Trabalho

Cálculo de Probabilidade

Assunto: Casos de probabilidade

Alunos: Jéssica Lopes

Laiane Campbell

Magno de Moura

Pedro Queiroz

Professor Nilo Sampaio

Casos de probabilidade 1º estudo de caso: Probabilidade de acontecer um acidente aéreo Um estudo feito no Reino Unido mostrou que a probabilidade de ocorrer um acidente aéreo é de 1 em 67.000 vôos e que acidentes com mortes são ainda mais raros: 1vôo em cada 345.000. É muito pouco, concluindo-se que voar é bastante seguro. Mas quando um acidente acontece isso é devido a algum erro. De acordo com as pesquisas feitas, a maior parte dos acidentes, chegando a 61% acontecem por falha humana (erro do piloto, falta de manutenção),11% clima, 22% falhas estruturais e 6% demais erros (como sabotagem, sequestros, etc). Atualmente muitas pessoas ainda possuem medo de voar, tomando essa base resolvendo calcular a chance de você sofrer um acidente aéreo, ondeencontramos uma porcentagem mínima. O número total de voos chegam a 653000000. E o numero de acidentes aéreos são de 5363. De acordo com esses dados, calcula-se qual a probabilidade de você sofrer um acidente aéreo:

P =

P = P = 0,0000082 = 0,00082%

2º estudo de caso: Probabilidade de sobrevivência em um

acidente aéreo

Dados estatísticos em diversas pesquisas apontam que a

chance de sobrevivência em um acidente aéreo é de, no

mínimo, 90%.Segundo Carlos Camacho, diretor do

Sindicato Nacional dos Aeronautas, "o lugar mais seguro

para escapar de um acidente é o fundo da aeronave.

Estatísticas apontam que a quantidade de vítimas entre as

pessoas sentadas na região que vai das asas à cauda do

avião é menor".

Um estudo realizado no Reino Unido diz que a chance de

um acidente com morte ocorrer é de um para cada 345 mil

voos. Já estudo realizado nos Estados Unidos, pelo

Departamento Nacional de Segurança nos Transportes,

analisou todos os acidentes aéreos ocorridos entre 1983 e

2000 e descobriu que de 53.487 pessoas envolvidas em

acidentes, 51.207 sobreviveram.Neste mesmo estudo,

calculou-se que, caso as pessoas, ao entrarem no avião,

observassem as normas de emergência e memorizassem a

distância que ficarão das saídas emergenciais,

aproximadamente 600 pessoas a cada 1,5 mil vítimas

mortais poderiam ter sobrevivido.

Com isso, descobrimos que o número de acidentados em

aviões é de 51,4 mil, e o número de sobrevivente é de 48,8

mil.

Calculando a probabilidade de sobrevivência em um

acidente temos:

P =

P = P = 0,949416... = 95%

3º estudo de caso:Probabilidade Geométrica

As definições e conceitos de Probabilidade, são

aplicáveis na resolução de uma extensa gama de

problemas matemáticos e de outras disciplinas. Porém,

algumas situações requerem uma extensão desses

conceitos. Tomemos os seguintes exemplos:

Uma pessoa procura, com os olhos vendados,

atingir um alvo de 40 cm de raio tendo no centro um

disco de 10 cm de raio. Se num determinado

arremesso ela acerta o alvo, qual a probabilidade

de que tenha atingido o disco central?

Numa outra situação seja um segmento de reta,

dividindo-se o mesmo em três partes, qual a

probabilidade que esses novos segmentos formem

um triângulo retângulo?

Responder às perguntas acima requer a introdução

do conceito de Probabilidade Geométrica, pois é

necessário estender o conceito de Probabilidade ao acaso

de experiências aleatórias, nas quais os resultados

possíveis constituam conjuntos contínuos.

Alguns problemas de Probabilidade são equivalentes

à seleção aleatória de pontos em espaços amostrais

representados por figuras geométricas, por exemplo. Nos

modelos em questão, a probabilidade de um determinado

evento se reduz à relação – ou ao seu limite, caso exista –

entre medidas geométricas, tais como: comprimento, área

ou volume [12]. Assim, a Probabilidade Geométrica pode

ser definida como o ramo da Probabilidade que usa

elementos de geometria em seus cálculos.

Dada a definição acima, algumas situações podem ser

usadas para caracterizar a Probabilidade Geométrica [13]:

Sejam X e Y pontos de uma determinada linha de

extremos A e B (Figura 1). Admite-se que a

probabilidade de que um ponto da linha AB

pertença à linha XY (contida em AB) é proporcional

ao comprimento de XY e não depende da posição

dos pontos X e Y sobre AB. Portanto, selecionando

um ponto qualquer de AB, a probabilidade de que

ele pertença a XYserá

Figura 1: Reta AB

Analogamente, supondo que a figura plana B

(Figura 2) seja parte de outra figura plana A e que

se tenha escolhido ao acaso um ponto de A. Se

admite que a probabilidade de que esse ponto

pertença a B é proporcional à área de B e não

depende do lugar que B ocupa em A, então a

probabilidade de que o ponto selecionado esteja em

Bserá

Figura 2: Figura plana B

Através dos exemplos citados acima, fica claro o

potencial da Probabilidade Geométrica para resolver certos

tipos de problemas, que se fossem abordados pela

Probabilidade Frequentista não seriam resolvidos de forma

satisfatória.

Estudo de Caso:

O jogo de discos

Para arrecadar dinheiro, uma escola elabora um jogo para

a festa de fim de ano. O jogo consiste em arremessar

discos com um certo diâmetro “d” e acertar em um

quadrado de lado “l”.

Os discos são comprados por R$2,00 e em caso de acerto

o jogador recebe R$3,00. As posições possíveis após o

arremesso são mostradas abaixo.

Para que as pessoas se interessem em jogar, a escola

deseja que a probabilidade favorável ao jogador seja de

40% e à escola 60%.

Perguntas:

1) Qual deve ser o diâmetro do disco, se o quadrado de

que a escola dispõe tem 30 cm de lado?

2) Se a escola conseguir vender 1000 discos, quanto vai

arrecadar ?

Sob condições ideais podemos supor que lançar o disco

aleatoriamente no piso é o mesmo que lançar seu centro

aleatoriamente. Assim, a probabilidade “p” de o jogador

ganhar (no nosso caso 40%) é a mesma probabilidade de

um ponto, lançado aleatoriamente dentro do quadrado de

lado 30, cair dentro do quadrado de lado 30 − d .

Posição favorável ao jogador À escola

Pela probabilidade geométrica, temos que:

p= área do quadrado menor

área do quadrado maior

p = (l-d)² = d² – 2d + 1

l² l² l

Como a escola deseja que p = 40% = 0,4, temos:

0,4 = d² – 2d + 1 d = 11,0263 cm

l² l

Caso a escola consiga vender 1000 discos, temos:

. arrecadação bruta: R$2000,00.

. 40% de jogadas acertadas = 400

A escola paga R$400,00

. Arrecadação líquida: R$600,00

30 – d

30

d / 2