Termodinâmica - Páginas Pessoais - UTFPR
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#3
Condução 1D em Regime Permanente
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 3/125
Sistema Unidimensional (1D): gradientes de temperatura
existem ao longo de uma única direção e a transferência de
calor ocorre exclusivamente nesta direção.
Regime Permanente (RP): condições sob as quais a
temperatura, em cada ponto do sistema, for independente do
tempo.
Apesar de sua simplicidade inerente, os modelos 1D em
RP podem ser utilizados para representar, com precisão,
numerosos problemas da Engenharia.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 4/125
Sumário
A Parede Plana
Distribuição de Temperaturas
Resistência Térmica
A Parede Composta
Resistência de Contato
Uma Análise Alternativa da Condução
Sistemas Radiais
O Cilindro
A Esfera
Resumo dos Resultados da Condução 1D
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 5/125
Condução com Geração de Energia Térmica
A Parede Plana
Sistemas Radiais
Apêndice C do Livro-Texto
Aplicações do Conceito de Resistências
Transferência de Calor em Superfícies Estendidas
Uma Análise Geral da Condução
Aletas com Área de Seção Transversal Uniforme
Desempenho de Aletas
Aletas com Área de Seção Transversal Não-Uniforme
Eficiência Global da Superfície
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 6/125
A Parede Plana
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 7/125
Transferência de calor através de uma placa plana (distribuição de temperaturas).
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 8/125
Distribuição de Temperatura
Em regime permanente, sem a presença de fontes ou
sumidouros de energia no interior da parede, a forma
apropriada da Equação do Calor é:
0
dx
dTk
dx
d
Para condução 1D em RP numa parede plana sem geração de
calor, o fluxo térmico é uma constante, independente de x.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 9/125
se k = cte, a equação pode ser integrada duas vezes, obtendo-
se a solução geral,
As condições de contorno para este problema são:
com isso, tem-se que
21 cxcxT
10 ,sTT 2,sTLT
L
TTc
,s,s 121
12 ,sTc
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 10/125
Substituindo na solução geral, a distribuição de temperaturas é
112 ,s,s,s TL
xTTxT
Para a condução 1D em RP numa parede plana sem
geração de calor e condutividade térmica constante, a
temperatura varia linearmente com x.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 11/125
Utilizando a distribuição de temperaturas e a Lei de Fourier,
tem-se que
21 ,s,sx TTL
kA
dx
dTkAq
21 ,s,sx
x TTL
k
A
A taxa de transferência de calor por condução qx e o fluxo
térmico q"x são constantes, independentes de x.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 12/125
Procedimento Padrão para solução de problemas de
condução
1) Solução geral para a distribuição de temperaturas é obtida
através da resolução da forma apropriada da Equação do
Calor.
2) As condições de contorno são utilizadas para obtenção da
solução particular
3) Lei de Fourier é utilizada para determinação da taxa de
transferência de calor.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 13/125
Resistência Térmica
Caso especial da transferência de calor 1D sem geração interna
de energia e com propriedades constantes.
Analogia entre as difusões de calor e de carga elétrica. Da
mesma forma que uma resistência elétrica está associada à
condução de eletricidade, uma resistência térmica está
associada à condução de calor.
Definição: razão entre um potencial motriz e a correspondente
taxa de transferência.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 14/125
Resistência térmica para condução
Resistência térmica para convecção
kA
L
q
TTR
x
,s,scond,t
21
hAq
TTR s
conv,t
1
Representações na forma de circuitos fornecem uma ferramenta
útil tanto para a conceituação quanto para a quantificação de
problemas da transferência de calor.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 15/125
Circuito térmico equivalente para a parede plana com condições
de convecção nas superfícies.
qx pode ser determinada pela consideração em separado de cada
elemento da rede (qx é constante ao longo da rede)
Ah
TT
kA
L
TT
Ah
TTq
,,s,s,s,s,x
2
2221
1
11
11
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 16/125
Em termos da diferença de temperatura global e da resistência
térmica total, a taxa de transferência de calor pode ser
representada por
sendo que
tot
,,x
R
TTq
21
AhkA
L
AhRtot
21
11
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 17/125
A troca radiante entre a superfície e a vizinhança pode,
também, ser importante se h for pequeno.
Resistência térmica para radiação
Ahq
TTR
rrad
vizsrad,t
1
Nota: as resistências convectiva e radiante em uma superfície
atuam em paralelo, e se T∞ = Tviz, elas podem ser combinadas
para se obter uma resistência na superfície única e efetiva.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 18/125
Parede Composta
Circuito térmicos equivalentes podem ser utilizados em sistemas
mais complexos, como, por exemplo, paredes compostas.
Tais paredes possuem uma quantidade qualquer de resistências
térmicas em série e em paralelo, devido à presença de camadas
diferentes de materiais.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 19/125
Circuito térmico equivalente para uma parede composta em série.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 20/125
A taxa de transferência de calor 1D para esse sistema pode ser
representada por
sendo que
t
,,x
R
TTq
41
AhAk
L
Ak
L
Ak
L
AhR
C
C
B
B
A
At
41
11
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 21/125
Alternativamente, a taxa de transferência de calor pode ser
relacionada à diferença de temperaturas e à resistência
térmica associadas a cada elemento. Por exemplo,
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ah
TTq
B
B
A
A
,s,s,x
3221
1
11
1
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 22/125
Em sistemas compostos, é conveniente definir um coeficiente
global de transferência de calor, U, por uma expressão
análoga à Lei de Resfriamento de Newton.
ou ainda,
UAq
TRR ttot
1
TUAqx
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 23/125
As paredes compostas também podem ser caracterizadas por
configurações série-paralelo. Embora nesse sistema o
escoamento de calor seja multidimensional, é razoável a
hipótese de condições 1D.
Com base nesta hipótese, dois circuitos térmicos diferentes
podem ser usados.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 24/125
Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as
superfícies normais à direção x sejam isotérmicas.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 25/125
Circuito térmico equivalente para uma parede composta série-paralela: considerando que as
superfícies paralelas à direção x sejam adiabáticas.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 26/125
Resistência de Contato
x
BAc,t
q
TTR
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 27/125
A existência de uma resistência de contato não-nula se deve
principalmente aos efeitos da rugosidade da superfície.
A transferência de calor é devida à condução através da área de
contato real e à condução e/ou radiação através dos
interstícios.
Os resultados mais confiáveis para predizer R"t,c são aqueles
que foram obtidos experimentalmente.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 28/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 29/125
Uma Análise
Alternativa da
Condução
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 30/125
Um procedimento alternativo pode ser utilizado para as
condições de interesse no momento.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 31/125
Para condições de RP, sem geração de calor e sem perda de
calor pelas superfícies laterais, a taxa de transferência de
calor qx é necessariamente uma constante independente de x,
ou seja, para qualquer elemento diferencial dx, qx = qx+dx .
Essa condição é, obviamente, uma consequência da exigência
da conservação da energia e deve ser válida mesmo que A(x)
e k(T).
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 32/125
Além disso, mesmo que a distribuição de temperaturas possa
ser 2D, variando em função de x e y, com frequência é
razoável desprezar a variação na direção y e supor uma
distribuição 1D na direção x.
Com isso, é possível trabalhar exclusivamente com a Lei de
Fourier ao efetuar uma análise de condução.
dx
dTxATkqx
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 33/125
Em particular, uma vez que a taxa condutiva é uma constante,
a equação da taxa pode ser integrada, mesmo sem o prévio
conhecimento de qx e de T(x).
x
x
T
T
x dTTkxA
dxq
0 0
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 34/125
Sistemas Radiais
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 35/125
Com frequência, em sistemas cilíndricos e esféricos há
gradientes de temperatura somente na direção radial, o que
possibilita analisá-los como sistemas 1D.
Além disso, em RP sem geração de calor, tais sistemas podem
ser analisados pelo método padrão, que começa com a
forma apropriada da Equação do Calor, ou pelo método
alternativo, que começa com a forma apropriada da Lei de
Fourier.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 36/125
O Cilindro
Cilindro oco com condições convectivas nas superfícies.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 37/125
Distribuição de temperaturas
2
21
221 ,s,s,s T
rrln
rrlnTTrT
A distribuição de temperaturas associadas à condução radial
através de uma parede cilíndrica é logarítmica, não linear.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 38/125
Taxa de transferência de calor
Resistência térmica (condução radial)
12
212
rrln
TTLkq
,s,sr
Lk
rrlnR cond,t
2
12
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 39/125
Distribuição de temperaturas em uma parede cilíndrica composta.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 40/125
44
342312
11
41
2
1
2222
1
LhrLk
rrln
Lk
rrln
Lk
rrln
Lhr
TTq
CBA
,,r
4141
,,
tot
,,r TTUA
R
TTq
1
44332211
tRAUAUAUAU
Taxa de transferência de calor
Coeficiente global de transferência de calor
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 41/125
A Esfera
Condução em uma casca esférica.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 42/125
Distribuição de temperaturas
Taxa de transferência de calor
Resistência térmica (condução casca esférica)
1
2 1 1
1 2
1
1s , s , s ,
r rT r T T T
r r
21
21
11
4
rr
TTkq
,s,sr
21
11
4
1
rrkR cond,t
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 43/125
Esferas compostas podem ser tratadas da mesma forma que as
paredes e os cilindros compostos, onde formas apropriadas
da resistência total e do coeficiente global de transferência
de calor podem ser determinadas.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 44/125
Resumo dos
Resultados da
Condução 1D
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 45/125
21 ,s,s TTT
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 46/125
Condução com
Geração de Energia
Térmica
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 47/125
Neste caso, em nossa análise de condução 1D em RP será
considerada o efeito adicional na distribuição de
temperaturas de processos que podem ocorrer no interior
do meio.
Em particular, deseja-se analisar situações nas quais energia
térmica está sendo gerada devido à conversão de uma
outra forma de energia.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 48/125
Processos de Geração de Energia Térmica
Passagem de uma corrente elétrica através de um meio com resistência elétrica (aquecimento ôhmico, resistivo ou de Joule)
Desaceleração e absorção de nêutrons no elemento combustível de um reator nuclear
Reações químicas exotérmicas ou endotérmicas num meio
Absorção de radiação térmica no interior do meio
2g e
E I Rq
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 49/125
A Parede Plana
Condução 1D em regime permanente numa parede plana com propriedades termofísicas
constantes, com geração de calor uniforme e condições de contorno assimétricas.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 50/125
Distribuição de Temperaturas
A forma apropriada da Equação do Calor é
A solução geral é
As condições de contorno especificadas são
02
2
k
q
dx
Td
212
2cxcx
k
qxT
1,sTLT 2,sTLT
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 51/125
com isso, as constantes de integração são
Neste caso, a distribuição de temperaturas é
O fluxo térmico em qualquer ponto da parede pode ser
determinado por T(x) juntamente com a Lei de Fourier.
L
TTc
,s,s
2
121
22
2122
,s,s TTL
k
qc
22
12
2112
2
22,s,s,s,s TT
L
xTT
L
x
k
LqxT
Com geração o fluxo térmico não é mais independente de x.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 52/125
Condução 1D em regime permanente numa parede plana com propriedades termofísicas
constantes, com geração de calor uniforme e condições de contorno simétricas.
Distribuição de Temperaturas (simetria em relação ao
plano central, Ts,1= Ts,2 ≡ Ts)
sTL
x
k
LqxT
2
22
12
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 53/125
A temperatura máxima está no plano central
sTk
LqTT
20
2
0
2
0
0
L
x
TT
TxT
s
Condução 1D em regime permanente numa parede plana com propriedades termofísicas
constantes, com geração de calor uniforme e superfície adiabática no plano central.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 54/125
Uma situação comum é aquela na qual é a temperatura de um
fluido adjacente, T∞, e não Ts, que é conhecida.
Neste caso, para relacionar T∞e Ts realiza-se um balanço de
energia na superfície.
ou ainda,
TThdx
dTk s
Lx
h
LqTTs
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 55/125
Sistemas Radiais
Condução 1D em regime permanente num cilindro sólido com propriedades
termofísicas constantes e com geração de calor uniforme.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 56/125
Distribuição de Temperaturas
A forma apropriada da Equação do Calor é
Integrando uma vez tem-se que
Repetindo o procedimento, a solução geral é
01
k
q
dr
dTr
dr
d
r
12
2cr
k
q
dr
dTr
212
4crlncr
k
qrT
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 57/125
As condições de contorno são
com isso, as constantes de integração são
Finalmente, a distribuição de temperaturas é
00
rdr
dT sTrT 0
202
4r
k
qTc s
sTr
r
k
rqrT
20
220 1
4
1 0c
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 58/125
A taxa de transferência de calor em qualquer raio no interior
do cilindro pode ser determinada utilizando a distribuição de
temperaturas com a Lei de Fourier.
Para relacionar Ts com T∞, um balanço de energia na superfície
ou um balanço global pode ser usado, de maneira que
h
rqTTs
2
0
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 59/125
Apêndice C do Livro-Texto
Um procedimento conveniente e sistemático para tratamento
das diferentes condições nas superfícies, que pode ser
utilizado em geometrias 1D planas e radiais (cilíndricas e
esféricas) com geração de energia térmica uniforme, é
fornecido no Apêndice C do livro-texto.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 60/125
A partir dos resultados apresentados nesse apêndice, é uma
tarefa simples a obtenção de distribuições de temperaturas,
de fluxos térmicos e de taxas de transferência de calor para
condições de contorno de segundo tipo (condição de
Neumann) e de terceiro tipo (condição de Robin).
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 61/125
Sistemas condutivos 1D com geração de
energia térmica uniforme: uma parede plana
com condições nas superfícies assimétricas,
uma casca cilíndrica e uma casca esférica.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 62/125
Condição de
Dirichlet
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 63/125
Condições de
Neumann e
de Robin
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 64/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 65/125
Sistemas condutivos 1D com geração de
energia térmica uniforme: uma parede plana
com uma superfície adiabática, um bastão
cilíndrico e uma esfera.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 66/125
Casos
Especiais
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 67/125
Se Ts não for conhecida, ela pode ser determinada através do uso
de um balanço de energia na superfície.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 68/125
Aplicações do Conceito de Resistências
Quando os efeitos de geração de calor estão presentes na
condução 1D em regime permanente, a taxa de
transferência de calor não é uma constante independente
da coordenada espacial.
Consequentemente, é incorreto utilizar os conceitos de
resistências condutivas e as equações a elas relacionadas
para a taxa de transferência de calor.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 69/125
Transferência de
Calor em Superfícies
Estendidas
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 70/125
Superfície estendida é um termo comumente utilizado para
descrever um caso especial envolvendo a transferência de
calor por condução no interior de um sólido e a
transferência de calor por convecção (e/ou radiação) nas
fronteiras do sólido.
Numa superfície estendida, a direção da transferência de
calor nas fronteiras é perpendicular à direção principal
da transferência de calor no interior do sólido.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 71/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 72/125
Apesar de existirem muitas situações diferentes que envolvem
tais efeitos combinados de condução/convecção, a aplicação
mais frequente compreende da utilização de uma superfície
estendida para, especificamente, aumentar a taxa de
transferência de calor entre um sólido e um fluido
adjacente.
Tal superfície estendida é chamada de aleta.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 73/125
Como aumentar q?
Uso de aletas para melhorar a transferência de calor numa parede plana.
(a) superfície sem aletas e (b) superfície aletada.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 74/125
Exemplos de aplicação
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 75/125
Configurações de aleta
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 76/125
Em qualquer aplicação, a seleção de uma determinada
configuração de aletas pode depender de considerações de
espaço, de peso, de fabricação e custo, bem como da
extensão na qual as aletas reduzem o coeficiente convectivo
na superfície e aumentam a queda de pressão associada ao
escoamento sobre as aletas.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 77/125
Uma Análise Geral da Condução
Como engenheiros, estamos principalmente interessados em
conhecer a extensão na qual uma determinada superfície
estendida ou um arranjo de aletas poderia melhorar a
transferência de calor de uma superfície para o fluido
adjacente.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 78/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 79/125
Hipóteses simplificadoras da análise:
Condições 1D na direção x
Temperatura uniforme ao longo da espessura da aleta
Regime permanente
Propriedades termofísicas constantes
Radiação na superfície desprezível
Efeitos de geração de calor ausentes
Coeficiente convectivo h uniforme ao longo da superfície
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 80/125
Aplicando a 1ª Lei da Termodinâmica no elemento diferencial
tem-se que
sendo que
convdxxx dqqq
dx
dTkAq cx
dxdx
dTA
dx
dk
dx
dTkAdx
dx
dqqq cc
xxdxx
TTdAhdq sconv
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 81/125
Com isso,
Este resultado fornece uma forma geral da equação da energia
para uma superfície estendida. Sua solução, com condições
de contorno apropriadas, fornece a distribuição de
temperaturas, que pode ser utilizada com a Lei de Fourier
para calcular a taxa de transferência de calor por condução
na direção x.
011
2
2
TT
dx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td s
c
c
c
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 82/125
Aletas com Área de Seção Transversal (Ac) Uniforme
bTT 0
PxAs
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 83/125
Com e , tem-se que
Define-se uma temperatura de excesso θ como
02
2
TTkA
hP
dx
Td
c
0dx
dAc Pdx
dAs
TxTx
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 84/125
E, consequentemente, tem-se que
sendo que
ckA
hPm 2
02
2
2
mdx
d
Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, linear e
homogênea, com coeficientes constantes.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 85/125
Sua solução geral tem a forma
Para a determinação das constantes c1 e c2 é necessário
especificar condições de contorno apropriadas.
mxmx ececx 21
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 86/125
Condições de Contorno
Base da aleta (x = 0): θ (0) = Tb – T∞ ≡ θb
Extremidade da aleta (x = L): Caso A: transferência de calor por convecção
Caso B: adiabática
Caso C: temperatura especificada
Caso D: aleta infinita (mL ≥ 2,65)
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 87/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 88/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 89/125
Funções Hiperbólicas (Tabela B.1)
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 90/125
Desempenho de Aletas
Efetividade da Aleta, εa : definida como a razão entre a
taxa de transferência de calor da aleta e a taxa de
transferência de calor que existiria sem a presença da aleta.
sendo que AC,b é a área da seção transversal da aleta na sua
base.
bbC
aa
Ah
q
,
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 91/125
Em projetos de Engenharia, a utilização de aletas é justificada
quando:
Para qualquer uma das quatro condições na extremidade (Casos
A, B, C e D), a efetividade de uma aleta de Ac uniforme pode
ser obtida pela divisão da expressão apropriada de qa (Tab.
3.4) por h Ac,b θb.
2a
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 92/125
Embora a instalação de aletas altere h na superfície, esse efeito
é geralmente desprezado.
Neste sentido, para a aproximação de aleta infinita (Caso D),
tem-se que
Note que se εa > 2 for usado como critério de projeto, tem-se
que
C
ahA
kP
4
ChA
kP
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 93/125
Esta expressão de εa para o Caso D fornece um limite superior
para seu valor, que é alcançado quando L → ∞.
Como já é de nosso conhecimento, 99% da taxa máxima possível
de transferência de calor na aleta são atingidos para mL = 2,65.
Portanto, não faz sentindo estender as aletas além de L = 2,65
m-1.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 94/125
Resistência Térmica da Aleta, Rt,a
Este resultado é demasiadamente útil quando realiza-se a
representação de uma superfície aletada por um circuito
térmico.
a
bat
qR
,
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 95/125
com isso, tem-se que:
onde .
Dessa forma, a efetividade da aleta pode ser interpretada como
uma razão entre resistências térmicas.
at
bt
aR
R
,
,
bC
btAh
R,
,
1
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 96/125
Eficiência da Aleta, ηa : definida como a razão entre a taxa
de transferência de calor da aleta e a taxa máxima de
transferência de calor da aleta (se toda a aleta estivesse na
temperatura da base).
sendo que Aa é a área superficial da aleta.
ba
a
máx
aa
Ah
q
q
q
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 97/125
Para uma aleta plana com seção transversal uniforme e
extremidade adiabática (Caso B), tem-se que
De acordo com a Tab. B1, este resultado indica que ηa
aproxima-se de seus valores máximo e mínimo, 1 e 0,
respectivamente, na medida em que L aproxima-se de 0 e ∞.
mL
mL
PLh
mLM
b
a
tanhtanh
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 98/125
Para a transferência de calor de uma aleta plana retangular
com uma extremidade ativa (Caso A), foi mostrado que
estimativas aproximadas, porém precisas, podem ser obtidas
pelo uso do resultado para uma aleta com extremidade
adiabática (Caso B), utilizando um comprimento da aleta
corrigido na forma:
Lc = L + (t/2) → aleta retangular
Lc = L + (D/4) → aleta piniforme
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 99/125
Dessa forma, com convecção na extremidade, a taxa de
transferência de calor da aleta pode ser aproximada por
e a eficiência correspondente por
Erros associados a esta aproximação são desprezíveis se (ht/k)
ou (hD/2k) ≤ 0,0625.
c
ca
mL
mLtanh
ca mLq tanh
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 100/125
Se a largura de uma aleta for muito maior do que sua espessura,
w >> t, o perímetro pode ser aproximado por P = 2w e
ou ainda,
sendo que, Ap = Lc t é a área corrigida do perfil da aleta.
cc
C
c Lkt
hL
kA
hPmL
2
5,12c
p
c LkA
hmL
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 101/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 102/125
Aletas com AC Não-Uniforme
A análise do comportamento térmico de aletas torna-se mais
complexa se a aleta possuir uma seção transversal não-
uniforme.
Nestes casos, as soluções da equação geral da aleta não são
mais na forma de funções exponenciais simples ou funções
hiperbólicas.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 103/125
Como um caso particular, considere uma aleta anular com
espessura uniforme t e com AC = 2πrt. Representando As =
2π(r2 – r12), a forma geral da equação da aleta reduz-se a
ou ainda,
021
2
2
TTkt
h
dr
dT
rdr
Td
01 2
2
2
mdr
d
rdr
d
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 104/125
Essa expressão é uma Equação de Bessel Modificada de
ordem zero e sua solução geral tem a forma
sendo que I0 e K0 são funções de Bessel modificadas de ordem
zero, de primeira e de segunda espécies, respectivamente.
mrKcmrIcr 0201
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 105/125
Se a temperatura na base da aleta for especificada e uma
extremidade adiabática (Caso B) for suposta, as constantes de
integração podem ser determinadas para fornecer uma
distribuição de temperaturas com a forma
sendo que I1 e K1 são funções de Bessel modificadas de primeira
ordem, de primeira e de segunda espécies, respectivamente.
21102110
210210
mrImrKmrKmrI
mrImrKmrKmrI
b
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 106/125
A taxa de transferência da aleta é
com isso, a eficiência da aleta torna-se
21102110
2111211112
mrKmrImrImrK
mrKmrImrImrKmtrkq ba
21102110
21112111
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2 mrKmrImrImrK
mrKmrImrImrK
rrm
r
rrh
q
b
aa
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 107/125
Tabela B.5 - Funções de Bessel Modificadas de Primeira e de Segunda Espécies.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 108/125
Este resultado pode ser utilizado para uma extremidade ativa
(com convecção), desde que o raio da extremidade r2 seja
substituído por um raio corrigido com a forma r2c = r2 +
(t/2).
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 109/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 110/125
Expressões para a eficiência e a área superficial de aletas com
várias geometrias usuais são resumidas na Tab. 3.5.
Apesar dos resultados para as aletas com espessura ou diâmetro
uniforme tenham sido obtidos para o Caso B, os efeitos da
convecção na extremidade da aleta (Caso A) podem ser
levados em conta através do uso de um comprimento corrigido
ou de um raio corrigido.
As aletas triangulares e parabólicas possuem espessura não-
uniforme, que se reduz a zero na extremidade.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 111/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 112/125
A resistência da aleta pode ser expressa em função de sua
eficiência através de
aa
a,thA
R
1
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 113/125
Eficiência Global da Superfície
A eficiência global da superfície, η0 , caracteriza um conjunto
de aletas e a superfície base na qual ele está fixado.
sendo que, At = N Aa + Ab .
bt
t
máx
t
Ah
q
q
q
0
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 114/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 115/125
A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas
e da superfície primária (sem aletas) pode ser representada
por
ou ainda,
bbbaat hAhANq
ba
t
att
A
NAhAq
11
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 116/125
Com isso,
Portanto, a partir do conhecimento de ηa, a taxa total de
transferência de calor em um conjunto de aletas pode ser
calculada.
a
t
a
A
NA 110
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 117/125
Resistência Térmica de um Conjunto de Aletas, Rt,0
na qual Rt,0 é uma resistência efetiva que leva em consideração as
trajetórias do calor paralelas por condução/convecção nas
aletas e por convecção na superfície primária.
tt
bt
hAqR
0
0,
1
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 118/125
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 119/125
Se as aletas forem usinadas como uma parte integrante da
parede da qual elas se projetam, não há resistência de
contato em suas bases (Fig. 3.21a).
Caso contrário, há uma resistência térmica de contato, Rt,c , que
pode influenciar negativamente o desempenho térmico
global.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 120/125
Uma resistência efetiva para o circuito é obtida por
Com isso, a eficiência global da superfície será
sendo que .
tct
bct
hAqR
0
0,
1
1
0 11CA
NA a
t
ac
bc
ct
aaA
RhAC
,
,
1 1
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 121/125
Referências
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 122/125
INCROPERA, F.P., DEWITT, D.P., BERGMAN, T.L. &
LAVINE, A.S., 2008. Fundamentos de Transferência de Calor e
de Massa. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: LTC, 643p.
BERGMAN, T.L., LAVINE, A.S., INCROPERA, F.P. &
DEWITT, D.P., 2011. Fundamentals of Heat and Mass Transfer.
Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 1048p.
Referências Básicas
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 123/125
Referências Complementares
CARSLAW, H.S. & JAEGER, J.C., 1959. Conduction of Heat
in Solids. New York, NY, USA: Oxford, 510p.
ARPACI, V.S., 1991. Conduction Heat Transfer. Boston, MA,
USA: Addison-Wesley, 490p.
BEJAN, A., 2004. Convection Heat Transfer. Hoboken, NJ,
USA: John Wiley & Sons, 694p.
KAYS, W., CRAWFORD, M. & WEIGAND, B., 2005.
Convective Heat and Mass Transfer. New York, NY, McGraw-
Hill, 546p.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 124/125
HOWELL, J.R., SIEGEL, R. & MENGUC, M.P., 2010.
Thermal Radiation Heat Transfer. Boca Raton, FL, USA:
CRC, 987p.
ROHSENNOW, W.M., HARTNETT, J.P. & CHO, Y.I., 1998.
Handbook of Heat Transfer. New York, NY: McGraw-Hill,
1344p.
BEJAN, A. & KRAUS, A.D., 2003. Heat Transfer Handbook.
Hoboken, NJ, USA: John Wiley & Sons, 1480p.
#3 – Condução 1D em Regime PermanenteEM41G – Transferência de Calor 125/125
3ª Lista de Exercícios
Capítulo 3 (Incropera et al, 2008):
3.5, 3.9, 3.41, 3.46, 3.72, 3.79, 3.100, 3.101, 3.121, 3.132
INCROPERA, F.P., DEWITT, D.P., BERGMAN, T.L. &
LAVINE, A.S., 2008. Fundamentos de Transferência de Calor
e de Massa. Rio de Janeiro, RJ, Brasil: LTC, 643p.
