Átomo de hidrógeno Gráficas de las partes angulares En la figura presentamos la gráfica de la función s: (1/4π)1/2

La función s es un círculo porque siempre vale (1/4π)1/2

independientemente del valor de los ángulos θ y φ. La siguiente función es la pz y su cuadrado. La función es positiva

para los valores de θ que van de 0 a 90º, y negativa para los valores

de θ que van de 90 a 180º,

Átomo de hidrógeno Gráficas de las partes angulares Las funciones px y py deben graficarse con más cuidado. Por

ejemplo, la px = A senθ cosφ, puede graficarse sobre el plano xz,

haciendo φ = 0 y φ = π, o sobre el plano xy, haciendo θ = 90º.

Por su parte, la py = A senθ senφ, puede graficarse sobre el plano

xz, haciendo φ = π/2 y φ = 3π/2, o sobre el plano xy, haciendo θ = 90º.

Átomo de hidrógeno Gráficas de las partes angulares Se muestran las gráficas de las cinco funciones d sobre diferentes planos

Átomo de hidrógeno Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares Hay forma de graficar las funciones de onda completas, con parte radial y parte angular tomadas en cuenta. Una de ellas es a través de “curvas de nivel”, que son los puntos del espacio para los cuales se da el mismo valor de la función a graficar, por ejemplo la altura de una montaña:

La aplicación de este concepto para el átomo de hidrógeno es graficar los puntos para los cuales el cuadrado de la función de onda 1s, por ejemplo, vale 0.1, o 0.01, o 0.001, etc.

( ) 0

23

0

1

1,,

a

Zr

se

a

Zr

−

=

πφθρ

Se iguala esta expresión a 0.1, 0.01, 0.001 y se procede a despejar el valor de r en cada caso, obteniéndose

ρ1s r/a0

0.1 0.58 0.01 1.73

0.001 2.88 0.0001 4.03 0.0001 5.18

Átomo de hidrógeno Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares Así, podemos obtener la figura para las curvas de nivel de la densidad de probabilidad 1s como:

De forma similar, aunque más complicada de hacer, resulta la gráfica de las curvas de nivel de la función de densidad 2pz

Átomo de hidrógeno Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares En la siguiente figura presentamos la curva de nivel para la función de densidad de probabilidad 2pz graficada conjuntamente con los valores de la función de densidad sobre el eje z, donde puede observarse la similitud con las curvas de nivel graficadas para una altura de una montaña.

Átomo de hidrógeno Gráficas conjuntas de las partes radiales y angulares Las siguientes son curvas de nivel de probabilidad acumulativa para los orbitales 2pz, 3pz, 3dxy y 3dz2. La primera corresponde al 10% de la probabilidad de encontrar al electrón, la segunda al 20%, y así sucesivamente hasta el 90% Se ha marcado como una zona más obscura la que representa el 40% de la probabilidad de encontrar al electrón.

Estos son los contornos tridimensionales para la probabilidad acumulativa del 90% en los orbitales 1s a 3d.

Átomo de hidrógeno Valor de la energía en la ecuación de Schroedinger El valor de la energía del átomo de hidrógeno que se obtiene al resolver la ecuación de Schroedinger es exactamente la misma que en el modelo de Bohr:

−=−=

2

2

22

4222

aJ18.22

4

n

Z

hn

eZE

n

µκπ

Lo anterior es un magnífico resultado, pues la ecuación de Schroedinger resulta igual de predictiva del espectro del hidrógeno que el modelo de Bohr.

Átomo de hidrógeno Valor de la cantidad de movimiento angular en la ecuación de Schroedinger Las funciones de onda del hidrógeno resultan ser propias también de los operadores asociados tanto al cuadrado de la magnitud del momentum angular orbital como a su componente en z, de donde pueden obtenerse los valores correspondientes a estas magnitudes como:

( )h1+= llL

hmLz

=

Pauli agregó una función del espín a la función de onda del hidrógeno, de tal forma que también el cuadrado de la magnitud del momentum angular del espín como su componente en z fueron operadores bajo los cuales la función de onda era una función propia. De esta manera,

( ) 2/1con 1 =+= sssS h

2/1,2/1con −==ssz

mmS h

Estos valores del momentum angular estaban de acuerdo con las predicciones más refinadas de los multipletes espectrales y del efecto normal y anormal de Zeemann.