Torção
-
Upload
maikon-queiroz -
Category
Documents
-
view
28 -
download
2
Transcript of Torção
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Resistencia dos materiais 1
Prof. Dr. Iedo Alves de Souza
Assunto: torcao em barras de secao transversal circular
DECE: UEMA & DCC: IFMA
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Plano de estudo
Introducao
Torcao em barras de secao circular cheia
Torcao em barras de secao circular vazada
Aplicacao
Referencias
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Plano de estudo
Introducao
Torcao em barras de secao circular cheia
Torcao em barras de secao circular vazada
Aplicacao
Referencias
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Plano de estudo
Introducao
Torcao em barras de secao circular cheia
Torcao em barras de secao circular vazada
Aplicacao
Referencias
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Plano de estudo
Introducao
Torcao em barras de secao circular cheia
Torcao em barras de secao circular vazada
Aplicacao
Referencias
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Plano de estudo
Introducao
Torcao em barras de secao circular cheia
Torcao em barras de secao circular vazada
Aplicacao
Referencias
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Plano de estudo
Introducao
Torcao em barras de secao circular cheia
Torcao em barras de secao circular vazada
Aplicacao
Referencias
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Plano de estudo
Introducao
Torcao em barras de secao circular cheia
Torcao em barras de secao circular vazada
Aplicacao
Referencias
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoConvencao de sinal e classificacao da estrutura
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoCalculo da reacao TA: equacao de equilıbrio
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoCalculo da reacao TA: esforcos solicitantes
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoCalculo da reacao TA: esforcos solicitantes
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoEfeitos causados pelo momento torcor
Uma secao transversal gira em relacao a outra
Aparecem tensoes de cisalhamento variando de forma linear
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoEfeitos causados pelo momento torcor
Uma secao transversal gira em relacao a outra
Aparecem tensoes de cisalhamento variando de forma linear
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoEfeitos causados pelo momento torcor
Uma secao transversal gira em relacao a outra
Aparecem tensoes de cisalhamento variando de forma linear
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoEfeitos causados pelo momento torcor
τl .dxdr .dt = τ.dtdr .dx =⇒ τl = τ
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoEfeitos causados pelo momento torcor
τl .dxdr .dt = τ.dtdr .dx =⇒ τl = τ
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoEfeitos causados pelo momento torcor
τl .dxdr .dt = τ.dtdr .dx =⇒ τl = τ
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoTeorema de Cauchy e seguranca contra a ruptura
Em planos perpendiculares, as tensoes de cisalhamento sao iguaisentre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta.
bb′ = dφD2 = γdx b1b′1 = dφr = γrdx
dφ.D2
dφ.r = γdxγrdx
γr = 2rD γ
τ = Gγ G = E2(1+ν) p/γ = r τr = Gγr γr = τr
G
Nota: ν = coeficiente de Poisson
τr = 2rD τ , fazendo o raio igual a D
2
τ ≤ τ = τrCs
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoTeorema de Cauchy e seguranca contra a ruptura
Em planos perpendiculares, as tensoes de cisalhamento sao iguaisentre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta.
bb′ = dφD2 = γdx b1b′1 = dφr = γrdx
dφ.D2
dφ.r = γdxγrdx
γr = 2rD γ
τ = Gγ G = E2(1+ν) p/γ = r τr = Gγr γr = τr
G
Nota: ν = coeficiente de Poisson
τr = 2rD τ , fazendo o raio igual a D
2
τ ≤ τ = τrCs
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
IntroducaoTeorema de Cauchy e seguranca contra a ruptura
Em planos perpendiculares, as tensoes de cisalhamento sao iguaisentre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta.
bb′ = dφD2 = γdx b1b′1 = dφr = γrdx
dφ.D2
dφ.r = γdxγrdx
γr = 2rD γ
τ = Gγ G = E2(1+ν) p/γ = r τr = Gγr γr = τr
G
Nota: ν = coeficiente de Poisson
τr = 2rD τ , fazendo o raio igual a D
2
τ ≤ τ = τrCs
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular cheiatensao de cisalhamento
Mt =∫A τrdA.r =⇒ Mt =
∫ D2
02rD τ.2πrdr .r
Mt = πτD3
16 ∴ τ = 16MtπD3
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular cheiatensao de cisalhamento
Mt =∫A τrdA.r =⇒ Mt =
∫ D2
02rD τ.2πrdr .r
Mt = πτD3
16 ∴ τ = 16MtπD3
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular cheiatensao de cisalhamento
Mt =∫A τrdA.r =⇒ Mt =
∫ D2
02rD τ.2πrdr .r
Mt = πτD3
16 ∴ τ = 16MtπD3
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular cheiaDeslocamento
Giro de uma secao generica x:∫ ϕ(x)
0 dϕ =∫ x
02
GD .τdx
ϕ(x) =∫ x
02
GD .16MtπD3 dx = 32
π
∫ x0
MtGD4 dx = 32Mtx
πGD4
ϕ(x) = MtxGIt
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular cheiaDeslocamento
Giro de uma secao generica x:∫ ϕ(x)
0 dϕ =∫ x
02
GD .τdx
ϕ(x) =∫ x
02
GD .16MtπD3 dx = 32
π
∫ x0
MtGD4 dx = 32Mtx
πGD4
ϕ(x) = MtxGIt
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular cheiaDeslocamento
Giro de uma secao generica x:∫ ϕ(x)
0 dϕ =∫ x
02
GD .τdx
ϕ(x) =∫ x
02
GD .16MtπD3 dx = 32
π
∫ x0
MtGD4 dx = 32Mtx
πGD4
ϕ(x) = MtxGIt
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular vazadaTubo de parede grossa: tensao cisalhante
Considera-se tubo de parede grossa quando e > d20
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular vazadaTubo de parede grossa: tensao cisalhante
Considera-se tubo de parede grossa quando e > d20
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular vazadaTubo de parede grossa: deslocamento angular
∫ ϕ(x)0 dϕ =
∫ x0
2GD .
16MtDπ(D4−d4)
dx
ϕ(x) = 32MtxπG(D4−d4)
= MtxGIt
=⇒ It = π(D4−d4)32
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular vazadaTubo de parede grossa: deslocamento angular
∫ ϕ(x)0 dϕ =
∫ x0
2GD .
16MtDπ(D4−d4)
dx
ϕ(x) = 32MtxπG(D4−d4)
= MtxGIt
=⇒ It = π(D4−d4)32
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular vazadaTubo de parede grossa: deslocamento angular
∫ ϕ(x)0 dϕ =
∫ x0
2GD .
16MtDπ(D4−d4)
dx
ϕ(x) = 32MtxπG(D4−d4)
= MtxGIt
=⇒ It = π(D4−d4)32
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular vazadaTubo de parede fina: tensao de cisalhamento
Considera-se tubo de parede fina quando e ≤ d20
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular vazadaTubo de parede fina: deslocamento angular
∫ ϕ(x)0 dϕ =
∫ x0
2GD .τdx =
∫ x0
2GD .
2Mt
πdm2e
dx
ϕ(x) = 4MtxπGdm
3e= Mtx
GIt=⇒ It = πdm
3e4
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Secao transversal circular vazadaTubo de parede fina: deslocamento angular
∫ ϕ(x)0 dϕ =
∫ x0
2GD .τdx =
∫ x0
2GD .
2Mt
πdm2e
dx
ϕ(x) = 4MtxπGdm
3e= Mtx
GIt=⇒ It = πdm
3e4
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-01
Dois eixos macicos de aco (G = 77 GPa) sao conectados pelasengrenagens mostradas (Figura abaixo). Determinar o angulo de
torcao da extremidade A, quando nesse ponto um torque T de 340N.m e aplicado1.
1Resp.: φA = 5, 19◦
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-01
Dois eixos macicos de aco (G = 77 GPa) sao conectados pelasengrenagens mostradas (Figura abaixo). Determinar o angulo de
torcao da extremidade A, quando nesse ponto um torque T de 340N.m e aplicado1.
1Resp.: φA = 5, 19◦
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-02
No eixo mostrado abaixo, calcule τmax indicando onde ocorre. SendoG= 800 t
cm2 , calcule os giros que o eixo sofre nas secoes I, II e III 2.
2Resp.: τI = 0, 33 tcm2 ; τII = 0, 32 t
cm2 ; τIII = 0, 38 tcm2 ;φI =
8, 15(10)−3rad ;φII = 2, 18(10)−3rad ;φIII = 8, 47(10)−3rad .
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-02
No eixo mostrado abaixo, calcule τmax indicando onde ocorre. SendoG= 800 t
cm2 , calcule os giros que o eixo sofre nas secoes I, II e III 2.
2Resp.: τI = 0, 33 tcm2 ; τII = 0, 32 t
cm2 ; τIII = 0, 38 tcm2 ;φI =
8, 15(10)−3rad ;φII = 2, 18(10)−3rad ;φIII = 8, 47(10)−3rad .
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-03
As extremidades A e D de dois eixos macicos de aco, AB e CD,estao engastadas. As extremidades B e C sao conectadas por
engrenagens, como indicado. Sabendo-se que a tensao decisalhamento admissıvel e 50 MPa para cada eixo, determinar o
maior torque T que pode ser aplicado na engrenagem B3.
3Resp.: T= 4,12 kN.m
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-03
As extremidades A e D de dois eixos macicos de aco, AB e CD,estao engastadas. As extremidades B e C sao conectadas por
engrenagens, como indicado. Sabendo-se que a tensao decisalhamento admissıvel e 50 MPa para cada eixo, determinar o
maior torque T que pode ser aplicado na engrenagem B3.
3Resp.: T= 4,12 kN.m
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-04
Os cilindros macicos AB e BC estao unidos em B e engastados emA e C. Sabendo-se que AB e de alumınio (Gal=26 GPa) e BC e delatao (Gl=39 GPa), determinar para o carregamento mostrado: (a)a reacao em cada extremidade fixa; (b) a maxima tensao cisalhante
em AB; (c) a maxima tensao cisalhante em BC4.
4Resp.: (a)MA= 9,68 kN.m; MC= 2,82 kN.m;(b) τAB = 29, 7MPa (c)τBC = 34, 1MPa
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-04
Os cilindros macicos AB e BC estao unidos em B e engastados emA e C. Sabendo-se que AB e de alumınio (Gal=26 GPa) e BC e delatao (Gl=39 GPa), determinar para o carregamento mostrado: (a)a reacao em cada extremidade fixa; (b) a maxima tensao cisalhante
em AB; (c) a maxima tensao cisalhante em BC4.
4Resp.: (a)MA= 9,68 kN.m; MC= 2,82 kN.m;(b) τAB = 29, 7MPa (c)τBC = 34, 1MPa
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-05
O eixo composto mostrado consiste em uma camisa de latao (Gl=39GPa) com 5,5 mm de espessura, colado a um nucleo de aco (Ga=77GPa) com diametro de 40 mm. Sabendo-se que o eixo e submetido
a um torque de 600 N.m, determinar: (a) a maxima tensaocisalhante na camisa de latao; (b) a maxima tensao cisalhante no
nucleo de aco; (c) o angulo de torcao de B, relativo a A5.
5Resp.: (a)17,47 MPa; (b)27,6 MPa; (c) 2,05 ◦
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-05
O eixo composto mostrado consiste em uma camisa de latao (Gl=39GPa) com 5,5 mm de espessura, colado a um nucleo de aco (Ga=77GPa) com diametro de 40 mm. Sabendo-se que o eixo e submetido
a um torque de 600 N.m, determinar: (a) a maxima tensaocisalhante na camisa de latao; (b) a maxima tensao cisalhante no
nucleo de aco; (c) o angulo de torcao de B, relativo a A5.
5Resp.: (a)17,47 MPa; (b)27,6 MPa; (c) 2,05 ◦
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-06
Calcular o momento torcor T admissıvel para a Figura abaixo.Dados: E = 2.100 t
cm2 ; G = 700 tcm2 ; σ = 1, 2 t
cm2 ; τ = 0, 8 tcm2 . As
barras AB e CD tem 1 centımetro de diametro e 1 metro decomprimento 6.
6Resp.: T = 12, 566 t.cm
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-06
Calcular o momento torcor T admissıvel para a Figura abaixo.Dados: E = 2.100 t
cm2 ; G = 700 tcm2 ; σ = 1, 2 t
cm2 ; τ = 0, 8 tcm2 . As
barras AB e CD tem 1 centımetro de diametro e 1 metro decomprimento 6.
6Resp.: T = 12, 566 t.cm
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-07
Sendo G = 800 kN/cm2, calcular qual deve ser o o coeficiente demola k (kN/cm2), indicado na Figura abaixo, para que o giro da
barra rıgida seja 0,01 radiano.
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-07
Sendo G = 800 kN/cm2, calcular qual deve ser o o coeficiente demola k (kN/cm2), indicado na Figura abaixo, para que o giro da
barra rıgida seja 0,01 radiano.
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-08
Dois eixos cheios de aco estao ligados por engrenagens. Sabendoque para cada eixo G = 77,2 GPa, e que a tensao de cisalhamentoadmissıvel e de 55 MPa, determine (a) o maior torque To que pode
ser aplicado a extremidade A do eixo AB e (b) o angulocorrespondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira7.
7Resp.: (a)To = 561lb.in; (b)φ = 12, 02o
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
AplicacaoExemplo-08
Dois eixos cheios de aco estao ligados por engrenagens. Sabendoque para cada eixo G = 77,2 GPa, e que a tensao de cisalhamentoadmissıvel e de 55 MPa, determine (a) o maior torque To que pode
ser aplicado a extremidade A do eixo AB e (b) o angulocorrespondente pelo qual a extremidade A do eixo AB gira7.
7Resp.: (a)To = 561lb.in; (b)φ = 12, 02o
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Referencias
1 http://www.set.eesc.usp.br2 BEER, F.P. et al. Resistencia dos materiais. Ed. McGraw-Hill.3 DI BLASI, C.G. Resistencia dos materiais. Liv. Freitas Bastos.4 HIGDON, A. et al. Mecanica dos materiais. Ed. Guanabara
Dois.5 LANGENDONCK, T. et al. Resist. dos materiais. Ed. da USP.6 NASH, W.A. Resistencia dos materiais. Ed. McGraw-Hill.7 RACHID, M. et al. Exercıcios de resistencia dos materiais. Ed.
da UFSCar.8 SCHIEL, F. Introducao a Resistencia de materiais. Ed.
HARBRA.9 SHAMES, I.H. Introducao a mecanica dos solidos. Ed.
Prentice-Hall.10 TIMOSHENKO, S.P. e GERE, J.E. Mecanica dos solidos.
Livros Tecnicos e Cientıficos Ed..
Plano de estudo Introducao Secao transversal circular cheia Secao transversal circular vazada Aplicacao Referencias
Dr. Iedo A. Souza (2008)
Referencias
1 http://www.set.eesc.usp.br2 BEER, F.P. et al. Resistencia dos materiais. Ed. McGraw-Hill.3 DI BLASI, C.G. Resistencia dos materiais. Liv. Freitas Bastos.4 HIGDON, A. et al. Mecanica dos materiais. Ed. Guanabara
Dois.5 LANGENDONCK, T. et al. Resist. dos materiais. Ed. da USP.6 NASH, W.A. Resistencia dos materiais. Ed. McGraw-Hill.7 RACHID, M. et al. Exercıcios de resistencia dos materiais. Ed.
da UFSCar.8 SCHIEL, F. Introducao a Resistencia de materiais. Ed.
HARBRA.9 SHAMES, I.H. Introducao a mecanica dos solidos. Ed.
Prentice-Hall.10 TIMOSHENKO, S.P. e GERE, J.E. Mecanica dos solidos.
Livros Tecnicos e Cientıficos Ed..