Teste de Fotónica 14 de Junho de 2017 · Determine as expressões desses coeficientes. Explique a...

Teste de Fotónica 14 de Junho de 2017

IST | DEEC – Área Científica de Telecomunicações 1

Docente Responsável: Prof. Carlos R. Paiva

Duração: 1 hora 30 minutos Teste de 14 de Junho de 2017

Ano Lectivo: 2016 / 2017 2.º TESTE

1. Considere um acoplador linear de três núcleos idênticos, igualmente espaçados, imersos numa

bainha comum. Seja C o coeficiente de acoplamento entre fibras adjacentes e despreze o

acoplamento entre fibras não adjacentes. Admita que 1 30, 0, 0 B B . Definem-se os

coeficientes 2

2, , 0,j C j Ct L L B B com 1, 2, 3j . Determine as expressões desses

coeficientes. Explique a razão pela qual 1 3, ,C Ct L t L . Represente graficamente 1 ,Ct L

e 2 ,Ct L em função de C BL L para 0 1 . Faça 2 BC L . No intervalo

considerado quais os valores de em que 1 1 3t ? Assinale esses pontos no gráfico.

Solução

A matriz de transferência do acoplador de comprimento CL é

11

11 12 13 22

12 22 12

1213 12 11

13

1cos 2 1 exp

2

cos 2 exp

1sin 2 exp

2

1cos 2 1 exp

2

C C

C C

C C

C C

T C L i L

T T T T C L i L

T T TT i C L i L

T T T

T C L i L

T

de modo que se tem

2 21 12 21 3 12

2 22 22 2

2 223 12 2

1, 0,sin 2

2, 0,

cos 2, 0,

CC

C

CC

Lt t C L

L

t C LL

B T BT

B T B

TB T B

ou ainda, fazendo

2 CC L ,

obtém-se

2

1 3

2

2

1sin

2

cos

t t

t

.

A figura anexa representa a variação destes coeficientes com no intervalo 0 1 .

14 de Junho de 2017 Teste de Fotónica

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2. Numa fibra óptica, operada em regime não-linear, propaga-se um impulso gaussiano da forma

2

, exp 1 2 1 expp p p pU z T a iC T T i

.

em que pa , pC , pT e p são funções de z . Fez-se

1T t z . Nestas condições, mostra-se que

2 2 0202

, 12

p p p z

p

p p p

d T C d C TC P e

d z T d z T T

.

(a) Seja x a meia-largura do impulso para 1 e do valor máximo da sua intensidade espectral

2

,U z . Determine x em função de pT e de

pC .

(b) Escreva as equações diferenciais exclusivamente em termos das variáveis adimensionais

0pT T , Dz L , D NLN L L e DL .

(c) Determine em regime linear , pC e pa . Considere 0 1pa e 00pC C .

Represente estas três funções para 2sgn 1 e 0 2C no intervalo 0 2 . Determine,

ainda, o valor de min em que

min . Qual é o valor de min ?

(d) Considere, agora, 2 0 . Para 50 kmz ,

0 6C , 0 5 mWP , 10.2 dB km e

1 12 W km , calcule o trinado pC . Critique este método no caso do regime linear.

Solução

Comecemos por notar a utilidade do seguinte integral:

4

2exp exp4

ba x b x d x

a a

.

Para calcular o espectro

Teste de Fotónica 10 de Abril de 2014


, , expU z U z T i T dT

basta, então, ter em consideração que

2 2 2

2

12

2 , exp1 2 1

p

p

ip p

p p

p p

iCa T T

T U z a eiC iC

b i

2 2 2 2

2 22 2

22 2

2 2, exp , exp 1

11 1

p p p

p x p

pp p

T T TU z a U z a

CC C

22 2

2

11

1

px p

x

p p

CT

C T

.

Vamos, agora, reescrever as equações diferenciais em termos de variáveis (adimensionais)

normalizadas.

2

2 2

2 2

sgn

1sgn

2

p

p p

Cd

d

d C C N e

d

Consideremos, de seguida, o regime linear em que 0N . Obtém-se

2

2

2 2

sgn

1sgn

p

p p

Cd

d

d C C

d

2

2 2sgn 2 2 sgnp

p

Cd d dC

d d d

2

20

1 2 sgn pC Z d Z

2 2

2 2

0 2 2 02 2

1 11 sgn sgn 1

p p pC d C CC C

d

22 2 2

0 2 0 2 0sgn 1 1 sgnpC C C C

2

min 2 0 2 0 min2 sgn sgn 1 0C C

2 2 0

2 0 0 min min 2

0

sgn2 sgn 2 1 0

1

CC C

C

2 0 min min 2

0

1sgn 0 0

1C

C

2

2 2 2

02exp 0p p p p

p

Ta dT a T a T

T

E E



2

00 1pa T E

1pa



Em regime não-linear com 2 0 (regime não-linear não-dispersivo), obtém-se

00

0

2

p

p z

p

d T

d z

d C TP e

d z T

00p

p

d TT z T

d z

0 1exp

2 2

p z

NL

d C Pe z

d z L

1

exp2

p

NL

C z zL

0 0 0

1 10

2 2p

NL NL

C C C CL L

0

1 exp

2p

NL

zC z C

L

effeff 0

1 11 exp

2p

NL

zz z C z C

L



Para os dados numéricos considerados, vem sucessivamente 5 12.3026 10 Np m , 100 kmNLL ,

eff 29.6959 kmz , donde se infere que

5.7900pC .

Comentário: A aplicação deste método no regime não-linear é discutível – pelo menos no caso

fortemente não-linear. A explicação é simples: não é possível, em regime não-linear, impor «a priori»

uma forma do impulso que, ao longo da propagação, se conserva como (sempre) gaussiana. Trata-se

de uma hipótese apenas aproximadamente válida se (e só se) a não-linearidade se reduzir a uma (muito)

pequena perturbação (em relação ao regime linear).

3. Num amplificador laser de comprimento 10 cmL a densidade de saturação do fluxo de fotões é

18 2 14 10 cm ss . Sabe-se que a uma entrada de 15 2 10 4 10 cm s corresponde uma

saída de 16 2 14 10 cm sL .

(a) Determine o coeficiente de ganho 0g e o ganho 0G em regime de sinais fracos.

(b) Qual é o valor da relação s para um coeficiente de ganho

0g g f ? E qual é o valor de

0 s X quando o ganho 0G L é 0G G f ? Considere 5f .

(c) Determine sL Y e o ganho do amplificador quando 19 2 10 4 10 cm s . Comece

por indicar um processo gráfico para encontrar a solução e, de seguida, calcule-a

numericamente.

Solução

Em sinais fracos, tem-se ln Y Y e ln X X , donde se infere que

0 0 0 0exp lnG g L a g L G Y

X.

Mas, por outro lado, vem

1

0 0 0ln 2.3116 0.2312 cm 10.0904g L g GL

Y aa Y X

X.

Tem-se, ainda,

0 0 1 5 4

1 s s

s

g gg f

g

.

Por outro lado,

0

0

ln ln ln

1

G G f f

G G f

X

5 1.5809f X .

Como se tem

ln ln Y Y X X a

ln ln X X a Y Y

vem, neste caso,



10 ln 14.6142 X X X a .

A figura anexa ilustra a obtenção da solução numérica.

12.1194 1.2119G SoluçãoY

YX

4. Considere, neste problema, a questão EPR à luz do dispositivo de Mermin. Trata-se de, usando uma

desigualdade de Bell, mostrar

como os resultados da

mecânica quântica não podem

ser explicados em termos do

realismo local definido por

EPR. Uma fonte C (Charlie)

emite um par de fotões que

pertencem a um estado

quântico entrelaçado (em

inglês: entangled). Dois

observadores distantes entre

si, A (Alice) e B (Bob),

recebem cada qual um dos

fotões desse par. É possível fazer: 01 polarizador 0 a , 2 polarizador 30 b ou



3 polarizador 60 c . O funcionamento real (i.e., observado) do dispositivo obedece à

mecânica quântica e pode ser explicado sucintamente através dos seguintes factos: (i) Facto 1 –

quando os filtros em A e B têm a mesma configuração as cores ou R red G green coincidem

100% das vezes; (ii) Facto 2 – quando os filtros A e B diferem de 30 as cores coincidem 75%

das vezes; (iii) Facto 3 – quando os filtros A e B diferem de 60 as cores coincidem 25% das

vezes. A mecânica quântica, por sua vez, «coincide» com a lei clássica 2cos de Malus.

(a) Explique e interprete esta coincidência entre a lei de Malus e a mecânica quântica.

(b) Explique os 3 factos descritos em termos da lei de Malus.

(c) Admita, tal como EPR, que o comportamento do dispositivo tem de ser explicado em termos

de instruções transportadas por cada fotão e codificadas na forma XYZ que lhe permitam ter

uma resposta causal e local em relação a qualquer configuração que possa encontrar, a saber:

X,Y,Z R,G , com a X , b Y e c Z . Exemplo: RGG ou RGR implicam (ver

figura) que o caso 21 A em e B em 2 1 produz GR . Demonstre que a explicação EPR é

incompatível com o comportamento observado pelo dispositivo de Mermin (Factos 1, 2 e 3).

(d) Admita que EPR teria de explicar o Facto 1 e, em alternativa aos Factos 2 + 3, apenas mais

um Facto 2 adicional, a saber: os resultados RR e GG têm a mesma frequência que a

prevista pela mecânica quântica. Mostre que, neste caso, existiria compatibilidade total entre

EPR e a mecânica quântica, desde que as instruções GGG e RRR (estratégia A ) fossem

usadas numa percentagem do tempo. Determine .

(e) Determine, à luz da mecânica quântica, a probabilidade P ac de um fotão com polarização

linear arbitrária passar um primeiro filtro do tipo 1a e ser absorvido por um segundo filtro

do tipo c 3 . Compare com P ac , a probabilidade de o fotão passar tanto a como c .

(f) Prove o teorema de Bell usando a notação da alínea anterior: P P P ab bc ac .

Mostre, em seguida, que a mecânica quântica viola este teorema: P P P ab bc ac .

Solução

A lei de Malus corresponde a uma interpretação clássica em termos de campo electromagnético

contínuo: a intensidade óptica transmitida 2I e a intensidade óptica incidente

1I relacionam-se de forma

simples usando o formalismo do vector de Jones. Suponhamos que o campo eléctrico incidente está

polarizado linearmente segundo x e que o polarizador linear está orientado segundo uma direcção que

faz um ângulo com o campo incidente. Neste caso, apenas uma fracção dada por cos é transmitida

e, consequentemente, a potência transmitida é proporcional a 2cos . Na interpretação quântica o

campo electromagnético é constituído por fotões. Um fotão ou passa através do polarizador ou é

absorvido. A sua energia apenas depende da frequência angular , tendo-se E . Existe uma

irredutível probabilidade de o fotão passar através do polarizador que é dada, precisamente, por

2cosP , em que é o ângulo entre a polarização incidente e o eixo do polarizador. A

probabilidade de ele ser absorvido, portanto, é 21 cosP . Quando 2 o campo eléctrico

(na linguagem clássica) à saída é nulo; em termos de fotões podemos dizer que, neste caso, qualquer

fotão é sempre absorvido pelo polarizador. Quando o campo incidente não tem uma polarização

definida, a intensidade transmitida é a média

2

2 2

0

1cos cos

2d

2 2 2 2 1cos 2 cos sin 2 cos 1 cos 1 cos 2

2



2

2 2

0

1 1 1cos 1 cos 2 cos

2 2 2d

.

Neste caso a probabilidade de o fotão ser transmitido é a mesma que a de ser absorvido, i.e., 50%.

Existem três filtros em cada detector. As suas direcções (i.e., os seus eixos) correspondem a três

direcções do espaço dadas pelos vectores unitários 1a e , 1 2cos sin b e e e

1 2cos 2 sin 2 c e e em que 30 6 .

A lei de Malus diz que a probabilidade de um fotão polarizado na direcção u passar um filtro com eixo

na direcção v é dada por

2 2cos , ,p u v u v u v .

A probabilidade de um fotão ser absorvido será a mesma que a de um fotão passar um filtro na direcção

ortogonal a v e que se designa por v , i.e.,

2 21 1 sinp p u uv v u v .

Quando um par de fotões entrelaçados é criado, a probabilidade de o primeiro fotão passar o filtro u e

o segundo fotão passar o filtro v é dada por

2 21 1

, cos , ,2 2

p u v u v u v .

A probabilidade de o primeiro fotão passar o filtro u e o segundo fotão ser absorvido pelo filtro v é

dada por

2 21 1

, 1 sin2 2

p

u v u v .

A probabilidade de o primeiro fotão ser absorvido pelo filtro u e o segundo fotão passar o filtro v é

dada por

2 21 1

, 1 sin2 2

p

u v u v .

A probabilidade de o primeiro fotão ser absorvido pelo filtro u e o segundo fotão ser absorvido pelo

filtro v é dada por

2 21 1

, cos2 2

p u v u v .

A probabilidade de o primeiro fotão passar o filtro u independentemente do segundo fotão passar ou

não o filtro v é dada por

2 2

1

1 1 1, , cos sin

2 2 2p p p u u v u v .

A probabilidade de o primeiro fotão ser absorvido pelo filtro u independentemente do segundo fotão

passar ou não o filtro v é dada por

2 2

1

1 1 1, , sin cos

2 2 2p p p u u v u v .



A probabilidade de o segundo fotão passar o filtro v independentemente de o primeiro fotão passar ou

não o filtro u é dada por

2 2

2

1 1 1, , cos sin

2 2 2p p p v u v u v .

A probabilidade de o segundo fotão ser absorvido pelo filtro v independentemente de o primeiro fotão

passar ou não o filtro u é dada por

2 2

2

1 1 1, , sin cos

2 2 2p p p v u v u v .

A probabilidade condicional de o segundo fotão passar através do filtro v sabendo que o primeiro fotão

passou o filtro u é dada por

2

1

,| cos

pp p

p u

u vv u v

u.

A probabilidade condicional de o primeiro fotão passar através do filtro u sabendo que o segundo fotão

passou o filtro v é dada por

2

2

,| cos

pp p

p v

u vu v u

v.

A probabilidade condicional de o segundo fotão ser absorvido pelo filtro v sabendo que o primeiro

fotão passou o filtro u é dada por

2

1

,| sin

pp p

p

u

u vv u v

u.

A probabilidade condicional de o primeiro fotão ser absorvido pelo filtro u sabendo que o segundo

fotão passou o filtro v é dada por

2

2

,| sin

pp p

p

v

u vu v u

v.

Vejamos a interpretação dos três factos que ilustram o funcionamento do dispositivo de Mermin em

termos da lei de Malus.

Facto 1: é óbvio que, como os dois fotões pertencem a um estado quântico entrelaçado, têm o mesmo

comportamento. Ou seja: quando colocados perante a mesma situação (em A e B) devem responder da

mesma forma – ou ambos passam os dois polarizadores ou são ambos absorvidos.

Facto 2: quando a inclinação em A difere da inclinação em B de 30 , a probabilidade de um dado

fotão passar pelo filtro A é 2

2 3 3cos 0.75 75%

6 2 4p

.

A mesma probabilidade seria obtida no caso de um fotão passar pelo filtro B quando a inclinação de B

difere da inclinação em A de 30 .

Facto 3: quando a inclinação em A difere da inclinação em B de 60 , a probabilidade de um dado

fotão passar pelo filtro A é 2

2 1 1cos 0.25 25%

3 2 4p

.



A mesma probabilidade seria obtida no caso de um fotão passar pelo filtro B quando a inclinação de B

difere da inclinação em A de 60 .

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