Testes de hipóteses para modelos de Reparo Imperfeito ... · aplicar os testes de seleção de...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

Escola de Engenharia

Departamento de Engenharia de Produção

Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção

Testes de hipóteses para modelos de Reparo Imperfeito

Daysemara Maria Cotta

Belo Horizonte

2018

Daysemara Maria Cotta

Testes de hipóteses para modelos de Reparo Imperfeito

Dissertação apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Engenharia de Produção

da Universidade Federal de Minas Gerais

como requisito à obtenção do título de Mestre

em Engenharia de Produção.

Orientadora: Profa. Dra. Marta Afonso Frei-

tas

Belo Horizonte

2018

Agradecimentos

A Deus.

À minha orientadora Professora Dra. Marta Afonso Freitas, por acreditar no meu

potencial, pela sabedoria e inteligência, bem como por todo conhecimento compartilhado,

que foi crucial para o meu desenvolvimento.

Ao amigo Rafael da Silva Fernandes pelo incentivo durante minha trajet�ória no mes-

trado, bem como por todos os conhecimentos que juntos compartilhamos.

Ao Enrico e à Maria Luiza, que muito contribuíram no meu exame de quali�cação.

À minha mãe, pelo amor incondicional e apoio diário.

Ao Magno, por todo auxílio, por acreditar na minha capacidade e sempre me motivar.

À minha família, por estar sempre presente.

E a todos que direta ou indiretamente �zeram parte de minha formação, me incenti-

vando a alcançar meus objetivos, o meu muito obrigado!

Resumo

Uma política de manutenção adequada é essencial para reduzir despesas e riscos relacio-

nados à falhas de equipamentos. Um aspecto fundamental a ser considerado ao especi�car

tais políticas é poder prever o con�abilidade dos sistemas em estudo, com base em um

modelo bem ajustado. Neste trabalho, as classes de modelos de Redução Aritmética da

Idade (ARA) e a Redução Aritmética da Intensidade (ARI) são exploradas. Funções

de verossimilhança para tais modelos são derivados. Ao desenvolver métodos que visam

determinar a periodicidade ótima das intervenções de manutenção preventiva, deve-se

assumir qual modelo melhor se enquadra à realidade dos dados analisados, para que as

funções de probabilidade para tais modelos sejam derivadas, e os parâmetros sejam esti-

mados, permitindo calcular indicadores de con�abilidade para prever o comportamento

futuro de falha do processo. Portanto, antes de calcular uma política ótima de manuten-

ção, seria interessante desenvolver um procedimento de teste estatístico geral, a �m de

permitir aos pro�ssionais responder, em primeiro lugar, se os dados estão sob uma situação

de reparo mínimo (efeito ABAO) ou uma situação de reparo imperfeito. Um conjunto de

dados reais envolvendo falhas nos rotores de bombas de polpa usados por uma mineração

brasileira é analisada considerando modelos com diferentes memórias. Os Testes Binomial

Exato e Multionomial foram aplicados nos dados, bem como estimados os parâmteros de

forma e escala para PLP e a e�ciência do reparo para diferentes memórias, que permitiu

aplicar os testes de seleção de modelo baseados na máxima log-verossimilhança, no peso

da evidência e no método grá�co de bondade de ajuste. A estimativa dos parâmetros do

melhor modelo ajustado permitiu calcular a periodicidade ótima de manutenção preven-

tiva. Estes resultados são uma informação valiosa para a empresa de mineração e pode

ser usado para apoiar na tomada de decisão.

Abstract

An appropriate maintenance policy is essential to reduce expenses and risks related to

equipment failures. A fundamental aspect to be considered when specifying such policies

is to be able to predict the reliability of the systems being studied, based on a well

�tted model. In this work, the classes of models Arithmetic Reduction of Age (ARA)

and Arithmetic Reduction of Intensity (ARI) are explored. Likelihood functions for such

models are derived. In developing methods that aim to determine the optimum periodicity

of preventive maintenance interventions, one should assume which model best �ts the

reality of the analyzed data, so that the probability functions for such models are derived,

and the parameters are estimated, allowing to calculate reliability indicators to predict

future process failure behavior. Therefore, before calculating an optimal maintenance

policy, it would be interesting to develop a general statistical test procedure in order to

allow professionals to �rst answer whether the data are under a minimum repair situation

(ABAO e�ect) or a situation of imperfect repair. A set of real data involving pulp pump

rotor failures used by a Brazilian mining industry is analyzed considering models with

di�erent memories. The exact binomial and multinomial tests were applied in the data,

as well as the estimated form and scale parameters for PLP and the repair e�ciency

for di�erent memories, which allowed to apply the model selection tests based on the

maximum log-likelihood, on the weight of the evidence and in the goodness of �t graphic

method. The estimation of the parameters of the best adjusted model allowed us to

calculate the optimal periodicity of preventive maintenance. These results are a valuable

information for the mining company and can be used to support in decision making.

Sumário

1 Introdução 1

1.1 Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Situação prática motivadora: Falhas em Bombas de Polpa . . . . . . . . . 4

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Estrutura do Texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Modelos, o problema de redução do custo de manutenção e testes de

hipóteses para Reparo Imperfeito 8

2.1 Modelos baseados na suposição de reparo imperfeito . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Os modelos de Redução Aritmética da Idade (Aritmetic Reduction

Age - ARA) de Doyen & Gaudoin (2004) . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2 Os modelos de Redução Aritmética da Intensidade (Aritmetic Re-

duction Intensity - ARI) segundo Doyen e Gaudoin (2004) . . . . . 13

2.1.3 Algumas comparações entre os modelos ARA e ARI . . . . . . . . . 15

2.2 Estimação dos parâmetros por máxima verossimilhança segundo Toledo et

al. (2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 O problema da minimização de custo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 Critérios de Seleção do Modelo (ARA, ARI e suas ordens de memória) . . 27

2.5 Testes de bondade de ajuste bootstrap paramétricos para modelos de reparo

imperfeito segundo Chauvel et al. (2016) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 Testes baseados nos Resíduos Martingale . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.2 Testes baseados na Transformada Integral de Probabilidade . . . . 34

2.5.3 Construção dos testes por bootstrap paramétrico . . . . . . . . . . 37

2.6 Testes não paramétricos para Reparo Imperfeito segundo Gilardoni et

al.(2017) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.6.1 Teste Binomial Exato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6.2 Teste Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Estudos Monte Carlo para Testes de Hipóteses 47

3.1 Estudos Empíricos: Tamanho dos Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Estudos Empíricos: Poder dos Testes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Análise dos dados de falhas dos rotores das bombas de polpa 52

4.1 Análise Preliminar dos Dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Testes Binomial e Multinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Seleção de Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Periodicidade Ótima de Manutenção Preventiva . . . . . . . . . . . . . . . 66

5 Conclusões e Considerações Finais 73

Referências bibliográ�cas 75

A Conjunto de dados dos motores das bombas de polpa: Tempos de cen-

sura devido a realização de manutenção preventiva estão indicados por

* 79

B Estimação de parâmetros: a função de verossimilhança no modelo

ARAm + PLP 81

C Estimação de parâmetros: a função de verossimilhança no modelo

ARIm + PLP 88

D Algoritmo proposto por Toledo et al.(2015) e Fernandes (2015) para a

geração de K = k1 + k2 sistemas sob suposição do ARAm + PLP 95

E Algoritmo proposto por Fernandes (2015) para a geração de K = k1 + k2

sistemas sob suposição do ARIm + PLP 97

F Algoritmo proposto por Toledo et al. (2015) para a determinação da

função média φ̂C−NPMLE(t) 99

G Cálculo das estatísticas de função de distribuição empírica 100

G.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

G.2 Cálculo da estatística de Cramér-von Mises . . . . . . . . . . . . . . 101

G.3 Cálculo da estatística Anderson-Darling . . . . . . . . . . . . . . . . 106

H Códigos R 112

H.1 Código do R para o Teste Binomial Exato de Gilardoni et al.(2017)112

H.2 Código do R para o Teste Multinomial de Gilardoni et al.(2017) . 115

Lista de Figuras

1.1 Bomba de polpa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Função intensidade de falha da idade real (linha pontilhada) e Função in-

tensidade de falha da idade virtual (linha sólida). Fonte: (DOYEN e GAU-

DOIN, 2004, p. 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 ARA∞ com θ = 0.5. Fonte: (DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 49) . . . . . . 12

2.3 ARI∞ com θ = 0.5. Fonte: (DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 47) . . . . . . 14

2.4 Linha Fina: ARI1. Linha Grossa:ARA1 com β = 3 e θ = 0.5. Fonte:

(DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 51) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Linha Fina: ARI1. Linha Grossa:ARA1 com β = 1.5 e θ = 0.5 e. Fonte:

(DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 51) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 Linha Fina: ARI1. Linha Grossa:ARA1 com β = 3,θARA1 = 0.5 e θARI1 =

0.75. Fonte: (DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 51) . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Linha Fina: ARI1. Linha Grossa:ARA1 com β = 1.5, θARA1 = 0.5 e

θARI1 = 0.29. Fonte: (DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 51) . . . . . . . . . . 19

2.8 Funções intensidade de falha para os modelos ARA1 (a) e ARI1 (b) com

intensidade inicial segundo PLP com β = 3, η = 1 e θ = 0.5 e falhas

observadas nos tempos t1 = 1.2 e t2 = 1.9. Fonte: (TOLEDO et al., 2015,

p.110) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.9 Representação esquemática dos k1 + k2 sistemas reparáveis observa-

dos.Fonte: (OLIVEIRA, 2016, p.16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.10 Grá�cos de diagnóstico: comparação entre o MCF empírico e o MCF esti-

mado para ARI1 (a e b) e ARI∞ (c e d). Fonte (TOLEDO et al., 2015, p.

113) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.11 Grá�co de N ,Φ(η, β, θ) e Φ(η̂, β̂, θ̂) ao longo do tempo para 30 tempos de

falhas simulados sob o modelo ARA∞ − PLP , com η = 0.05, β = 2.5 e

θ = 0.1. Fonte: (CHAUVEL et al., 2016, p. 1345) . . . . . . . . . . . . . . 32

2.12 Boxplots de 4000 estatísticas de teste simuladas sob o modelo ARA∞−PLPpara diferentes valores de β e θ, η = 0.05 e n = 30. (a)KSm(θ̂), (b)

CvMm(θ̂), (c) ADm(θ̂), (d) KSu(θ̂), (e)CvMu(θ̂) e (f) ADu(θ̂). Fonte:

(CHAUVEL et al., 2016, p. 1347) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.13 Tempos de falha de três sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.14 EMV cumulativo sem restrições (p̂k, linha contínua) e restrito (p̃k, linha

tracejada) para os dados das correias transportadoras. Fonte: (GILAR-

DONI et al., 2017, p. 10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.1 Poder dos testes binomial(◦) e multinomial(•) em relação ao n+ para

(a)ARA1 com θ = 0.5 (b)ARA1 com θ = 0.1 (c)ARI1 com θ = 0.5 (d)ARI1

com θ = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1 Tempos de falhas de 5 rotores (rotores1), todas truncadas em T = 5 000

horas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Tempos de falhas de 5 rotores (rotores2), todas truncadas em T = 1 432

horas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Tempos de falhas de 5 rotores (rotoresGeral), todas truncadas em T = 6432

horas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 Estimativa Nelson-Aalen do número esperado de falhas contra o tempo,

com tempo de truncamento T = 5 000 horas para dos dados rotores1. . . . 57


com tempo de truncamento T = 1 432 horas para os dados rotores2. . . . 58


com tempo de truncamento T = 6 432 horas para os dados rotoresGeral. . . 59

4.7 Critérios de seleção de modelos ARA e ARI com diferentes ordens de

memória para os dados de rotores1: (a) baseados puramente na log-

verossimilhança (l̂); (b) baseados no Peso da evidência Wr. . . . . . . . . . 64


memória para os dados de rotores2: (a) baseados puramente na log-



memória para os dados de rotoresGeral: (a) baseados puramente na log-


4.10 Comparação entre MCF empírica e estimada para ARA∞ (a e b) e ARI∞

(c e d) para os dados de rotores1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67




(c e d) para os dados de rotoresGeral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.13 Comparação entre MCF empírica e estimada para ARA1 (a e b) e ARA5





(c e d) para os dados de rotoresGeral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Lista de Tabelas

3.1 Simulação monte carlo para dados empíricos dos testes binomial e multinomial 47

3.2 Resultados da simulação de Monte Carlo para o poder no ARA1(θ = 0.5)

do teste binomial e multinomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Resultados da simulação de Monte Carlo para o poder no ARA1(θ = 0.1)


3.4 Resultados da simulação de Monte Carlo para o poder no ARI1(θ = 0.5)


3.5 Resultados da simulação de Monte Carlo para o poder no ARI1(θ = 0.1)


4.1 Estimativas pontuais e intervalares (95% de nível de con�ança) para os

parâmetros PLP (β, η) e efeito de reparo (θ) e os valores do máximo da

função log-verossimilhança (l̂) sob cada modelo ajustado para os dados de

rotores1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62




rotores2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63




rotoresGeral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Lista de Siglas

ABAO As Bad as Old ou "tão ruim quanto velho"

AD Anderson-Darling

AGAN As Good as New ou "tão bom quanto novo"

ARA Arithmetic Reduction Age ou Redução Aritmética da Idade

ARI Arithmetic Reduction Intensity ou Redução Aritmética da Intensidade

f.d.c. Função de distribuição cumulativa

CM Corrective Maintenance ou Manutenção Corretiva

CvM Cramér-von Mises

EMV Estimador de máxima verossimilhança

GCM Greatest convex minorant ou Maior minorante convexo

i.i.d Independente e identicamente distribuída

IR Imperfect Repair ou Reparo Imperfeito

KS Kolmogorov-Smirnov

MCF Mean Cumulative Function ou Função Média Acumulada

MR Minimal Repair ou Reparo Mínimo

NHPP Non-homogeneous Poisson Process ou Processo de Poisson Não Homogêneo

PIT Probability integral transform ou Transformada integral de probabilidade

PLP Power Law Process ou Processo de Lei de Potência

PM Preventive Maintenance ou Manutenção Preventiva

PR Perfect Repair ou Reparo Perfeito

ROCOF Rate of Occurence of Failures ou Taxa de Ocorrência de Falhas

Lista de Símbolos

α Nível de signi�cância

β Parâmetro de forma do PLP

η Parâmetro de escala do PLP

θ Coe�ciente de e�ciência do reparo

λR Função intensidade inicial

Φt Função intensidade de falha cumulativa

µ Vetor de parâmetros do modelo

τ Tamanho do intervalo de tempo entre manutenções preventivas

Lµ Verossimilhança

Ti Tempos de falha

Nt Número de falhas até o tempo t

M̂i Resíduos martingale

1 Introdução

1.1 Literatura

A obtenção de modelos de manutenção para determinação de política ótima de manu-

tenção de sistemas sujeitos a falhas e reparáveis é um problema vigente na literatura,

visto que, no cenário industrial, as políticas de manutenção adequadas são essenciais para

reduzir os riscos de falhas de equipamentos, que levam a despesas potenciais e condi-

ções inseguras. Grandes empresas trabalham com foco na manutenção preventiva de seus

sistemas, mas apesar disso, a ocorrência de falhas não planejadas é algo frequente, im-

pactando os custos totais da manutenção. As políticas de manutenção devem se basear

principalmente na detecção de possíveis mudanças no padrão de ocorrência das falhas ou,

em outras palavras, a existência ou não de uma tendência no padrão de ocorrência das

falhas (Freitas e Almeida, 2007). Se for constatado, por meio de testes estatísticos, que

o padrão de ocorrência de falhas do sistema é estável, isto é, o tempo entre as ocorrên-

cias de falhas se mantém constante ao longo do tempo, então o sistema está estável e,

a rigor, manutenções preventivas não são necessárias. Entretanto, se uma tendência for

observada e a mesma for do tipo decrescente ao longo tempo, isto indica que o sistema

está em deterioração e intervenções são necessárias(Freitas e Almeida, 2007).

Ao considerar modelos para sistemas reparáveis, um ponto crítico é como explicar o efeito

das ações de reparo realizadas após as falhas. Neste sentido, os pressupostos mais ex-

plorados são Reparo Mínimo, Reparo Perfeito e Reparo Imperfeito. O Reparo Mínimo

(Minimal Repair - MR), não altera signi�cativamente o sistema, retornando-o ao estado

em que se encontrava antes da ocorrência da falha. Na literatura, costuma-se referir a

um sistema sujeito a esse tipo de reparo como "tão ruim quanto velho"(as bad as old -

ABAO). Barlow e Hunter (1960), Morimura (1970), Phelps (1981), Barlow e Proschan

(1987), Park et al. (2000) e Wang (2002), Doyen e Gaudoin (2004, 2011), Gilardoni e

Colosimo (2007, 2011), Toledo et al. (2015, 2016), Gilardoni et al. (2016), Chauvel et

al.(2016) dentre outros autores, tratam desse assunto.

O Reparo Perfeito (Perfect Repair - PR), retorna o sistema à mesma condição de um

sistema novo. A expressão "tão bom quanto novo"(as good as new - AGAN) é usada

para caracterizar sistemas que são submetidos a esse tipo de reparo. Modelos com base

nesses pressupostos foram discutidos em muitos artigos como Barlow and Hunter (1960),

1

Phelps (1981), Barlow e Proschan (1987), Zhao e Xie (1996), Park et al. (2000) e Wang

(2002), Doyen e Gaudoin (2004, 2011), Toledo et al. (2015, 2016), Gilardoni et al. (2016),

Chauvel et al.(2016) entre outros.

No entanto, um pressuposto mais realista para muitos sistemas é o Reparo Imperfeito

(Imperfect Repair - IR), visto que é o que mais se aproxima da realidade de interven-

ções de manutenção nos sistemas. Isso porque ele possui um grau de e�ciência entre a

restauração total do sistema (reparo perfeito) e a restauração mínima do sistema (reparo

mínimo). Modelos baseados em tal suposição foram estudados por vários autores, entre

eles Kijima et al. (1988), Brown e Proschan (1983), Malik (1979), Shin et al. (1996),

Yanez et al. (2002), Doyen e Gaudoin (2004, 2011), Pan e Rigdon (2009), Corset et al.

(2012), Toledo (2014), Toledo et al. (2015, 2016), Gilardoni et al. (2016), Chauvel et

al.(2016). O primeiro propôs a idéia de Idade virtual. É importante enfatizar que sob as

premissas MR ou PR, os parâmetros do modelo são basicamente aqueles relacionados à

velocidade de desgaste dos sistemas, enquanto que na abordagem do IR, um parâmetro

adicional descreve o efeito de ações de reparo. O efeito das ações de reparo deve ser

levado em consideração para de�nição de políticas ótimas de manutenção, ótimas no sen-

tido de minimizarem o custo total da manutenção (custo com as manutenções corretivas

e preventivas).

Gilardoni e Colosimo (2007) apresentaram um estudo assumindo um sistema que opera

sob uma estratégia de manutenção que recebe reparo preventivo completo em tempos

pré-determinados e reparo mínimo sempre que uma falha ocorre entre as manutenções

preventivas. Considerando-se a função intensidade do processo, o objetivo era encontrar

o intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva que minimizasse os custos totais

de manutenção. Como exemplo numérico os autores �zeram a estimativa de periodicidade

ótima por máxima verossimilhança com base no histórico de falhas de transformadores

de energia. Enquanto as ações de manutenção preventiva foram tratadas como reparo

perfeito, as ações de reparo mínimo foram modeladas por um Processo de Poisson Não-

Homogêneo (PPNH), cuja função intensidade segue um processo Lei de Potência (PLP).

Colosimo et al. (2010) estenderam essa modelagem para o caso em que dois tipos diferentes

de falhas, com custos diferentes, pudessem ser observadas de acordo com suas causas.

Segundo Toledo (2014), na literatura relacionada a manutenção estratégica, a suposição

de reparo perfeito pode ser razoável para sistemas compostos de uma unidade estrutu-

2

ralmente simples. Por outro lado, a suposição de reparo mínimo parece plausível para

sistemas consistindo de muitos componentes, cada um tendo seu próprio modo de falha,

pois o reparo do componente que falhou não in�uenciará muito a taxa de falhas do sistema

(Kijima, 1989). Porém, na prática, as suposições de reparo mínimo ou reparo perfeito

não são razoáveis para vários sistemas.

Segundo Kijima et al. (1988), para sistemas compostos de apenas alguns componentes

vulneráveis, é mais adequado imaginar que o reparo traz o estado de um sistema que

falhou a um nível intermediário, compreendido entre o completamente novo e o anterior à

falha (IR). Os autores desenvolveram "um modelo de idade virtual para descrever o funci-

onamento ao longo do tempo de um sistema que é reparado pelo IR". Para determinação

de periodicidade ótima de manutenção preventiva, os autores utilizaram uma aproxima-

ção para E[N(t)] por H(t). Porém, não houve estimação dos parâmetros e a periodicidade

ótima foi encontrada por valores arbitrários dos parâmetros.

Enquanto os modelos de idade virtual propostos por Kijima et al. (1988) e Kijima (1989)

são de�nidos pelas distribuições condicionais de tempos entre falhas sucessivas (gaps ou

tempos locais), Doyen e Gaudoin (2004) propuseram duas novas classes de modelos para

reparo imperfeito. Neste trabalho, a modelagem é de�nida pela intensidade de falhas

(condicional) antes do primeiro reparo, a qual é uma função contínua no tempo. O efeito

do reparo é caracterizado pela mudança induzida na intensidade de falhas antes e após

a falha. Na primeira classe de modelos, o efeito do reparo é expresso por uma redução

na intensidade de falhas (Arithmetic Reduction of Intensity, ARI). Na segunda classe,

o efeito do reparo é expresso por uma redução na idade virtual do sistema (Arithmetic

Reduction of Age, ARA). Os autores apresentam ainda algumas comparações entre essas

duas classes, bem como um estudo estatístico numérico sobre a qualidade dos estimadores

dos parâmetros desses modelos. Tais modelos serão abordados com profundidade no

Capítulo 2.

Pan e Rigdon (2009) utilizaram os modelos ARI e ARA propostos por Doyen e Gaudoin

(2004), e assumindo um Processo Lei de Potência para a função intensidade, forneceram

procedimentos de inferência Bayesiana para estimação dos parâmetros da função intensi-

dade de falhas e para o parâmetro que representa o grau de efetividade do reparo.

Toledo (2016) desenvolveu um algoritmo para a determinação da periodicidade ótima de

manutenção (como �zeram Gilardoni e Colosimo, 2007), porém sob a suposição de reparo

3

imperfeito.

Toledo et al. (2015) propuseram procedimentos para seleção de modelos pertencentes

às classes ARA e ARI usando diferentes ordens de memória. Tais procedimentos são

baseados em um método grá�co, onde o modelo mais adequado é aquele que apresenta

maior qualidade ou bondade do ajuste.

Chauvel et al. (2016) propuseram uma metodologia geral para testar a qualidade de ajuste

de qualquer tipo de modelo de reparo imperfeito. São apresentadas duas famílias de testes

baseadas nos resíduos martingale e transformada integral de probabilidade(Probability

Integral Transform), onde são aplicadas as estatísticas de teste tipo Kolmogorov-Smirnov

(KS), Cramér-von Mises (CvM) e Anderson-Darling (AD). Os quantis das estatísticas de

teste são computados com a abordagem bootstrap paramétrica. Esta metodologia será

melhor abordada no capítulo 2 deste trabalho.

Segundo Gilardoni et al. (2017), no contexto da seleção do modelo, seria interessante

desenvolver um procedimento de teste estatístico geral, a �m de permitir aos pro�ssio-

nais responder, em primeiro lugar, se os dados de tempos de falha são oriundos de uma

situação de reparo mínimo (efeito ABAO) ou uma situação de reparo imperfeito. Com

base nisso, os autores propuseram os testes Binomial exato e Multinomial para testar

as hipóteses Reparo Mínimo versus Reparo Imperfeito. Tais testes serão discutidos com

maior profundidade no Capítulo 2 deste trabalho.

1.2 Situação prática motivadora: Falhas em Bombas de Polpa

Desenvolvidos especi�camente para o bombeamento de polpa de minério de ferro, as bom-

bas de polpa, também conhecidas como bombas centrífugas, constituem um equipamento

imprescindível nas empresas mineradoras. Essas bombas, com capacidade de vazão de 2

029.3 m3 por hora, são as responsáveis pela transferência da polpa de minério de ferro

do peneiramento para a usina de bene�ciamento. A Figura 1.1 mostra um exemplo de

bomba desse tipo. A falha em uma dessas bombas interrompe 20% da produção de uma

usina de bene�ciamento de minério de ferro, alcançando um prejuízo de produção de 120

horas anuais, que equivale a uma perda de produção de 435 125 toneladas de minério de

ferro. Portanto, existe uma grande preocupação por parte das companhias em se realizar

uma manutenção adequada nesses sistemas, visando evitar os gastos e transtornos com a

4

necessidade de um reparo corretivo, caso uma falha ocorra.

Figura 1.1: Bomba de polpa.

Os principais componentes da bomba de polpa são: conjunto do mancal, carcaça, ro-

tor, revestimento de sucção, base e acionamento (composto de motor elétrico, motor de

combustão interna e turbina a vapor).

Nesse trabalho, estamos interessados nos dados de falhas ocorridas no rotor da bomba

de polpa, durante o período de junho de 2016 a maio de 2017, em 5 (cinco) bombas,

utilizadas por uma mineradora. Cada falha é seguida de um reparo para colocar o motor

novamente em funcionamento o mais rápido possível, visto que o prejuízo associado a uma

bomba parada é signi�cativo. As falhas são registradas em número de horas de operação

até cada falha (tempos globais) e estão apresentadas no Apêndice A.

É de interesse avaliar o melhor modelo de reparo imperfeito que se adequa aos dados, para

implementar um plano de manutenções periódicas em equipamentos similares para evitar

as paradas frequentes. No entanto, é aconselhável, primeiramente, veri�car se estamos

diante de uma situação de reparo imperfeito ou mínimo.

5

1.3 Objetivos

Esse trabalho tem por objetivo responder à questão colocada para a situação prática

descrita na Secão 1.2, isto é, os dados de falha do rotor das bombas de polpa são oriundos

de uma situação onde o efeito de reparo é mínimo ou imperfeito. A resposta à esta

questão é imprescindível para que se possa seguir os próximos passos da análise, a saber:

(1) escolha do modelo adequado (reparo mínimo ou uma classe de modelos de IR, se for

o caso) (2) determinação da periodicidade ótima de manutenção preventiva com base no

mesmo.

1.4 Estrutura do Texto

Esse trabalho é composto por cinco capítulos.

O capítulo 2 apresenta uma discussão da literatura acerca de modelos baseados na su-

posição de reparo imperfeito além dos testes de seleção de modelos. Na seção 2.1 são

apresentadas as classes ARA e ARI com diferentes ordens de memória propostas por

Doyen e Gaudoin (2004), bem como o problema de minimização dos custos de manuten-

ção por meio da �xação de um intervalo de tempo entre manutenções preventivas. As

estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros indexadores da função intensidade

bem como da e�ciência do reparo são discutidas na seção 2.2. Na seção 2.3 é apresen-

tada a estrutura de determinação de uma política ótima de manutenção. Métodos para

a seleção do modelo mais adequado ao problema propostos por Toledo et al. (2015) são

expostos na seção 2.4. Na seção 2.5 é apresentada uma discussão da literatura acerca

dos testes de seleção de modelos de reparo imperfeito para bondade de ajuste propostos

por Chauvel (2016) e na seção 2.6 são descritos os testes binomial exato e multinomial

propostos por Gilardoni et al.(2017), que testam as hipóteses de Reparo Mínimo versus

Reparo Imperfeito.

No capítulo 3 são apresentados os estudos empíricos dos testes binomial e multinomial

propostos por Gilardoni et al.(2017).

No capítulo 4 é feita a análise dos dados de falhas dos rotores das bombas de polpa, onde

são aplicados os testes binomial e multinomial, seleção do modelo que melhor de adequa

aos dados e calculada a periodicidade ótima de manutenção preventiva.

6

Por �m, o capítulo 5 apresenta as conclusões desse estudo, bem como propostas para

trabalhos futuros.

7

2 Modelos, o problema de redução do custo de manu-

tenção e testes de hipóteses para Reparo Imperfeito

2.1 Modelos baseados na suposição de reparo imperfeito

Supondo que as falhas em um sistema reparável são equivalentemente de�nidas pelo pro-

cesso {N(t)}t≥0, ou {Ti}t≥1, onde N(t) indica o número de falhas observada até ao tempo

t, Ti corresponde ao tempo decorrido até o i-ésimo fracasso, e que uma ação de reparo

(com duração desprezível) é tomada depois de cada falha, a distribuição de tais processos

é completamente determinada pela intensidade de falha (ou simplesmente intensidade)

função de�nida pela

λ(t) = limδt→0

P [N(t+ δt)−N(t) = 1|=t− ]

δt,∀t ≥ 0 (2.1)

onde =t− representa o conjunto histórico de todos os tempos de falha que ocorreram antes

de t, sendo 0 < t1 < t2 < ... < tN(t) < t. Pode ser mostrado (Rigdon e Basu, 2000) que

a função média acumulada (MCF) do processo de falhas é dado por Φ(t) = E[N(t)] =∫ t0E[λ(u)]du.

Antes da primeira ação de reparação, a função de intensidade do sistema é a taxa de

ocorrência de função de falhas (ROCOF), dada por

λ(t) = limδt→0

P [N(t+ δt)−N(t) = 1]

δt,∀t ≥ 0 (2.2)

Quanto ao efeito de reparo, alguns pressupostos podem ser de�nidos, tais como o reparo

mínimo, reparo perfeito e o reparo imperfeito.

Sob a hipótese de aplicação do reparo mínimo ao sistema em estudo, presume-se que

esse reparo consiste em retornar o sistema a um estado imediatamente anterior àquele

encontrado do momento da falha. Nesse sentido, o processo de falhas é um Processo de

Poisson não homogêneo (Non-Homogeneous Poisson Process - NHPP), já que sua função

intensidade λ(t) não é constante ∀t ≥ 0. Sua função intensidade de falhas λ(t) é igual à

ROCOF e pode ser escrita como:

8

λ(t) =d

dtΦ(t) = φ(t), t ≥ 0 (2.3)

Uma forma funcional comum para a função intensidade neste caso é:

λ(t) =β

η

(t

η

)β−1

, η,β,t > 0 (2.4)

E sua função média acumulada é dada por:

Φ(t) =

t∫0

λR(u)du =

(t

η

)β(2.5)

Como essa função intensidade é proporcional ao tempo global t elevado a uma potência,

esse caso especial do NHPP é usualmente chamado de Processo de Lei de Potência (Power

Law Process - PLP). O parâmetro β representa o modo como o sistema deteriora ou

melhor ao longo do tempo. Se β > 1,então a função intensidade λ(t) é crescente, e as

falhas tendem a ocorre mais frequentemente. Se beta < 1, então λ(t) é decrescente, e o

sistema está melhorando. Finalmente, se β = 1, então o PLP se reduz a um Processo de

Poisson Homogêneo(Homogeneous Poisson Process - HPP) com função intensidade 1η. O

parâmetro η é um parâmetro de escala.

Sob a suposição de reparos perfeitos, ou seja, de que o reparo retorna o sistema à condição

de "tão bom quanto novo", os tempos entre as falhas (gaps) são independentes e identica-

mente distribuídos. Nesse caso, o processo de falhas é chamado Processo de Renovação,

e de acordo com Doyen e Gaudoin (2004), sua função intensidade é da forma:

λ(t) = λ(t− TN(t)) (2.6)

onde λ(t) denota a função intensidade do processo antes da primeira falha e TN(t)denota

o tempo global decorrido até a ocorrência da N(t)-ésima falha.

Já sob o pressuposto de reparo imperfeito, algumas formas funcionais para λ(t) têm

sido propostas na literatura. Doyen e Gaudoin (2004) propuseram duas novas classes de

modelos para reparo imperfeito. No trabalho, a modelagem é de�nida pela intensidade

9

de falhas antes do primeiro reparo, a qual é uma função contínua no tempo. O efeito do

reparo é caracterizado pela mudança induzida na intensidade de falhas antes e após a falha.

Na primeira classe de modelos, o efeito do reparo é expresso por uma redução aritmética

na intensidade de falhas (Arithmetic Reduction of Intensity - ARI). Na segunda classe,

o efeito do reparo é expresso por uma redução aritmética na idade virtual do sistema

(Arithmetic Reduction of Age - ARA). Tais modelos se encontram detalhados nas seções

2.1.1 e 2.1.2 desse trabalho.

2.1.1 Os modelos de Redução Aritmética da Idade (Aritmetic Reduction Age

- ARA) de Doyen & Gaudoin (2004)

O princípio dos modelos de Redução Aritmética da Idade (Aritmetic Reduction of Age -

ARA), segundo Doyen e Gaudoin (2004), é considerar que o sistema de reparação rejuve-

nesce de tal modo que a sua intensidade no tempo t é igual à intensidade inicial no tempo

Vt, com Vt < t.

A idade real de um sistema é o seu tempo de funcionamento t. Então, os autores de�nem

a idade virtual de um sistema como uma função positiva da sua idade real, possivelmente,

dependendo de falhas do passado, isto é, Vt = V (t;N(t); t1, t2,...,tN(t)).

Um modelo de redução de idade tem uma intensidade de falha que é uma função da sua

idade virtual λ(t) = λ(Vt), ou seja, sua função intensidade de falha λ(t) é igual àquela

observada em uma idade virtual Vt, com Vt = t. Portanto, o modelo considera que as

ações de reparação reduzem a idade do sistema. A Figura 2.1 apresenta um exemplo para

ilustrar esse efeito.

Além disso, cabe salientar que entre duas falhas consecutivas, a intensidade de falhas de

um modelo ARA é horizontalmente paralela à intensidade inicial.

Doyen e Gaudoin (2004) generalizaram esse modelo de modo que o efeito do reparo possa

se estender além do intervalo de tempo até a falha imediatamente antes do reparo atual.

Portanto, a classe de modelos ARA pode utilizar-se de diferentes dimensões de memó-

ria(conjunto de tempos de falha anteriores à atual que serão levados em consideração

para a construção do modelo baseado na idade virtual). Os autores destacam os modelos

ARA1, ARAm e ARA∞.

10

Figura 2.1: Função intensidade de falha da idade real (linha pontilhada) e Função intensidade

de falha da idade virtual (linha sólida). Fonte: (DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 4)

O modelo ARA∞ possui memória in�nita (todo o histórico de falhas), ou seja, contempla

todas as falhas registradas em um sistema. A suposição é que o reparo ARA∞ reduz a

idade virtual do sistema de um montante proporcional à sua idade antes da reparação,

resultando na intensidade de falha dada por:

λARA∞(t) = λR

t− (1− θ)N(t)−1∑j=0

θjTN(t)−j

(2.7)

em que λR é a função intensidade de falhas determinística inicial do sistema.

A intensidade mínima de desgaste é igual a zero.

A Figura 2.2 apresenta um exemplo do modelo ARA∞ com efeito de reparo θ = 0.5.

Percebe-se, pela �gura, que o efeito do reparo faz com que a variável tempo (do eixo

horizontal) se comporte como se seu valor fosse metade de seu valor real (isto é, sua idade

virtual se torna a metade da idade real nos instantes do reparo). Toma-se por exemplo a

altura da curva no instante t = 2.03. A altura da curva para esse valor de tempo é igual

à encontrada no instante t = 1.015.

11

Figura 2.2: ARA∞ com θ = 0.5. Fonte: (DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 49)

Malik (apud Doyen e Gaudoin, 2004) introduziu um modelo que pode ser entendido

como um modelo ARA onde a reparação reduz a idade do sistema desde a última falha.

Na classi�cação de Doyen e Gaudoin este modelo foi chamado de modelo de Redução

Aritmética de Idade com uma memória 1(ARA1). Sua intensidade falha é dada por:

λARA1(t) = λR(t− (1− θ)TN(t)−1

)(2.8)

novamente, com λR representando a função intensidade de falha determinística inicial do

sistema.

Segundo Doyen e Gaudoin(2004), este modelo parece ser o mesmo modelo de Kijima et al.

(1988) e foi utilizado por Shin et al. (1996) para desenvolver uma política de manutenção

preventiva ideal.

Finalmente, o ARAm considera uma ordem de memória m, sendo m um número natural.

Sua função intensidade de falha pode ser expressa por:

λARAm(t) = λR

t− (1− θ)min(m−1,N(t)−1)∑

j=0

θjTN(t)−j

(2.9)

12

Conforme discorrem Doyen & Gaudoin (2004), independentemente da ordem de memória

considerada em um modelo, o efeito do reparo θ pode gerar diferentes classi�cações.

Denomina-se reparo e�ciente aquele cujo efeito de reparo θ é tal que 0 < θ < 1; o reparo

ideal seria aquele com θ = 0, uma vez que a intensidade de falha voltaria à condição

observada em um sistema novo (AGAN); o reparo é considerado inútil quando θ = 1,

em que não há mudanças na função intensidade, deixando, pois, o sistema tão ruim

quanto velho (ABAO); por �m, o reparo é prejudicial quanto θ > 1, provocando a piora

do sistema. Evidentemente, o parâmetro θ é desconhecido, tão logo usaremos seu valor

estimado θ̂ para fundamentar nossas análises.

2.1.2 Os modelos de Redução Aritmética da Intensidade (Aritmetic Reduc-

tion Intensity - ARI) segundo Doyen e Gaudoin (2004)

Os modelos de Redução Aritmética da Intensidade (Aritmetic Reduction of Intensity -

ARI) é outra classe de modelos proposto por Doyen e Gaudoin (2004), onde cada ação de

reparo não reduz a idade virtual, mas a função de intensidade de falha do sistema.

O modelo ARI considera que cada ação de reparo reduz a intensidade de falha de um

montante dependendo do passado do processo de falha e que depois da falha, a velocidade

de desgaste é a mesma de antes da falha. Assim, entre duas falhas, a intensidade de falha

é verticalmente paralela à intensidade inicial (λR).

De forma similar à classe de modelos ARA, os modelos ARI podem utilizar-se de diferentes

dimensões de memória. Os autores destacam três possibilidades de modelagem para esta

classe de modelos, sendo elas ARI1, ARIm e ARI∞.

No modelo ARI∞, a memória é de tamanho in�nito e consiste em assumir que o reparo

reduz a intensidade de falha de um montante proporcional à intensidade da falha atual e

sua função intensidade de falha é dada por:

λARI∞(t) = λR(t)− (1− θ)

N(t)−1∑j=0

θjλR(TN(t)−j)

(2.10)

sendo λR a função intensidade de falhas determinística inicial do sistema.

13

A Figura 2.3 exibe um exemplo de aplicação do modelo ARI∞ com efeito de reparo

θ = 0.5. Nesse caso, percebe-se que a altura da curva da função intensidade de falha

cai obedecendo a proporção dada pelo efeito de reparo θ. Se tomarmos como exemplo o

instante t = 0.79 em que ocorre um reparo imperfeito com θ = 0.5, observamos que a

altura do grá�co cai de 1.88 para 0.94, isto é, cai pela metade. Essa queda não interfere

na inclinação da curva, corroborando com a suposição de que a velocidade de desgaste do

sistema não foi alterada.

Figura 2.3: ARI∞ com θ = 0.5. Fonte: (DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 47)

No modelo ARI1, a memória é de tamanho 1 e presume-se que o reparo reduz o incremento

na intensidade de falha desde a última falha e sua função intensidade de falha é dada por:

λARI1(t) = λR − (1− θ)λR(TN(t)) (2.11)

No modelo ARIm, presume-se que o reparo reduz o incremento na intensidade de falha

desde as últimas m falhas e sua função intensidade de falha é dada por:

λARIm(t) = λR(t)− (1− θ)

min(m−1,N(t)−1)∑j=0

θjλR(TN(t)−j)

(2.12)

14

Doyen e Gaudoin (2004) destacam que independente da ordem de memória, o efeito do

reparo θ no modelo ARI pode gerar as mesmas classi�cações do modelo ARA. Isto é, o

reparo será e�ciente (AGAN) se 0 < θ < 1; o reparo será ideal se θ = 0; o reparo será

inútil (ABAO) se θ = 1; e �nalmente, o reparo será prejudicial quanto θ > 1.

Assim como na classe de modelos ARA, o parâmetro θ utilizado na modelagem ARI é

desconhecido, e, portanto, deve-se encontrar seu valor estimado θ̂ para alicerçar qualquer

análise quanto ao ajuste do modelo.

2.1.3 Algumas comparações entre os modelos ARA e ARI

Os modelos ARI1 e ARA1 são construídos com base em hipóteses bastante semelhantes:

ações de reparo reduzem intensidade de falha ou idade virtual. Além disso, em ambos os

modelos, a e�ciência do reparo é caracterizada pelo parâmetro θ. Por isso, é interessante

comparar estes modelos para o mesmo θ. Isto acontece em dependência da convexidade

intensidade inicial(DOYEN e GAUDOIN, 2004).

Se λ é convexa (ou ao contrário, côncava), para o mesmo parâmetro θ em [0,1], a inten-

sidade de desgaste mínimo do modelo ARI1 é maior (ao contrário, inferior) do que a do

modelo ARA1 (ver Figura 2.4 e Figura 2.5 ).

Quando a intensidade inicial é a de um processo de Lei de Potência (PLP), existem dois

parâmetros θARA1 e θARI1 de tal modo que o modelo ARI1 com parâmetros (β, η, θARI1)

e o modelo ARA1 com parâmetros (β, η, θARA1) tenham a mesma intensidade mínima

de desgaste. Neste caso, se λ é convexa (ao contrário, côncava) o modelo de ARI (ao

contrário, ARA) tende a ter um desgaste maior do que a velocidade do modelo de ARA

(ao contrário, ARI) (Figura2.6 e Figura 2.7). Isto pode ser explicado pelo fato de que,

no modelo de ARI, a intensidade de falha é verticalmente paralela à intensidade inicial λ,

enquanto que no modelo de ARA, ambas as intensidades são horizontalmente paralelas.

Uma consequência óbvia é que, para a mesma intensidade inicial e coe�ciente θ em [0,1],

quanto maior é a memória, menor é a intensidade de desgaste de mínimo do modelo ARI

(ao contrário, ARA).

Para ilustrar as principais diferenças entre as classes de modelos ARA e ARI, se encontra

a seguir um exemplo numérico apresentado por Toledo et al. (2016).

15

Figura 2.4: Linha Fina: ARI1. Linha Grossa:ARA1 com β = 3 e θ = 0.5. Fonte: (DOYEN e

GAUDOIN, 2004, p. 51)

Suponha que um sistema reparável possua um processo de falha cuja função intensidade

inicial λR(t) é um PLP, cuja fórmula é dada por (2.4) com parâmetros β = 3 e η = 1.

Considere que o efeito do reparo θ = 0.5. Sejam os tempos de falha t1 = 1.2 e t2 = 1.9,

determinam-se as funções intensidade de falha para os modelos ARA e ARI, ambos com

ordens de memória m = 1 e m = 2.

Como

λR(t) =

(β

η

)(t

η

)β−1

(2.13)

então λR(t) = 3t2.

Aplicando as equações referentes aos modelos ARA1, ARAm, ARI1 e ARIm, com m = 2,

temos:

λARA1(t) =

λ(t) = 3t2, se 0 ≤ t < 1.2,

λ(t− 0.5 · 1.2) = 3(t− 0.6)2, se 1,2 ≤ t < 1.9

λ(t− 0.5 · 1.9) = 3(t− 0.95)2, se 1.9 ≤ t < ...

16

Figura 2.5: Linha Fina: ARI1. Linha Grossa:ARA1 com β = 1.5 e θ = 0.5 e. Fonte: (DOYEN

e GAUDOIN, 2004, p. 51)

λARA2(t) =

λ(t) = 3t2, se 0 ≤ t < 1.2,

λ(t− 0.5 · 1.2) = 3(t− 0.6)2, se 1,2 ≤ t < 1.9

λ(t− 0.5 · 1.9− 0.52 · 1.2) = 3(t− 1.25)2, se 1.9 ≤ t < ...

λARI1(t) =

λ(t) = 3t2, se 0 ≤ t < 1.2,

λ(t)− 0.5 · λ(1,2) = 3t2 − 2.16, se 1.2 ≤ t < 1.9

λ(t)− 0.5 · λ(1.9) = 3t2 − 2.16 = 3t2 − 5.415, se 1.9 ≤ t < ...

λARI2(t) =

λ(t) = 3t2, se 0 ≤ t < 1.2,

λ(t)− 0.5 · λ(1,2) = 3t2 − 2.16, se 1.2 ≤ t < 1.9

3t2 − 2.16 = 3t2 − 6.495, se 1.9 ≤ t < ...

A Figura 2.8 mostra as funções intensidade de falha geradas a partir dos cálculos supra-

citados sob os modelos ARA e ARI.

Se tomarmos o ponto t1 = 1.2, por exemplo, percebemos que sob o ARA1, sua idade virtual

cai 50%, isto é, a altura da curva no eixo vertical (que representa a função intensidade)

referente ao ponto t1 = 1.2 é igual à observada no ponto t = 0.6. Se observarmos o mesmo

ponto t1 = 1.2, agora sob a suposição de ARI1, a função intensidade cai pela metade,

ou seja, a altura da curva no eixo vertical (que representa a função intensidade) torna-se

17

Figura 2.6: Linha Fina: ARI1. Linha Grossa:ARA1 com β = 3,θARA1 = 0.5 e θARI1 = 0.75.

Fonte: (DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 51)

metade da observada antes do reparo (a saber, antes do reparo λR(1.2) = 4.32; depois do

reparo λ(1.2) = 2.16.

Vale salientar que essas reduções de 50% observadas anteriormente devem-se ao coe�ciente

de reparo θ = 0.5.

2.2 Estimação dos parâmetros por máxima verossimilhança se-

gundo Toledo et al. (2016)

Nesta seção, serão derivadas as funções de verossimilhança para os modelos ARAm e

ARIm dadas pelas expressões 2.9 e 2.12, respectivamente. Os estimadores de máxima

verossimilhança (EMV) são obtidos a partir destas funções.

Considere k sistemas reparáveis idênticos sob estudo, k = 1,2, . . ., nos quais falhas ocorrem

de forma independente. Há, basicamente, duas maneiras de se observar dados em um

sistema reparável. Quando a coleta de dados termina após um número predeterminado de

falhas, os dados são ditos truncados por falha. Por outro lado, quando a coleta de dados

termina em um tempo predeterminado t, os dados são ditos truncados por tempo. A

18

Figura 2.7: Linha Fina: ARI1. Linha Grossa:ARA1 com β = 1.5, θARA1 = 0.5 e θARI1 = 0.29.

Fonte: (DOYEN e GAUDOIN, 2004, p. 51)

função de verossimilhança é construída aqui assumindo que entre os k sistemas reparáveis

observados, k1 são truncados por tempo, e k2 são truncados por falha, k1,k2 = 1,2, . . . ,k

e k1 + k2 = k.

Assuma as seguintes condições:

• A cada falha, uma acão de reparo de grau θ é executada.

• ni falhas são observadas no i-ésimo sistema truncado por tempo, i = 1,2, . . . ,k1, e

n∗j falhas são observadas no j-ésimo sistema truncado por falha, j = 1,2, . . . ,k2.

• N =∑k1

i=1 ni +∑k2

j=1 n∗j é o número total de falhas observadas nos sistemas.

• O i-ésimo sistema truncado por tempo é observado até o tempo predeterminado t∗i ,

e o j-ésimo sistema truncado por falha é observado até ocorrer o número predeter-

minado n∗j de falhas.

• Sejam Ti,l (i = 1,2, . . . ,k1, l = 1,2, . . . ,ni) as variáveis aleatórias representando

tempos de falha para o i-ésimo sistema truncado por tempo, registrados como o

tempo desde que o sistema foi colocado em funcionamento, (Ti,1 < Ti,2 < . . . < Ti,ni).

Para sistemas truncados por falha, é um número aleatório de variáveis. Além disso,

19

Figura 2.8: Funções intensidade de falha para os modelos ARA1 (a) e ARI1 (b) com intensidade

inicial segundo PLP com β = 3, η = 1 e θ = 0.5 e falhas observadas nos tempos t1 = 1.2 e

t2 = 1.9. Fonte: (TOLEDO et al., 2015, p.110)

seja ti,l seus valores observados (dados), e Ti = (Ti,1;Ti,2; . . . ;Ti,ni)t o vetor aleatório

(ni × 1) de tempos de falha para o i-ésimo sistema truncado por tempo.

• Sejam Tj,m (j = 1,2, . . . ,k2, m = 1,2, . . . ,n∗j) as variáveis aleatórias representando

tempos de falha para o j-ésimo sistema truncado por falha, sendo portanto um

número �xo de variáveis aleatórias (Tj,1 < Tj,2 < . . . < Tj,n∗j ). Sejam tj,m seus

valores observados. Além disso, seja Tj = (Tj,1;Tj,2; . . . ;Tj,n∗j )t o vetor aleatório

(n∗j × 1) de tempos de falha para o j-ésimo sistema truncado por falha.

• Seja N(t) a variável aleatória representando o número de falhas no intervalo (0,t].

• Seja µ o vetor de parâmetros do modelo. Ele inclui os parâmetros que indexam a

funcão intensidade do processo e o parâmetro de e�ciência do reparo θ. Para o PLP,

a funcão intensidade e sua funcão média correspondente são dadas, respectivamente,

por

λR(t) =β

η

(t

η

)β−1

, η,β,t > 0, (2.14)

e

ΦR(t) =

t∫0

λR(u)du =

(t

η

)β(2.15)

20

Neste caso µ é um vetor (3 × 1) de parâmetros, dados por µ = (β; η; θ)t. O β é o

parâmetro de forma e representa a evolução do sistema, ou seja, como ele deteriora

ou melhora ao longo do tempo (caso o β > 1, o sistema estará deteriorando, já que

sua função intensidade de falha aumentará no tempo t), enquanto o η é chamado

parâmetro de escala.

A Figura 2.9 apresenta um esquema simpli�cado com os k1 sistemas truncados por tempo

e os k2 sistemas truncados por falha e seus respectivos indexadores de tempos de falha

(que foram descritos anteriormente).

Figura 2.9: Representação esquemática dos k1+k2 sistemas reparáveis observados.Fonte: (OLI-

VEIRA, 2016, p.16)

Uma função de verossimilhança apropriada para modelar esse processo deve combinar a

função densidade acumulada conjunta dos k tempos de falha:

L(µ) =

k1∏i=1

fTi,1,...,Ti,N(t∗i),N(t∗i )(ti,1, . . . ,ti,ni

,ni)×k2∏j=1

fTj,1,...,Tj,n∗j(tj,1, . . . ,tj,n∗j ) (2.15)

21

Que pode ser reescrita da seguinte forma

L(µ) =

k1∏i=1

[fTi|N(t∗i )(ti,1, . . . ,ti,ni|ni)P (N(t∗i ] = ni)]×

k2∏j=1

fTj(tj,1, . . . ,tj,n∗j )

se k ≥ 1 e k = k1 + k2.

As contribuições dos k1 sistemas truncados por tempo e dos k2 sistemas truncados por

falha para a verossimilhança são representadas pelo primeiro e segundo produtórios da

Equação 2.15, respectivamente.

Assim, no PLP, a funcão de log-verossimilhança do modelo ARAm é dada por:

lPLP+ARAm(µ) =

(k1∑i=1

ni +

k2∑j=1

n∗j

)log(β)− β

(k1∑i=1

ni +

k2∑j=1

n∗j

)log(η) +

+ (β − 1)

k1∑i=1

ni∑l=1

log

ti,l − (1− θ)min(m−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

+

+

k2∑j=1

n∗j∑q=1

log

tq,j − (1− θ)min(m−1,q−2)∑

p=0

θptj,q−1−p

(β − 1) +

+

k1∑i=1

ni∑l=1

−(ti,l − (1− θ)∑min(M−1,l−2)

p=0 θpti,l−1−p

η

)β+

+

k1∑i=1

ni∑l=1

(ti,l−1 − (1− θ)∑min(m−1,l−2)

p=0 θpti,l−1−p

η

)β+

+

k1∑i=1

−

(t∗i − (1− θ)

∑min(m−1,ni−1)p=0 θpti,ni−p

η

)β

+

+

k1∑i=1

(ti,ni− (1− θ)

∑min(m−1,ni−1)p=0 θpti,ni−p

η

)β

+

+

k2∑j=1

n∗j∑q=1

−

(tj,q − (1− θ)

∑min(m−1,q−2)p=0 θptj,q−1−p

η

)β

+

+

k2∑j=1

n∗j∑q=1

(tj,q−1 − (1− θ)

∑min(m−1,q−2)p=0 θptj,q−1−p

η

)β

com µ = (β, η, θ)T . A prova está no Apêndice B.

22

Assim como no modelo ARAm, é possível expressar a função de log-verossimilhança para

o PLP referente ao modelo genérico ARIm, em que m representa a ordem de memória:

lPLP+ARIm(µ) =

(k1∑i=1

ni +

k2∑j=1

n∗j

)log(β)− β

(k1∑i=1

ni +

k2∑j=1

n∗j

)log(η) +

+

k1∑i=1

ni∑l=1

log

tβ−1i,l − (1− θ)

min(m−1,l−2)∑p=0

θptβ−1i,l−1−p

+

+

k2∑j=1

n∗j∑q=1

log

tβ−1q,j − (1− θ)

min(m−1,q−2)∑p=0

θptβ−1j,q−1−p

+

+ η−βk1∑i=1

ni∑l=1

(−tβ−1

i,l + tβ−1i,l−1

)−

+ η−β(1− θ)βk1∑i=1

ni∑l=1

[ti,l − ti,l−1]

min(m−1,l−2)∑p=0

θptβ−1i,l−1−p +

+ η−βk2∑j=1

n∗j∑q=1

(−tβ−1

q,j + tβ−1q,j−1

)−

+ η−β(1− θ)βk2∑j=1

n∗j∑q=1

[tq,m − tj,q−1]

min(m−1,q−2)∑p=0

θptβ−1j,q−1−p +

+ η−βk1∑i=1

(−t∗i

β−1 + t∗i,ni

β−1)−

+ η−β(1− θ)βk1∑i=1

[t∗i − ti,ni]

min(m−1,ni−1)∑p=0

θptβ−1i,ni−p

novamente, com µ = (β, η, θ)T . A prova está no Apêndice C.

Ao maximizar qualquer uma dessas funções frente a cada um dos parâmetros, podem-se

encontrar as estimativas pontuais dos mesmos com base na amostra de dados de falha.

Porém, além das estimativas pontuais desses parâmetros, é interessante avaliar seus res-

pectivos intervalos de con�ança sob certo nível de signi�cância α pré-de�nido.

Os intervalos de con�ança podem ser modelados utilizando métodos mais clássicos da

literatura como a teoria assintótica, por exemplo, explorada por Toledo et al. (2016),

assim como métodos que ganharam bastante destaque na literatura após a informatização

23

das análises estatísticas, como o bootstrap que foi utilizado por Oliveira(2016).

Toledo et al. (2016)e Oliveira(2016) destacam, em linhas gerais, a de�nição e os passos

para a execução desse método a �m de se fazerem inferências intervalares dos parâmetros

de interesse. Segundo os autores, o bootstrap é uma técnica não paramétrica que consiste

na geração de B amostras aleatórias de tamanho n com reposição (pseudodados) geradas a

partir da amostra inicial, também de tamanho n. Calculam-se, portanto, as estatísticas de

interesse com base nessas B amostras e constrói-se um histograma para avaliar a dispersão

referente a esta estatística. Utilizando-se do desvio-padrão dessa estatística frente às B

amostras, podem ser construídos intervalos de con�ança ao nível de 100(1− α)%.

A principal �nalidade para o uso dos intervalos de con�ança e, sobretudo, das estimativas

pontuais dos parâmetros reside no objetivo de conceber uma política de manutenção

preventiva que minimiza os custos totais esperados de manutenção. Essa minimização

de custos deve passar obrigatoriamente pela determinação de um intervalo τ entre as

manutenções preventivas cujo efeito de reparo é θ (com 0 ≤ θ ≤ 1) de modo que o

custo de manutenção seja mínimo. A discussão da literatura sobre a política ótima de

manutenção será apresentada na seção 2.3.

2.3 O problema da minimização de custo

Ao conceber uma política de manutenção para determinado sistema de uma companhia,

o fator custo deve ser considerado. Isso porque, em geral, manutenções preventivas po-

dem reduzir as chances de falha nesse sistema, como também aumentar os custos de

manutenção caso o intervalo entre as manutenções não seja bem estabelecido.

Suponha que um sistema reparável e sujeito a falhas seja colocado em funcionamento no

instante t = 0 sob o qual são colocadas algumas condições:

• A manutenção preventiva é efetuada em intervalos de τ unidades de tempo;

• Incide um custo esperado CPM a cada manutenção preventiva;

• O sistema retorna ao estado tão bom quanto novo (AGAN) após cada ação de

manutenção preventiva;

24

• Entre as manutenções preventivas, um reparo (com θ ∈ [0,1]) é executado;

• O custo estimado do reparo imperfeito é denominado CIR;

• Os custos de reparo e tempos de falha são independentes;

• O tempo de reparo é desprezível;

• Os custos de indisponibilidade são absorvidos pelos CPM e CIR.

Garantidas as pressuposições supracitadas e conforme discutido por Gilardoni e Colosimo

(2007) apud Toledo et al.(2015), o custo de manutenção esperado por unidade de tempo

C(τ) para o sistema pode ser expresso por:

C(τ) =CPM + CIR · E[N(τ)]

τ, τ > 0 (2.17)

Deseja-se minimizar o valor numérico da expressão anterior, reduzindo assim, ao máximo,

o custo inerente às atividades de manutenção da companhia. Toledo et al.(2015) aplicam

derivada para executar essa otimização e apresentam o resultado desse cálculo sob a

notação D(τ) que pode ser observado a seguir:

D(τ) = τφ(τ)− Φ(τ) =CPMCIR

(2.18)

Onde Φ(t) = E[N(t)] =∫ t

0E[λ(u)]du, conforme de�nido na seção 2.1.

Porém, os autores destacam que não há uma solução fechada para essa otimização (mais

precisamente para Φ̂(τ)) sob a suposição de reparo imperfeito, levando o problema à

solução numérica cujo roteiro se encontra adiante. Outro ponto importante destacado

pelos autores consiste na não obrigatoriedade de se de�nirem individualmente os valores

de CPM e CIR, mas somente sua razão, o que já consiste em uma simpli�cação do problema

por meio da aplicação dessa metodologia.

O roteiro de�nido por Toledo et al.(2015) para que se determine a periodicidade ótima

de manutenção preventiva passa pela determinação dos parâmetros do modelo de falhas

por meio das estimativas β̂, η̂ e θ̂ e pela estimação da função média acumulada Φ̂(t). Tal

roteiro é apresentado a seguir:

25

Passo 1 - Geram-se as estimativas de máxima verossimilhança do modelo escolhido (es-

colha feita pelo método grá�co apresentado na seção anterior). Logo, nesse passo,

determinam-se β̂, η̂ e θ̂ por meio das funções de máxima verossimilhanças já apre-

sentadas nesse trabalho;

Passo 2 - Estima-se a função média acumulada Φ̂(t). Pode-se fazer uso da simulação

de Monte Carlo segundo a qual, usam-se as estimativas β̂, η̂ e θ̂ para gerar possíveis

históricos de falha e consequente cálculo do MCF:

Passo 2.1 - Executa-se a simulação de Monte Carlo. Para mais detalhes, ver

Apêndices D e E.

Passo 2.2 - Calcula-se o MCF (Φ̂(t)). As etapas do cálculo podem ser vistas no

Apêndice F.

Passo 3 - Estima-se a periodicidade ótima de manutenção preventiva τ , isto é, aplica-se

a fórmula D(τ) = τφ(τ) − Φ(τ) =CPMCIR

. Porém, o uso desta fórmula exige que as

funções intensidade φ(t) e média acumulada Φ(t) sejam determinadas previamente.

A função Φ(t) será encontrada no Passo 2.2 (ela é o MCF). Para encontrarmos φ(t)

precisaríamos derivar Φ(t) em relação a t. Mas, como Φ(t) será provavelmente uma

função degrau, sua derivada será igual a zero. O mecanismo que pode ser utilizado

é o de aproximação dessa função degrau por uma função convexa. Esse princípio é

denominado Maior Minorant Convexo (Greatest Convex Minorant - GCM). Boswell

(1966) apud Toledo et al. (2015), de�ne que a GCM de Φ̂(t), que poderemos chamar

de Φ̂SG(t) ou Φ̂C−NPMLE(t), será dada por:

Φ̂SG(t) = sup

{g(t) : g(t) é convexa e g(u) ≤ Φ̂(u)∀u

}Logo, a derivada direita da maior função convexa menor ou igual a Φ̂(t) será usada

para a se determinar φ̂(t), isto é, φ̂SG(t) = Φ̂′SG

(t+)

Pode-se de�nir um intervalo de con�ança para a periodicidade ótima de manutenção pre-

ventiva τ utilizando a reamostragem de bootstrap a um nível de signi�cância α pré-de�nido.

Toledo et al. (2016) determinaram a periodicidade ótima de manutenção sob suposição

de reparo imperfeito para motores de fora de estrada seguindo os passos descritos acima.

Oliveira (2016), seguindo os mesmos passos, concebeu uma política de manutenção que

minimiza os custos inerentes à prática da manutenção preventiva em correias transpor-

tadoras de uma empresa mineradora. Porém, para se determinar o período ideal entre

26

manutenções preventivas (ideal no sentido de minimizar os custos inerentes), faz-se neces-

sário identi�car o modelo a ser utilizado no problema. De�nir o modelo signi�ca escolher

entre as classes ARA e ARI e ainda entre as diferentes ordem de memória m possíveis.

Essa escolha, obviamente, irá interferir nas estimativas pontuais e intervalares dos parâ-

metros que estão envolvidos na construção da função intensidade de falha. A discussão

sobre o método de escolha do modelo com base em análises grá�cas e testes de hipóteses

é apresentada nas seções 2.4 e 2.5 respectivamente.

2.4 Critérios de Seleção do Modelo (ARA, ARI e suas ordens de

memória)

Conforme já apresentado no presente trabalho, diferentes modelos podem ser desenvol-

vidos a partir de um mesmo problema sob o pressuposto de reparo imperfeito, uma vez

que as classes de modelos ARA e ARI podem assumir diferentes ordens de memória, con-

forme discutido por Doyen e Gaudoin (2004). Deve-se, pois, utilizar algum método para

a seleção do modelo mais adequado ao problema em estudo baseando-se na qualidade do

ajuste. Toledo et al.(2015) apresentam alguns critérios de seleção clássicos da literatura e

propõem uma solução inédita baseada em um método grá�co que será apresentado nesta

seção.

Segundo Toledo et al.(2015), o modelo mais adequado é aquele que apresenta maior qua-

lidade ou bondade do ajuste. Eles classi�cam os critérios para a seleção desse modelo em

(1) critérios de informação e (2) técnicas grá�cas de seleção.

Sob o arcabouço dos critérios de informação se encontra a seleção de modelos baseada

na maximização da log-verossimilhança l̂. Burnham e Anderson apud Toledo et al.(2015)

desenvolveram um procedimento que consiste no escalonamento dos valores da função de

log-verossimilhança, cuja fórmula é dada por:

4r = l̂maxima − l̂r, (r = 1, 2, ..., R) (2.19)

sendo l̂r cada uma das R log-verossimilhanças ajustadas. A maior log-verossimilhança

observada nesses R modelos designaremos por l̂maxima. O objetivo é claramente tornar o

4r = 0, fato que ocorrerá apenas se a log-verossimilhança do r-ésimo modelo l̂r for igual

27

à máxima encontrada l̂maxima.

Os autores ainda determinam uma grandeza denominada Peso da Evidência. Se submeter-

mos todos os R modelos à equação seguinte, teremos um panorama do nível de qualidade

do ajuste observado em cada modelo frente aos demais, facilitando o rankeamento dos

mesmos.

Wr =e

−4r

2

∑Rr=1 e

−4r

2

(2.20)

Essa equação fornece um valor de Wr dentro do intervalo [0,1], podendo o r assumir

qualquer valor no intervalo r = 1,2,...,R. Pelo fato de que cada Wr é uma partição do

espaço que contém todos os possíveis valores de bondade do ajuste,∑R

r=1Wr = 1.

Se analisarmos conjutamente os valores de 4r e Wr cujos cálculos procedem conforme

supracitado, o melhor modelo ajustado ao problema será aquele que obtiver menor 4r e,

consequentemente, maior Wr (entenda como mais próximo de 1).

Como uma nova proposta à teoria voltada à seleção de modelos, Toledo et al (2015)

apresentam um método grá�co de seleção que propõe estimar a função média acumulada

(MCF) a partir de cada modelo (ARAm ou ARIm, com diferentes ordens de memória

m, calculando a média global da área sob a função intensidade λ̂ de cada modelo) e

comparar esse valor ao encontrado por meio do MCF empírico ou procedimento de Nelson-

Aalen (AALEN, 1978). Os passos para a determinação do MCF baseado nos modelos se

encontram a seguir:

Passo 1 - Estimam-se os parâmetros do modelo (PLP sob o ARAm ou ARIm) a partir

dos dados de falha provenientes dos k1 + k2 sistemas, maximizando as respectivas

log-verossimilhanças apresentadas na seção 2.2.

Passo 2 - Em seguida, utilizam-se os tempos de falha coletados para o i-ésimo sistema

truncado por tempo (isto é, ti,1, ti,2,...,t∗i ) e o j-ésimo sistema truncado por falha

(tj,1, tj,2,...,tj,nj), bem como as estimativas dos parâmetros β, η e θ nas funções

intensidade de falha estimada λ̂i(t) e λ̂j(t)referentes a cada um sistema (como já

28

apresentadas na seção 2.1).

Passo 3 - Pode-se integrar cada uma das funções λ̂i(t) (referentes a cada sistema trun-

cado por tempo) e λ̂j(t) (referentes a cada sistema truncado por falha), todas no

intervalo [0,t] com t ∈ [0,ti,nj], se truncado por falha ou t ∈ [0,t∗i ], se truncado por

tempo. Por meio dessa integral será possível determinar as funções média acumu-

lada estimada Φ̂i(t) (para o i-ésimo sistema truncado por tempo) e Φ̂j(t) (para o

i-ésimo sistema truncado por falha).

Passo 4 - Os passos 2 e 3 são feitos para cada um dos k1 + k2 sistemas.

Passo 5 - Estima-se o MCF baseado nos modelos no tempo t como

∑k1i=1 Φ̂i(t) +

∑k2j=1 Φ̂j(t)

k1 + k2

(2.21)

Logo, segundo Toledo et al. (2015), ao encontrarmos um modelo cujos valores estimados

de MCF (pelo ARAm ou ARIm) estiverem mais próximos do MCF empírico, esse será

então o modelo com maior qualidade de ajuste.

Os grá�cos obtidas por Toledo et al. (2015) estão apresentados na Figura 2.10. O objetivo

aqui é de exempli�car a aplicação do método grá�co para a seleção de modelos utilizando

o roteiro anterior.

Percebe-se que para o modelo ARI∞ apresentado nas Figuras 2.10-c e 2.10-d, há uma

maior aderência dos valores estimados pelo ajuste em relação ao MCF empírico. Essa

constatação foi su�ciente para Toledo et al. (2015) concluírem que esse é o melhor modelo.

Em contrapartida, Chauvel et al. (2016) propõem um teste de bondade de ajuste boots-

trap paramétrico para modelos de reparo imperfeito, que será discutido na seção 2.5.

2.5 Testes de bondade de ajuste bootstrap paramétricos para mo-

delos de reparo imperfeito segundo Chauvel et al. (2016)

Chauvel et al. (2016) propuseram duas famílias de testes de bondade de ajuste para

modelos de reparo imperfeitos que são baseados em resíduos martingale ou transformada

29

Figura 2.10: Grá�cos de diagnóstico: comparação entre o MCF empírico e o MCF estimado

para ARI1 (a e b) e ARI∞ (c e d). Fonte (TOLEDO et al., 2015, p. 113)

integral de probabilidade. Os quantis das estatísticas de teste são computados com uma

abordagem bootstrap paramétrica. Segundo os autores, a metodologia é geral e pode ser

aplicada a uma ampla gama de modelos de reparo imperfeito, como o modelo Brown-

Proschan (Brown e Proschan, 1983), modelo de quase-renovação (Wang e Pham, 1996),

Processo Geométrico Estendido (Bordes e Mercier, 2013) e modelos ARA∞ e ARA1, já

descritos neste trabalho. O modelo ARA∞ com a intensidade inicial PLP (ARA∞−PLP )foi utilizado para exempli�cação dos testes propostos.

Dado que um modelo de processo pontual é caracterizado por sua intensidade, um modelo

de reparo imperfeito pode ser denotado C = {λ(θ),θ ∈ Θ ⊂ Rd}, onde θ é o parâmetro

do modelo. É intuito determinar se C é um modelo relevante para os dados observados

T1,...,Tn. O teste de bondade de ajuste é o teste estatístico de

H0 : λ ∈ C versus H1 : λ /∈ C

30

Geralmente, o procedimento de teste consiste em rejeitar a hipótese nula de um bom

ajuste se alguma quantidade, a estatística de teste, é maior do que um valor crítico. Este

valor crítico é o quantil ou a distribuição assintótica da estatística sob H0. Então, o

problema é primeiro encontrar estatísticas de teste que expressam a lacuna entre os dados

e o modelo, e em segundo lugar determinar a distribuição da estatística sob H0 e por �m

comparar a estatística observada com um quantil dessa distribuição.

Chauvel et al.(2016) propuseram duas famílias de testes de bondade de ajuste, baseadas

respectivamente em resíduos martingale e transformada integral de probabilidade(que

serão abordados nas seções 2.5.1 e 2.5.2, respectivamente), associados a três estatísticas

função de distribuição empírica, sendo elas, Kolmogorov-Smirnov (KS), Cramér-von Mises

(CvM) e Anderson-Darling (AD). Para cada teste, os quantis da distribuição estatística

de teste em H0 são calculados com método bootstrap paramétrico que será descrito na

seção 2.5.3.

2.5.1 Testes baseados nos Resíduos Martingale

Seja Φ = (Φt)t≥0 a intensidade cumulativa do processo N , de tal modo que Φt =t∫

0

λsds,

para t ≥ 0.

O processoM = (t)t≥0 de�nido porM = N−Φ é um zero signi�cativo martingale. Então

N está perto de Φ no sentido que a expectativa de sua diferença é nula (Andersen et al.,

1993 apud Chauvel et al., 2016).

Na con�guração de Chauvel et al.(2016), a intensidade tem uma forma paramétrica e é

denotada λ(θ) = (λt(θ))t≥0, para θ ∈ Θ ⊂ Rd. A intensidade cumulativa é Φ(θ), onde o

martingale correspondente é M(θ) = N − Φ(θ).

Na prática, o parâmetro θ é desconhecido e a intensidade cumulativa é estimada a partir

dos n primeiros tempos de falha T1,...,Tn. Sendo θ̂ estimador de máxima verossimilhança

de θ. As vaiáveis aleatórias M̂1,...,M̂n de�nidas por

M̂i = NTi − ΦT−i(θ̂) = i− ΦTi(θ̂),i ∈ {1,...,n} (2.22)

são chamadas resíduos de martingale (Cook and Lawless, 2007 apud Chauvel, 2016). Ao

31

estimar θ, a propriedade martingale é perdida, mas N ainda está previsto estar perto de

Φ(θ̂).

Uma ilustração desse fenômeno é dada por Chauvel et al. (2016) e pode ser observada na

Figura 2.11, onde o processo de contagem N , a intensidade cumulativa real Φ(θ) (linha

azul) e a intensidade cumulativa estimada Φ(θ̂) (linha vermelha) são plotados ao longo do

tempo para um conjunto de dados simulados sob o modelo de reparo imperfeito ARA∞

com intensidade inicial PLP(ARA∞ − PLP ). Aqui, µ = (β, η, θ).

Figura 2.11: Grá�co de N ,Φ(η, β, θ) e Φ(η̂, β̂, θ̂) ao longo do tempo para 30 tempos de falhas

simulados sob o modelo ARA∞−PLP , com η = 0.05, β = 2.5 e θ = 0.1. Fonte: (CHAUVEL et

al., 2016, p. 1345)

A intensidade inicial do modelo é dada pela equação 2.7 e a intensidade cumulativa é

calculada através da fórmula dada em 2.15, onde tem-se que:

Φt(µ) = a

Nt+1∑i=1

(Ti − θ

i−2∑j=0

(1− θ)jTi−j−1

)b

−

(Ti−1 − θ

i−2∑j=0

(1− θ)jTi−j−1

)b

onde t ≥ 0 e TNt+1 = t.

Os dados foram gerados com n = 30 falhas, η = 0.05, β = 2.5 e θ = 0.1. Os estimadores

32

de máxima verossimilhança dos parâmetros são η̂ = 0.053, β̂ = 2.67 e θ̂ = 0.15. A

intensidade cumulativa estimada Φ(θ̂) é tão próximo ao processo de contagem como a

intensidade cumulativa real Φ(θ).

A primeira família de testes de bondade de ajuste é construída com medidas de discre-

pâncias entre N e Φ(θ̂). Os testes rejeitam a hipótese de que o modelo é válido se os dois

processos estiverem muito distantes. Conforme já mensionado, os autores consideraram

três estatísticas de teste usuais com base nos resíduos martingale.

A primeira é a estatística tipo Kolmogorov-Smirnov(KS):

KSm(θ̂) = supi=1,...,n

|M̂i| = supi=1,...,n

|i− ΦTi(θ̂)| (2.23)

A segunda estatística é do tipo Cramér-von Mises(CvM):

CvMm(θ̂) =

Tn∫0

(Nt − Φt(θ̂))2dΦt(θ̂) (2.24)

Usando uma discretização do intervalo de tempo [0, Tn], pode-se mostrar que:

CvMm(θ̂) = −1

3

n∑i=1

{(i− 1− ΦTi(θ̂))3 − (i− 1− ΦTi−1

(θ̂))3}

Os autores também propuseram uma estatística do tipo Anderson-Darling(AD):

ADm(θ̂) =

Tn∫0

(Nt − Φt(θ̂))2

Φt(θ̂)(n+ 1− Φt(θ̂))dΦt(θ̂) (2.25)

Mais peso é colocado em valores grandes e baixos da intensidade cumulativa estimada.

Uma escolha usual para estatísticas AD seria com o peso do quadrado discrepância entre

N e Φ(θ̂) pelo inverso do Φt(θ̂)(n−Φt(θ̂)) para t ∈ [0, Tn]. No entanto, porque ΦTn(θ̂) = n,

o integral correspondente não é de�nida. Portanto, é feita a discretização de [0, Tn]. Por

de�nição, a equação 2.25 pode ser expressa como:

33

ADm(θ̂) =n∑i=1

Ti∫Ti−1

(i− 1− Φt(θ̂))2

Φt(θ̂)(n+ 1− Φt(θ̂))dΦt(θ̂)

Fazendo a mundança de variáveis, onde x = Φt(θ̂), temos que

ADm(θ̂) =n∑i=1

Ti(θ̂)∫Ti−1(θ̂)

(i− 1− x)2

x(n+ 1− x)dx

Para x ∈]0, n[

(i− 1− x)2

x(n+ 1− x)=

∂

∂x{(i− 1)2

(n+ 1)log(x)− (n+ 2− i)2

(n+ 1)log(n+ 1− x)− x}

Assim sendo,

ADm(θ̂) =1

n+ 1

n∑i=2

{(i− 1)2log

(ΦTi(θ̂)

ΦTi−1(θ̂)

)− (n+ 2− i)2log

(n+ 1− ΦTi(θ̂)

n+ 1− ΦTi−1(θ̂)

)}

+ (n+ 1)log

(1−

ΦT1(θ̂)

n+ 1

)− n

As distribuições das estatísticas de teste sob a hipótese nula não são distribuições padrão

e, além disso, elas podem depender dos parâmetros. Portanto, os quantis foram avaliados

por bootstrap paramétrico.

2.5.2 Testes baseados na Transformada Integral de Probabilidade

A segunda classe de testes baseia-se nas variáveis aleatórias ΦTi+1(θ) − ΦTi(θ), para

i = 0,...,n − 1. Sob H0, essas variáveis são i.i.d. com distribuição exponencial padrão

(Exp(1))(Cook and Lawless, 2007 apud Chauvel, 2016). Essas variáveis são transforma-

das em uniformes.

34

Para i = 0,...,n − 1, deixe S(·|Ti; θ) denotar a função de con�abilidade do tempo entre

falhas Ti+1 − Ti condicionado a Ti = (T1,T2,...,Ti):

S(s|Ti; θ) := P (Ti+1 − Ti > s|Ti; θ) = exp(−ΦTi+s(θ) + ΦTi(θ)), paras ≥ 0 (2.26)

De�ni-se as variáveis

Ui(θ) = S(Ti+1 − Ti|Ti; θ)

para i = 0,...,n − 1. Sob a hipótese nula, H0 : Φ ∈ C, os Ui's são i.i.d. com distribuição

uniforme padrão U [0,1]. Tal transformação dos tempos entre falhas geralmente são cha-

mados de Transformada Integral de Probabilidade (TIP) e consiste em aplicar uma função

de distribuição cumulativa (f.d.c.) para uma variável aleatória (D'Agostino e Stephens,

1986, página 239 apud Chauvel et al., 2016). No caso exposto pelos autores, a função de

distribuição cumulativa é condicional ao passado.

A segunda classe de testes de bondade de ajuste proposta por Chauvel et al. (2016) é então

baseada na transformada integral de probabilidade condicional dos tempos entre falhas.

Pode-se esperar que a uniformidade não se mantenha no caso do modelo especi�cado

ser incorreto. Portanto, segundo os autores, pode-se testar a bondade do ajuste de um

modelo de reparo imperfeito testando que os tempos entre falhas transformados têm uma

distribuição uniforme. Em aplicações, θ é estimado e considera-se as estatísticas de teste

KS, CVM e AD para testar a uniformidade de U0(θ̂),...,Un−1(θ̂) (D'Agostino E Stephens,

1986 apud Chauvel et al., 2016).

As estatísticas função de distribuição empírica que serão empregadas, conforme já men-

sionado, são as estatísticas de Kolmogorov-Smirnov (KS), Cramér-von Mises (CvM) e a

estatística de Anderson-Darling.

De�nimos D+ (respectivamente D−) como a maior diferença vertical entre Fn,S(t) (re-

presenta a função de distribuição acumulada empírica dos dados) e F (t) = x (repre-

senta a função de distribuição acumulada assumida para os dados), quando Fn,S(x)

é maior (respectivamente menor) que x, formalmente, D+ = supx{Fn,S(x) − x} e

D− = supx{x− Fn,S(x)}

35

As estatísticas de teste são respectivamente:

KSu(θ̂) =√n sup

x∈[0,1]

|Fn,S(x)− x| =√nmax|(D+,D−)| =

=√n max max

i=1,...,n(i

n− U(i−1)(θ̂)), max

i=1,...,n(U(i−1)(θ̂)−

i− 1

n) ,

(2.27)

CvMu(θ̂) = n

1∫0

(Fn,S(x)− x)2dx =n∑i=1

(U(i−1)(θ̂)−2i− 1

2n)2 +

1

12n(2.28)

e

ADu(θ̂) = n

1∫0

(Fn,S(x)− x)2

x(1− x)dx = −n− 1

n

n∑=1

(2i−1){log(U(i−1)(θ̂))+ log(1−U(n−i)(θ̂))}

(2.29)

onde Fn,S é a função de distribuição cumulativa empírica das variáveis aleatórias Ui(θ̂)

e U(0)(θ̂) ≤ U(1)(θ̂) ≤ ... ≤ U(n−1)(θ̂) são os Ui(θ̂) ordenados, onde i = 0,1,...,n − 1. As

fórmulas para obtenção das Equações 2.28 e 2.29 podem ser encontradas no Apêndice G.

Levando em consideração a estimativa de θ, sob H0, os Ui(θ̂)'s não são independentes

nem uniformemente distribuídos e as distribuições estatísticas não são conhecidas. Por-

tanto, é pertinente a relização de uma análise numérica para avaliar se essas distribuições

dependem dos parâmetros.

São gerados 4000 conjuntos de dados sob o modelo ARA∞ − PLP para β ∈ {1.5,3},θ = {0.2,0.8}, η = 0.05 e n = 30. Para cada amostra, os estimadores de máxima verossi-

milhança dos parâmetros e os 6 testes estatísticos KSm(θ̂), CvMm(θ̂), ADm(θ̂), KSu(θ̂),

CvMu(θ̂) e ADu(θ̂) são computados. Na Figura 2.12, são apresentados os boxplots das

4000 estatísticas de teste simuladas. Para cada estatística de teste, não está claro se β tem

in�uência ou não, mas os boxplots são claramente diferentes quando o valor de θ muda.

Então isso parece indicar que as distribuições das estatísticas dependem dos parâmetros

36

do modelo. Assim, as tabelas usuais não podem ser usadas para realizar as análises KS,

CvM e AD e é necessário usar a abordagem bootstrap paramétrica.

Figura 2.12: Boxplots de 4000 estatísticas de teste simuladas sob o modelo ARA∞ − PLPpara diferentes valores de β e θ, η = 0.05 e n = 30. (a)KSm(θ̂), (b) CvMm(θ̂), (c) ADm(θ̂), (d)

KSu(θ̂), (e)CvMu(θ̂) e (f) ADu(θ̂). Fonte: (CHAUVEL et al., 2016, p. 1347)

2.5.3 Construção dos testes por bootstrap paramétrico

Para realizar os testes, Chauvel et al. (2016) comparam as estatísticas de testes para

quantis de sua distribuição sob H0. Como essas distribuições dependem dos parâmetros

do modelo, o cálculo desses quantis não podem ser feitos diretamente. Então, os autores

utilizaram um método bootstrap paramétrico.

O procedimento de teste usado pelos autores é adaptado do artigo de Stute et al. (1993)

em que os testes de bondade de ajuste bootstrap paramétrico são criados para variáveis

aleatórias i.i.d.. Seja Z(θ̂) a estatística de teste genérica. No artigo, Z(θ̂) é uma das

estatísticas KSm(θ̂), CvMm(θ̂), ADm(θ̂), KSu(θ̂), CvMu(θ̂) ou ADu(θ̂). Sob H0, Z(θ̂) é

calculado a partir do conjunto de dados T1,...,Tn gerado a partir de um processo pontual

com intensidade Φ(θ). O intuito é obter replicações i.i.d. de Z(θ̂) para calcular os quantis

empíricos da distribuição estatística. No entanto, θ é desconhecido. Então, θ é estimado

por θ̂ e foram simuladas replicações i.i.d. T ∗1,...,T ∗n a partir de um processo pontual com

37

intensidade Φ(θ̂). Para cada replicação, o estimador de máxima verossimilhança θ̂∗ e o

teste estatístico Z∗(θ̂∗) pode ser calculado. Pela proximidade de θ e θ̂ é de se esperar uma

diferença muito pequena entre os quantis empíricos das distribuições de Z(θ̂) e Z∗(θ̂∗). O

procedimento geral para a aplicação do teste é descrito no seguinte algoritmo (Chauvel

et.al, 2016, p. 1348):

Passo 1 - Calcule o EMV θ̂ de θ na classe dos modelos C e calcule a estatística Z(θ̂) no

conjunto de dados T1,...,Tn.

Passo 2 - Para i = 1 até L,

a) Gerar T ∗1,i, T ∗2,i,...,T ∗n,i sob o modelo de intensidade Φ(θ̂) ∈ C.

b) Calcule o EMV (θ̂∗i ) de θ̂ a partir de T ∗1,i,...,T ∗n,i no modelo C.

c) Calcule a estatística Z∗i = Z∗i (θ̂∗i ) a partir de T ∗1,i,...,T ∗n,i e (θ̂∗i ).

Passo 3 - A hipótese H0 é rejeitada no nível de signi�cância α se Z(θ̂) é maior do que

o quantil empírico de ordem 1− α de Z∗1 ,...,Z∗L.

As simulações e os cálculos do Passo 2 são a parte de bootstrap paramétrica do algoritmo.

Os autores realizaram algumas simulações e concluíram que os testes ADm e ADu são

melhores em relação aos outros estudados.

2.6 Testes não paramétricos para Reparo Imperfeito segundo Gi-

lardoni et al.(2017)

No contexto da seleção de modelos, antes de passar para a seleção de um melhor modelo

dentre os modelos de reparo imperfeito, seria interessante desenvolver um procedimento

de teste estatístico geral para permitir responder, em primeiro lugar, se é realmente uma

situação de reparo imperfeito ou simplesmente se trata de uma situação de reparo mínimo

(Efeito ABAO).

O principal objetivo aqui é testar as seguintes hipóteses nulas e alternativas:

H0: Reparo Mínimo(NHPP) versus H1: Reparo Não-Prejudicial

38

Hipótese alternativa signi�ca que reparo melhora o sistema e depende apenas do tempo de

falha anterior. Então, a função de intensidade de falha (Equação 2.1) pode ser reescrita

como:

λ(t) = limδt→0

P (N(t+ δt)−N(t) = 1|tN(t))

δt, ∀t ≥ 0 (2.30)

E as hipóteses podem ser rede�nidas como:

H0 : λ(t) = φ(t) versus H1 : λ(t) < φ(t) para algum t ∈ (0, T ].

Onde λ(t) é a intensidade de falha do sistema imediatamente antes da ocorrência de falha

e φ(t) é a ROCOF.

Nesta seção, testes não paramétricos desenvolvidos por Gilardoni et al. (2017), são de-

monstrados para as hipóteses acima. Primeiro, uma estatística de teste é proposta e será

mostrado na seção 2.6.1 que a hipótese nula tem distribuição binomial. Em seguida, na

seção 2.6.1 é demonstrado o teste multinomial, que é uma extensão do caso binomial.

2.6.1 Teste Binomial Exato

Para dar uma idéia intuitiva do teste, consideremos uma situação envolvendo o acompa-

nhamento de três sistemas. A Figura 2.13 mostra um grá�co de pontos no tempo, onde

cada linha corresponde a um sistema e cada símbolo "◦"representa um tempo de falha.

Sob a suposição de RM, cada sistema segue um NHPP e todos eles começam ao mesmo

tempo, como novo com um aumento φ(t) em t. Consequentemente, devido a hipótese dos

incrementos independentes, após a ocorrência de uma falha, cada sistema tem a mesma

probabilidade de ser o próximo a falhar.

Para deixar este ponto claro, vamos observar a Figura 2.13, em particular a Linha vertical

em t = 4 unidades de tempo. Sob a hipótese nula (RM), é justo dizer que após a ocorrência

dessa falha, a próxima terá a mesma probabilidade de ocorrência nos sistemas 1, 2 ou 3.

No entanto, sob a hipótese alternativa (Reparo não prejudicial), se uma falha ocorrer em

um dado sistema, o tempo de espera para a próxima falha será maior para este sistema

39

Figura 2.13: Tempos de falha de três sistemas.

do que para os outros. No exemplo, sob H1, uma vez que a falha ocorreu no sistema 3,

espera-se que a próxima falha terá maior probabilidade de ocorrer nos sistemas 1 ou 2.

Suponha que um tenha dados de K ≥ 2 sistemas independentes e idênticos que são obser-

vados ao longo de um intervalo de tempo comum (ou seja, eles são truncados por tempo no

mesmo tempo T ). A ideia principal é bastante simples se assumirmos que o último sistema

a falhar é o mais con�ável. Denotemos os dados sob a forma {(t1, δ1), (t2, δ2),..., (tn+ , δn+)},onde n+representa o número total de falhas para todos os sistemas, os ti's são os tempos

de falha ordenados, também para todos os sistemas e os δj's são indicadores do sistema,

de modo que δj = i se a j-ésima falha ocorreu no sistema i (i = 1, ..., K, j = 1, ..., n+), e

de�ne-se a estatística

B =

n+−1∑j=1

I(δj = δj+1) (2.31)

Onde,

I(δj = δj+1) =

{1, se δj = δj+1

0, se δj 6= δj+1

Ou seja, se duas falhas consecutivas ocorreram no mesmo sistema, I(δj = δj+1) = 1 e se

40

duas falhas consecutivas ocorreram em sistemas diferentes, I(δj = δj+1) = 0 .

No exemplo (Figura 2.13) se observa n+ = 9 falhas para K = 3 sistemas e os indicadores

de sistemas são (δ1,..., δ9) = (1,2,1,3,3,2,3,3,1). Portanto, I(δ1 = δ2) = I(δ2 = δ3) =

I(δ3 = δ4) = I(δ5 = δ6) = I(δ6 = δ7) = I(δ8 = delta9) = 0 e I(δ4 = δ5) = I(δ7 = δ8) = 1.

Então, B = 2.

Se os sistemas estão sujeitos ao reparo imperfeito, que melhora a con�abilidade, obser-

vando dois períodos consecutivos, as falhas no mesmo sistema seriam menos frequentes e,

portanto, B tenderia a ser menor nesse caso do que na hipótese de reparo mínimo.

Para determinar os pontos críticos ou p-valores, Gilardoni et al.(2017) mostraram que, sob

a hipótese nula de RM e condicionado ao número total de falhas n+ ≥ 2, a estatística de

teste B, dado que N+(t) = n+ segue uma distribuição binomial com parâmetros (n+− 1)

e p = 1/K, em que K é o número de sistemas.

Sendo Ni(T ), o número total de falhas do sistema i até o tempo T , temos que Ni(T )

são variáveis aleatórias i.i.d. de Poisson com a mesma média ENi(T ) =∫ T

0λ(t)dt. Se-

gundo Gilardoni et al.(2017) a distribuição condicional de (N1(T ),..., NK(T )), dado que

N+(T ) =K∑i=1

Ni(T ) = n+ é Multinomial com parâmetros n+ e vetor de probabilidades

(1/K, ..., 1/K).

Daí, decorre de (Rigdon e Basu , 2000) que, dado que N+(T ) = n+, os tempos de falha

para o K sistemas pode ser obtido como se segue:(i) em primeiro lugar, gerar (n1, ..., nK) a

partir da distribuição multinomial que foi mencionada acima e (ii) para o i-ésimo sistema,

gerar os tempos de falha como as estatísticas de ordem de uma amostra de tamanho ni

da função de distribuição cumulativa Φ(t)Φ(T )

(0 < t < T ). Agora, o algoritmo é o mesmo

que gerar as estatísticas de ordem de uma amostra aleatória de tamanho n+ a partir

da mesma f.d.c e, em seguida, alocar cada tempo de falha aleatoriamente em qualquer

um dos sistemas. Este argumento, conforme os autores, mostra que, condicionado a

N+(t) = n+, as variáveis aleatórias δ1, ...,δn+ são i.i.d. e uniformemente distribuídas no

conjunto 1, ..., K.

Por isso, também condicionado a N+(T ) = n+, e sabendo que I(δj = δj+1) é uma va-

riável aleatória que assume 1(sucesso) com probabilidade p = 1/K e 0 (fracasso) com

probabilidade 1 − p, determinamos, segundo Casella e Berger (2002), que essa variável

41

tem distribuição de Bernoulli com parâmetro 1/K. Como B =n+−1∑j=1

I(δj = δj+1), então

temos que B é a soma de variáveis aleatórias de Bernoulli. Como a soma de n+ − 1

variáveis aleatórias de Bernoulli i.i.d com parâmetro 1/K possui distribuição Binomial

(Casella e Berger, 2002) podemos concluir que B|N+(t) = n+ segue uma distribuição

Binomial(n+ − 1,1/K).

Uma vez que, sob os modelos RI não prejudiciais, esperamos que B seja menor que sob

RM , de�nimos o p-valor do teste como a probabilidade da cauda esquerda da distribuição

Binomial(n+ − 1, 1/K).

Assim, o teste de hipóteses pode ser reescrito da seguinte maneira:

H0 : p = 1/K versus H1 : p < 1/K

No capítulo 3 serão abordados experimentos Monte Carlo para obter uma visão do tama-

nho e poder do teste binomial contra algumas alternativas na classe de modelos ARA e

ARI.

A estatística de teste B ignora o fato de que a con�abilidade dos sistemas que falha-

ram antes do atual também são ordenados de acordo com seu último fracasso. O teste

multinomial abordado a seguir leva em consideração esse fator.

2.6.2 Teste Multinomial

Seguindo o exemplo dado anteriormente, pode-se ilustrar a idéia do teste multinomial.

No teste Binomial Exato, conforme já discutido, foram observados n+ = 9 falhas para

K = 3 sistemas e os indicadores de sistemas são (δ1,..., δ9) = (1,2,1,3,3,2,3,3,1), de modo

que B = 2.

Para o teste binomial, nota-se, por exemplo, que as contribuições da quarta e oitava falhas

para B são nulas, pois I(δ4 = δ3) = I(δ6 = δ7) = 0. No entanto, levando em consideração

que o último sistema a falhar se torna o mais con�ável, a situação é um pouco diferente

porque, após a terceira falha, o sistema 3 era menos con�ável dos três, enquanto que, após

a sexta falha, o sistema 3 era apenas o segundo menos con�ável (isto é, após a sexta falha,

42

o sistema 3 era menos con�ável do que o sistema 2, mas mais con�ável que o sistema 1).

Consequentemente, podemos calcular uma estatística vetorial M = (m0,m1,m2), onde as

mi's contam, respectivamente, quantas vezes os sistemas mais con�ável, o segundo mais

con�ável e menos con�ável falharam.

Para de�nir a estatística multinomial M = (m0,...,mK−1), é mais fácil usar as falhas

do sistema ordenadas {tij : 1 ≤ i, 1 ≤ j ≤ ni}. Seja n− o menor índice, de modo que

exatamente K − 1 sistemas tenham falhado até tn− . Para cada falha tij > tn− , seja rij o

número de sistemas que tenham pelo menos uma falha entre ti,j−1, onde de�ne-se ti,0 = 0.

Note que são contados sistemas e não falhas. Agora, para k = 0,...,K − 1, de�ne-se

mk =∑

(i,j):ti,j>tn−I(rij = k).

No exemplo,a terceira falha contribui para uma unidade m1, a quarta falha contribui para

uma unidade m2, a quinta falha para uma unidade de m0, a sexta para uma unidade de

m2, a sétima para uma unidade de m1, a oitava para uma unidade de m0 e a nona para

uma unidade de m2, onde M = (2,2,3). Note que, para calcular M , é preciso esperar até

que todos os sistemas tenham sido ordenados, ou seja, até que K − 1 sistemas já tenham

falhado. No exemplo, isso signi�ca que começamos a contar a partir da terceira falha

(n− = 2).

Sob reparo mínimo, a distribuição condicional deM dado n− e n+ é simples a partir da dis-

cussão da seção anterior, uma vez que (δn− + 1, ..., δn+) são condicionalmente distribuídos

com uma amostra de tamanhom+ = n+−n− da distribuição uniforme nos inteiros 1, ..., K.

Portanto, para (i, j) tal que tij > Tn+ , os vetores Uij = (I(rij = 0),..., I(rij = K − 1))

são multinominais i.i.d. com n = 1 e probabilidades (p0, ..., pK−1) = (1/K,...,1/K). A

distribuição desejada para M segue agora, pois M =∑

(i,j):ti,j>tn−Uij. Note que es-

tes argumentos dá a distribuição condicional de M dados n− e n+, mas desde que essa

distribuição dependa apenas de m+ =∑K−1

k=0 mk = n+ − n−, esta deve ser também a

distribuição condicional dado m+.

Para determinar a região crítica, observa-se que, sob a suposição do reparo imperfeito,

espera-se que as contagens m0,...,mK−1 estejam aumentando. Ou seja, como o reparo irá

melhorar o sistema de acordo com um coe�ciente de reparo θ, temos que quanto mais

recente determinado sistema tiver falhado, melhor ele estará em relação aos que falharam

há mais tempo e menor será a probabilidade do mesmo falhar.

43

Chacko ( 1963 , 1966) considera testes multinominais das hipóteses H0 : p0 = · · · =

pK−1 = 1/K contra hipóteses alternativas H1 : p0 ≤ · · · ≤ pK−1 com pelo menos uma

desigualdade estrita. O teste baseia-se numa estatística χ2 modi�cada na forma:

χ2 = Km+

K−1∑k=0

(p̃k −

1

K

)2

(2.32)

onde, para k = 0,...,(K − 1), p̃k é o estimador de máxima verossimilhança (EMV) de

pk sob H1. Mais precisamente, os p̃k's são as encostas do GCM do poligonal formado

pelos pontos (k,k∑i=0

p̂i)(k = 0, ..., K − 1) e p̂k = mk/m+'s são os EMVs sem restrições da

probabilidades das classes.

Para exempli�car melhor o teste proposto consideremos um exemplo dado por Gilardoni

et al.(2017) para correias transportadoras. No exemplo n+ = 157 falhas, n− = 8, então

m+ = 157 − 8 = 149. O M observado é mobs = (11,13,28,27,22,21,27). Os EMV's

sem restrições são (p̂0,..., p̂6) = mobs/149. O poligonal e do GCM são mostrados na

Figura 2.14) , do qual obtêm-se os EMV's restritos como p̃0 = 11/149, p̃1 = 13/149,

p̃2 = p̃3 = p̃4 = p̃5 = 24.5/149 e p̃1 = 27/149.

Figura 2.14: EMV cumulativo sem restrições (p̂k, linha contínua) e restrito (p̃k, linha tracejada)

para os dados das correias transportadoras. Fonte: (GILARDONI et al., 2017, p. 10)

A ideia do EMVs restritos, segundo Chacko(1966) é que as frequências observadas mobs

sejam ordenadas de modo que mk < mk+1. Portanto, se mk > mk+1, calcula-se a média

(mk + mk+1)/2. A série de valores k agora é reduzido a k − 1 valores dos quais k −2 são inalterados, mas um é a média de duas frequências originais. O procedimento

44

acima é continuado até um conjunto ordenado de quantidades monótonas não decrescentes

(frequências originais ou média obtida de frequências). No exemplo, temos que m2 > m3

e m4 > m5, fazendo a média de m4 e m5, obtém-se 21.5 e reduz-se a série de valores

para(11,13,28,27,21.5,27). Nota-se que o quarto valor é maior que o quinto. Assim,

forma-se a média desses dois valores, dando peso 2 ao valor 21.5. Assim, reduz-se a série

de valores agora para (11,13,28,23.33,27). Ainda observa-se que o terceiro valor é maior

que o quarto valor. Portanto, calcula-se a média desses dois valores, dando peso 3 ao valor

23.33 (pois representa a média de 3 frequências originais). Por �m, a série de frequências

se torna (11,13,24.5,27),com 3 frequências originais e 24.5 representando a média de 4

frequências originais.

Essas estimativas restritas podem ser conectadas na equação 2.32 para obtenção de:

χ2 = 7×149×

[(11

149− 1

7

)2]

+

[(13

149− 1

7

)2]

+4×

[(24.5

149− 1

7

)2]

+

[(27

149− 1

7

)2]

= 11.671

Para calcular os p-valores, Chacko (1963) mostra que, sob H0 (isto é, RM), os testes

estatísticos χ2 são assintoticamente distribuídos como uma mescla de χ2n−1 central com

pesos wn,K . Os pesos wn,K representam a probabilidade do GCM mencionado acima,

dado exatamente n inclinações diferentes (n = 2, ..., K). Chacko (1963) explica que wn,K

indica a probabilidade de que o processo de ordenação que faz com mk < mk+1 renda

exatamente n distintos mk's.

Por exemplo, suponhamos ter um peso w6,3, ou seja, houveram 6 ocorrências de falhas em

3 sistemas no total. Porém, de modo a garantir que mk < mk+1, foram tiradas as médias

de algumas frequências, K agora é reduzido a 3 valores dos quais alguns são inalterados,

mas alguns é a média de duas frequências originais. O w6,3 vai mensurar as possibilidades

de frequências e médias que podem ser feitas.

Para calcular w6,3 Chacko (1963) ilustra um método para listar todas as partições de K

em n partes. Comece com uma partição inicial com unidade para cada um dos primeiros

n − 1 elementos e K − n − 1 como o último elemento. Para obter uma nova partição,

passe os elementos do último da direita para a esquerda, parando no primeiro elemento

h, que é menor em pelo menos duas unidades do que o último elemento. Sem alterar

qualquer elemento à esquerda de h, escreva h− 1 no lugar de h e cada elemento à direita

45

de h, exceto que o último elemento é tomado de modo a dar a soma K. Continue esse

procedimento até chegar a uma partição na qual nenhuma parte difere do último elemento

por mais de uma unidade.

Por exemplo, se K = 6 e n = 3, então as classes possíveis são

1 1 4

1 2 3

2 2 2

Portanto,

w6,3 =1

2!× 1

4+

1

2× 1

3+

1

3!× 1

8=

225

6!

As provas e teoremas nos quais se baseiam o cálculo do método expresso acima é encon-

trado com detalhes em Chacko(1963).

Uma vez que o os pesos são obtidos, o p-valor é calculado como

∑n=2

Kwn,KP[χ2n−1 ≥ χ2

obs

](2.33)

Onde χ2n−1 é uma variável aleatória com a distribuição qui-quadrada com n − 1 graus

de liberdade e P[χ2n−1 ≥ χ2

obs

]é a probabilidade de que exceda χ2

obs, para n grande,

aproximadamente, num nível de signi�cância α do teste sob H0(Chacko, 1966).

No capítulo 3 serão investigados, através de estudos de simulação Monte Carlo, o tamanho

e poder dos testes propostos Binomial e Multinomial propostos, bem como discutidos

novas abordagens e estruturas para tais testes.

46

3 Estudos Monte Carlo para Testes de Hipóteses

Neste capítulo serão abordados os estudos empíricos dos testes Binomial e Multinomial,

utilizando a simulação Monte Carlo.

3.1 Estudos Empíricos: Tamanho dos Testes

Esta seção mostra os resultados das simulações de Monte Carlo implementadas usando

como hipótese nula um NHPP indexado por uma função de intensidade da forma PLP,

ou seja:

H0: Reparo Mínimo(NHPP), PLP versus H1: Reparo Não-Prejudicial

Foram executadas simulações de Monte Carlo para alguns cenários, até que fossem encon-

tradas 10 000 ocorrências do número global de falhas esperado (N+). Os cenários incluem

η = 1; β = 1.5 e β = 2; T (tempo de truncamento) = 5 e 10; K (número de sistemas)

= 5. Os resultados são apresentados na Tabela 1, para testes binomial e multinomial,

respectivamente.

Tabela 3.1: Simulação monte carlo para dados empíricos dos testes binomial e multinomial

Para os três cenários do teste multinomial, os tamanhos descritivos estão bem próximos

dos valores nominais, sendo que os tamanhos descritivos são, na maior parte dos casos,

maiores que os nominais.

47

Para o teste binomial, os tamanhos descritivos estão muito próximos dos valores nominais,

com exceção do primeiro cenário. Os tamanhos descritivos são menores que os nominais

em todos os cenários.

Na próxima seção serão investigados, através de estudos de simulação Monte Carlo, o

poder dos testes propostos.

3.2 Estudos Empíricos: Poder dos Testes

O poder desses testes são avaliados sob a hipótese alternativa usando as classes de modelos

ARA1−PLP e ARI1−PLP , para θ = 0.5 e θ = 0.1. Foram realizadas simulações monte

carlo até que fossem obtidos 10.000 ocorrências do número global de falhas esperado dos

testes Binomial e Multinomial. Os cenários incluem η = 1,β = 1.5 e β = 2; T (tempo de

truncamento) = 5, 10 e 15 e K (número de sistemas) = 5.

Apesar do teste ser condicionado ao número total de falhas n+, foram investigados os

valores do teste para n+ próximos ao n+ esperado. Os grá�cos da Figura 3.1 mostram o

comportamento do poder dos testes em relação à variação do n+ para os modelos citados

acima, em um cenário especí�co, onde η = 1,β = 1.5 , T = 10, K = 5 e o nível de

signi�cância α = 0.1.

Os grá�cos mostram que, para todos os casos, o poder do teste multinomial é maior que

o poder do teste binomial.

As Tabelas 3.2 a 3.5 mostram os resultados da simulação na íntegra.

Os resultados mostram que (bem como já foi evidenciado na Figura 3.1, o poder do teste

multinomial é maior que o poder teste binomial para todos os cenários. Além disso,

temos que o poder do teste é maior para θ = 0.1 em relação à θ = 0.5 e para todos os

cenários, o poder do teste é maior quando β = 2.0, em comparação à β = 1.5. O poder

dos testes é maior ao nível de signi�cância α = 0.1 em relação à α = 0.05. De fato,

quanto maior o nível de signi�cância, maior o poder do teste. Se aumentamos o nível de

signi�cância, reduzimos a região de aceitação. Como resultado, temos maior chance de

rejeitar a hipótese nula. Isto signi�ca que temos menos chance de aceitar a hipótese nula

quando ela é falsa, isto é, menor chance de cometer um erro do tipo II(aceitar a hipótese

48

Tabela 3.2: Resultados da simulação de Monte Carlo para o poder no ARA1(θ = 0.5) do teste

binomial e multinomial.

Tabela 3.3: Resultados da simulação de Monte Carlo para o poder no ARA1(θ = 0.1) do teste


Tabela 3.4: Resultados da simulação de Monte Carlo para o poder no ARI1(θ = 0.5) do teste


49

Figura 3.1: Poder dos testes binomial(◦) e multinomial(•) em relação ao n+ para (a)ARA1

com θ = 0.5 (b)ARA1 com θ = 0.1 (c)ARI1 com θ = 0.5 (d)ARI1 com θ = 0.1

nula, no caso desta hipótese ser falsa). Então, o poder do teste aumenta.

A função poder do teste é a probabilidade de rejeitarmos H0, sendo H0 falsa. De forma

ideal, nós gostaríamos de rejeitar a hipótese H0 para todo valor de λ(t) em H1 com

probabilidade 1, e da mesma forma, nós gostaríamos de não rejeitar (aceitar) a hipótese

H0 para todo valor de λ(t) em H0 com probabilidade 1.

Como as simulações monte carlo foram geradas para os modelos de Reparo

Imperfeito(ARA1 − PLP e ARI1 − PLP ), então temos que a hipótese alternativa H1

é a verdadeira. Portanto, os testes devem resultar em um poder superior ao nível de

signi�cância α.

Observando as Tabelas 3.2 a 3.5, temos que dos 96 cenários simulados, apenas 3 não

obtiveram poder superior ao nível de signi�cância α correspondente, sendo os três para

teste Binomial no ARA1 − PLP , θ = 0.5 cenários k = 5, T = 5, β = 1.5 e α = 0.05;

k = 5, T = 5, β = 1.5 e α = 0.1; k = 5, T = 10, β = 1.5 e α = 0.05. Portanto, podemos

validar os testes Binomial e Multinomial. Porém, o teste multinomial é mais con�ável

(para todos os cenários o poder foi maior que o α) e tem maior poder em relação ao teste

binomial.

50

Tabela 3.5: Resultados da simulação de Monte Carlo para o poder no ARI1(θ = 0.1) do teste


O próximo passo será aplicar o teste de hipóteses à um banco de dados real, que contém

falhas do rotor de bombas de polpa.

51

4 Análise dos dados de falhas dos rotores das bombas

de polpa

Este capítulo apresenta uma análise da situação prática descrita no Capítulo 1. Trata-

se portanto de falhas dos rotores das bombas de polpa de uma empresa mineradora. O

objetivo da empresa de mineração é projetar um plano de manutenção e�ciente que inclui

ações de manutenção preventiva para minimizar paradas e custos inesperados. Para esse

�m, é essencial a identi�cação de um modelo que incorpore os efeitos do envelhecimento

e reparação e que permita a obtenção de informações sobre a con�abilidade dos rotores.

Para construir as análises adequadas à concepção da política ótima de manutenção pre-

ventiva ao problema em estudo, foram utilizados os pacotes desenvolvidos em linguagem

R por Madureira (2015) e Fernandes (2015).

O presente capítulo apresenta as etapas para o atendimento da �nalidade desse trabalho

e está dividido em quatro seções.

A primeira seção 4.1, corresponde à análise preliminar dos dados. Nessa seção serão

apresentados os grá�cos de Eventos e de Média Acumulada. Por meio desses grá�cos

é possível fazer uma caracterização dos momentos em que houve falhas no processo em

estudo e ainda, veri�car se há ou não indícios de que o sistema estaria se degenerando

com o passar do tempo.

Na seção 4.2 são aplicados os testes de hipóteses propostos por Gilardoni et al. (2018),

denominados teste binomial e teste multinomial.

Em seguida, as estimativas pontuais e intervalares dos parâmetros dos modelos são apre-

sentadas na seção 4.3. Nesta seção são aplicadas metodologias de seleção do modelo com

melhor qualidade de ajuste baseadas na verossimilhança e no peso da evidência e aplicado

o método de bondade de ajuste proposto do Toledo et al. (2015).

Por �m, na seção 4.4 é feita a determinação da periodicidade ótima de manutenção pre-

ventiva para o problema dos rotores.

52

4.1 Análise Preliminar dos Dados

O conjunto de dados consiste em registros de falhas em uma amostra de cinco bombas

de polpa da empresa de mineração. Essas falhas estavam ligadas diretamente ao rotor.

Cada bomba aqui será considerada como um sistema. Esses sistemas são considerados

reparáveis, uma vez que após uma falha, não é necessária sua substituição completa para

o reestabelecimento de suas funções.

Os dados foram coletados de junho de 2016 a maio de 2017 (T = 6 432 horas), quando

175 falhas no total foram observadas, cada uma seguida por um reparo(corretivo). Para

cada sistema, houve uma manutenção preventiva no tempo T = 5 000 horas, que tem um

efeito de reparo perfeito. Ou seja, a cada T = 5 000 horas, cada sistema passa por uma

manutenção preventiva, que torna o sistema "tão bom quanto novo". Portanto, após a

manutenção preventiva, é como se os cinco sistemas parassem de operar e cinco novos

sistemas entrassem em operação. Portanto, iremos primeiramente analisar estes dados

como se fossem dois conjuntos de dados diferentes, onde: (1) Conjunto de dados truncado

no tempo T = 5 000 horas, onde é realizada a manutenção preventiva (Será referido no

texto como rotores1)(2) Análise dos cinco sistemas como novos (visto que a manutenção

preventiva dos rotores tem efeito de reparo perfeito), iniciando no tempo T = 0 horas até

T= 1 432 horas (que é o tempo decorrido de T = 5000 a T = 6432 horas). Então teremos

o conjunto de dados 2, que será citado ao longo do texto como rotores2. Esses dados serão

analisados separadamente para analisarmos o comportamento dos mesmos isoladamente.

Como a equipe de Engenharia informou que a cada T = 5 000 horas é realizada uma

manutenção preventiva com efeito AGAN, espera-se que os resultados encontrados para

os dois conjuntos de dados sejam próximos. Por �m, os dados serão analisados juntos (será

citado ao longo do texto como rotoresGeral), como se houvessem 10 sistemas iniciando no

mesmo tempo 0 (5 operando até T = 5 000 horas e 5 operando até T = 1 432 horas). Mais

uma vez, espera-se que os resultados encontrados para rotores1, rotores2 e rotoresGeral

sejam similares.

Além das manutenções preventivas a cada T = 5000 horas, os sistemas tiveram algumas

manutenções, que foram oriundas de paradas programadas totais de toda a usina de

bene�ciamento. Assim, como os sistemas estavam parados, foram feitas veri�cações de

alinhamento e lubri�cação de acoplamento, que se caracterizam por reparo corretivo.

53

A Figura 4.1 mostra eventos (falhas) versus o tempo de operação (em horas), onde cada

linha corresponde a uma unidade de rotor, e cada símbolo ”N” representa um tempo de

falha. Os dados para as cinco bombas foram truncados por tempo (T = 5 000 horas),

onde ocorreu uma manutenção preventiva. Como a menutenção preventiva neste caso tem

efeito de reparo perfeito, os cinco sistemas iniciam como novos, como ilustra a Figura 4.2

e são truncados no tempo T = 1 432 horas, visto que os dados foram coletados até T = 6

432 horas. A Figura 4.3 mostra o mesmo grá�co para o conjunto de geral. Visualmente,

nenhuma tendência em falhas ao longo do tempo pode ser observada a partir destes

grá�cos.

Figura 4.1: Tempos de falhas de 5 rotores (rotores1), todas truncadas em T = 5 000 horas.

As Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 exibem a função média acumulada do número de falhas (MCF).

A MCF é um estimador não paramétrico da funcão Φ(t) = E[N(t)] do processo pontual.

Por meio desse grá�co é possível veri�car qual o valor esperado de falhas até certo instante

de tempo.

Globalmente, estas curvas não são nem côncavas nem convexas, de modo que não há ne-

54

Figura 4.2: Tempos de falhas de 5 rotores (rotores2), todas truncadas em T = 1 432 horas.

nhuma indicação de melhoria nem de degradação do equipamento. Como parece bastante

linear, um HPP poderia ser um modelo conveniente para estes sistemas, caso a presente

pesquisa estivesse interessada em conceber uma política de manutenção com a suposição

de reparo mínimo. Isso signi�caria dizer que, ao longo do tempo, os intervalos entre as

falhas não aumentariam, tampouco diminuiriam. Se λ(t) fosse modelada como uma Lei de

Potência (equação 2.9), matematicamante poderíamos expressar λ(t) como uma constante

e, como consequência, o parâmetro de forma β = 1. Porém, nesse trabalho, submete-se

o processo de falhas a manutenções com a suposição de reparo imperfeito. Na literatura

referente a reparos imperfeitos, não há correlação entre a concavidade da curva da função

média acumulada e a classi�cação do sistema em degenarativo ou não. Já que iremos

utilizar a forma funcional PLP, isso será veri�cado quando estivermos discutindo o valor

estimado do parâmetro β.

Se combinarmos as 133 falhas das cinco bombas ocorridas até T = 5000 horas (rotores1),

as 42 falhas ocorridas após T = 1 432 horas (rotores2) e as 175 falhas ocorridas após T

55

Figura 4.3: Tempos de falhas de 5 rotores (rotoresGeral), todas truncadas em T = 6432 horas.

= 6 432 horas (rotoresGeral) e calcularmos os tempos entre falhas para este processo, o

teste de Cramér-von-Mises (modelagem NHPP com função intensidade PLP dos dados

ou rejeição desta hipótese)(Madureira, 2014) dá um p-valor de 0.9815 para rotores1, um

p-valor de 0.8751 para rotores2 e um p-valor de 0.8547 para rotoresGeral . Ou seja, para

os três conjuntos de dados, há evidências fortes que o histórico de falhas é oriundo de um

NHPP com função intensidade PLP.

Através dos dois testes apresentados já podemos averiguar divergências nas análises. Le-

vando isso em consideração, se torna relevante o estudo e aplicação dos testes Binomial e

Multinomial para averiguar se os dados se tratam de Reparo Mínimo ou Reparo Imper-

feito.

56

Figura 4.4: Estimativa Nelson-Aalen do número esperado de falhas contra o tempo, com tempo

de truncamento T = 5 000 horas para dos dados rotores1.

4.2 Testes Binomial e Multinomial

Veri�ca-se primeiro um processo com PLP com intensidade λ(t) = β(t/η)β−1/η e função

média Φ(t) = EN(t) = (t/η)β. De fato, a estimativa de Nelson-Aalen mostrado nas

Figuras 4.4, 4.5 e 4.6 sugerem que uma HPP (ou seja, o caso especial β = 1) pode ser um

bom ajuste. Os EMV's para os dados de rotores1, rotores2 e rotoresGeral são mostrados

nas Tabelas 4.1, 4.2 e 4.3, respectivamente, onde observamos um β̂ = 1.012 para PLP

com IC(α = 0.05) : [0.854,1.201] (para rotores1), β̂ = 1.159 para PLP IC(α = 0.05) :

[0.854,1.574] (para rotores2) e β̂ = 1.010 para PLP IC(α = 0.05) : [0.854,1.201] (para

rotoresGeral) . Apesar do β̂ = 1 estar dentro do intervalo de con�ança, o que sugere que

pode se tratar de um HPP, vamos averiguar com os testes binomial e multinomial que

essa análise não é su�ciente.

Aplicando o Teste Binomial aos dados de bomba de polpa (rotores1) truncados em T =

5000 horas, K = 5 sistemas e N+ = 133 falhas temos que:

B = 4, p− valor = 1.05× 10−8

A estatítica B = 4 nos informa que, do total de 133 falhas globais ordenadas, apenas 4

57


de truncamento T = 1 432 horas para os dados rotores2.

ocorreram consecutivamente no mesmo sistema. Isso sugere que, após dado sistema ser

reparado, ele se torna mais con�ável que os outros. Tal fato nos induz a entender que esse

reparo melhora o sistema(Reparo Imperfeito). Como o p-valor = 1.05× 10−8 é menor que

o nível de signi�cância proposto (α = 0.05), rejeitamos a hipótese nula de reparo mínimo.

Além disso, quanto menor for o p-valor, mais "distante"estamos da hipótese nula H0.

Como o p-valor encontrado é muito pequeno, temos fortes evidências de que os dados são

oriundos de uma situação onde o efeito de reparo é imperfeito.

Aplicando o Teste Multinomial de bomba de polpa (rotores1) truncados em T = 5000

horas, K = 5 sistemas e N+ = 133 falhas temos que:

n+ = 128 , n− = 4, M = (4,12,37,35,40), χ2 = 42, p − valor = 7.726597 × 10−10,

(p̃0, ..., p̃4) = (0.03125, 0.09375, 0.28125, 0.28125, 0.31250).

O n− = 4 signi�ca que, após ordenados os tempos de falha globais, foram necessárias

que 4 falhas ocorressem para que K − 1 sistemas falhassem e fosse possível classi�car os

sistemas de menos con�ável a mais con�ável.

O M = (4,12,37,35,40) indica que o sistema mais con�ável falhou 4 vezes, o segundo

mais con�ável falhou 12 vezes, o terceiro mais con�ável falhou 37 vezes, o quarto mais

58


de truncamento T = 6 432 horas para os dados rotoresGeral.

con�ável falhou 35 vezes e o menos con�ável falhou 40 vezes. Como discutimos na seção

2.6.2, quando temos um reparo imperfeito, esperamos que o sistema menos con�ável falhe

mais vezes. Além disso, temos que o ideal é que mk < mk+1 e quando isso não ocorre, são

calculados os EMVs restritos. No caso dos rotores1, temos quem2 > m3 e a correção dessa

diferença foi feita obtendo os (p̃0, ..., p̃4) = (0.03125, 0.09375, 0.28125, 0.28125, 0.31250).

Observemos que p̃2 e p̃3 tem o mesmo valor, visto que foi tirada a média entre eles. De

qualquer forma, o M indica uma tendência do sistema menos con�ável falhar, o que nos

sugere que o reparo seja imperfeito. De fato, o p− valor = 7.726597× 10−10 é menor que


Como já mensionado, quanto menor for o p− valor, mais "distante"estamos da hipótese

nula H0. Como o p− valor encontrado é muito pequeno (e ainda menor que o observado

no teste binomial), temos ainda mais evidências de que os dados são oriundos de uma

situação onde o efeito de reparo é imperfeito.

Aplicando o Teste Binomial aos dados de bomba de polpa (rotores2) truncados em T =

1432 horas, K = 5 e N+ = 42 temos que:

B = 3, p− valor = 0.02846

59


ocorreram consecutivamente no mesmo sistema. Isso sugere que, após dada sistema ser


reparo melhora o sistema(Reparo imperfeito). Como o p− valor = 0.02846 é menor que


Portanto, temos fortes evidências de que os dados são oriundos de uma situação onde o

efeito de reparo é imperfeito, assim como o primeiro conjunto de dados.

Aplicando o teste multinomial de bomba de polpa (rotores2) truncados em T = 1432

horas, K = 5 e N+ = 42 temos que:

n+ = 37 , n− = 4,M = (3, 3, 9, 12, 10), χ2 = 9.0811, p−valor = 0.007214945, (p̃0, ..., p̃4) =

(0.08108, 0.08108, 0.24324, 0.29729, 0.29729)

Como o p−valor = 0.007214945 é menor que o nível de signi�cância proposto (α = 0.05),

rejeitamos a hipótese nula de reparo mínimo. Como já mensionado, quanto menor for o p−valor, mais "distante"estamos da hipótese nula H0. Como o p−valor encontrado é muitopequeno (e ainda menor que o observado no teste binomial), temos ainda mais evidências

de que os dados são oriundos de uma situação onde o efeito de reparo é imperfeito.

Aplicando o Teste Binomial aos dados de bomba de polpa (rotoresGeral) truncados em

T = 6432 horas, K = 10 e N+ = 175 temos que:

B = 2, p− valor = 2.251× 10−6


ocorreram consecutivamente no mesmo sistema. Isso sugere que, após dada sistema ser


reparo melhora o sistema(Reparo imperfeito). Como o p− valor = 2.251× 10−6 é menor

que o nível de signi�cância proposto (α = 0.05), rejeitamos a hipótese nula de reparo

mínimo. Portanto, temos fortes evidências de que os dados são oriundos de uma situação

onde o efeito de reparo é imperfeito, assim como o primeiro conjunto de dados.

Aplicando o teste multinomial de bomba de polpa (rotoresGeral) truncados em T = 6432

horas, K = 10 e N+ = 175 temos que:

n+ = 164, n− = 10, M = (2, 11, 29, 27, 31, 11, 14, 13, 14, 12),

60

χ2 = 17.41006, p − valor = 5.038347 × 10−9, (p̃0, ..., p̃4) =

(0.01219, 0.06707, 0.11509, 0.11509, 0.11509, 0.11509, 0.11509, 0.11509, 0.11509,0.11509)

Como o p − valor = 5.038347 × 10−9 é menor que o nível de signi�cância proposto

(α = 0.05), rejeitamos a hipótese nula de reparo mínimo. Como já mensionado, quanto

menor for o p − valor, mais "distante"estamos da hipótese nula H0. Como o p − valorencontrado é muito pequeno (e ainda menor que o observado no teste binomial), temos

ainda mais evidências de que os dados são oriundos de uma situação onde o efeito de

reparo é imperfeito.

Como certi�camos que os reparos realizados após as falhas dos rotores são imperfeitos,

tanto para as falhas registradas até a manutenção preventiva (T = 5000 horas), como

para as falhas registradas após esse tempo, iremos identi�car uma classe de modelos de

RI que melhor se adequa aos dados e partir disso, determinar a periodicidade ótima de

manutenção preventiva com base no mesmo.

4.3 Seleção de Modelo

Nessa etapa da pesquisa, após a análise preliminar dos dados, se procuram as estimativas

pontuais e intervalares do modelo. Porém, na literatura, há vários modelos à disposição.

Deve-se, pois, selecionar aquele que melhor se ajusta aos dados, isto é, o modelo que

apresenta melhor qualidade de ajuste.

Foram aplicados os modelos ARAm e ARIm ao conjunto de dados de rotores descritos no

Seção 1.2. Os estimadores de máxima versossimilhança para PLP (β e η) e os parâmetros

para o efeito de reparo (θ) são obtidos através da maximização numérica das funções

de log-verossimilhança derivadas na Seção 2.2, utilizando o pacote computacional em

linguagem R desenvolvido por Fernandes(2015).

Foram testados 29 modelos ARA e outros 29 modelos ARI para a base de dados rotores

até o tempo T = 5 000 horas (rotores1), testados 11 modelos ARA e outros 11 modelos

ARI para a base de dados rotores2 e testados 29 modelos ARA e outros 29 modelos ARI

para a base de dados rotoresGeral. Para cada modelo usou-se uma ordem de memória

diferente (de 1 a ∞, sendo ∞ = 29 para rotores1 e rotoresGeral e ∞ = 11 rotores2.

É válido lembrar que a ordem de memória m corresponde ao maior número de falhas

61

obervado entre os sistemas. Analisando os dados de rotores1 e rotoresGeral , temos que

os sistemas 1 e 3 apresentaram 29 falhas cada um, superando todos os outros no número

de falhas. Nesse sentido, a variável m, quando assumir o valor 29 (maior valor possível

para esse processo de falha), será chamado de m = ∞. A mesma análise é feita para os

dados de rotores2 , onde m = 11 corresponde ao m =∞, pois o número máximo de falhas

observado foi 11. Os estimadores também são obtidos considerando o modelo RM-PLP.

As Tabelas 4.1, 4.2 e 4.3 exibem os resultados para RM(θ = 1), ARAm e ARIm com

m = 1, 2, 4, 5,∞ para os dados de rotores1, rotores2 e rotoresGeral, respectivamente.

Apesar de outros valores de memória no intervalo terem sido considerados, os resultados

foram omitidos para simpli�car, já que eles não adicionam valiosas informações para as

conclusões.

Tabela 4.1: Estimativas pontuais e intervalares (95% de nível de con�ança) para os parâmetros

PLP (β, η) e efeito de reparo (θ) e os valores do máximo da função log-verossimilhança (l̂) sob

cada modelo ajustado para os dados de rotores1

Como se pode observar nas Tabelas 4.1, 4.2 e 4.3 , os modelos ARA de ordem m ≤ 4

estimaram valores diferentes uns dos outros. A partir da memória m = 5, todos os

estimadores se mantém iguais. Ambos os parâmetros estimados e o valor estimado para o

máximo da função de log-verossimilhança são muito similares em modelos dentro de cada

classe.

62



cada modelo ajustado para os dados de rotores2



cada modelo ajustado para os dados de rotoresGeral

63

Usando o critério de seleção de modelos baseada na Verossimilhança e no Peso da Evidên-

cia como critério para a seleção do modelo, pode ser observado da Tabela 4.1, 4.2 e 4.3

que para as classes ARA e ARI, em geral, os valores l̂ oscilam muito pouco com aumento

na valor da memória m e com diferenças muitos pequenas (terceira casa decimal). Porém,

podemos observar uma superioridade do modelo ARA, conforme exposto nas Figuras 4.7,

4.8 e 4.9 que mostram maiores l̂ e wr para esta classe para os três conjuntos de dados. O

valor de l̂ é superior para o modelo ARA para qualquer m observado. O valor wr para

ARA oscila entre os modelos até m = 4, mas se mantém constante a partir de m = 5

para rotores1, rotores2 e rotoresGeral.

Figura 4.7: Critérios de seleção de modelos ARA e ARI com diferentes ordens de memória para

os dados de rotores1: (a) baseados puramente na log-verossimilhança (l̂); (b) baseados no Peso

da evidência Wr.

Utilizando o método grá�co de seleção de modelos proposto por Toledo et al.(2015),

descrito na seção 2.4 deste trabalho, foram plotados os grá�cos de bondade de ajuste

para os modelos ARAm e ARAm para diferentes ordens de memória. Para ilustrar, as

Figuras 4.10, 4.11 e 4.12 apresentam uma comparação entre os modelos ARA∞ e ARI∞

para rotores1, rotores2 e rotoresGeral, respectivamente. Apesar do MCF estimado sob o

modelo ARI∞ estar seguindo bem o empírica (Figura 4.10 (c) e (d), Figura 4.11 (c) e (d)

e 4.12 (c) e (d)), o MCF estimado sob ARA∞ é ainda mais próximo do empírico (Figura

4.10 (a) e (b), Figura 4.11 (a) e (b) e 4.12 (a) e (b)), se comparado ao ARI. Portanto,

temos mais uma evidência de que o modelo ARA tem melhor ajuste se comparado ao ARI

64


os dados de rotores2: (a) baseados puramente na log-verossimilhança (l̂); (b) baseados no Peso

da evidência Wr.

para os dois casos. Considerando as análises dos dados de rotores para os três critérios

de seleção analisados, a nossa classe de modelos escolhida é o ARA.

De�nida a classe de modelos a ser utilizada, vamos analisar qual a melhor ordem de

memória a ser utilizada para cálculo da periodicidade ótima. Nos grá�cos de peso da

evidência, expostos nas Figuras 4.7 (b), 4.8 (b) e 4.9 (b) , podemos observar que o maior

peso de evidência foi em m = 5 e se manteve constante para m ≥ 5. Nas Tabelas 4.1, 4.2

e 4.3 veri�camos também que os estimadores se mantém os mesmos em m = 5 e m =∞.

Nas Figuras 4.13, 4.14 e 4.15 são exibidos os grá�cos de bondade de ajuste para os modelos

ARA1 e ARA5 dos dados de rotores1, rotores2 e rotoresGeral, respectivamente.

Para os três conjuntos de dados, podemos observar que a MCF estimada sob o modelo

ARA1 não está seguindo bem a empírica ( Figura 4.13 (a) e (b), Figura 4.14 (a) e (b) e

Figura 4.15 (a) e (b)). Já o MCF estimado sob ARA5 está muito próximo do empírico

(Figura 4.13 (c) e (d), Figura 4.14 (c) e (d) e Figura 4.15 (c) e (d)). Além disso, com-

parando a MCF estimada sob o modelo ARA∞ (Figura 4.10 (a) e (b), Figura 4.11 (a) e

(b) e 4.12 (a) e (b) ), temos que o ajuste para o modelo ARA5 é igual ao ajuste para o

modelo ARA∞. Portanto, temos que o melhor modelo para descrever os dados de rotores

é o ARA5. O ARA∞ também pode ser utilizado, mas como o mesmo possui as mesmas

65


os dados de rotoresGeral: (a) baseados puramente na log-verossimilhança (l̂); (b) baseados no

Peso da evidência Wr.

características do ARA5, ele não é indicado por exigir maior tempo de processamento

computacional.

4.4 Periodicidade Ótima de Manutenção Preventiva

Para ARA5, β̂ = 1.90 (intervalo de con�ança de 95% [1,75; 2.05]) para os dados

de rotores1, β̂ = 1.98 (intervalo de con�ança de 95% [1,69; 2.31]) para os dados

de rotores2 e β̂ = 1.87 (intervalo de con�ança de 95% [1.69,2.08]) para os dados de

rotoresGeral,indicando que a função de intensidade de falha do equipamento aumenta com

tempo. Isso signi�ca que os sistemas estão envelhecendo. Portanto, os rotores tendem a

falhar com mais freqüência ao longo do tempo, justi�cando a necessidade de Manutenção

Preventiva.

Para o primeiro conjunto de dados (rotores1), as estimativas pontuais e intervalares para

o parâmetro de efeito de reparo θ̂ são 0.036 e (0.021,0.060) respectivamente, indicando

que os reparos após falhas, tendem a deixar o equipamento em um estado entre AGAN

e ABAO. Para o segundo conjunto de dados (rotores2), o θ̂ = 0.044 com intervalo de

con�ança (0.028,0.066), indica também que os reparos após falhas, tendem a deixar o

66

Figura 4.10: Comparação entre MCF empírica e estimada para ARA∞ (a e b) e ARI∞ (c e d)

para os dados de rotores1.

equipamento em um estado entre AGAN e ABAO. Para o conjunto de dados completo

(rotoresGeral), o θ̂ = 0.034 com intervalo de con�ança (0.028,0.066), indica também que

os reparos após falhas, tendem a deixar o equipamento em um estado entre AGAN e

ABAO. Como estes intervalos de con�ança não abrangem nem o valor 0 ou 1, podemos

concluir que o reparo não é nem um RP (ou seja, ele não leva a uma condição AGAN)

nem uma RM(condição ABAO), respectivamente.

Em termos práticos, o valor θ̂ = 0.034 para um modelo ARA5 dos dados de rotoresGeral,

por exemplo, indica que, de acordo com a Equação 2.9, o valor da função intensidade no

tempo t ( λARAm) é obtido subtraindo a seguinte quantidade do tempo t: (1 − 0.034) ×

67



0.0340 (ou 96.6%) no último tempo de falha, mais (1 − 0.034) × 0.0341 (ou 3.28%) no

segundo do último tempo de falha, mais (1 − 0.034) × 0.0342 (ou 0.11%) no terceiro do

último tempo de falha, e assim por diante. Portanto, quanto maior a história de tempos

de falha até o tempo t menor é o efeito do mesmo na redução do tempo t, o que justi�ca

os valores dos parâmetros serem iguais para m ≥ 5. Qualquer tentativa de estabelecer

uma política de MP para os rotores deve levar esses valores em consideração.

Para o cálculo da periodicidade ótima de manutenção, bem como seu intervalo de con�-

ança, foi utilizado o pacote computacional proposto por Fernandes(2015) que incorpora

os cálculos apresentados na seção 2.3 desse trabalho.

68


para os dados de rotoresGeral.

Conforme explicitado na seção 2.3, para cálculo de periocidade ótima, é necessário conhe-

cer a relação de custo entre manutenção preventiva e manutenção corretiva. Conforme

informado pela equipe de engenharia, a relação desses custos é de 1/1.5 para o caso dos

rotores.

En�m, por meio do roteiro apresentado na seção 2.3 para o cálculo da periodicidade

ótima de manutenção τ e dos valores estimados por máxima verossimilhança a partir

do modelo escolhido, conclui-se que a política ideal de manutenção consiste em realizar

reparos perfeitos durante as paradas para manutenções preventivas em intervalos de τ̂ =4

352.889 horas (IC(τ, α = 0.05) =[3 870.986, 4 906.317] horas) entre os quais poderiam

69

Figura 4.13: Comparação entre MCF empírica e estimada para ARA1 (a e b) e ARA5 (c e d)


ser realizados reparos imperfeitos nas paradas para manutenções corretivas com efeito do

reparo θ̂ = 0.036 (IC(θ, α = 0.05) = [0.021,0.060]). Vale destacar que o valor do intervalo

τ entre os reparos perfeitos foi de�nido com base na razão de custo deCPMCIR

=1

1.5, isto

é, o custo das manutenções corretivas(efeito de reparo imperfeito para os rotores) são

50% maiores que os custos das manutenções preventivas(efeito de reparo perfeito para os

rotores).

Como podemos observar nos dados de rotores (Apêndice A), atualmente as manutenções

preventivas dos rotores são executadas em intervalos de τ = 5 000 horas. Como o intervalo

de con�ança [3 870.986, 4 906.317] termina em 4 906.317, a política ótima não engloba

70



o intervalo executado atualmente. Então, aconselha-se a equipe de Engenharia reduzir o

intervalo das manutenções preventivas dos rotores para τ = 4 352.889 horas.

Vale ressaltar que, caso haja alteração no processo de manutenção preventiva ou manuten-

ção corretiva, os dados devem ser avaliados novamente para averiguar o efeito de reparo

e o custo de cada um deles, visto que a razão dos custos CPM/CIR são utilizados para o

cálculo de periodicidade ótima de manutenção. Portanto, alterações nos custos também

podem alterar a periodicidade ótima de manutenção.

71


para os dados de rotoresGeral.

72

5 Conclusões e Considerações Finais

O presente trabalho apresenta e discute metodologias estatísticas/probabilísticas recentes

da literatura para a modelagem e análise de dados de falhas de sistemas reparáveis. O

foco é em testes formais para a caracterização do efeito de reparo (reparo mínimo versus

reparo não prejudicial) que consiste na primeira etapa para a análise de dados oriundos de

uma situação real. O trabalho fornece uma revisão bibliográ�ca sobre testes paramétricos

(Seção 2.5) e não paramétricos (Seção 2.6) para o alcance dessa �nalidade ao mesmo

tempo em que exempli�ca suas aplicações.

Discorreu-se sobre as classes de modelos de Redução Aritmética da Idade e da Intensidade

(ARA e ARI, respectivamente) propostas por Doyen & Gaudoin (2004) e as funções de

máxima verossimilhança foram derivadas. Após o cálculo dessas funções, foram encontra-

dos, para o conjunto de dados de registros de falhas em rotores de bombas de polpa usados

por um companhia de mineração, os estimadores pontuais e intervalares dos parâmetros

do PLP (que modela a função intensidade de falhas) e o parâmetro de efeito de reparo (θ),

pressupondo a execução de reparo imperfeito na ocorrência de falhas. Porém, há muitos

modelos que podem ser utilizados para a solução do problema da política de manutenção

preventiva. Nesse sentido, foram utilizados critérios de seleção clássicos na literatura ba-

seados na máxima log-verossimilhança e no peso da evidência, além do método grá�co de

bondade de ajuste proposto por Toledo et al.(2015) para determinação do melhor modelo

para descrever os dados.

No cenário dos rotores de bombas de polpa, foram aplicados os testes binomial e multi-

nomial (testes de hipóteses paramétricos para seleção entre modelos de reparo imperfeito,

que testa as hipóteses de Reparo Mínimo versus Reparo Imperfeito), que indicam que os

dados se tratam de reparo imperfeito (p−valor ≤ 0.05 para ambos os testes). Após serem

utilizados os métodos para escolher o modelo mais adequado dentre os modelos de reparo

imperfeito, o ARA5 foi considerado o modelo mais adequado. Valores de parâmetros es-

timados indicam que os rotores tendem a falhar mais freqüentemente ao longo do tempo

(β̂ = 1.87, IC = [1.69,2.08] e que os reparos após as falhas tendem a deixar o equipamento

em um estado entre AGAN e ABAO (θ̂ = 0.034, IC = [0.020,0.066]. Isso signi�ca que os

sistemas estão envelhecendo. Portanto, os rotores tendem a falhar com mais freqüência

ao longo do tempo, justi�cando a necessidade de Manutenção Preventiva.

73

Por meio do roteiro apresentado na seção 2.3, conclui-se que a política ideal de manutenção

consiste em realizar reparos perfeitos durante as paradas para manutenções preventivas

em intervalos de τ̂ = 4 352.889 horas (IC(τ, α = 0.05) =[3 870.986, 4 906.317] horas)

entre os quais poderiam ser realizados reparos imperfeitos nas paradas para manutenções

corretivas com efeito do reparo θ̂ = 0.034 (IC(θ, α = 0.05) = [0.020,0.066]). O valor

do intervalo τ entre os reparos perfeitos foi de�nido com base na informação de que

custo dos reparos imperfeitos nos rotores são 50% maiores que os custos das manutenções

preventivas.

Apesar das bombas de polpa estudados neste artigo terem sido projetados para operar em

condições severas do processo de bene�ciamento de minerais, existem algumas especi�da-

des da operação de bene�ciamento de minério de ferro da unidade onde foram coletados

os dados (impurezas do material, por exemplo), que o tornam ainda mais severos. As-

sim sendo, a política de manutenção sugerida pelo fabricante das bombas não é útil. É

necessário que a empresa de mineração de�na uma política de MP baseada sob as reais

condições de trabalho. As estimativas derivadas neste artigo, como a velocidade de enve-

lhecimento e o efeito do reparo , foram obtidos considerando uma história de tempos de

falha para os sistemas nas condições de operação na usina. Atualmente, a empresa realiza

manutenções preventivas a cada τ̂ = 5 000 horas. Calculando a periodicidade ótima de

acordo com os parâmetros que representam o comportamento real desse processo de falha,

averiguamos que as manutenções preventivas devem ser realizadas a cada τ̂ = 4 352.889

horas. Portanto, todas as análises realizadas neste trabalho fornecem informações impor-

tantes para o processo de tomada de decisão relacionado às políticas de MP na empresa

de mineração.

Entre as possibilidades futuras de continuação deste trabalho, temos a análise de dados

onde o reparo da manutenção preventiva também seja imperfeito, exploração dos testes de

hipóteses para modelos de reparo imperfeito, mais espe�cicamente, ampliação dos testes

de bondade de ajuste paramétricos (Seção 2.5) para mais de um sistema e o estudo de

testes paramétricos que apresentem maior poder.

74

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78

A Conjunto de dados dos motores das bombas de

polpa: Tempos de censura devido a realização de

manutenção preventiva estão indicados por *

79

Continuação da tabela de dados:

80

B Estimação de parâmetros: a função de verossimi-

lhança no modelo ARAm + PLP

Uma funcão de verossimilhanca apropriada apropriada para modelar o processo ARAm

+ PLP é dada por

L(µ) =

k1∏i=1


,ni)×k2∏j=1

fTj,1,...,Tj,n∗j(tj,1, . . . ,tj,n∗j )

=

k1∏i=1


k2∏j=1

fTj(tj,1, . . . ,tj,n∗j )

se k ≥ 1, k = k1 + k2. (1)

a. Encontrando o primeiro produtório da Equação 1:

k1∏i=1

fTi|N(t∗i )(ti,1, . . . ,ti,ni|ni)P (N(t∗i ] = ni) =

=k∏i=1

limh→0

P (ti,1 − h < Ti,1 ≤ ti,1, . . . ,ti,ni− h < Ti,ni

≤ ti,ni|N(t∗i ) = ni)

hniP (N(t∗i ] = ni)

=

k1∏i=1

limh→0


≤ ti,ni,N(t∗i ) = ni)

P (N(t∗i ) = ni)hniP (N(t∗i ] = ni)

=

k1∏i=1

limh→0

P (N(0,ti,1 − h] = 0)P (N(ti,1 − h,ti,1] = 1)P (N(ti,1,ti,2 − h] = 0)×

×P (N(ti,2 − h,ti,2] = 1) . . .× P (N(ti,ni− h,ti,ni

] = 1)P (N(ti,ni,t∗i ] = 0)/hni

=

k1∏i=1

limh→0

{ni∏l=1

P (N(ti,l−1,ti,l − h] = 0)P (N(ti,l − h,ti,l] = 1)

}×

×P (N(ti,ni,t∗i ] = 0)/hni

Tem-se que:

81

E[N(ti,l−1,ti,l − h]] =

ti,l−h∫ti,l−1

λR

u− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

du

= ΛR

ti,l − h− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

− ΛR

ti,l−1 − (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

e

E[N(ti,l − h,ti,l]] =

ti,l∫ti,l−h

λR

u− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

du

= ΛR

ti,l − (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

− ΛR

ti,l − h− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

Portanto,

P (N(ti,l−1,ti,l − h] = 0) =

= e−ΛR(ti,l−h−(1−θ)∑min(M−1,l−2)

p=0 θpti,l−1−p)+ΛR(ti,l−1−(1−θ)∑min(M−1,l−2)

p=0 θpti,l−1−p)

e

P (N(ti,l − h,ti,l] = 1) =

= e−ΛR(ti,l−(1−θ)∑min(M−1,l−2)

p=0 θpti,l−1−p)+ΛR(ti,l−h−(1−θ)∑min(M−1,l−2)

p=0 θpti,l−1−p) ×

×

ΛR

ti,l − (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

− ΛR

ti,l − h− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

Substituindo as duas últimas equaçõess no produtório acima, temos:

82

k1∏i=1


=

k1∏i=1

limh→0{ni∏l=1

[e−ΛR(ti,l−h−(1−θ)∑min(M−1,l−2)



×e−ΛR(ti,l−(1−θ)∑min(M−1,l−2)

p=0 θpti,l−1−p)+ΛR(ti,l−h−(1−θ)∑min(M−1,l−2)


×

ΛR

ti,l − (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

− ΛR

ti,l − h− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

××e−ΛR(t∗i−(1−θ)

∑min(M−1,ni−1)p=0 θpti,ni−p)+ΛR(ti,ni

−(1−θ)∑min(M−1,ni−1)

p=0 θpti,ni−p)/hni}

=

k1∏i=1

ni∏l=1

{λR(ti,l − (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p)×

×e−ΛR(ti,l−(1−θ)∑min(M−1,l−2)


p=0 θpti,l−1−p)} ×

×e−ΛR(t∗i−(1−θ)∑min(M−1,ni−1)

p=0 θpti,ni−p)+ΛR(ti,ni−(1−θ)

∑min(M−1,ni−1)p=0 θpti,ni−p)

b. Encontrando o segundo termo da Equação 1:

Nos sistemas truncados por falha, a contribuição para a verossimilhança é a fdp

conjunta dos tempos globais Yj,1,Yj,2, . . . ,Yj,n∗j .

k2∏j=1

fTj(tj,1, . . . ,tj,n∗j ) =

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

f(tj,m|tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−1) =

k2∏j=1

n∗j∏m=1

d

dtj,mF (tj,m|tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−1)

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

d

dtj,m(1−R(tj,m|tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−1)) =

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,mR(tj,m|tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−1)

0 < tj,1 < tj,2 < . . . < tj,n.

Devido à propriedade de incrementos independentes, a função de con�abilidade

condicional de Tj,m dado Tj,1 = tj,1, Tj,2 = tj,2, . . . ,Tj,m−1 = tj,m−1 é independente

de tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−2. Assim, a Equacao anterior �ca como:

83

k2∏j=1

fTj(tj,1, . . . ,tj,n∗j ) =

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,mR(tj,m|tj,m−1) =

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,mP (Tj,m > tj,m|tj,m−1)

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,mP (N(tj,m−1,tj,m] = 0)

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,me−ΛR(tj,m−(1−θ)

∑min(M−1,m−2)p=0 θptj,m−1−p)+ΛR(tj,m−1−(1−θ)

∑min(M−1,m−2)p=0 θptj,m−1−p)

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

λR(tj,m − (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θptj,m−1−p)×

×e−ΛR(tj,m−(1−θ)∑min(M−1,m−2)

p=0 θptj,m−1−p)+ΛR(tj,m−1−(1−θ)∑min(M−1,m−2)

p=0 θptj,m−1−p)

pois

E[N(tj,m−1,tj,m]] =

tj,m∫tj,m−1

λR(u− (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θptj,m−1−p)du

= ΛR(tj,m − (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θptj,m−1−p)− ΛR(tj,m−1 − (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θptj,m−1−p)

A função de verossimilhança em 1 é então dada por:

84

L(µ) =

k1∏i=1


k2∏j=1

fTj(tj,1, . . . ,tj,n∗j )

=

k1∏i=1

ni∏l=1

{λR(ti,l − (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p)×

× e−ΛR(ti,l−(1−θ)∑min(M−1,l−2)


p=0 θpti,l−1−p)} ×

× e−ΛR(t∗i−(1−θ)∑min(M−1,ni−1)

p=0 θpti,ni−p)+ΛR(ti,ni−(1−θ)

∑min(M−1,ni−1)p=0 θpti,ni−p) ×

×k2∏j=1

n∗j∏m=1

λR(tj,m − (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θptj,m−1−p)×

× e−ΛR(tj,m−(1−θ)∑min(M−1,m−2)

p=0 θptj,m−1−p)+ΛR(tj,m−1−(1−θ)∑min(M−1,m−2)

p=0 θptj,m−1−p)

Assim, no PLP, a funcão de verossimilhanca do modelo ARAm é dada por:

85

L(µ) =

k1∏i=1

{ni∏l=1

[β

η

(ti,l − (1− θ)

∑min(M−1,l−2)p=0 θpti,l−1−p

η

)β−1

×

× exp

−(ti,l − (1− θ)


η

)β

+

(ti,l−1 − (1− θ)


η

)β]×

× exp

−(t∗i − (1− θ)

∑min(M−1,ni−1)p=0 θpti,ni−p

η

)β

+

(ti,ni− (1− θ)


η

)β} ×

×k2∏i=1

{n∗j∏m=1

[β

η

(tj,m − (1− θ)

∑min(M−1,m−2)p=0 θpti,m−1−p

η

)β−1

×

× exp

−(tj,m − (1− θ)

∑min(M−1,m−2)p=0 θptj,m−1−p

η

)β

+

(tj,m−1 − (1− θ)


η

)β]}

= β∑k1

i=1 ni+∑k2

j=1 n∗j η−β(

∑k1i=1 ni+

∑k2j=1 n

∗j )

k1∏i=1

ni∏l=1

ti,l − (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p

β−1×

×

k2∏j=1

n∗j∏m=1

tj,m − (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θptj,m−1−p

β−1×

× exp

k1∑i=1

ni∑l=1

−(ti,l − (1− θ)∑min(M−1,l−2)

p=0 θpti,l−1−p

η

)β

+

(ti,l−1 − (1− θ)


η

)β×

× exp

k1∑i=1

−(t∗i − (1− θ)∑min(M−1,ni−1)

p=0 θpti,ni−p

η

)β

+

(ti,ni− (1− θ)


η

)β×

× exp

k2∑j=1

n∗j∑m=1

−(tj,m − (1− θ)∑min(M−1,m−2)

p=0 θptj,m−1−p

η

)β

+

(tj,m−1 − (1− θ)


η

)β

Para encontrar estimativas de máxima verossimilhanca para os parâmetros, β̂, η̂ e θ̂, a

seguinte funcão de log-verossimilhança deve ser maximizada numericamente:

86

l(µ) = logL(µ)

=

(k1∑i=1

ni +

k2∑j=1

n∗j

)log(β)− β

(k1∑i=1

ni +

k2∑j=1

n∗j

)log(η) +

+ (β − 1)

k1∑i=1

ni∑l=1

log(ti,l − (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpti,l−1−p) +

k2∑j=1

n∗j∑m=1

log(tj,m − (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θptj,m−1−p)

+

+

k1∑i=1

ni∑l=1

−(ti,l − (1− θ)∑min(M−1,l−2)

p=0 θpti,l−1−p

η

)β

+

(ti,l−1 − (1− θ)


η

)β+

+

k1∑i=1

−(t∗i − (1− θ)∑min(M−1,ni−1)

p=0 θpti,ni−p

η

)β

+

(ti,ni− (1− θ)


η

)β+

+

k2∑j=1

n∗j∑m=1

−(tj,m − (1− θ)∑min(M−1,m−2)

p=0 θptj,m−1−p

η

)β

+

(tj,m−1 − (1− θ)


η

)β

Pode-se assumir que µ̂=arg max L(µ) segue aproximadamente uma distribui?ão normal

multivariada, com média µ e matriz de covariância Σ dada por menos a inversa da matriz

Hessiana de l(µ) avaliada em µ̂. A matriz Hessiana é dada portanto

H = −(∂2l(µ)

∂µ∂µt

).

Assim, teoria assintótica pode ser usada para se construir intervalos de con�anca para os

parâmetros.

87

C Estimação de parâmetros: a função de verossimi-

lhança no modelo ARIm + PLP

Uma funcão de verossimilhanca apropriada para modelar o processo ARIm+PLP é dada

por

L(µ) =

k1∏i=1


,ni)×k2∏j=1

fTj,1,...,Tj,n∗j(tj,1, . . . ,tj,n∗j )

=

k1∏i=1


k2∏j=1

fTj(tj,1, . . . ,tj,n∗j )

se k ≥ 1, k = k1 + k2.

a. Encontrando o primeiro produtório da Equação 2:

k1∏i=1


=k∏i=1

limh→0


≤ ti,ni|N(t∗i ) = ni)

hniP (N(t∗i ] = ni)

=

k1∏i=1

limh→0


≤ ti,ni,N(t∗i ) = ni)

P (N(t∗i ) = ni)hniP (N(t∗i ] = ni)

=

k1∏i=1

limh→0

P (N(0,ti,1 − h] = 0)P (N(ti,1 − h,ti,1] = 1)P (N(ti,1,ti,2 − h] = 0)×

×P (N(ti,2 − h,ti,2] = 1) . . .× P (N(ti,ni− h,ti,ni

] = 1)P (N(ti,ni,t∗i ] = 0)/hni

=

k1∏i=1

limh→0

{ni∏l=1

P (N(ti,l−1,ti,l − h] = 0)P (N(ti,l − h,ti,l] = 1)

}×

×P (N(ti,ni,t∗i ] = 0)/hni

Tem-se que:

88

E[N(ti,l−1,ti,l − h]] =

ti,l−h∫ti,l−1

λR(u)− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpλR(ti,l−1−p)du

= ΛR(ti,l − h)− ΛR(ti,l−1)− (1− θ)[ti,l − h− ti,l−1]

min(M−1,l−2)∑p=0

θpλR(ti,l−1−p)

e

E[N(ti,l − h,ti,l]] =

ti,l∫ti,l−h

λR(u)− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpλR(ti,l−1−p)du

= ΛR(ti,l)− ΛR(ti,l − h)− (1− θ)[ti,l − ti,l − h]

min(M−1,l−2)∑p=0


Portanto,

P (N(ti,l−1,ti,l − h] = 0) =

= e−ΛR(ti,l−h)+ΛR(ti,l−1)+(1−θ)[ti,l−h−ti,l−1]∑min(M−1,l−2)

p=0 θpλR(ti,l−1−p)

e

P (N(ti,l − h,ti,l] = 1) =

= e−ΛR(ti,l)+ΛR(ti,l−h)+(1−θ)[ti,l−ti,l−h]∑min(M−1,l−2)

p=0 θpλR(ti,l−1−p) ×

×

ΛR(ti,l)− ΛR(ti,l − h)− (1− θ)[ti,l − ti,l − h]

min(M−1,l−2)∑p=0


Substituindo as duas últimas equações no produtório acima, temos:

89

k1∏i=1


=

k1∏i=1

limh→0{ni∏l=1

e−ΛR(ti,l−h)+ΛR(ti,l−1)+(1−θ)[ti,l−h−ti,l−1]∑min(M−1,l−2)


×e−ΛR(ti,l)+ΛR(ti,l−h)+(1−θ)[ti,l−ti,l−h]∑min(M−1,l−2)


×

ΛR(ti,l)− ΛR(ti,l − h)− (1− θ)[ti,l − ti,l − h]

min(M−1,l−2)∑p=0


} ××e−ΛR(t∗i )+ΛR(ti,ni

)+(1−θ)[t∗i−ti,ni]∑min(M−1,ni−1)

p=0 θpλR(ti,ni−p)/hni

=

k1∏i=1

ni∏l=1

{[λR(ti,l)− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpλR(ti,l−1−p)]×

×e−ΛR(ti,l)+ΛR(ti,l−1)+(1−θ)[ti,l−ti,l−1]∑min(M−1,l−2)

p=0 θpλR(ti,l−1−p)} ×

×e−ΛR(t∗i )+ΛR(ti,ni)+(1−θ)[t∗i−ti,ni

]∑min(M−1,ni−1)

p=0 θpλR(ti,ni−p)

b. Encontrando o segundo termo da Equação 2:

Nos sistemas truncados por falha, a contribuição para a verossimilhança é a fdp

conjunta dos tempos globais Yj,1,Yj,2, . . . ,Yj,n∗j .

k2∏j=1

fTj(tj,1, . . . ,tj,n∗j ) =

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

f(tj,m|tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−1) =

k2∏j=1

n∗j∏m=1

d

dtj,mF (tj,m|tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−1)

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

d

dtj,m(1−R(tj,m|tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−1)) =

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,mR(tj,m|tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−1)

0 < tj,1 < tj,2 < . . . < tj,n.

Devido à propriedade de incrementos independentes, a função de con�abilidade

condicional de Tj,m dado Tj,1 = tj,1, Tj,2 = tj,2, . . . ,Tj,m−1 = tj,m−1 é independente

de tj,1,tj,2, . . . ,tj,m−2. Assim, a Equação anterior �ca como:

90

k2∏j=1

fTj(tj,1, . . . ,tj,n∗j ) =

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,mR(tj,m|tj,m−1) =

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,mP (Tj,m > tj,m|tj,m−1)

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,mP (N(tj,m−1,tj,m] = 0)

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

− d

dtj,me−ΛR(tj,m)+ΛR(tj,m−1)+(1−θ)[tj,m−tj,m−1]

∑min(M−1,m−2)p=0 θpλR(tj,m−1−p)

=

k2∏j=1

n∗j∏m=1

[λR(tj,m)− (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θpλR(tj,m−1−p)]×

×e−ΛR(tj,m)+ΛR(tj,m−1)+(1−θ)[tj,m−tj,m−1]∑min(M−1,m−2)

p=0 θpλR(tj,m−1−p)

0 < tj,1 < tj,2 < . . . < tj,n∗j−1 < tj,n∗j .

pois

E[N(tj,m−1,tj,m]] =

tj,m∫tj,m−1

λR(u)− (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θpλR(tj,m−1−p)du

= ΛR(tj,m)− ΛR(tj,m−1)− (1− θ)[tj,m − tj,m−1]

min(M−1,m−2)∑p=0

θpλR(tj,m−1−p)

A função de verossimilhança em 2 é então dada por:

91

L(µ) =

k1∏i=1


k2∏j=1

fTj(tj,1, . . . ,tj,n∗j )

=

k1∏i=1

ni∏l=1

{[λR(ti,l)− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpλR(ti,l−1−p)]×

× e−ΛR(ti,l)+ΛR(ti,l−1)+(1−θ)[ti,l−ti,l−1]∑min(M−1,l−2)

p=0 θpλR(ti,l−1−p)} ×

× e−ΛR(t∗i )+ΛR(ti,ni)+(1−θ)[t∗i−ti,ni

]∑min(M−1,ni−1)

p=0 θpλR(ti,ni−p) ×

×k2∏j=1

n∗j∏m=1

[λR(tj,m)− (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θpλR(tj,m−1−p)]×

× e−ΛR(tj,m)+ΛR(tj,m−1)+(1−θ)[tj,m−tj,m−1]∑min(M−1,m−2)

p=0 θpλR(tj,m−1−p)

Assim, no PLP, a funcão de verossimilhanca do modelo ARIm é dada por:

92

L(µ) =

k1∏i=1

ni∏l=1

{

βη

(ti,lη

)β−1

− (1− θ)min(M−1,l−2)∑

p=0

θpβ

η

(ti,l−1−p

η

)β−1×

× exp

−(ti,lη

)β+

(ti,l−1

η

)β+ (1− θ)[ti,l − ti,l−1]

min(M−1,l−2)∑p=0

θpβ

η

(ti,l−1−p

η

)β−1

} ×× exp

−(t∗iη

)β+

(ti,ni

η

)β+ (1− θ)[t∗i − ti,ni

]

min(M−1,ni−1)∑p=0

θpβ

η

(ti,ni−p

η

)β−1

××

k2∏j=1

n∗j∏m=1

βη

(tj,mη

)β−1

− (1− θ)min(M−1,m−2)∑

p=0

θpβ

η

(ti,m−1−p

η

)β−1×

× exp

−(tj,mη

)β+

(tj,m−1

η

)β+ (1− θ)[tj,m − tj,m−1]

min(M−1,m−2)∑p=0

θpβ

η

(ti,m−1−p

η

)β−1

= β

∑k1i=1 ni+

∑k2j=1 n

∗j η−β(

∑k1i=1 ni+

∑k2j=1 n

∗j ) ×

×

k1∏i=1

ni∏l=1

tβ−1i,l − (1− θ)

min(M−1,l−2)∑p=0


××

k2∏j=1

n∗j∏m=1

tβ−1j,m − (1− θ)

min(M−1,m−2)∑p=0

θptβ−1j,m−1−p

×× exp{η−β[

k1∑i=1

ni∑l=1

−tβi,l + tβi,l−1 + (1− θ)β[ti,l − ti,l−1]

min(M−1,l−2)∑p=0


+

+

k2∑j=1

n∗j∑m=1

−tβj,m + tβj,m−1 + (1− θ)β[tj,m − tj,m−1]

min(M−1,m−2)∑p=0


+

+

k1∑i=1

−t∗i β + tβi,ni+ (1− θ)β[t∗i − ti,ni

]


θptβ−1i,ni−p

]} (2)

Para encontrar estimativas de máxima verossimilhanca para os parâmetros, β̂, η̂ e θ̂, a

seguinte funcão de log-verossimilhança deve ser maximizada numericamente:

93

l(µ) = logL(µ)

=

(k1∑i=1

ni +

k2∑j=1

n∗j

)log(β)− β

(k1∑i=1

ni +

k2∑j=1

n∗j

)log(η) +

+

k1∑i=1

ni∑l=1

log

tβ−1i,l − (1− θ)

min(M−1,l−2)∑p=0


+

+

k2∑j=1

n∗j∑m=1

log

tβ−1j,m − (1− θ)

min(M−1,m−2)∑p=0


+

+ η−β

k1∑i=1

ni∑l=1

−tβi,l + tβi,l−1 + (1− θ)β[ti,l − ti,l−1]

min(M−1,l−2)∑p=0


+

+ η−β

k2∑j=1

n∗j∑m=1

−tβj,m + tβj,m−1 + (1− θ)β[tj,m − tj,m−1]

min(M−1,m−2)∑p=0


+

+ η−β

k1∑i=1

−t∗i β + tβi,ni+ (1− θ)β[t∗i − ti,ni

]


θptβ−1i,ni−p

Pode-se assumir que µ̂=arg max L(µ) segue aproximadamente uma distribui?ão normal

multivariada, com média µ e matriz de covariância Σ dada por menos a inversa da matriz

Hessiana de l(µ) avaliada em µ̂. A matriz Hessiana é dada portanto

H = −(∂2l(µ)

∂µ∂µt

).

Assim, teoria assintótica pode ser usada para se construir intervalos de con�ança para os

parâmetros.

94

D Algoritmo proposto por Toledo et al.(2015) e Fer-

nandes (2015) para a geração de K = k1+k2 sistemas

sob suposição do ARAm + PLP

Utilize os valores estimados β̂, η̂ e θ̂ para gerar pseudodados dos tempos de falha para os

K sistemas (os autores usaram um valor de K muito grande, 10000) por meio da execução

do seguinte procedimento:

a. Suponha que a q-ésima falha no sistema tenha ocorrido no tempo tq.

b. Seja x = tq+1 − tq o tempo entre as falhas q e q + 1 (duas falhas consecutivas).

c. Seja m a ordem de memória do modelo ARAm. Dessa forma:

FX|tq−m,...,tq(x) = P (X ≤ x|tq−m,...,tq)

= 1− P (X > x|tq−m,...,tq)

= 1− P [N(x+ tq)−N(tq) = 0|tq−m,...tq]

= 1− exp

−ΛR

x+ tq − (1− θ)min(m−1,q−1)∑

p=0

θptq−p

× exp

ΛR

tq − (1− θ)min(m−1,q−1)∑

p=0

θptq−p

A primeira linha do raciocínio acima descrito corresponde à probabilidade de haver

um intervalo de tempo X entre duas falhas consecutivas, dado o histórico de falhas

considerado no modelo. A probabilidade de que esse intervalo X seja menor ou

igual a um valor especí�co x é complementar à probabilidade de que o X > x, ou

ainda, igual à probabilidade de que entre os intervalos de tempo tq e tq + x (tempo

da próxima falha) pode haver falhas, dado o histórico de falhas observadas.

d. Em seguida, o tempo de falha tq+1 é obtido a partir dos passos (a), (b) e (c):

(a) gere um valor u de uma variável aleatória com distribuição Contínua Uniforme

(0,1);

95

(b) resolva a equação FX|tq−m,...,tq(x) = u, encontrando o valor de x;

(c) calcule tq+1 = tq + x usando a expressão abaixo:

tq+1 = η

tq − (1− θ)∑min(m−1,q−1)

p=0 θptq−p

η

β− log(1− u)

1

β

+ (1− θ)min(m−1,q−1)∑

p=0

θptq−p

Particularmente, se o PLP for usado, tendo encontradas anteriormente as

estimativas de máxima verossimilhança β̂, η̂ e θ̂, usaremos

Λ̂R(t) =

(t

η̂

)β̂e

Λ̂−1R (t) = η̂t1/β̂

e. Finalmente, gere um histórico de falhas para um sistema truncado no tempo t,

utilizando recursivamente os passos (a) a (c). Os tempos de falha t1, t2,..., tq são

gerados até tq+1 > T .

96

E Algoritmo proposto por Fernandes (2015) para a

geração de K = k1 + k2 sistemas sob suposição do

ARIm + PLP

Utilize os valores estimados β̂, η̂ e θ̂ para gerar pseudodados dos tempos de falha para os

K sistemas (pode-se usar um valor de K muito grande, como 10000, por exemplo) por

meio da execução do seguinte procedimento:

a. Suponha que a q-ésima falha no sistema tenha ocorrido no tempo tq.

b. Seja x = tq+1 − tq o tempo entre as falhas q e q + 1 (duas falhas consecutivas).

c. Seja m a ordem de memória do modelo ARIm. Dessa forma:

FX|tq−m,...,tq(x) = P (X ≤ x|tq−m,...,tq)

= 1− P (X > x|tq−m,...,tq)

= 1− P [N(x+ tq)−N(tq) = 0|tq−m,...tq]

= 1− exp

−ΛR (tq + x) + ΛR (tq) + x(1− θ)min(m−1,q−1)∑

p=0

θpλR (tq−p)

= log(1− u)

Novamente, é valido destacar que a primeira linha do raciocínio acima se refere à

probabilidade de haver um intervalo de tempo X entre duas falhas consecutivas,

dado o histórico de falhas considerado no modelo. Sabemos que a probabilidade de

que esse intervalo X seja menor ou igual a um valor especí�co x é complementar

à probabilidade de que o X > x, (também igual à probabilidade de que entre

os intervalos de tempo tq e tq + x pode haver falhas, dado o histórico de falhas

observadas).

d. Em seguida, o tempo de falha tq+1 é obtido a partir dos passos (a), (b) e (c):

(a) gere um valor u de uma variável aleatória com distribuição Contínua Uniforme

(0,1);

97

(b) resolva a equação FX|tq−m,...,tq(x) = u, encontrando o valor de x;

(c) calcule tq+1 = tq + x usando a equação abaixo:

(tq + x)β − tβq − xβ(1− θ)min(m−1,q−1)∑

p=0

θp (tq−p)β + ηβlog(1− u) = 0

Particularmente, se o PLP for usado, tendo encontradas anteriormente as

estimativas de máxima verossimilhança β̂, η̂ e θ̂, usaremos

Λ̂R(t) =

(t

η̂

)β̂e

Λ̂−1R (t) = η̂t1/β̂

e. Finalmente, gere um histórico de falhas para um sistema truncado no tempo t,

utilizando recursivamente os passos (a) a (c). Os tempos de falha t1, t2,..., tq são

gerados até tq+1 > T .

98

F Algoritmo proposto por Toledo et al. (2015) para a

determinação da função média φ̂C−NPMLE(t)

Suponha que um sistema seja observado e que N(t) =∑n

j=1 I(t ≥ tj) seja o número de

falhas observadas nesse sistema até o tempo t (com tempos de falhas 0 < t1 < ... < tn <

T ). Para um sistema truncado no tempo, o risco será Y (t) = I(0 ≤ t ≤ T ).

A partir dessas considerações, o algoritmo seguinte será útil para calcular a função média

φ̂C−NPMLE(t):

a. Faça i0 = 0;

b. repita até iE+1 = m + 1. Faça ih+1 como o índice que minimiza a inclinação entre

(iih ,ih − 1) e (ti,i− 1) com i = (ih + 1),..., (n+ 1);

c. a constante de NPMLE é então dada por

φ̂C−NPMLE(t) =ij+1 − ijtij+1− tj

com tij < t ≤ tij+1.

99

G Cálculo das estatísticas de função de distribuição

empírica

Antes do cálculo das estatísticas função de distribuição empírica alguns conceitos que

serão utilizados.

G.1 Preliminares

Inicialmente, faremos as seguintes considerações:

• Seja X1,X2, . . . ,Xn uma amostra aleatória que tem função de distribuição F .

• X(1),X(2), . . . ,X(n) são as estatísticas de ordem da amostra X1,X2, . . . ,Xn.

• A função de distribuição empírica pode ser escrita em termos das estatísticas de

ordem de modo que, se x ∈ [X(i),X(i+1)] então, Fn,S (x) =i

n, onde S(s|Ti; θ) :=

P (Ti+1−Ti > s|Ti; θ) = exp(−ΦTi+s(θ)+ΦTi(θ)), paras ≥ 0, conforme equação 2.26.

• Do fato de F ser não decrescente segue que,I(Xi ≤ x) = 0 ⇐⇒ Xi ≥ x ⇐⇒F (Xi) ≥ F (x) ⇐⇒ I(F (Xi) ≤ F (x)) = 0. Analogamente provamos que I(Xi ≤x) = 1⇐⇒ I(F (Xi) ≤ F (x)) = 1. Portanto,

I(Xi ≤ x) = I(F (Xi) ≤ F (x))

• Seja X uma variável aleatória com função de distribuição F . A transformação de

X tal que Y = F (X) é denominada transformação integral de probabilidade.

• Teorema G.1(Teorema da transformação de probabilidade) Seja X uma

variável aleatória contínua com função de distribuição F . Então, U = F (X) terá

distribuição Uniforme Contínua em [0, 1]. Vale a recíproca, sendo U ∼ Uc[0, 1],

então X = F−1(U) terá função de distribuição F .

• Da de�nição de função de distribuição empírica e de G.1 segue que,

100

Fn,S(x) =1

n

n∑i=1

I(Xi ≤ x) =1

n

n∑i=1

I(F (Xi) ≤ F (x))

Do teorema da transformação de probabilidade e da equação anterior temos,

Fn,S(x) =1

n

n∑i=1

I(Ui ≤ F (x))

em que os Ui's são variáveis aleatórias uniformes contínuas no intervalo (0, 1) e

0 ≤ F (x) ≤ 1. Então, Fn,S(x) = Un(F (x)) em que Un(x) é a função de distribuição

empírica de uma amostra de variáveis aleatórias U(0,1).

• Rede�nindo F (x) = t temos que Fn,S(x) = Un(x). Assim no lugar de trabalhar com

a versão original podemos trabalhar com a versão modi�cada usando transformação

integral de probabilidade. Assim tomamos, F (Xi; θ̂) = Ui, F (x; θ̂) = t e Fn,S(x; θ̂) =

Un(t).

G.2 Cálculo da estatística de Cramér-von Mises

A estatística de Cramér-von Mises foi dada em 2.28 por:

CvM = n

∞∫−∞

/Fn,S(x)− x)/2dx

Como x é a distribuição referência especi�cada na hipótese nula podemos usar a versão

modi�cada proposta acima e assim,

CvM = n

1∫0

(Un(t)− t)2dt

onde, t = F (x; θ̂), 0 ≤ t ≤ 1 e Un(t) é a função de distribuição empírica de uma amostra

de variáveis aleatórias U [0,1].

101

Escrevendo em função das estatísticas de ordem e usando a função de distribuição empírica

em sua forma escada temos,

CvM =n∑i=0

ui+1∫ui

(i

n− t)2

dt (G.1)

em que ui = U(i). Ou seja, u0 ≤ u1 ≤ · · · ≤ un+1 = 1 são estatísticas de ordem de uma

variável aleatória U [0,1].

Note que,

ui+1∫ui

(i

n− t)2

dt =

ui+1∫ui

(i2

n2− 2it

n+ t2

)dt

=i2

n2(ui+1 − ui)−

i

n(u2

i+1 − u2i ) +

1

3(u3

i+1 − u3i )

Logo, substituindo o resultado anterior em G.1,

CvM = nn∑i=0

[i2

n2(ui+1 − ui)−

i

n(u2

i+1 − u2i ) +

1

3(u3

i+1 − u3i )

]=

1

n

n∑i=0

i2(ui+1 − ui)−n∑i=0

i(u2i+1 − u2

i ) +n

3

n∑i=0

i(u3i+1 − u3

i )

(G.2)

102

a. Encontrando o primeiro somatório da Equação G.2, temos:

1

n

n∑i=0

i2(ui+1 − ui) =1

n{0(u1 − u0) + 1(u2 − u1) + 22(u3 − u2) + · · ·+ (n− 1)2(un − un−1) +

+ n2(un+1 − un)}

=1

n{−0u0 + (0− 1)u1 + (1− 22)u2 + (22 − 32)u3 + · · ·+ ((n− 1)2 − n2)un +

+ n2un+1}

=1

n

[n∑i=1

((i− 1)2 − i2)ui + n2un+1

]

=1

n

[n∑i=1

(i2 − 2i+ 1− i2)ui + n2

]

=1

n

[n∑i=1

(−2i+ 1)ui + n2

]

= − 1

n

[n∑i=1

(2i− 1)ui

]+ n

(G.3)

c. Encontrando o segundo somatório da Equação G.2, temos:

n∑i=0

i(u2i+1 − u2

i ) = 0(u21 − u2

0) + 1(u22 − u2

1) + 2(u23 − u2

2) + 3(u24 − u2

3) + · · ·+

+ (n− 1)(u2n − u2

n−1) + n(u2n+1 − u2

n)

= −u21 + (1− 2)u2

2 + (2− 3)u23 + (3− 4)u2

4 + · · ·+ (n− 1− n)u2n + nu2

n+1

= −n∑i=1

u2i + n

(G.4)

103

e. Encontrando o terceiro somatório da Equação da Equação G.2, temos:

n

3

n∑i=0

i(u3i+1 − u3

i ) =n

3(u3

1 − u30 + u3

2 − u31 + u3

3 − u32 + u3

4 − u33 + · · ·+ u3

n − u3n−1 + u3

n+1 − u3n)

=n

3(−u3

0 + u3n+1)

=n

3(−0 + 1)

=n

3

(G.5)

Portanto, substituindo G.3, G.4 e G.5 em G.2, segue que:

CvM = − 1

n

[n∑i=1

(2i− 1)ui

]+ n−

(−

n∑i=1

u2i + n

)+n

3

= − 1

n

[n∑i=1

(2i− 1)ui

]+ n+

n∑i=1

u2i − n+

n

3

= − 1

n

[n∑i=1

(2i− 1)ui

]+

n∑i=1

u2i +

n

3

=n∑i=1

{−2i− 1

nui + u2

i +n

3

(G.6)

Note da equação anterior que:

−(2i− 1)

nui + u2

i = u2i − 2

(i− 1/2)

nui

Completando quadrados:

u2i − 2

(i− 1/2)

nui =

(u2i − 2

(i− 1/2)

nui +

(i− 1/2)2

n2

)− (i− 1/2)2

n2

=

(i− 1/2

nui

)2

− (i− 1/2)2

n2

104

(G.7)

Substituindo G.7 em G.6

CvM =n∑i=1

[(i− 1/2

nui

)2

− (i− 1/2)2

n2

]+n

3

=n∑i=1

(i− 1/2

nui

)2

−n∑i=1

((i− 1/2)2

n

)2

+n

3

(G.8)

Tomando os dois últimos termos da equação anterior, temos que:

−n∑i=1

((i− 1/2)2

n

)2

+n

3=

n

3− 1

n2

n∑i=1

i2 +1

n2

n∑i=1

i− 1

n2

n∑i=1

1

4

=n

3− (n+ 1)(2n+ 1)

6n+n+ 1

2n− 1

4n

=4n2 − 2(n+ 1)(2n+ 1)2 + 6(n+ 1)− 3

12n

=1

12n

(G.9)

Portanto, usando a Equação G.9, pode-se reescrever a Equação G.8 como:

CvM =n∑i=1

(i− 1/2

nui

)2

+1

12n

Como F (Xi; θ̂) = Ui, F (x; θ̂) = t e Fn,S(x; θ̂) = Un(t), temos que a equação anterior pode

ser reescrita como:

105

CvMu(θ̂) =n∑i=1

(U(i−1)(θ̂)−2i− 1

2n)2 +

1

12n

G.3 Cálculo da estatística Anderson-Darling

A estatística de Anderson-Darling foi de�nida em 2.29 por,

ADu(θ̂) = n

1∫0

(Fn,S(x)− x)2

x(1− x)dx

Analogamente ao que foi feito na estatística de Cramér-von-Mises vamos considerar

F (x, θ) = x = t, e Fn,S(x) = Un(t) e usar a de�nição de função de distribuição empí-

rica em sua forma escada. De forma que,

AD = n

1∫0

{Un(t)− t}2

{t(1− t)dt = n

∑i=0

n

ui+1∫ui

i/n− t2

t(1− t)dt (G.10)

Da equação anterior, temos que:

ui+1∫ui

i/n− t2

t(1− t)dt =

ui+1∫ui

(i2/n2)− 2(i/n)t+ t2

t(1− t)dt

=

ui+1∫ui

i2

n2t(1− t)dt−

ui+1∫ui

2i

n(1− t)dt+

ui+1∫ui

t

1− tdt

(G.11)

106

Resolvendo a primeira integral da Equação G.11, temos que:

ui+1∫ui

i2

n2t(1− t)dt =

i2

n2

ui+1∫ui

1

t(1− t)dt =

i2

n2

ui+1∫ui

[1

t+

1

(1− t)

]dt

=i2

n2(logui+1 − log(1− ui+1)− logui + log(1− ui))

(G.12)

Resolvendo a segunda integral da Equação G.11, temos que:

ui+1∫ui

2i

n(1− t)dt =

2i

nlog(1− ui+1)− 2i

nlog(1− ui)

=2i

n(log(1− ui+1)− log(1− ui))

(G.13)

Resolvendo a terceira integral da Equação G.11, temos que:

ui+1∫ui

t

1− tdt = −ui+1 − log(1− ui+1) + ui + log(1− ui)

= (ui − ui+1) + (log(1− ui)− log(1− ui+1))

(G.14)

Substituindo G.12, G.13 e G.14 em G.11, segue que:

ui+1∫ui

i/n− t2

t(1− t)dt =

i2

n2(log(1− ui)− log(1− ui+1)) +

i2

n2(log(ui+1)− logui) +

+2i

n(log(1− ui+1)− log(1− ui)) + (ui − ui+1) + (log(1− ui)− log(1− ui+1))

107

De modo que, substituindo o resultado acima em G.10, temos:

AD = n

n∑i=0

ui+1∫ui

i/n− t2

t(1− t)dt

=1

n

n∑i=0

i2(log(1− ui)− log(1− ui+1)) +1

n

n∑i=0

i2(log(ui+1)− logui) +

+n∑i=0

2i(log(1− ui+1)− log(1− ui)) + n

n∑i=0

(ui − ui+1) +

+ n

n∑i=0

(log(1− ui)− log(1− ui+1))

(G.15)

Resolvendo o primeiro somatório da Equação G.15 (S1), tem− se :

S1 =1

n

n∑i=0

i2(log(1− ui)− log(1− ui+1))

=1

n{0(log(1− u0)− log(1− u1)) + 1(log(1− u1)− log(1− u2)) +

+ 22(log(1− u2)− log(1− u3)) + 32(log(1− u3)− log(1− u4)) + · · ·+

+ (n− 1)2(log(1− un−1)− log(1− un)) + n2(log(1− un)− log(1− un+1))}

=1

nlog(1− u1) + (22 − 1)log(1− u2) + (32 − 22)log(1− u3) + · · ·+

+ (n2 − (n− 1)2)log(1− un)− n2log(1− un+1)}

=1

n

{[n∑i=1

(i2 − (i− 1)2)log(1− ui)

]− n2log(1− un+1)

}

=1

n

{[n∑i=1

(2i− 1)log(1− u1)

]− n2log(1− un+1)

}

=1

n

n∑i=1

(2i− 1)log(1− ui)− nlog(1− un+1)

(G.16)

108

Resolvendo o segundo somatório da Equação G.15(S2), tem− se :

S2 =1

n

n∑i=0

i2(log(ui+1)− logui)

=1

n{0logu1 − 0logu0 + 1(logu2 − logu1) + 22(logu3 − logu2) + · · ·+

+ (n− 1)2(logun − logun−1) + n2(logun+1 − logun)}

=1

n{−logu1 + (1− 22)logu2 + (22 − 32)logu3 + · · ·+ ((n− 1)2 − n2)logun

+ n2logun+1}

=1

n

n∑i=1

((i− 1)2 − i2)loguj + nlogun+1

=1

n

n∑i=1

(2i− 1)loguj + nlogun+1

(G.17)

Resolvendo o terceiro somatório da Equação G.15(S3), tem− se :

S3 =n∑i=0

2i(log(1− ui+1)− log(1− ui))

= 2[1(log(1− u2)− log(1− u1)) + 2(log(1− u3)− log(1− u2))

+ 3(log(1− u4)− log(1− u3)) + · · ·+ (n− 1)(log(1− un)− log(1− un−1))

+ n(log(1− un+1)− log(1− un))]

= −2n∑i=1

log(1− ui) + 2nlog(1− un+1)

(G.18)

109

Resolvendo o quarto somatório da Equação G.15(S4), tem− se :

S4 = nn∑i=0

(ui − ui+1)

= n[(u0 − u1) + (u1 − u2) + (u2 − u3) + · · ·+ (un−1 − un)

+ (un − un+1)]

= n(u0 − un+1)

(G.19)

Resolvendo o quinto somatório da Equação G.15(S5), tem− se :

S5 = nn∑i=0

(log(1− ui)− log(1− ui+1))

= n{[log(1− u0)− log(1− u1)] + [log(1− u1)− log(1− u2)] +

+ [log(1− u2)− log(1− u3)] + · · ·+ [log(1− un−1)− log(1− un)] +

+ [log(1− un)− log(1− un+1)]}

= nlog(1− u0)− nlog(1− un+1)

(G.20)

Portanto, substituindo G.16, G.17, G.18, G.19 e G.20 em G.15, pode-se reescrever a

110

estatística Anderson-Darling como:

AD =

[1

n

n∑i=1

(2i− 1)log(1− ui)

]− nlog(1− un+1)−

[1

n

n∑i=1

(2i− 1)logui

]+

+ nlogun+1 − 2n∑i=1

log(1− ui) + 2nlog(1− un+1) + n(u0 − un+1) +

= nlog(1− u0)− nlog(1− un+1)

=1

n

[n∑i=1

(2i− 1)log(1− ui)− (2i− 1)log(ui)− 2nlog(1− ui)

]+ n(u0 − un+1)

= −n− 1

n

n∑i=1

[(2i− 1)log(ui) + (2n+ 1− 2i)log(1− ui)]

Como F (Xi; θ̂) = Ui, F (x; θ̂) = t e Fn,S(x; θ̂) = Un(t), temos que a equação anterior pode

ser reescrita como:

ADu(θ̂) = −n− 1

n

n∑=1

(2i− 1){log(U(i−1)(θ̂)) + log(1− U(n−i)(θ̂))}

111

# # Teste Não-paramétrico Binomial para Reparo Imperfeito#

#################################################################################################### Método Gerador de PLP - ARA ###############################################################################################################

library("ImperfectRepair")

####################################################################################################### Obtendo as Frequencias #################################################################################################################frequencias <- function(dados){ frequencias <- abs(diff(dados[ , 1])) frequencias[which(frequencias != 0)] <- -1 frequencias[which(frequencias == 0)] <- 1 frequencias[which(frequencias == -1)] <- 0 return(frequencias)}####################################################################################################### Tratamento dos Dados ###################################################################################################################trat.dados <- function(dados, systems){ dados <- cbind(dados[ , 3], dados[ , 1]) dados[ , 1] <- dados[order(dados[ , 2])] dados[ , 2] <- sort(dados[ , 2]) n.dados <- length(dados[ , 1]) - systems dados <- dados[1:n.dados, ] return(dados)}############################################################################################################ Teste Exato Binomial ####################################################################################################################test.binomial.plp <- function(x, systems, n.esperado){ rejeitab10 <- 0 rejeitab5 <- 0 resultado <- c(0,0) for(i in 1:length(x)){ a <- binom.test(x[i], n.esperado, p = 1 / systems, alternative = c("less")) if(a$p.value < 0.05) rejeitab5 <- rejeitab5 + 1 if(a$p.value < 0.10) rejeitab10 <- rejeitab10 + 1

H Códigos R

H.1 Código do R para o Teste Binomial Exato de Gilardoni et

al.(2017)

112

} resultado[1] <- rejeitab5 / n.iteracoes resultado[2] <- rejeitab10 / n.iteracoes return(resultado)}

######################################################################################### Gerando a Matriz de Uns (n.iteracoes x n.esperado) #########################################################################################################vetor.de.somas <- function(parameters, mod, trunc, systems, M = m, n.iteracoes, n.esperado){ vetor <- c(0) i <- 1 ## i-esima iteracao j <- 0 ## numero de geracoes while(i <= n.iteracoes){ j <- j + 1 gera <- PLPIR.sim(parameters, mod, trunc, systems, M = m) k <- length(gera[ , 1]) - systems if(k == n.esperado){ dados <- trat.dados(gera, systems) ## transforma os dados gerados na forma para o teste binomial freqs <- frequencias(dados) ## transforma os dados em frequencias vetor <- cbind(vetor, sum(freqs)) ## armazena as somas das frequencias em um vetor i <- i + 1 } } print(j) return(c(vetor[2:i],j))}

recorte <- function(parameters, mod, trunc, systems, m, n.iteracoes, intervalo){ media <- rep(0, n.iteracoes) for(i in 1:n.iteracoes){ gera <- PLPIR.sim(parameters, mod, trunc, systems, M = m) dados <- trat.dados(gera, systems) media[i] <- length(dados[ , 1]) } n.esperado <- round(mean(media))

recortes <- seq(n.esperado - intervalo, n.esperado + intervalo, 1) result <- matrix(NA, length(recortes), 4)

for(i in 1:length(recortes)){ x <- vetor.de.somas(parameters, mod, trunc, systems, m, n.iteracoes, recortes[i]) teste <- test.binomial.plp(x[1:n.iteracoes], systems, recortes[i]) result[i, 1] <- recortes[i] result[i, 2] <- teste[1] result[i, 3] <- teste[2]

result[i, 4] <- x[n.iteracoes + 1] } return(result)}

beta <- c(1.5, 2)eta <- 1.0theta <- 0.1mod <- "ARI"m <- 1a <- 1intervalo <- 10systems <- c(5, 10) # systems number0trunc <- c(5, 10, 15) # truncation timen.iteracoes <- 10 ^ 4qtdade <- length(beta)*length(systems)*length(trunc)name.row <- seq(1, qtdade,1)resultado <- array(NA,dim = c(2 * intervalo + 1, 4, length(name.row)))

colnames(resultado) <- c("n+", "alpha.05", "alpha.10", "n.geracoes")

ptm <- proc.time()

for(i in 1:length(systems)){ for(j in 1:length(trunc)){ for(l in 1:length(beta)){ print(c(systems[i], trunc[j], beta[l])) print(c(i, j, l)) print(a) parameters <- c(beta[l], eta, theta) time.total <- trunc[j] n.systems <- systems[i] result <- recorte(parameters, mod, time.total, n.systems, m, n.iteracoes, intervalo) for(p in 1:length(result[, 1])){ resultado[p, , a] <- result[p, ] } print(resultado[,,a]) a <- a + 1 } }}

proc.time() - ptm

# # Teste Não-paramétrico Multinomial para Reparo Imperfeito#

#################################################################################################### Método Gerador de PLP - ARA ###############################################################################################################

library("ImperfectRepair")library("varComp", lib.loc="/Library/Frameworks/R.framework/Versions/3.0/Resources/library")require(varComp)

####################################################################################################### Tratamento dos Dados ###################################################################################################################trat.dados <- function(dados){ ## Eliminas os tempos de censura apenas para essa simulacao n.sistemas <- max(dados[ , 3]) ## Ordena os tempos de falhas em ordem crescente (numero do sistema acompanha) dados <- cbind(dados[ , 3], dados[ , 1]) dados[ , 1] <- dados[order(dados[ , 2])] dados[ , 2] <- sort(dados[ , 2]) n.dados <- length(dados[ , 1]) - n.sistemas dados <- dados[1:n.dados, ] return(dados) ## retorna os dados no formato do teste}##################################################################################################### Definindo o tamanho n.menos- #############################################################################################################definindo.n.menos <- function(dados, n.sistemas){ ## n.menos representa o menor indice ao qual a penultima falha tenha ocorrido vetor.n.menos <- rep(0, 1, n.sistemas) i <- 1 while(sum(vetor.n.menos) < n.sistemas - 1){ vetor.n.menos[dados[i, 1]] <- 1 i <- i + 1 } n.menos <- i - 1 return(n.menos)}############################################################################################################## Matriz Rank #####################################################################################################################matriz.rank <- function(dados, n.sistemas){ matriz.rank <- matrix(NA, length(dados[ , 1]), n.sistemas)

H.2 Código do R para o Teste Multinomial de Gilardoni et

al.(2017)

115

vetor.rank <- rep(1, 1, n.sistemas) rank.vetor <- rep(0, 1, length(dados[ , 1])) for(i in 1:length(dados[ , 1])){ vetor.rank[dados[i , 1]] <- 0 vetor.rank <- vetor.rank + 1 matriz.rank[i, ] <- rank(vetor.rank, ties.method = "min") } return(matriz.rank)}####################################################################################################### Obtendo as Frequencias #################################################################################################################obtendo.frequencias <- function(dados, n.sistemas){ matrix.rank <- matriz.rank(dados, n.sistemas) n.menos <- definindo.n.menos(dados, n.sistemas) frequencia <- matrix(0, length(dados[ , 1]), n.sistemas) for(i in n.menos:(length(dados[ , 1])) - 1){ vetor.frequencia <- rep(0, 1, n.sistemas) vetor.frequencia[matrix.rank[i, dados[i + 1, 1]]] <- 1 frequencia[i, ] <- vetor.frequencia } return(colSums(frequencia))} ## n.mais e o numero total de falhas######################################################################################################### Calculando os p's ####################################################################################################################calculando.novafreqs <- function(freqs){ probs <- freqs / sum(freqs) K <-length(freqs) probs.ac <- cumsum(probs) ord <- 0 absc <- 0 k1 <- 0 while(k1 < K){ k2 <- which.min((probs.ac[(k1 + 1) : K] - ord) / (((k1 + 1) : K) - absc)) probs[(k1 + 1) : (k1 + k2)] <- (probs.ac[k1 + k2] - ord) / k2 ord <- probs.ac[k1 + k2] absc <- k1 + k2 k1 <- k1 + k2 } freqs <- probs * sum(freqs) return(freqs)}########################################################################################################## Teste Exato Multinomial #################################################################################################################test.multinomial.plp <- function(x){ rejeitab10 <- 0 rejeitab5 <- 0

resultado <- c(0,0) n.execucoes <- length(x[ , 1]) for(i in 1:n.execucoes){ nova.freqs <- calculando.novafreqs(x[i, ]) obs <- n.sistemas * sum(nova.freqs) * sum((nova.freqs / sum(nova.freqs) - 1 / n.sistemas) ^ 2) vi <- matrix(0.5, nrow = (n.sistemas - 1),ncol = (n.sistemas - 1)) for(i in 1:(n.sistemas - 1)) vi[i, i] <- 1 chi.pv <- sum(wchibarsq(V = vi)[(n.sistemas - 1):1] * (1 - pchisq(obs, df = 1:(n.sistemas - 1)))) if(chi.pv < 0.05) rejeitab5 <- rejeitab5 + 1 if(chi.pv < 0.10) rejeitab10 <- rejeitab10 + 1 } resultado[1] <- rejeitab5 / n.execucoes resultado[2] <- rejeitab10 / n.execucoes return(resultado)}######################################################################################### Gerando a Matriz de Uns (n.n.execucoes x n.esperado) #######################################################################################################matriz.frequencias <- function(parametros, modelo, tempo.trunc, n.sistemas, M = m, n.execucoes, recortes){ matriz.recortes <- array(NA,dim = c(length(recortes), n.execucoes, (n.sistemas + 1))) ## calcular 21 matrizes de tamanho 10 ^ 4 x n.sistemas ## cada matriz para um valor de variacao do n.esperado for(r in 1:length(recortes)){ q <- 1 cont <- 1 while(q <= n.execucoes){ gera <- PLPIR.sim(parametros, modelo, tempo.trunc, n.sistemas, M = m) dados <- trat.dados(gera) if(length(dados[, 1]) == recortes[r]){ matriz.recortes[r, q, 1:n.sistemas ] <- c(obtendo.frequencias(dados, n.sistemas)) q <- q + 1 } cont <- cont + 1 } matriz.recortes[r, , n.sistemas + 1] <- cont } return(matriz.recortes)}############################################################################################################## calculando o n.esperado

###############################################################################################################n.esperado <- function(parametros, modelo, tempo.trunc, n.sistemas, M = m, n.execucoes){ media <- rep(0, n.execucoes) for(i in 1:n.execucoes){ gera <- PLPIR.sim(parametros, modelo, tempo.trunc, n.sistemas, M = m) dados <- trat.dados(gera) media[i] <- length(dados[ , 1]) } n.esperado <- round(mean(media)) return(n.esperado)}

################################################################################################################# Parametros #########################################################################################################################beta <- c(1.5, 2)eta <- 1.0theta <- 1.0modelo <- "ARA"m <- 1intervalo <- 10sistemas <- c(5, 10) # systems number0trunc <- c(5, 10) # truncation timen.execucoes <- 10 ^ 4qtdade <- length(beta)*length(sistemas)*length(trunc)resultados <- array(NA,dim = c(2 * intervalo + 1, 4, qtdade))colnames(resultados) <- c("n+", "alpha.05", "alpha.10", "n.execucoes")

p <- 1ptm <- proc.time()for(i in 1:length(sistemas)){ for(j in 1:length(trunc)){ for(l in 1:length(beta)){ print(c(sistemas[i], trunc[j], beta[l])) print(c(i, j, l)) print(p) parametros <- c(beta[l], eta, theta) tempo.trunc <- trunc[j] n.sistemas <- sistemas[i] media <- n.esperado(parametros, modelo, tempo.trunc, n.sistemas,M = m, n.execucoes) print(paste("o n.esperado é:", media)) recortes <- seq(media - intervalo, media + intervalo, 1) print(recortes) matriz.exec <- matriz.frequencias(parametros, modelo, tempo.trunc, n.sistemas, M = m, n.execucoes, recortes) print("matrix.exec calculada") result <- matrix(NA, length(recortes), 4) for(a in 1:length(recortes)){ print(a)

x <- matriz.exec[a, , 1:n.sistemas] result[a, 1] <- recortes[a] result[a, 2:3] <- test.multinomial.plp(x) result[a, 4] <- matriz.exec[a, ,n.sistemas + 1][1] } print(result) resultados[ , , p] <- result p <- p + 1 } }}proc.time() - ptm

Testes de hipóteses para modelos de Reparo Imperfeito ... · aplicar os testes de seleção de...

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