Topografia- Base - Geometria

18/8/2014 Matemática do Científico e do Vestibular

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Geometria III - Ângulos e Triângulos

ÂNGULOS

Chama-se ângulo, a figura plana limitada por duas semi-retas de mesma origem.Na figura abaixo, podemos observar que as semi-retas OA e OB determinam doisângulos: um de abertura a (ângulo convexo) e outro de abertura b (ângulocôncavo). O ângulo convexo é indicado por BÔA e a é a medida deste ângulo.

Temos: OA e OB = lados do ângulo e O = vértice do ângulo BÔA.

Medidas de ângulos A principal unidade de medida de ângulos é o grau (símbolo º). Um ângulo raso(aquele formado por duas semiretas opostas, como o mostrado na figura abaixo),mede 180º .

A metade de um ângulo raso, é denominado ângulo reto , e sua medida é 90° .

Concluimos que o ângulo de uma volta completa, corresponde a dois ângulos

rasos ou a quatro ângulos retos e portanto sua medida é 360° .

Dividindo-se um ângulo reto em 90 partes iguais, obteremos 90 ângulos demedida 1º cada, sendo portanto 1º a unidade fundamental da medida de ângulos.Esta unidade pode também ser subdividida em unidades menores - o minuto (') eo segundo (") - de forma que:1 grau = 60 minutos e 1 minuto = 60 segundosSimbolicamente: 1º = 60' e 1'= 60"

O uso destas subdivisões do grau, justificam-se nas medidas de ângulos nas quaisse requer alto grau de precisão.

Dados os ângulos de medidas a = 30º40'32" e b = 18º53'40'', pede-se determinar



os valores dos ângulos a + b e a - b.

Teremos:a + b = 30º40'32'' + 18º53'40" a + b = 30º + 40'+32"+18º+53'+40" a + b =(30º+18º) + (40'+ 53') + (32"+ 40")a + b = 48º + 93'+72"Como 1º = 60', vem que 93'= 60'+ 33'= 1º + 33', daí, vem:a + b = 48º + 1º + 33'+ 72"Como 1'= 60" , vem que 72"= 60"+ 12" = 1'+ 12", vem:a + b = 48º + 1º + 33'+ 1'+ 12"a + b = 49º + 34'+ 12"a + b = 49º34'12"

Vamos calcular a - b:a - b = 30º40'32" - 18º53'40"a - b = 30º + 40'+32"-(18º+53'+40")a - b = (30º - 18º) + (40'- 53') + (32"- 40")a - b = 12º + (40'- 53') + (32"- 40")Para evitar os valores negativos nas subtrações acima, observar que:a - b = 11º + 1º + (40'- 53') + (32"- 40")a - b = 11º + 60'+ (40'- 53') + (32"- 40")a - b = 11º + (100'- 53') + (32"- 40")a - b = 11º + 47'+ (32"- 40")a - b = 11º + 46'+ 1'+ (32"- 40")Como 1'= 60", vem:a - b = 11º + 46' + 60"+ (32"- 40")a - b = 11º + 46'+ (92"- 40")a - b = 11º + 46'+ 52"a - b = 11º46'52"

Determine o complemento do ângulo de medida x = 56º32'40"

O complemento de um ângulo x é 90º - x. Logo, o complemento do ângulo será:Y = 90º - x = 90º - 56º32'40" = 90º - (56º + 32' + 40") = 90º - 56º - 32' - 40"Y = 34º - 32'- 40"Y = 33º + 1º - 32'- 40"Y = 33º + 60' - 32'- 40" Y = 33º + 28'- 40"Y = 33º + 27' + 1' - 40"Y = 33º + 27'+ 60" - 40"Y = 33º + 27'+ 20"Y = 33º27'20"

Valem ainda, as seguintes definições:

Ângulo agudo - é aquele cuja medida situa-se entre 0° e 90° .

Ângulo obtuso - é aquele cuja medida situa-se entre 90° e 180° .

Ângulos complementares - são aqueles cujas medidas somam 90° .

Dizemos que cada um deles é o complemento do outro.



Exemplo: 34° é o complemento de 56° e vice-versa , pois 34° + 56° = 90° .

Ângulos suplementares - são aqueles cujas medidas somam 180° . Dizemos

que cada um deles é o suplemento do outro.

Exemplo: 48° é o suplemento de 132° e vice-versa, pois 48° + 132° = 180° .

Ângulos congruentes - são aqueles que possuem medidas iguais. Assim, porexemplo todos os ângulos retos são congruentes, todos os ângulos de

medida 60° são congruentes, etc.Ângulos opostos pelo vértice - como o próprio nome indica, são aqueles

cujos lados de um são os prolongamentos dos lados do outro. Vale aqui, aseguinte proposição, facilmente demonstrável:"Dois ângulos opostos pelo vértice são congruentes, ou seja, possuem a

mesma medida".

Veja que os ângulos de medidas a e b são congruentes, e, também os

ângulos de medidas c e d são também congruentes, ou seja, possuem amesma medida.

Retas perpendiculares - são aquelas retas concorrentes (isto é, aquelas que

possuem um único ponto em comum) que formam entre si quatro ângulosretos.

Se duas retas r e s são perpendiculares, indicamos isso através do símbolo:r^ s.

Bissectriz de um ângulo - é a semi-reta que partindo do vértice, determina

dois ângulos congruentes

( ou seja, de mesma medida).



Axioma: Todo ângulo, possui uma única bissectriz.

RETAS PARALELAS

Duas retas distintas r e s são paralelas, e indica-se r//s , quando estando contidasnum mesmo plano (coplanares) , e não possuem ponto em comum.

Dadas duas retas paralelas, chama-se reta transversal qualquer reta que intercepteambas as retas. Observamos na figura, que ficam determinados oito ângulos demedidas a, b, c, d, e, f, g e h que recebem denominações especiais a saber:

ângulos correspondentes: b e f, a e e, d e h, e c e g.ângulos alternos internos: d e f, e c e e.ângulos alternos externos: b e h, e a e g.ângulos colaterais internos: d e e, e c e f.ângulos colaterais externos: b e g, e a e h.

Observa-se que:• os ângulos correspondentes são congruentes (medidas iguais)• os ângulos alternos são congruentes (medidas iguais).

• os ângulos colaterais são suplementares, isto é, somam 180° .



TRIÂNGULOS

Dados 3 pontos A , B e C , não colineares, isto é , não alinhados , chama-seTriângulo à região do plano limitada pelos segmentos AB , AC e BC ,denominados lados , sendo A , B e C os seus vértices. Os ângulos internos sãorepresentados por Ð A , Ð B e Ð C , ou simplesmente A , B e C.

Na figura acima, teremos então:

Soma dos ângulos internos: x + y + z = 180ºSoma do ângulos externos: E1 + E2 + E3 = 360º

Em todo triângulo, um ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos

não adjacentes, ou seja:

E1 = y + z

E2 = x + y

E3 = x + z

Vamos provar as três propriedades acima:

A primeira é imediata, a partir da observação atenta da figura abaixo, selembrarmos que os ângulos alternos internos possuem a mesma medida. Assim, x= m e y = n. E como sabemos que z + m + n = 180º, vem finalmente: x + y + z =180º.

Para provar a segunda, basta observar que x + E1 = z + E2 = y + E3 = 180º.

Logo, podemos escrever: (x + E1 ) + ( z + E2 ) + ( y + E3 ) = 180º + 180º + 180º

Arrumando convenientemente, vem:x + y + z + E1 + E2 + E3 = 540º

E como x + y + z = 180º , substituindo, vem:180º + E1 + E2 + E3 = 540º

De onde finalmente tiramos: E1 + E2 + E3 = 360º

Para provar a terceira, observe que podemos escrever:x + y + z = 180º = x + E1, de onde tiramos: E1 = y + z. Os outros casos, são

análogos.



Outra propriedade importante dos triângulos é que a medida de qualquer lado émenor que a soma das medidas dos outros dois.Sendo a , b e c as medidas dos lados de um triângulo qualquer, teremos sempre:

a < b + cb < a + c

c < a + bconhecidas como Desigualdades Triangulares.

DICA: se um triângulo possui dois lados medindo a e b, o terceiro lado estarácompreendido entre|a - b| e (a + b).Assim, por exemplo, se um triângulo possui dois lados de medidas 10 e 30, oterceiro lado estará compreendido entre 30-10 e 30+10, ou seja, entre 20 e 40.

Os triângulos podem ser classificados quanto à medida dos lados em:

EQUILÁTEROS: medidas dos lados iguais; como consequencia disto , os 3ângulos internos de um triângulo equilátero são congruentes, isto é , possuem a

mesma medida e, portanto cada ângulo mede 60° .

ISÓSCELES: possuem dois lados com medidas iguais. O terceiro lado chama-sebase.Verifica-se facilmente, que os ângulos da base de um triângulo isóscelespossuem medidas iguais, ou seja, são congruentes.

ESCALENO: possui os tres lados desiguais.



Infere-se , portanto, que todo triângulo equilátero é isósceles, o que significa que oconjunto de todos os triângulos equiláteros é um subconjunto do conjunto de todosos triângulos isósceles.

Os triângulos podem ser classificados quanto às medidas dos ângulos internos ,em:

RETÂNGULO: possuem um ângulo reto ( 90° ). O lado oposto ao ângulo reto échamado hipotenusa e os outros 2 lados, são chamados catetos.

ACUTÂNGULO: todos os ângulos são agudos.

OBTUSÂNGULO: possui um ângulo obtuso.

Elementos lineares de um triângulo.

Mediana - é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.Conclui-se que todo triângulo possui 3 medianas; o ponto de interseção das 3medianas de um triângulo, encontram-se em um ponto denominadoBARICENTRO ou CENTRO DE GRAVIDADE do triângulo.



Altura - é o segmento que une um vértice ao lado oposto (ou ao prolongamentodeste), sendo perpendicular a esse lado. As 3 alturas de um triângulo passam porum mesmo ponto, chamado ORTOCENTRO do triângulo.

Bissectriz interna - é o segmento que divide cada ângulo interno do triângulo, em 2ângulos iguais. As 3 bissectrizes internas de um triângulo passam por um pontochamado INCENTRO do triângulo. O incentro é o centro da circunferência inscritano triângulo, isto é , da circunferência que tangencia os 3 lados do triângulo.

Mediatriz - é a reta perpendicular ao lado, passando pelo ponto médio do mesmo.As 3 mediatrizes de qualquer triângulo passam por um mesmo ponto, chamadoCIRCUNCENTRO, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, isto é, da circunferência que passa pelos 3 vértices do triângulo.

TEOREMA DE TALES

Um feixe de paralelas determina sobre duas retas transversais quaisquer,segmentos proporcionais. Assim, na figura abaixo, o teorema de Tales nos permite escrever:



O teorema de Tales ( matemático grego, do século VI a.C.) é um dos maisimportantes da Geometria, pois, dele, se deduzem como consequências, outrosteoremas importantes, como os casos de semelhança de triângulos, o teorema dePitágoras, etc, temas que serão abordados em breve.

Para encerrar por hoje, vamos resolver a questão a seguir:Na figura abaixo, temos BG//CF//DE. Pede-se calcular o valor de a, b e c,sabendo-se que a soma a + b + c = 45.

Pelo Teorema de Tales, podemos escrever:

Usando uma propriedade das proporções, podemos escrever também:

Portanto, a = 21, b = 9 e c = 15.

Paulo Marques, 31/10/1999 - Feira de Santana - BA.

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