Máxima Verossimilhança
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Máxima Verossimilhança
Almir R. Pepato
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O velho problema...
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Máxima VerossimilhançaO conceito de verossimilhança refere-se a situações em que a partir de um conjunto de dados D, uma decisão deve ser tomada a respeito de explicações alternativas a seu respeito.
No caso das inferências filogenéticas temos um modelo composto pela topologia, comprimento de ramos e parâmetros do modelo de substituição.
Assinalando valores a esses elementos do modelo podemos computar a probabilidade dos dados sob cada um desses valores e escolher os valores mais plausíveis.
REPARE QUE EM NENHUM MOMENTO A VALIDADE DO MODELO É QUESTIONADA.
Ronald Fisher
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A história começa com o Teorema de Bayes...
Isso incomodava Fisher!
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A história começa com o Teorema de Bayes...Como funciona:Há dois sapos de origami, Joe e Herman. Por experiências anteriores sabe-se que Joe cai 60% das vezes em pé, enquanto Herman cai apenas 20% das vezes. O nome dos sapos foi apagado. Como podemos inferir qual é Joe apenas fazendo-os saltar?
Primeiro lançamento, caiu em pé:
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A história começa com o Teorema de Bayes...
Segundo lançamento, caiu em pé:
Terceiro lançamento, caiu de costas:
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A história começa com o Teorema de Bayes...
Isso incomodava Fisher!
Para eliminar esse incômodo: Se os dados forem robustos isso...
É muito maior que isso!
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Máxima VerossimilhançaExemplo simples:
N=100; Caras=21 ; Coroas= 79.
O modelo estabelece apenas que com alguma probabilidade , caras aparecem quando a moeda é lançada e que cada resultado é independente dos demais.
A probabilidade de obtermos exatamente H =h caras a partir de n lançamentos é de:
Isso pode ser lido de duas maneiras:
A- Se é conhecido, então podemos computar a probabilidade de que h= 0, 1, 2, ...n.B- Caso contrário a PROBABILIDADE em questão pode ser tratada como uma função de n e h!
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Máxima Verossimilhança
Obviamente o valor é 21/100. Mas podemos calcular isso analiticamente! Só para mostrar que sabemos cálculo!
Para facilitar vamos transformar tudo em logaritmos, assim ao invés multiplicações teremos somas.
Como sabemos, temos que calcular a derivada da função acima:
Só para lembrar :
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Máxima VerossimilhançaMas o que nos interessa mesmo é poder comparar duas hipóteses.
Por exemplo: segundo a nossa função, a verossimilhança de que a moeda seja não-viciada é de:
Comparado à nosso valor máximo (0,21) temos que é 6 x 107 mais verossímil que a probabilidade que produziu os dados seja θ= 0,21 que θ= 0,5.
X
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Recordando: Modelos de substituição
Para os JC69, temos:
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Máxima Verossimilhança1- Cada posição no alinhamento evolui de maneira independente:
2- Cada ramo de uma filogenia evolui de maneira independente dos demais:
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Máxima Verossimilhança
Muita conta!
22n-2 cenários
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Máxima Verossimilhança
Se o modelo é reversível podemos enraizar em qualquer lugar.
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Máxima Verossimilhança
Essa expressão terá 256 termos (22(5)-2 )
O que pode ser rearranjado como:
HÁ! ISSO É O MESMO QUE SEGUIR A ÁRVORE DAS FOLHAS PARA A RAIZ!
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Máxima Verossimilhança
Verossimilhança da árvore:
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Resolução do exemplo numérico
0100
0010
0100
0100
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Resolução do exemplo numérico
0100
0010
0100
0100
0.000970.028280.028280.00097
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Resolução do exemplo numérico
0100
0010
0100
0100
0.000970.028280.028280.00097
0.0000026
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Resolução do exemplo numérico
0100
0010
0100
0100
0.000970.028280.028280.00097
0.0000026 0.0218338
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Resolução do exemplo numérico
0100
0010
0100
0100
0.000970.028280.028280.00097
0.0000026 0.02183380.0000259
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Resolução do exemplo numérico
0100
0010
0100
0100
0.000970.028280.028280.00097
0.0000026 0.02183380.00002590.0000026
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Resolução do exemplo numérico
0100
0010
0100
0100
0.000970.028280.028280.00097
0.0000026 0.02183380.00002590.0000026
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Os dados são informativos?“Likelihood-mapping Analysis”
Sinal em forma de árvore: 1,2,3
Sinal em forma de rede (parcialmente resolvido): 4,5,6.
Sinal em estrela: 7
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Os dados são informativos?
No estudo citado, a maior parte dos pontos está próximo ao centro dos triângulos, mostrando que os dados são incapazes de resolver o problema.