tesis - pessoas.unifal-mg.edu.br€¦ · Title: tesis.dvi Created Date: 7/18/2002 10:56:18 PM

Ihosvany Camps Rodrıguez

Estudo das propriedades

eletronicas e de emissao de um

laser de fonons

Dissertacao apresentada como requisito parcial para

obtencao do tıtulo de Doutor em Fısica

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

INSTITUTO DE FISICA

Orientador: Dr. Sergio Saul Makler

Niteroi - Rio de Janeiro

2001

A minha mae,

A minha avo,

A Mirta,

A Mila.

AgradecimentosA Mirta, pelo seu amor e compreensao e por ter-me cedido parte do seu

“tempo de maquina” no nosso computador;

A Mila, minha filha, por ter sido tao tranquila nos momentos fundamentais;

Ao Sergio, por ter-me ensinado muito mais do que Fısica e ter sido mais

do que um excelente orientador;

Ao CLAF, pelo financiamento deste trabalho;

A Niteroi, por ter-me mostrado coisas mais belas que a vista para o Rio;

Ao Brasil, por ter-me permitido realizar um sonho.

ResumoO assunto central desta tese e o estudo das propriedades eletronicas e de

emissao de um laser de fonons (saser).

O laser de fonons aqui estudado consiste numa heterostrutura de dupla

barreira (HDB) feita de ��. O funcionamento consiste no decai-

mento dos eletrons do estado excitado dentro do poco, ao nıvel fundamental.

Este decaimento ocorre emitindo fonons longitudinais opticos primarios �� .

Tais fonons por sua vez, decaem num par de fonons longitudinais opticos se-

cundarios �� e transversais acusticos �. Os fonons � assim produzidos

formam um feixe coerente de ultra-alta-frequencia (da ordem dos �).

Para estudar as propriedades eletronicas, numa primeira aproximacao, par-

timos de um sistema de equacoes cineticas fenomenologicas (ECF) que des-

crevem a dinamica das populacoes dos eletrons e fonons no saser. Numa

aproximacao mais realista, partindo de um hamiltoniano que leva em conta ex-

plicitamente as interacoes eletron-fonon e fonon-fonon calculamos a corrente

eletronica atraves da HDB. Alem disso, obtivemos um sistema de equacoes

cineticas totalmente quanticas (ECQ). Fazendo algumas aproximacoes, este

sistema de ECQ e reduzido ao sistema de ECF. Os resultados obtidos atraves

do sistema de ECQ sao similares aos obtidos com o sistema de ECF.

Para estudar as propriedades de emissao, fazemos uso dos conceitos usuais

na teoria do laser e dos estados coerentes. Utilizando tais conceitos foi possıvel

obter o limiar a partir do qual comeca a emissao coerente no saser. O limiar de

“sazing” calculado e pequeno indicando que a injecao necessaria para obter a

emissao estimulada coerente e baixa.

AbstractThe aim of this thesis is to study of the electronic and emission properties

of a phonon laser (saser).

The phonon laser studied here consists in a double barrier heterostructure

(DBH) made of ��. The device works through the decay of the excited

electrons in the well to the ground state. Due to this decay, primary longitu-

dinal optical phonons �� are emitted. These phonons also decay in a pair

of secondary longitudinal optical phonons �� and transversal acoustic pho-

nons �. The � phonons produced in this way form an ultra high frequency

coherent beam.

To study the electronic properties, in a first approximation, we start from a

system of phenomenological kinetic equations (PKE) that describes the dyna-

mics of the electrons and phonons in the saser. In a more realistic approxi-

mation, using a Hamiltonian that take into account the electron-phonon and

phonon-phonon interactions, we calculate the electronic current through the

DBH. Moreover, we get a system of full quantum kinetic equations (QKE). Doing

some approximations the QKE system is reduced to the PKE system. The re-

sults obtained from the QKE system are similar to those obtained from the

PKE.

To study the emission properties we use the standard laser theory and cohe-

rent states. Using these concepts it is possible to obtain the threshold for

coherent emission. The calculated sazing threshold is low, meaning that the

injection level needed also is low.

Conteudo

1 Introducao 1

1.1 Coerencia temporal e espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Emissao de ondas eletromagneticas coerentes . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Emissao estimulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Emissao coerente e estimulada de fonons . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Descricao do saser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 Aplicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Eletrons e fonons 13

2.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Eletrons quase-livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Interacao eletron-fonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.1 Intensidade da interacao eletron-fonon . . . . . . . . . . . . 21

2.4.2 Taxa de emissao dos fonons �� . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.4.3 Hamiltoniano em segunda quantizacao . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Interacao fonon-fonon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Interacao eletron-eletron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7 Hamiltoniano total �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.8 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Solucao do hamiltoniano total �� 39

3.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

i

ii CONTEUDO

3.2 Solucao do hamiltoniano total �� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.3 Ramos polaronicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 Calculo da corrente, da transmitancia e da refletancia . . . . . . . 49

3.4.1 Calculo da transmitancia e refletancia . . . . . . . . . . . . 49

3.4.2 Calculo da corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4 Equacoes cineticas 55

4.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 Equacoes cineticas fenomenologicas (ECF) . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Equacoes cineticas quanticas (ECQ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.4 Obtencao das ECF a partir das ECQ . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5 Estudo das propriedades de emissao 69

5.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Emissao em multiplos modos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3.1 Equacoes de Heisenberg-Langevin . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.3.2 Aproximacao adiabatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.4 Emissao num so modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.5 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6 Conclusoes finais 89

6.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2 Trabalhos originados desta tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.1 Trabalhos publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.2.2 Congressos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

A Parametros utilizados na tese 93

B Efeitos da acumulacao de carga 95

CONTEUDO iii

C Calculo de �� 99

D Situacao experimental do saser 101

iv CONTEUDO

Lista de Figuras

1.1 Processos resultantes da interacao entre a radiacao e a materia. . 5

1.2 Perfil do dispositivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Imagem com fonons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1 Inverso do tempo de relaxacao dos fonons ��. . . . . . . . . . . . 15

2.2 Perfil da regiao de dispersao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Diagrama esquematico do hamiltoniano ��. . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 Funcao deslocamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.5 Campos eletricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6 Elemento de matriz efetivo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.7 Taxa de emissao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1 Diagrama do sistema de amplitudes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Energias do polaron. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Comparacao da transmitancia atraves da dupla barreira com e

sem renormalizacao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Transmitancia atraves da dupla barreira. . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Refletancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.6 Corrente de eletrons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.1 Populacoes dos fonons �� e ��. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2 Populacao e intensidade saser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Diagrama para as diferentes taxas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 Atratores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

v

vi LISTA DE FIGURAS

5.2 Atratores perceptivos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Instabilidade de Benard. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.4 Instabilidade de Belousov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5 Potencial vs amplitude ��. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.6 Populacao coerente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.7 Regiao de coerencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.8 Regiao de decoerencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.9 Solucao da equacao diferencial para as populacoes dos fonons �

coerentes. Potencial aplicado � � �� . . . . . . . . . . . 87

5.10Solucao da equacao diferencial para as populacoes dos fonons �

coerentes. Potencial aplicado � � �� . . . . . . . . . . . . 88

B.1 Diagrama de fluxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

D.1 Espectro de fotoluminescencia para a amostra crescida na USP. . 102

D.2 Ficha de crescimento da estrutura BH9920 . . . . . . . . . . . . . 104

D.3 Ficha de crescimento da estrutura BH9921 . . . . . . . . . . . . . 105

D.4 Espectros de fotoluminescencia para a amostra BH9920 . . . . . 106

D.5 Espectro de fotoluminescencia para a amostra BH9921 . . . . . . 107

Lista de Tabelas

1.1 Tempo e comprimento de coerencia para varios tipos de fontes. . 4

2.1 Funcao deslocamento �� e parametros ��, �� e �� para os diferen-

tes modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A.1 Lista de parametros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

D.1 Parametros de crescimento da amostra �� . . . . . . . . . . . . 102

vii

Capıtulo 1

Introducao

Neste capıtulo veremos brevemente os conceitos de coerencia temporal e coerencia

espacial. Veremos tambem a necessidade dos processos de emissao estimu-

lada e da existencia de um limiar para a obtencao de uma fonte de luz coe-

rente. Para isso apresentaremos, tambem brevemente, as etapas historicas ate

a construcao do primeiro laser e o desenvolvimento posterior de varios tipos de

laser.

Serao descritas as propriedades fundamentais assim como o princıpio de

funcionamento do laser de fonons estudado aqui.

Finalmente mostraremos algumas das aplicacoes atuais nas quais os fonons

sao utilizados na obtencao de imagens assim como futuras aplicacoes para o

saser.

1.1 Coerencia temporal e espacial

O conceito de coerencia frequentemente e dividido em dois: coerencia temporal

e coerencia espacial. A seguir apresentaremos os dois conceitos [1].

Definimos o tempo de coerencia �� como o intervalo temporal no qual

e possıvel prever razoavelmente a fase da onda num determinado ponto no

espaco. Ele depende intrinsecamente da estabilidade da fase no decorrer do

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCAO

tempo. Quanto maior o valor de ��, maior o grau de coerencia temporal da

onda. Este tempo pode ser calculado como

��

�(1.1)

sendo � a largura de banda da onda.

A partir do tempo de coerencia e definido o comprimento de coerencia lon-

gitudinal como �� , sendo � a velocidade da onda no meio no qual esta

propagando-se. O significado do mesmo e similar ao de ��: o comprimento de

coerencia representa a extensao espacial na qual a onda e suavemente senoidal

de maneira que e possıvel determinar sua fase com exatidao.

Da definicao (1.1) temos que a coerencia temporal e uma manifestacao da

pureza espectral. Se a onda fosse idealmente monocromatica, teria uma forma

senoidal perfeita com um tempo (ou comprimento) de coerencia infinito.

A coerencia temporal as vezes e chamada de coerencia espacial longitudinal

(tendo como direcao longitudinal a direcao de propagacao da onda).

A coerencia espacial esta relacionada com o tamanho de fonte. Ha coerencia

espacial quando dois pontos quaisquer separados lateralmente permanecem

em fase no decorrer do tempo. Este tipo de coerencia tambem e chamado de

coerencia espacial lateral. Mas detalhes podem ser visto nas referencias [1–3].

1.2 Emissao de ondas eletromagneticas coerentes

Para se ter ondas coerentes e suficiente ter uma so fonte. Atualmente existem

ondas eletromagneticas (OEM) coerentes em varias faixas do espectro. Exem-

plos delas sao as ondas de radio tanto em amplitude modulada (AM) quanto

em frequencia modulada (FM), as ondas encarregadas das transmissoes de te-

levisao, as microondas utilizadas nos celulares e nos radares, entre outras.

Todas estas ondas tem em comum a maneira como sao geradas: devido ao

movimento oscilatorio e coletivo das cargas eletricas presentes numa antena.

Agora, como obter OEM coerentes nas vizinhancas da regiao visıvel do es-

1.3. EMISSAO ESTIMULADA 3

pectro? A maneira mais comum de gerar ondas luminosas e atraves das

transicoes dos eletrons entre dois nıveis eletronicos nos atomos de um material

determinado, seja este gasoso, lıquido ou solido. Por isto, cada atomo constitui

uma fonte emissora de radiacao. Como fazer para que todos (ou a grande mai-

oria) dos atomos emitam em fase e assim obter uma radiacao coerente? Para

isso aplicam-se dois conceitos: a emissao estimulada e uma cavidade resso-

nante que seleciona um modo provocando a auto-organizacao (ou “lasing”).

A emissao estimulada consiste no decaimento de um eletron devido a pre-

senca de um foton inicial. Com isto, o segundo foton emitido pertence ao

mesmo modo (igual vetor de onda �; i.e., igual frequencia, direcao e fase) que o

primeiro foton. Esta teoria foi apresentada por Einstein e sera vista na proxima

secao.

Mesmo com a emissao estimulada presente no meio, e possıvel que tal

emissao ocorra com certa probabilidade em mais de um modo ao mesmo tempo.

E, por isso, necessario ultrapassar um limiar a partir do qual somente a emissao

num modo determinado seja favorecida. Depois de alcancado este limiar, a

probabilidade de emissao no modo selecionado e maior que a soma das proba-

bilidades de todos os outros modos. Para selecionar um modo em particular,

o meio coloca-se numa cavidade ressonante. Em geral, esta cavidade resso-

nante consiste em dois espelhos com alto grau de refletividade. A natureza

de tais espelhos depende propriamente do dispositivo. Depois de alcancado o

limiar, o modo selecionado passa a escravizar os outros assegurando-se assim

a emissao somente nesse modo.

Na tabela 1.1 podemos ver a largura de banda, assim como o tempo e o

comprimento de coerencia para diferentes tipos de fontes.

1.3 Emissao estimulada

Em 1916 Einstein [4] desenvolveu uma teoria sobre o equilıbrio dinamico entre

um meio material e uma onda eletromagnetica. Alem da existencia dos pro-

cessos de emissao (figura 1.1a) e absorcao (figura 1.1b), Einstein demonstrou


Tabela 1.1: Tempo e comprimento de coerencia para varios tipos de fontes.

Fonte1 � ��

Luz branca ��

Termica (Infra-vermelho) �� ( �� - �� )

Mercurio �� Lampada de descarga de �� Laser de �! estabilizado �� "� � ��

Laser especial de �! �� 1Dados tomados da referencia [1].

�Comprimento de onda medio. �Largura de banda.

a existencia de outro processo chamado de emissao estimulada (figura 1.1c).

Neste processo a existencia de um foton de energia #� � $� � $� estimula os

atomos do estado com energia $� a decair, emitindo mais um foton com as

mesmas propriedades do foton incidente.

A partir da teoria de Einstein, foram desenvolvidos varios dispositivos cujo

princpio de funcionamento baseia-se fundamentalmente na emissao estimu-

lada. A seguir veremos (brevemente) alguns deles.

Nos anos 50 foi apresentado um dispositivo chamado maser [5]. O nome

maser e um acronimo de Microwave Amplification by Stimulated Emission of

Radiation. Como o nome indica, este dispositivo e um amplificador de microon-

das de ruıdo extremamente baixo. Foi desenvolvido fundamentalmente por C.

H. Townes, A. M. Prokhorov e N. G. Basov (todos eles honrados com o Premio

Nobel de Fısica de 1964).

Em 1958, C. H. Townes e A. L. Schawlow mostraram (profeticamente) as

condicoes fısicas necessarias para obter a emissao coerente de luz.

Em julho de 1960, numa conferencia de imprensa em New York, T. H. Mai-

man1 anunciou a criacao do primeiro laser (acronimo de Light Amplification by

Stimulated Emission of Radiation). O laser de Maiman consistia numa barra

de cristal de rubi (��) contendo centros de cor (%��) e a operacao era em

regime pulsado.

1O primeiro trabalho dele referente ao laser nao foi aceito para publicacao na Physical Re-view Letters.

1.3. EMISSAO ESTIMULADA 5

E2

h�

E1

(b)

h�

(a)

h� h�

h�

(c)

Figura 1.1: Processos resultantes da interacao entre a radiacao e a materia: (a)emissao, (b) absorcao, (c) emissao estimulada.

Em fevereiro de 1961, foi apresentado por A. Javan e colaboradores, o laser

de gas de Helio-Neonio operando em regime contınuo.

Em 1962 foi desenvolvido o laser semicondutor (operado em regime de pulso

e a baixas temperaturas). No comeco dos anos 70 foram introduzidos os lasers

semicondutores de heterojuncoes capazes de operar a temperatura ambiente 2.

E importante notar que em 2000 a Academia Sueca de Ciencias decidiu

honrar com o Premio Nobel de Fısica os cientistas Zh. I. Alferov e H. Kroemer,

pelo desenvolvimento das heteroestruturas semicondutoras usadas na micro e

optoeletronica, em particular pelo desenvolvimento do laser de diodo3.

Alem dos dispositivos descritos anteriormente, existem outros emissores de

feixes coerentes por emissao estimulada. Entre eles: o xaser (laser de raios-X

de alta energia [6, 7]), o graser (laser de raios gama [8]) e os lasers de atomos

[9–12].

Por serem de um interesse particular, e tema central desta tese, na proxima

secao discutiremos a geracao coerente e estimulada de ondas de som ou fonons.

2Dentre todos os lasers feitos ate hoje, os mais comuns de encontrar sao os lasers semicon-dutores presentes nas comunicacoes por fibras opticas e nos leitores (e gravadores) de CD-ROMentre outros.

3O outro premiado foi J. S. Kilby pela invencao e desenvolvimento do circuito integrado.


1.4 Emissao coerente e estimulada de fonons

No comeco da decada de 60, a geracao de fonons coerentes foi discutida [13]

e obtida experimentalmente [14, 15]. Algumas aplicacoes e experimentos com

fonons coerentes podem ser vistas em [16].

Uma maneira de gerar este tipo de fonons e fazendo incidir sobre o material

pulsos intensos de laser [17–22]. Em um trabalho de revisao recente [23],

Merlin discute a geracao pulsada de fonons coerentes opticos na frequencia de

� atraves de pulsos intensos de lasers com femto-segundos de duracao.

Os fonons acusticos coerentes tambem podem ser gerados opticamente em

super-redes de GaAs/AlGaAs [24]. Estes fonons terao um comprimento de

onda da ordem do perıodo da superrede de aproximadamente �� A.

Outra maneira de gerar ondas acusticas monocromaticas de alta frequencia

(entre � e � ��) e atraves de termomodulacao induzida por laser [25].

O dispositivo proposto nesta tese (cujas caracterısticas serao apresentadas

mais adiante) gera ondas sonoras por meios eletronicos. Isto tem como vanta-

gens principais sobre os dispositivos anteriores, que o comprimento de onda e

bem menor (menor que �� A) e a frequencia de emissao e de aproximadamente

� �.

A geracao de fonons por emissao estimulada foi analisada teoricamente por

Haken [26]. Bron e Grill [27] reportaram a observacao direta de fonons pro-

duzidos por emissao estimulada num sistema de tres nıveis no rubi (�� )

embutido de ıons de vanadio (� � ). Prieur et al. [28,29] estudaram a emissao

estimulada de fonons num sistema de dois nıveis num vidro. Os fonons assim

gerados tem uma ampla distribuicao de frequencias ao redor de uma frequencia

central & � �� . Por outra parte Zavtrak et al. [30–35] propuseram um

dispositivo formado por um lıquido dieletrico com pequenas partıculas ou bo-

lhas de gas. Tal dispositivo trabalha de maneira semelhante a um laser de

eletrons livres e pode produzir fonons acusticos por emissao estimulada com

frequencias de aproximadamente � ��. Por sua vez, Fokker et al. [36,37] obti-

veram fonons por emissao estimulada dentro de uma cavidade acustica usando

1.5. DESCRICAO DO SASER 7

o dublete Zeeman no rubi. Tais fonons tem frequencias da ordem de �� '�.

Nas referencias [28–38] foi utilizado o termo saser para descrever tais dis-

positivos em analogia ao laser, trocando o “l” de light, pelo “s” de sound.

Na proxima secao descreveremos o princıpio de funcionamento do nosso

saser.

1.5 Descricao do saser

O dispositivo que estudaremos aqui consiste numa dupla barreira de GaAs-

AlGaAs. Ele foi projetado de maneira tal, que a diferenca de energias ( entre

o primeiro estado eletronico excitado (� e o fundamental (� dentro do poco e

da ordem da energia �&� dos fonons opticos longitudinais (��) para pequenos

valores do potencial aplicado. Aqui &� e a frequencia dos fonons �� no ponto

� da zona de Brillouin. O nıvel de Fermi (� no emissor e fixado de maneira

tal, que caia sob o nıvel excitado. Com o aumento do potencial aplicado � , os

nıveis no poco comecam a descer em relacao a (� . Quando o nıvel fundamental

passa por baixo do fundo da banda de conducao, a corrente e quase suprimida

ate que o nıvel excitado (� alcanca (� . A medida que continuamos aumentando

� , a corrente comeca a fluir atraves do nıvel excitado. Como ( mantem-se

menor que �&�, a emissao dos fonons �� e inibida. Para um dado valor de �

a condicao ressonante ( � �&� e alcancada e os eletrons comecam a decair ao

nıvel fundamental emitindo os fonons primarios ��.

Na figura 1.2 mostramos o perfil do potencial do dispositivo, assim como os

dois primeiros nıveis eletronicos na condicao de ressonancia.

Para uma concentracao de alumınio nas barreiras maior que �� [39] ou ��

[40], os fonons gerados no processo descrito anteriormente, estarao confinados

dentro do poco podendo ser absorvidos excitando os eletrons de (� para (�.

Em conjunto com os processos descritos anteriormente, estes fonons ��

decaem devido as anarmonicidades intrınsecas da rede num par de fonons

secundarios. Esses produtos sao os fonons longitudinais opticos secundarios

�� e os fonons transversais acusticos � (isto sera justificado na secao 2.2).


0 20 40 60 80 100 120 140-100

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

LOε

F

L

ε0

ε1

bl = b

r = 42.4 Å

d = 203.4 Å

εF

L = 15 meV

en

erg

ia (

me

V)

camadas

Figura 1.2: Perfil do dispositivo perto da condicao de ressonancia.

O par de fonons �� e produzido estimuladamente.

Os fonons � sao emitidos na direcao cristalografica �� [84]. Estes fonons

tem um tempo de vida longo [85] e um livre caminho medio � � � �� [86].

Sendo o dispositivo crescido nesta direcao, o feixe de fonons � produzido pelo

mecanismo descrito anteriormente fara multiplas reflexoes entre as paredes in-

ternas da dupla barreira as quais fazem o papel de semi-espelhos. Com isto,

consegue-se a acumulacao de um grande numero de fonons � com vetor de

onda �� paralelo as interfaces igual a zero. Para um determinado valor do po-

tencial aplicado ��, chamado de limiar, a probabilidade de que o sistema emita

fonons � com vetor de onda �� e maior que a soma das probabilidades de

emissao nos outros modos com �� . Devido a isso, para valores de potencial

tal que � � �� o sistema se auto-organiza de maneira tal que os outros pro-

cessos de emissao sao escravizados, ou seja, sao obrigados a emitir no modo

selecionado pela cavidade ressonante (neste caso o modo no qual � � � �). Desta

maneira obtem-se um feixe de fonons � coerentes, num modo bem definido.

No apendice D apresentamos o situacao experimental atual do dispositivo.

1.6. APLICACOES 9

1.6 Aplicacoes

Um dos metodos mais conhecidos (e mais comuns) de obter imagens acusticas

e o ultra-som medico. Neste metodo e explorado o fato de que diferentes

conteudos de agua nos tecidos produzem diferentes atenuacoes do feixe (a

frequencia do feixe acustico utilizado na medicina e de aproximadamente � '�).

Comercialmente existem equipamentos para realizar microscopia acustica.

Uma das tecnicas mais usadas e a Microscopia Acustica de Varredura (Scan-

ning Acoustic Microscopy-SAM ) [41]. Com esta tecnica obtem-se resolucoes da

ordem de �� "�, com fonons de frequencia igual a � ��.

Alem da microscopia acustica de varredura existem outras tecnicas de mi-

croscopia acustica apresentadas em [42]. Entre elas temos: Microscopia Fo-

toacustica (PhotoAcoustic Microscopy-PAM ), Microscopia Acustica de Varredura

Eletronica (Scanning Electron Acoustic Microscopy-SEAM ) e Microscopia Acustica

de Varredura Laser (Scanning Laser Acoustic Microscopy-SLAM ). No mesmo

trabalho, apresenta-se uma revisao sobre a teoria de imagens acusticas as-

sim como diagramas esquematicos dos diferentes microscopios e as multiplas

aplicacoes industriais dos mesmos.

Todos os equipamentos mencionados anteriormente trabalham numa fre-

quencia ao redor de � ��, tres ordens de grandeza menor que o dispositivo

proposto aqui. Devido a isso eles terao uma resolucao limite dada pelo com-

primento de onda, �� vezes maior que o do feixe gerado pelo saser de dupla

barreira.

Para fazer a nanoscopia acustica possıvel, e necessario ter um feixe coerente

de comprimento de onda ultra-curto. Para obter imagens de nanoestruturas, e

necessario ter ondas cujo comprimento seja da ordem do tamanho dos detalhes

do sistema.

H. Maris [43] descreve um metodo para fazer nanoscopia acustica por meio

de ecos de pulsos ultra-curtos de fonons coerentes gerados opticamente. Tais

fonons sao detectados medindo a variacao da refletividade optica devido a dis-

persao dos fonons. A frequencia de tais fonons e da ordem de � �, similar


ao dispositivo proposto aqui, mas nao sao produzidos por um laser de fonons.

Evidentemente um laser nao e necessario para produzir imagens opticas.

Contudo, os lasers sao uma ferramenta muito util na obtencao de imagens e,

alem disso, sao indispensaveis na obtencao de hologramas. Por outra parte,

muitos experimentos opticos feitos com luz incoerente sao feitos mais facil-

mente com ajuda de um laser. Devido a isto, muitos dos experimentos feitos

hoje com fonons incoerentes poderiam ser feitos de uma maneira melhor com

ajuda de um laser de fonons.

O saser descrito nesta tese tem comprimentos de onda menores que �� A (o

que e aproximadamente �� vezes menor que o � do dispositivo descrito em [24]).

E por isso que seria possıvel utiliza-lo para “ver” detalhes de aproximadamente

�� . Atualmente ja existe uma fonte de raios X coerentes com comprimento

de onda da ordem de �� [44,45]. Mas, mesmo que ja seja possıvel obter ima-

gens de estruturas de tamanho sub-micrometrico com tais raios X, as energias

envolvidas seriam aproximadamente iguais a �� ) � , o que poderia afetar o

sistema estudado.

O dispositivo apresentado aqui poderia ser utilizado para obter hologramas

em escala nanometrica. Para fazer isso, e necessario construir em GaAs um

interferometro acustico similar ao interferometro de Michelson. O mesmo con-

siste numa barreira fina de AlGaAs que atuara como semi-espelho, localizada

a �� para separar o feixe em dois e fazer com que uma parte passe atraves da

amostra e a outra atraves de uma referencia de GaAs puro. Depois disso pode-

mos utilizar espelhos (feitos de barreiras grossas de AlGaAs) para superpor os

dois feixes e medir com ajuda de um detector o espectro de interferencia. Este

espectro poderia ser analisado num computador e obter o holograma tridimen-

sional da nanoestrutura. No trabalho [46] descreve-se um analogo acustico de

um interferometro de Sagnac.

Devido a intensidade do saser proposto aqui ser proporcional a corrente de

alimentacao, a amplitude do feixe de fonons pode ser modulada pela amplitude

da corrente de entrada. Isto permitiria a utilizacao do feixe saser para enviar

informacao de um componente do circuito a outro a pequenas distancias. Este

1.6. APLICACOES 11

Figura 1.3: (a) Imagem gerada com ajuda do computador para o fluxo dosfonons num cristal de GaAs. (b) Imagem experimental de uma amostra crista-lina de GaAs de � �� de espessura. (Mais detalhes vide referencia [48])

dispositivo “fonoeletronico” trabalharia a distancias e energias menores que os

similares optoeletronicos.

Outras possıveis aplicacoes para o saser seriam como fonte de fonons para a

realizacao de “fonolitografia” e numa montagem experimental para a obtencao

de imagens [47].

No caso da fonolitografia, e necessario que exista um material “fonosensıvel”,

ou seja, com um modo mole perto da frequencia do feixe de fonons. Como o

comprimento de onda do saser e pequeno (menor que �� A) e a energia de

emissao e baixa, a utilizacao do saser seria uma opcao melhor que as tecnicas

utilizadas atualmente.

Devido a que o feixe de fonons e sensıvel a todo tipo de defeitos da rede cris-

talina, ele e utilizado para obter imagens do interior da rede [43,48]. A figura

1.3a mostra a imagem do fluxo dos fonons em uma amostra de GaAs gerada

num computador [48]. Na figura 1.3b mostra-se a imagem obtida experimen-

talmente.

Com ajuda dos fonons e possıvel obter imagens da interacao eletron-fonon

num gas eletronico 2D [49], da densidade de corrente em filmes finos super-


condutores [50], medir o tamanho de pontos quanticos [51], detectar e medir

diretamente a interacao eletron-fonon acustico [52] e a densidade de estados

eletronicos [53] em um fio quantico.

Capıtulo 2

Eletrons e fonons

2.1 Objetivos

Os objetivos deste capıtulo sao:

� Obter o hamiltoniano que descreva os eletrons dentro da dupla-barreira.

� Obter os hamiltonianos que descrevam as interacoes eletron-eletron, eletron-

fonon e fonon-fonon.

� Calcular os parametros que medem as intensidades das interacoes eletron-

fonon e fonon-fonon.

� Calcular as taxas de emissao dos fonons �� como funcao do potencial

aplicado.

13

14 CAPITULO 2. ELETRONS E FONONS

2.2 Introducao

A partir dos trabalhos de Chang, Esaki e Tsu [54], os processos de tunela-

mento em heterostruturas tem atraıdo muita atencao. Com o desenvolvimento

de tecnicas de deposicao tais como a epitaxia de feixe molecular (Molecular

Beam Epitaxy-MBE) e a deposicao quımica por vapores metal-organicos (Metal-

Organic Chemical Vapor Deposition-MOCVD) foi possıvel criar artificialmente

nanoestruturas.

Muitos dos trabalhos tem sido centralizados no estudo dos fenomenos de

transporte em heteroestruturas de dupla barreira (HDB). Com ajuda das tec-

nicas descritas anteriormente e possıvel criar uma ampla gama de dispositivos

baseados em HDB. Exemplo disso sao alguns tipos de lasers de diodo semi-

condutores, osciladores de alta frequencia e outros [55]. Mais recentemente

tem-se desenvolvido um tipo de dispositivos cujo princıpio de funcionamento

e precisamente o tunelamento eletronico. Exemplos desses dispositivos sao os

diodos de tunelamento ressonante, os transistores quanticos e os automatos

celulares quanticos [56].

Um dos problemas mais importantes no estudo do tunelamento em HDB e

a interacao eletron-fonon. Somente depois dos trabalhos de Goldman, Tsui e

Cunningham [57,58] ficou evidente a necessidade e a importancia de levar em

conta tal interacao nos estudos das propriedades eletronicas dos dispositivos

baseados em heteroestruturas de dupla barreira.

Neste capıtulo apresentaremos os hamiltonianos que levam em conta nao

somente a interacao eletron-fonon, mas tambem as propriedades dos fonons

gerados devido a essa interacao e o decaimento dos mesmos em outros fonons.

No nosso caso, o resultado da interacao eletron-fonon e a emissao (ou ab-

sorcao) dos fonons longitudinais opticos �� que por sua vez decaem em um

outro par de fonons. Levando em conta as curvas de dispersao medidas para

o GaAs, somente existem tres canais de relaxacao possıveis nos quais o fonon

�� possa decair e simultaneamente seja conservada a energia, o momento e

a simetria. O primeiro canal e o decaimento do fonon �� em um fonon optico

2.2. INTRODUCAO 15

secundario (��) e em um fonon transversal acustico (�). Este processo ocorre

nas vizinhancas do ponto � da zona de Brillouin. O segundo canal consiste

na relaxacao do fonon �� em um fonon transversal acustico � e em um

longitudinal acustico (��) perto dos pontos � e * da zona de Brillouin. O

terceiro canal representa o decaimento dos fonons �� em um par de fonons

�� nas direcoes �, � e da zona de Brillouin.

Na figura 2.1 mostram-se os resultados experimentais obtidos por Vallee e

Bogani [59]. Como pode se ver, a curva (a) que representa o decaimento dos

fonons �� no par �� , reproduz os resultados experimentais, demons-

trando assim, que a relaxacao dos fonons �� ocorre via a emissao do par

�� .

Figura 2.1: Inverso do tempo de relaxacao dos fonons ��. A linha solidarepresenta o calculo teorico para os seguintes processos: (a) decaimento �� , (b) decaimento �� e (c) decaimento �� .(Mais detalhes vide referencia [59])


2.3 Eletrons quase-livres

Para descrever os eletrons usaremos o formalismo de ligacoes fortes com para-

metro de saltos (“hoppings”) + entre primeiros vizinhos. Na base de Wannier o

hamiltoniano eletronico pode ser escrito em termos dos operadores de criacao

�� e aniquilacao �� no sitio � como

��

(�� +

��

��

�, (2.1)

onde � ��, �, -�, (� e a energia do eletron no sitio � e �, �, - � �, � � � , . Le-

vando em conta que o sistema nao tem comportamento magnetico, o subındice

. correspondente ao spin foi deixado implıcito.

Como o sistema tem simetria translacional nas direcoes (/0) perpendicu-

lares a direcao de crescimento �, o hamiltoniano (2.1) pode ser desacoplado

expandindo os operadores �� em ondas planas nestas direcoes:

��

�� (2.2)

Deste modo, podemos tratar o sistema como a soma sobre hamiltonianos

1D, cada um deles com vetor de onda � perpendicular a direcao da corrente (�)

��

��

(�� +

��

��

��(2.3)

onde (�� (�� (��. As energias (�� sao medidas a partir do fundo da banda de

conducao no emissor. A energia (�� do eletron no plano -, e com vetor de onda �

(contribuicao nas direcoes (/0)) pode escrever-se como ( �� + �� )�� )�� .

Por outro lado, (�� (� � �+ onde (� descreve o perfil do potencial da dupla bar-

reira na direcao �.

Para simplificar a notacao, daqui por diante manteremos a dependencia com

� implıcita.

Na direcao � podemos separar o espaco em tres regioes: a regiao de dis-

persao e duas cadeias unidimensionais semi-infinitas. A esquerda �- � �� os

2.3. ELETRONS QUASE-LIVRES 17

planos terao energias (� � � e a direita �- � � � �, terao energias (� � � sendo

� e o comprimento da dupla barreira e � o potencial aplicado. As autofuncoes

destas duas regioes sao ondas planas.

Se desconectamos as cadeias a esquerda e a direita da regiao de dispersao,

obtemos para ela, o perfil de um poco infinito nao retangular como o mostrado

na figura 2.2.

��

��

V = 0 meV

V = 300 meV

Figura 2.2: Perfil da regiao de dispersao.

Nessa regiao, diagonalizamos a matriz tridiagonal de ordem � correspon-

dente ao perfil mostrado na figura anterior obtendo os autovalores (� e os

autovetores �� da equacao

�� (� �� (2.4)

onde �� e a parte de �� que vai desde o comeco da barreira esquerda ate o final

da barreira direita. Escrito na base de planos e igual a


��

��

(�

� + �

+ (�

� +

� + (�

�. . .

. . . . . .

+

+ (�

�

�� (2.5)

Depois da diagonalizacao da matriz (2.5) obtemos � nıveis discretos. Tais

nıveis sao renomeados atraves do ındice � tal que � � �, � � � �. Para a ca-

deia direita renomeamos os planos de � � , � � �, � � � para , �, � � �. e no

caso da cadeia esquerda de �, �, ��,� � �, � para , �, � � �, . Devido a isso,

obtemos uma nova descricao na qual temos duas cadeias semi-infinitas. A pri-

meira (esquerda) correspondente aos planos - � , � � �, e a segunda (direita)

correspondente aos planos - � , � � �, . Entre os � autovetores obtidos na

diagonalizacao de (2.5), somente os dois com menor energia participarao sig-

nificativamente na corrente eletronica. Os outros terao energias maiores que

o nıvel de Fermi e serao levados em conta mais adiante. Portanto, a regiao de

dispersao sera representada pelos ındices � � � para o nıvel fundamental e

� � � para primeiro nıvel excitado cujas energias sao (� e (�� respectivamente.

Para conectarmos os estados dentro do poco da dupla barreira com as ca-

deias externas, calculamos os seguintes elementos de matriz

+�� - �� (2.6)

Desta maneira temos que +�� +�� e +�� +��; onde os �� sao as compo-

nentes do autovetor ��.Finalmente, o hamiltoniano que descreve os eletrons e escrito como

��

(��

��

(��

+��

��

2.4. INTERACAO ELETRON-FONON 19

� � � ��

�+��

��

�� +��

��

�� (2.7)

Um diagrama esquematico do hamiltoniano (2.7) pode ser visto na figura

2.3.

0 _ 1

_ j

v

j

1

v v v

m

L�

10v

01v �

1mv

m1v

1Lv

L1v

Figura 2.3: Diagrama esquematico do hamiltoniano ��. As linhas representamos saltos ou hoppings. Os pontos representam os planos.

2.4 Interacao eletron-fonon

Como foi visto na secao 2.2, a interacao eletron-fonon e de fundamental im-

portancia para o funcionamento do saser. Para descreve-la utilizaremos o se-

guinte hamiltoniano [60–62] obtido a partir da interacao de Frohlich [63]:

�� 12

��

�� 3� �� 3��

, (2.8a)


��12

��

�� 3� �� 3��

, (2.8b)

onde 3��, 3� sao os operadores de criacao e destruicao dos fonons �� no �-

esimo modo, �� e o vetor de onda paralelo as interfaces do fonon ��, 2 e 1

sao a largura e a area transversal do poco respectivamente. A componente

perpendicular as interfaces do vetor deslocamento e proporcional a �� e � �

�/, 0� e a componente paralela as interfaces do vetor posicao. O primeiro termo

(exponencial com sinal positivo) em (2.8b) representa a absorcao e o segundo

termo (exponencial com sinal negativo) a emissao dos fonons. O parametro � e

definido como

� �

� ��&

�

(�

�

4��

4�

��

��5�

�� &

��

��

��,

onde �&� e a energia dos fonons primarios, 4� e 4� sao as constantes dieletricas

relativas estatica e de alta frequencia do material do poco, (� e a permissividade

do vacuo, � e �� sao a carga e a massa efetiva do eletron e

� �

5(�

�

�&�

��

��&�

��

�

4��

4�

�

e a constante (adimensional) de Frohlich, que e igual a �� no caso do GaAs.

A funcao �� 6�� que aparece em (2.8) pode ser calculada a partir de

6� �

2

��

��

��

�2��2�

��2�, (2.9)

e e igual a

��

��

��

��2�

��

�

, (2.10)

onde os parametros �� e �� dependem da funcao �� [62].


A seguir apresentamos o calculo do parametro 7 que define a intensidade da

interacao eletron-fonon.

2.4.1 Intensidade da interacao eletron-fonon

A intensidade da interacao eletron-fonon 7 pode ser obtida a partir da seguinte

definicao

7�� 8� � (2.11)

Os estados 8� e �� sao os estados inicial e final do sistema

8� ��

� ��, �� , ��, (2.12a)

��

�� , �� , ��, (2.12b)

onde � ��, �� e �� , �� correspondem aos estados eletronicos, e �� e �� aos

estados fononicos.

Devido a simetria do sistema, as funcoes � � ��, �� e � ��, �� podem ser escritas

como

�� , �� 1 �

��9� �� , (2.13a)

� ��, �� 1 ��9 �� (2.13b)

onde �� e � sao os vetores de onda dos estados final e inicial dos eletrons. Estes

vetores sao paralelos as interfaces. 9 � �� e 9 �� sao as funcoes de onda dos

eletrons dentro do poco.

Substituindo (2.8), (2.13) e (2.12) em (2.11) obtemos


7�� 12

��

��

��

�� :

�

�2��

�1 � �

��9� �� 1 ��9 �� ,

��12

��

��

1

��

�� :

�

�2� ��

� ��, (2.14)

onde

��

��

2�9� �� 9 �� (2.15)

Nas expressoes anteriores, : � representa a absorcao e : � � a emissao dos

fonons ��.

A integral que aparece em (2.14) e igual a

�2� ��

� �� 1Æ�� (2.16)

A delta na expressao (2.16) representa a conservacao do momento cristalino

na direcao paralela as interfaces.

O numero �� de fonons �� em cada modo �� que aparece em (2.14) e

estimado a seguir. Como sera visto nas secoes 4.2 e 4.3, o numero total � � de

fonons �� emitidos e � ��. Por outra parte, o numero de modos possıveis �

pode ser estimado como � � 1��, onde 1� � �� e a area transversal do

dispositivo e � � �� A e a distancia entre camadas de GaAs, daı que � � ��.

Finalmente podemos estimar �� como o quociente �� . Devido a que

�� , pode ser tomado igual zero na expressao (2.14).

Utilizando (2.16) e o fato de que �� podemos reescrever (2.14) como

7�� 12

��

�� Æ��, (2.17a)


7�� 12

��

�� , (2.17b)

com �� .A expressao (2.17) e uma expressao geral que pode ser usada tanto para

transicoes interbandas quanto para intrabandas. No nosso caso, estudaremos

as transicoes dos eletrons ocorrem entre o estado fundamental e o primeiro

estado excitado do poco.

Nas aproximacoes de massa efetiva e de poco infinito, as funcoes 9 � �� e 9 ��

para as primeiras sub-bandas de conducao dentro do poco sao

9� ��

��

2��

�5

2��,

9 ��

��

2��

��5

2�

�,

� � 2

�� (2.18)

Para ter uma expressao final para 7�� e preciso conhecer a funcao �� a qual

depende por sua vez da funcao deslocamento �� atraves das relacoes (2.9)

e (2.10). Esta funcao dependera do modelo usado para descrever a interacao

eletron-fonon. A seguir mostraremos brevemente alguns dos modelos mais

utilizados na literatura para descrever a interacao eletron-fonon. Para isso

utilizaremos como base o trabalho de Weber et al. [62].

Modelo de Licari e Evrard

O modelo de Licari e Evrard [60] considera uma camada de semiconductor

ionico onde os modos senoidais volumetricos e de superfıcie dos fonons opticos

estao presentes. Este modelo tem como maior desvantagem a obtencao de uma

descontinuidade na funcao que descreve o campo eletrico produzido pelos ıons

nas interfaces.

Neste modelo, a funcao deslocamento tem a seguinte forma:

��

�� 5��2� , � � , �, �, � � �

�� 5��2� , � � �, �, �, � � � � � 2

�� (2.19)


Na expressao (2.19), a paridade do �-esimo modo e oposta daquela obtida no

modelo de Huang e Zhu [64] (o qual sera visto a seguir). Isto faz pensar que, na

verdade, o �-esimo modo neste modelo deve ser associado ao � � -esimo desse

modelo. Uma discussao mais detalhada deste assunto pode ser vista em [64].

Modelo de Huang e Zhu

O modelo de Huang e Zhu [64] e uma aproximacao da dinamica da rede do mo-

delo dieletrico contınuo. Neste modelo obtem-se que o potencial eletrostatico

assim como os campos eletricos produzidos pelos deslocamentos dos ıons de-

vido aos modos fononicos volumetricos sao contınuos nas interfaces. Nesse

trabalho o modelo e aplicado ao estudo de super-redes. Rudin e Reinecke [65]

modificaram este modelo para aplica-lo aos pocos quanticos.

Neste caso a funcao deslocamento �� para os modos confinados e definida

como

��

�� "�5��2� � %��2, � � �, �, �, � � �

�� 5��2�� , � � �, �, �, � � � � � 2

�, (2.20)

onde 2 e a largura do poco, a origem para � e tomada no centro do poco, "� sao

as solucoes de

�� "�5�� "�5��, �� "� � �, (2.21)

e

%� � �� "�5�� (2.22)

Vale notar que na expressao (2.20), o modo � � nao existe. Este modo esta

associado aos modos de interface. O modo � � � e o primeiro modo confinado

obtido neste modelo.


Modelo de Ridley (modelo do modo guiado)

O modelo de Ridley [66] e baseado nas condicoes de fronteira hidrodinamicas

para os fonons �� propostas em [67]. Nele, a paridade dos modos dos fonons

corresponde aquela obtida no modelo microscopico de Huang e Zhu embora

neste modelo, tanto a funcao deslocamento quanto os potenciais eletrostaticos

produzidos pelos modos de vibracao fononicos sejam descontınuos nas inter-

faces.

A funcao deslocamento do �-esimo modo guiado dos fonons e:

��

�� 5��2� , � � , �, �, � � �

�� 5��2� , � � �, �, �, � � � � � 2

�� (2.23)

O potencial produzido pelo deslocamento dos ıons pode ser calculado a par-

tir da funcao deslocamento como

;� �� % � �� , (2.24)

a constante % pode ser vista na referencia [68].

Por outra parte, o campo eletrico e calculado atraves de

$� �� ;� � �2;�2�

(2.25)

Na figura 2.4 apresentam-se as funcoes deslocamento para os diferentes

modelos. O valor de � e (para cada modelo) o menor � tal que a integral (2.15)

seja diferente de zero.

Os campos eletricos calculados a partir da expressao (2.25) sao apresenta-

dos na figura 2.5.

Em lugar de 7��, podemos definir o valor efetivo 7 fazendo uma media sobre

todos os valores possıveis de ��. Este valor efetivo e definido de maneira tal,

que a taxa de emissao dos fonons �� calculada a partir dele e a mesma que

se calculada a partir de 7��. Devido a paridade das funcoes 9�, 9 e ��, somente

alguns termos na expressao (2.17b) contribuirao no somatorio. Para definir o


-150 -100 -50 0 50 100 150

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

Modelo de Huang e Zhu (n = 3) Modelo de Licari e Evrard (n = 2) Modelo de Ridley (n = 1)

u n ( fu

nçã

o d

esl

oca

me

nto

)

z (Å)

Figura 2.4: Funcoes deslocamentos para os diferentes modelos. O valor de � e��, o menor tal que �� .

valor efetivo de 7, vamos tomar somente o primeiro valor de � para o qual ��

(expressao (2.15)) e diferente de zero (uma discussao mais detalhada pode ser

vista em [69]). Feito isso, o valor efetivo 7 pode ser definido como

7 ��

��

7�� , (2.26)

daı que

7� ��

12 ��

��

�� , (2.27)

onde �� e o primeiro ındice para o qual �� e diferente de zero e portanto depende

do modelo usado para calcular a funcao deslocamento.

No limite do contınuo, o somatorio sobre �� pode-se transformar numa in-

tegral

��

� 1

��5��

�2��, (2.28)

portanto


-150 -100 -50 0 50 100 150-7500

-6000

-4500

-3000

-1500

0

1500

3000

4500

6000

7500

Modelo de Huang e Zhu (n = 3) Modelo de Licari e Evrard (n = 2) Modelo de Ridley (n = 1)

Ca

mp

o e

létr

ico

( V

/m )

z ( Å )

Figura 2.5: Campo eletrico para os diferentes modelos. Os valores de � sao osmesmos que no caso das funcoes deslocamento.

7� ��

��5�� 2 ��

�2�� (2.29)

O elemento diferencial 2�� poder ser escrito em coordenadas polares como

��2<2��, portanto, a integral que aparece em (2.29) pode ser reescrita como

�2��

�2<2�� 5

�2�� (2.30)

Fazendo uso de (2.30), podemos integrar a expressao (2.29)

7� ��

�52 ��

��

2��

��

��2�

��

�52 ��

��

��

��

��2�

��

��

� (2.31)

Finalmente


7 �

��

�52 ��

��

��

��

��

��2�

�� (2.32)

Os parametros ��, �� e �� para os diferentes modelos sao apresentados

na tabela 2.1. O valor �� e obtido no apendice C.

Tabela 2.1: Funcao deslocamento �� e parametros ��, �� e �� para os diferentesmodelos.

Licari e Evrard (�� ) Huang e Zhu (�� , "� � �� ) Ridley (�� )

��

��5

2�

��

�"�

5

2��

� %��

2��

�5

2��

�� %��

�

��

�"�5��

�

�� 5� �"�5�� %�� 5�

��

��

�5��

Na figura 2.6 podemos ver a variacao do valor efetivo de 7 como funcao do

potencial aplicado, para os diferentes modelos.

50 60 70 80 90 100

0

1

2

3

4

5

g (

me

V )

V ( mV )

Modelo de Huang e Zhu Modelo de Licari e Evrard Modelo de Ridley

Figura 2.6: Elemento de matriz efetivo 7 como funcao de � para os diferentesmodelos.

Atraves de calculos microscopicos sofisticados, Rucker et al. [68,70,71] mos-

traram que o modelo que melhor descreve a interacao eletron-fonon �� em


pocos quanticos e o modelo de Huang e Zhu. Devido a isso, neste trabalho esse

sera o modelo adotado.

2.4.2 Taxa de emissao dos fonons ��

A taxa de emissao = dos fonons �� e obtida a partir da seguinte expressao

=�� 5

�Æ �( � (�� 8� � , (2.33)

onde ( e (� sao as energias inicial e final do sistema

( � $ ��)�

��, (2.34)

(� � $� ��)�

�

�� :�&�� (2.35)

$ e $� sao as energias das sub-bandas dos eletrons devido a quantizacao no

poco.

O elemento matricial �� 8� ja foi calculado na secao 2.4.1 e e igual a 7��

(expressao 2.14)

�� 8� ��12

��

�� Æ��

��

��

�, (2.36)

��12

��

��

��

��

�� (2.37)

Levando em conta somente o primeiro termo diferente de zero da soma (2.37)

como foi feito anteriormente e substituindo (2.37) em (2.33) obtemos

=�� 5

�

��

12 �� Æ �( � (� �

��

��

�

�, (2.38a)


�

��

��

absorcao

emissao, (2.38b)

onde �� e o numero de fonons �� em cada modo ��. Como foi visto anterior-

mente, �� e pode ser tomado igual zero na expressao (2.38). Alem disto,

se considerarmos a possibilidade de absorcao (sinal � em (2.38a)), =�� .

O resultado obtido para �� e similar ao apresentado em [62]. Como esta-

mos interessados em obter o valor efetivo ( ) da taxa de emissao como funcao

do potencial aplicado, vamos somar �� sobre todos os valores possıveis de � �

e �. Para obtermos � primeiramente somaremos sobre � �

� ��

�� 1

��5��

�2�� ,�� , (2.39a)

�

�5�

��

2 ��

�2��Æ �( � (� � �� (2.39b)

Para integrarmos a expressao (2.39b) vamos fazer duas transformacoes. Em

primeiro lugar temos que a delta que aparece em (2.39b) pode ser reescrita

como

Æ �( � (�� Æ

�(��

��)�

�� (� � �

�)��

�� &�

�, (2.40)

��

��Æ

��

��Æ( � )� � )�

�

�, (2.41)

onde Æ( � (�� (� � �&�. Em segundo lugar, vamos escrever o diferencial 2� � em

coordenadas polares

2��

�2)�

�

2>� (2.42)

Substituindo as expressoes (2.41) e (2.42) em (2.39b) e levando em conta

que


�� )��

� )� � �)�) �� >� (2.43)

obtemos

� ��

�5��2 ��

��

��Æ( � )�

� ��

2>

�� >�

(2.44)

onde

�� )� � ��

��

��Æ( � )�

��

� )�

��

��2

,

�� )� � ��

��

��Æ( � )�

�)

e � �/� e a funcao degrau de Heaviside. Finalmente obtemos para � a seguinte

expressao

� ��

��2 ��

�

��

��Æ( � )�

��

�� )�� )�

� (2.45)

Para obter a expressao final para , temos que integrar agora (2.45) com

respeito de �. Finalmente obtemos para a taxa efetiva a seguinte expressao

��

��2 ��

)��

��

��)�

��

��

��

, (2.46)

onde

��

��2�

��

��Æ(

��

� ��2�

��

��Æ(

��

�� e

�� 2��


Os limites )�� e )�� na expressao (2.46) sao iguais a

)��

��4� � (�� ,

)��

�� Æ( � �

��

��Æ( Æ( � �

�

Na figura (2.7) apresentam-se os valores calculados de para os diferentes

modelos estudados na secao 2.4.1

50 60 70 80 90 100

0

1

2

3

4

5 Modelo de Huang e Zhu Modelo de Licari e Evrard Modelo de Ridley

w (

ps-1

)

V ( mV )

Figura 2.7: Taxa de emissao como funcao de � para os diferentes modelos.

2.4.3 Hamiltoniano em segunda quantizacao

O hamiltoniano (2.8) podemos escreve-lo em segunda quantizacao da seguinte

forma

��

��

7��

��3��

� ��3�� (2.47)

2.5. INTERACAO FONON-FONON 33

onde �� e � sao os operadores de criacao e destruicao dos eletrons no nıvel 8 (no

nosso caso 8 � � para o nıvel fundamental e 8 � � para o nıvel excitado), 3��

e 3��sao os operadores de criacao e destruicao dos fonons �� com vetor de

onda �� e �� e � sao os vetores de onda associados aos nıveis fundamental e

excitado dos eletrons respectivamente. Estes vetores sao paralelos as interfaces

e cumprem com a conservacao do momento cristalino (ver expressao (2.16)):

� � �� . Usando a relacao entre � e ��, temos que 7��

� 7��.

No dispositivo existe simetria de translacao no plano /0. Esta simetria e

quebrada devido a interacao eletron-fonon e e possıvel recupera-la fazendo uma

media sobre �� [46]. Desta forma, o hamiltoniano (2.47) pode ser reescrito como

��

7�

��3

��

� ��3�

�� (2.48)

No lugar da expressao (2.48) para o hamiltoniano, nos utilizamos

�� 7��

��3

��

� ��3�

�, (2.49)

onde o parametro 7 representa o valor efetivo da interacao eletron-fonon e foi

calculado na secao anterior (expressao 2.32).

2.5 Interacao fonon-fonon

O decaimento dos fonons num cristal e devido tanto as anarmonicidades intrınsecas

da rede quanto a desordem da mesma. Em cristais com boa qualidade crista-

lina, a dispersao dos fonons por impurezas e defeitos espaciais e desprezıvel.

Produto disso, o principal mecanismo de dispersao dos fonons e devido a

interacao fonon-fonon causada pelas anarmonicidades do potencial cristalino.

Estes processos tem sido estudados por varios autores [72–75] por isso sera

tratado aqui brevemente.

O termo anarmonico de menor ordem no potencial cristalino e o de terceira

ordem


��

�

��

� ��

��,��,��, (2.50)

onde �� e o coeficiente cubico de acoplamento anarmonico e �� 3��3��

e a amplitude da vibracao do fonon no ramo � com vetor de onda �. O produto

das amplitudes �� da lugar a oito termos. Um desses termos e 3��3��3��

e representa a criacao de um fonon com momento �� no ramo �� a expen-

sas da aniquilacao de dois fonons, um com momento �� no ramo �� e outro

com momento �� no ramo ��. Todos esses processos tem que cumprir com a

conservacao do momento cristalino e da energia.

O coeficiente �� pode ser escrito segundo [74] como

� ��

��

��'�

��

��? (2.51)

onde �� 12��, ' e a massa ionica reduzida, � e � sao a frequencia e o

modulo do vetor de onda do modo � �8 � , �, ��, e ? e uma constante que de-

pende das propriedades elasticas do material.

Como foi visto na secao 2.2, o processo mais provavel de ocorrer no GaAs

e o decaimento de um fonon longitudinal optico �� (modo ��) em outro modo

longitudinal optico �� (modo ��) e em um transversal acustico � (modo ��)

[59]. Devido a isto, dos termos que aparecem em (2.50), somente � sao de

interesse.

O hamiltoniano (2.50) em segunda quantizacao pode ser escrito como

�� @�

��

�3��3��3�� 3��3

��3��

�, (2.52)

onde � (8 � , �, �) sao os vetores de onda, paralelos as interfaces, dos fonons

��, �� e � respectivamente e @ e o coeficiente efetivo que descreve a interacao

fonon-fonon igual a

@ � �� 8� � � ��

�

�

��

��'�

��

��?� (2.53)

2.6. INTERACAO ELETRON-ELETRON 35

Para podermos calcular @, vamos usar os resultados apresentados nas re-

ferencias [74, 76] e o valor experimental da taxa de emissao A apresentado

em [59].

A taxa de emissao dos fonons pode ser calculada como

A�

�5

�Æ �( � (�� 8� � , (2.54)

onde 8� e �� sao os estados inicial e final e ( e (� sao as respectivas energias.

Usando o hamiltoniano (2.50) e integrando sobre todos os valores possıveis

de energia obtemos

A�

�5

�

�&�

�

�

��

��'�

��

��?

��(2.55)

Substituindo (2.53) em (2.55) obtemos a seguinte expressao para @

@ �

��&�

�5A

��

� (2.56)

Substituindo agora A em (2.56) pelo valor experimental A � �� obtido por

Vallee [59], obtemos que @ � �� .

2.6 Interacao eletron-eletron

O hamiltoniano �� que descreve a interacao eletron-eletron e tomado na

aproximacao de Hartree. Isto significa que as energias (�� e (� dependem da

carga acumulada no poco. O efeito da carga acumulada no poco e tratado

auto-consistentemente como foi feito em trabalhos anteriores [69,77]. Um re-

sumo dessa metodologia pode ser visto no apendice B.

Devido a carga acumulada no poco, a interacao eletron-eletron produz osci-

lacoes do sistema. Tais oscilacoes, felizmente, so ocorrem no limiar da emissao

dos fonons. Os efeitos e caracterısticas dessas oscilacoes foram o assunto de

outra tese [77] e por isso nao serao estudados aqui.


2.7 Hamiltoniano total �

O hamiltoniano total do sistema e a soma dos hamiltonianos (2.7), (2.49), (2.52)

mais os termos correspondentes aos fonons livres

�� (2.57)

onde

��

(��

��

(�� &�

��

3��3�� &� � 8��

3��3��

� ��&� � 8��

3��3�� (2.58)

e

�� 7��

��3

��

� ��3�

�� @

��

�3��3��3�� 3��3

��3��

��

��

�+��

��

�� +��

��

�� (2.59)

Os termos imaginarios 8�� e 8�� introduzidos em (2.58) levam em conta os

processos de decaimento por anarmonicidades dos fonons �� e o escape dos

fonons �.

2.8. CONCLUSOES 37

2.8 Conclusoes

Neste capıtulo:

� Foram apresentados os hamiltonianos que descrevem os eletrons e os

fonons livres, as interacoes eletron-fonon e fonon-fonon. Tambem foi des-

crito como e tratada a interacao eletron-eletron no calculo.

� Foi calculado o parametro 7 que mede a intensidade da interacao eletron-

fonon como funcao do potencial aplicado.

� Foi calculada a taxa de emissao dos fonons �� como funcao do poten-

cial aplicado.

� Foi calculado o parametro @ que mede a intensidade da interacao fonon-

fonon e estimado a partir do valor experimental da taxa de emissao do par

�� obtido por Vallee [59].

Capıtulo 3

Solucao do hamiltoniano total ��

3.1 Objetivos


� Obter uma metodologia que nos permita resolver o hamiltoniano total do

sistema �� levando em conta todos os nıveis eletronicos dentro do poco.

� Calcular as energias do polaron.

� Obter a transmitancia e refletancia atraves da dupla barreira.

� Obter a corrente dos eletrons atraves da dupla barreira.

39

40 CAPITULO 3. SOLUCAO DO HAMILTONIANO TOTAL ��

3.2 Solucao do hamiltoniano total �

Para obter as solucoes do hamiltoniano do sistema introduzimos os operadores

[38,78]

��

3��3��3

��

��

� (3.1)

Os operadores ��

�� criam auto-estados do hamiltoniano � �

-��

�� (3.2)

formados por um eletron no plano - com momento � e �� fonons �� , �� fonons

�� e �� fonons �.

A seguir, manteremos a dependencia com � implıcita como foi feito anteri-

ormente.

Partindo do hamiltoniano (2.57) calculamos as equacoes de movimento dos

operadores (3.1). Para simplificar a notacao definimos � como o conjunto de

��, ��, �� fonons ��, �� e � respectivamente.

8�2��

�

2��

�� ,��

� (3.3)

Os auto-estados !� do hamiltoniano total �� podem ser expandidos em

auto-estados de ��

!� ��

�� -�� (3.4)

Devido a ortogonalidade dos estados -��, as amplitudes �� podem ser cal-

culadas como

�� -� !� � �� !�� (3.5)

Utilizando as equacoes de movimento obtidas a partir de (3.3) e a definicao

anterior para as amplitudes, obtemos para os planos - �� , , � �� , �, ��, ��

3.2. SOLUCAO DO HAMILTONIANO TOTAL �� 41

8�2��2�

� (�� "� � +�� +�� (3.6)

e para - � , , �

8�2��

�

2�� (��

�� "� � +��

�� +��

�� +��

��

+��, (3.7a)

8�2��2�

� (�� 7

��

��

�� "� � +�� +��

�� , (3.7b)

8�2��

2�� (��

�� 7

��

� � "�� +�� +��

�� , (3.7c)

8�2��2�

� (�� "� � +��

�� +��

�� +��

��

+��, (3.7d)

8�2��2�

� (�� +�� +�� "�, � � �� (3.7e)

onde os parametros que aparecem em (3.7) sao

(�� (�� &� � �� &� � 8�B�� &� � 8�B�� ,

�� , ��, �� , � �� , ��, �� ,"� � @

��!��

�

� ��! ��

��

�

�,

�� , �� , �� , �� , �� , �� ,!� � �� e ! � ��

As amplitudes �� sao dependentes do tempo, portanto podemos transforma-

las Fourier

�� 5

��

2&�� &� � �� (3.8)

Transformando cada uma das amplitudes �� no sistema (3.7) obtemos


�&�� (�� +�� +��, para - �� , , � e (3.9a)

�&�� (�� +�� +��

�� +��

��

��

+��, (3.9b)

�&�� (�� 7

��

��

�� +�� +��

�� , (3.9c)

�&�� (�� 7

��

� � �� +�� +��

�� , (3.9d)

�&�� (�� +�� +��

�� +��

��

��

+��, (3.9e)

�&�� (�� +�� +�� , � � �� (3.9f)

O termo �� e a transformada Fourier de "�.

Para obtermos as solucoes do sistema (3.9), consideraremos somente tres

canais atraves dos quais os eletrons podem tunelar. Tais canais sao os unicos

que, perto da ressonancia, tem energias entre o fundo da banda de conducao

(( � �) e o nıvel de Fermi (�� no emissor. Devido a isso, sao os unicos que

contribuirao significativamente para a corrente. Estas canais sao: um eletron

tunelando atraves do nıvel excitado e nenhum fonon no poco (canal ��, i.e.,

� � ��, �, ��), um eletron tunelando atraves do nıvel fundamental e somente um

fonon �� (canal ��) e um eletron tunelando atraves do nıvel fundamental e

um par de fonons �� (canal �).

Para podermos resolver o sistema (3.9) nao vamos levar em conta os termos

imaginarios em (�� . Isto visa eliminar os problemas que surgem no trabalho

com hamiltonianos nao hermitianos.

As amplitudes �� (para - � ou - � ) permanecem desacopladas, ou seja,

o canal �� nao se mistura com os outros. Por outra parte, os canais �� e �

permanecem acoplados produto da interacao fonon-fonon. Para desacopla-los,

nos propomos a seguinte transformacao para as amplitudes � �� e �� :

��

��

�, (3.10)


��

��

�� (3.11)

Depois desta transformacao, obtemos dois novos canais desacoplados. Es-

tes canais sao chamados canal � e canal �.

Considerando somente os canais �� (escrito daqui por diante como �) e �,

o sistema de equacoes (3.9) pode ser reescrito como

+�� (�� &

�� +�� (3.12a)

+�� (�� @ � �&

�� +�� para - �� , �, # (3.12b)

+�� (�� &

�� +��

��

��

+�� (3.12c)

+��

��(�� @ � �&

��

� +��

��

+�� (3.12d)

+��

��

+��

�(�� &

�� +�� (3.12e)

+��

��

+��

�(�� @ � �&

�� +�� (3.12f)

+��

��(�� @ � �&

�� +��

�� para � �� # (3.12g)

+��

�(�� &

�� +��

�� para � �� # (3.12h)

+��

��(�� @ � �&

��

7�� +��

�� (3.12i)

+��

�(�� &

��

7��

7�� +��

�� (3.12j)

As amplitudes �� e �� que aparecem nas equacoes (3.12) levam em conta

todos os nıveis eletronicos. Como os nıveis fundamental e excitado sao os

unicos que participam diretamente na geracao dos fonons ��, vamos eliminar

as amplitudes �� e �� para � � �� de nossas equacoes. Para isso vamos utilizar

o metodo da dizimacao con ajuda das equacoes (3.12c)-(3.12h). O sistema

assim obtido e


+�� (�� &

�� +�� (3.13a)

+�� (�� @ � �&

�� +�� para - �� , �, �, # (3.13b)

+�� (�� &

�� +��

�� +�� (3.13c)

+��

��(�

�� @ � �&

��

� +�� +�

�� (3.13d)

�+�� +��

��(�� &�� +�� (3.13e)

�+��

� +��

��(�� @ � �&�� +�� (3.13f)

+��

�(�� &

��

7��

7�� +��

�� (3.13g)

+��

��(�� @ � �&

��

7�� +��

�� (3.13h)

onde

�+��

+��+��

��& � (��(3.14)

e

�+��

��

+��+��

��& � (�� @�(3.15)

sao hoppings renormalizados ligando diretamente os sıtios - � , , e

�(�� (�� (3.16a)

�(��

� (��

(3.16b)

�(�� (�� (3.16c)

�(�� (�� (3.16d)

sao as energias renormalizadas dos sıtios - � , para cada canal. Os ��

��

que aparecem nas equacoes (3.16) levam em conta os efeitos de renormalizacao,

produto dos outros nıveis dentro do poco. As expressoes para eles sao


��

��

+��

��& � (��(3.17a)

��

��

+��

��& � (�� @�(3.17b)

��

��

+��

��& � (��(3.17c)

��

��

+��

��& � (�� @�(3.17d)

Um diagrama representando as equacoes (3.13) e mostrado na figura 3.1.

-

+

2

g

000

Canais �

�1 _ 1

_ 3

_ 2

_ 1

_ 3

_ 2

_ 3

_ 2

3

1

2

3

1

2

3

2

v v

2

g

v �1 1

v _ 11

~ 0

v _ 11

~ +

v _ 1 �1

_ 1

1

0

0

v _ 10

v 01

v _ 11

~ -

Figura 3.1: Diagrama do sistema de amplitudes.

Para os canais � e �, na regiao - � as solucoes de (3.13a) e (3.13b) sao

��

��

�� (3.18)


��

�� (3.19)

onde �� e a coordenada do plano - (�� -�; � e a distancia entre camadas

definida anteriormente), �� e ��

� sao as amplitudes das ondas transmitidas e

)�

� e )�

sao as componentes � dos vetores de onda e devem satisfazer a relacao

de dispersao

�& � (�� + ��)�

��, (3.20)

�& � (�� + ��)��

�� @ (3.21)

O termo � ��

�� nao foi considerado ja que nao e preciso levar em conta

eletrons vindo da direita da dupla barreira.

Na regiao - � � temos duas solucoes. O estado excitado encontra-se acima

do fundo da banda de conducao, a solucao e

��

�� (3.22)

onde �� e �� sao as amplitudes da onda refletida e incidente e )� satisfaz

�& � (�� + �� )�� (3.23)

Supondo um eletron incidente pela esquerda tomamos � � � .

Como o estado fundamental encontra-se por baixo da banda de conducao,

as solucoes obtidas sao ondas evanescentes com amplitudes � � e ��

�

��

�� (3.24)

onde os B� sao positivos e satisfazem a relacao de dispersao

�& � (�� + ��$�B��

�� @� (3.25)

Depois de substituir (3.18), (3.19), (3.22), e (3.24) em (3.13) obtemos o sis-


tema de equacoes

��

��

� � + �!� �! � ��+��

��+�� ! � � ��

� � + � �!� � �! (3.26a)

��+�� ! � ��

��

��

� 7��

� ��+��

��! � �+�� ! (3.26b)

��+�� ! � ��+��

��

� � + ��

!� �

�

! � ��+�� ! (3.26c)

��

�

��B��

�! � �� +�� +�� ! � � (3.26d)

��+��

� �! � ��

7��

� �� +��

��! � � (3.26e)

� ��+ �� ! � � � +��

� � �

�8)

� �

! � � (3.26f)

� ��

�

��B � �

! � � � +�� + �� ! � � (3.26g)

� �+��

� ! � � � ��

7��

� � � +��

�! � � (3.26h)

��+�� ! � �� +��

� ��

�8)�

� �

�! � � (3.26i)

onde

��

��& � �(�� para - � , e � � �

��& � �(�� &� para - � , e � � ��& � (�� &� � ��&� � ��&� para - � �, �

(3.27)

��

� � + "! � @. (3.28)

As incognitas do sistema (3.26) sao

�� , � � , �� , ��, �� , ��

�, � �, ��

� e � � �

A origem das energias nas expressoes (3.20), (3.21) e (3.23) e tomada no

fundo da banda de conducao no emissor.


3.3 Ramos polaronicos

Para ter uma intensa emissao de fonons �� e necessario que a diferenca de

energias entre os dois nıveis de menor energia do poco, alcance a condicao de

ressonancia ( � �&�. Se a regiao de dispersao e isolada, i.e., desprezamos os

termos com hoppings e aqueles correspondentes as interacoes eletron-fonon e

fonon-fonon, obtemos

�&�� (�� 7

�� (3.29)

�&�� (�� 7

�� (3.30)

onde (�� (�� &� e (�� (� � �� &�.

50 60 70 80 90 100 110-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

� ��

��

� ��

� ��

��

ener

gia

( m

eV )

V ( mV )

Figura 3.2: Nıveis eletronicos e ramos polaronicos como funcao do potencialaplicado.

Os auto-valores deste sistema sao

�&#�#� �(�� (��

��

��(�� (��

�

��

� �� 7� (3.31)

As energias �&#� e �&#� sao as energias do sistema acoplado eletron-fonon,

3.4. CALCULO DA CORRENTE, DA TRANSMITANCIA E DA REFLETANCIA 49

ou seja, as energias do polaron. Na figura 3.2 podemos ver o comportamento

das energias (�� e (�� assim como as energias do polaron �&#�e �&#� como funcao

do potencial aplicado.

Quando a diferenca (�� (�� e maior que 7�� , as energias do polaron

coincidem com (�� e (��. Por outra parte, temos que se 7�� (�� (��, a

separacao entre os ramos e �7�� .

3.4 Calculo da corrente, da transmitancia e da re-

fletancia

Nesta secao mostraremos como e calculada a corrente eletronica. Para isso,

calcularemos primeiramente a transmitancia e a refletancia atraves da dupla

barreira.

3.4.1 Calculo da transmitancia e refletancia

A transmitancia atraves da dupla barreira e calculada a partir das amplitudes

�� , ��

� e � � obtidas na solucao do sistema (3.26)

� ��

�

�� , (3.32a)

� ��

�

��

�

�� (3.32b)

A transmitancia total , e a soma das transmitamcias � pelo canal �, mais

a transmitancia � pelos canais � e �.

Na figura 3.3 mostramos a transmitancia calculada levando em conta todos

os nıveis eletronicos dentro do poco, comparando-as com aquelas calculadas

desprezando os nıveis com � � ��. Como pode-se ver, quando todos os nıveis

sao considerados, a largura dos picos e maior. Isto deve-se a que os estados

excitados favorecem a saıda dos eletrons do poco.


0 2 4 6 8 10 12 14 160.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

tra

nsm

itân

cia

(u

nid

ad

es

arb

itrá

ria

s)

energia ( meV )

Sem renormalização Com renormalização

Figura 3.3: Comparacao da transmitancia atraves da dupla barreira com e semrenormalizacao.

Na figura 3.4 podemos ver o grafico da transmitancia como funcao da ener-

gia dos eletrons para diferentes valores do parametro @. Vemos que, quando

a interacao fonon-fonon e levada em conta no calculo (@ �� ), um terceiro pico

aparece. Este pico corresponde ao tunelamento atraves do canal �.

A refletancia e calculada como

C � �� (3.33)

O grafico com a refletancia calculada como funcao da energia dos eletrons

para � � �� pode ser visto na figura 3.5.

3.4.2 Calculo da corrente

As equacoes de movimento para os operadores de aniquilacao (� �) e criacao (��)

no plano - (no emissor ou no coletor, fora da dupla barreira) para os eletrons

sao calculadas como

8�2��2�

� ��,�� (�� +�� +�� , (3.34)


-2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

γ = 0.65 meVtr

ansm

itânc

ia (

unid

ades

arb

itrár

ias)

energia ( meV )

γ = 0 meV

Figura 3.4: Transmitancia atraves da dupla barreira como funcao da energiados eletrons. O calculo foi feito para o potencial aplicado � � �� . Para@ � � (sem interacao fonon-fonon), somente ha dois canais para os eletronstunelarem. Quando @ �� , um terceiro canal (�) aparece.

A equacao para �� e obtida conjugando (3.34).

Fazendo uso de (3.34) e de sua conjugada temos que a equacao de movi-

mento para o operador �� e

8�2��

2�� +�

��

�� +��

��

�� (3.35)

A equacao anterior pode ser escrita como uma equacao de continuidade em

diferencas finitas

2D�

2�� 6� � � 6�� , (3.36)

onde

D� � � �� (3.37)

e


-2 0 2 4 6 8 10 12 14 160.7

0.8

0.9

1.0

γ = 0.65 meV

refl

etân

cia

(uni

dade

s ar

bitr

ária

s)

energia ( meV )

γ = 0 meV

Figura 3.5: Refletancia dos eletrons na dupla barreira. O valor do potencialaplicado e � � �� .

6� � 8+��

��

�(3.38)

e o numero de eletrons que flui por unidade de tempo.

A media do operador 6� e calculada utilizando a definicao (3.4)

E� � �! 6� !� ��+

�

��

%&��

�

��

�� (3.39)

E� representa a corrente por canal ��, (��. Para obter a corrente total e preciso

somar sobre todos os canais ocupados.

Se na expressao (3.39) substituımos as amplitudes �� em funcao das res-

pectivas transformadas de Fourier e, alem disso, substituımos as amplitudes

�� pelas expressoes (3.22), (3.18) e (3.19), obtemos a corrente E � como funcao

das amplitudes das ondas refletidas e transmitidas. Isto e

E ��+

�

� ��

�� )�� (3.40)

no caso da corrente a entrada e


E ��+

�

��

�� )�� (3.41)

no caso da corrente a saıda. Vemos que, no estado estacionario, as correntes

independem de - e as correntes de entrada e saıda sao iguais.

Para obter a corrente total � de eletrons, devemos somar sobre todos os

estados ocupados (esfera de Fermi no emissor) as expressoes anteriores. Um

calculo mais detalhado pode ser visto nas referencias [69, 77]. Finalmente te-

mos

� �� 1

�5��

��

$��

�(�� (

�E �(� F �(�

� C � 2( (3.42)

onde 1 e a area transversal, �� e a massa efetiva do eletron, C a refletancia

(expressao (3.33)), e a transmitancia total, (�� e o nıvel de Fermi no emissor e

E �(� ��+

�

��

�

�� )�

��

��

�

�� ) �

��

��

�� )��

� �,

F �$� �

�+ �� )��

O denominador � C � que aparece em (3.42) vem da normalizacao da

funcao de onda.

Na figura 3.6 mostra-se o comportamento da corrente como funcao do po-

tencial aplicado. A linha continua representa a corrente levando em conta a

interacao fonon-fonon. A linha pontilhada e o calculo feito para @ � �. Como

pode-se ver no detalhe, o fato de levarmos em conta a interacao fonon-fonon,

produz um pequeno ombro na curva da corrente. Este ombro corresponde-

se ao terceiro pico que aparece tanto na transmitancia (figura 3.4) quanto na

refletancia (figura 3.5).

icamps

Pencil


50 60 70 80 90 1000

700

1400

2100

2800

3500

4200

4900

5600

6300

7000

7700

γ = 0 meV γ = 0.65 meV

corr

ente

( p

s-1 )

V ( mV )

81 82 83 84 85 86 87 88 892800

2900

3000

3100

3200

3300

3400

3500

3600

Figura 3.6: Corrente de eletrons como funcao do potencial aplicado. A curvacontınua representa o calculo feito levando em conta a interacao fonon-fonon.A linha pontilhada corresponde-se ao calculo com @ � �. Como pode se ver,o efeito da interacao fonon-fonon e produzir um pequeno ombro na curva dacorrente.

3.5 Conclusoes

Como conclusoes deste capıtulo temos:

� Foi apresentada uma metodologia que nos permite resolver o hamiltoniano

total do sistema �� .

� Foram levados em conta todos os nıveis eletronicos dentro do poco.

� Foram calculadas as energias do polaron.

� Foi obtido e resolvido um sistema de equacoes (� � �) para as amplitudes

a partir das quais foi possıvel calcular a transmitancia, a refletancia e a

corrente eletronica atraves da dupla barreira.

Capıtulo 4

Equacoes cineticas

4.1 Objetivos


� Obter as equacoes cineticas que descrevem a dinamica do saser.

� Obter atraves de um tratamento totalmente quantico as equacoes cineticas.

� Obter as populacoes de eletrons e fonons.

55

56 CAPITULO 4. EQUACOES CINETICAS

4.2 Equacoes cineticas fenomenologicas (ECF)

Nos trabalhos anteriores [46,69,77] as seguintes equacoes cineticas foram ob-

tidas fenomenologicamente

2��

2��

�� C

��,

2��2�

� ��

�� C��,

2��2�

� ��

�� @�� ,

2��2�

� @�� A �

Nestas equacoes, o decaimento dos fonons �� no par �� foi conside-

rado usando a expressao dada por Vallee [84] (que e o primeiro termo do lado

direito da ultima equacao no sistema anterior), desprezando o valor de � � em

relacao com ��. Em realidade esta aproximacao so e valida no equilıbrio [76].

A taxa de emissao dos fonons �� foi calculada a partir do modelo de Licari

e Evrard [60]. Alem disso, a dependencia com o potencial aplicado foi aproxi-

mado por uma funcao degrau com uma cauda gaussiana. As taxas de escape

C��

e C�, foram calculadas segundo a teoria de Jonson [79] usando o conceito

classico de velocidade. Finalmente, a corrente � foi calculada levando em conta

somente o tunelamento ao nıvel excitado dentro do poco.

Para ter uma descricao mais realista dos processos que ocorrem no saser,

nos obtivemos um sistema de equacoes que levam em conta o decaimento dos

fonons �� no par �� (primeiro termo do lado direito da ultima equacao

no sistema (4.1)) [76]. Como a metodologia utilizada na obtencao deste novo

sistema e igual aquela utilizada previamente nas referencias [46,69,77], vamos

escrever diretamente o novo sistema. Este sistema e

2��

2�� C�� ,

4.2. EQUACOES CINETICAS FENOMENOLOGICAS (ECF) 57

2��2�

� �� C��,

2��2�

� �� @�� , (4.1)

2��2�

� @�� B��,

2��2�

� @�� B��

onde B� � �A .

No sistema (4.1), a diferenca dos trabalhos anteriores, a taxa de emissao

utilizada e aquela calculada na secao 2.4.2 utilizando o modelo de Huang e

Zhu [64]. As taxas de escape C��

e C� sao iguais aquelas obtidas por Sols [80].

Finalmente, no calculo da corrente � foi levada em conta a interacao fonon-

fonon (secao 3.4.2).

Neste trabalho estudaremos somente as solucoes estacionarias do sistema

de equacoes (4.1). No estado estacionario temos

�� C�� ,

�� C�� ,

�� @�� ,

@�� B�� ,

@�� B��

(4.2)

As solucoes do sistema estacionario (4.2) colocadas em funcao da populacao

dos fonons � sao

�� B��C��

�� B��C��C� � �,

�� B�B�

��,

�� B�C�

��,

�� B��

C��

(4.3)

Substituindo cada uma das expressoes anteriores em qualquer um dos


termos que contem @� em (4.2), obtemos a seguinte equacao cubica para a

populacao ��

��

�� , (4.4)

onde �� B��C�� C��, �� B��B�, �� B��C�� , �� C�� e �� B��@�.

Das tres solucoes da equacao (4.4) somente uma delas e valida.

Na figura 4.1 apresentamos as populacoes dos fonons �� e �� como

funcao do potencial aplicado.

50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

po

pu

laçõ

es

do

s fô

no

ns

LO

1 e L

O2

V ( mV )

n1

n2

Figura 4.1: Populacoes dos fonons �� e �� como funcao do potencial apli-cado.

Na figura 4.2 podemos ver a populacao �� e a intensidade saser (1 � B��)

como funcao do potencial aplicado.

As oscilacoes que aparecem nas figuras 4.1 e 4.2 sao consequencia das

cargas acumuladas no poco.

4.3. EQUACOES CINETICAS QUANTICAS (ECQ) 59

50 60 70 80 90 1000

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

V ( mV )

popu

laçã

o n 3

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

inte

nsid

ade

sase

r (

ps -1

)

Figura 4.2: Populacao �� e intensidade saser 1 � B�� como funcao do potencialaplicado.

4.3 Equacoes cineticas quanticas (ECQ)

Para obtermos as equacoes cineticas quanticas que descrevem as populacoes

dos eletrons e dos fonons, primeiramente vamos obter as equacoes de movi-

mento dos operadores �� dos eletrons e 3� 3 dos fonons

8�2

2�

��

��

��,�

!,

8�2

2�

�3� 3

��

3� 3 ,�

!� (4.5)

A populacao media dos eletrons nos nıveis fundamental e excitado podemos

defini-la como

��

�! �� !� com - � �, �

onde a soma e feita sobre todos os estados ocupados.

Utilizando a definicao (3.4) de !� (ver secao 3.2), obtemos para a populacao

dos eletrons


��

�� No caso dos fonons ��, �� e � obtemos para as populacoes medias a

seguinte expressao

� ��

�! 3� 3 !� ��

�� para 8 � , �, ��

Fazendo uso das equacoes (4.5) e das definicoes anteriores obtemos o se-

guinte sistema de equacoes cineticas quanticas

2��

2��

�� %��

�� (4.6a)

2��2�

� �� %

� � �� (4.6b)

2��2�

� ��

�% (4.6c)

2��2�

� ��% �G�%�

(4.6d)

2��2�

� ��% � $�&, (4.6e)

onde

��

�

�

��

+�� %&"��

�

��

#(4.7)

e a taxa de entrada dos eletrons desde o emissor ao nıvel excitado,

�%��

�

�

��

+�� %&"��

�

� ��#

(4.8)

e a taxa de saıda dos eletrons do nıvel excitado ao coletor.

4.3. EQUACOES CINETICAS QUANTICAS (ECQ) 61

��

�

�

��

7 %&��

�

� ��

�� (4.9)

representa o balanco lıquido das transicoes dos eletrons produto da emissao e

absorcao dos fonon ��,

��

�

�

��

+�� %&"��

�

� ��#

(4.10)

e a taxa de entrada dos eletrons desde o emissor ao nıvel fundamental e

�%� �

�

�

��

+�� %&"��

�

� ��#

(4.11)

e a taxa de saıda dos eletrons desde o nıvel fundamental ao coletor.

O balanco entre o decaimento dos fonons �� no par �� e o processo

inverso pode ser obtido a partir da expressao

��% �

�

�

��

@ %&��

�

� ��

�

��!, (4.12)

onde ! �� .

A taxa de decaimento dos fonon �� e calcula como

G�%�� B�

��

"��

�

� ��#�� B�� (4.13)

No caso dos fonons �, a taxa de escape dos mesmos vem dada por

$�& � �B��

"��

�

� ��#�� B�� (4.14)

Um diagrama das taxas de entrada e saıda dos eletrons do poco pode ser

visto na figura 4.3.


�1

G I �1

1 1

1 0 1

G O 0

G I 0

G O �1

G E �1

Figura 4.3: Diagrama para as diferentes taxas que aparecem em (4.6a) e (4.6b).

4.4 Obtencao das ECF a partir das ECQ

As equacoes cineticas (4.6) podem ser aproximadas por um sistema que leve

em conta somente populacoes. Para fazermos isso, substituımos as amplitudes

�� por aquelas que aparecem em (3.6) e (3.7). Para mostrar o procedimento,

usaremos como exemplo dois dos termos que aparecem em (4.6).

O primeiro termo a ser analisado e

�%��

�

�

��

+�� %&"��

�

� ��#

. (4.15)

O canal �� e o unico que contribui significativamente no somatorio em

(4.16) (vide figuras 2.3 e 3.1). Levando isto em conta, a expressao (4.15) e

reescrita como

�%��

�

�

��

+�� %&"��

�

� ��#

. (4.16)

Como cada uma das amplitudes que aparecem em (4.16) sao dependentes

do tempo, substituımos uma delas por sua transformada Fourier usando (3.8)

4.4. OBTENCAO DAS ECF A PARTIR DAS ECQ 63

%&"��

�

� ��#

� %&

�� 5

��

2&��

� �&� ��

$%& � (4.17)

Para obter uma equacao para a amplitude ��

� �&�, utilizamos a equacao

(3.13e) e desprezamos o termo que contem o hopping renormalizado �+ ��

. Le-

vando em conta as relacoes de dispersao (3.20), (3.16c) e usando a expressao

(3.18) para calcular a amplitude no plano - � �, obtemos

��

� �&� � '��

�� &� (4.18)

onde

'�� +��

�� + � �

�

!�

�� +��

� ��)�

��

� +�

Substituindo (4.18) em (4.17)

%&"��

�

� ��#

��5

%&� ��

��

2&'��

�� &� 2& �� (4.19)

O termo '�� que aparece dentro da integral em (4.19) varia suavemente na

faixa onde a amplitude ��

�� &� e diferente de zero. Produto disso, podemos tira-

lo fora da integral. Integrando agora sobre & e tomando a parte imaginaria

obtemos

�%��

�

�

��

+��+

�� +��

� ��)�

��

� +��

�)�

�� (4.20)

Definindo �� '

�� temos que

�%�� C�� (4.21)

com


C��

�+��

+

�� +��

� ��)�

��

� +��

�)�

��

Se os efeitos de renormalizacao nao forem levados em conta, i.e., � �� , a

expressao obtida para C�� e igual aquela obtida em [80].

O outro termo analisado aqui e a taxa de emissao dos fonons �� (4.9)

��

�

�

��

7 %&��

�

� ��

�� (4.22)

Para obter a expressao (4.31), primeiramente expandimos o termo dentro da

soma e depois mudamos a faixa sobre a qual �� varia

��

%&��

�

� ��

��

8��

��

��

��

�� (4.23)

As amplitudes �� e �

�� que aparecem em (4.23) sao substituıdas

em funcao das suas respectivas transformadas de Fourier �� e �

�� .

Usando agora os termos que somente contem o fator 7 nas equacoes (3.9c) e

(3.9d) obtemos que as transformadas �� e �

�� podem ser reescritas

como

��

7

��

��

�

�� (4.24)

e

��

7

��

��

��

� , (4.25)

onde

�� & � �� &� � ��&� � ��&� � (�


e

�� & � �� &� � ��&� � ��&� � (��

Substituindo (4.24) e (4.25) em (4.22), fazendo a transformada de Fourier

inversa e as mesmas aproximacoes para tirar fora das integrais os termos len-

tamente variaveis (como foi feito para obter (4.20)) obtemos a expressao

��

��

7�

��

�� 7�

��

�� (4.26)

Fazendo agora a aproximacao de campo medio para tirar os termos corres-

pondentes aos fonons fora da soma, temos que

��

��

7�

��

��

7�

��

�� (4.27)

Na primeira soma somente contribuira a amplitude �� e na segunda, so-

mente �� . Levando isso em conta e o fato de que perto da ressonancia ((��(� ��&�) ��

�� , a equacao (4.27) pode ser escrita como

��

��

7�

�

��

��

7�

�

��

�� (4.28)

Finalmente, (4.28) pode ser reescrita como

�� C' (4.29)

onde

��

7�

�, ��

��

��

�� e ��

��

�� Os outro termos que aparecem em (4.6) podem ser transformados da mesma

maneira como foi descrito acima.

As equacoes resultantes sao


2��

2�� C�� C' (4.30a)

2��2�

� �C�� C' (4.30b)

2��2�

� C' � C( (4.30c)

2��2�

� �B�� C( (4.30d)

2��2�

� �B�� C( (4.30e)

onde

C' � �� (4.31)

C( � @�� (4.32)

� e a corrente eletronica calculada no capıtulo anterior, C�� e C� sao as taxas

de escape dos eletrons atraves da barreira direita e e a taxa de emissao dos

fonons ��. Os outros parametros sao as taxas de decaimento @ � e B� dos

fonons �� e �� respectivamente e a taxa de escape B� dos fonons �.

Os fatores de Bose presentes nas expressoes (4.31) e (4.32) significam que

todos os fonons sao emitidos no regime estimulado. No caso dos fonons �, o

fator de Bose �� e mais de mil vezes maior que os outros.

Na metodologia utilizada para obter as ECF a partir das ECQ nao foram

levados em conta aqueles termos que dao lugar a processos multiplos. Por

exemplo, se considerarmos o termo com +�� em (3.9c) na hora de obter (4.24),

entao a expressao para a amplitude �� teria um termo dependente de

+��. Tal termo descreveria um processo virtual atraves do qual um eletron tu-

nelaria atraves da barreira esquerda (- � ) diretamente ao estado fundamental

(- � �) emitindo um fonon ��. Embora este processo possa ocorrer, sua proba-

bilidade e menor que aquela em que, primeiramente o eletron tunela ao estado


excitado e depois decai ao fundamental emitindo um fonon ��. Devido a isto,

fazemos a suma sobre os processos como sendo independentes um do outro.


4.5 Conclusoes

Neste capıtulo:

� As equacoes cineticas fenomenologicas que descrevem a dinamica do sa-

ser foram apresentadas. Na obtencao delas foi incluıdo explicitamente o

termo que representa o decaimento dos fonons �� no par �� .

� Foi obtido atraves de um tratamento totalmente quantico um novo sistema

de equacoes cineticas.

� Foi apresentada a metodologia seguida para obter as equacoes cineticas

fenomenologicas a partir das quanticas.

� Foi resolvido o sistema de equacoes cineticas no caso estacionario. A

partir das suas solucoes, foi possıvel obter as populacoes dos fonons e

eletrons como funcao do potencial aplicado.

Capıtulo 5

Estudo das propriedades de

emissao

5.1 Objetivos


� Obter as equacoes de Heisenberg-Langevin que descrevem a dinamica do

sistema.

� Obter a funcao ou potencial que descreve os estados estaveis do sistema.

� Obter as populacoes dos fonons � no regime coerente caso o mesmo

exista.

� Estudar o comportamento temporal das populacoes dos modos dos fonons

�.

69

70 CAPITULO 5. ESTUDO DAS PROPRIEDADES DE EMISSAO

5.2 Introducao

Neste capıtulo aplicaremos os conceitos de auto-organizacao para estudar as

propriedades da emissao do saser. Estes conceitos tem sido amplamente utili-

zados para estudar as propiedades dos lasers [3,81].

Tais conceitos foram extendidos, baixo o nome de sinergetica, por Haken

[82, 83] para serem aplicados em diversos sistemas. O termo sinergetica do

ingles synergetics, e composto por duas palavras gregas .H� (syn) = “junto”,

e (F@I� (ergon) = “acao, trabalho” que significam “trabalhar em conjunto”. O

objeto de estudo da sinergetica1 sao os sistemas onde ocorre a formacao es-

pontanea de estruturas espaciais, temporais ou espaco-temporais bem or-

ganizadas. A formacao espontanea de tais estruturas e chamada de auto-

organizacao.

A essencia da auto-organizacao e que quando elementos complexos intera-

gem entre si (sem a influencia de fatores externos), em lugar do caos, podem

aparecer estruturas bem definidas. Tais processos de auto-organizacao podem

aparecer em diversos ramos das ciencias como por exemplo, a fısica, a quımica,

a biologia e a psicologia.

Para a aparicao da auto-organizacao num sistema sao necessarios tres fa-

tores:

� O sistema deve estar em contato com um reservatorio. Esta condicao de-

fine a parte ou propriedade do sistema que ira desenvolver-se durante o

processo de auto-organizacao. Se o reservatorio nao esta bem definido a

auto-organizacao pode nao ser detectada.

� Diferenciacao. Antes da auto-organizacao, o sistema deve apresentar certa

diferenciacao. O numero finito de propriedades diferentes permitira que

o processo de auto-organizacao ocorra de maneira ininterrupta. Se no

sistema existem muitas propriedades diferentes, e possıvel que nenhuma

1Para descrever o mesmo tipo de fenomeno, em fisiologia e mais usado o termo sinergia cujosignificado e: ato ou esforco coordenado de varios orgaos na realizacao de uma funcao.

5.2. INTRODUCAO 71

delas receba “recursos” suficientes do sistema para estar bem definida

durante a auto-organizacao.

� Retroalimentacao (feedback). Devido a retroalimentacao, as informacoes

acerca da organizacao (propriedades) assim como a energia, fluem atraves

do sistema. Sem os mecanismos de retroalimentacao, nenhuma estrutura

pode surgir.

Segundo a teoria da auto-organizacao, a ordem do sistema aparecera ao

redor dos chamados atratores. Estes atratores representam os pontos estaveis

do sistema. Na figura 5.1 apresenta-se um exemplo. Cada ponto da linha que

aparece em 5.1 esta associado a um estado do sistema.

Estável Estável

Atrator #1 Atrator #2

Instável

Figura 5.1: Atratores.

Vamos supor que o sistema (representado pela bolinha) encontra-se inicial-

mente no pico central. Como se pode ver, tal posicao seria uma posicao instavel

pois qualquer modificacao da posicao da bolinha (entenda-se do estado do sis-

tema) por pequena que esta seja, a levara a uma das duas posicoes estaveis,

neste caso os atratores #1 e #2 (bacias na figura 5.1). As propriedades de um

atrator vem dadas pela largura e profundidade da bacia. A largura representa

a facilidade com a qual o sistema pode chegar a tal estado. Quanto mais largo,

mais facil. A intensidade de tal estado esta representada pela profundidade da

bacia: mais profunda, mais intensa.


Na figura 5.2 mostramos um exemplo de atratores perceptivos. Nela po-

demos identificar dois atratores. #1: rosto de um homem (primeira figura a

esquerda na parte superior). #2: corpo de uma mulher (ultima figura a direita

na parte inferior). Vamos supor que nosso sistema (neste caso nosso cerebro)

comece no estado instavel (nao esta bem definido se e um rosto ou um corpo)

correspondente a ultima figura na parte superior. E facil perceber que nosso

sistema tendera ao rosto, o atrator #1. Por outra parte, se comecarmos olhando

a primeira figura a esquerda na parte inferior, tenderemos a identifica-la com

o corpo de mulher.

Figura 5.2: Atratores perceptivos.

Outros sistemas onde o processo de auto-organizacao esta presente:

� Laser

� Dinamica dos fluıdos:

– Instabilidade de Benard (vide figura 5.3)

– Instabilidade de Taylor

� Quımica:

– Reacao de Belousov-Zhabotinsky (vide figura 5.4)

� Biologia

� Sociologia (formacao da opiniao publica)

5.2. INTRODUCAO 73

� Saser

Figura 5.3: Instabilidade de Benard. Produzida pelo fenomeno de conveccao docalor [83].

Figura 5.4: Instabilidade de Belousov. Produzida pela reacao quimica de varioscompostos [83].

Como foi visto anteriormente, o mecanismo fundamental na geracao dos

fonons � e o decaimento dos fonons ��. Outros processos como a emissao-

absorcao dos fonons �� pelos eletrons e o decaimento dos fonons �� sao

processos secundarios e serao tratados somente como produtos da interacao

entre eles e seus respectivos reservatorios.

Produto que os fonons � sao produzidos pelo decaimento dos ��, eles

poderiam, em princıpio, ser emitidos em qualquer direcao e com qualquer vetor

de onda. Devido ao fato de que os fonons �� estao confinados no poco [39,

40], eles terao, na direcao � ��, um modo bem definido. Alem disso, no


caso especıfico do GaAs, o decaimento dos �� produz fonons � na direcao

cristalografica [] [84]. Com estas duas condicoes fica entao bem determinada

a direcao dos fonons ��. Portanto, os modos na direcao � estao bem definidos.

Estudaremos entao os possıveis valores � nas direcoes paralelas a interface.

Particularmente o ��, correspondente aos fonons �.

No plano /0, o numero de vetores de onda paralelo as interfaces !�

pode ser

estimado como o quociente 1��, onde 1� � �� e � � �� A foram

definidos na secao 2.4.1. Com tais valores temos que !�� . Atraves dos

calculos anteriores foi obtido que o numero total de fonons � emitidos e da

ordem de � � �� (ver figura 4.2). Isto quer dizer que, no comeco da emissao,

o numero de fonons � por vetor de onda �� e � � � ��. Na medida em que

o potencial aplicado aumenta, a emissao num determinado modo � �� aumenta

lentamente ate o potencial alcancar certo valor limiar � � � ��. Para valores do

potencial maiores que ��, os fonons emitidos nesse modo sao coerentes. Isso

implica que a populacao ��e a unica macroscopicamente diferente de zero. Na

secao a seguir, estudaremos a possibilidade da co-existencia macroscopica de

varios modos.

5.3 Emissao em multiplos modos

Para estudar a possıvel co-existencia de varios modos no saser, vamos partir

de um hamiltoniano que somente leva em conta os termos correspondentes

aos fonons e que inclui todos os modos transversais (paralelos as interfaces)

possıveis

�� &�

��

3��3�� &�

��

3��3�� &�

��

3��3��

�@��

��

�3��3��3�� 3��3

��3��

�, (5.1)

5.3. EMISSAO EM MULTIPLOS MODOS 75

onde � e �& �8 � , �, �� sao os vetores de onda paralelos as interfaces e as

energias dos fonons ��, �� e � respectivamente. Os vetores � satisfazem a

seguinte relacao �� . O parametro @ � esta definido como @��, onde @ e

o coeficiente que mede a intensidade da interacao fonon-fonon e foi obtido na

secao 2.5.

5.3.1 Equacoes de Heisenberg-Langevin

Equacoes de Heisenberg

As equacoes de movimento de Heisenberg para os operadores (�� ((�� 3��3�� ),

3�� e 3�� podem ser calculadas a partir das seguintes expressoes

8�2(��2�

� �(��,�� , � � (5.2)

8�23��2�

� �3��,�� , � � �, �� (5.3)

Resultando em

2(��2�

� �8@ ��

"3��3��3�� 3��3

��3��

#, (5.4a)

23��2�

� �8&�3�� 8@��

3��3��, (5.4b)

23��2�

� �8&�3�� 8@��

3��3�� (5.4c)

Para podermos resolver o sistema (5.4), vamos fazer uso da teoria dos esta-

dos coerentes [3].

No caso de um sistema de multiplos modos podemos definir o estado coe-

rente do sistema como o produto interno dos estados coerentes �� de cada

modo


�� )��

�� (5.5)

O ındice �� e uma maneira compacta de representar o fonon ��, �� com vetor

de onda � e polarizacao ou ramo �.

O estado �� e seu conjugado �� sao auto-estados dos operadores de

aniquilacao e criacao, 3�� e 3��, respectivamente

3�� , (5.6a)

�� 3�� , (5.6b)

onde as amplitudes �� sao complexas e tais que

�� 3��3��

(5.7)

e o numero de fonons com vetor de onda � e polarizacao �. Note que os autova-

lores �� sao diferentes das amplitudes �� definidas na expressao (3.5).

Para resolver o sistema (5.4), multiplicamos cada uma das equacoes por

�� pela direita e por �� pela esquerda e fazendo uso de (5.6) obtemos

2��2�

� �8@ ��

"��

��

#, (5.8a)

2��2�

� �8&�� 8@��

��, (5.8b)

2��2�

� �8&�� 8@��

�� (5.8c)

Equacoes de Langevin

Cada um dos componentes de nosso sistema (entenda-se os fonons �� , �� e

�) encontram-se interagindo com seus reservatorios.


No caso dos fonons ��, o reservatorio deles sao os processos de emissao

(absorcao) de eletrons desde o nıvel excitado � � � (fundamental � � �). O ha-

miltoniano que descreve esse reservatorio e o mesmo que descreve a interacao

eletron-fonon e que foi obtido na secao 2.4 (expressao 2.49):

��

��

7��3

��

� ��3�� (5.9)

No caso do fonon ��, o reservatorio correspondente sao os outros modos

fononicos nos quais ele decai. O hamiltoniano do reservatorio pode ser escrito

como:

�� &�

��

3��3��&�

��

3��3�� @��

��

�3��3

��3�� #��

�, (5.10)

onde 3�� e 3�� (� � �, �) sao os operadores de criacao e aniquilacao dos fonons

do reservatorio, �&� e a energia do modo � e @ �� e a constante de acoplamento

entre os fonons �� e os outros modos.

Para os fonons �, o hamiltoniano que descreve o reservatorio representa

os outros fonons � fora do poco e pode ser escrito como

�� &

��

3�� 3� ��@��

�3��3

��

� #�� (5.11)

O hamiltoniano total do sistema sera entao a suma de (5.1) mais os re-

servatorios (5.9), (5.10) e (5.11). Usando os metodos descritos em [87, 88], as

variaveis dos reservatorios podem ser eliminadas produzindo efeitos de flutuacoes

e amortecimento nas equacoes de movimento.

As equacoes de Langevin assim obtidas sao

2��2�

� �8@ ��

"��

��

#� �� (J�, (5.12a)


2��2�

� ��8&� � B�� 8@��

��

� (J�, (5.12b)

2��2�

� ��8&�� B�� 8@ ��

��

� (J�, (5.12c)

onde �� e �� sao as taxas de geracao e aniquilacao dos fonons �� devido a

interacao com seu reservatorio, B� e a taxa de decaimento dos ��, B�� repre-

senta a taxa de escape dos fonons � e (J �8 � , �, �� sao as forcas de flutuacao.

Devido a que nao estamos interessados em estudar as propriedades es-

tatısticas do saser (somente valores medios das populacoes dos fonons), daqui

em adiante, as forcas de flutuacao nao serao levadas em conta.

5.3.2 Aproximacao adiabatica

Para resolver o sistema (5.12) e obter uma equacao para os fonons �, e feita

a aproximacao adiabatica (ou quasi-estatica) nas expressoes (5.12a) e (5.12b).

Primeiramente integramos explicitamente (5.12b)

�� 8@ ��

��

�� ) ��

��

�)2A (5.13)

e depois fatoramos as amplitudes �� e �� numa parte lentamente variavel no

tempo e em outra que oscila rapidamente no tempo

�� e �� (5.14)

em (5.13) obtendo assim

�� 8@��

��

�� ) � � ��)��) 2A� (5.15)

Assumindo que o tempo de relaxacao dos fonons �� e menor que os dos

fonons �� e �, podemos tirar �� e �� fora da integral em (5.15)


�� 8@��

� ��

�8� � B�� , (5.16)

onde � � &� � &� � &�.

Integrando (5.12a) e realizando a aproximacao adiabatica igual que anteri-

ormente obtemos

��

��

�� )

��

��

��

�, (5.17)

com

) ��@�

�

B�� B��

, (5.18)

�� (5.19)

Substituindo (5.16) e (5.17) em (5.12c) obtemos a seguinte equacao para a

amplitude ��2��2�

�

�@�

�

8� � B�� B��

� �� (5.20)

onde

��

��

'��

��

��

�� )

��

��

��

��

��

��

�� )

��

�(5.21)

No lugar de usar (5.20), vamos calcular a variacao temporal da populacao

dos fonon � para cada vetor de onda ��

2��2�

�2��

2�� 2��2�

� �� 2��2�(5.22)

Finalmente obtemos a seguinte equacao para ��

2��2�

� �)�� B�� (5.23)


Para pequenos valores de ��, �� e positivo e independente de ��. A contri-

buicao de um �� dado a ��, mostrada em (5.21) e absolutamente desprezıvel.

Portanto as solucoes de (5.23) sao �� *�� que no estado esta-

cionario tendem a �� para todos os modos.

Na realidade, a populacao desses modos sera pequena (�� , em

media) de maneira tal que, somando sobre todos os modos, possamos ter uma

populacao total �� . O resultado �� provem do fato de havermos

desprezado as flutuacoes (as populacoes �� variam rapidamente no tempo) e

de termos feito a aproximacao adiabatica.

Estando o sistema em ressonancia �� e aumentando a populacao � � (por

meio do aumento da injecao ��) os valores de �� se fazem menos positivos ate

que um deles (aquele que tiver o menor B�, isto e, aquele de maior tempo de

vida media no poco) se faz igual a zero. Neste caso podemos ter, para esse modo

em particular, �� no caso estacionario.

Como foi visto anteriormente, quando o fonon �� decai, o fonon � e emi-

tido na direcao cristalografica [] [84]. Levando em conta que o saser e cres-

cido nessa direcao, o feixe dos fonon � fara multiplas reflexoes entre as pare-

des do poco o que implica que tais fonons terao um tempo de vida maior que os

outros. Na realidade, temos que para pequenos valores de potencial aplicado,

os fonons � sao emitidos com qualquer vetor de onda �� paralelo as interfaces

pequeno. Neste regime, o dispositivo funciona como um diodo emissor de som

(DES). Aumentando o potencial, a partir de um certo valor limiar, a distribuicao

dos fonons � como funcao de �� torna-se mais e mais agucada dando lugar

a uma transicao de fase. Neste caso, a populacao ��

aumenta bruscamente

de valor, indo de �� para ��. Desta maneira, um numero grande de fonons

� terao um so vetor de onda �� (o que implica que �� ). Este modo

sobrevivera e escravizara os outros modos, fazendo com que o sistema se auto-

organize e emita somente nesse modo.

Suponhamos agora, como exemplo, a existencia de dois modos � �� e ��. No

caso estacionario, a equacao (5.23) tem como solucao


�)�� B��

��

� � (5.24)�)�� B��

��

� � (5.25)

Se ambos modos estiverem presentes (�� e ��

�� ), entao os dois parente-

ses em (5.24) e (5.25) tem que ser iguais a zero. Isso e uma contradicao ja que

B�� B��. Tal contradicao somente pode ser resolvida se so um modo estiver

presente e o outro morreu. Por conseguinte, somente um modo, aquele com

maior tempo de vida dentro do poco e mais perto da ressonancia, sobrevivera.

E evidente que este raciocınio vale para um numero arbitrario de modos ��.

Poderia-se pensar agora que, aumentando �� passarıamos a ter �� para

esse modo e a populacao �� divergiria. Mas, neste caso, o termo em ��

� em

(5.21) nao sera mais desprezıvel, estabilizando a solucao. Isto sera visto em

maior detalhe na proxima secao.

Como pudemos ver, no saser cumprem-se as tres condicoes para a auto-

organizacao apresentadas na introducao deste capıtulo:

� O sistema deve estar em contato com um reservatorio

Neste caso o reservatorio e composto de uma entrada: a injecao devido ao

decaimento dos ��, e uma saıda que sao os fonons � fora do poco.

� Diferenciacao

Corresponde as multiplas reflexoes entre as paredes do poco feitas pelo

feixe de fonons � .

� Retroalimentacao (feedback)

Depois do limiar a emissao acontece so no modo com vetor de onda � �� .

O fator de Bose � � �� e tao grande que provoca o decaimento dos fonons

�� nesse modo antes de ter tempo de decairem em algum outro modo.


5.4 Emissao num so modo

Na secao anterior vimos que somente um modo sobrevive e escraviza os ou-

tros. Levando em conta isto, nesta secao vamos obter o valor do limiar para

o qual comeca a emissao coerente (no modo com �� ) e a populacao��

�e

macroscopicamente diferente de zero.

Para obter a equacao que descreve a emissao num so modo, vamos partir da

expressao (5.20). Chamando ��

� ��, considerando que o sistema encontra-

se na ressonancia (� � �), que ��

�

��

e utilizando (5.21), a expressao (5.20)

se reduz a

2��

2��

�@�

�

��B�� B�

��

�@�

�

��B�

��

��

��, (5.26)

onde B� � B��.

A parte direita de expressao (5.26) podemos obte-la do seguinte potencial

K�

��

� ��

�� (5.27)

isto e,

K�

��

� ��

� (5.28)

onde

� � B� � @��

��B�� e � � ��

�@�

�

��B�

��

�

Usando o potencial (5.27), a expressao (5.26) pode ser obtida como

2��2�

� �2K� ��

2�� (5.29)

As expressoes para �� e �� sao

�� , ��

5.4. EMISSAO NUM SO MODO 83

onde e a taxa de transicao dos eletrons (calculada na secao 2.4.2) e � � e ��

sao as populacoes dos eletrons nos nıveis fundamental e excitado respectiva-

mente obtidas no capıtulo anterior.

A forma do potencial (5.27) e semelhante aquela obtida na teoria de transi-

coes de fase de Ginzburg-Landau. Para � � � o potencial tem um mınimo em

�� . Para � � �, o mınimo de (5.28) e obtido num valor de �� diferente de

zero ��

��. A transicao entre os valores positivos e negativos de � e devido

a competicao entre os processos de ganho (representados pela taxa � �(�

�� ) e de

perdas (representados por B�). Finalmente o limiar e obtido quando os ganhos

igualam as perdas, ou seja � � � �� (��

.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

Uc(

V, p

30 ) (

x1

04 )

p3

0 ( x102 )

V = 60.2 mV V = 65 mV V = 80 mV V = 90 mV

Figura 5.5: Potencial K� como funcao da amplitude �� para diferentes valoresde � .

Na figura 5.5 apresenta-se o potencial (5.27) como funcao da amplitude � ��

para diferentes valores do potencial aplicado � . Para valores de � menores

que o potencial limiar �� , o potencial K� tem somente um mınimo

em �� . Para � � ��, K� tem diferentes mınimos para valores de �� .

Estes mınimos representam os pontos estaveis do sistema. O potencial � �� e o

potencial limiar a partir do qual o sistema passa a emitir coerentemente.

Os atratores ou pontos estaveis do sistema (aqueles para os quais2K�

2�� )


sao apresentados na figura 5.6.

50 60 70 80 90 100

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2 n

3

s / n3

s (max)

n3 / n

3

(max)

po

pu

laçã

o n

3 (n

orm

aliz

ad

a)

V ( mV )

Figura 5.6: Populacao coerente como funcao do potencial aplicado.

A linha solida representa os mınimos da expressao (5.28). A linha pon-

tilhada, a populacao total calculada segundo as equacoes cineticas classicas

obtidas na secao 4.2. Ambas as curvas foram normalizadas, ou seja, a data de

cada uma delas foi dividida pelo seu valor maximo.

A primeira regiao sombreada na figura 5.6 encontra-se ampliada na figura

5.7.

Como pode se ver, a emissao no regime coerente (linha solida) nao comeca

ate que o valor limiar do potencial e alcancado. A taxa de emissao � � dos

fonons �� no potencial limiar �� e � �� e a populacao total �� dos fonons

� e � �� enquanto que �� . Para valores de potencial � � ��, os fonons

� sao emitidos coerentemente.

Na figura 5.8 mostra-se a regiao de decoerencia (segunda regiao sombreada

na figura 5.6). Para um valor de � � �� , a emissao dos fonons � deixa

de ser coerente (linha solida). Isto se deve a uma inversao na relacao entre os

fatores �� e �� (��

, neste caso temos que �� (��

.

A equacao (5.26) pode ser resolvida analiticamente. Como estamos interes-

sados na populacao dos fonons � e nao nas amplitudes ��, podemos usar

5.4. EMISSAO NUM SO MODO 85

59.30 59.35 59.40 59.45 59.50

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

n3

s

n3

po

pu

laçã

o n

3

V ( mV )

Figura 5.7: Ampliacao da primeira regiao sombreada na figura 5.6. A emissaodos fonons � (linha pontilhada) comeca incoerente. Quando a taxa de emissaodos fonons �� e ��

�� (��

, comeca a emissao coerente (linha solida).

93 94 95 96 97 98 99

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

n3

s

n3

po

pu

laçã

o n

3

V ( mV )

Figura 5.8: Ampliacao da segunda regiao sombreada na figura 5.6. Comopode ser visto, existe um valor do potencial para o qual a emissao deixa de sercoerente.


a definicao (5.22) e transformar (5.26) obtendo a seguinte equacao diferencial

para a populacao ��

2��2�

� �

�@�

�

��B�� B�

��

�@�

�

��B�

��

��

��

��

�

�(5.30)

cuja solucao analıtica e

�� !�

� ��+�

��!�� +��

(5.31)

onde ! �� , isto e, o numero inicial de fonons �.

Nas figuras 5.9 e 5.10 apresentam-se os graficos da solucao (5.31) para

valores do potencial aplicado menores e maiores que o limiar. Como pode se

apreciar em cada uma delas, as curvas tem um comportamento assintotico

independente do valor inicial ! �� . Note que os valores iniciais sao os mesmos,

porem as escalas utilizadas sao diferentes.

Na figura 5.9 podemos ver o comportamento temporal da populacao dos

fonons para um valor de potencial aplicado menor que o valor limiar � ��. Neste

caso o parametro � e maior que zero e a solucao (5.31) decai exponencialmente

no tempo. Este comportamento e similar aquele da solucao (exponencial de-

crecente) da equacao (5.23) para qualquer modo antes do limiar.

Para um potencial aplicado maior do que o limiar �� , a solucao (5.31)

tem o comportamento apresentado na figura 5.10. Para pequenos valores de

tempo, o termo predominante na equacao (5.30) e o termo linear em � �� o que

faz com que inicialmente a solucao tenda a crescer exponencialmente. A partir

de certo valor de �, a contribuicao do termo cuadratico passa a ser maior do

que o termo linear e a solucao tende a estabilizar-se no valor��

��

�, isto e, na

solucao estavel do potencial (5.28) visto anteriormente.

5.5. CONCLUSOES 87

0 5 10 15

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

N3

0 = 3000

N3

0 = 2000

V = 59.38 mV

po

pu

laçã

o n

3

tempo ( ps )

Figura 5.9: Solucao da equacao diferencial para as populacoes dos fonons �coerentes. Potencial aplicado � � �� .

5.5 Conclusoes

Como conclusoes deste capıtulo temos:

� Foram obtidas as equacoes de Heisenberg-Langevin que descrevem a di-

namica do sistema.

� Usando a aproximacao adiabatica nas equacoes de Heisenberg-Langevin,

foi obtida a equacao que descreve a emissao dos fonon � em mais de um

modo.

� Foi demonstrada a impossibilidade de emissao coerente dos fonons � em

varios modos.

� Foi obtido o potencial que descreve os estados estaveis assim como os

atratores (mınimos) do sistema.

� Foi calculada a populacao dos fonons � no regime coerente. Atraves

deste calculo, foi possıvel determinar o valor limiar do potencial aplicado

a partir do qual comeca a emissao coerente.


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.00

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

V = 63 mV

N3

0 = 3000

N3

0 = 2000

po

pu

laçã

o n

3 ( x

103 )

tempo ( ps )

Figura 5.10: Solucao da equacao diferencial para as populacoes dos fonons �coerentes. Potencial aplicado � � �� .

� Mediante a comparacao da populacao dos fonons � no regime coerente

e aquela obtida atraves das equacoes cineticas, vimos que, em primeiro

lugar, a formas das curvas obtidas por metodos diferentes e similar. Em

segundo lugar temos que a emissao dos fonons � comeca incoerente ate

que o valor limiar do potencial aplicado �� e alcancado. Para

valores de potencial maiores que o limiar, a emissao dos fonons � passa

a ser coerente. Por ultimo vimos que para valores do potencial aplicado

maiores que � �� , a emissao dos fonons � deixa de ser coerente.

� Foi obtida a solucao da equacao diferencial que descreve o comportamento

temporal das populacoes dos fonons �.

Capıtulo 6

Conclusoes finais

6.1 Conclusoes

As equacoes cineticas quanticas obtidas nesta tese dao resultados muito pare-

cidos (mas diferentes) dos obtidos com as equacoes cineticas fenomenologicas.

O limiar de “sazing” calculado e pequeno indicando que, em principio, e mais

facil ultrapassar este limiar que no caso do laser. Isto se deve (entre outras

coisas) a que os “espelhos” para os fonons nao produzem perdas importantes

(como no caso dos lasers, por efeito Joule).

Alem disso, temos que aqui, diferentemente das teses anteriores [69, 77]

sobre o saser de dupla barreira:

� Foi incluıdo explicitamente no hamiltoniano do sistema o termo que des-

creve a interacao fonon-fonon.

� Foi calculado o parametro 7 que mede a intensidade da interacao eletron-

fonon para os modelos de Licari e Evrard [60], Huang e Zhu [64] (com

as modificacoes de Rudin e Reinecke [65]) e o modelo de Ridley [66]. Le-

vando em conta que o modelo de Huang e Zhu e o que melhor descreve

a interacao eletron-fonon �� em pocos quanticos [68, 70, 71], este foi o

modelo utilizado nos nossos calculos.

89

90 CAPITULO 6. CONCLUSOES FINAIS

� Foi calculada a taxa de emissao dos fonons �� como funcao do poten-

cial aplicado para os diferentes modelos mencionados no item anterior.

� Foi calculado o parametro @ que mede a intensidade da interacao fonon-

fonon e estimado a partir do valor experimental da taxa de emissao do par

�� obtido por Vallee [59].

� Foi estudado o efeito de levar em conta todos os nıveis eletronicos dentro

do poco.

� Foi obtido e resolvido um sistema de � equacoes a � incognitas para as

amplitudes a partir das quais foi possıvel calcular a transmitancia, a re-

fletancia e a corrente eletronica atraves da dupla barreira.

� Foi incluıdo explicitamente o termo que representa o decaimento dos fonons

�� no par �� nas equacoes cineticas classicas que descrevem a

dinamica do saser.

� Foi obtido atraves de um tratamento totalmente quantico um novo sistema

de equacoes cineticas.

� Foi apresentada a metodologia seguida para obter as equacoes cineticas

classicas a partir das quanticas.

� Foram obtidas as equacoes de Heisenberg-Langevin que descrevem a di-

namica do sistema.

� Usando a aproximacao adiabatica nas equacoes de Heisenberg-Langevin,

foi obtida a equacao que descreve a emissao dos fonons � em mais de

um modo.

� Foi demonstrada a impossibilidade de emissao coerente dos fonons � em

varios modos.

� Foi obtido o potencial que descreve os estados estaveis assim como os

atratores (mınimos) do sistema.

6.2. TRABALHOS ORIGINADOS DESTA TESE 91

� Foi calculada a populacao dos fonons � no regime coerente. Atraves

deste calculo, foi possıvel determinar o valor limiar do potencial aplicado

�� a partir do qual comeca a emissao coerente.

� Mediante a comparacao da populacao dos fonons � no regime coerente

e aquela obtida atraves das equacoes cineticas, vimos que, em primeiro

lugar, a formas das curvas obtidas por metodos diferentes e similar. Em

segundo lugar temos que a emissao dos fonons � comeca incoerente

ate que o valor limiar do potencial aplicado e alcancado. Para valores

de potencial maiores que o limiar, a emissao dos fonons � passa a ser

coerente. Por ultimo vimos que para valores do potencial aplicado maiores

que � �� , a emissao dos fonons � deixa de ser coerente.

� Foi obtida a solucao da equacao diferencial que descreve o comportamento

temporal da populacao dos fonons �.

6.2 Trabalhos originados desta tese

6.2.1 Trabalhos publicados

Trabalhos publicados ou a ser publicados em revistas indexadas:

1. A quantum formalism for a terahertz acoustic laser.I.Camps, S. S. Makler e E. V. AndaBraz. J. of Phys., 29 (4) 694 – 701 (1999)

2. A double-barrier heterostructure generator of terahertz phonons: many-bodyeffectsS. S. Makler, I. Camps, J. Weberszpil e D. E. TuyarotJ. of Phys. Cond. Matt., 12 (13) 3149 – 3172 (2000)

3. The operation threshold of a double barrier phonon laserI.Camps e S. S. MaklerSol. State Comm., 116 (4) 191–196 (2000)

4. The terahertz phonon laser: a full quantum treatmentI.Camps, S. S. Makler, H. M. Pastawski e L. E. F. Foa TorresEnviado para publicacao, cond-mat/0101043

92 CAPITULO 6. CONCLUSOES FINAIS

6.2.2 Congressos

a) Trabalhos apresentados em congressos nacionais:

1. A quantum treatment for kinetic equations of a saserI. Camps, S. S. Makler, E. V. Anda e M. I. VasilevskiyXXI Encontro Nacional de Fısica da Materia Condensada2-6 de junho de 1998. Caxambu, Minas Gerais, Brasil.

2. A quantum formalism for a terahertz acoustic laserI. Camps, S. S. Makler e E. V. Anda�� Brazilian Semiconductor Workshop7-12 de fevereiro de 1999. Belo Horizonte, Minas Gerais, Brasil.

3. New features in a DBH phonon laserI. Camps e S. S. MaklerXXII Encontro Nacional de Fısica da Materia Condensada2-6 de maio de 1999. Sao Lourenco, Minas Gerais, Brasil.

4. Synergetics of a phonon laserI. Camps e S. S. MaklerXXIII Encontro Nacional de Fısica da Materia Condensada9-13 de maio de 2000. Sao Lourenco, Minas Gerais, Brasil.

b) Trabalhos apresentados em congressos internacionais:

1. A many body formalism for a generator of terahertz coherent phononsS. S. Makler e I. CampsXXIV International Workshop on Condensed Matter Physics12-17 de setembro de 2000. Buenos Aires, Argentina.

Apendice A

Parametros utilizados na tese

Tabela A.1: Lista de parametros.Parametro Valor Descricao

1 1� �� area transversal2 2 �� A largura do poco3 � �� A distancia entre camadas de GaAs4 �� taxa de escape dos fonons ��

5 �� taxa de escape dos fonons �6 A � �� tempo de decaimento dos fonons ��

7 @ �� intensidade da interacao fonon-fonon8 + �� parametro de salto

1. Valor utilizado por Goldman, Tsui e Cunninghan [57,58] para uma duplabarreira.

2. Para que ( � �� &�.

3. Distancia entre camadas. � � �� onde �� A e o parametro darede [89].

4. E uma estimativa grossa, feita supondo que haja um certo estımulo dossubprodutos 3�� e 3��.

5. Da velocidade de grupo (aproximada).

6. Segundo o trabalho de Vallee e Bogani [59].

93

94 APENDICE A. PARAMETROS UTILIZADOS NA TESE

7. Calculado a partir de A �.

8. Escolhido de maneira a reproduzir a massa efetiva experimental dos eletronsno GaAs [90].

Apendice B

Efeitos da acumulacao de carga

Neste apendice descreveremos brevemente o procedimento adotado para levar

em conta a interacao eletron-eletron. A maneira mais simples de incluir tal

fenomeno nos nossos calculos e considerar seu efeito atraves da acumulacao

de cargas no poco e a influencia dela no perfil de potencial. Um calculo mais

detalhado pode ser visto em [77].

As equacoes que relacionam o perfil de potencial e a carga no emissor e no

coletor sao a equacao de Poisson e a equacao de difusao.

A equacao de Poisson escrita no sistema gaussiano de unidades e

��; �2�;

2��

�5

4�� !�� (B.1)

onde ; �� e o potencial eletrico, �� e !� �� sao a densidade de eletrons e a

densidade de doadores no emissor e 4 e a constante dieletrica relativa.

Por sua parte, a equacao de difusao pode ser escrita como

E� �� E, �� E� (B.2)

onde

E� �� .$� � ��.2;

2�(B.3)

95

96 APENDICE B. EFEITOS DA ACUMULACAO DE CARGA

e a densidade de corrente de arraste devida ao campo eletrico local $ � e . e a

mobilidade dos eletrons.

A densidade de corrente de difusao E, �� e igual a

E, �� G2��2�

� (B.4)

E� representa a densidade de fluxo total devido ao campo externo e vale

E� ��

1(B.5)

onde � e a corrente eletronica (calculada na secao 3.4.2) e 1 e a area transversal

do dispositivo.

As condicoes de contorno do sistema sao

; �� (B.6a)

; �� (B.6b)

onde �� e �� sao os comprimentos do emissor e do coletor respectivamente e �

e o potencial de polarizacao aplicado ao sistema.

As solucoes do sistema formado pelas equacoes (B.1) e (B.2) com as condicoes

de contorno (B.6) sao uma camada de acumulacao no emissor e uma camada

de deplecao no coletor. Supondo uma distribuicao uniforme de carga dentro

do poco obtemos uma contribuicao parabolica ao perfil nessa regiao. Estas

contribuicoes devem ser somadas a contribuicao linear devida ao potencial ex-

terno aplicado.

O efeito da carga acumulada e, principalmente uma mudanca no perfil do

potencial. Isto implica uma mudanca nos nıveis dentro do poco assim como na

altura das barreiras e na corrente.

Assim, este efeito e introduzido nos calculos atraves de uma autoconsistencia

que leva em conta as equacoes cineticas no estado estacionario e cujo processo

e mostrado no diagrama B.1.

97

CARGA

PERFIL CORRENTE w R0 R

1

��

Figura B.1: Diagrama de fluxo para representar o calculo autoconsistente.

98 APENDICE B. EFEITOS DA ACUMULACAO DE CARGA

Apendice C

Calculo de ��

�

Para obter o valor de �� , primeiramente faremos uso da conservacao do vetor

de onda, isto e

�� , (C.7)

�� , (C.8)

)��

� )� � �)�) �� >� � �� (C.9)

onde �� e � sao os vetores de onda dos estados final (fundamental) e inicial

(excitado) dos eletrons e > e o angulo formado entre eles.

No caso limite, podemos fazer > � 5 para ter o maximo da parte esquerda

da expressao (C.9)

)��

� )� � �)�) � �� (C.10)

Levando em conta a conservacao da energia

(�� )

�� (� �

��)�

�

�� &�, (C.11)

temos que

99

100 APENDICE C. CALCULO DE D��

)� �

��

��Æ( � )�, (C.12)

onde Æ( � (�� (� � �&�.

Da equacao (C.10) temos que

�� )� �

��)� �

��

��Æ( � �)

��

��Æ( � )�

� �

�

� (C.13)

O valor maximo do vetor de onda inicial ) para os eletrons, dependera do

nıvel de Fermi 4� no emissor

)��

��

��4� � (�� (C.14)

Finalmente �� pode ser calculado como

�� )�� (C.15)

Apendice D

Situacao experimental do saser

Para o bom funcionamento do saser e fundamental que o mesmo seja crescido

com uma boa qualidade cristalina e na direcao ��.

Depois de crescido o dispositivo e preciso caracteriza-lo. E necessario ob-

ter a curva caracterıstica 6 �� e medir a fotoluminescencia para determinar

a posicao dos nıveis eletronicos dentro do poco. Para ter uma caracterizacao

mais aprimorada poderiam-se realizar tambem medicoes de fotoluminescencia

para diferentes valores de potencial aplicado L �� . Para realizar as medidas

6 �� e L �� e necessario que as amostras tenham contatos ohmicos.

Uma vez que forem determinadas as propriedades eletronicas e a vez das

medicoes para detectar os fonons. Neste caso uma tecnica a utilizar e a re-

fletancia resolvida no tempo.

Como pode se ver, para a total caracterizacao do saser sao necessarias varias

tecnicas experimentais que nosso instituto nao tem. Devido a isso foram con-

tatados dois grupos experimentais. Eles foram: Os laboratorios de crescimento

por epitaxia de feixe molecular (Molecular Beam Epitaxy-MBE) da Universidade

de Sao Paulo e do Instituto de Fısica da Universidade Federal de Minas Gerais.

No primeiro grupo dirigido pelo Dr. Jose Roberto Leite, trabalharam o Dr.

Alexandre Pimenta Lima e o Dr. Alexander Levin.

Este grupo cresceu uma amostra (#��) cujos parametros sao mostrados

na tabela D.1. Na figura D.1 apresentamos as medicoes de fotoluminescencia

101

102 APENDICE D. SITUACAO EXPERIMENTAL DO SASER

Tabela D.1: Parametros de crescimento da amostra ��

Largura Material"� �� * +�� A �� / � �� A �� A �� / � �� A �� * +�

Concentracao de +�: ��

para esta amostra. O analise deste espectro mostrou que os nıveis eletronicos

encontram-se nas posicoes corretas. Nesta amostra nao conseguiram colocar

os contactos ohmicos para a realizacao das outras medicoes eletricas. O Dr.

A. Levin, que era o responsavel da realizacao das medicoes, viajou aos Estados

Unidos para realizar estudos de Pos-Doutorado perdendo-se assim o contato

com o mesmo.

Figura D.1: Espectro de fotoluminescencia para a amostra crescida na USP.

No segundo grupo dirigido pelo Dr. Alfredo Gontijo de Oliveira trabalharam

o Dr. Wagner Nunes Rodrigues, o Dr. Franklin Matinaga e o Dr. Juan Carlos

Gonzalez.

Neste grupo foram crescidas duas amostras (BH9920 e BH9921) cujas fi-

chas de crescimento sao mostradas nas figuras D.2 e D.3.

103

As medicoes de fotoluminescencia realizadas nas amostras sao apresenta-

das nas figuras D.4 e D.5.

O responsavel pelas medicoes neste grupo era o Dr. J. C. Gonzalez que

tambem viajou aos Estados Unidos para realizar estudos de Pos-Doutorado.

Neste momento no laboratorio do Dr. Elmo Alves da UFMG estao sendo feitos

contatos ohmicos e medidas as propriedades de transporte, em particular a

curva caracterıstica 6 �� .

Infelizmente o desenvolvimento desta parte escapa ao nosso controle. Mas

envidamos todos os nossos esforcos para que as amostras sejam completa-

mente caraterizadas e possa se determinar claramente se ha emissao de fonons

coerentes, qual e o limiar, qual e a intensidade do feixe, etc.


Amostra: SASER Data: 08/07/99 Livro: 06/pg.56 no: BH9920 Substrato: GaAs

(100) n+ Orientação: (100) Preparação do substrato:

Preparação padrão do laboratório de MBE (02/06/1999)

Condições de crescimento:

Célula PF T (oC) PBG(torr) Molyblock Substrato 580 3,6 x 10-7 SAMPA As 3,2x10-5 torr /

3,6x10-5 torr 387 / 600 – 130 mil

/ 150 mil com rotação 13 rpm

Ga 960 r(GaAs)=0.9 ML/s Al 1080 r(AlAs)=0.38 ML/s Si 1075 / 945 Nn @ 1ML/s = 1,2 x

1018 / 3 x 1016 cm-3 C -------- Tdesox=620 oC In -------- XAl= 30%

ESTRUTURA DA AMOSTRA

31,5 min GaAs:Si = 1700 ML (4810 Å)

n=3 x 1016 cm-3 � n+=1,2 x 1018cm-3

TSi = 945oC � 1075oC

71s GaAs:Si = 64 ML (181 Å)

n=3 x 1016 cm-3

10 nd GaAs = 9 ML (26 Å)

130 mil

6,2s

nd Al0.3Ga0.7As = 8 ML (23 Å)

150 mil

80s nd GaAs = 72 ML (204 Å)

130 mil

6,2s

nd Al0.3Ga0.7As = 8 ML (23 Å)

150 mil

10 s nd GaAs = 9 ML (26 Å)

16,7 min GaAs:Si = 766 ML (2168 Å)

n+=1,2 x 1018cm-3� n=3x1016cm-3

TSi = 1075oC � 945oC

11,1s GaAs:Si = 10 ML (28,3 Å)

n+=1,2 x 1018 cm-3

26,3 100x AlAs:Si = 10 ML (28,3 Å)

n+=1,2 x 1018 cm-3

41,5 min GaAs:Si = 2242 ML (0. 63�m)

n+=1,2 x 1018 cm-3

Tsubs = 580oC TSi = 1075oC

130 mil Substrato GaAs(100) n+ Observações:

Figura D.2: Ficha de crescimento da estrutura BH9920

105

Amostra: SASER Data: 08/07/99 Livro: 06/pg.57 no: BH9921 Substrato: GaAs

(100) n+ Orientação: (100) Preparação do substrato:

Preparação padrão do laboratório de MBE (02/07/1999)

Condições de crescimento:

Célula PF T (oC) PBG(torr) Molyblock Substrato 580 3,6 x 10-7 RAMA As 5x10-5 torr 387 / 600 – 230 mil com rotação 13 rpm Ga 960 r(GaAs)=0.9 ML/s Al 1080 r(AlAs)=0.38 ML/s Si 1075 / 945 Nn @ 1ML/s = 1,2 x

1018 / 3 x 1016 cm-3 C -------- Tdesox=630 oC In -------- XAl= 30%

ESTRUTURA DA AMOSTRA

31,5 min GaAs:Si = 1700 ML (4810 Å)

n=3 x 1016cm-3 � n+=1,2 x 1018cm-3

TSi = 945oC � 1075oC

71s GaAs:Si = 64 ML (181 Å)

n=3 x 1016cm-3

10 nd GaAs = 9 ML (26 Å)

230 mil

6,2s

nd Al0.3Ga0.7As = 8 ML (23 Å)

230 mil

80s nd GaAs = 72 ML (204 Å)

230 mil

6,2s

nd Al0.3Ga0.7As = 8 ML (23 Å)

230 mil

10 s nd GaAs = 9 ML (26 Å)

16,7 min GaAs:Si = 766 ML (2168 Å)

n+=1,2 x 1018cm-3 � n=3 x 1016cm-3

TSi = 1075oC � 945oC

11,1s GaAs:Si = 10 ML (28,3 Å)

n+=1,2 x 1018cm-3

26,3 100x AlAs:Si = 10 ML (28,3 Å)

n+=1,2 x 1018cm-3

30 min GaAs:Si = 1620 ML (0. 46�m)

n+=1,2 x 1018cm-3

Tsubs = 580oC TSi = 1075oC

230 mil Substrato GaAs(100) n+ Observações:

Figura D.3: Ficha de crescimento da estrutura BH9921


6000 6200 6400 6600 6800 7000 7200 7400 7600

0

50

100

150

200

BH9920Potência=10 mW514 nmtemp. integração=150s11 K

un

ida

de

s a

rbitr

ári

as

comprimento de onda de emissão (Å)

6500 7000 7500 8000 8500 9000

0

100

200

300

400

500

BH9920Potência=10 micro Watts514 nmtemp. integração=120s11 K

un

ida

de

s a

rbitr

ári

as


6500 7000 7500 8000 8500 9000

0

200000

400000

600000

800000


BH9920Potência=10 mW514 nmtemp. integração=0.08s11 K

un

ida

de

s a

rbitr

ári

as

Figura D.4: Espectros de fotoluminescencia para a amostra BH9920

107

6500 7000 7500 8000 8500 9000-5

0

5

10

15

20

25

BH9921Potência=10 micro Watts514 nmtemp. integração=100s11 K

un

ida

de

s a

rbitr

ári

as


6500 7000 7500 8000 8500 9000-200000

0

200000

400000

600000

800000

1000000

1200000

1400000

BH9921Potência=10 mW514 nmtemp. integração=0.04s11 K

un

ida

de

s a

rbitr

ári

as


Figura D.5: Espectro de fotoluminescencia para a amostra BH9921

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