (respectivamente significa que é próprio). Para isso definaB0 = y ∈ Y |f(y) ≥ 1 e Bn = y ∈ Y |2−n+1 > f(y) ≥ 2−n para todo n > 0. Assimf ≥ ∑

n 2−nχBn(x), donde seguem os resultados. O símbolo C+ é designado para denotar oconjunto de todos os kernels próprios de um dado grupoide.

Definição 3.18. Seja G um grupoide de medida. Um G-kernel é um kernel λ : G → G(0)

fibrado pelo mapa alvo, r : G → G(0).

Define-se a convolução de um G-kernel λ e uma função f ∈ F+, como sendo a funçãoλ ∗ f dada por:

(λ ∗ f)(γ) =

∫f(γ′−1γ)dλr(γ)(γ′), γ ∈ G

Nota-se que a multiplicação γ′−1γ só faz sentido para flechas γ′ tal que r(γ′) = r(γ),ou seja só faz sentido para flechas contidas em r−1(γ). Observação análoga é válida paraoperações similares.

Define-se o produto fλ como sendo o kernel tal que (fλ)(g) = λ(fg), ∀g ∈ F+(G). Edefine-se a convolução entre duas funções f , g segundo um kernel λ por

(f ∗λg)(γ) =

∫f(γ′)g(γ′−1γ)dλr(γ)(γ′)

é fácil ver que f ∗λg = fλ ∗ g.

A próxima proposição devida a Kastler, traz algumas relações úteis entre os objetos ma-temáticos definidos neste capítulo até o presente momento. A sua demonstração exemplificaos cálculos envolvendo funções e kernels.

Proposição 3.19. [7] Seja λ um G-kernel e f ∈ F+(G), define-se

(Lλf)(γ) =

∫f(γ′−1γ)dλr(γ)(γ′) = (λ ∗ f)(γ)

(Rλf)(γ) =

∫f(γγ′)dλs(γ)(γ′)

27

(i) Se λ é σ-finito Lλ, Rλ são kernels de G em G relacionados por

Lλf = (Rλf)∼, f ∈ F+(G)

com f(γ) = f(γ−1), γ ∈ G.

(ii) λ(f) = (λ ∗ f)|G(0) ,∀f ∈ F+(G)

(iii) LλLµ = LλRµ

(iv) Para f ∈ F+(G) e φ ∈ F+(G(0)) tem-se

Rλ((φ r)f) = (φ r)Rλf,

Lλ((φ r)f) = (φ s)Lλf,

(v) Se λ e µ são kernels σ-finitos então λ(µ ∗ f) = µ(λ ∗ f), f ∈ F+(G)

Observa-se que o item (iii) sugere a seguinte notação para a convolução de dois kernels

λ ∗ µ := λRµ (3.4)

e de (iii) segue a seguinte propriedade

λ ∗ (µ ∗ f) = (λ ∗ µ) ∗ f, f ∈ F+(G). (3.5)

Com o objetivo de simplificar a notação daqui em diante a integral de uma função f

em relação a uma medida µ poderá ser representada como µ(f), i.e., µ(f) =∫fdµ. Em

particular se B é um subconjunto mensurável então µ(χB) = µ(B).

Demonstração. (i) É fácil ver que Lλ, Rλ são lineares e normais, a prova da mensurabilidadedepende de λ ser σ-finito, esta prova é relativamente técnica e sua demonstração será omitidaaqui, o leitor interessador pode consultar [7] para a demonstração. Segue a demonstração daigualdade

(Rλf)∼(γ) = (Rλf)(γ−1) =

∫f(γ−1γ′)dλs(γ−1)(γ′) =

∫f(γ′−1γ)dλr(γ)(γ′) = (Lλf)(γ), ∀γ ∈ G.

(ii) Lembra-se que γ ∈ G(0) ⊂ G ⇔ γ = 1x para algum x ∈ G(0). Assim em particular seγ′ : s(γ′) → r(γ), logo γ′−1γ = γ′−1. Assim para S ⊂ G mensurável tem-se que

(λ ∗ f)(1x) = (Lλf)(1x) =

∫f(γ′−1

1x)dλx(γ′) =

∫f(γ′)dλx(γ′) = λ(f)(x)

donde segue a igualdade.

28

(iii) Tem-se que para qualquer função característica de um conjunto mensurável S

(λRµ)r(γ)(χS) = (λ Rµ)r(γ)(χS) = λr(γ)(RµχS) =∫

(Rµ χS)(γ′)dλr(γ)(γ′) =

∫ ∫χS(γ′γ′′)dµs(γ′)(γ′′)dλr(γ)(γ′) =

∫ ∫χγ′−1S(γ′′)dµs(γ′)(γ′′)dλr(γ)(γ′) =

∫µs(γ′)(γ′−1S)dλr(γ)(γ′)

E portantoLλRµ(χS)(γ) =

∫χS(γ′−1γ)d(λRµ)r(γ)(γ′) =

∫χγS−1(γ′)d(λRµ)r(γ)(γ′) = (λRµ)r(γ)(γS−1) =

∫µs(γ′)(γ′−1γS−1)dλr(γ)(γ′). (3.6)

Por outro lado(Lλ(Lµ(χS)))(γ) =

∫Lµ(χS)(γ′−1γ)dλr(γ)(γ′) =

∫ ∫χS(γ′′−1γ′−1γ)dµr(γ′−1γ)(γ′′)dλr(γ)(γ′) =

∫ ∫χS(γ′′−1γ′−1γ)dµs(γ′)(γ′′)dλr(γ)(γ′) =

∫ ∫χγ′−1γS−1(γ′′)dµs(γ′)(γ′′)(γ′)dλr(γ)(γ′) =

∫µs(γ′)(γ′−1γS−1)dλr(γ)(γ′′). (3.7)

Comparando (3.6) e (3.7) segue a conclusão para funções características. Da linearidade enormalidade segue que o resultado é válido para qualquer função mensurável.

(iv)

Rλ((φ r)f)(γ) =

∫((φ r)f)(γγ′)dλs(γ)(γ′) =

∫(φ r)(γ)f(γγ′)dλr(γ)(γ′) = (φ r)Rλf

Procede-se analogamente para Lλ.(v)

λy(µ ∗ f) =

∫ ∫f(γ′−1γ)dµr(γ)(γ′)dλy(γ) =

∫ ∫f(γ′−1γ)dµy(γ′)dλy(γ) =

∫ ∫f(γ′−1γ)dλy(γ)dµy(γ′) =

∫ ∫f(γ−1γ′)dλy(γ′) = µy(λ ∗ f)

29

Donde se obtem a conclusão, uma vez que é licito trocar a ordem de integração pois µ eλ são σ-finitos.

Definição 3.20. Dado um G-kernel λ : G → G(0) define-se o suporte de λ, Sλ, pelaigualdade Sλ = x ∈ G(0)|λx = 0. O G-kernel λ é dito fiel caso Sλ = G(0).

A próxima proposição também devida a Kastler mostra que para G-kernels ser σ-finitoé equivalente a ser próprio. Além disso se λ for G-kernel com esta propriedade garante-se aexistência de uma função f , tal que λ avaliado em f é a função característica do suporte deλ.

Proposição 3.21. [7] Seja G um grupoide de medida e seja λ um G-kernel. As seguintesafirmações são equivalentes:

(i) λ é σ-finito,

(ii) Existe função estritamente positiva (i.e. f(γ) = 0, ∀γ ∈ G) f ∈ F+(G) com λ(f)

finita.

(iii) Exite função estritamente positiva f ∈ F+(G) com λ(f) limitada.

(iv) λ é próprio.

Além disso se alguma destas condições é satisfeitas as funções nos itens (ii) e (iii)

podem ser escolhidas limitadas e ∃g ∈ F+(G) tal que

λ(g) = χSλ, Sλ = x ∈ G(0)|λx = 0

Demonstração. (iv) ⇔ (iii)

(⇒) Da hipótese de ser próprio segue que existe sequência (Bn)n∈N de subconjuntosmensuráveis de G tais que ∪nBn = G e λ(Bn) < M(n) para cada n. Assim defina f : G → Rpor

f(γ) =∞∑

n=0

χBn(γ)

M(n)

1

2n

segue diretamente da definição que f é mensurável e estritamente positiva. E tem-se que

λ(f)(x) =∞∑

n=0

λx(χbn)

M(n)

1

2n≤

∞∑

n=0

1

2n= 1, ∀x ∈ G(0)

(⇐) Feita anteriormente.(iii) ⇒ (ii) Trivial.(ii) ⇒ (i) Análoga a (iii) ⇒ (iv).

30

(i) ⇒ (iii) Para n,m ∈ N, Am,n = y ∈ G(0)|λy(Bn) < m. Para n fixo Am,n é sequênciacrescente de conjuntos e ∪mAm,n = G(0), assim r−1(Am,n) é crescente em direção de de cobriro conjunto G. Assim B′

m,n = Bn ∩ r−1(Am,n) são conjuntos mensuráveis que cobrem G taisque λ(B′

m,n) < m. A função f =∑

m,nm−12−(n+m)χB′

m,nsatisfaz (iii).

Para provar a existência da g, escolha f como em (ii) e define-se g = (φ r)f , comφ(y) = λy(f)−1 para y ∈ Sλ e φ = 1 para y /∈ Sλ. Observa-se que Sλ é mensurável e que sey ∈ Sλ, logo λy(f) > 0 pois λy = 0 e f(γ) = 0, ∀γ ∈ G. Assim tem-se que

λ(g) = λ((φ r)f) = (φ r)λ(f) = χSλ

3.4 Funções TransversasFunções transversas são G-kernels que são invariantes pela ação do grupoide. São aná-

logas a medida de Haar sobre um grupo. De fato coincidem com a medida de Haar quandoo grupoide é um grupo. Kastler utiliza o seguinte resultado para caracterizar funções trans-versas.

Proposição 3.22. [7] Seja G grupoide mensurável e seja ν um G-kernel. As seguintesafirmações são equivalentes:

(i) νr(γ) = γνs(γ), γ ∈ G, i.e., νr(γ)(A) = νs(γ)(γ−1A), ∀A mensurável e γ ∈ G;

(ii) ν ∗ f = ν(f) s, f ∈ F+(G),

(iii) (f ∗νg)∼ = g ∗

νf , f, g ∈ F+(G);

(iv) λ ∗ fν = (λ ∗ f)ν, f ∈ F+(G), com λ um G-kernel σ-finito qualquer.

Se qualquer uma das condições for satisfeita ∗ν

é associativo.

Demonstração. Primeiramente prova-se que

νr(γ)(S) = νs(γ)(γ−1S),∀S mensurável e γ ∈ G.

ocorre se, e somente se, (3.8)∫f(γ′)dνr(γ)(γ) =

∫f(γγ′)dνs(γ)(γ′), ∀f ∈ F+(G), γ ∈ G

Para isso assume-se a priori a segunda proposição e prova-se a primeira, seja S subcon-junto mensurável de G tem-se que

νr(γ)(S) =

∫χS(γ′)dνr(γ)(γ′) =

∫χS(γγ′)dνs(γ)(γ′) =

∫χγ−1S(γ′)dνs(γ)(γ′) = νs(γ)(γ−1S).

31

Por outro lado∫χS(γ′)dνr(γ)(γ′) = νr(γ)(S) = νs(γ)(γ−1S) =

∫χS(γγ′)dνs(γ)(γ′).

Assim (3.8) está provada. Procede-se a demonstração.(i) ⇔ (ii) Nota-se que

(ν ∗ f)(γ) =

∫f(γ′−1γ)dνr(γ)(γ′) =

∫f(γ−1γ′)dνr(γ)(γ′)

e(ν(f) s)(γ) =

∫f(γ′)dνs(γ)(γ′).

A igualdade segue da equivalência (3.8) pois∫f(γ−1γ′)dνr(γ)(γ′) =

∫f(γγ−1γ′)dνs(γ)(γ′) =

∫f(γ′)dνs(γ)(γ′)

(i) ⇔ (iii) Da mesma forma nota-se que

(f ∗νg)∼(γ) =

∫f(γ′)g(γ′−1γ−1)dνs(γ)(γ′)

(g ∗νf)(γ) =

∫g(γ′)f(γ′−1γ)dνr(γ)(γ′) =

∫g(γ′−1)f(γ−1γ′)dνr(γ)(γ′)

Mas pela equivalência (3.8) segue que∫g(γ′)f(γ−1γ′)dνr(γ)(γ′) =

∫g(γγ′)f(γγ−1γ′)dνs(γ)(γ′) =

∫f(γ′)g(γ′−1γ−1)dνs(γ)(γ′)

(iii) ⇔ (iv)

Primeiramente prova-se que se p, q ∈ F+(G) forem tais que λ(p) = λ(q), para todo G-kernel λ então p = q. Para isso suponha p = q, i.e, existe γ0 ∈ G tal que p(γ0) = q(γ0),defina λr(γ0) = δγ0 e λy = 0 para todo y = r(γ0). Logo

λr(γ0)(p) =

∫p(γ)dλr(γ0)(γ) = p(γ0) = q(γ0) = λr(γ0)(q)

a mensurabilidade da imagem de λ é devida ao fato de que os singletons são mensuráveis.Em vista deste resultado (iii) é equivalente a provar que

λ((f ∗νg)∼) = λ(g ∗

νf), f, g ∈ F+(G),∀λ G-kernel.

Utilizando os comentários acima procede-se a demonstração.

λ[(f ∗νg)∼] = λ ∗ (f ∗

νg)|G(0) = λ ∗ (fν ∗ g)|G(0) =

λ ∗ fν ∗ g|G(0) = (λ ∗ fν) ∗ g|G(0) = (λ ∗ fν)(g)

32

Onde foram utilizados os itens (ii) e (iii) da proposição 3.19. Por outro lado fazendo usodo item (v) de 3.19 tem-se

λ(gν ∗ f) = gν(λ ∗ f) = [(λ ∗ f)ν](g).

Dos dois últimos desenvolvimentos tem-se que

λ((f ∗νg)∼) = λ(g ∗

νf)

se, e somente se

(λ ∗ fν)(g) = ((λ ∗ f)ν)(g)

donde segue a equivalência.(iv) ⇒ AssociatividadeA associatividade é uma consequência simples de (iv), segue a demonstração.

(f ∗νg) ∗

νh = (fν ∗ g)ν ∗ h = (fν ∗ gν) ∗ h = fν ∗ (gν ∗ h) = f ∗

ν(g ∗

νh)

Se um G-kernel ν satisfazer qualquer uma das condições equivalentes da proposição 3.22então ν é denominada função transversa. Dado um grupoide G denota-se por E+ o espaçodas funções transversas próprias em G. A próxima proposição devida a Connes, mostra quese ν0 ∈ E+ é função transversa fiel então toda a função transversa ν ∈ E+ pode ser escritacomo ν = ν0 ∗ λ com λ um G-kernel.

Proposição 3.23. [3]

a) Seja ν uma função transversa e λ um G-kernel, então ν ∗ λ é uma função transversa.

b) Seja ν0 ∈ E+ fiel no sentido de que νy0 = 0 para todo y ∈ G(0). Então cada ν ∈ E+ é

da forma ν0 ∗ λ com λ um G-kernel. Especificamente

ν = ν0 ∗ λ

Demonstração. a) Deve-se provar que (ν ∗ λ)r(γ) = γ(ν Rλ)s(γ). A prova segue da seguinte

sequência de cálculos

(ν Rλ)r(γ)(S) = (ν Rλ)(χS)(r(γ)) =

∫(Rλ χS)(γ′)dνr(γ)(γ′) =

∫ ∫χS(γ′γ′′)dλs(γ′)(γ′′)dνs(γ)(γ′) =

∫ ∫χS(γγ′γ′′)dλs(γγ′)(γ′′)dνr(γ)(γ′) =

∫ ∫χγ−1S(γ′γ′′)dλs(γ′)(γ′′)dνs(γ)(γ′) =

∫Rλ(χγ−1S)(γ′)dνs(γ)(γ′) =

33

(ν Rλ)(χγ−1S)(s(γ)) = (ν Rλ)s(γ)(γ−1S)

o que conclui a prova de a).b)

Como Sν = G(0) tem-se da última observação da proposição 3.21 que ∃g ∈ F+(G), comν0(g) = χG(0) . Assim ν0∗ g = ν0(g)s = χG(0) s = χG. Assim ν0∗ gν = (ν0∗ g)ν = (χG)ν = ν.Assim faz-se λ = gν e tem-se o resultado.

3.5 Medidas TransversasMedidas transversas são em certo sentido formas de integrar funções transversas. O

interesse neste objeto matemático é devido ao teorema 3.28, o principal deste capítulo quefornece uma bijeção entre funções transversas definidas sobre um grupoide G e um certoconjunto de medidas sobre G(0).

Até a abordagem do assunto de medidas transversas os trabalhos de Connes e Kastlersão similares. Este texto focou mais nos desenvolvimentos realizados por Kastler pois estessão mais completos e melhor trabalhados. Porém esta seção será focada no trabalho originalde Connes um vez que o formalismo de medidas transversas de Connes é mais simples doque o utilizado por Kastler e ainda assim é suficiente para esta dissertação.

Definição 3.24. Seja G um grupoide, e seja G(2) o grupo de elementos multiplicáveis con-forme definido anteriormente. Toda aplicação mensurável δ de G sobre o grupo multiplicativoR∗

+ que satisfaz a seguinte propriedade

δ(γ1γ2) = δ(γ1)δ(γ2), ∀(γ1, γ2) ∈ G(2),

é denominada função modular , ou simplesmente homomorfismo .

Observa-se que uma função modular não é necessariamente um homomorfismo no sentidousual, uma vez que G não é necessariamente um grupo. A ambiguidade é justificada pelaanalogia entre grupo e grupoide e entre função modular e homomorfismos de grupo.

Relembra-se que E+ representa o espaço das funções transversas próprias sobre G e C+

representa o espaço dos G-kernels próprios sobre G.

Definição 3.25. Uma medida transversa de módulo δ sobre G é toda a aplicação ∆ :

E+ → [0,+∞] que é

a) Linear, i.e., ∆(αν + βµ) = α∆(ν) + β∆(µ), ∀α, β ∈ R+, ∀ν, µ ∈ E+;

b) Normal, i.e., ∆(sup νn) = sup(∆(νn)) sempre que νn ν com ν ∈ E+;

c) De módulo δ, i.e., para toda a dupla ν, ν ′ ∈ E+ e todo kernel λ tal que λy(χG) =

λy(1) = 1, ∀y ∈ G(0) tem-se que

34

ν ∗ δλ = ν ′ ⇒ ∆(ν) = ∆(ν ′)

Se δ = 1 a condição c exprime invariância de ∆ por translação a direita sobre G, agindosobre E+. ∆ é dita semi-finita se para todo ν ∈ E+ tem-se que ∆(ν) = sup∆(ν ′), ν ′ ≤ν,∆(ν ′) < +∞ e que ∆ é σ-finita se existe função fiel da forma ν = sup νn,∆(νn) <

+∞, ∀n ∈ N. Daqui em diante se supõe ∆ semi-finito.Para todo ν ∈ E+ tem-se que (f s)ν ∈ E+ para todo f ∈ F+(G(0)), a igualdade

∆ν(f) = ∆((f s)ν) define assim uma medida positiva ∆ν sobre G(0) (que é semi-finitadesde que ∆ seja semi-finita).

O próximo resultado, enunciado por Connes, é um lema técnico necessário mais adiante.

Lema 3.26. Se ν, ν ′ ∈ E+ e λ ∈ C+ verificam a condição ν ′ = ν ∗ λ segue que ∆(ν ′) =

∆ν(λ(δ−1)).

Demonstração. Supõe-se primeiramente que λy = 0, ∀y, tem-se o seguinte desenvolvimento

ν ′ = ν ∗ λ = ν ∗ δ.1δλ =

ν ∗ δ.δ−1λ(δ−1) rλ(δ−1) rλ = ν ∗ (δλ(δ−1) r)µ

com µ = λδ(λ(δ−1)r)

, nota-se que µ(1) = 1. Afirma-se que a seguinte igualdade é válida:

ν ∗ ((λ(δ−1) r)δ)µ = (λ(δ−1)ν) ∗ δµ (3.9)

Segue a verificação da equação (3.9)

(ν ∗ (λ(δ−1) r)δµ)(g)(x) = νR(λ(δ−1)r)δµ(g)(x) =

∫R(λ(δ−1)r)δµ(g)(γ)dνx(γ) =

∫ ∫g(γγ′)(λ(δ−1) r)(γ′)δ(γ′)dµs(γ)(γ′)dνx(γ) (3.10)

mas (λ(δ−1) r)(γ′) =∫δ−1(γ′′)dλr(γ′)=s(γ)(γ′′), assim λ(δ−1 r)(γ′) não depende de γ′ em

(3.10), logo ∫ ∫g(γγ′)δ(γ′)dµs(γ)(γ′)(λ(δ−1) r)(γ)dνx(γ) =

∫(Rδ(γ′)µ(g)(λ(δ−1) r))(γ)dνx(γ) = ((λ(δ−1) r)ν ∗ δµ)(g)(x).

Com 3.9 verificada procede-se a demonstração

∆(ν ′) = ∆(λ(δ−1)ν ∗ δµ) = ∆(λ(δ−1)ν) = ∆ν(λ(δ−1)). (3.11)

35

Nota-se que a igualdade ν ′ = λ(δ−1)ν∗δµ continua válida mesmo após retirar a suposiçãode que λy = 0, ∀y, assim a equação (3.11) continua válida, donde segue a demonstração.

Lema 3.27. [3] Seja ∆ uma medida transversa semi-finita de módulo δ. As seguintes afir-mações são válidas:

a) Para ν, ν ′ ∈ E+ e f ∈ F+(G) tem-se que

∆ν(ν′(f)) = ∆ν′(ν(δ−1f)).

b) Sejam ν, ν ′ ∈ E+, λ ∈ C+ com ν ′ = ν ∗ δν e defina D(f) por D(f) = λ(f s), comf ∈ F+(G). Segue que ∆ν′ = ∆ν D e ∆ν′(ν ′(f)) = ∆ν(ν(LλRδλ(f))) para todaf ∈ F+(G).

Demonstração. Para f ∈ F+(G), aplique a igualdade ∆(ν ∗ δλ) = ∆ν(δλ(δ−1)) = ∆ν(λ(1))

a λ = fν ′, donde

∆(ν ∗ δfν ′) = ∆ν(fν′(1)) = ∆ν(ν

′(f))

de 3.22 item (iv) segue que ν ∗ δfν ′ = (ν(δf) s)ν ′ , donde se obtêm a igualdade

∆ν′(ν(δf)) = ∆ν(ν′(f))

que prova a, pois δ = δ−1.b) Para f ∈ F+(G(0)) tem-se que

∆ν′(f) = ∆((f s)(ν ∗ δλ)) = ∆(ν ∗ (f s)δλ) =

∆ν((f s)δλ(δ−1)) = ∆ν(λ(f s)) = ∆ν(D(f)). (3.12)

Onde foram utilizadas o lema 3.26 e a igualdade (f s)(ν ∗ δλ) = ν ∗ (f s)δλ que éfacilmente verificada por calculo direto.

Para f ∈ F+(G) (e não F+(G(0)) como anteriormente) tem-se que

∆ν′(ν ′(f)) = ∆ν′(ν(Rδλ(f))) =

∆ν D(ν(Rδλ(f))) = ∆ν λ(ν(Rδλ(f)) s)

Onde 3.12 foi utilizada. Mas tem-se que se g ∈ F+(G) D(ν(g)) = λ(ν(g) s) = ν(λ ∗ g),logo

∆ν(D(ν(Rδλ(f)))) = ∆ν ν(LλRδλ(f))

36

Conforme anunciado no começo desta seção o próximo resultado devido a Connes éessencial para este trabalho. Este resultado garante uma bijeção entre o conjunto de medidastransversas em um grupoide G e um subconjunto especial das medidas em G(0).

Teorema 3.28. [3] Seja ν uma função transversa própria e A seu suporte. A aplicação∆ → ∆ν é uma bijeção entre o conjunto de medidas transversas de módulo δ sobre GA e oconjunto das medidas positivas µ sobre G(0) verificando as seguintes condições equivalentes:

1) δ(µ ν)∼ = µ ν, i.e., µ(ν(f δ−1)) = µ(ν(f)), ∀f ∈ F+(G).

2) Se λ, λ′ ∈ C+ são tais que ν ∗ λ = ν ∗ λ′ ∈ E+ então µ(δ−1λ(1)) = µ(δ−1λ′(1)).

Demonstração. Pode-se supor que A = G(0). Como ν é fiel, todo ν ′ ∈ E+ é da formaν ′ = ν ∗ δλ, λ ∈ C+ (3.23 item b) donde λ ∈ C+ e segue que a aplicação ∆ 7→ ∆ν é injetiva,pois suponha que ∆ν(ψ) = ∆′

ν(ψ),∀ψ e que ∆(ξ) = ∆′(ξ) para alguma função transversaprópria ξ. Mas ξ = ν ∗ δλ para algum kernel λ, logo

∆(ν ∗ δλ) = ∆ν(λ(δ−1))

∆′(ν ∗ δλ) = ∆ν(λ(δ−1))

⇒ ∆(ξ) = ∆′(ξ)

A proposição 3.27 mostra que ∆ν verifica a condição 1:

∆ν ν(δ−1g) = ∆ν(ν(δ−1(δ−1g)∼)) = ∆ν ν(g)

1 ⇒ 2) Seja µ medida verificando 1 e seja ϑ ∈ C+. Para toda f ∈ F+(G) tem-se que

µ(ϑ(ν(f) s)) = (µ ν)(ϑ ∗ f) (3.13)

pois

ϑ(ν(f) s)(x) =

∫(ν(f) s)(γ)dϑx(γ) =

∫ ∫f(γ′)dνs(γ)(γ′)dϑx(γ)

∫ ∫f(γγ−1γ′)dνs(γ)(γ′)dϑx(γ) =

∫ ∫f(γ−1γ′)dνr(γ)=x(γ′)dϑx(γ) =

∫ ∫f(γ−1γ′)dνx(γ′)dϑx(γ) = νx(ϑ ∗ f).

Além disso tem-se que

δ(ϑ ∗ f)∼ = Rδϑ(δf) (3.14)

poisδ(γ)

∫f(γ′−1γ−1)dϑs(γ)(γ′) =

∫f(γ′−1γ−1)

δ(γ′−1γ−1)

δ(γ′−1)dϑs(γ)(γ′) =

∫f(γγ′)δ(γγ′)δ(γ′)dϑs(γ)(γ′) = Rδϑ(f δ)

37

Aplicando (3.13) e (3.14) e a hipótese segue que

µ(ϑ(ν(f) s)) = (µ ν)(ϑ ∗ f) = δ(µ ν)∼(ϑ ∗ f) =

(3.15)

(µ ν)(δ(ϑ ∗ f)∼) = (µ ν)(Rδϑ(δf))

Assim define-se ϑ = 1δλ e ϑ′ = 1

δλ′, logo substituindo em (3.15) tem-se que

µ(ϑ(ν(f) s)) = µ((ν ∗ λ)(δf)) = µ((ν ∗ λ′)(δf)) = µ(ϑ′(ν(f) s)) (3.16)

Sabe-se da proposição 3.21 que existe função f tal que ν(f) s = 1, substituindo esta fem (3.16) tem-se que

µ(λ(δ−1)) = µ(ϑ(1)) = µ(ϑ′(1)) = µ(λ′(δ−1))

Donde se obtêm 2.Mostra-se a existência de ∆ a partir de µ. Primeiramente tem-se que todo ν ′ ∈ E+ é da

forma ν ′ = ν ∗ λ, a condição 2 permite definir ∆ pela igualdade

∆(ν ∗ λ) = µ(δ−1λ(1))

Verifica-se as condições a, b, c da definição 1:a) Trivial.b) Para ν ′

n ν ′∞ sobre E+ e f ∈ F+(G) tal que ν(f) = 1 (proposição 3.23) e tem-se que

ν ′n = ν ∗ δλn donde λn = δ−1fν ′

n (proposição 3.22) e verifica-se que

ν ∗ δλn = ν ∗ (δ−1fν ′n) = (ν ∗ f)ν ′

n = ν ′n.

Assim∆(ν ′

n) = ∆(ν ∗ δλn) = µ(δ−1δλn(1)) = µ(ν ′n(δ−1f)). (3.17)

Como ν ′n ν ′

∞ a sequência crescente ν ′n(fδ−1) de funções mensuráveis sobre G(0) que

convergem a função ν ′∞(fδ−1) de modo que µ(ν ′

n(δ−1f)) µ(ν ′∞(δ−1f)). Assim de (3.17)

segue que ∆(ν ′n) ∆(ν ′

∞).c) Sejam ν1 = ν ∗ δλ1 ∈ E+ e λ ∈ C+ com ν2 = ν1 ∗ δλ ∈ E+. Segue que ν2 = (ν ∗ δλ1)∗ δλ

= ν ∗ δ(λ1 ∗λ) donde ∆(ν2) = µ((λ1 ∗λ)(1) = µ(λ1(1)) com (λ1 ∗λ)(1) = λ1(1) donde segueo resultado.

Resta verificar que ∆ν = µ, seja f ∈ F+(G(0)) e seja λ ∈ C+ tal que λy = f(y)ϵy,∀y ∈G(0), segue que δλ = λ,

∆ν(f) = ∆((f s)ν) = ∆(ν ∗ δλ) = µ(λ(1)) = µ(f)

38

3.6 ExemplosNesta seção são abertos os exemplos apresentados por Kastler em seu artigo. Os exemplos

tiveram de ser adaptados a este texto, uma vez que o formalismo de medidas transversas doreferido autor é diferente do utilizado neste capítulo.

Exemplo 3.29. [7] Grupo. Um grupoide de medida é um grupo sse G(0) = e. Os G-kernelssão nesse caso medidas positivas em G, com a convolução de G-kernels sendo a convoluçãousual de medidas em um grupo. As funções transversas são medidas invariantes a esquerda

νr(γ) = γνs(γ)

e portanto se G for um grupo localmente compacto as funções transversas são medidasde Haar invariantes a esquerda donde segue que são únicas a menos de uma constantemultiplicativa [4] p. 344.

A convolução ∗ν

é igual a convolução usual de funções em um grupo. O homomorfismo δé simplesmente a função modular no grupo (que é constante para toda a função transversa,uma vez que elas são múltiplos). Observe que todas a medidas em e são únicas a menos deuma constante. Seja M medida em e. Segue diretamente de um resultado sobre medidasde Haar (proposição 11.14 [4]) que a seguinte igualdade é satisfeita

M(ν0(δ−1f)) = M(ν0(f)),∀f ∈ F+(G)

Fixe δ, tem-se pelo teorema 3.28 que se ν é função transversa própria (ν é função transversae νe(G) < ∞) então segue que existe bijeção entre as medidas transversas em G e as medidasM em e, ∆ 7→ ∆ν , mas ∆ν é única a menos de uma constante multiplicativa, donde segueque ∃!∆ tal que ∆ν é medida de probabilidade.

Exemplo 3.30. [7] Espaço. Se G = G(0) = X, i.e., todos os elementos de G são idempotentes,os G-kernels δ coincidem com as funções transversas f em X (uma vez que νr(γ) = γνs(γ) étrivialmente satisfeita). Além disso tem-se uma relação de um para um entre as funções fem X com os G-kernels da seguinte forma

λx = fεx

com εx medida de Dirac com suporte em x ∈ X, i.e.,

λ(g)(x) =

∫g(γ)dλx(γ) =

∫g(Idx)dλ

x(γ) = g(Idx).f(x)

Nota-se que a convolução coincide com a multiplicação usual

(h ∗νg)(γ) =

∫h(γ′)g(γ′−1γ)dνs(γ)(γ′) = h(Ids(γ))g(Ids(γ))f(s(γ))

39

O homomorfismo δ é unitário, uma vez que só é avaliado nos elementos identidades ef = f, ∀f ∈ F+(G) logo a condição M(ν0(δ

−1f)) = M(ν0(f)) é trivialmente satisfeita paratoda função transversa ν0 e medida M . Assim o teorema 3.28 garante que existe uma bijeçãoentre as medidas transversas e todas as medidas de X.

Exemplo 3.31. [7] Espaço × Espaço. Se o grupoide G é induzido pela relação de equiva-lência trivial em que todo os elementos pertencem a mesma classe de equivalência, i.e.,x ∼ y, ∀x, y ∈ G(0). Tem-se neste caso que G = X × X, onde X = G(0). Tem-se quer(y, x) = y, s(y, x) = x, (y, x)−1 = (x, y) e (y, x).(x, t) = (y, t), x, y, t ∈ X.

O símbolo ⊗ deve ser entendido como o produto tensorial e age da seguinte maneiraα ⊗ β(x, y) = α(x).β(y). Tem-se que existe uma bijeção entre G-kernels λ com kernelsλ : X → X, dada por λy = εy ⊗ λy, y ∈ X. Pois se λy é kernel então

(εy ⊗ λy)(f) =

∫f(t, x)d(εy ⊗ λy)(t, x) =

∫f(y, x)dλy(x)

que é função mensurável. Por outro lado se λy é kernel então

(λy)(f) =

∫f(t, x)dλy(t, x) =

∫f(y, x)dλy(y, x) =

∫f(y, x)dλy(x)

que é mensurável.A convolução de G-kernels λ é obtida do produto dos correspondentes kernels λ : λ ∗ µ =

λ µ

λ ∗ µ(f)(y) = λ Rµ(f)(y) =

∫Rµ(f)(t, x)dλy((t, x)) =

∫ ∫f((y, x)(x,w))dµx((x,w))dλy((y, x)) =

∫ ∫f(y, w)dµx(w)dλy(x) =

(λ Rµ)(f)

Observa-se que λ é σ-finito (próprio) sse λ é σ-finito (próprio). Além disso para umafunção transversa ν tem-se que νy = ν (independente de y) pois

νy(A) =

∫χA(y, x)dνy(x)

νx((x, y).A) =

∫χ(x,y).A(x, t)dνx(t) =

∫χA(y, t)dνx(t)

Como νy(A) = νx((x, y).A),∀A logo νy = νx, ∀x, y. Assim as funções transversas con-sistem de medidas positivas ν em X, com ν fiel sse ν = 0. A convolução de funções é dadapor

40

(f ∗νg)(y, x) =

∫f((t, z))g((t, z)−1.(y, x))dνy(t, z) =

∫f(y, z).g((z, x))dνy(z)

As funções modulares são da forma δ(x, y) = e−V (y).e+V (x), onde V é função mensurávelem X. Assim ν(δ−1) = ν(eV )e−V , pois

ν(δ)(y) =

∫δ(t, z)dνy(t, z) =

∫δ(y, z)dνy(z) =

∫e−V (y).eV (z)dνy(z) = e−V ν(eV ).

Afirmação: Existe a menos de uma constante uma única medida transversa. Segue aprova deste fato. Defina νa por νa = εa, a ∈ X, tem-se que νa ∗ ν = ν, ∀ν ∈ E∗, pois

(νa ∗ ν)(f)(y) = (νa Rν)(f)(y) =

∫Rν(f)(t, z)dνy

a(t) =

∫ ∫f((t, z).(w, x))dνz(w, x)dνy

a(t) =

∫f((y, a).(a, x))dν(x) =

∫f(y, x)dν(x) = ν(f)(y).

Assim tem-se que se ∆ é medida transversa então

∆(ν) = ∆(νa ∗ ν) = ∆νa(ν(δ−1)) = ∆νa(e

−V ν(eV )) =

ν(eV )∆νa(e−V ) = ν(eV ).k,

com k = ∆νa(e−V ) uma constante.

Exemplo 3.32. [7] Grupoide da Ação de Um Grupo. Seja Γ ×X ∋ (g,X) → gx ∈ X a açãomensurável de um grupo mensurável Γ em um espaço localmente compacto X, G = X × Γ

é dada a estrutura de um grupoide mensurável como segue:

• G(0) = X,

• r(y, g) = y,

• s(y, g) = g−1y

• (y, g)−1 = (g−1y, g−1)

• (y, g)(g−1y, h) = (y, gh)

Os G-kernels λ tem uma relação de 1 a 1 com os kernels λ : Γ → X, que é tornadaexplicita pela relação

λy = εy ⊗ λy

41

poisλy(f) =

∫f(γ)dλy(γ) =

∫f((x, g))dλy(x, g) =

∫f(y, g)dλy(y, g) =

∫f(y, g)dλy(g).

A σ-finitude de λ corresponde a σ-finitude de λ. Portanto as funções transversas correspon-dem aos kernels σ-finitos νsx = sνx, x ∈ X, s ∈ G.

νr(γ) = γνs(γ)

νsx = (sx, s)νx ⇒ νsx = sνx

x ∈ X, s ∈ G. A convolução de funções é dada por

(f ∗νg)(y, s) =

∫f((x, t))g((x, t)−1(y, s))dνr(y,s)=y((x, t)) =

∫f((y, t))g((t−1y, t−1).(y, s))dνy(t) =

∫f(y, t).g(t−1y, t−1s)dνy(t).

Se G é localmente compacto com medida de Haar a esquerda σ, obtem-se que ν0 ∈ E+

ao fazer (ν)y = σ, y ∈ X.Segue diretamente da definição de funções modulares que estas são caracterizadas pela

seguinte condição,δ(y, st) = δ(y, s)δ(s−1y, t), y ∈ X, s, t ∈ G.

As medidas transversas são caracterizadas como segue para um grupo localmente com-pacto G: uma medida positiva M em X é da forma M = ∆σ sse satisfaz

dM(s−1x) = ∆(s)δ(x, s−1)dM(x), x ∈ X, s ∈ G (3.18)

com ∆ função modular em G (esta função modular é referente a medida de Haar [4]). Arelação (3.18) é justificada pelo seguinte raciocínio, se m = ∆ν0 ν0 tem-se realmente paraf ∈ F+(X ×G)

m(f) =

∫f(x, g)dM(x)dσ(g) = m(δ−1f) =

∫δ−1(gx, g)f(x, g−1)dM(gx)dσ(g) =

∫δ(x, g)∆(g)−1f(x, g)dM(g−1x)dσ(g)

Exemplo 3.33. [7] Gráfico de Relação de Equivalência. Procede-se a análise do caso em queo grupoide mensurável G é um grupoide compatível associado a uma relação de equivalência∼ definida sobre X. Assume-se que X é um espaço standart mensurável, donde segue que Gé standart, também assume-se que a diagonal em X ×X é mensurável. Dado um G-kernelσ-finito λ, define-se o kernel λ : X → X por

42

λ(ψ) = λ(ψ s), ψ ∈ F+(X)

assim se obtem uma bijeção λ 7→ λ sobre kernels λ : X → X tal que λy, y ∈ X é carregadopela classe de equivalência de y, com a inversa dada por λy = (εy ⊗ λy)|G. Então ν =

(ε ⊗ ν)|G é uma função transversa em G ⇔ νy = νx sempre que π(y) = π(x).Estas funçõestransversas tem relação bijetiva com os kernels ν

˜: X → X/ ∼ fibrados por π com a bijeção

νx 7→ ν˜π(x), x ∈ X, i.e., para cada f ∈ F+(X) e cada g ∈ F+(X\ ∼) é válida a igualdade

ν˜(f.g π) = g.ν

˜(f).

O caso mais simples de relação de equivalência é quando X/ ∼ é espaço standart, nestecaso segue que existem kernels σ : X → X/ ∼ com σ limitado e não nulo para todo p ∈ X/ ∼(σqq∈X/∼ é uma desintegração).

43

44

Capítulo 4

Teoria de Integração não Comutativa e Siste-mas Dinâmicos

Os sistemas dinâmicos considerados nesta seção são da forma (M, f, µ) com M umavariedade riemanniana C2, f é um difeomorfismo C2 e µ é uma medida de probabilidadeinvariante por f . Neste capítulo primeiramente será definido um grupoide, chamado degrupoide instável, associado a partição de M em variedades instáveis.

O objetivo deste capítulo é utilizar o teorema 3.28 para exibir uma injeção entre as me-didas transversas definidas em um “grupoide quase igual” ao grupoide instável e as medidasSRB do sistema (M, f). Para isso será necessário definir o “grupoide quase igual”. Além dissoé necessário definir as funções transversas e a função modular de tal sorte que a relação (i)

do teorema 3.23 seja satisfeita para toda medida SRB do sistema (M, f).

Definição 4.1. O grupoide instável (em inglês unstable grupoid) Gu do sistema dinâmico(M, f, µ) é o grupoide principal associado a relação de equivalência induzida pelas variedadesinstáveis globais, (W u(x)x∈M conforme definida em 2.4) em M .

Assim o grupoide instável é obtido através da relação de equivalência: se x, y ∈ M tem-se

x ∼ y ⇔ y ∈ W u(x) = t ∈ M | lim supn→∞

1

nln(d(f−n(x), f−n(t))) < 0

é simples mostrar que Gu é um grupoide compatível, i.e., Gu ⊂ M ×M é mensurável [16].

Definição 4.2. Dado um sistema dinâmico (M, f) e uma partição η diz-se que η é umapartição crescente para o automorfismo f se fη ≼ η, i.e., se a aplicação de f sobre η resultaem uma partição fη menos refinada do que η.

A seguinte proposição devida a Ledrappier e Strelcyn tem papel fundamental neste ca-pítulo. Esta proposição é apresentada na forma reescrita por [16] para atender os propósitosdeste texto.

Proposição 4.3. (Citado em [16], provado em [9].) Para cada probabilidade boreliana f -invariante µ em M , existe uma partição mensurável η de M subordinada a variedade instável(definição 2.22), e um conjunto de Borel H de medida total, tal que:

45

(i) Para todo x ∈ H,∞∪

n=−∞fn(η(f−nx)) = W u(x);

(ii) η é uma partição crescente.

Deste ponto em diante será fixado um conjunto H e uma partição η da proposição 4.3.

Definição 4.4. Define-se a sequência ηn, n ∈ Z de partições mensuráveis de M comosegue; η0 = η; para n = 0, a partição é definida pela relação y ∈ ηn(x) sse y ∈ fn(η(f−n(x))).Cada partição ηn induz uma relação de equivalência que por sua vez induz um grupoideassociado, assim denota-se Gn o grupoide associado a partição ηn.

Observa-se que pela proposição 3.11 os grupoidesGn são grupoides de medida. Além dissotem-se que para cada n ∈ N, Gn é grupoide compatível, i.e., Gn ⊂ M × M é subconjuntomensurável. Este fato é verdadeiro pois M ×M é espaço standart e Gn ⊂ M ×M é o gráficode uma relação de equivalência induzida por uma partição mensurável é standart. E todo osubespaço standart de um espaço standart é subconjunto mensurável.

Define-se G∞ = ∪n∈NGn.

4.1 Funções Transversas de RiemannSeja (M, g) variedade riemanniana compacta, f : M → M um difeomorfismo C2. Para

x ∈ M , a inclusão i : W u(x) → M induz a métrica riemanniana g i, também denotada pori∗g, em W u(x). Nota-se que W u(fn(x)) = fn(W u(x)). Denota-se βx a medida em W u(x)

definida pelo elemento de volume de g i.Para cada x ∈ M tem-se o seguinte isomorfismo mensurável.

sx : r−1(x) = x ×W u(x) → W u(x)

(x, y) 7→ y

Este isomorfismo mensurável permite definir a medida νxu em r−1(x) ⊂ Gu por

νxu = βx sx

Seja G ⊂ Gu um subgrupoide (obviamente principal). Distingue-se os mapas alvo deambos os grupoides escrevendo-se

ru : Gu → G(0)u = M e r : G → G(0) ⊂ M

Para cada x ∈ G(0), as medidas νxu em r−1

u (x) induzem medidas νx em r−1(x) pelo pullbackdo mapa de inclusão, i.e., νx(A) = νx

u(A ∩ r−1(x)) para todo conjunto mensurável A.O próximo resultado é o principal teorema da seção. Este teorema fornece uma função

transversa no grupoide Gu,K . Com K um conjunto de medida total e Gu,K subgrupoide deGu conforme definido na equação (3.1).

46

Teorema 4.5. Existe subconjunto de Borel K ⊂ H ⊂ M de medida µ total tal que a coleçãode medidas νxx∈K induzidas pelas medidas νx

u como acima definem uma função transversaprópria no grupoide mensurável Gu,K.

A demonstração será realizada ao final desta seção. Outro resultado também fundamentalneste desenvolvimento devido a Ledrappier e Strelcyn é enunciado a seguir.

Proposição 4.6. ( Citado por [16], provado em [9].) A partição η da proposição 4.3 podeser escolhida de modo a satisfazer a seguinte condição: para todo conjunto de Borel A ⊂ M

a funçãoψA(x) = βx(η(x) ∩ A)

é mensurável e finita em um conjunto K ′ ⊂ M mensurável de medida unitária (total).

Suporemos fixados os conjuntos K ′, H e a partição η. Define-se então o conjunto K por

K =∩

n∈Zfn(K ′ ∩H) ⊂ M

note que K é mensurável e de medida total.Na sequência prova-se que as medidas νx

0 induzidas nas fibras de G0 pelas medidas νxu

definem uma função transversa em G0. Novamente G0 é o subgrupoide principal associadoa partição mensurável η0 de M . G0 é o subgrupoide de Gu.

Proposição 4.7. [16] A coleção de medidas νx0 x∈M define uma função transversa ν0 em

G0.

Demonstração. Primeiramente mostra-se que ν0 : G0 → M é um kernel, i.e., ∀h ∈ F+(G0)

a funçãoν0(h) : M → R+

y → νy0 (h)

é mensurável. Para isso seja A ⊂ G0 ⊂ M ×M mensurável, nota-se que

A ∩ r−1(x) = A ∩ (x × η0(x)) = (x × A′) ∩ (x × η0(x)) = x × (A′ ∩ η0(x))

onde A′ ⊂ M é mensurável.A seguinte observação foi utilizada: A ∩ (x × M) = x ∩ A′ com A′ mensurável.

A′ é mensurável devido a dois argumentos: primeiramente a interseção de mensuráveis émensurável; e relembrando-se o lema 3.10 é fácil ver que a σ-álgebra induzida sobre x×M

pela inclusão x ×M ⊂ M ×M é identificável com a σ-álgebra em M .Assim

νx0 (A) = νx

u(A ∩ r−10 (x)) = νx

u(x × (A′ ∩ η0(x))) =

βx(sx(x × (A′ ∩ η0(x)))) = βx(A′ ∩ η0(x))

47

que é mensurável ∀x ∈ G(0) pela proposição 4.6. Define-se ν0 : G → M por

ν0 : F+(G0) → F+(M)

n →∫h(γ)dνx

0 (γ)

tem-se portanto que ν0 é afim e normal e do resultado provado segue que ν0(h) ∈ F+(M),∀h ∈F+(G0).

Segue da definição que ν0 é fibrado por r0, e como cada x ∈ M , νx0 é suportado em

r−10 (x). Logo ν0 é um G0-kernel. A invariância de ν0 sob ação de G0 é clara da construção,

para y ∈ η0(x) tem-se que βx = βy e que sx pode ser identificado com sy, logo seja γ : y → x

tem-se queνy

0 (γ−1(A)) = βx(sx(γ−1(A))) = βx(sx(A)) = νx

0 (A)

uma vez que sx "vê" apenas a fonte.

Seja Ju(x) a taxa de expansão da variedade instável no ponto x relativa a métrica Rie-manniana, i.e.,

Ju(x) = |Det(Df |Eu)|

Conforme definição 2.21. Nota-se que Ju é mensurável pois Eu é mensurável e o mapa daderivada Df depende continuamente de x ∈ M .

Lema 4.8. [16] Se η é escolhido de forma a satisfazer as condições da proposição 4.3 eproposição 4.6, então para cada número inteiro n, a partição ηn também satisfaz as condiçõesdas proposições 4.3 e 4.6.

Demonstração. Primeiramente nota-se que ηn satisfaz as condições da proposição 4.3 trivi-almente.

Por hipótese η0 satisfaz as condições da proposição 4.6. Este fato pode ser entendido daseguinte maneira. Define-se b : F+(M) → F+(M/η) de tal forma que para g ∈ F+(M) epara cada elemento C ∈ η tem-se

[b(g)](C) = βx(χη(x).g)

com x ∈ C arbitrário. De 4.6 segue que ∀A ⊂ M mensurável a função b(χA) : M/η → R+ émensurável, e quase sempre finita com respeito a medida induzida em M/η pela medida emM .

Assim segue que para 4.6 ser válida para a partição η é equivalente a afirmação de queb : F+(M) → F+(M/η) é um kernel com a hipótese adicional da finitude. Utilizando esteraciocínio para as demais partições ηn, define-se as funções bn : F+(M) → F+(M/ηn) por

[bn(g)](C) = βx(χηn(x).g)

48

Assim para mostrar que as partições ηn satisfazem 4.6 basta mostrar que bn é kernel paratodo n inteiro e que satisfaça a hipótese da finitude. Com isto provado segue que ηn satisfazas condições da proposição 4.6.

A prova é realizada por indução. Mostra-se que se bn é kernel logo bn+1 é kernel. Portantosupõe-se que bn é kernel próprio. Utiliza-se a notação f ∗g = g f para todo g ∈ F+(M) ef∗βx(g) = βx(f

∗g) = βx(g f) tem-se

f∗βx =1

f−1∗Juβf(x) = θβf(x) (4.1)

A equação (4.1) é uma consequência da fórmula de mudança de variável sob sinal deintegração, segue a obtenção da equação

1

f−1∗Juβf(x)(W ) =

∫

f(Ω)

(W.

1

Ju f−1

)(x)dx =

∫

f(Ω)

w(x)dx =

∫

Ω

w f(x)| detDxf |dx =

∫

Ω

(w. detDxf f−1) f(x)dx =

∫

Ω

W f(x)dx = f∗βx(W )

Onde W ∈ F+(M) é uma função real integrável, w = W. 1Juf−1 também integrável, e Ω é

um domínio de integração. Nota-se que Ju > 0, logo θ é finita. Também tem-se que

f ∗[χηn+1(f(x))] = χηn(x) (4.2)

uma vez que

f(y) ∈ fn+1[η[f−n−1(f(x))]] ⇔ y ∈ fn[η(f−n(x))] ⇔ y ∈ ηn(x).

De (4.1) e (4.2) segue o desenvolvimento

βx(χηn(x).g) = βx(f∗[χηn+1(f(x))].f

∗[(f−1)∗g]) =

βx(f∗[χηn+1(f(x)).(f

−1∗g)]) = [f∗βx](χηn+1(f(x)).(f−1)∗g) =

[θβf(x)](χηn+1(f(x)).(f−1∗g)).

Donde[bn(g)](C) = [bn+1(θ(f

−1)∗g)](fC)

Observa-se que g → θ.g f−1 é um automorfismo de F+(M) preservando a finitude. Alémdisso C → fC é um isomorfismo de Borel entre M/ηn → M/ηn+1. Logo bn+1 : F+(M) →F+(M/ηn+1) é um kernel que respeita a condição de finitude. Assim segue que ηn+1 satisfaz4.6.

Assim prova-se o lema para n > 0. Para n < 0 repita o argumento com f−1 ao invés de

49

f .

Proposição 4.9. [16] A proposição 4.7 é válida para Gn, ∀n ∈ Z. Além disso a coleção demedidas νx

n, x ∈ K define uma função transversa νn : F+(Gn) → F+(M).

Demonstração. Substitui-se ηn para η = η0 na prova da proposição 4.7. A prova então segue,uma vez que o lema 4.8, ηn satisfaz as condições da proposição 4.3 e da proposição 4.6. Asquais são suficientes para provar o resultado para η = η0.

Prova do teorema 4.5: [16] É provado primeiramente que tem-se uma função transversa emGu,K . Dada f ∈ F+(Gu,K) pode-se decompô-la em

f =∑

n∈Zfn, fn ∈ F+(Gn,K). (4.3)

Uma função fn ∈ F+(Gn) pode ser considerada elemento de F+(G∞) ao se definir amesma como zero no complementar de Gn em G∞. Por 4.9 tem-se que para todo n, ν(fn) =

νux (fn) = ν(fn) ∈ F+. Como νn(fn) é mensurável para todo n ∈ N e

∑νn(fn) ν(f)

tem-se que ν(f) é mensurável.É trivial verificar que ν é fibrado por r e que ν é invariante pela ação de grupoide (pois

νu é invariante).A função transversa ν ser própria é equivalente a existir uma função não nula f ∈

F+(Gu,K) tal que ν(f) é limitada. Porém sabe-se que para cada νn existe uma função nãonula fn ∈ F+(Gn) tal que νn(f) é limitada por uma constante M(n). Defina portanto afunção f ∈ F+(Gu,K) da seguinte maneira

f =∑

i∈N

fn

M(n)2nχGn\∪n−1

i=1 Gi

logoν(f) =

∑

n∈N

νn(fn)

M(n)2n≤ 1

4.2 Homomorfismo JacobianoConforme anunciado no inicio do capítulo nesta seção é definida a função modular que

juntamente com a função transversa definida anteriormente fazem com que a condição (i)

do teorema 3.28 seja satisfeita toda vez que a medida µ seja SRB.

Definição 4.10. O mapa δu : Gu → R+ é definido por

δu(γ) =∞∏

i=1

Ju(f−is(γ))

Ju(f−ir(γ))

50

O objetivo desta seção é provar o seguinte teorema.

Teorema 4.11. [16] A restrição de δu ao subgrupoide Gu,K ⊂ Gu é um homomorfismo entreo grupoide mensurável e o grupo multiplicativo real R∗

+. Esta restrição de δu é denominadaHomomorfismo Jacobiano .

A prova segue os mesmos passos das provas anteriores, primeiramente faz-se para G0 eentão estende-se os resultados para Gu,K

Lema 4.12. [16] O mapaδ0 : G0 → R∗

+

γ 7→ δu(γ)

é um homomorfismo mensurável no sentido definido em 3.24.

Demonstração. Primeiramente checa-se se a imagem de δ0 está em R∗+. Para isto escolhe-se

um elemento γ ∈ G0, denote x = s(γ) ∈ M e y = r(γ) ∈ M . Utiliza-se o lema 6.1.1 deLedrappier e Young. Que fornece que para cada γ ∈ G0, 0 < δ0(γ) < ∞., donde γ0(γ) ∈ R∗

+.Para demonstrar que o mapa δ0 é mensurável observa-se primeiramente que para cada

γ ∈ G0, ln(δ0(γ)) é um número real finito. Estuda-se a composição dos mapas

ln δ0 : G0 → Rγ 7→ ∑∞

i=1 ln[

Ju(f−i(s(γ)))Ju(f−i(r(γ)))

]

Define-se para cada n ∈ Z+ o mapa

gn : G0 → Rγ 7→ ∑n+1

i=1 ln(

Ju(f−is(γ))Ju(f−ir(γ))

)

Então para cada γ ∈ G0 tem-se que

limn→∞

gn(γ) = ln δ0(γ)

Nota-se que cada gn é mensurável pois ao definir para cada i ∈ Z+ as funções

jr,i = Ju f−i r : G0 → R+

js,i = Ju f−i s : G0 → R+

Que são composições de funções mensuráveis, donde são mensuráveis, segue que

gn =n+1∑

i=1

(ln js,i − ln jr,i)

que é a soma de funções mensuráveis, donde é mensurável. Logo g é mensurável. E pelamensurabilidade da exponencial segue que

51

δ0 = exp ln δ0

é mensurável.Para mostrar o homomorfismo, sejam γ, γ′ ∈ G0 tais que γγ′ é bem definido, e seja

x = s(γ′), y = r(γ′) = s(γ), = r(γ), = r(γ) tem-se

ln(δ0(γ)) + ln(δ0(γ′)) = lim

N→∞

∞∑

i=1

ln(Ju(f−i(y))

Ju(f−i(z))

)+

N∑

i=1

ln(Ju(f−i(x))

Ju(f−i(y))

)= lim

N→∞

N∑

i=1

ln(Ju(f−i(x))

Ju(f−i(z))

)= ln(δ0(γγ

′))

Donde segue que δ0 é um homomorfismo em R∗+.

Prova do teorema 4.11 [16]Como K é subconjunto mensurável de H e tem-se que Gu,K = G∞,K . Para cada γ ∈ Gu,K ,

existe um inteiro positivo p, tal que γ ∈ Gp. Denote por F o mapa

F = (f × f) : M ×M → M ×M

Pela definição da sequência de grupoides Gnn∈N, F−lGi = Gi−l, onde cada Gn é consi-derado subconjunto de M ×M . Observemos que para cada γ ∈ Gu,K se p ∈ Z+, escolhidocomo acima, então γ ∈ Gp,K e logo F−pγ ∈ G0.

Relaciona-se δu(γ) com δu(F−pγ). Para isto define-se x = s(γ) e y = r(γ) e observa-se

que

δu(F−pγ) =

∞∏

i=1

Ju(f−(i+p)x)

Ju(f−(i+p)y)=

∞∏

i=p+1

Ju(f−ix)

Ju(f−iy)=

[p∏

l=1

Ju(f−ly)

Ju(f−lx)

] ∞∏

i=1

Ju(f−ix)

Ju(f−iy)=

[p∏

l=1

Ju(f−iy)

Ju(f−ix)

]δu(γ)

Então para γ ∈ G

δu(γ) =

[ ∞∏

i=1

Ju(f−ix)

Ju(f−iy)

]δu(F

−pγ).

Para p ∈ N define-se δp como a restrição de δu a Gp. Foi mostrado que

δp =

[p∏

i=1

js,ljr,l

][(F−p)∗δ0

]

Que é uma função finita e mensurável em Gp. Assim δu restrito a qualquer Gp é mensurá-vel. Como G∞ é união enumerável de Gp’s é fácil ver que δu é mensurável em G∞ e também

52

no subconjunto Gu,K ⊂ G∞. É também claro que δu é homomorfismo.

4.3 Medidas Transversas e Medidas SRBNesta seção será utilizado o teorema 3.23 para exibir a injeção entre medidas transversas

com função modular δu e as medidas SRB do sistema (M, f). Segue o principal teorema daseção.

Teorema 4.13. [16] Se a medida de probabilidade boreliana µ é SRB então o mapa

∆ : E+ → R+

ν ∗ λ 7→ µ(λ(δ−1u ))

é medida transversa com módulo δu no grupoide de medida Gu,K.

Como ν é função transversa fiel então pelo teorema 3.23 tem-se que para qualquer funçãotransversa ω ∈ E+ existe kernel λ tal que ω = ν ∗ λ. Primeiramente procede-se a prova de4.13 para as funções transversas νn.

Proposição 4.14. [16] Seja µ medida SRB em M , e νn função transversa em Gn da pro-posição 4.9. Então para todo h ∈ F+(Gn)

(µ νn)h = (µ νn)1

δh (4.4)

Demonstração. Primeiramente representa-se o grupoide Gn como segue: ηn é partição men-surável de M , e portanto escreve-se

M =∪

z∈M/ηn

ηn(z)

com ηn(z) ⊂ M elemento da partição correspondendo a z. Pode-se parametrizar M pelascoordenadas ( tz), com z ∈ M/ηn, e tz ∈ ηn(z). O grupoide de medida Gn pode ser entãoescrito como

Gn =∪

C∈M/ηn

ηn(z) × ηn(z)

Gn pode ser então parametrizado pelas coordenadas (z, tz, t′z). Com essas coordenadas temos

s : (z, tz, t′z) 7→ (z, t′z)

r : (z, tz, t′z) 7→ (z, tz).

A função transversa νn toma a forma

[νn(h)] (z, tz) =

∫h(z, tz, t

′z)dβz,tz(t

′z)

53

como βz,tz é o mesmo para todo tz ∈ ηn(z), assim abrevia-se por βz. Segue que

[νn(h)

](z, tz) =

∫h(z, tz, t

′z)dβz(t

′z) =

∫h(z, t′z, tz)dβz(t

′z)

e [νn

(1

δh

)](z, tz) =

∫ [1

δh

](z, tz, t

′z)dβz(t

′z).

Como ηn é partição mensurável, existe um sistema de medidas condicionais para µ. Assimpara toda função boreliana w em M

∫

M

wdµ =

∫

M/ηn

[µz(w)]dµ(z)

onde µz é uma medida de probabilidade suportada em ηn(z), e µ é a medida quociente.Para todo g ∈ F+(Gn) tem-se que

(µ ν)g =

∫

M/ηn

∫

ηn(z)

∫g(z, tz, t

′z)dβz(t

′z)dµz(tz)dµ(z)

Como µ é medida SRB logo µz ≪ βz, q.t.z, como ambas são σ-finitas segue que ∃ρ funçãomensurável tal que

dµz = ρdβz

e tem-se de (2.25) que

δu(γ) =ρ(r(γ))

ρ(s(γ))

i.e.,

ρ(t′) = ρ(t)1

δ(t, t′)

donde segue a igualdade

dβz(t′)dβz(t)ρ(t

′)h(t, t′) = dβz(t′)dβz(t

′)ρ(t)1

δ(t, t′)h(t, t′)

que implica

dµz(t′)dβz(t)h(t, t

′) = dµz(t)dβz(t′)

[1

δh

](t, t′)

donde integrando três vezes obtêm-se a equação (4.4).

Serget [16] não afirma nada sobre a volta da proposição 4.14. Porém em sua demonstração

54

da mesma proposição faz parecer que a volta é válida, i.e. se a condição

(µ ν)h = (µ ν)δ−1h

é válida então µ é medida SRB. Para isso é necessário provar que∫ ∫ ∫

[δ−1h](z, tz, t′z)dβz(t

′z)dµz(tz)dµ(z) =

(4.5)∫ ∫ ∫

h(z, t′z, tz)dβz(t′z)dµz(tz)dµ(z)

implica que µz ≪ βz, para quase todo z. Suponha o contrário, i.e., existe conjunto A demedida µ positiva tal que para cada z ∈ A, ∃Az tal que µz(Az) > 0 e βz(Az) = 0. Casoχ∪z∈AAz×M é função mensurável logo o lado direito da equação (4.5) é positivo e o ladoesquerdo é nulo, uma contradição. Porém como ∪z∈AAz é união não enumerável, logo não énecessariamente mensurável, e portanto χ∪Az×M não é necessariamente um função mensu-rável, e portanto não pode ser integrada.Prova do teorema 4.13 [16]

Provou-se que se µ é medida SRB em M , então a condição (i) do teorema 3.28 é satisfeita,i.e., ∀g ∈ F+(Gu,K)

(µ ν)g = (µ ν)δ−1g (4.6)

onde ν é a função transversa de Riemann, que é própria.Utilize a decomposição de g ∈ F+(Gu,K) como

g =∑

n∈Zgn

com cada gn suportado em Gu,K ⊂ Gu,K . Pode-se pensar em gn como pertencendo a F(Gn).Assim pela proposição 4.14 equação (4.6) é verdadeira para cada gn. Ao somar sobre n ∈ Z,a equação (4.6) é verdadeira para g. Como ν é função transversa própria pode-se usar oteorema 3.28 para concluir que µ = ∆ν , e ∆ é portanto medida transversa.

4.4 Comentários FinaisConforme mencionado os resultados obtidos nesta capítulo são insuficientes para garantir

uma bijeção entre as medidas transversas do grupoide Gu,K e as medidas SRB de (M, f).O que os resultados permitem garantir é que para cada medida SRB existe uma únicamedida transversa correspondente, assim caso exista uma única medida transversa deveexistir no máximo uma única medida SRB. No geral se garante que a cardinalidade doconjunto de medidas SRB do sistema (M, f) é sempre menor ou igual a cardinalidade demedidas transversas em Gu,K .

55

A critica que apresenta-se a este método de estudo de medidas SRB é que medidastransversas não parecem ser simples. Conforme pode-se observar na última seção do capítulo3 determinar a cardinalidade do conjunto de medidas transversas não é algo direto. Segert[16] enuncia, porém não mostra, que pode-se provar diretamente que o Cat Map (exemplo2.25) tem uma única medida transversa.

56

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Índice Remissivo

G-kernel, 27σ-álgebra, 3

enumeravelmente gerada, 4gerada, 3produto, 4

alvo, r, 22Arnold’s Cat Map, 18atomo, 12

conjunto de pares multiplicáveis, 22conjunto mensurável, 3

desintegração, 10

espaçode medida, 4de probabilidade, 4mensurável, 3polonês, 6standart, 6

esperança condicional, 11expoente de Lyaponov, 19

fonte, s, 21função

integrável, 6característica, 5indicadora, 5mensurável, 4modular, 34simples, 5transversa, 33

grupoide, 21de medida, 24associado, 24compátivel, 25instável, 45principal, 22principal associado, 22, 24principal compatível, 25

homomorfismo, 34Jacobiano, 51

igualdade mod 0, 5isomorfismo mensurável, 4

kernel, 26σ-finito, 27carregado, 26fibrado, 26fiel, 30próprio, 27

medida, 4de probabilidade, 4regular, 5SRB, 18absolutamente contínua, 6externamente regular, 4internamente regular, 5invariante, 17transversa, 34

partição, 7crescente, 45mensurável, 7refinada, 7

produto tensorial, 40

quase sempre, q.s, 5quase todo ponto, q.t.p., 5

sistema de medidas condicionais, 10sistema dinâmico, 16

hiperbólico, 20uniformemente hiperbólico, 17

suporte de um kernel, 30

taxa de expansão da variedade, 17Teorema

da Convergência Dominada, TCD, 6da Convergência Monótona, TCM, 5da Desintegração de Rohklin, 13

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