Trabalho Cisalhamento - REMA II
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UnUCET – Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Engenharia Civil
HIAGO MARTINS BORGES
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II
Anápolis
2012
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS
UnUCET – Unidade Universitária de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Engenharia Civil
TENSÕES DE CISALHAMENTO NA FLEXÃO
Anápolis
2012
Hiago Martins Borges
Pesquisa bibliográfica apresentada ao Professor Marco
Aurélio Caetano, como exigência para avaliação parcial na
disciplina de Resistência dos Materiais II.
INTRODUÇÃO
Vigas são elementos estruturais de grande importância na utilização em
projetos de engenharia (HIBBELER, 2010). Esses elementos são projetados para
suportar diversas cargas em sua extensão, sejam elas não verticais ou dispostas
verticalmente, dando origem aos esforços de cisalhamento e flexão. ( Em:
<http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html>)
Segundo Hibbeler (2010) , para se projetar uma viga corretamente, em
primeiro lugar, é necessário determinar a força de cisalhamento e o momento
máximos que agem na viga. Para isso, faz-se uso dos diagramas de força cortante e
momento fletor.
Assim, quando se dimensiona uma viga, seja ela de qualquer material deve-
se primeiramente calcular os esforços da estrutura para posteriormente fazer o
dimensionamento da peça propriamente dito, onde é verificada qual as dimensões
necessárias da peça estrutural que resista aos esforços solicitados. ( Em:
<http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html>)
Por meio da revisão bibliográfica, este trabalho tem por objetivo abordar
assuntos referentes ao cisalhamento na flexão, promovendo o estudo de um método
para a determinação da tensão de cisalhamento em uma viga com seção transversal
prismática, feita de material homogêneo e que se comporta de uma maneira linear
elástica.
1- CISALHAMENTO TRANSVERSAL
1.1- CISALHAMENTO EM ELEMENTOS RETOS
As vigas, em geral, suportam cargas de cisalhamento e também de momento
fletor. Numa viga submetida à uma força cortante V, aparecem tensões de
cisalhamento nas seções transversais e longitudinais ( figura 1) . Numa determinada
seção transversal, as tensões de cisalhamento, que nela atuam, têm como
resultante, ou são equivalentes, à força cortante V (NASH, 1982).
Figura 1. Cisalhamento transversal e longitudinal.
É possível explicar fisicamente por que a tensão de cisalhamento se desenvolve nos planos longitudinais de uma viga considerando que ela é composta por três tábuas. Se as superfícies superior e inferior de cada tábua forem lisas e as tábuas estiverem soltas, a aplicação doa carga P fará com que as tábuas deslizem uma sobre a outra e, assim, a viga sofrerá a deflexão mostrada na figura 2-a . Por outro lado se as tábuas estiverem unidas, as tensões de cisalhamento longitudinais entre elas impedirão que uma deslize sobre a outra e, por consequência, a viga agirá como uma unidade única (figura 2-b) (HIBBELER, 2010)
Figura 2 . Cisalhamento em vigas.
Quando submetidas ao cisalhamento, as seções transversais de uma viga tendem a distorcer de maneira bastante complexa. Segundo Hibbeler ( 2010) quando a viga é submetida ao cisalhamento e também à flexão, podemos considerar que essa distorção da seção transversal é pequena o suficiente para ser desprezada.
Tábuas soltas (a) Tábuas unidas. (b)
No caso do cisalhamento transversal, a distribuição da deformação por
cisalhamento ao longo da largura de uma viga não pode ser expressa facilmente em
termos matemáticos. Sendo assim, a analise de tensão de cisalhamento citada é
desenvolvida de uma maneira diferenciada. Desenvolve-se uma fórmula para a
tensão de cisalhamento indiretamente; isto é, usando a fórmula da flexão e a relação
entre o momento fletor e cisalhamento ( V = dM / dx ).
1.2- A FÓRMULA DO CISALHAMENTO
Segundo Nash (1982), em uma viga que suporta cargas perpendiculares ao
seu eixo, aparecem não só tensões normais, paralelas ao eixo da barra, como
também tensões de cisalhamento nas seções transversais e nos planos que lhes
são perpendiculares. É possível assim, deduzir uma expressão que fornece o valor
da tensão de cisalhamento, em função da força cortante e das propriedades
geométricas da seção transversal.
Considere um elemento de viga como ilustrado na Figura 3, de comprimento
infinitesimal dx.
Figura 3 . Viga e elemento de viga de comprimento dx.
Como observa-se na figura 4, devido aos efeitos da flexão, esse elemento de viga é solicitado por tensões normais, paralelas ao eixo x. ‘
Figura 4 . Tensões normais devido a flexão em um elemento de viga.
Conforme verificado na figura 4, essas tensões normais que atuam nas faces do elemento hachurado mpp1m1, de comprimento dx, variam linearmente a partir da linha neutra e, em qualquer ponto, a uma distância y da linha neutra são definidas nas faces mp e m1p1, respectivamente, como (TIMOSHENKO, 1989):
e
Equação 1 . Tensões normais devido à flexão em um elemento de viga
Sendo I o momento de inércia da seção transversal, em relação à linha neutra.
Figura 5 . Elemento mpp1m1.
Analisando o equilíbrio na direção x do elemento mpp1m1, por meio das equações e da figura 5 percebe-se que σ1 ≠ σ2 . Sendo assim, a tensão de
cisalhamento τ é fundamental para que se estabeleça o equilíbrio. Vale lembrar
que as tensões verticais nos planos mp e m1p1 não estão sendo consideradas, uma vez que está se analisando somente o equilíbrio na direção x.
Figura 6 . Diagrama de corpo livre do elemento mpp1m1.
Sabendo que:
Equação 2 . Tensão Normal originada por um elemento de carga dF
Temos:
Integrando dF e fazendo uso da Equação 1, temos:
∫
⁄
∫
⁄
Equação 3 . Força F1 atuante em mp.
Analogamente:
∫
⁄
Equação 4 . Força F2 atuante em m1p1.
Fazendo o equilíbrio do elemento da figura 6, na direção x:
∫
⁄
∫
⁄
∫
⁄
Equação 5 . Força F3 atuante na face pp1.
Como exposto anteriormente, para que seja satisfeita a condição de equilíbrio
em x, outra força deve atuar no elemento. Desde que a face mm1 não suporta, por
hipótese, qualquer força horizontal, a única possibilidade de equilíbrio está no
aparecimento de uma força horizontal, na face pp1. Segundo Nash (1982), essa
força representa a ação da parte inferior da viga sobre o elemento hachurado em
questão. Seja τ a tensão de cisalhamento que atua nos diversos pontos de pp1 . A
força horizontal será da formaτ , onde (b.dx) é a área da parte inferior do
elemento, conforme pode se observar na figura 3.
Sendo assim, F3 pode ser escrita em função da tensão τ:
τ
Equação 6 . Força F3 em função de τ.
Ao relacionar as equações 5 e 6, obtém-se:
τ
∫
⁄
τ
∫
⁄
Sendo
a força de cisalhamento, e ∫
⁄
o momento de
primeira ordem da área sombreada em torno do eixo neutro. Finalmente temos a
fórmula de cisalhamento em uma viga:
τ
Equação 7 . Fórmula de cisalhamento
Observações: - V, b e I são constantes em uma seção. - Ms varia com a distância y1.
- Trata-se todos os elementos da fórmula com valores
positivos, pois sabe-se que a tensão τ atua na mesma direção da força de cisalhamento V.
1.3 – TENSÕES DE CISALHAMENTO EM VIGAS
Para desenvolver uma certa percepção do método de aplicação da fórmula de
cisalhamento e também discutir algumas de suas limitações, é necessário estudar
as distribuições de tensão de cisalhamento em alguns tipos comuns de seções
transversais de vigas (HIBBELER, 2010).
À seguir será feito um estudo do cisalhamento em seções de vigas
retangulares e circulares.
1.3.1 – DISTRUIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO
RETANGULAR
Figura 7 . Seção retangular.
Tendo posse dos dados suficientes, é possível calcular a distribuição do cisalhamento na seção retangular de uma viga, através da Fórmula de Cisalhamento (Equação 7):
Equação 8 . Distribuição do cisalhamento em seção retangular.
A expressão acima indica que a tensão de cisalhamento varia
parabolicamente com y1. Como regra geral, a máxima tensão de cisalhamento τ ocorre no centro de gravidade da seção transversal CG (y1=0). Portanto
τ
Figura 8 . Tensão máxima de cisalhamento τ
1.3.2 – DISTRUIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE CISALHAMENTO NA SEÇÃO
CIRCULAR
Figura 9 . Seção circular.
Para seções circulares de vigas (figura 9) não se pode assumir que todas as tensões de cisalhamento agem paralelamente ao eixo y; em determinado ponto m na superfície, a tensão deve agir de forma tangente. Porém, as tensões de cisalhamento na linha neutra, onde as tensões são máximas, podem ser assumidas como paralelas à y e de intensidade constante ao longo da largura. Assim, para a linha neutra, pode-se utilizar a fórmula de cisalhamento (Equação 7):
Equação 9 . Cisalhamento máximo em seção circular
1.4- FLUXO DE CISALHAMENTO
Fluxo de cisalhamento é uma medida da força por unidade de comprimento ao longo de um eixo longitudinal de uma viga. Esse valor é determinado pela fórmula do cisalhamento e é usado para se definir a força de cisalhamento desenvolvida em elementos de fixação e cola que mantêm os vários segmentos de uma viga
unidos (HIBBELER, 2010).
Em outras palavras, pode-se dizer que o fluxo de cisalhamento (f) é a força de cisalhamento horizontal por unidade de distância ao longo do eixo longitudinal da viga. E é dado pela seguinte expressão:
Equação 10 . Fluxo de cisalhamento
1.5 – CENTRO DE CISALHAMENTO
Para Hibbeler (2010), o centro de cisalhamento é o ponto no qual se pode
aplicar uma força que causará a deflexão de uma viga sem provocar torção. Ele
sempre estará localizado em um eixo de simetria da seção transversal e a sua
localização é função apenas da geometria da seção transversal, não dependendo,
assim, do carregamento aplicado na viga.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Diante da importância de vigas como elementos estruturais aplicados na
engenharia, é de extrema necessidade o desenvolvimento de técnicas adequadas
para dimensioná-las de forma eficaz, garantindo assim não só a economia de
materiais, mas principalmente bom desempenho.
Para isso, é necessário o conhecimento de técnicas específicas que
assegurem a eficácia do dimensionamento. Um importante aspecto a ser levado em
consideração é a determinação das forças de cisalhamento a qual a viga se
submeterá.
A tensão de cisalhamento transversal em vigas pode ser determinada
indiretamente pela fórmula da flexão e pela relação entre momento e cisalhamento (
V= dM/dx). O resultado é a fórmula do cisalhamento (Equação 7). Como foi
apresentado, o estudo pode ser aplicado para vigas de diferentes seções
transversais (retangulares e circulares), porém possui algumas restrições.
Hibbeler (2010) salienta que a fórmula do cisalhamento (Equação 7) não dá
resultados precisos quando aplicada a elementos cujas seções transversais são
curtas ou achatadas ou em pontos onde ocorrem mudanças repentinas na seção
transversal ou em um ponto sobre um contorno inclinado. Nesses casos, a tensão
de cisalhamento deve ser determinada por métodos mais avançados baseados na
teoria da elasticidade.
Além do cálculo da tensão de cisalhamento em vigas, foi discutido outros
conceitos complementares ( fluxo de cisalhamento e centro de cisalhamento).
Por meio da revisão de literatura, acredita-se que o presente trabalho
alcançou os objetivos propostos, tendo exercido grande importância para o
enriquecimento do conhecimento pessoal e para a formação acadêmica.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
HIBBELER, Russel C. Resistência dos materiais. 7a ed. São Paulo: Pearson Prentice hall, 2010.
NASH, W. A. Resistência dos materiais. 3a ed. Rio de Janeiro: McGraw-Hill, 1982.
TIMOSHENKO, S. P., GERE, J. E. Mecânica dos sólidos. Rio de Janeiro: Livros
Técnicos e Científicos, 1989. v. 2.
UFPR - CESEC. Teoria sobre vigas. Disponível em: http://www.cesec.ufpr.br/etools/firstapplets/faap/teoria1j.html. Acesso: 12 de maio de 2012.
VANDERLEI, R. M. Cisalhamento. UEM. Disponível em:
http://www.gdace.uem.br/romel/MDidatico/MecanicaSolidosI/Capitulo5-Cisalhamento.pdf. Acesso em: 12 de maio de 2012.