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Laboratorio Nacional de Computacao Cientfica
Programa de Pos-Graduacao em Modelagem Computacional
Metodos de Elementos Finitos Estabilizados para
Escoamentos de Darcy e de Stokes-Darcy
Acoplados
Maicon Ribeiro Correa
Orientador: Abimael Fernando Dourado Loula
NOVEMBRO DE 2006
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METODOS DE ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADOS PARA
ESCOAMENTOS DE DARCY E DE STOKES-DARCY ACOPLADOS
Maicon Ribeiro Correa
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENACAO DE RECUR-
SOS HUMANOS DO LABORATORIO NACIONAL DE COMPUTACAO CIENTI-
FICA COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSARIOS PARA A OBTENCAO
DO GRAU DE DOUTOR EM MODELAGEM COMPUTACIONAL.
Aprovada por:
Prof. Abimael Fernando Dourado Loula, D.Sc
Prof. Alexandre Loureiro Madureira, Ph.D.
Prof. Alvaro Luiz G. de Azeredo Coutinho, D.Sc
Prof. Eduardo Gomes Dutra do Carmo, D.Sc
Prof. Marcio Arab Murad, D.Sc
PETROPOLIS, RJ - BRASIL
NOVEMBRO DE 2006
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CORREA, MAICON RIBEIRO
Metodos de Elementos Finitos Estabilizados
para Escoamentos de Darcy e de Stokes-Darcy
Acoplados [Petropolis] 2006
X, 197 p.29,7 cm (MCT/LNCC, D.Sc.,
Modelagem Computacional, 2006)
Tese - Laboratorio Nacional de Computacao
Cientfica, LNCC
1. Metodo de Elementos Finitos Estabilizados
2. Escoamento de Darcy 3. Escoamento de
Stokes-Darcy 4. Meios Porosos Heterogeneos
I. MCT/LNCC II. Ttulo (serie)
ii
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Dedico este trabalho a meu querido
e sempre presente Pai, Cinezio.
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Agradecimentos
Meus sinceros agradecimentos a todos que de alguma forma contriburam para
o desenvolvimento deste trabalho. A todos que, quer seja atraves de um conselho,
instrucao, exemplo, advertencia, sorriso ou lagrima, enriqueceram meus dias e mar-
caram sua presenca nas letras que seguem.
Em especial agradeco a meu grande amigo e orientador Abimael Fernando Doura-
do Loula, pela confianca e pelo apoio. Se encontrarem neste trabalho alguma ideia
que se destaque, tenham certeza de que ela se apoia em seus ombros. Assim como
agradeco aos amigos professores Elson Toledo, Luis Paulo Barra, Afonso Lemonge,
vivos incentivadores de minha escolha academica, Lucien Silvano Alhanati, cuja
didatica ate hoje me ensina, e a todos os professores do Programa de Pos-Graduacao
em Modelagem Computacional do LNCC.
Aos carssimos Wanderson, Julio, Boness, Rosa, Paula, Simone Sutter e a todos
voces, Amigos, preciosa famlia construda ao longo da caminhada, agradeco e so
posso pedir a` Vida que lhes retribua o tanto que de voces recebo e aos poucos
aprendo a partilhar.
Pela minha mae Maria Ely, meu pai Cinezio e meu irmao Pablo, agradeco a
Deus.
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Resumo da Tese apresentada ao MCT/LNCC como parte dos requisitos necessarios
para a obtencao do grau de Doutor em Ciencias (D.Sc.)
METODOS DE ELEMENTOS FINITOS ESTABILIZADOS PARA
ESCOAMENTOS DE DARCY E DE STOKES-DARCY ACOPLADOS
Maicon Ribeiro Correa
Novembro/2006
Orientador: Abimael Fernando Dourado Loula
Modelagem Computacional
Nesta tese apresentamos novas formulacoes de elementos finitos mistas estabilizadas
para o escoamento de Darcy, e para o escoamento acoplado de Stokes-Darcy. A
aplicacao do Metodo de Galerkin a`s formulacoes classicas do sistema de Darcy e
revista, e sao comentadas algumas estabilizacoes existentes na literatura. A partir
da combinacao consistente de resduos de mnimos quadrados da lei de Darcy, da
equacao de conservacao de massa e do rotacional de lei de Darcy, sao desenvolvidas
novas formulacoes para a aproximacao do escoamento no meio poroso, que possuem
caractersticas de estabilidade superiores a`s existentes. E apresentada uma nova
abordagem que permite o emprego destas formulacoes em meios porosos com in-
terface de descontinuidade da condutividade hidraulica. Combinando estas novas
formulacoes estabilizadas para o escoamento de Darcy, com formulacoes de Petrov-
Galerkin para o escoamento de Stokes, sao desenvolvidos metodos estabilizados
para o sistema acoplado, que permitem o emprego de interpolacoes lagrangianas,
de mesma ordem inclusive, para a velocidade e para a pressao, tanto no domnio
de Stokes quanto no de Darcy, com interpolacoes contnuas ou descontnuas para a
pressao.
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Abstract of Thesis presented to MCT/LNCC as a partial fulfillment of the require-
ments for the degree of Doctor of Science (D.Sc.)
STABILIZED FINITE ELEMENT METHODS FOR DARCY AND COUPLED
STOKES-DARCY FLOWS
Maicon Ribeiro Correa
November/2006
Advisor: Abimael Fernando Dourado Loula
Computational Modelling
In this thesis we propose new stabilized finite element methods for Darcy flow and
for the coupled Stokes-Darcy flow. We review the Galerkin method applied to the
classical variational formulations of the Darcys system, and comment on some sta-
bilization techniques proposed in the literature. Through the consistent combination
of least square residuals of the Darcys law, the mass balance equation and the curl
of Darcys law, we develop new finite element formulations to porous media flow,
that have higher stability than the usual stabilizations. We present a methodology
to incorporate restrictions that allows the application of these formulations to flow
in heterogeneous porous media with an interface of discontinuity of the hydraulic
conductivity tensor. By combining the new stabilized formulations for Darcy flow
with Petrov-Galerkin formulations to Stokes flow, we develop stabilized methods
for the coupled Stokes-Darcy flow that employ Lagrangian finite element spaces in
both domains, continuous for the velocity and continuous or discontinuous for the
pressure. Equal-order interpolations can be adopted for both velocity and pressure
spaces.
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Que as coisas e causas pelas quais
voce se dedica possam manter o seu
brilho.
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Sumario
1 Introducao 1
2 Formulacoes Variacionais Abstratas 9
2.1 Notacoes e Definicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.1.1 Problemas Variacionais Lineares em Um Campo . . . . . . . . 11
2.1.2 Problemas Variacionais Lineares Mistos . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Metodo dos Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.1 Metodos Conformes para Problemas em Um Campo . . . . . . 15
2.2.2 Metodos Conformes para Problemas Mistos . . . . . . . . . . 17
3 Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 20
3.1 Escoamento de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.1.1 O Problema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.2 Formulacao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Aproximacoes por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2.1 Um Metodo de Galerkin Estavel . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.2.2 Formulacoes Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2.3 Um Estudo Numerico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4 Metodos de Elementos Finitos para o Escoamento de Darcy 45
4.1 Escoamento de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.1 Lei de Darcy: Forma Emprica Unidimensional . . . . . . . . . 46
4.1.2 Extensao da Lei de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
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4.1.3 Leis de Conservacao em Meios Porosos . . . . . . . . . . . . . 48
4.1.4 O Problema de Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.1.5 Formulacoes Variacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2 Formulacoes de Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.1 Formulacao para o Potencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Metodo Misto Primal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3 Metodo Misto Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Formulacoes Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.1 Transformando Ponto de Sela em Mnimo . . . . . . . . . . . 60
4.3.2 Formulacao Adjunta e sua Equivalente Simetrica . . . . . . . 61
4.3.3 Pos-Processamento Global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.4 Novas Formulacoes Mistas Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.1 Formulacao Incondicionalmente Estavel em
[H1()]2 H1() . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.2 Formulacao Estabilizada em [H1()]2 L2() . . . . . . . . . 784.4.3 Formulacao Estabilizada com Potencial Descontnuo . . . . . . 81
4.5 Estudo Numerico das Formulacoes
Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.6 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5 Meios com Interface de Descontinuidade da Condutividade 105
5.1 Problema de Darcy Heterogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.2 Aproximacoes por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2.1 Pos-Processamento Global com Interface de Descontinuidade . 108
5.2.2 Captura de Descontinuidade na Interface . . . . . . . . . . . . 110
5.2.3 Extensao aos Metodos Mistos Estabilizados . . . . . . . . . . 113
5.3 Exemplos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3.1 Escoamento entre Placas Paralelas . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.3.2 Escoamento com Barreiras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3.3 Estudo de Convergencia: Um Exemplo Anistotropico Hete-
rogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
ix
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5.4 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6 Escoamento Acoplado de Stokes e Darcy 130
6.1 O Escoamento Acoplado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
6.1.1 Condicao de Interface de Beavers e Joseph . . . . . . . . . . . 132
6.1.2 O Problema de Stokes-Darcy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.1.3 Uma Formulacao Variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2 Aproximacoes por Elementos Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3 Novas Formulacoes Estabilizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.3.1 Metodo Compatvel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
6.3.2 Metodos Totalmente Estabilizados . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3.3 Incorporando as Restricoes na Interface . . . . . . . . . . . . . 149
6.4 Estudos Numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4.1 O Experimento Laboratorial de Beavers e Joseph . . . . . . . 152
6.4.2 Estudo de Convergencia: Beavers-Joseph-Saffman . . . . . . . 156
6.4.3 Estudo de Convergencia: Beavers-Joseph . . . . . . . . . . . . 170
6.5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
7 Conclusoes 187
x
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Captulo 1
Introducao
A analise de problemas que envolvem escoamentos em meios porosos, tais como a ex-
ploracao de petroleo, a extracao de aguas subterraneas, a contaminacao de aquferos
e processos para a sua remediacao, passa obrigatoriamente pela determinacao do
regime de fluxo, que consiste no calculo do campo macroscopico de velocidades das
fases que escoam. Estes problemas sao, em geral, predominantemente convectivos
e a determinacao precisa do campo de velocidades se torna essencial para a correta
avaliacao dos processos de transporte associados.
O escoamento de um fluido incompressvel em um meio poroso rgido satu-
rado conduz ao classico problema de Darcy. Este problema consiste no sistema
de equacoes diferenciais parciais composto pela equacao de conservacao de massa
mais a lei de Darcy, que relaciona a velocidade media de escoamento ao gradiente
de um potencial hidraulico atraves do tensor de condutividade hidraulica.
Recentemente, grande interesse tem sido dedicado aos casos em que ao escoa-
mento no meio poroso acopla-se o escoamento livre1 do fluido que o satura. Este
escoamento acoplado pode ser encontrado em diversas aplicacoes como em engenha-
ria do petroleo (interacao entre poco e reservatorio), hidrologia (acoplamento en-
tre escoamentos superficiais e subsuperficiais), hidrogeologia (escoamento em meios
porosos fraturados), dinamica de biofluidos (alguns orgaos e tecidos podem ser mode-
lados como meios porosos), filtragem, dentre outras. Modelos para o problema
1Ao longo da tese, utilizaremos o termo escoamento livre para designar o escoamento do fluido
como um sistema contnuo, nao escoando no meio poroso.
1
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CAPITULO 1 - Introducao 2
acoplado sao obtidos pela escolha de sistemas apropriados para os escoamentos do
fluido livre e no meio poroso, acoplados por equacoes que representam a interacao
dos escoamentos atraves da interface entre os meios. De um modo geral, as condicoes
de interface expressam a conservacao de massa e o balanco de forcas nesta regiao.
A relacao entre as velocidades tangentes a` interface e tema de diversos estudos e a
condicao de contorno em melhor acordo com as evidencias experimentais e a pro-
posta por BEAVERS E JOSEPH [1]. Esta relacao estabelece a proporcionalidade
entre o salto na componete tangencial do campo de velocidades em um ponto da in-
terface e a tensao cisalhante neste ponto. Em geral, a solucao deste sistema acoplado
apresenta campos potenciais e de velocidades descontnuos.
Nesta tese estaremos interessados na modelagem computacional de escoamentos
estacionarios lentos, de forma que o meio poroso possa ser modelado pelo sistema de
Darcy e que o fluido livre seja modelado pelo sistema de Stokes, conduzindo a um
sistema de equacoes diferenciais parciais de diferentes ordens em cada domnio. Em
relacao ao meio poroso, apesar da aparente simplicidade do problema de Darcy, es-
coamentos em meios anisotropicos e heterogeneos representam uma area de pesquisa
de grande interesse da analise numerica e modelagem computacional. Uma forma di-
reta de resolver este problema se baseia na equacao elptica de segunda ordem obtida
pela substituicao da lei de Darcy na equacao de conservacao da massa, fornecendo
um problema de Poisson em termos do potencial hidraulico com a velocidade calcu-
lada atraves do gradiente da solucao aproximada multiplicado pelo tensor de con-
dutividade hidraulica. A construcao do classico metodo de Galerkin baseado nesta
estrategia e simples. Contudo, esta estrategia direta conduz a aproximacoes menos
precisas para a velocidade, quando comparadas a`s do potencial. Formulacoes al-
ternativas como as tecnicas de pos-processamento e os metodos mistos vem sendo
desenvolvidas, fornecendo melhores aproximacoes para o campo de velocidades.
A ideia basica das tecnicas de pos-processamento e utilizar as propriedades
otimas de estabilidade e convergencia do metodo de Galerkin para o potencial,
para derivar aproximacoes mais precisas para a velocidade do que as obtidas pela
aplicacao direta da lei de Darcy. Dentre estas tecnicas, podemos destacar as de-
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CAPITULO 1 - Introducao 3
senvolvidas por TOLEDO [2] e LOULA et al. [3]. Tais formulacoes utilizam a
adicao de resduos ponderados da equacao de conservacao de massa e do rotacional
da lei de Darcy (no caso do pos-processamento local) a uma formulacao variacional
baseada nesta lei, de forma a garantir uma melhor aproximacao para a equacao
de conservacao. Alem de apresentar resultados bastante precisos, estas formulacoes
conduzem a taxas de convergencia superiores a`s obtidas pela simples diferenciacao
do campo potencial aproximado. Uma caracterstica importante desta metodologia
e a flexibilidade na escolha dos espacos; simulacoes de escoamentos miscveis uti-
lizando interpolacoes lagrangianas de mesma ordem para o potencial, a velocidade e
a concentracao sao apresentadas por LOULA et al. [4] e MALTA et al. [5], combi-
nando a tecnica de pos processamento de [3] com a formulacao estabilizada SUPG
de [6] para a equacao do transporte.
Os metodos mistos sao baseados na aproximacao simultanea dos campos poten-
cial e de velocidade e tem como principal caracterstica a necessidade de compati-
bilidade entre os espacos empregados; ver BABUSKA [7] e BREZZI [8]. Este fato
reduz a flexibilidade na construcao de aproximacoes por elementos finitos para as
formulacoes variacionais mistas do problema de Darcy, e o emprego do metodo de
Galerkin com elementos lagrangianos de mesma ordem para a velocidade e para o
potencial resulta em aproximacoes instaveis [9]. Uma aproximacao bem sucedida
para este problema e a formulacao de elementos finitos mista dual desenvolvida por
RAVIART E THOMAS [10], utilizando espacos de aproximacao vetoriais baseados
no operador divergente para a velocidade, combinados com espacos lagrangianos
descontnuos para o potencial.
Para satisfazer as condicoes de compatibilidade entre os espacos discretos, meto-
dos de elementos finitos mistos estabilizados tem sido desenvolvidos. Em geral,
tais metodos sao construdos a partir da combinacao de resduos ponderados das
equacoes que governam o escoamento com as formulacoes variacionais mistas classicas
do problema. LOULA E TOLEDO [11] propoem metodos mistos estabilizados para
um problema de transferencia de calor com estrutura identica a` do sistema de Darcy,
onde o problema original de ponto de sela e convertido em um problema de mini-
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CAPITULO 1 - Introducao 4
mizacao a partir de resduos de mnimos quadrados da lei de Darcy e da equacao
de conservacao da massa, adicionados a` formulacao mista de Galerkin. A partir
da subtracao de um resduo adjunto da lei de Darcy, uma formulacao estabilizada
nao-simetrica e apresentada por MASUD E HUGHES [12]. Embora possuam difer-
entes propriedades de estabilidade, as formulacoes de LOULA E TOLEDO [11] e de
MASUD E HUGHES [12] permitem o uso de interpolacoes lagrangianas de mesma
ordem, representando assim um ganho significativo em termos da construcao de
aproximacoes por elementos finitos para o problema.
Em relacao ao problema de Darcy, apresentamos nesta tese novas formulacoes
mistas estabilizadas simetricas, que preservam a caracterstica de ponto de sela de
sua formulacao variacional. A partir da combinacao das formulacoes variacionais
mistas classicas com resduos de mnimos quadrados da lei de Darcy, da equacao do
balanco de massa e do rotacional da lei de Darcy, novas formulacoes estabilizadas
sao propostas. Dentre estas formulacoes, alem de metodos com caractersticas de
estabilidade e aproximacao similares aos de LOULA E TOLEDO [11] e de MASUD
E HUGHES [12], incluem-se um metodo incondicionalmente estavel em [H1()]2 H1() para a velocidade e para o potencial, respectivamente, e metodos estaveis
em [H1()]2 L2() que empregam interpolacoes lagrangianas contnuas para avelocidade e contnuas ou descontnuas para o potencial.
Uma questao que envolve estas formulacoes estabilizadas e a sua aplicabilidade
em problemas onde o meio poroso e composto por subdomnios com diferentes con-
dutividades hidraulicas. Na interface entre estes subdomnios, a componente normal
da velocidade de Darcy deve ser contnua (conservacao da massa fluida) mas a com-
ponente tangencial e descontnua; consequentemente, formulacoes baseadas em in-
terpolacoes lagrangianas contnuas para a velocidade falham na representacao desta
descontinuidade, produzindo aproximacoes imprecisas e oscilacoes espurias. Este
fato e demonstrado atraves de varios experimentos por CORREA E LOULA [13],
onde e proposta uma generalizacao das tecnicas de pos-processamento de LOULA
et al. [3]. Esta generalizacao utiliza transformacoes lineares derivadas das re-
stricoes entre as velocidades na interface, permitindo o uso de interpolacoes la-
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CAPITULO 1 - Introducao 5
grangianas contnuas/descontnuas para a representacao de campos de velocidades
contnuos/descontnuos. Com isso, a solucao descontnua passa a ser aproximada
por interpolacoes lagrangianas contnuas por subdomnios, fornecendo resultados
fieis a` solucao do problema. Outro ponto de destaque desta nova abordagem e que
ela preserva, para problemas anisotropicos e heterogeneos, as taxas de convergencia
preditas para problemas homogeneos com solucoes suaves. Aqui estendemos al-
guns resultados deste trabalho, mostrando que esta metodologia pode ser aplicada a
quaisquer formulacoes que utilizem interpolacoes contnuas para a velocidade, como
as novas formulacoes mistas estabilizadas e as formulacoes mistas de LOULA E
TOLEDO [11] e de MASUD E HUGHES [12]. Com isso, ampliamos o emprego das
formulacoes estabilizadas a meios heterogeneos com interface de descontinuidade da
condutividade hidraulica.
Para o escoamento do fluido livre, formulacoes de elementos finitos mistas classicas
derivadas a partir da introducao, via multiplicadores de Lagrange, da condicao de
incompressibilidade ao problema variacional associado a` equacao de Stokes, tambem
padecem das mesmas limitacoes na escolha de combinacoes estaveis dos espacos de
aproximacao. Diversos trabalhos sao apresentados nos quais diferentes formas de
estabilizacao conduzem a metodos de elementos finitos que permitem o emprego
de interpolacoes de mesma ordem, inclusive, para a aproximacao dos campos de
pressao e de velocidades. Dentre estes trabalhos, destacamos algumas estabilizacoes
de Petrov-Galerkin cujas caractersticas se adequam ao escopo da tese: os metodos
simetricos de HUGHES E FRANCA [14] e de KARAM [15] e o metodo adjunto de
DOUGLAS E WANG [16]. Como veremos, estes metodos possuem caractersticas
de estabilidade distintas, e sua analise constitui uma base importante para a apro-
ximacao do sistema de Stokes, bem como do sistema acoplado de Stokes-Darcy.
A maior parte das estrategias adotadas para a resolucao do problema acoplado
baseia-se em tecnicas de decomposicao de domnio, utilizando metodos originalmente
estaveis ou estabilizados para cada problema em particular. Contudo, a combinacao
de metodos estaveis para cada um dos problemas nem sempre e vantajosa, tanto do
ponto de vista de implementacao computacional quanto da ordem de convergencia
-
CAPITULO 1 - Introducao 6
resultante, ja que estes podem utilizar interpolacoes de diferentes tipos, como a la-
grangiana para Stokes e a de Raviart-Thomas para Darcy como em [17, 18, 19], ou
de diferentes ordens, como os elementos de Taylor-Hood para Stokes e elementos
lineares ou quadraticos para Darcy, como em [20, 21, 22, 23]. Estrategias unifi-
cadas que utilizam os mesmos espacos de elementos finitos para Stokes e Darcy sao
apresentadas, por exemplo, em [24, 25, 26].
A partir da combinacao de formulacoes estabilizadas para o problema de Darcy
e estabilizadas, ou originalmente estaveis, para o problema Stokes, apresentamos
duas novas classes de formulacoes mistas estabilizadas unificadas para o escoamento
acoplado de Stokes-Darcy. A primeira classe permite o emprego de espacos de ele-
mentos finitos estaveis para o escoamento de Stokes, em ambos os domnios, preser-
vando globalmente as estimativas de convergencia para a velocidade na norma de
[H1()]2 e para a pressao na norma de L2(). Especificamente, consideramos o uso
de elementos de Taylor-Hood, que fornecem taxas de convergencia otimas nas nor-
mas citadas. A outra classe utiliza formulacoes estabilizadas para cada escoamento,
possibilitando a adocao de interpolacoes lagrangianas de mesma ordem, contnuas
para a velocidade e contnuas ou descontnuas para a pressao, tanto no domnio
do meio poroso quanto no domnio do fluido livre. Estas formulacoes representam
um avanco no sentido de metodos de elementos finitos gerais, precisos e flexveis
para a aproximacao do sistema acoplado. Embora estrategias iterativas como as
empregadas em [20, 27], por exemplo, possam ser utilizadas para a resolucao desta
formulacao acoplada, aqui apresentamos uma nova estrategia que permite a aproxi-
macao direta (nao iterativa) do sistema de equacoes diferenciais que modelam ambos
os escoamentos mais as condicoes de interface. Para tal propomos uma metodologia
como a adotada para a aproximacao em meios porosos com interface de descon-
tinuidade, a partir da incorporacao das restricoes sobre a interface entre o fluido
livre e o meio poroso, utilizando transformacoes lineares derivadas das condicoes de
interface. Esta estrategia resulta em um sistema global com a mesma estrutura de
um problema contnuo, podendo ser montado e resolvido utilizando as estrategias
usuais de implementacao de elementos finitos lagrangianos contnuos.
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CAPITULO 1 - Introducao 7
Organizacao da Tese
Um estudo sobre formulacoes variacionais abstratas e desenvolvido no Captulo
2 onde, apos apresentarmos a notacao que sera utilizada, resumimos resultados
classicos como o teorema de Lax-Milgram, o teorema de Babuska e o teorema de
Brezzi, desenvolvendo a teoria basica para a analise numerica dos metodos de ele-
mentos finitos estudados.
No Captulo 3 introduzimos o problema de Stokes, discutindo brevemente o
metodo de Galerkin aplicado a` formulacao mista classica, apresentando uma aproxi-
macao estavel, a partir do emprego dos elementos de Taylor-Hood, e as formulacoes
estabilizadas de Petrov-Galerkin desenvolvidas por HUGHES E FRANCA [14],
KARAM [15] e DOUGLAS E WANG [16], que permitem o emprego de elemen-
tos finitos lagrangianos, de mesma ordem inclusive, contnuos para a velocidade
e contnuos ou descontnuos para a pressao, escolhas inicialmente instaveis para o
metodo de Galerkin.
O Captulo 4 e dedicado ao estudo numerico do problema de Darcy. Apos re-
sumir os principais resultados das formulacoes de Galerkin em um e em dois campos,
mostrando suas limitacoes e apontando as causas de tais limitacoes, revemos algu-
mas formulacoes estabilizadas, revisitando a tecnica de Pos-Processamento Global
de LOULA et al. [3] (cuja origem e aqui associada a uma formulacao mista esta-
bilizada de mnimos quadrados), o metodo de mnimo estavel em H(div) H1()de LOULA E TOLEDO [11, 2] e a formulacao adjunta estavel em [L2()]2H1()de MASUD E HUGHES [12], a` qual mostramos ser equivalente a uma formulacao,
simetrica, de mnimos quadrados. Em seguida, apresentamos novas formulacoes
mistas estabilizadas simetricas, derivadas pela combinacao de resduos de mnimos
quadrados a`s formulacoes mistas de Galerkin, que preservam a caracterstica de
ponto de sela do problema original. Estas estabilizacoes incluem:
Uma formulacao em [H1()]2L2() que, assim como a formulacao de Galerkinpara o problema de Stokes, e estavel para os elementos de Taylor-Hood forne-
cendo taxas otimas de convergencia para a velocidade e o potencial (nestes
espacos) para estes elementos;
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CAPITULO 1 - Introducao 8
Uma formulacao incondicionalmente estavel em [H1()]2 H1() que, alemde permitir o uso de interpolacoes lagarangianas de mesma ordem para a
velocidade e para o potencial, resulta em taxas otimas de convergencia para
estas variaveis na norma de H1();
Ummetodo estavel em [H1()]2L2() que emprega interpolacoes lagrangianascontnuas para a velocidade e descontnuas para o potencial.
No Captulo 5 uma nova abordagem para a aproximacao do escoamento em
meios porosos com interface de descontinuidade da condutividade hidraulica e apre-
sentada, onde a solucao descontnua e aproximada por interpolacoes lagrangianas
contnuas, com uso dos metodos estabilizados apresentados. Esta abordagem faz
uso de transformacoes lineares derivadas das restricoes entre as velocidades sobre a
interface de descontinuidade e conduz a um sistema de equacoes algebricas lineares
com a mesma estrutura dos sistemas obtidos para problemas contnuos.
No Capulo 6 utilizamos a base desenvolvida ao longo da tese, para o estudo
numerico do escoamento acoplado de Stokes-Darcy, onde combinamos adequada-
mente formulacoes estabilizadas para o problema de Stokes e para o problema de
Darcy e utilizamos transformacoes lineares derivadas das condicoes de interface,
seguindo a metodologia introduzida no Captulo 5, para representar os campos de
velocidade e potencial descontnuos atraves de interpolacoes lagrangianas contnuas.
Finalmente, no Captulo 7, apresentamos as conclusoes da tese, tecendo co-
mentarios finais.
-
Captulo 2
Formulacoes Variacionais
Abstratas
Neste captulo, apos definir alguns conceitos e notacoes, apresentaremos resultados
classicos sobre formulacoes abstratas para problemas variacionais lineares, como o
teorema de Lax-Milgram, o teorema de Babuska e o teorema de Brezzi, desenvol-
vendo a teoria basica para a analise numerica dos metodos de elementos finitos que
serao utilizados neste trabalho.
2.1 Notacoes e Definicoes
Seja L2() o espaco das funcoes quadrado integraveis em , um subdomnio limitado
de R2 (nesta tese nos deteremos a` analise numerica de escoamentos bidimensionais)
tendo contorno Lipschitz contnuo. Para um dado inteiro m 0, denotaremospor Hm() o espaco de Hilbert de ordem m sobre , contendo funcoes v em L2()
tais que suas m-esimas derivadas, no sentido das distribuicoes, estejam em L2(),
isto e
Hm = {v L2();Dv L2(), || m}, onde
D() := ||()
1x1 2x2
, || = 1 + 2
9
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 10
e = (1, 2) e um vetor de inteiros nao negativos. O produto interno em Hm()
e sua norma associada sao dados por
(v, w)m :=||m
Dv Dw d, vm = (v, v)1/2m .
Consideraremos ainda Hm0 () a intersecao entre Hm() e o conjunto de funcoes com
seu valor e de suas m 1 derivadas se anulando no contorno, e o espaco
H(div,) = H(div) ={u [L2()]2 ; divu L2()} , munido da norma
uH(div) :={u2 + divu2}1/2
alem de
H0(div) = {v H(div) ; v n = 0 sobre o contorno },
onde n denota o vetor normal unitario exterior a .
Definindo o operador rotacional de funcoes vetoriais em R2 como
rotu =u2x1
u1x2
temos o espaco
H(rot,) = H(rot) ={u [L2()]2 ; rotu L2()} , munido da norma
uH(rot) :={u2 + rotu2}1/2 .
O espaco H0() = L2() tem sua norma denotada por 0 = e o produtointerno por
(v, w) :=
vwd,
onde definimos tambem
L20() = L2()/R = {q L2(); (q, 1) = 0}.
Tomando U um espaco de Hilbert, designaremos sua norma por U. Normas
em espacos originados pelo produto de dois outros, como por exemplo U V seraodefinidas por:
{u, v}UV
:=(u2
U+ v2
V
)1/2 {u, v} U V. (2.1)
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 11
Uma outra definicao, dada por
{u, v}UV
:= uU+ v
V {u, v} U V (2.2)
tambem sera utilizada. Para as normas (2.1) e (2.2) vale a seguinte relacao de
equivalencia:
2
2{u, v}
UV {u, v}
UV {u, v}
UV {u, v} U V. (2.3)
Finalmente, denotamos por U o espaco dual de U .
2.1.1 Problemas Variacionais Lineares em Um Campo
Problemas variacionais lineares em um unico campo, livres de restricao, sao repre-
sentados abstratamente por
Problema U : Dada f U , encontrar u U tal que
a(u, v) = f(v) v U (2.4)
onde U e um espaco de Hilbert e a(, ) : UU R e uma forma bilinear. Para casosonde a forma bilinear e simetrica e positiva definida (ou U-elptica), este problemae equivalente ao seguinte problema de minimizacao:
Problema J : Determinar u U tal que
J(u) J(v) v U , com
J(v) =1
2a(v, v) f(v) v U . (2.5)
A analise da existencia e unicidade da solucao do Problema U segue pelo teorema
de Lax-Milgram:
Teorema 1 (Lax-Milgram) Se U e um espaco de Hilbert, f : U R um fun-cional linear contnuo e a : U U R e uma forma bilinear:
(i) Contnua: existe uma constante 0 < M
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 12
(ii) U-Elptica: existe uma constante > 0 tal que
|a(v, v)| v2U
v U (2.7)
entao o Problema U possui uma unica solucao.
Tomando U e V espacos de Banach, definindo uma forma bilinear B : UV Re um funcional linear F : V R, temos a seguinte formulacao variacional abstrata,mais geral que a anterior, para problemas em dois espacos:
Problema B : Dada F V , encontrar u U tal que
B(u, v) = F (v) v V. (2.8)
Problemas variacionais lineares escritos na forma do Problema B tem a analise da
existencia e unicidade de solucao baseada no teorema de Babuska [7], que tambem e
denominado por CAREY E ODEN [28] como teorema de Lax-Milgram Generalizado:
Teorema 2 (Babuska) Se U e V sao espacos de Banach, F : V R um funcionallinear contnuo em V e B : U V R e uma forma bilinear:
(B0) Contnua: existe uma constante 0 < M 0 e 2 > 0 tais que
supuU
|B(u, v)|u
U
1vV v V (2.10)
supvV
|B(u, v)|v
V
2uU u U (2.11)
entao o Problema B possui uma unica solucao u U e
uU 1
2F
V. (2.12)
1Em todas as expressoes que utilizarem a divisao por alguma norma, a admitiremos como
nao-nula.
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 13
2.1.2 Problemas Variacionais Lineares Mistos
A presenca de restricoes internas, como a condicao de incompressibilidade por exem-
plo, e comumente tratada atraves da tecnica de multiplicadores de Lagrange, onde o
multiplicador e incorporado como uma nova variavel do sistema. Como veremos, nos
casos dos escoamentos de Stokes e de Darcy, a pressao exerce tal papel, conduzindo
a um problema variacional formulado em dois campos, denominado de problema
misto. Nesta tese estudaremos formulacoes mistas postas na seguinte forma abstrata,
conforme BREZZI [8]
Problema M : Dadas f U e g P , encontrar o par {u, p} U P tal que
a(u, v) + b(v, p) = f(v) v Ub(u, q) = g(q) q P
(2.13)
onde U e P sao espacos de Hilbert, a : U U R e b : U P R sao formasbilineares contnuas e f : U R e g : P R sao funcionais lineares contnuos. Valeobservar que os elementos definidos neste problema nao necessariamente guardam
relacao com os definidos para o Problema U. Alem das normas
a = supu,vU
a(u, v)
uUv
U
, (2.14)
b = supvU ,qP
b(v, q)
vUq
P
, (2.15)
estas formas definem operadores lineares contnuos A : U U , B : U P eBt : P U dados por
Au, vU U = a(u, v) u, v U (2.16)
Bv, qP P =v, Btq
UU
= b(v, q) v U , q P. (2.17)
Quando a forma bilinear a(, ) e simetrica e elptica no subespaco
K(0) = {v U ; b(v, q) = 0 q P} , (2.18)
podemos associar ao Problema M o seguinte problema de minimizacao:
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 14
Problema JR : Determinar u K(g) que minimiza o funcional
J(v) =1
2a(v, v) f(v) em K(g)
com
K(g) = {v U ; b(v, q) = g(q) q P} . (2.19)
Utilizando a tecnica de multiplicadores de Lagrange, transformamos o Pro-
blema JR no seguinte problema de ponto de sela:
Problema L : Achar o par {u, p} U P, tal que
L(u, q) L(u, p) L(v, p) v U , q P (2.20)
onde L(v, q) e o funcional lagrangiano
L(v, q) = J(v) + (Bv g, q) (2.21)
em que q e o multiplicador de Lagrange
Apresentamos, a seguir, um teorema de existencia e unicidade especfico para esta
classe de problemas mistos. Para tal, introduzimos o seguinte problema reduzido:
Problema MR : Encontrar u K(g) tal que
a(u, v) = f(v) v K = kerB = K(0).
Verificamos que se {u, p} U P e a solucao do Problema M , entao u K(g)e solucao do Problema MR . A questao e estabelecer as condicoes para que a
recproca seja valida. Para tal, uma condicao adicional deve ser satisfeita de forma a
garantir a unicidade do multiplicador de Lagrange. Estas hipoteses sao apresentadas
pelo teorema de Brezzi [8]:
Teorema 3 (Brezzi) Considere
(H0) Continuidade de a e b : existem constantes 0 < M1,M2
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 15
(H1) K-Coercividade de a: existem constantes 1 > 0 e 2 > 0 tais que
supvK
|a(u, v)|v
U
1uU u K
supuK
|a(u, v)|u
U
2vU v K
onde
K = {u U ; b(u, q) = 0 q P}
(H2) Condicao de Ladyszhenskaya-Babuska-Brezzi (LBB): existe uma constante >
0 tal que
supvU
|b(v, q)|v
U
qP
q P
entao o Problema M possui uma unica solucao.
2.2 Metodo dos Elementos Finitos
Apresentaremos agora alguns resultados classicos da analise numerica do Metodo
dos Elementos Finitos (MEF) aplicado aos problemas variacionais definidos na secao
anterior. Estes resultados irao nortear as estimativas de erro dos proximos captulos,
onde a definicao dos espacos empregados para as aproximacoes permitira utilizar
resultados de interpolacoes e projecoes de modo a assegurar a convergencia das
formulacoes de elementos finitos empregadas.
2.2.1 Metodos Conformes para Problemas em Um Campo
Consideremos o Problema U, assumindo que o espaco U , a forma bilinear a(, ) e ofuncional linear f() satisfazem as hipoteses do teorema de Lax-Milgram. Tomandoum espaco de elementos finitos Uh de U , associamos ao Problema U o problemadiscreto:
Problema Uh : Encontrar uh Uh tal que
a(uh, vh) = f(vh) vh Uh. (2.22)
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 16
Este caso corresponde ao Metodo de Galerkin. Dizemos que uma aproximacao por
elementos finitos e conforme se Uh U . Um metodo e dito ser variacionalmenteconsistente se a solucao exata do problema satisfaz a sua formulacao de Galerkin.
Como o Problema U e formulado em um unico campo e nao possui restricoes
adicionais, o emprego de aproximacoes conformes transfere automaticamente as pro-
priedades de continuidade e elipticidade do problema contnuo para o discreto. Ou
seja, neste caso a existencia e unicidade da solucao aproximada sao herdadas do
problema contnuo. Alem disso, utilizando a consistencia variacional do Problema
Uh temos o seguinte resultado de limitacao para o erro:
Lema 1 (Cea [29]) Satisfeitas as hipoteses do Teorema 1, existe uma constante
C, independente do subespaco Uh, tal que
u uhU Cu vhU vh Uh. (2.23)
Neste lema C =M/, ondeM e sao as constantes de continuidade e de elipticidade
da forma bilinear a(, ). Em problemas onde a forma bilinear e simetrica, a constantedo lema de Cea e
M/, o que fornece uma estimativa melhor do que a do caso
geral, ja que M e sempre maior do que .
Tomemos agora aproximacoes conformes Uh U e Vh V, definindo o problemadiscreto associado ao Problema B como
Problema Bh : Encontrar uh Uh tal que
B(uh, vh) = F (vh) vh Vh. (2.24)
A analise do Problema B pelo teorema de Babuska implica em condicoes de
compatibilidade a serem satisfeitas pelos espacos U e V. Devido a este fato, aconformidade Uh U e Vh V nao garante a existencia e unicidade da solucaoaproximada. Assim, para a analise do Problema Bh, devemos verificar as contra-
partidas discretas do teorema de Babuska, ou seja: o Problema Bh tem uma unica
solucao uh Uh se B(, ) e uma forma bilinear contnua e se existem constantespositivas 1h e 2h tais que
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 17
supuhUh
|B(uh, vh)|uhU
1hvhV vh Vh (2.25)
supvhVh
|B(uh, vh)|vhV
2huhU uh Uh. (2.26)
Partindo da hipotese de que estas condicoes sao satisfeitas, temos a seguinte
limitacao para o erro:
u uhU (1 +
M
2h
)u whU wh Uh. (2.27)
A partir deste resultado, podemos estender o lema de Cea para as hipoteses do
teorema de Babuska, com C = (1 +M/2h) para este caso mais geral [7, 28].
2.2.2 Metodos Conformes para Problemas Mistos
Sejam Uh U e Ph P subespacos de elementos finitos conformes. Nestes subes-pacos, a aproximacao de Galerkin para o Problema M e:
Problema Mh : Encontrar o par {uh, ph} Uh Ph tal que
a(uh, vh) + b(vh, ph) = f(vh) vh Uhb(uh, qh) = g(qh) qh Ph,
(2.28)
e para o problema reduzido:
Problema MRh : Encontrar uh Kh(g) tal que
a(uh, vh) = f(vh) vh Kh = Kh(0), com
Kh(g) = {vh Uh; b(vh, qh) = g(qh) qh Ph} . (2.29)
Aqui a restricao se da sobre um subespaco de U , enquanto em (2.19) ela se dasobre todo U . Assim, exige-se mais das funcoes que pertencam a K(g), resultandono fato de que Uh U e Ph P nao garante Kh(g) K(g) e, portanto, o Pro-blema MRh e em geral uma aproximacao nao conforme para o Problema MR.
Contrariamente a`s aproximacoes conformes para o Problema U, que herdam a
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 18
elipticidade do problema contnuo, a K-coercividade e a LBB nao sao transferidas
do problema contnuo para o discreto. Portanto o estudo da existencia e unicidade
de solucao do Problema Mh depende das contrapartidas discretas das condicoes
do teorema de Brezzi, expressa pelo seguinte teorema:
Teorema 4 Se as seguintes hipoteses sao verificadas:
(i) Kh(g) e nao-vazio;
(ii) a forma bilinear a(, ) e Kh-Coerciva, isto e, existem constantes 1h > 0 e2h > 0 tais que
supvhKh
|a(uh, vh)|vhU
1huhU uh Kh
supuhKh
|a(uh, vh)|uhU
2hvhU vh Kh;
(iii) os espacos Uh e Ph satisfazem a condicao de compatibilidade de Ladyszhenskaya-Babuska-Brezzi (LBB discreta), isto e, existe uma constante h > 0 tal que
supvhUh
|b(vh, qh)|vhU
hqhP qh Ph (2.30)
entao o Problema Mh possui uma unica solucao {uh, ph} Uh Ph, e vale aestimativa:
u uhU + p phP [(
1 +ah
)(1 +
bh
)+ah
]u vhU (2.31)
+
[(1 +
bh
)+bh
]p qhP vh Uh qh Ph.
A demonstracao deste teorema pode ser encontrada, por exemplo, em [8], [9]
e [30]. Assim como para os problemas estudados pelo teorema de Babuska, aqui
a demonstracao das hipoteses para os problemas contnuos indicam caminhos para
a prova das contrapartidas discretas. Numa notacao mais compacta, escreveremos
(2.31) como
u uhU + p phP CB1 u vhU + CB2 p qhP vh Uh qh Ph.
-
CAPITULO 2 - Formulacoes Variacionais Abstratas 19
Utilizando a definicao (2.1) para a norma no espaco produto U P, podemos aindaescrever (2.31) como:
{u, p}{uh, ph} UP C {u, p}{vh, qh} UP {vh, qh} UhPh, (2.32)
com C =2max{CB1 , CB2 }. Este resultado pode ser visto como o lema de Cea para
problemas analisados pelo teorema de Brezzi.
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Captulo 3
Metodos de Elementos Finitos
Para o Escoamento de Stokes
Neste captulo apresentamos o problema de Stokes, que constitui o sistema de
equacoes diferenciais parciais utilizado para a modelagem do escoamento do flu-
ido livre, e estudamos a aplicacao de metodos de elementos finitos existentes na lite-
ratura, para a sua resolucao. Dentre estes metodos, apresentamos uma aproximacao
de Galerkin estavel e discutimos algumas formulacoes estabilizadas de Petrov-Galer-
kin que permitem o emprego de elementos finitos de mesma ordem para a velocidade
e a pressao, escolha inicialmente instavel para o metodo de Galerkin. Ao final, apre-
sentamos um estudo numerico para aferir a estabilidade e as taxas de convergencia
dos metodos estudados. Esta base sera utilizada na elaboracao de metodos de ele-
mentos finitos estabilizados para a resolucao do sistema acoplado, conforme apre-
sentaremos no Captulo 6.
3.1 Escoamento de Stokes
O escoamento lento de um fluido newtoniano incompressvel e comumente modelado
pelas equacoes de Stokes. Nesta secao procederemos sua obtencao, a partir das leis
de conservacao de massa e momento linear e da equacao constitutiva para fluidos
newtonianos, destacando as hipoteses simplificadoras adotadas.
20
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 21
3.1.1 O Problema de Stokes
Seja um fluido newtoniano de massa especfica : I R, viscosidade dinamica : I R e viscosidade volumetrica : I R, que ocupa um domnio Rd (d = 2, 3), escoando com velocidade u : I Rd (onde I e um intervalode tempo) e pressao hidrostatica p : I R. Este escoamento e basicamenterepresentado pelo sistema de equacoes diferenciais parciais composto por:
Conservacao do momento linear
div + f =
[u
t+ (u)u
]; (3.1)
Conservacao da massa
t+ div (u) = 0; (3.2)
Lei constitutiva para fluidos newtonianos
= (divu p) I+ 2D(u) (3.3)
onde
D(u) =1
2
(u+uT ) (3.4)e o tensor taxa de deformacao;
Equacao de estado1, relacionando e p
= (p). (3.5)
Para maiores detalhes, sugerimos a leitura das referencias [31] e [32]. A equacao
(3.1) e a extensao da segunda lei de Newton para sistemas contnuos, onde e o
tensor de tensoes (ou de Cauchy) para o fluido e o primeiro termo expressa as forcas
de contato, enquanto o segundo termo e devido a`s forcas de corpo e o termo do lado
direito expressa a taxa de variacao do momento linear do sistema. De uma forma
1Consideramos que o escoamento se da em regime isotermico.
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 22
simplificada, os fluidos newtonianos podem ser definidos como aqueles em que a
tensao cisalhante e diretamente proporcional a` taxa de deformacao [33] e, de uma
forma mais geral [31], os caracterizamos pela equacao constitutiva (3.3).
Neste trabalho, estamos interessados em escoamentos estacionarios e lentos de
fluidos newtonianos incompressveis, de forma que hipoteses simplificadoras sao em-
pregadas sobre as equacoes (3.1), (3.2) e (3.3), conduzindo ao sistema de equacoes
diferenciais parciais que denominaremos de sistema de Stokes ou problema de Stokes.
Tais hipoteses sao:
(S1) Fluido newtoniano incompressvel: um fluido incompressvel possui a massa
especfica constante, ou seja:
D
Dt
t+ u = 0
o que aplicado a`s equacoes (3.2) e (3.3) fornece, respectivamente,
divu = 0
e
= pI + 2D(u). (3.6)
(S2) Escoamento estacionario:
u
t= 0.
(S3) Escoamento lento: neste tipo de escoamento as forcas viscosas predominam
em relacao a`s de inercia (baixo numero de Reynolds) de forma que o termo
convectivo da equacao (3.1) pode ser desprezado o que, aliado a` hipotese an-
terior, conduz a` seguinte forma linearizada para a conservacao do momento
linear:
div + f = 0. (3.7)
Tomando a viscosidade constante e substituindo (3.6) em (3.7), temos o seguinte
problema de valor de contorno:
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 23
Problema de Stokes : Dadas a viscosidade , uma funcao densidade de
fonte f : Rd e uma funcao u : Rd, encontrar a pressao hidrostaticap : R e a velocidade do fluido u : Rd tais que:
2 div D(u) +p = f em (3.8)
divu = 0 em (3.9)
com condicao de contorno
u = u sobre (3.10)
onde
D(u) =1
2
(u+uT )
e a funcao u satisfaz a condicao de compatibilidade
u nd = 0,
que expressa o balanco do fluxo atraves de sua fronteira, associado a` incompressibi-
lidade do fluido.
Substituindo (3.4) em (3.8), utilizando a identidade div uT = divu e acondicao de incompressibilidade (3.9), podemos escrever o Problema de Stokes
na seguinte forma equivalente:
Problema de Stokes : Encontrar a pressao hidrostatica p e a velocidade do
fluido u tais que:
u+p = f em (3.11)
divu = 0 em (3.12)
com condicao de contorno
u = u sobre . (3.13)
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 24
3.1.2 Formulacao Variacional
Para apresentar a formulacao variacional do Problema de Stokes, admitiremos
condicoes de contorno de nao-deslizamento (u = 0) sobre toda a fronteira e
nos restringiremos ao caso bidimensional, definindo os espacos U = [H10 ()]2 para avelocidade e P = L20() para a pressao. Multiplicando a equacao (3.12) por q P , aequacao (3.11) por v U , integrando por partes e utilizando a condicao de contorno,temos
Problema SV : Encontrar o par {u, p} U P tal que
2(D(u),D(v)) (divv, p) = (f ,v) v U(divu, q) = 0 q P
(3.14)
ou, abstratamente segundo a forma estudada pelo teorema de Brezzi
aS(u,v) + b(v, p) = f(v) v Ub(u, q) = 0 q P
(3.15)
com
aS(u,v) = 2(D(u),D(v)), b(u, q) = (divu, q) e f(v) = (f ,v).(3.16)
O Problema SV possui uma unica solucao, garantida pelo teorema de Brezzi
(Teorema 3). A forma bilinear aS(, ) e coerciva em todo o espaco U , fato demons-trado com o uso da desigualdade de Korn
D(u) Cu u U (3.17)
e da desigualdade de Poincare
u Cu u U . (3.18)
Com isso, a condicao (H1), ou coercividade no espaco reduzido, e satisfeita como
consequencia direta. A LBB condicao (H2) segue pelo fato de que para todo
q P sempre e possvel escolher um elemento v de U tal que
divv = q, com v1 Cq.
Para maiores detalhes, ver GIRAULT E RAVIART [30].
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 25
3.2 Aproximacoes por Elementos Finitos
Tomemos {Th} uma famlia de malhas Th = {e} de , indexada pelo parametroh que representa o diametro maximo dos elementos e Th. Sejam entao Uh Ue Ph P espacos de elementos finitos conformes. Com isso podemos apresentara aproximacao por elementos finitos do metodo de Galerkin, a` qual chamaremos
simplesmente de metodo de Galerkin, aplicado ao Problema SV como
Problema Sh : Encontrar o par {uh, ph} Uh Ph tal que
aS(uh,vh) + b(vh, ph) = f(vh) vh Uhb(uh, qh) = 0 qh Ph
(3.19)
segundo a definicao em (3.16).
Como discutido na Secao 2.2, a adocao de espacos de elementos finitos conformes
nao garante que as propriedades do problema contnuo sejam transferidas para o
problema discreto. No caso do Problema Sh, a dificuldade reside em encontrar
espacos de elementos finitos que verifiquem a contrapartida discreta da LBB, repre-
sentada pela equacao (2.30). Ou seja, a questao da aproximacao de Galerkin para
o Problema de Stokes e encontrar espacos de elementos finitos para a velocidade
e para a pressao que sejam LBB-estaveis. Escolhas naturais como elementos la-
grangianos de mesma ordem podem resultar em oscilacoes para a pressao bem como
no fenomeno de trancamento do campo de velocidades. Experimentos demonstrando
estas patologias podem ser encontrados, por exemplo, em [15, 34].
No Captulo 6 apresentaremos novas formulacoes de elementos finitos desenvolvi-
das para a aproximacao do escoamento acoplado de um fluido livre com um meio
poroso por ele saturado. Tais formulacoes serao obtidas pela combinacao de metodos
de elementos finitos estabilizados para o escoamento no meio poroso tema de es-
tudo do Captulo 4 com metodos estaveis ou estabilizados para o escoamento de
Stokes. Neste sentido, apresentamos a seguir uma formulacao de elementos finitos
estavel e formulacoes estabilizadas de Petrov-Galerkin existentes na literatura, para
a aproximacao do sistema de Stokes.
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 26
3.2.1 Um Metodo de Galerkin Estavel
Seja Skh o espaco de elementos finitos lagrangianos C0() de grau k 1 em cada va-riavel espacial para elementos quadrilaterais e em ambas as variaveis para elementos
triangulares:
Skh = {h C0(); h|e Pk,k(e) e Th} para quadrilateros eSkh = {h C0(); h|e Pk(e) e Th} para triangulos,
(3.20)
onde Pk,k(e) e o conjunto dos polinomios definidos em e, com graus menores ou
iguais a k nas variaveis espaciais x1 e x2, respectivamente, e Pk(e) e o conjunto dos
polinomios definidos em e, com graus menores ou iguais a k em x1x2. Alem deste
espaco, utilizaremos tambem o espaco de elementos finitos lagrangianos descontnuos
de grau k 0 dado por:
Skh = {vh L2(); vh|e Pk,k(e) e Th} para quadrilateros eSkh = {vh L2(); vh|e Pk(e) e Th} para triangulos.
(3.21)
O emprego dos espacos de Taylor-Hood
Uk+1h = [Sk+1h ]2 U e Pkh = Skh P (3.22)
no Problema Sh, resulta em aproximacoes estaveis (ver, por exemplo, VERFURTH
[35]) e, segundo a equacao (2.31), temos a seguinte limitacao para o erro:
uuhU+pphP C(u vhU + p qhP) {vh, qh} Uk+1h Pkh (3.23)
com C independente de h.
Para os espacos Skh() e valida a seguinte propriedade de interpolacao, cuja provapode ser encontrada em [36, 37]:
Teorema 5 (Interpolacao) Para toda funcao Hm+1() existe uma constanteC, independente de h, e uma projecao h Skh tais que
h+ hh Chm+1 ||m+1 para 1 m k (3.24)
A partir do uso do Teorema 5 em (3.23) temos, para solucoes suficientemente
regulares, as seguintes estimativas de erro para as aproximacoes de Taylor-Hood
p ph Chk+1 (|u|k+2 + |p|k+1) (3.25)
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 27
u uh1 Chk+1 (|u|k+2 + |p|k+1) (3.26)
cujas taxas de convergencia sao otimas para a pressao na norma de L2() e para a
velocidade na norma de H1(). Utilizando argumentos de dualidade, taxas otimas
para a velocidade na norma de L2() tambem sao verificadas (ver, por exemplo,
[35, 38]), segundo a estimativa
u uh Chk+2 (|u|k+2 + |p|k+1) . (3.27)
3.2.2 Formulacoes Estabilizadas
Devido ao seu amplo desenvolvimento durante as duas ultimas decadas, dentre as
diversas formulacoes estabilizadas para este problema, discutiremos aqui apenas al-
gumas estabilizacoes de Petrov-Galerkin, cujas caractersticas se adequam ao escopo
da tese.
A base da construcao dos metodos estabilizados de Petrov-Galerkin para um pro-
blema geral e a combinacao de resduos, a nvel dos elementos, das equacoes diferen-
ciais que governam o problema (geralmente multiplicados por termos dependentes
do parametro de malha) com a sua formulacao de Galerkin. Estas combinacoes
visam a obtencao de formulacoes variacionalmente consistentes com propriedades
de estabilidade superiores a`s da aproximacao original. Exemplos classicos sao o
metodo SUPG (Streamline Upwind/Petrov-Galerkin) introduzido por BROOKS E
HUGHES [6] para a estabilizacao de problemas predominantemente convectivos, e
os trabalhos de LOULA et al. [39, 40] aplicados a` teoria da viga de Timoshenko.
Quando aplicados a`s formulacoes mistas, como na ultima referencia citada, estes
metodos procuram satisfazer ou contornar as condicoes impostas pelo teorema de
Brezzi, conforme destacado por FRANCA E HUGHES [41] e por FRANCA [42].
A primeira aplicacao de um metodo de Petrov-Galerkin a um problema misto foi
justamente no contexto da estabilizacao do problema de Stokes, onde HUGHES et
al. [43] propoem uma formulacao nao-simetrica, dada por
Problema HFB: Encontrar o par {uh, ph} Uh Ph tal que {vh, qh}
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 28
Uh Ph
2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) + (divuh, qh)
+ eTh
h2e (2divD(uh) +ph,qh)e
= (f ,v) + eTh
h2e (f ,qh)e (3.28)
onde e uma constante positiva, he e um parametro representativo do tamanho do
elemento, e utilizamos a notacao
(, )e =
ed. (3.29)
Esta formulacao possui estabilidade superior a` da formulacao de Galerkin, e em [43]
e provada convergencia para quaisquer combinacoes de interpolacoes C0() para a
velocidade e a pressao. Em particular, tais resultados se aplicam a interpolacoes de
mesma ordem. Para a escolha Uh = U lh e Ph = Pkh , temos a estimativa
u uh21 + eTh
h2epph2 C1h2lu2l+1 + C2h2(k+1)p2k+1. (3.30)
Esta estimativa indica que a escolha de interpolacoes lineares ou bilineares para
ambas as variaveis (l = k = 1) conduz apenas a` limitacao do gradiente da pressao.
Contudo os autores conjecturam taxa de convergencia linear para a pressao na norma
de L2(). Um questao relevante para este metodo e a escolha do parametro . Neste
caso ha a limitacao
0 < < C (3.31)
onde C e uma constante dependente da constante CI da seguinte estimativa inversa
CIeTh
h2e divD(vh)2e D(vh)2 vh U lh
com
2e = (, )e . (3.32)
Um comentario final para esta formulacao e que ha ainda a possibilidade do uso
de interpolacoes descontnuas para a pressao, dadas pela definicao do espaco
Pkh = Skh P
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 29
com Skh definido em (3.21). Esta escolha, indicada mas nao analisada em [43],nao garante estabilidade superior a` da formulacao de Galerkin. Neste sentido,
HUGHES E FRANCA apresentam em [14] um metodo convergente para quais-
quer combinacoes de interpolacoes contnuas para a velocidade com interpolacoes
contnuas ou descontnuas para a pressao. Este metodo preserva a simetria da for-
mulacao de Galerkin por ser baseado na combinacao do resduo de mnimos quadra-
dos da equacao de Stokes (3.8), fornecendo:
Problema HF: Encontrar o par {uh, ph} U lhPh tal que {vh, qh} U lhPh
2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) (divuh, qh)
eTh
h2e (2divD(uh) +ph,2divD(vh) +qh)e
eh
h[p], [q]e (3.33)
= (f ,v) eTh
h2e (f ,2divD(vh) +qh)e (3.34)
onde Ph = Pkh ou Ph = Pkh , e sao parametros positivos, h representa a colecaodas interfaces dos elementos, [p] e o salto de p ao longo da interface e (identicamente
nulo para escolha Ph = Pkh) e h e o comprimento ou diametro desta interface.A existencia do termo de salto da pressao resulta no acoplamento desta variavel
entre elementos vizinhos, nao permitindo sua eliminacao ao nvel do elemento. Neste
caso, como ressaltam FRANCA et al. em [44], nao ha motivos para a escolha
de interpolacoes descontnuas ao inves de contnuas para a pressao. Contudo e
demonstrado em [38] que para a escolha de interpolacoes de grau l 2 (l = 3 paratetraedros) para a velocidade, este termo de salto nao e necessario.
Verificando ao menos uma das condicoes l 2 ou Ph = Pkh , a seguinte estimativade erro em U lhPh pode ser demonstrada para esta formulacao estabilizada [38, 44]
u uh1 + p ph C(hl |u|l+1 + hk+1 |p|k+1
)(3.35)
desde que a solucao exata satisfaca u [H l+1()]2 e p Hk+1(). Considerandoainda que a solucao e regular de forma que seja valida a desigualdade
u2 + p1 Cf, (3.36)
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 30
FRANCA E STENBERG mostram em [38] a seguinte estimativa otima na norma
de L2() para a velocidade:
u uh C(hl+1|u|l+1 + hk+2|p|k+1
).
Apesar de possuir caractersticas de estabilidade superiores a`s da formulacao de
Galerkin e a`s da formulacao de HUGHES et al. [43], este metodo tambem possui
uma limitacao para a escolha do parametro , segundo a` condicao de estabilidade
(3.31) (excecao feita ao emprego de elementos lineares para ambas as variaveis, que
e livre deste limite superior). Como forma de evitar esta condicao de estabilidade
DOUGLAS E WANG apresentam em [16] a seguinte formulacao
Problema DW: Encontrar o par {uh, ph} U lh Ph tal que {vh, qh} U lh Ph
2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) + (divuh, qh)
+ eTh
h2e (2divD(uh) +ph,2divD(vh) +qh)e
+ eh
h[p], [q]e (3.37)
= (f ,v) + eTh
h2e (f ,2divD(vh) +qh)e (3.38)
onde a simetria do problema e abandonada em favor de melhores caractersticas de
estabilidade para aproximacoes de alta ordem. Neste caso a estabilidade e provada
a partir da consideracao > 0 e > 0. Pela troca do sinal da funcao peso q,
podemos apresentar a forma equivalente
2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) (divuh, qh)
eTh
h2e (2divD(uh) +ph, 2divD(vh) +qh)e
eh
h[p], [q]e
= (f ,v) eTh
h2e (f , 2divD(vh) +qh)e
onde fica claro que no metodo de DOUGLAS E WANG [16] a estabilizacao se deve
a` combinacao do resduo adjunto da equacao de Stokes, enquanto na formulacao de
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 31
HUGHES E FRANCA [14], a estabilidade adicional e fornecida pela combinacao do
resduo de mnimos quadrados desta equacao.
Novamente verificando ao menos uma das condicoes l 2 ou Ph = Pkh , e con-siderando que a solucao seja suficientemente regular, encontramos em [44] a seguinte
estimativa de erro em U lh Ph para a formulacao de DOUGLAS E WANG:
u uh1 + p ph C(hl|u|l+1 + hk+1|p|k+1
). (3.39)
Em [16] encontramos ainda prova da estimativa otima em L2() para a velocidade:
u uh Chl+1 (ul+1 + pl) .
Devemos observar que para elementos lineares (triangulos) a formulacao GLS de
HUGHES E FRANCA [14] e a formulacao adjunta de DOUGLAS E WANG [16]
coincidem.
O fato do termo de salto para a pressao nao ser necessario para l 2 ja havia sidopreviamente explorado por KARAM [15] e por KARAM E LOULA [45] que, atraves
de uma aplicacao adequada da teoria de Babuska-Brezzi, apresentam e analisam a
seguinte formulacao simetrica com velocidade contnua e pressao descontnua:
Problema KL: Encontrar o par {uh, ph} U lhPkh tal que {vh, qh} U lhPkh
2 (D(uh),D(vh)) (divvh, ph) (divuh, qh) + (divuh, divvh)
+ eTh
h2e (2divD(uh) +ph,2divD(vh) +qh)e
= (f ,v) + eTh
h2e (f ,2divD(vh) +qh)e (3.40)
onde e sao parametros estritamente positivos. Esta formulacao de Galerkin
Mnimos Quadrados (GLS) difere da de HUGHES E FRANCA [14] principalmente
pelo sinal positivo que multiplica o resduo de mnimos quadrados da equacao de
Stokes e pela estabilidade adicional fornecida pelo resduo de mnimos quadrados da
condicao de incompressibilidade (3.9). Esta combinacao de resduos confere maior
robustez quanto a` escolha dos parametros de estabilizacao, quando comparada ao
metodo de HUGHES E FRANCA [14] (ver, por exemplo, [46, 45]), estando livre
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 32
de limites superiores como o expresso pela desigualdade (3.31). Em [47], os resul-
tados de KARAM [15] e KARAM E LOULA [45] sao estendidos, sendo provada a
convergencia do metodo para o uso interpolacoes contnuas para a pressao, onde a
verificacao de ao menos uma das condicoes l 2 ou Ph = Pkh conduz a` seguinteestimativa de erro em U lh Ph:
u uh1 + p ph C(hl|u|l+1 + hk+1|p|k+1
). (3.41)
Alem do mais, estimativas otimas para a velocidade sao derivadas, fornecendo
u uh C(hl+1|u|l+1 + hk+2|p|k+1
)
desde que valha a regularidade expressa em (3.36).
Observacao 3.1 Os metodos que empregam interpolacoes descontnuas para a pres-
sao, sem a adicao de termos de salto, permitem que esta variavel seja eliminada a
nvel do elemento. Para tal, utilizamos neste trabalho a adicao de uma pequena
compressibilidade, do tipo
(divuh, qh) = (ph, qh). (3.42)
onde e um parametro pequeno. Para maiores detalhes da estrategia de penalizacao
associada a este procedimento, ver [34].
Observacao 3.2 Para a apresentacao da pressao descontnua, KARAM [15] sugere
o uso de um pos-processamento, a partir da resolucao de um problema de mnimos
quadrados. Este procedimento conduz a um campo de pressoes suavizado e unica-
mente determinado nos pontos nodais da malha. Optamos por apresentar os resul-
tados descontnuos que, como veremos, indicam melhor a estabilidade dos metodos.
3.2.3 Um Estudo Numerico
Diversos estudos numericos sao apresentados nas referencias [14, 15, 43, 46], demons-
trando as caractersticas de estabilidade e convergencia dos metodos apresentados.
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 33
Nesta secao realizamos um estudo de convergencia, com o objetivo de testar numeri-
camente os metodos que serao utilizados no Captulo 6 para o desenvolvimento de
formulacoes estabilizadas para o problema acoplado. Denominaremos tais metodos
como:
HF: metodo GLS de HUGHES E FRANCA [14];
DW: metodo adjunto de DOUGLAS E WANG [16] e
KL: metodo GLS de KARAM [15] e KARAM E LOULA [45].
Neste estudo tomamos o problema de Stokes dado pelas equacoes (3.8-3.10) em
um domnio retangular = [0.0, 1.0] [0.5, 1.0], com
f =
(1 + 1/(42)) sin x exp(y/2)(2 1/(2)) cosx exp(y/2)
cuja solucao exata e
u =
1/(22) sin x exp(y/2)
1/ cosx exp(y/2)
(3.43)
p = 1cos x exp(y/2). (3.44)
O estudo sera dividido em duas partes. Na primeira serao analisadas as carac-
tersticas de estabilidade e convergencia dos metodos estabilizados a partir do em-
prego de interpolacoes contnuas para a pressao. Sera analisado tambem o metodo
de Galerkin com elementos de Taylor-Hood biquadraticos para a velocidade e biline-
ares para a pressao (Q2Q1). Na segunda parte serao estudadas as aproximacoes com
o emprego de interpolacoes descontnuas para a pressao. Em todos os experimen-
tos sao prescritas condicoes de contorno de Dirichlet para a velocidade, utilizando
(3.43).
Interpolacoes Contnuas para a Pressao
As solucoes aproximadas foram obtidas com o uso de malhas de 8 4, 16 8,32 16 e 64 32 elementos Q1Q1 e de 4 2, 8 4, 16 8 e 32 16 elementos
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 34
Q2Q2 e de Taylor-Hood Q2Q1. Para a integracao numerica, foi utilizada integracao
por quadratura gaussiana com 4 4 pontos. Em todos os metodos, foi adotadoo parametro de estabilizacao = 0.1, alem de = 1.0 para o metodo KL. Para
eliminar a indeterminacao da pressao, caracterstica de problemas de Dirichlet como
este exemplo, utilizamos ainda uma pequena compressibilidade, como em (3.42),
com = 108.
Nos graficos de convergencia sao apresentadas as curvas do log da norma L2()
dos erros versus log(h). Os resultados para a pressao com o uso dos elementosQ1Q1 sao apresentados na Figura 3.1. Taxas de convergencia acima das esperadas
pelas estimativas (3.35) e (3.39) sao obtidas para os metodos HF e DW: O(h1.5)
para pph e O(h0.5) para pph. Ja o metodo KL apresenta forte sensibili-dade a` escolha dos parametros de estabilizacao, fornecendo solucoes instaveis para a
pressao para a adocao = 0.1 e = 1.0, com elementos Q1Q1. Em verdade, varias
outras escolhas foram testadas; porem, todas indicaram uma fraca estabilidade.
Esta ausencia de estabilidade tem reflexo sobre a aproximacao da velocidade, como
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES Q1Q1; PRESSAO
1.5
1
HF DW KL
(a)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES Q1Q1; GRADIENTE DA PRESSAO
0.51
HF DW KL
(b)
Figura 3.1: Formulacoes para Stokes com pressao contnua: elementos Q1Q1; (a)
pressao e (b) gradiente da pressao.
mostra a Figura 3.2. Embora os erros para o metodo KL sejam proximos dos obtidos
pelos metodos HF e DW, eles indicam uma convergencia nao-uniforme, enquanto os
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 35
outros metodos apresentam taxas de convergencia rigorosamente de acordo com as
esperadas pela analise: O(h2.0) para u uh e O(h1.0) para uuh.
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES Q1Q1; VELOCIDADE
2
1
HF DW KL
(a)
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES Q1Q1; GRADIENTE DA VELOCIDADE
1
1
HF DW KL
(b)
Figura 3.2: Formulacoes para Stokes com pressao contnua: elementos Q1Q1; (a)
velocidade e (b) gradiente da velocidade.
Para ilustrar os resultados, nas Figuras 3.3, 3.4 e 3.5 sao comparadas as solucoes
dos metodos DW e KL, obtidas a partir do emprego de uma malha de 16 8elementos Q1Q1. A solucao do metodo HF e inteiramente similar a` do metodo DW.
Os resultados para a pressao com elementos Q2Q2 sao apresentados na Figura
3.6. Eles indicam que todos os metodos fornecem as taxas de convergencia subotimas
O(h2.0) para p ph e O(h1.0) para pph, como esperado pela analise.Os graficos para a velocidade com elementos Q2Q2, apresentados na Figura 3.7,
mostram que o erro para os tres metodos e praticamente o mesmo, conduzindo a`s
taxas otimas de convergencia O(h3.0) para u uh e O(h2.0) para u uh.Para ilustrar2 a pressao precisamente aproximada, apresentamos na Figura 3.8 a
solucao dos metodos DW e KL para malha de 8 4 elementos Q2Q2.Para concluir a primeira parte do estudo, apresentamos os resultados para os ele-
mentos de Taylor-Hood Q2Q1. Como vimos, este elemento conduz a aproximacoes
2Ao longo da tese, a representacao das solucoes obtidas por elementos biquadraticos se dara
pela sua subdivisao em quatro elementos bilineares.
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 36
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.60.8
1
1
0.5
0
0.5
1
YX
P
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.60.8
1
1
0.5
0
0.5
1
YX
P
(b)
Figura 3.3: Problema de Stokes; Pressao aproximada com uma malha de 16 8elementos Q1Q1: (a) DW e (b) KL.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.60.8
1
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
YX
Ux
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.60.8
1
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
YX
Ux
(b)
Figura 3.4: Problema de Stokes; Componente na direcao x da velocidade aproximada
com uma malha de 16 8 elementos Q1Q1: (a) DW e (b) KL.
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 37
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.60.8
1
1
0.5
0
0.5
1
YX
Uy
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.60.8
1
1
0.5
0
0.5
1
YX
Uy
(b)
Figura 3.5: Problema de Stokes; Componente na direcao y da velocidade aproximada
com uma malha de 16 8 elementos Q1Q1: (a) DW e (b) KL.
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES Q2Q2; PRESSAO
2
1
HF DW KL
(a)
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES Q2Q2; GRADIENTE DA PRESSAO
1
1
HF DW KL
(b)
Figura 3.6: Formulacoes para Stokes com pressao contnua: elementos Q2Q2; (a)
pressao e (b) gradiente da pressao.
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 38
-6.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES Q2Q2; VELOCIDADE
3
1
HF DW KL
(a)
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6lo
g||err
o||-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES Q2Q2; GRADIENTE DA VELOCIDADE
2
1
HF DW KL
(b)
Figura 3.7: Formulacoes para Stokes com pressao contnua: elementos Q2Q2; (a)
velocidade e (b) gradiente da velocidade.
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.60.8
1
1
0.5
0
0.5
1
YX
(a)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 0.60.8
1
1
0.5
0
0.5
1
YX
(b)
Figura 3.8: Problema de Stokes; Pressao aproximada com uma malha de 8 4elementos Q2Q2: (a) DW e (b) KL.
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 39
estaveis para o metodo de Galerkin. Assim, e interessante analisar o efeito das dife-
rentes estabilizacoes sobre uma aproximacao que e inicialmente estavel. Os graficos
para a pressao e para a velocidade apresentados na Figuras 3.9 e 3.10, respectiva-
mente, mostram que que todos os metodos estabilizados preservam a boa aproxi-
macao do metodo de Galerkin com elementos de Taylor-Hood.
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES + Taylor-Hood; PRESSAO
2
1
HF DW KL
GALERKIN
(a)
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES + Taylor-Hood; GRADIENTE DA PRESSAO
1
1
HF DW KL
GALERKIN
(b)
Figura 3.9: Formulacoes para Stokes com pressao contnua: elementos de Taylor-
Hood Q2Q1; (a) pressao e (b) gradiente da pressao.
Interpolacoes Descontnuas para a Pressao
Para o estudo de estabilidade e convergencia dos metodos estabilizados com pressao
descontnua, adotamos malhas de 4 2, 8 4, 16 8 e 32 16 elementos Q2Q2e Q2Q1, onde denotamos as interpolacoes descontnuas com subndices negativos.
Para a integracao numerica, foi utilizada integracao por quadratura gaussiana com
33 pontos. Novamente foi adotado o parametro de estabilizacao = 0.1 em todosos metodos, alem de = 1.0 para o metodo KL. Para a eliminacao da pressao ao
nvel do elemento, utilizamos = 109 em (3.42).
Os resultados para a pressao e para a velocidade, com o uso de elementos Q2Q2
sao apresentados nas Figuras 3.11 e 3.12, respectivamente. Eles indicam excelente
estabilidade para todos os metodos, fornecendo taxas de convergencia em acordo
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 40
-6.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES + Taylor-Hood; VELOCIDADE
3
1
HF DW KL
GALERKIN
(a)
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log||
erro||
-log(h)
Formulacoes com PC: STOKES + Taylor-Hood; GRADIENTE DA VELOCIDADE
2
1
HF DW KL
GALERKIN
(b)
Figura 3.10: Formulacoes para Stokes com pressao contnua: elementos de Taylor-
Hood Q2Q1; (a) velocidade e (b) gradiente da velocidade.
com sua analise: O(h2.0) para p ph, O(h1.0) para p ph, O(h3.0) parau uh e O(h2.0) para uuh.
Contudo, as taxas de convergencia obtidas para o elemento Q2Q2 sao subotimas
para a pressao, o que nos motiva a estudar a estabilidade dos metodos com o em-
prego do elemento Q2Q1. Os resultados para a aproximacao da pressao, apresen-
tados na Figura 3.13 mostram que as mesmas taxas obtidas para o elemento Q2Q2
sao fornecidas para o elemento Q2Q1. Nestes graficos pode ser notada uma nao
uniformidade na convergencia do metodo HF. Este mesmo comportamento e verifi-
cado na Figura 3.14, onde apresentamos os resultados para a velocidade. Neste caso
o metodo de DW apresenta, novamente, estabilidade superior a` dos metodos HF e
KL.
Finalmente, ilustramos na Figura 3.15 a pressao aproximada, sem pos processa-
mento, pelo metodo KL para malha de 8 4 elementos Q2Q2. As solucoes para osmetodos DW e HF sao inteiramente analogas.
Observacao 3.3 Como comentario final, citamos que o emprego, neste exemplo,
dos elementos Q1Q1 sem a estabilizacao sobre o salto da pressao entre os elemen-
tos, conduz a aproximacoes instaveis para a pressao para todos os tres metodos
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 41
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log
||erro
||
-log(h)
Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-2; PRESSAO
2
1
HF DW KL
(a)
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6lo
g ||e
rro||
-log(h)
Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-2; GRADIENTE DA PRESSAO
1
1
HF DW KF
(b)
Figura 3.11: Formulacoes para Stokes com pressao descontnua: elementos Q2Q2;
(a) pressao e (b) gradiente da pressao.
-7.5
-7
-6.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log
||erro
||
-log(h)
Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-2; VELOCIDADE
3
1
HF DW KL
(a)
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log
||erro
||
-log(h)
Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-2; GRADIENTE DA VELOCIDADE
2
1
HF DW KL
(b)
Figura 3.12: Formulacoes para Stokes com pressao descontnua: elementos Q2Q2;
(a) velocidade e (b) gradiente da velocidade.
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 42
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log
||erro
||
-log(h)
Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-1; PRESSAO
2
1
HF DW KL
(a)
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6lo
g ||e
rro||
-log(h)
Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-1; GRADIENTE DA PRESSAO
1
1
HF DW KL
(b)
Figura 3.13: Formulacoes para Stokes com pressao descontnua: elementos Q2Q1;
(a) pressao e (b) gradiente da pressao.
-7
-6.5
-6
-5.5
-5
-4.5
-4
-3.5
-3
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log
||erro
||
-log(h)
Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-1; VELOCIDADE
3
1
HF DW KL
(a)
-4.5
-4
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6
log
||erro
||
-log(h)
Formulacoes com PD: STOKES Q2Q-1; GRADIENTE DA VELOCIDADE
2
1
HF DW KL
(b)
Figura 3.14: Formulacoes para Stokes com pressao descontnua: elementos Q2Q1;
(a) velocidade e (b) gradiente da velocidade.
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 43
00.2
0.40.6
0.81 0.5
0.60.7
0.80.9
1
0.5
0
0.5
1
YX
P
Figura 3.15: Problema de Stokes; Pressao aproximada com uma malha de 8 4elementos Q2Q2
estabilizados estudados. Contudo, as velocidades aproximadas com esta escolha sao
estaveis. A instabilidade referida e do tipo tabuleiro de damas. Para ilustra-la,
apresentamos na Figura 3.16 a pressao aproximada pelo metodo DW com o uso de
16 8 elementos Q1Q1. Os resultados para os outros metodos sao analogos.
3.3 Conclusoes
Vimos neste captulo que a aplicacao do metodo de Galerkin para a aproximacao do
sistema de Stokes modelo utilizado nesta tese para o escoamento do fluido livre
esta sujeita a condicoes de compatibilidade entre os espacos discretos utilizados para
a interpolacao das variaveis do sistema: velocidade e pressao. Foi apresentada uma
combinacao estavel, constituda pelos elementos de Taylor-Hood, e foram discutidas
algumas formulacoes estabilizadas de Petrov-Galerkin que adicionam estabilidade
ao metodo de Galerkin atraves da combinacao consistente de resduos das equacoes
de governo. Tais formulacoes estabilizadas possuem capacidade de aproximacao
superior, possibilitando o emprego de combinacoes de interpolacoes inicialmente
-
CAPITULO 3 - Metodos de Elementos Finitos Para o Escoamento de Stokes 44
00.2
0.40.6
0.81 0.5
0.60.7
0.80.9
1
1000
500
0
500
1000
YX
P
Figura 3.16: Problema de Stokes; instabilidade da pressao para elementos Q1Q1
instaveis para o metodo de Galerkin, tais como as de mesma ordem para ambas
as variaveis. Vimos ainda uma caracterstica marcante da maioria das formulacoes
estabilizadas de Petrov-Galerkin para o Problema de Stokes: a sensibilidade a`
escolha dos parametros de estabilizacao. Um estudo de convergencia apresentado
no final do captulo demonstrou as caractersticas de estabilidade e convergencia
preditas pela analise dos metodos abordados. Os topicos estudados neste captulo
terao um papel importante ao longo da tese. Principalmente para o desenvolvimento,
no Captulo 6, de formulacoes estabilizadas para o escoamento acoplado do fluido
livre com o meio poroso.
-
Captulo 4
Metodos de Elementos Finitos
para o Escoamento de Darcy
Neste captulo apresentamos metodos de elementos finitos aplicados ao escoamento
de um fluido incompressvel em um meio poroso rgido. Apos introduzir o pro-
blema modelo, descrevemos a aplicacao do metodo de Galerkin a`s suas formulacoes
classicas, elucidando suas principais limitacoes. Em seguida comentamos algumas
formulacoes estabilizadas para o problema, existentes na literatura. Mostramos a
equivalencia entre a formulacao adjunta de MASUD E HUGHES [12] com uma for-
mulacao simetrica, e associamos a origem da tecnica de pos-processamento global de
LOULA et al. [3] com uma formulacao mista estabilizada. A partir da combinacao
de resduos de mnimos quadrados com as formulacoes variacionais mistas classicas,
novas formulacoes estabilizadas sao propostas, incluindo um metodo que utiliza in-
terpolacoes descontnuas para o potencial. Estudos numericos serao apresentados
ao longo do captulo comprovando as caractersticas de estabilidade e convergencia
preditas pela analise dos metodos.
4.1 Escoamento de Darcy
O escoamento de um fluido newtoniano incompressvel em um meio poroso rgido e
representado por um sistema de equacoes diferenciais parciais composto pela con-
servacao da massa fluida mais a lei de Darcy, que relaciona a velocidade media de
45
-
CAPITULO 4 - Metodos de Elementos Finitos para o Escoamento de Darcy 46
escoamento nos poros com o gradiente de um potencial. Nesta secao descreveremos
a lei de Darcy, a partir de seu carater experimental e a partir de hipoteses simplifi-
cadoras para o balanco de momento linear de um fluido newtoniano incompressvel
que escoa em um meio poroso rgido. Assim como apresentamos para o escoamento
de Stokes no captulo anterior, ao final sera derivado o sistema de equacoes que de-
screve a dinamica do escoamento no meio poroso, ao qual denominaremos problema
de Darcy.
4.1.1 Lei de Darcy: Forma Emprica Unidimensional
A relacao entre a taxa de escoamento de um fluido em um meio poroso e a diferenca
de potencial a ele aplicada foi primeiramente quantificada por Henri Darcy em 1856
[48]. Seu experimento consistia em fazer escoar, sob pressao, um fluido de massa
especfica e viscosidade uniformes atraves de um tubo cilndrico de secao transversal
uniforme A, com uma parte de espessura L preenchida com areia completamente
saturada, conforme mostra a Figura 4.1.
h
Hh
H
Areia L
Figura 4.1: Esquema do experimento de Darcy.
A carga hidraulica h e medida, atraves de piezometros, em dois pontos do tubo.
Esta grandeza mede a energia potencial de uma massa unitaria do fluido localizado
-
CAPITULO 4 - Metodos de Elementos Finitos para o Escoamento de Darcy 47
no ponto em estudo, possuindo duas componentes,
h = z +p
g(4.1)
onde z e a elevacao do ponto em relacao a um nvel, p e a pressao no fluido, sua
massa especfica e g a magnitude da aceleracao da gravidade. O termo p/g mede
a elevacao do fluido no piezometro.
Experimentalmente verifica-se que a taxa de escoamento Q (volume do fluido
que atravessa a secao por unidade de tempo) e proporcional a` area A da secao
transversal e a` diferenca de carga (H h), alem de ser inversamente proporcionalao comprimento L, ou seja
Q AH hL
.
Denominando a constante de proporcionalidade por condutividade hidraulica K
e expressando em termos da taxa de variacao da carga hidraulica, podemos escrever
a forma unidimensional da lei de Darcy
Q = KAdhdl. (4.2)
E muito frequente o uso da velocidade de Darcy, dada por
u =Q
A= Kdh
dl.
Esta e uma velocidade media tomada a partir da vazao sobre toda a secao A, e nao
deve ser confundida com a velocidade real do fluido nos poros, que deve ser medida
a partir da area efetiva dos poros na secao.
4.1.2 Extensao da Lei de Darcy
A condutividade hidraulica, conforme definida, e uma grandeza dependente das
caractersticas do meio poroso e do fluido que escoa. Verifica-se que para um dado
meio
K g
com sendo a viscosidade dinamica do fluido, ou ainda
K =g
-
CAPITULO 4 - Metodos de Elementos Finitos para o Escoamento de Darcy 48
onde e uma grandeza puramente geometrica denominada permeabilidade intrnseca
do meio poroso. Para o caso mais geral, onde a ma