teoriademodelos

7/23/2019 teoriademodelos

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Um curso de Teoria de Modelos

Marcelo E. Coniglio

GTAL, Departmento de Filosofia

Universidade Estadual de Campinas

P.O. Box 6133, 13081-970

Campinas, SP, Brazil

E-mail: [email protected]

Abstract

O presente texto corresponde as notas de aula de (parte de) o cursoHF103-Teoria de Modelos, do Programa de Pos-Graduacao em Filosofia daUNICAMP, que ministrei no segundo semestre de 1999. Trata-se principal-mente de uma adaptacao dos primeiros tres captulos do livro Model The-ory, de C.C. Chang e H.J. Keisler (North-Holland, 1991, terceira edicao).Alguns topicos adicionais foram extrados do livroModels and Ultraprod-ucts, de J.L. Bell e A.B. Slomson (North-Holland, 1969).

Contents

Introducao 2

1 Preliminares 31.1 Linguagens de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Estruturas de primeira ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Modelos Construdos a partir de Constantes 142.1 Completude e Compacidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Metodo de Diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Axiomatizacao e Equivalencia Elementar 26

4 Omissao de Tipos e Teoremas de Interpolacao 294.1 Omissao de Tipos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.2 Teoremas de Interpolacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5 Cadeias de Modelos 435.1 Extensoes Elementares e Cadeias Elementares . . . . . . . . . . . 435.2 Teoremas de Preservacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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Introducao

Teoria de modelos (TM) e uma das disciplinas mais importantes da LogicaMatematica, e um dos maiores avancos desta area no seculo XX.

Devemos comecar com uma observacao com relacao a palavra Modelo:existem duas interpretacoes opostas para ela (sempre pensada como uma relacaoentre objeto representado e representacao). Assim, uma escultura a escalareduzida de um carro ou aviao e um Modelo do carro ou aviao (sendo que aescultura e uma representacao, e o original o objeto representado).

As teorias fsicas ou cosmologicas sao Modelos da realidade; as teorias(modelos) sao a representacao, e a realidade e o objeto representado.

Fala-se tambem de Modelos matematicos, biologicos e economicos. Porem,em pintura, dizemos que um quadro e uma representacao de uma figura viva,o Modelo (objeto sendo representado).

Esta e a perspectiva da teoria de modelos da logica matematica: teoria ea representacao, e o representado e o modelo. Vemos portanto que TM estudaas relacoes entre linguagens formais, por um lado, e as suas realizacoes ouinterpretacoes ou modelos. A ponte que vincula a linguagem formal com asinterpretacoes e a definicao de verdade, introduzida por Tarski. A perguntanatural que nos podemos fazer a seguinte: que tipos de teoremas sao provadosem TM?

Historicamente, o primeiro teorema de TM e o teorema de Lowenheim, de1915, que estabelece que se uma sentenca tem modelos infinitos, entao tem mo-delos enumeraveis. Este resultado foi logo estendido por Skolem para conjuntosarbitrarios de sentencas. Assim surgiu o teorema de Lowenheim-Skolem, umdos pilares da TM.

Skolem introduziu em 1919 o metodo de eliminacao de quantificadores, eem 1930 Godel provou na sua tese de doutorado a completude do calculo depredicados, obtendo como corolario o teorema da compacidade. Assim, porvolta de 1930 ja tinham sido estabelecidas tres ferramentas classicas de TM:compacidade, eliminacao de quantificadores e Lowenheim-Skolem.

Porem, TM comecou como disciplina formal somente 20 anos depois emBerkeley, nos seminarios de logica dirigidos por Tarski. Foi ele quem introduziua nocao de satisfacao e verdade numa estrutura, assim como o nome Teoriade Modelos. A teoria classica de modelos foi desenvolvida nos anos 50, e em1960 foi introduzido por A. Robinson a Analise Nao-Standard.

Nos anos 60 foi estudada a TM de logicas nao-standard. Foi provado quena logica de segunda ordem nao valem nem compacidade nem Lowenheim-Skolem; nas logicas infinitarias provou-se que vale compacidade mas nao valeLowenheim-Skolem. O contrario acontece na logica que admite um quantifi-cador nao-enumeravel Q (onde Qx(x) denota que existe uma quantidadenao-enumeravel de indivduos x que satisfazem (x)). Ou seja: nos exemplosestudados, ao menos um dos dois teoremas (compacidade; Lowenheim-Skolem)falhava. Em 1969 Lindtrom provou que isto nao era casual:

E impossvel que exista uma logica mais expressiva que a logica de primeira

ordem, onde compacidade e Lowenheim-Skolem sejam ambas verdadeiras.

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1 Preliminares

1.1 Linguagens de Primeira Ordem

Neste texto, somente consideraremos linguagens de primeira ordem com igual-dade, definidas a seguir. Como e usual, o conjunto dos numeros naturais seradenotado por N, enquanto que N+ representara o conjunto dos numeros naturais1.

Definicao 1.1 Uma assinatura e uma tripla = P, F, C tal que:

P= (Pn)nN e uma famlia de conjuntos;

F= (Fn)nN e uma famlia de conjuntos;

C e um conjunto.

Os elementos de Pn sao chamados de smbolos de predicadosde aridade n(ou n-arios); eventualmente Pn= .

Os elementos de Fn sao chamados de smbolos de funcoesde aridade n(oun-arias); eventualmente Fn= .

Os elementos de C sao chamados de constantes; eventualmente C= .Se e sao assinaturas tais que Pn P

n, Fn F

n (para todo n 1) e

C C, entao escreveremos .

Definicao 1.2 Seja uma assinatura. A linguagem obtida de e a tupla

L() =, V, , , ,

em que V={vn : n N} e um conjunto devariaveis individuais; (conjuncao)e (negacao) sao os conectivos; e o quantificador universal; e e o smbolode igualdade.

Frequentemente escreveremos L(ou ainda L, quando a assinatura for obvia)no lugar de L().

Definicao 1.3 Dada uma linguagem L(), definimos por recursao o conjunto

T ER() dos termosde L() como segue:

1. V C T ER().

2. Se f Fn e 1, . . . , n T ER(), entao f 1 . . . n T ER().

3. Nao tem mais objetos em T ER() que os definidos por (1) e (2).

Frequentemente escreveremos f(1, . . . , n) no lugar de f 1 . . . n.

Definicao 1.4 Dada uma linguagem L(), definimos por recursao o conjuntoF OR() das formulasde L() como segue:

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1. Se P Pn e 1, . . . , n T ER(), entao P 1 . . . n F OR();se 1, 2 T ER(), entao (1 2) F OR().

2. Se , F OR(), entao ( ) e F OR().

3. Se F OR() e x V entao x() F OR().

4. Nao tem mais objetos em F OR() que os definidos por (1)-(4).

Frequentemente escreveremos P(1, . . . , n) no lugar de P 1 . . . n; formulasdesta forma sao ditas atomicas, assim como as formulas da forma (1 2).

As nocoes devariavel livre,variavel ligadae de termo livre para uma variavelnuma formula, assim como as nocoes de subformula, complexidade l() e l()de um termo e de uma formula, sao definidas como sempre.

Tambem adotaremos a seguinte notacao: (x1, . . . , xn) indica que as variaveisque ocorrem no termo pertencem ao conjunto {x1, . . . , xn}; e (x1, . . . , xn)indica que as variaveis que ocorrem livres na formula pertencem ao conjunto{x1, . . . , xn}.

Adotaremos os usuais abusos de notacao com relacao aos parenteses nasformulas; em particular, poderemos escrever e x no lugar de ( )e x(). Finalmente, se i e um termo livre para xi em (i = 1, . . . , n)entaox11 . . .

xnn

denota a formula obtida de por substituicao (simultanea) dasocorrencias livres de xi pori (i= 1, . . . , n). Note que, em geral, a substituicaosimultanea e diferente da substituicao sequencial, isto e: x11 . . .

xnn e diferente

de (. . . (x11 )x22

. . .)xnn , em geral (confira!).

Definicao 1.5 Uma sentenca e uma formula sem variaveis livres. O conjuntodas sentencas sobre e denotado por SENT().

Definicao 1.6 Acardinalidade de uma linguagemL(), denotada porL(),e a cardinalidade do conjunto

0 (

nN+

Pn) (

nN+

Fn) C

(consideramos, evidentemente, a uniao disjunta dos conjuntos acima). Observe

que L

() coincide com a cardinalidade do conjuntoF OR

().

1.2 Estruturas de primeira ordem

Dada L = L, definimos uma -estrutura, ou uma interpretacao para L, ouuma estruturapara L, ou um modelo para L, ou simplesmente uma estrutura,como sendo um par A= A, A em que A e um conjunto nao vazio e A e umafuncao definida em tal que:

1. PA An para cada P Pn (n 1);

2. fA :An A para cada f Fn (n 1);

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3. cA A para cada c C.

Dada uma estruturaA= A, Aentao o conjunto A e chamado de domnio

de A, denotado por |A|.Por outro lado, dada uma estrutura A, entao denotaremos o seu domnio|A|

por A (se nao houver risco de confusao). Analogamente, usaremosA,Ai,B,B

e Bi para denotar o domnio da estrutura A, Ai, B, B

e Bi, respectivamente.

Definicao 1.7 Sejam L e L as linguagens sobre e , respectivamente, talque . Se A = A, A e uma interpretacao para L, entao claramentepodemos estenderA a uma aplicacao A

definida sobre .Nesse caso, A =A, A

e uma estrutura para L, chamada de expansao deA, e A e o redutode A para .

Dada uma -estrutura A = A, A e , podemos restringir A a, obtendo uma aplicacao A definida sobre . Logo A = A, A e uma -estrutura. Observe que, dadasA e A estruturas para e , respectivamente,entao existem muitas expansoes de A para , porem existe um unico redutode A para . O universo nao muda em ambas operacoes.

Definicao 1.8 Definimos a cardinalidade de uma estrutura A como sendo acardinalidade do domnio A de A. Assim, dizemos que A e finita (enumeravel,nao-enumeravel, infinita) seA for finito (enumeravel, nao-enumeravel, infinito).

Definicao 1.9 Sejam A = A, A e A = A, A

duas estruturas para L.Dizemos queA e uma subestruturade A, denotado A A, se A A, e:

1. PA =PA

An para todo P Pn;

2. fA =fA

|An para todo f Fn (logo, fA |An :A

n A);

3. cA =cA

para todo c C (logo, cA

A para toda c C).

Se A A, escrevemos A= A|A.

Note que a relacao entre estruturas e uma ordem parcial, e A A implicaque a cardinalidade de A e menor do que a cardinalidade de A.

Definicao 1.10 Sejam A = A, A e A = A, A

duas estruturas sobre .Um morfismo h : A A e dado por uma funcao h : A A tal que:

1. (a1, . . . , an) PA implica (h(a1), . . . , h(an)) PA

para todo (a1, . . . , an) An e P Pn;

2. h(fA(a1, . . . , an)) =fA(h(a1), . . . , h(an))

para todo (a1, . . . , an) An e f Fn;

3. h(cA) =cA

para todo c C.

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Definicao 1.11 Um morfismoh: A A e umisomorfismoseh e uma bijecao,e vale se e somente se no lugar de implica na clausula (1) da Definicao 1.10

(isto e: (a1, . . . , an) PA

sse (h(a1), . . . , h(an)) PA

). Logo, h1

: A

A etambem um morfismo h1 : A A.Um isomorfismo entre A e A|h(A) e uma imersao (ou mergulho) de A em

A; nesse caso dizemos que A e mergulhavelou imersvelem A.Se existe um isomorfismo h : A A, dizemos que A e A sao isomorfose

escrevemosA A ou AhA.

Observacoes 1.12(1) Se h1 : A1 A2 e h2 : A2 A3 sao morfismos de estruturas, podemosdefinirh2h1: A1 A3a partir deh2h1 : A1 A3(lembre queh1: A1 A2eh2: A2 A3). E facil ver que (1)-(3) da Definicao 1.10 valem parah2h1, logo

h2 h1 e um morfismo. Claro que idA: A A induz um morfismoidA: A Atal que idA h= h e h

idA= h para todo h: A A e h : A A. Dado

que h1 (h2 h3) = (h1 h2) h3, entao a classe -Str das estruturas sobre ,junto com os morfismos de estruturas e a definicao de composicao e identidade,conformam umacategoria. O conjunto de morfismos de estruturas de A em Be denotado por H om(A,B).(2) A nocao de isomorfismo de estruturas e puramente algebrica, envolvendo ex-clusivamente a informacao algebrico-relacional das estruturas. Podemos definiroutra relacao de equivalencia entre estruturas que envolve esencialmente a lin-guagem L. A ideia a ser resgatada e: duas estruturas (sobre ) sao equiva-lentes se nao podem distinguir sentencas (sobre ).

Antes de definir a nocao de equivalencia de estruturas mencionada na ob-servacao anterior, devemos introduzir a nocao de verdade em estruturas.

Definicao 1.13 Seja A uma estrutura, e (x1, . . . , xn) um termo. Dada umasequenciaa= a1 . . . an em A, o valor de ema, escrito [a], e definido recur-sivamente por:

e xi, com xi V; logo [a] :=ai;

e c, com c C; logo [a] :=cA;

e f(1, . . . , k); logo [a] :=fA(1[a], . . . , k[a]).

Observe que na definicao anterior assumimos que xi=xj para i =j , e queai interpreta xi (i= 1, . . . , n).

Definicao 1.14 Seja (x1, . . . , xn) uma formula, A uma estrutura e a umasequencia em |A|. Dizemos quea satisfaz em A, denotado por A [a], se:

e (1 2); logo A (1 2)[a] see 1[a] =2[a];

eP(1, . . . , n) atomica; logoA P(1, . . . , n)[a] sse (1[a], . . . , n[a])PA;

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e (1 2); logo A (1 2)[a] sse A 1[a] e A 2[a];

e ; logo A [a] sse A [a];

ex(). Sejay a primeira variavel livre para x em , que nao pertencea {x1, . . . , xn}; logo A x()[a] sse A xy [a; a] para todo a A.

Por inducao na complexidade do termoe da formula , pode ser provado:

Proposicao 1.15 Sejam (x1, . . . , xn) e (x1, . . . , xn) um termo e uma formula,respectivamente. Considere duas sequenciasa= a1 . . . ar eb= b1 . . . bs em |A|tais que n r s e bi= ai (i= 1, . . . , r).(Podemos portanto escrever

=(x1, . . . , xn; zn+1, . . . , zr) =(x1, . . . , xn; zn+1, . . . , zs)

e= (x1, . . . , xn; zn+1, . . . , zr) =(x1, . . . , xn; zn+1, . . . , zs).)

Logo

1. [a] =[b];

2. A [a] sse A [b].

Isto significa que o valor de em a depende dos ai que interpretam asvariaveis que efetivamente ocorrem em . Analogamente a relacao A [a]depende exclusivamente dos ai que interpretam as variaveis livres de . Emparticular, se e uma sentenca, entao sao equivalentes:

1. existea tal que A [a];

2. para todaa, A [a].

No caso de (1) ou (2) ser verdadeiro, dizemos que a senten ca everdadeira emA, denotado A . Se e um conjunto de sentencas entao A significa queA para toda .

Em geral, uma formula (x1, . . . , xn) e dita verdadeira em A se vale acondicao (2) acima; nesse caso (isto e, se e verdadeira em A) escrevemosA e diremos que A satisfaz, ou e satisfeita porA, ou A e um modelo

de .Se A , isto e, para toda a, A [a], entao diremos que e falsaem

A e escreveremos A . Observe que A nao significa nao e o caso queA (embora a notacao usada possa sugeri-lo), a menos que seja sentenca.

Podemos agora definir a relacao de equivalencia elementar:

Definicao 1.16 Sejam A e B duas estruturas (sobre ). Dizemos que A eelementarmente equivalentea Bse:

A implica B

para toda sentenca (sobre ). Nesse caso escreveremos A B.

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Proposicao 1.17 Se A B entao, para cada sentenca (em ), A sseB . Portanto e uma relacao de equivalencia.

Demonstracao: Suponha que A B e seja SENT(). Se A entaoB , pela Definicao 1.16. Se A entao A , donde B (poisA B) e entao B . Daqui: B implica A para toda sentenca .

Proposicao 1.18 Se A B, entao A B.

Demonstracao: Lembrando que l() denota a complexidade de uma formula, considere a seguinte propriedade P(n) sobre numeros naturais (escrita, porcomodidade, numa meta-linguagem semi-formal):

P(n) :=A,B -Str [A B

SENT()(l() n (A B ))].

Observe que provar nP(n) equivale a provar a proposicao. Provaremos nP(n)por inducao em n.Caso baseP(0): Sejam A,B -Str com A

hB, e seja uma -sentenca com

l() 0, isto e, = P(1, . . . , k) onde 1, . . . , k sao -termos fechados (ouseja, sem variaveis).

Fato: Se e um -termo fechado, entao h(A) =B.

Com efeito: se e c (uma constante) entao h(cA

) =cB

, pela definicao de mor-fismo. Suponha que o Fato vale para qualquer termo com l() m. Entao,

h(f(1, . . . , s)A) =h(fA(A1, . . . ,

As )) =f

B(h(A1), . . . , h(As ))

=fB(B1 , . . . , Bs ) =f(1, . . . , s)

B,

usando a hipotese de inducao para 1, . . . , s. Logo, vale o Fato.

Usando o Fato provamos o seguinte:

A P(1, . . . , k) sse (A1 , . . . ,

Ak) P

A sse (h e isomorfismo)

(h(A

1), . . . , h(A

k)) PB

sse (Fato)(B1 , . . . , Bk ) P

B sse B P(1, . . . , k).

Passo indutivo P(n) P(n + 1): Assuma que vale P(n) (n 0). SejamA,B -Str tal que A

hB, e seja SENT() tal que l() = n+ 1.

Provaremos que A sse B .Caso 1: = (1 2).Logo A (1 2) sse A 1 e A 2 sse (hipotese de inducao)B 1 e B 2 sse B (1 2).Caso 2: = .Logo A sse A sse (hipotese de inducao) B sse B .

Caso 3: = x.

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Logo, A x sse, para todo a A, A [a]. Observe que V AR() {x}.Considere a assinatura obtida de acrescentando uma nova constante c.

Logo,A

a := A

; a eB

h(a) := B

; h(a) sao

-estruturas. Aqui,A

a e a ex-pansao de A tal que cA =a (idem com Bh(a)). Alem do mais, h: Aa Bh(a)e um isomorfismo. E obvio que A [a] sse Aa

xc , e B [h(a)] sse

Bh(a) xc para todo a A. Logo: A x sse, para todo a A, A [a]

sse, para todo a A, Aa xc sse (por hipotese de inducao) Bh(a) xc para

todoa A sse B [h(a)] para todoa A sse (hbijetora)B [b] para todob B sse B x.

Vemos entao que P(n + 1) e verdadeira. Isto conclui a demonstracao.

A nocao de estruturas elementares equivalentes repousa na nocao de sen-tencas. Gostaramos de definir uma nocao analoga envolvendo formulas em

geral. A razao e que a partir de formulas (em geral) podemos aplicar raciocniospor inducao (na complexidade da formula), enquanto que trabalhando somentecom sentencas, esses argumentos nao funcionam (subformula de sentenca nao esentenca, em geral). Observe que, se A B e e formula atomica, entao

A [a] sse B [a] para toda sequenciaa= a1 . . . an em A.

Queremos estender essa propriedade para formulas em geral.

Definicao 1.19 Sejam A,B -Str tal que A B. Dizemos que A e umasub-estrutura elementar de B, e que B e uma extensao elementar de A, seA [a] sseB [a] para toda(x1, . . . , xn) F OR() e para toda sequencia

a= a1 . . . an em A. Nesse caso, escrevemos A B.

Definicao 1.20 Uma imersao h : A B (isto e, AhB|h(A)) e uma imersao

elementar(ou mergulho) de A em Bse:

A [a1 . . . an] sse B [h(a1) . . . h(an)]

para toda (x1, . . . , xn) F OR() e para toda sequencia a1 . . . an em A.

Observacao 1.21 Seh : A B e apenas uma imersao (nao elementar), entaosomente podemos afirmar que A [a1 . . . an] sseB|h(A) [h(a1) . . . h(an)].

Exemplo 1.22 A inclusao h : Q, R, e uma imersao, mas R, x(x2 y)[h(2)] e Q, x(x2 y)[2]. Logo, a inclusao h nao e um mergulho.

Logo, se A B, entao A B sse a injecao de A em B e uma imersaoelementar.

Se existir uma imersao elementar de A em B dizemos que A e elementar-mente imersvel(ou mergulhavel) em B.

Como e definido em termos de formulas enquanto que e definido emtermos de sentencas, a nocao e mais facil de manipular do que a nocao

(pelos motivos assinalados antes).

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Observacao 1.23 A B implica A B. A recproca e falsa. Com efeito:se A B, entao A [a1 . . . an] sse B [a1 . . . an] para todo (x1, . . . , xn)

e para toda a1 . . . an em A. Em particular, se e sentenca, entaoA

sseB , donde A B.Considere agora A = N+,


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existe a A tal que A sxa . Dado que sxa A

N, entao B sxa , por hipotesede inducao, donde B sx. Reciprocamente, se B sxparas AN entaoB

sxa para algum a A, por (). Dado que s

x

a AN

entaoA

sxa , porhipotese de inducao, donde A s x.

Observacao 1.25 Por unica vez, e para convencer o leitor, provaremos quenao estamos perdendo generalidade na prova por inducao de () a partir de() considerando o caso = x no lugar de = x. Seja entao = x eassuma que A s sseB s para toda s AN. Suponha que A sx, logoA sxa para todo a A, donde

B sxa para todo a A. ( )

Suponha que existeb B tal que Bsxb ; logo existeb B tal que B sxb ,

donde B s x (e s AN). Por (), existe a A tal que B sxa , oque contradiz ( ). Daqui B sx

b para todo b B, donde B s x.

Assim, A s x implica B s x (para toda s AN). Reciprocamente,suponha que s AN e tal que B s x. Logo B sx

b para todo b B ; em

particular B sxa para todo a A, donde A sxa para todo a A (hipotesede inducao); logo A sx.

O seguinte resultado segue imediatamente.

Corolario 1.26 Se A B, entao A B sse, para toda formula (x1, . . . , xn)e todaa1 . . . an1 emA: se B [a1 . . . an1; b] para algum b B, entao existea A tal que B [a1 . . . an1; a].

Exemplo 1.27 SejamA = Q,


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E facil ver que h tem as propriedades requeridas: h e bijecao; x < y sseh(x)< h(y); h(ai) =ai; e h(b) =c. Em particular, h e uma imersao elementar

deA

emB

. De fato: seja (x < y) uma formula atomica de L, logo

B (x < y)[a; b] sse a < b sse h(a)< h(b) sse B (x < y)[h(a); h(b)].

Os casos (1 2) e sao obvios. Finalmente

B x[a] sse, para todo a R, B xy [a;a] sse (hipotese de inducao)

B xy [h(a); h(a1) . . . h(an)] para todo a R sse (hbijecao)

B xy [b; h(a1) . . . h(an)] para todo b R sse B x[h(a1) . . . h(an)].

Isto prova quehe uma imersao elementar, concluindo a demonstracao doFato.

Ora bem, dado que B [a1 . . . an1; b] e h e uma imersao elementar de

B em B, entao B [h(a1) . . . h(an1); h(b)], isto e: B [a1 . . . an1; c]. Ouseja: dados (x1, . . . , xn) e a1, . . . , an1 Q, se existe b R tal que B [a1 . . . an1; b] entao existe c Q tal que B [a1 . . . an1; c]. Pelo corolarioacima temos que A B.

Definicao 1.28 Seja A um conjunto, um ordinal e s A. A sequencias e uma enumeracao de A se A = {s() : }. A sequencia s e umaenumeracao deAsem repeticoesse s e uma bijecao.

Definicao 1.29 Seja L = L(), e um ordinal. Considere a assinatura obtida de acrescentando um conjunto {c : } de novas constantes;assumimos que c = c se = . Finalmente, sejaL := L() a linguagemobtida de .

Note que as estruturas para L sao da forma A = A; s onde A e uma

estrutura para L e s A tal que cA

=s() para cada .

Proposicao 1.30 Sejam A uma -estrutura e s A uma enumeracao de A.

Se B e outra -estrutura, entao A e elementarmente imersvel em Bsse existes B tal que A; s B; scomo -estruturas.

Demonstracao: Suponha que A e elementarmente imersvel em B, isto e, ex-iste h : A B tal que A [a1 . . . an] sse B [h(a1) . . . h(an)] para toda(x1, . . . , xn) e a1 . . . an em A. Seja uma sentenca sobre L, e consideres = h s. Logos B. Sejamc1 , . . . , cn as constantes novas que ocorremem, e considere variaveis novasxj1, . . . , xjn (isto e, variaveis que nao ocorremligadas em ), todas diferentes entre si. Logo =

xj1c1

. . .xjncn

para alguma-formula (xj1, . . . , xjn) com exatamente xj1 , . . . , xjn como variaveis livres.Assim:

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A; s sse A [s(1) . . . s(n)]

sseB

[s

(1) . . . s

(n)] sse B

; s

.

Logo A; s B; s(como -estruturas) para s =h s.

Reciprocamente, suponha que A; s B; spara algumas B. Definah: A B como h(s()) =s() para .

Fato: h esta bem definida, isto e: se a A tal que a = s() = s() para, , entao s() =s().

Com efeito: ses() =s() entaocA;s =c

A;s

, donde A; s (c c). ComoA; s B; s e (c c) e uma sentenca de L, entao B; s

(c c).

Daqui s() =cB;s =c

B;s =s(), provando o Fato.

Por outro lados: Ae sobrejetora, logoh : A B dada porh(a) =s() sea= s() para algum , esta bem definida. Seja (x1, . . . , xn) uma formulade L com (no maximo) x1, . . . , xn livres, e (a1, . . . , an) An. Seja i talque s(i) =ai (i= 1, . . . , n). Logo:

A [a1 . . . an] sse A; s x1c1. . .xncn sse B; s

x1c1. . .xncn

(poisA; s B; scom relacao a L, e x1c1

. . .xncn e uma sentenca de L)

sse B [s(1) . . . s(n)] sse B [h(a1) . . . h(an)] (pela definicao de h).

Daqui h: A B e uma imersao elementar.

Observacao 1.31 Um morfismo h : A B satisfaz:

A [a1 . . . an] sse B [h(a1) . . . h(an)]para toda (x1, . . . , xn) e para toda (a1, . . . , an) A

n

(1)

sse h e uma imersao elementar de A em B.Com efeito: suponha que h satisfaz (1). Basta provar que h e um morfismo

de Aem Be que h e injetora.

1. (a1, . . . , an) PA sse A P(x1, . . . , xn)[a1 . . . an] sse, por (1),B P(x1, . . . , xn)[h(a1) . . . h(an)] sse (h(a1), . . . , h(an)) P

B.

2. A (x f(x1, . . . , xn))[fA(a1, . . . , an); a1 . . . an]; logo, por (1),B (x f(x1, . . . , xn))[h(fA(a1, . . . , an)); h(a1) . . . h(an)].Daqui h(fA(a1, . . . , an)) =f

B(h(a1), . . . , h(an)) para todo (a1, . . . , an)An.

3. A (x c)[cA] para toda constante c; logo, por (1),B (x c)[h(cA)], donde h(cA) =cB para toda constante c.

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Daqui h: A B e um morfismo. Suponha que a= b em A; logo A (xy)[a; b], donde, por (1), B (x y)[h(a); h(b)], isto e, h(a)=h(b). Logo h e

injetora. Por (1) e obvio que h :A

B

e uma imersao elementar. A recprocae obvia.

Proposicao 1.32 Sejam A,B duas estruturas sobre L da mesma cardinali-dade, e seja s A uma enumeracao de A. Entao:

1. Se A B, entao existe s B tal que A; s B; s.

2. Se s e uma enumeracao de B e A; s B; s, entao A B.

3. Se A B entao A B sse A; s B; s.

Demonstracao: (1) Suponha que AhB. Seja s = h s B. Por inducao

na complexidade de (x1, . . . , xn) podemos provar que

A [s(1) . . . s(n)] sse B [s(1) . . . s

(n)] ()

(deixamos como exerccio para o leitor). Seja agora uma sentenca deL; logo= x1c1

. . .xncn para alguma(x1, . . . , xn) de L. PortantoA; s sseA; s

x1c1. . .xncn sse A [s(1) . . . s(n)] sse (usando ()) B [s

(1) . . . s(n)] sse

B; s x1c1. . .xncn sseB; s

. Logo A; s B; s.

(2) Sejas B uma enumeracao deB tal que A; s B; s. Pela proposicaoanterior (e a sua prova), a funcaoh : A B dada porh(x) :=s() sex = s()( ), esta bem definida, constituindo uma imersao elementar de A em B,isto e:

A [a1 . . . an] sse B [h(a1) . . . h(an)]para toda -formula(x1, . . . , xn) e para toda (a1, . . . , an) An.

()

Note que h e injetora pois, dados a = b em A: A (x y)[a; b]. Logo, por(), B (x y)[h(a); h(b)], isto e, h(a)=h(b).

Por outro lado s e uma enumeracao de B. Assim, seja b B. Logo,b = s() para algum . Seja a = s() A; Logo h(a) = s() = b.Portanto h e sobrejetora, isto e, h e bijetora donde, por (), A

hB. Com

efeito, dado P predicado n-ario e (a1, . . . , an) An, entao (a1, . . . , an)

PA sse A P(x1, . . . , xn)[a1 . . . an] sse B P(x1, . . . , xn)[h(a1) . . . h(an)] sse

(h(a1), . . . , h(an)) PB

.

(3) Consequencia direta da prova da proposicao anterior (caso particular emque s =s e h= idA).

2 Modelos Construdos a partir de Constantes

2.1 Completude e Compacidade

Provaremos o teorema de completude dos sistemas axiomaticos de primeiraordem (tese de doutorado de Godel, 1930), a partir do qual sai imediatamente

o teorema da compacidade.

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A seguir analizaremos algumas consequencias importantes do teorema dacompacidade.

Definicao 2.1 Seja uma assinatura. Um sistema axiomatico K sobre ecomposto do seguinte:

Axiomas: Todas as instancias dos seguintes esquemas de formulas de (onde ( ) denota ( ) e x e uma variavel arbitraria):

1. Axiomas Proposicionais: ( )(1 (2 3)) ((1 2) (1 3))( ) (() )

2. Axiomas de Primeira Ordem:x() ( x) se xnao ocorre livre em x x se e um termo livre para xem

3. Axiomas da Identidade:(x x)(x y) (xz

yz) para todo termo e variaveisx, y,z

(x y) (xz yz ) se x e y sao livres para z em (atomica)

4. Axiomas Nao-Logicos (ou Proprios):

Um conjunto arbitrarioA (eventualmente vazio) de formulas.

Regras de Inferencia:

1. Modus Ponens: , ()

(MP)

2. Generalizacao:

x (GEN)

Os axiomas pertencentes ao conjuntoAxformado pelas formulas de (1)-(3)sao chamados de Axiomas Logicos.

Definicao 2.2 SejaK um sistema axiomatico sobre , e {}um conjuntode -formulas. Uma prova em K de a partir de e uma sequencia finita1 . . . n de -formulas tais que n = e, para todo i n:

1. i A Ax , ou

2. i e obtido de j (que e da forma k i) e k (onde j, k < i) por(MP), ou

3. i e da forma xj (com j < i) e e obtido de j por (GEN).

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Escreveremos K ou, simplesmente, , se existir uma prova de apartir de em K, e diremos que e demonstr avel emK a partir de.

O seguinte resultado e facil de provar por inducao no comprimento de umaprova de a partir de :

Proposicao 2.3 (Teorema da Correcao) SejaK sem axiomas nao-logicos, istoe, tal que A = . Se K , entao , isto e: para toda estrutura A, seA para toda , entao A .

Provaremos agora a recproca, isto e, o Teorema da Completude:

implica K .

A prova que apresentaremos aqui e devida a Henkin (1949), e vale paralinguagens de cardinalidade arbitraria.

Definicao 2.4 Uma teoria de primeira ordem K e consistente se existe umaformula (ou, equivalentemente, uma sentenca) tal que K. Um conjuntoTde sentencas e consistente(em K) se existe tal que TK .

A partir de agora, e ate o fim desta secao, trabalharemos com a teoria K0tal que A= , a menos que seja indicado o contrario. Portanto, consistentesignifica consistente em K0. Nosso proximo objetivo e provar o seguinte: se

T e um conjunto consistente de sentencas, entao T tem um modelo. Logo, se entao {} e insatisfatvel, portanto {} e inconsistente, donde {} e entao . Isto e, obteremos o teorema da completude.

O esquema da prova do teorema da completude e portanto o seguinte:(1) Todo conjunto consistenteTpode ser estendido a um conjuntoTconsistentee com boas propriedades.(2) Todo conjunto Tconsistente e com boas propriedades tem um modelo.

Definicao 2.5 (Boa propriedade) Seja T um conjunto de -sentencas, eC C um conjunto de constantes de . Dizemos que C e um conjunto de

testemunhas para T emL se, para toda formula em L com no maximouma variavel livre (digamos, x), existe c C tal que T x xc . Dizemosque T tem testemunhas emL se existe um conjunto de testemunhas para Tem L.

Daqui em diante, poderemos escrever(c) no lugar dexc , quando nao hou-ver confusao. Lembremos da Definicao 1.6 de cardinalidade de uma linguagemL (que nada mais e do que o cardinal do conjunto F OR() de formulas de

L).

Lema 2.6 Seja T um conjunto consistente de sentencas de L = L. Seja C

um conjunto de smbolos novos de constantes tal que a cardinalidade de C

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e a cardinalidade de L. Finalmente, seja L = L , onde

e obtida de acrescentando C a C como novas constantes. Entao T pode ser estendido

para um conjunto consistente T

de sentencas em L

com Ccomo conjunto detestemunhas em L.

Demonstracao: Seja = L. Defina c = {c : } um conjunto denovos smbolos, onde c = c se = (, ). Considere

obtida de

acrescentando C a C, e seja L = L . E claro que L = L = , logo

podemos arranjar as formulas de L com no maximo uma variavel livre numasequencia ().

Suponha que = (x) (se e sentenca, estipulamos x = v0). Ob-serve que, necessariamente, existem = tais que x = x. Definiremos umasequencia crescente de conjuntos de -sentencas:

T =T0 T1 . . . T . . . ( ),

e uma sequencia (d) de constantes de C, tais que:

1. T e consistente em L, para todo ;

2. T+1= T {x (d)} (se + 1 );

3. T =T (se , ordinal limite).

Construcao das sequencias: Suponha que T ja foi definido. Observe que em Tacrescentamos, no maximo, sentencas deL que nao sao sentencas de L (dize-

mos no maximo porque algumas formulas podem ser sentencas). Cadauma dessas sentencas usa finitas constantescdeC, logoA = { : cnaofoi utilizada em T} e nao vazio, pois e infinito. Sejao elemento mnimo deA, isto e, c e a primeira constante de Cque nao ocorre emT, e definad :=c(observe que acabamos de usar o fato de que o ordinal e bem ordenado pelarelacao de pertinencia ). Isto conclui a definicao de (T) e (d).

Provaremos a seguir, por inducao transfinita, que cada T e consistente.Suponha entao que T+1 e inconsistente; logo T (x (d)) dondeT x (d). Como d nao ocorre em T, podemos substituir dpor x numa prova de x (d) a partir de T, obtendo, por (GEN),

T x(x (x)) e logo: T x x, uma contradicao (poisT e consistente por hipotese de inducao). Por outro lado, dado tal que e ordinal limite, e obvio que T :=

T e consistente (assumindo, por

hipotese de inducao, que todo T e consistente). Isto sai do fato de que, pordefinicao, toda prova em K usa finitas hipoteses.

Seja agora T :=

T. E obvio que T e uma extensao consistente de

T. Se e uma formula de L com no maximo uma variavel livre, entao existe tal que = (x); daqui a sentenca x (d) pertence a T+1,portanto pertence a T. Logo, C e um conjunto de testemunhas para T emL.

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Lema 2.7 Seja T um conjunto consistente de sentencas com conjunto C detestemunhas em L. Entao Ttem um modelo A tal que todo a A interpreta

alguma constante c C.

Demonstracao: Comecamos por considerar dois resultados:

1. Lema de Lindembaum: Todo conjunto consistente de -sentencas podeser estendido a um conjunto maximal consistente de -sentencas.

2. Se um conjuntoTde -sentencas tem um conjuntoCde testemunhas emL, entao toda extensao T

de T em tambem possui C como conjuntode testemunhas em L.

A partir de (1) e (2), podemos supor que T e maximal consistente em L.Definimos a seguir a seguinte relacao em C: c d sse (c d) T (sseT (c d)). Dado que C e maximal temos que, pelos axiomas da identidade:

c c;c d implica d c;c d, d e implica c e

logo e relacao de equivalencia.

Definac= {d C : c d} para c C, e seja A = {c : c C}. Dadoque C e um conjunto, entaoc e um conjunto, e entao A e um conjunto (=).Construiremos uma -estrutura A com domnio Acomo segue:

(i) Dado P Pde aridade nobserve que, pelos axiomas da identidade:

T (P(c1, . . . , cn) (c1 d1) . . . (cn dn)) P(d1, . . . , dn).

Logo:

se P(c1, . . . , cn) T e ci di (i= 1, . . . , n) entao P(d1, . . . , dn) T . ()

Definimos entao PA An como: (c1, . . . ,cn) PA sse P(c1, . . . , cn) T(bem definido, por ()).

(ii) Seja d uma constante de . Como T v0(v0 d) e C e um conjunto detestemunhas paraT emL, entao existec Ctal que T (c d), isto e,(c d) Tpara algum c C. Por outro lado, se (c d) Tpara c C,entao, pelas regras da identidade, T ((c d)(c d)) (c c),donde (c c) T, isto e, c c. Definimos entao dA := c(bem definida,como acabamos de ver). Em particular, se c C, entao cA =c (pois(c c) T).

(iii) Sejaf Fde aridade n, ec1, . . . , cn em C. Dado que v0(f(c1, . . . , cn)v0) T e C e um conjunto de testemunhas para T em L, entao existec Ctal que (f(c1, . . . , cn) c) T. Se di, d C, entao

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T ((f(c1, . . . , cn) c) (c1 d1) . . . (cn dn) (c d))

(f(d1, . . . , dn) d),

pelas regras da identidade. Logo, fA : An A, fA(c1, . . . ,cn) =c talque (f(c1, . . . , cn) c) T, esta bem definida.

Fato: Para toda -sentenca , A sse T.A prova e feita por inducao em l(). So provaremos o caso = x(deixamoso resto da prova como exerccio para o leitor). Suponha que A x; logo,existec A tal que A [c], donde A xc . Daqui xc T, por hipotese deinducao. Mas Txc x, logo x T.

Suponha agora quex T; comoC e um conjunto de testemunhas, existec Ctal que (x xc ) T (pois T e maximal), logo

xc T. Por hipotese

de inducao obtemos A xc , donde A [c] parac A. Daqui A x. Istoconclui a prova do Fato.

Portanto: A e um modelo de T onde todo elemento de A interpreta algumaconstantec C. Isto conclui a prova do Lema.

Lema 2.8 Seja C= um conjunto de constantes em L, e T um conjunto desentencas de L. Se T tem um modelo A tal que todo a A interpreta algumac C, entao Tpode ser estendido a um conjunto T em L consistente tal queC e um conjunto de testemunhas.

Demonstracao: Seja T ={ SENT() : A }.E claro que T T, pois A T. Por outro lado, T e consistente (por

definicao). Seja uma formula com (no maximo) a variavel x livre.Se A xentao A x xc para toda c C, donde T

x xcpara qualquer c C.

Se A x entao A [a] para algum a A. Por hipotese, existe c Ctal que cA = a. Daqui A xc , donde A x

xc . Daqui T

x xcpara algum c C.Isto prova que C e um conjunto de testemunhas para T em L.

Teorema 2.9 (Completude estendida) Seja um conjunto de sentencas de L.Entao e consistente sse tem um modelo.

Demonstracao: ) Obvio.) Suponha que e consistente. Considere, pelo Lema 2.6, uma extensaoconsistente de em L tal que tem testemunhas em L. Pelo Lema 2.7,seja A um modelo de (na linguagem L). Considere o reduto B de A em L(isto e: B e A esquecendo dos smbolos novos de ). Dado que as sentencasde pertencem a L, entao B e um modelo de .

A partir de agora, denotaremos a cardinalidade de um conjunto X por X.

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Corolario 2.10 Toda teoria consistente em L tem um modelo de cardinalidade L.

Demonstracao: Na prova anterior podemos escolher A tal que todo a A

interpreta uma constante c C, sendo que C = L. Logo B = A C =L= L. Isto prova o corolario.

Em particular: se uma sentenca (numa linguagem enumeravel) tem ummodelo, entao tem um modelo no maximo enumeravel (Lowenheim, 1905).

Teorema 2.11 (Completude de Godel) Uma sentenca e teorema sse e valida.

Demonstracao: ) Facil.

) Suponha que e uma sentenca tal que , logo {} e consistente (pois implica que {} e consistente). Daqui, pelo Teorema 2.9, existe ummodelo A tal que A , isto e, nao e valida.

Teorema 2.12 (Compacidade) Um conjunto de sentencas tem um modelosse todo 0 finito tem um modelo.

Demonstracao: ) Obvio.) Se todo 0 tem modelo entao, pelo Teorema 2.9, todo 0 finito econsistente. Como toda prova e finita, inferimos que e consistente. Usandonovamente o Teorema 2.9 inferimos que tem um modelo.

Corolario 2.13 Se uma teoria Ttem modelos finitos arbitrariamente grandes,entao Ttem um modelo infinito.

Demonstracao: Seja T com modelos finitos arbitrariamente grandes. Esten-demos a , onde e obtida de acrescentando o conjunto{cn : n N}de constantes novas, com cn=cm se n=m.

Seja = T {(cn cm) : n < m, n,m N}. Seja 0 finito, e{c0, . . . , cm} um conjunto de constantes que contem todas as constantesci queocorrem em 0. Seja A uma estrutura finita com, no mnimo, m + 1 elementosa0, . . . , am satisfazendo T (A existe, por hipotese). Seja A

=A; a0, . . . , am a

-estrutura tal que cA

i =ai se i m, e cA

i =a0 parai > m. E claro que A eum modelo para 0. Ou seja: todo subconjunto finito de tem um modelos.

Pelo teorema da compacidade, existe um modelo A para . Como A (cn cm) para n < m, entao cAn =c

Am para n=m. Logo {c

An : n N} A

e infinito, donde A e um modelo infinito. Tomando o reduto Bde Aa temosque B e um modelo infinito para T.

Corolario 2.14 (Lowenheim-Skolem-Tarski)Se Ttem modelos infinitos, entaoTtem modelos de cardinalidade para todo L.

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Demonstracao: Dado L, seja L a linguagem sobre a assinatura

obtida de acrescentando a Co conjunto {c : } de constantes novas,

onde c = c se = . Observe que L

= (pois L ). Considere = T {(c c) : , , = }. Todo 0 finito envolve finitasconstantes c, logo qualquer modelo infinito de T (que existe, por hipotese)pode ser estendido a um modelo de 0. Pelo teorema da compacidade, existeum modelo A de tal que, pelo Corolario 2.10, podemos supor que A tem

cardinalidade A L = . Por outro lado, A (c = c) se = , logo

cA =cA se =; daqui A , donde A= .

Exemplo 2.15 A teoria de numeros completa e a teoria

T N={ SENT() : N, +, , s, 0 }

onde e a assinatura da aritmetica de Peano de primeira ordem (N, +, , s, 0e portanto uma estrutura para ). Observe que T N e uma teoria consistente emaximal, isto e, completa. Ou seja, T N ou T N para todo sentenca de .

Corolario 2.16 (Skolem, 1934) Existem modelos nao-standard da teoria denumeros completa.

Demonstracao: T Ntem um modelo infinito, a estrutura standard N, +, , s, 0.Pelo teorema anterior, T Ntem modelos de cardinalidade para todo 0.

Claramente, um modelo de cardinalidade > 0 e um modelo nao-standard, naoisomorfo a N, +, , s, 0.

2.2 Metodo de Diagramas

Seja A um modelo para L = L. Expandimos L a LA = LA , onde A e aassinatura obtida de acrescentando o conjunto {ca : a A} de constantesnovas, e ca = cb se a = b em A = |A|. Expandimos A para um modeloAA= A; aaA para LA, onde cAAa :=a.

Definicao 2.17 Com a notacao anterior, definimos o diagrama deA, denotadopor

A

, como sendo

A= { : ( e sentenca atomica de LA ou= , onde e sentenca atomica de LA)e AA }.

Podemos generalizar LA: se X A, entao definimos LX := LX onde Xe obtida de acrescentando as novas constantes {ca : a X}. Definimostambem a X-estruturaAX :=A; aaX. SeB e um modelo de L eh : XBe injetora, entaoB; h(a)aX e a expansao de B para um modelo de LX, onde

ca e interpretada como h(a) (para todo a X).

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Proposicao 2.18 Sejam A,B modelos para L. Entao A e isomorficamentemergulhavel em Bsse Bpode ser expandida a um modelo do diagrama de A.

Demonstracao: Seja h um isomorfismo entre A e B|h(A). Seja Bh(A) :=

B; h(a)aA. Observe que, se e um termo fechado de LA, entao h(AA) =

Bh(A) (pode ser provado por inducao na complexidade l() de ). Seja umasentenca atomica de LA da forma P(1, . . . , n). Entao:

AA sse (AA1 , . . . ,

AAn ) P

A sse (h(AA1 ), . . . , h(AAn )) P

Bh(A)

sse (Bh(A)1 , . . . ,

Bh(A)n ) P

Bh(A) sse Bh(A) .

Logo Bh(A) e um modelo de A, e Bh(A) e uma expansao de B.Reciprocamente, seja B = B; h(a)

aA uma expansao de B que e um

modelo de A (observe que toda expansao de B para um modelo de LA e daforma B = B; h(a)aA para alguma funcao h : A B). Entao h e umisomorfismo entre A e B|h(A) (deixado como exerccio para o leitor).

Corolario 2.19 Assumamos que nao tem smbolos de funcoes nem de cons-tantes (isto e, C= Fn= para todon 1). SejaTuma teoria e A um modelopara L. Entao A e imersvel num modelo de T sse todo submodelo finito deA e imersvel em algum modelo de T.

Demonstracao: ) Obvia) Suponha que todo A0 A finito e mergulhavel em algum modelo de T.Provaremos que :=T A e consistente. Se 0 e finito, entao 0contemum numero finito de constantes novas, digamos ca1, . . . , can . Dado que naotem funcoes nem constantes, entao o conjunto finito A ={a1, . . . , an}gera umsubmodelo finitoA de A. Seja B um modelo de Ttal que A esta mergulhadoem B (B existe por hipotese).

E claro que 0 TA . Com efeito, se e uma sentenca atomica de0 na linguagem LA tal que A , entao e sentenca atomica de LA tal queA , donde A . Analogamente para o caso em que e da forma ,com sentenca atomica. Pela Proposicao 2.18, considerando A e B, temosque B pode ser expandida a um modelo B de A (pois A

e mergulhavel emB). Daqui vemos que B e um modelo de T A (pois B

e modelo de T).Como 0 T A , entao B

e modelo de 0 (note que B e estrutura para

a linguagem LA). Em resumo: todo 0 finito tem um modelo.Pelo teorema da compacidade, tem um modelo B (na linguagem LA).

Seja B o reduto de B para L. Entao B e um modelo de T. Como B podeser expandida para um modelo do diagrama de A (a estrutura B) entao, pelaProposicao 2.18, A e mergulhavel em B, um modelo de T.

Lembremos que um corpo K tem caracterstica p N (onde p N e ne-

cessariamente primo) se p.1 =

p vezes

1 + . . . + 1 = 0. Por outro lado, se p.1= 0 para

todo primo p, entao K tem caracterstica 0.

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Corolario 2.20 Seja uma assinatura (para a teoria de corpos) contendoapenas os seguintes smbolos: F2 ={+, } e C={0, 1}. Seja T uma teoria na

linguagem L que tem como modelos corpos de caractersticap >0 arbitraria-mente grande , isto e: para todo p existe um corpo A de caracterstica p talque A T. Entao Ttem um modelo que e um corpo de caracterstica 0.

Demonstracao: Considere a abreviatura p.1 denotando o termo

p vezes 1 + . . . + 1

de L (p primo positivo). Seja T o conjunto de axiomas usuais da teoria decorpos na linguagem L, e defina

:= T T {(p.1 0) : p e primo, p >0}.

Se 0 e finito, entao 0 envolve finitos primos p; seja p o maximo deles.

Seja A um modelo de T que e um corpo de caracterstica > p (A existe, porhipotese). Logo A e um modelo de T, portanto A e um modelo de 0.

Por compacidade, tem um modelo. Este modelo e um corpo de carac-terstica 0, e e um modelo de T.

Isto prova que a classe M dos corpos de caracterstica = 0 nao e axioma-tizavel na linguagens dos corpos. Caso contrario, suponha queT e um conjuntode axiomas para M (isto e: A T sseA e um corpo de caracterstica = 0). PeloCorolario 2.20, existe um modelo de T de caracterstica 0. Mas esse modelo,por satisfazer T, devia ser um corpo de caracterstica = 0, uma contradicao.No Corolario 3.9 provaremos que a classe dos corpos de caracterstica 0 e ax-

iomatizavel, mas o conjunto de axiomas nao pode ser finito.

Definicao 2.21 Umcorpo ordenado e uma estrutura

F, +, , 0, 1,

tal que F, +, , 0, 1 e um corpo e F, e um conjunto linearmente ordenado,isto e, para todo x,y , z F:

x x;

x y e y x implica x= y;

x y e y z implica x z;

x y ou y x;

x y implica x + z y + z;

x y e 0 z implica x z y z.

Seja CO a assinatura (para a teoria de corpos ordenados) contendo apenasos seguintes smbolos: F2 = {+, }; P2 = {}; e C = {0, 1}. Entao um corpoordenado e uma CO -estrutura satisfazendo os axiomas obvios. Por exemplo,

R e Q (com a ordem usual) sao corpos ordenados.

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Definicao 2.22 Um corpo ordenado F, +, , 0, 1, e arquimediano se, para

todo a, b > 0, existe m N+ tal que m.a > b (onde m.a denota

m vezes

a + . . . + a ex > y denota neste contexto (x y)). A propriedade de ser um corpo ordenado arquimediano nao e expressavel emlogica de primeira ordem, como provaremos a seguir (observe que existem >0tal que m.a > b nao e uma expressao de primeira ordem).

Corolario 2.23 Corpo ordenado arquimediano nao e expressavel na logicade primeira ordem.

Demonstracao: Considere a seguinte classe de CO -estruturas:

COA= {A CO -Str : A e um corpo ordenado arquimediano}.

Suponha que existe um conjunto de sentencas na linguagem L(CO) tal queA sse A COA. Considere a assinatura obtida de CO acrescentandouma nova constante c. Seja L = L e

o conjunto de sentencas de L dadopor = {(m.1 c) : m N}. Se 0

e finito entao R; a 0, sea R satisfaz: a m para todo m envolvido em 0 (se nenhuma formula daforma (m 1 c) ocorre em 0 entao basta tomar a 0). Logo, todo 0

finito tem modelo.Pelo teorema da compacidade, tem um modelo

A= F, +, , 1, 0, ; b.

Logo, A , dondeF, +, , 1, 0, e um corpo ordenado arquimediano. ComoA (m.1 c) para todom 0, entao 1.1A cA, isto e, 1 b. Logo: existem a(= 1) eb(= cA) em F, positivos tais quem.a bpara todom 0, contrariandoo fato de A ser arquimediano. Logo, nao pode existir uma axiomatizacao deCOAna logica de primeira ordem.

Observacao 2.24 O leitor possa talvez ficar em duvida sobre a interpretacaodo resultado anterior. De fato, apenas provamos que a classe COA dos corposordenados arquimedianos nao pode ser caracterizada por um conjunto de ax-iomas na linguagemL(CO). Nao seria possvel caracterizar COA utilizando

uma assinatura (de primeira ordem) apropriada? Nao sera que a inexistencia deaxiomas para C OA e devida a falta de expressividade da assinatura escolhida?Se analizamos com cuidado a prova do Corolario 2.23, veremos que a respostae nao.

Com efeito, se fosse uma axiomatizacao de COA numa linguagem L()entao, por forca, a CO -formula (m.1 v0) (para m N

+) deveria poder serrepresentada por uma -formula, dado que e rica o suficiente para expressarCOA. Por exemplo, se nao utiliza uma constante 1 para o neutro do produtoentao (m.1 v0) pode ser expresso por

v1(v2(v1 v2 v2) (

m vezes

v1+ . . . + v1 v0)).24


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Basta substituir na expressao anterior os smbolos de produto, de soma e deordem pelas expressoes correspondentes em para obter uma -formula ex-

pressando (m.1 v0). Portanto, podemos repetir a prova do Corolario 2.23,desta vez utilizando a assinatura .

Outra aplicacao (neste caso, positiva) do teorema da compacidade e a teoriade ordens:

Definicao 2.25 Umconjunto ordenado e um par X, tal que X e um con-junto nao-vazio e X X e uma relacao binaria em X satisfazendo as tresprimeiras propriedades de ordem enunciadas no Exemplo 2.21 de corpos orde-nados (as quais sao facilmente expressaveis numa linguagem de primeira ordem

contendo apenas um smbolo de predicado binario ). Dizemos que X euma ordem total (ou linear ou simples) se adicionalmente vale a quarta pro-priedade de ordem enunciada no Exemplo 2.21 (tambem facilmente expressavelem primeira ordem).

Corolario 2.26 Toda ordem parcial sobre um conjunto Xpode ser estendidapara uma ordem total.

Demonstracao: Seja a assinatura para a ordem parcial que contem apenasum smbolo de predicado binario, e fixe uma ordem parcial em X. ConsidereA= X, um modelo para L. Seja LX :=LX a linguagem obtida de X e

seja AX a X-estrutura obtida de A(veja o paragrafo previo a Definicao 2.17).Seja ={ : e sentenca atomica de LX e AX }. Claramente A( e o diagrama positivode A). Considere

:= {(ca cb) : a=b em X} {},

onde e a sentenca obvia de Lque define uma ordem total. Seja 0 finito,e a1, . . . , an Xos elementos de X envolvidos nas constantes que ocorrem em0. Deixamos como exerccio para o leitor provar, por inducao emn, o seguinte:

Fato: Toda ordem parcial em {a1, . . . , an} pode ser estendida para uma or-

dem total

em{a1

, . . . , an}, isto e: se

ai

aj entao

ai

aj .

A partir do Fato, temos que{a1, . . . , an}, ; a1, . . . , an e um modelo de 0

(se nao ocorre nenhuma ca em 0, entao 0= ou 0 = {}, logo Z, 0nos dois casos). Ou seja, todo subconjunto finito de tem um modelo.

Pelo teorema da compacidade, existe um modelo B= Y, ; daaX para. Nesse modelo, da =c

Ba (um elemento de Y) para todo a X. E obvio que

Y = {da : a X} e um conjunto totalmente ordenado por , e para todoa, b X:

a b implica da db pois B , e

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a=b implica da=db pois B {(ca cb) : a=b em X}.

Seja h : X Y

, h(a) = da; logo h e bijecao. Portanto, a funcao g = h1

:Y Xinduz uma ordem total em X, dada por:

a b sse da db

que estende (confira os detalhes).

3 Axiomatizacao e Equivalencia Elementar

Estamos em condicoes de analisar questoes de expressabilidade das linguagensde primeira ordem.

Definicao 3.1 a) Seja SENT() uma colecao de sentencas na linguagemL= L. A colecao demodelos de, isto e, a classe das -estruturas A tais queA , e definida por

M OD() ={A -Str : A }.

b) Seja M -Str uma colecao de estruturas sobre . A teoria de M e acolecao de -sentencas

T h(M) ={ SENT() : A para toda A M}.

Quando nao houver risco de confusao, omitiremos o ndice . EscreveremosM OD() para M OD({}) e T h(A) para T h({A})

Proposicao 3.2

(i) M OD() =

M OD().

(ii) T h(M) =AM

T h(A).

(iii) implicaM OD() M OD().(iv)M M implicaT h(M) T h(M).(v) T h(M OD()) e M OD(T h(M OD())) =M OD().(vi)M M OD(T h(M)) e T h(M OD(T h(M))) =T h(M).

Demonstracao: Exerccio.

Definicao 3.3 Seja M -Str.(i) Dizemos que M e axiomatizavel na linguagemL se existe SENT()tal que M = M OD().(ii) M e finitamente axiomatizavel (em L) se M = M OD() para SENT() finito.(iii) Um conceito matematico e expressavelna linguagem L se a classe de es-truturas que e a sua referencia e axiomatizavel em L.

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Observacoes 3.41) Se e uma sentenca logicamente valida (por exemplo, x(x x)) entao

-Str = M OD() e = M OD(). Portanto e -Str sao (finitamente)axiomatizaveis.2) M OD({1, . . . , n}) =M OD(1 . . . n), portanto finitamente axioma-tizavel equivale a axiomatizavel por uma sentenca.

Proposicao 3.5 M e axiomatizavel sse M = M OD(T h(M)).

Demonstracao: ) Obvio.) Se M e axiomatizavel, entao M = M OD() para algum SENT().Logo, pela Proposicao 3.2 (v), aplicando M OD(T h()) nos dois membros daigualdade acima, obtemos:

M OD(T h(M)) =M OD(T h(M OD())) =M OD() =M.

Proposicao 3.6 M OD(T h(M)) e a menor classe axiomatizavel que contemM, isto e: se M M1 e M1 e axiomatizavel, entao M OD(T h(M)) M1.

Demonstracao: Se M M1 entao T h(M) T h(M1), pela Proposicao3.2 (iv). PortantoM OD(T h(M)) M OD(T h(M1)), pela Proposicao 3.2 (iii).

Observacao 3.7 M nao e axiomatizavel sse existe B tal que: B T h(M) eB M(isto e: M M OD(T h(M))).

Proposicao 3.8 Se M = M OD() e M e finitamente axiomatizavel, entaoexiste 0 finito tal que M = M OD(0)

Demonstracao: Suponha que existe uma sentenca tal que M:= M OD() =M OD(). Logo, para toda A:

A sse A . ()

Em particular (usando a parte somente se) temos que . Pelo teoremada compacidade, existe 0 finito tal que 0 (e facil provar que oTeorema da Compacidade equivale a: se {} e um conjunto de sentencase , entao existe 0 finito tal que 0 ). Suponha que 0 ={1, . . . , n}. Se A entao, por (), A ; em particular A i para todo i,donde M OD() M OD(0). Dado que 0 entao M OD(0) M OD(),portanto M = M OD() =M OD(0).

Corolario 3.9 Corpo de caracterstica 0 e axiomatizavel mas nao e finita-mente axiomatizavel.

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Demonstracao: Considere a assinatura para a teoria de corpos (veja oCorolario 2.20). Seja o conjunto de axiomas usuais de corpo na linguagem

L, e

= {(p.1 0) : p e primo, p >0}. E claro que M:= M OD(

) ={F, +, , 1, 0 : F e corpo de caracterstica 0}.Por outro lado, suponha que existe alguma sentenca na linguagem dos cor-

pos L tal que M= M OD(). Pela Proposicao 3.8 temos que existe 0

finito tal que M OD(0) = M. Mas 0 envolve finitos primos p1, . . . , pn, por-tanto, se p > pi (i = 1, . . . , n), entao Zp, +, , 1, 0 0. Mas Zp, +, , 1, 0 M, pois Zp tem caracterstica p, uma contradicao.

Corolario 3.10 A propriedade de ser conjunto infinito e axiomatizavel, masnao e finitamente axiomatizavel.

Demonstracao: Considere, para cada n >1, a sentenca

n:= v1 . . . vni=j

(vi vj)

na linguagem L com = . Logo, A n sse A tem mais de n elementos.Seja ={n : n >1}. Entao A sse, para todo n > 1, A tem mais de nelementos, sse A e infinito. Portanto M := M OD() {A : Ae um conjuntoinfinito} (escrevemos no lugar de = porque, em rigor, as -estruturasnao sao conjuntos, mas pares ordenados A, tais que A e um conjunto nao-vazio e e a funcao vazia). Se existisse uma sentenca tal que M = M OD()entao, pela Proposicao 3.8, existiria 0 finito tal que M= M OD(0).

Suponha que 0 = {n1, . . . , nk}, e seja m > ni (i = 1, . . . , k). Logo,Am = {1, . . . , m}, e um modelo de 0. Mas |Am| e finito, uma contradicao.

Corolario 3.11 A propriedade de ser conjunto finito (e nao-vazio) nao e ax-iomatizavel.

Demonstracao: Suponha que existe um conjunto de sentencas (na lin-guagem L com = ) tal que M := M OD() {A : A e um conjuntofinito nao-vazio}. Seja = {n : n > 1} (onde n e como na prova docorolario anterior). Seja

0 finito e seja n= M ax{n : n

0}. Logo,

A = {1, . . . , n+ 1}, e um modelo de 0. Isto e, todo subconjunto finito de tem modelo.

Pelo teorema da compacidade, existe um modelo A = A, de . Logo,A M OD() M OD({n : n > 1}). Assim, A e finito e A e infinito, umacontradicao.

Observacao 3.12 O leitor poderia novamente questionar os dois ultimos re-sultados, na mesma linha de raciocnio da Observacao 2.24. Ou seja, talvezse usassemos uma assinatura nao-vazia entao seria possvel axiomatizar comuma unica sentenca os conjuntos infinitos e/ou axiomatizar os conjuntos finitos

(nao-vazios). De fato, o Axioma do Infinito da Teoria de Conjuntos ZF de

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Zermelo-Fraenkel e uma sentenca que, entre outras coisas, define os conjuntosinfinitos! E tambem existem diversas caracterizacoes (em ZF) de conjuntos

finitos!Observe que esse raciocnio esta errado. Os modelos deZ F nao saoconjun-tos, mas pares A, Eem que EA Ainterpreta a relacao de pertinencia nouniverso A. Ou seja, os modelos nao sao meramente conjuntos, mas conjuntosmunidos de uma estrutura adicional.

Por outro lado, a propria nocao de estrutura de primeira ordem nos forcaa considerar a assinatura vazia para poder falar apenas em conjuntos, pois

justamente um conjunto e, por definicao, um conjunto sem qualquer estruturaalgebrico-relacional.

4 Omissao de Tipos e Teoremas de Interpolacao

Nesta secao trabalharemos com conjuntos de formulas nas variaveis x1, . . . , xn,denotados por (x1, . . . , xn). Isto significa: se entao toda variavelque ocorre livre em pertence ao conjunto {x1, . . . , xn}. Se e da forma(x1, . . . , xm, xm+1, . . . , xn), usaremos a notacao (c1, . . . , cm, xm+1, . . . , xn) pa-ra x1c1 . . .

xmcm

. Para simplificar a leitura, utilizaremos a seguinte notacao adi-cional:

a representara indistintamente uma sequencia finita a1 . . . an em A ouuma n-upla (a1, . . . , an) A

n;

xrepresentara an-upla de variaveis (x1, . . . , xn); por exemplo, escrevere-mos (x) e (x) no lugar de (x1, . . . , xn) e (x1, . . . , xn);

por outro lado, escreveremos xe xno lugar de x1 . . . xne x1 . . . xn,respectivamente.

Em todos os casos, o contexto servira para desambiguar a expressao x e a.

4.1 Omissao de Tipos

Definicao 4.1 Seja = (x) F OR(L), e A uma -estrutura. Dizemosque A realiza se existe a An tal que A [a] para toda . Dizemos

que A omite se A nao realiza ; isto e, para toda a An

existe talque A [a]. Dizemos que e satisfatvel emA se A realiza . Finalmente,dizemos que e consistentese e satisfatvel em alguma A.

Exemplo 4.2 Seja T a aritmetica de Peano de primeira ordem, e (x) o con-junto (x) = {(0 x), (S(0) x), (S(S(0)) x), . . .} T. Dada umaestrutura A, temos que a A e um numero natural nao-standard se a realiza(x) (isto e, A realiza (x) com x a).

Exemplo 4.3 SejaTa teoria de corpos ordenados (ver Definicao 2.21), e con-sidere (x) = {(1 x), (1 + 1 x), (1 + 1 + 1 x), . . .} T. Dada A, entao

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a A e infinito positivo se a realiza (x). Um corpo ordenado A omite (x)sse e arquimediano (lembre que, de acordo com o Corolario 2.23, a classe C OA

nao e expressavel em primeira ordem, logo A

omite (x) nao e expressavelem primeira ordem). Observe que Q, e R, omitem (x) (pois sao ar-quimedianos).

Exemplo 4.4 Seja Ta teoria de grupos abelianos, e (x) ={(x 0), (2.x0), (3.x 0), . . .} T. Dado um grupo abeliano G, entao a G realiza (x)sse a temordem infinita. Os grupos abelianos que omitem (x) sao os gruposde torsao. Assim, se G e de torsao entao, para todo a G, atem um multiplofinito que vale zero.

Exemplo 4.5 Seja Ta teoria de ordem parcial, (x < y) a formula denotando

(x y) (x y), e = {(x1 < x0), (x2 < x1), (x3 < x2), . . .} T ( usainfinitas variaveis). Uma ordem parcial A omite sse A e uma ordem bemfundada. Uma ordem linear (isto e, total) omite sse e uma boa ordem.

Definicao 4.6 Por umtipo (x) nas variaveis x1, . . . , xn entendemos um con-junto maximal consistente de formulas de L nas variaveis x1, . . . , xn. DadosA ea An, o conjunto (x) = {(x) : A [a]} e um tipo, de fato o unicotipo realizado poraem A(exerccio para o leitor). Este e chamado o tipo deaemA.

Exemplo 4.7 SejaA o corpo ordenado dos numeros reais. Sea =b entaoa e btem diferentes tipos. Com efeito: Se a < bentao exister Q tal quea < r < b(podemos supor quer = 0). Logo, a satisfazx < r, masb nao. Daqui, A realiza20 tipos diferentes numa variavel (um tipo para cada a R). Com efeito: Sea < r < b, com r Q, considerer(x) dada por:

r(x) :=z((m.z n.1) (x < z)) se r= n

m, n, m >0

ou

r(x) :=zw((m.z n.1) (z+ w 0) (x < w)) se r=n

m , n, m >0.

Daqui: A r[a] mas A r[b]

Queremos resolver a questao seguinte: em quais circunstancias um conjuntode formulas e realizado por algum modelo de uma teoriaT? Eis a resposta:

Proposicao 4.8 Seja Tuma teoria e = (x). Sao equivalentes:(i) T tem um modelo que realiza ;(ii) todo 0 finito e realizado em algum modelo de T;(iii) T {x(1 . . . m) : m N, 1, . . . , m } e consistente.

Demonstracao: Usando o teorema da compacidade (Exerccio).

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Definicao 4.91) Uma formula (x) e consistente com uma teoria T se existe um modelo A

de T que realiza{}.2) Um conjunto de formulas (x) econsistente comT seTtem um modelo querealiza .

Logo, qualquer uma das condicoes (i)-(iii) da Proposicao 4.8 equivale a ser consistente com T. Agora queremos resolver a seguinte questao: em quaiscircunstancias um conjunto (x) e omitido em algummodelo de T?

Agora nao basta o teorema da compacidade. Observe que, se e finito, entao e omitido e expressado por uma sentenca. De fato, se = {1, . . . , m},seja = x1 . . . xn(1 . . . m). Entao e expressam, respectivamente,que e realizado ou omitido (logo, podemos usar a Proposicao 4.8).

Definicao 4.10 Seja (x) um conjunto de L-formulas. Uma teoria T em Lrealiza localmente se existe uma L-formula (x) tal que:

(i) e consistente com T;(ii) Para toda , T (isto e: toda sequencia finita anum modelo

de Tque satisfaz realiza ).Dizemos que Tomite localmente se T nao realiza localmente . Isto equivaleao seguinte: para toda (x) consistente com T, existe tal que econsistente com T.

Proposicao 4.11 Seja T teoria completa em L, e (x) um conjunto de L-

formulas. Se T tem um modelo que omite , entao T omite localmente .Logo, seT realiza localmente entao nao existe um modelo de Tque omita .

Demonstracao: Provaremos: se T realiza localmente , entao todo modelode Trealiza . Assim, assuma que Trealiza localmente , e seja Aum modelode T. Seja (x) satisfazendo os items (i) e (ii) da Definicao 4.10.

ComoT e completa e e consistente comT, entaoT x. Caso contrario,isto e, se Tx, entao T x, pois T e completa, donde

T x. ()

Como (x) e consistente com T, existe B eb e Bn tal que B T e B [b].Mas, por (), como B T, entao B x, donde B [b] isto e, B [b],uma contradicao.

Portanto, T x. Como A T, entao existe a An tal que A [a].Dado que satisfaz o item (ii) da Definicao 4.10, temos que a satisfaz toda , isto e, arealiza em A.

O Teorema de Omissao de Tipos e uma recproca da proposicao anterior.

Teorema 4.12 (Teorema de Omissao de Tipos) SejaTuma teoria consistentenuma linguagem enumeravel L, e seja (x) um conjunto de L-formulas. Se T

omite localmente , entao Ttem um modelo enumeravel que omite .

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Demonstracao: Provaremos o caso = (x), por simplicidade de notacao.Assuma que Tomite localmente (x).

Seja C = {c0, c1, . . .} um conjunto enumeravel de constantes novas, e L

alinguagem obtida de L acrescentando o conjunto C de constantes; logo L eenumeravel.

Seja0, 1, 2, . . .uma enumeracao das sentencas deL; construiremos uma

sequencia de teorias

T =T0 T1 T2 . . . Tm . . . (m N)

tal que, para todo m N:

(1) Tm e uma teoria de L consistente, sendo uma extensao finita de T;

(2) m Tm+1 ou m Tm+1;

(3) Se m =x(x) e m Tm+1, entao (cp) Tm+1 onde cp e a primeiraconstante que nao ocorre em Tm nem em m;

(4) Existe m(x) (x) tal que m(cm) Tm+1.

Construcao de Tm+1: Assuma Tm ja definido (m 0), onde T0 := T.Suponha que Tm = T {1, . . . , r} com r > 0 e cada i sendo uma sentenca

(se m = 0, tome 1 T e r= 1; se T =, o resultado e obvio).Seja c0, . . . , cn a lista das primeiras n+ 1 constantes de Ccontendo todasas constantes de := 1 . . . r. Seja

(x0, . . . , xn) := c0x0

. . .cnxn , isto e, aformula de L obtida de substituindo ci por xi (e renomeando as ocorrenciaslimitadas de xi tais que ci ocorre no escopo de xi). Por exemplo

. . . xi(. . . P (xi, . . . , ci) . . .) . . . vj(. . . P (vj , . . . , ci) . . .)

. . . vj(. . . P (vj, . . . , xi) . . .).

Seja (xm) =

x0 . . . xm1xm+1 . . . xn se m n

x0 . . . xn se m > n(um sentenca)

.

E possvel provar que (xm) e consistente com T(exerccio para o leitor).Logo, por hipotese (T omite localmente ), existe m(x) tal que

(xm) m(xm) e consistente com T. Defina T0m+1:= Tm {m(cm)}.Observe que T0m+1 e consistente (satisfaz (1)), e satisfaz (4). Se m e

consistente com T0m+1, defina T1m+1 := T

0m+1 {m}; caso contrario, defina

T1m+1 := T0m+1 {m}. Note que T

1m+1 satisfaz (1),(2) e (4). Agora temos

dois casos para analizar:

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Caso 1: Se m e da forma x(x), e m T1m+1. Isto e, m = x(x) e con-sistente com T0m+1. Sejacp a primeira constante que nao ocorre em Tm {m}

(notar que sao finitas as constantes ocorrendo em Tm {m}). Defina nestecaso Tm+1:= T1m+1 {(cp)}.Caso 2: Sem=(x) oum = x(x)T1m+1. Entao definaTm+1:= T

1m+1.

Observe que, nos dois casos, Tm+1 satisfaz os requerimentos (1)-(4).Fim da construcao de Tm+1.

Seja T :=mN

Tm.

ComoTi Ti+1e cadaTi e consistente, por (1), entaoT e consistente. Poroutro lado, se e uma sentenca de L tal que T, seja m tal que = m.Logo m Ti para todo i, em particular m Tm+1; por (2), m Tm+1,donde T. Daqui T e completa.

Seja B = B; b0, b1, . . . um modelo enumeravel de T (existe, pois T econsistente e L e enumeravel). Note que, em particular, B poderia ser finito.

Seja A =A; b0, b1, . . . o submodelo de B gerado por {b0, . . . , bn . . .}, isto e:

A =M in{B B : {b0, b1, . . .} |B|}. Provaremos que|A|= {b0, b1, . . .}.

Para isso, basta provar que f|{b0,b1,...}n :{b0, b1, . . .}n {b0, b1, . . .} para toda

f Fn e para todo n 1.Seja entao f Fn e (bi1, . . . , bin) {b0, b1, . . .}

n. Considere (x) comosendo a formula (f(ci1, . . . , cin) x). Dado que x(f(ci1, . . . , cin) x),entao T x(x). Por outro lado, existe mtal que m = x(x).

Se m Tm+1 entao, por (2), m Tm+1, donde m T. Daquim, m T, uma contradicao (lembre que T e consistente). Portantom = x(x) pertence a Tm+1 donde, por (3), (cp) Tm+1 para algum

p. Isto e: (f(ci1 , . . . , cin) cp) Tm+1, logo B (f(ci1 , . . . , cin) cp). Daqui

fB

(bi1, . . . , bin) =bp {b0, b1, . . .}. Portanto|A|= {b0, b1, . . .}.

Por inducao na complexidade da sentenca L, provaremos a seguir:

1) A sse B , isto e:

(A e B ) ou (A e B ) ()

2) B sse T .

Prova de 1): So provaremos o caso = x(x) (os outros casos sao deixadoscomo exerccio). Suponhamos que = m =x(x). Logo, temos dois casospara analizar:

1.1) m Tm+1 T.Temos que B T, logo B

m. Por (3), (cp) Tm+1 para algum cp,

portanto B (cp) (pois B T) donde, por hipotese de inducao, A

(cp).

Logo A m. Daqui: B m e A

m, logo B

m sse A

m, por ().

1.2) m = x(x) Tm+1. Logo, por (2), m = x(x) Tm+1 T.

Portanto B

m (pois B

m). Se A

m entao existe bi tal que

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A (x)[bi], logo A (ci) e entao, usando a hipotese de inducao, B

(ci).

Logo B m, uma contradicao. Daqui inferimos que A m, portanto

B

m eA

m. Por () obtemosB

m sseA

m.

Prova de 2): Suponha queT ; logo B , pois B T. Por outro lado,

se T entao T , pois T e completa. Logo B (pois B T),

portanto B . Logo, obtemos o resultado desejado: T sse B .

De 1) e 2) inferimos:

A sse B sse T ()

para toda sentenca de L. MasT para toda T, logoA T. Daqui

A, o reduto de A a L, e um modelo de T. Mais ainda, A omite . Com efeito:

por (4), para todo m N existe m(x) (x) tal que

m(cm) Tm+1. ( )

Provaremos o seguinte: para todo m N, A m[bm]. Isto e: A omite (x).Suponha entao que A m[bm] para algum m. Logo A

m(cm), portantoT m(cm), por (). Logom(cm) T, pois T e consistente; em parti-cular, m(cm) Tm+1, o que contradiz ( ). Daqui A m[bm] para todom, donde A omite (x) (pois A= {b0, b1, . . .}).

Logo, seL e enumeravel eT e completa, entao Tomite localmente (x) sse

T tem um modelo omitindo . Em geral:

Corolario 4.13 Seja L = L() enumeravel. Uma teoria T tem um modelo(enumeravel) omitindo (x) sse alguma extensao completa de T omite local-mente (x).

Demonstracao: ) SejaA modelo (enumeravel) deTtal que A omite . SejaT = T h(A) ={ SENT() : A }. Logo T e uma extensao completade T. Dado que A e um modelo de T que omite , entao T omite localmente, pela Proposicao 4.11.) Seja T extensao completa de T tal que T omite localmente (x). Pelo

Teorema de Omissao de Tipos 4.12, existe um modelo enumeravel A de T talque A omite (x). Logo, A e um modelo enumeravel de Tque omite .

Definicao 4.14 Seja L a linguagem da aritmetica onde contem apenas os

smbolos F1= {S},F2= {+, }, eC= {0}. O termo

m vezes S . . . S (0) e denotado por

m; por definicao 0 := 0. Definimos um -modelo como sendo um -modelo Aonde A= {mA : m N}. Dizemos que uma -teoria e -consistentese naoexiste (x) em L tal que:

T (0), T (1), . . . , T (n), . . .

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mas T x(x). Finalmente, dizemos queT e-completase, para toda (x)de L:

T (0), T (1), . . . , T (n), . . .

implica T x(x).

Observe que A e um -modelo sse A omite o conjunto

(x) ={(x 0), (x 1), (x 2), . . .}.

Com efeito: se A e um -modelo e mA A entao existe (x) := (x m) (x) tal que A [mA]. Logo A omite (x). Reciprocamente, se A omite oconjunto (x) e a A entao existe (x m) (x) tal que A (x m)[a],

portanto a = mA para algum m.

Proposicao 4.15 Seja T teoria consistente em L ( como acima).(i) Se T e -completa, entao T tem um -modelo.(ii) Se T tem um -modelo, entao T e um -consistente.

Demonstracao: (i) Suponha que T e -completa. Provaremos que T local-mente omite (x) ={(x 0), (x 1), (x 2), . . .}.

Seja entao (x) consistente com T; logo T x(x), donde existe n talque T (n), por -completude. Daqui (n) e consistente com T, e entao(x) (x n) e consistente com T. Ou seja, existe (x n) (x) tal que

(x) (x n) e consistente com T, donde Tomite localmente (x).Pelo teorema de omissao de tipos, Ttem um modelo A que omite , isto e,um -modelo.(ii) Seja (x) tal que T (n) para todo n N. Suponha que T tem um -modeloA. LogoA (n) para todon, dondeA x(x), isto e: A x(x).Daqui Tx(x).

Definicao 4.16 A -regra e a regra de inferencia infinitaria

(0), (1), . . . (n), . . .

x(x)

onde (x) e uma L-formula.A -logica e obtida da logica de primeira ordem acrescentando a -regra

como uma regra de inferencia, e permitindo provas infinitamente compridas.

Provaremos a seguir que a -logica e completa para -modelos.

Proposicao 4.17 (Completude da-logica) Uma teoria T em L e consistentena -logica sse T tem um -modelo.

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Demonstracao: Seja T ={ SENT() : T }, onde T significaque e demonstravel na -logica a partir de T.

Fato 1: T e consistente na -logica sse T e (classicamente) consistente.Fato 2: T omite localmente (x) ={(x 0), (x 1), (x 2), . . .}.

Demonstracao dosFatos: (1) Suponha que T e inconsistente (na logica classica).Logo, existe uma sentenca tal que T e T (na logica classica). Seja uma prova (na logica classica) de a partir de T. Se substituimos em cada ocorrencia de uma premissa pertencente a T por alguma demonstracao (na -logica) de a partir deT, obteremos uma prova

de (na -logica)a partir de T. Logo T . Analogamente, considerando agora uma prova de (na logica classica) a partir de T, obtemos que T . Daqui

inferimos que T e inconsistente na -logica.Reciprocamente, suponha que existe uma sentenca tal que T eT . Daqui , T

, portanto T e inconsistente na logica clasica.

(2) Seja (x) consistente com T. Suponha que

T ((x) (x n)) para todo n N. ()

Entao T x((x) (x n)) para todo n, donde T (n) para todon, onde (y) :=x(x y (x)). Pela -regra, obtemos T y(y), istoe: T yx(x y (x)). Dado que (x x), entao T x(x).

Mas (x) e consistente com T, logo existe A e a A tal que A T e

A

[a]. Como T x(x), entao x(x) T

, donde A x(x); emparticular A [a], uma contradicao.Portanto() e falso, isto e, existe n N tal que T ((x) (x n)).

Daqui inferimos que T ((x) (x n)) (pois T implica T w para toda ; a prova deste fato e deixada como exerccio).

Portanto T {(x) (x n)} e consistente, para alguma formula(x n) (x). Isto prova que T omite localmente (x), e conclui a provados Fatos.

Suponha entao que T e consistente na -logica. Pelo Fato 1, T e consistente(na logica classica). PeloFato 2,T omite localmente (x). Logo, pelo Teorema

de Omissao de Tipos 4.12, T

tem um modelo enumerable A que omite (x).Como T T, entao A e um -modelo de T.Reciprocamente, suponha que T tem um -modelo. Pelo Corolario 4.13

e o teorema de omissao de tipos, existe uma extensao completa T1 de T queomite (x), isto e, com um -modelo. Pela proposicao 4.15 (ii), vemos que T1e -consistente.

Fato 3: Se T1 e -consistente e completo entao, para toda formula : T1 implica T1 .A prova e realizada por inducao transfinita no comprimento de uma prova de na -logica a partir de T1. Observe que basta provar o caso em que

= x(x) obtida de {(0), (1), (2), . . .} pela -regra.

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Nesse caso, (n) e provado a partir de T1 em n < passos (para todon N), logo T1 (n) para todo n (por hipotese da inducao). Como T1 e

-consistente, entaoT1 x(x). ComoT1 e completo ex(x) e sentenca,entaoT1 x(x), isto e, T1 x(x), ou seja,T1 . Isto conclui a provado Fato 3.

Dado que T1 e -consistente e completo, entao, pelo Fato 3: T1 implicaT1 para toda formula . Suponha que T1 e inconsistente na -logica; entaoexiste uma sentenca tal que T1 e T1 . PortantoT1 e T1 ,uma contradicao. Daqui inferimos que T1 e consistente na -logica. ComoT T1, entao T e consistente na -logica.

Exerccio 4.18 SejaA um modelo para a linguagemL da aritmetica, isto e,

L e como na proposicao anterior tal queA x((x 0) y(x S(y))).

a) Provar que, sea A = |A|, entao a= 0A oua= SA(b) para algumb A.

b) Como seria um numero natural nao-standard deA?

4.2 Teoremas de Interpolacao

O principal resultado a ser provado nesta secao e o seguinte:

Teorema 4.19 (Teorema de Interpolacao de Craig) Seja, um par de sen-tencas tais que . Entao existe uma sentenca tal que:

(i) e ;(ii) todo smbolo de relacao, de funcao ou constante (excluindo a identidade) que ocorre em ocorre em e , simultaneamente. (O smbolo podeocorrer em .)

Definicao 4.20 A sentenca no Teorema 4.19 e dita umInterpolante de Craigdo par , .

Exemplos 4.21 Nos seguintes exemplos, e o smbolo ocorre nomaximo em umadas duas sentencas; porem, todo interpolante de Craig leva osmbolo :

(a) e x(P(x) P(x)), e xQ(x);(b) e xQ(x), e x(P(x) P(x));(c) e xy(x y), e xy(P(x) P(y)).

Demonstracao do Teorema 4.19:Suponha que , e um par de sentencasque nao possui interpolante de Craig. Provaremos que , isto e, tem um modelo.

Sem perda da generalidade, nos concentraremos na linguagem enumeravel Lgerada pela assinatura =P, F, C que contem apenas os smbolos de {, }.Seja 1 = P1, F1, C1 a assinatura de , 2= P2, F2, C2 a assinatura de ,

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e 0 = P0, F0, C0 a assinatura comum, isto e:

Pn = P1n P2n, P

0n = P

1n P

2n;

Fn = F1n F2n, F0n = F1n F2n;C = C1 C2, C0 = C1 C2,

()para todo n 1. Sejam L1, L2 e L0 as respectivas linguagens (todas enu-meraveis). Considere C={c1, c2, . . .} um conjunto enumeravel de novas cons-tantes, e L, L1, L

2 e L

0 as linguagens obtidas respectivamente das anteriores

acrescentando em cada uma delas o conjunto Cde novas constantes.

Definicao: Seja T uma teoria em L1 e U uma teoria em L2. Dizemos que

SENT(L0) separa T e U se T e U . Dizemos que T e U saoinseparaveisse nao existe uma sentenca separando T e U.

Com esta definicao, podemos provar o seguinte:

(1) {} e {} sao inseparaveis.

Caso contrario, se (c1, . . . , cn) separa {} e {}, entao sejam x1, . . . , xnvariaveis que nao ocorrem em (c1, . . . , cn). Logo x1 . . . xn(x1, . . . , xn) e (c1, . . . , cn), donde(c1, . . . , cn) , e entaox1 . . . xn(x1, . . . , xn) . Isto e, x1 . . . xn(x1, . . . , xn) SENT(0) e um interpolante para , ,contradicao. Isto prova (1).

Agora considere 0, 1, 2, . . .e 0, 1, 2, . . .enumeracoes de todas as sen-

tencas de L1 e L2, respectivamente. Construiremos duas sequencias de teorias:

{}= T0 T1 T2 . . . ,

{}= U0 U1 U2 . . .

em L1 e L2, respectivamente, tais que:

(2) Tm e Um sao conjuntos finitos de sentencas inseparaveis;

(3) seTm{m} eUmsao inseparaveis, entaom Tm+1; seTm+1e Um{m}sao inseparaveis, entao m Um+1;

(4) se m = x(x) e m Tm+1, entao (c) Tm+1 para algum c C talquec nao ocorre em Tm Um {m, m}; sem = x(x) em Um+1, entao(d) Um+1 para algum d C tal que dnao ocorre em Tm Um {m, m}.

Dados Tme Um, construimos Tm+1 e Um+1 de maneira obvia. Assim,

Tm+1=

Tm se Tm {m}e Um sao separaveisTm {m} se Tm {m}e Um sao inseparaveis

em=x(x)Tm {m, (c)} se Tm {m}e Um sao inseparaveis,

m = x(x) ece nova

.

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Analogamente, Um+1 e da forma: Um, Um {m} ou Um {m, (d)}. Defina

T = mN Tm, U = mN Um. Deixamos como exerccio para o leitor provaro seguinte:Fato 1: Tm e Um sao inseparaveis.

Fato 2: T e U sao inseparaveis.

Fato 3: T e U sao consistentes.

Provaremos agora o seguinte:

(5) T e uma teoria maximal consistente em L

1, e U e uma teoria maximalconsistente em L2.

De fato: T e teoria consistente, pelo Fato 3. Suponha que mT e mT. De m T inferimos que m Tm+1 donde, por (3), obtemos queTm {m} e Um sao separaveis. Logo, existe uma sentenca L

0 tal que

Tm {m} e Um . Daqui T {m} e U e entao, peloTeorema da Deducao,

T (m ) e U . ()

Seja k tal que m = k. Como k T entao k Tk+1 donde, por (3),

Tk {k} e Uk sao separaveis. Usando o mesmo metodo utilizado para provar() obtemos que existe uma sentenca de L0tal queT (k

) e U ,

isto e,T (m

) e U . ()

De () e () inferimos que T e U ( ), uma contradicao (poisT e U sao inseparaveis). Daqui, m T oum T, isto e, T e maximalconsistente. Analogamente provamos que U e maximal consistente. Logo, (5)e verdadeira.

Provaremos agora:

(6) T U e uma teoria maximal consistente em L0.

De fato: T U e consistente em L0, pois T e U sao consistentes. Seja

SENT(0); por (5), T ou T, e U ou U. Como Te U sao inseparaveis (peloFato 2), nao poderiamos ter T e U (ouvice-versa). Daqui T U ou T U, provando (6).

Podemos finalmente construir um modelo de . Seja B 1= B1; b0, b1, . . .um modelo de T (em que B1 e uma estrutura em L1). Por (4) e (5), vemosque A1 = A1; b0, b1, . . . (onde A1 := |A1| = {b0, b1, . . .}) e submodelo de B

1

e A1 T. A prova deste fato e identica a prova realizada no Teorema de

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Omissao de Tipos 4.12. Similarmente, U tem um modelo A2= A2; d0, d1, . . .

com universo A2:= |A2|= {d0, d1, . . .}. Seja Ai o reduto de A

i a

0 (i= 1, 2).

Observe queA1 T U e A

2 T U. ( )

Considere h : A1 A2 dada por h(bi) =di (para todo i N).

Fato 4: h: A1 A2 e um isomorfismo de L

0-estruturas.

Com efeito: seja Pum smbolo de predicado n-ario de L0, e (bi1, . . . , bin) An1 .

Por (6) e ( ) temos que (bi1 , . . . , bin) PA1 sse A1 P(ci1, . . . , cin) sse

P(ci1, . . . , cin) T U sse A2 P(ci1, . . . , cin) sse (h(bi1), . . . , h(bi1)) P

A2 .Seja c uma constante de L0. Entao c

A1 = bi sse A1 (c ci) sse (c ci)

T U sse A2 (c ci) sse c

A2 =h(bi). Daqui h(cA1 ) =h(bi) =c

A2 . Final-

mente, seja f um smbolo de funcao n-ario de L0, e (bi1, . . . , bin) An1 . EntaofA

1 (bi1, . . . , bin) =bk sse A1 (f(ci1, . . . , cin) ck) sse (f(ci1, . . . , cin) ck)

TUsse A2 (f(ci1, . . . , cin) ck) ssef

A2 (h(bi1), . . . , h(bin)) =h(bk).Daquih(fA

1 (bi1, . . . , bin) = h(bk) = fA2 (h(bi1), . . . , h(bin)). Isto conclui a prova do

Fato 4.

Daqui podemos identificarbn com dn, e entao os redutos de A1 e A2 a 0 coin-cidem (pois os redutos A1 e A

2 de A

1 = A1; b0, b1, . . . e A

2 = A2; b0, b1, . . .

a 0 coincidem, pelo Fato 4). Seja A o modelo para L cujo reduto a i e Ai(i= 1, 2). Usando () acima, vemos entao que A esta bem definido. Alem disso,como T entao A . De fato: T, logo A

1 ; mas SENT(1),

logo A1 , donde A . Como U entao, analogamente, provamos queA . Daqui A . Isto conclui a demonstracao.

Veremos a seguir duas aplicacoes do Teorema de Interpolacao de Craig.A primeira analisa as maneiras de definir uma nova relacao. Sejam P e P

dois novos smbolos de relacao n-arios, que nao pertencem a L, e considere aassinatura Pobtida de acrescentando P aPn. Analogamente definimos Pa partir de pelo acrescimo deP, assim como a assinatura P,P que incorporaambos smbolos P e P.

Definicao 4.22 Seja (P) um conjunto de sentencas em L(P), e (P) o

correspondente conjunto de sentencas deL(P) (trocandoP por P). Dizemosque (P) define implicitamenteP se

(P) (P) x1 . . . xn(P(x1, . . . , xn) P(x1, . . . , xn)) (DI)

em L(P,P).

Proposicao 4.23 (P) define P implicitamente sse: se A, R e A, R saomodelos de (P), entao R= R.

Demonstracao: ) Assuma (DI), e sejam A, R, A, R dois modelos de

(P). Daqui A

:= A, R , R

e um P,P

-modelo de (P) (P

), portanto

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A, R , R x(P(x) P(x)), por (DI). Logo, a PA

ssea PA

, isto e:a R sse a R, donde R= R.

) Seja A

=A, R , R

uma P,P

-estrutura, e suponha que A

(P) (P

);logoA, Re A, Rsao modelos de (P), dondeR = R (por hipotese). Daqui

a R ssea R, isto e, a PA

ssea PA

. Logo A x(P(x) P(x)), eentao vale (DI).

Definicao 4.24 Dizemos que (P)define explicitamentePse existe uma formula(x1, . . . , xn) de L tal que

(P) x1 . . . xn(P(x1, . . . , xn) (x1, . . . , xn)) em L(P).

Usando as regras da logica de primeira ordem vemos que, se (P) defineP explicitamente, entao (P) define P implicitamente. Daqui, se (P) naodefine P implicitamente, entao (P) nao define P explicitamente. Logo, pelaproposicao anterior, para provar que (P) nao define P explicitamente bastaarranjar dois modelos A, Re A, R, com o mesmo reduto A para L, tais queR=R. Este e o chamado metodo de Padoa. Provaremos a recproca:

Teorema 4.25 (Teorema de Beth) (P) defineP implicitamente sse (P) de-fine Pexplicitamente.

Demonstracao: Provaremos apenas a parte difcil, somente se.Suponha que (P) define P implicitamente. Seja{c1, . . . , cn} um conjunto den novas constantes. Considere as seguintes assinaturas:

P, P e P,P como antes.

obtida de acrescentando {c1, . . . , cn} como novas constantes.

P obtida de acrescentando o smbolo de predicado P.

P obtida de acrescentando o smbolo de predicado P.

P,P obtida de acrescentando os smbolos de predicado P e P.

Como (P) (P) x(P(x) P(x)) em L(P,P), entao

(P) (P) (P(c1, . . . , cn) P(c1, . . . , cn)) em L(

P,P).

Pelo teorema da compacidade, existem (P) e (P) finitos taisque (P(c1, . . . , cn) P

(c1, . . . , cn)) em L(P,P). Suponha que

={1(P), . . . , r(P)} e ={1(P

), . . . , s(P)}, e seja

(P) :=r

i=1i(P)

s

j=1j(P).

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Logo (P) (P) (P(c1, . . . , cn) P(c1, . . . , cn)). Daqui

(P) P(c1, . . . , cn) em L(P) (P) P(c1, . . . , cn) em L(

P)

.

Pelo teorema de interpolacao de Craig, existe uma sentenca (c1, . . . , cn) de

L() tal que:

(1) (P) P(c1, . . . , cn) (c1, . . . , cn) em L(P), e

(2) (c1, . . . , cn) ((P) P(c1, . . . , cn)) em L(

P).

SeA, R e um modelo para L(P

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