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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO UFMTFACULDADE DE ARQUITETURA, ENGENHARIA E TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVILCURSO DE ENGENHARIA CIVIL

CUIABNOVEMBRO/2011

CUIABNOVEMBRO/2011SUMRIO

1 INTRODUO1 2 ANLISE DIMENSIONAL E EQUACIONAMENTOS EXPERIMENTAIS42.1 ANLISE DIMENSIONAL52.1.1 Grupos Adimensionais32.1.2 Conceito de Analise Adimensional52.1.3 Teorema dos s e Buckingham52.1.4 Mtodo do Sistema Pr-Bsico52.2 SEMELHANA DINMICA 52.2.1 A Semelhana Dinmica e Analise Adimensional52.2.2 Grupos Adimensionais Importantes52.3 EQUACIONAMENTO EXPERIMENTAL 52.3.1 Perda de Carga em Escoamentos Sob Presso52.3.2 Foras nos Escoamentos Externos5 3 TRANSPORTE CONVECTIVO DE CALOR E MASSA43.1 TRANSFERNCIA DE CALOR53.1.1 Camada-Limite Trmica33.1.2 Analogia de Reynolds para Escoamento Turbulento em Tubos Cilndricos53.1.3 Outras Analogias53.1.4 O Problema da Transferncia de Calor por Conveco53.1.5 Frmulas Empricas para Conveco do Calor53.2 TRANSFERNCIA DE MASSA53.2.1 Camada-Limite de Concentrao33.2.2 Utilizao da Analogia de Reynolds53.2.3 O Problema da Transferncia de Massa por Conveco53.2.4 Equaes Experimentais para o Transporte de Massa Convectivo53.2.5 Aplicaes do Transporte Simultneo de Calor e Massa5 4 CONCLUSAO4 BIBLIOGRAFIA5

1 INTRODUO

H muitos problemas de interesse no campo dos fenmenos de transporte, no mundo real dos projetos, que no podem ser resolvidos usando apenas as equaes diferenciais e integrais. Muitas vezes necessrio apelar aos mtodos experimentais para estabelecer relaes entre as variveis de interesse. Como estudos experimentais so geralmente muito caros, necessrio manter as experimentaes em um nvel mnimo. Isso feito usando uma tcnica chamada anlise dimensional, que baseada na noo de homogeneidade dimensional - na qual todos os termos em uma equao devem ter as mesmas dimenses: no possvel somar mas com laranjas.Uma rea que envolve a necessidade da aplicao dessas analises dimensionais dentro dos fenmenos de transporte se relaciona com a transmisso de calor e massa em um fluido.Sempre que um corpo est a uma temperatura maior que a de outro ou, inclusive, no mesmo corpo existam temperaturas diferentes, ocorre uma cesso de energia da regio de temperatura mais elevada para a mais baixa, e a esse fenmeno d-se o nome de transmisso de calor, ocorrendo analogamente uma transmisso de massa o mesmo processo, levando em conta o gradiente de concentrao.Adentrando ao contedo, nesse trabalho introduziremos os conceitos das analises dimensionais para o estudo das transferncias de calor e massa nos fluidos, abordando conceitos de camada-limite, analogias de resoluo, exemplificaes e aplicaes dos temas.

2 ANLISE DIMENSIONAL E EQUACIONAMENTOS EXPERIMENTAIS

O estudo dos equacionamentos diferenciais no estudo dos fenmenos dos transportes por vezes muito complexo. O estudo s foi facilitado aps o aparecimento da anlise dimensional e das experincias de Nikuradze.

2.1 Anlise Dimensional2.1.1 Grupos Adimensionais

No campo da mecnica dos fluidos existem problemas que no podem ser resolvidos usando apenas as equaes diferenciais e integrais, devido ao grande nmero de variveis envolvidas. Muitas vezes necessrio apelar aos mtodos experimentais para estabelecer relaes entre as variveis de interesse. Isso feito usando uma tcnica chamada anlise dimensional, que baseada na noo de homogeneidade dimensional - na qual todos os termos em uma equao devem ter as mesmas dimenses.As unidades so expressas utilizando apenas quatro grandezas bsicas ou categorias fundamentais: massa[M]; comprimento[L]; tempo[T] e temperatura[]. Elas representam as dimenses primrias que podem ser usadas para representar qualquer outra grandeza ou grupo de grandezas fsicas.

As dimenses primrias so:

Em fenmenos dos Transportes a dimenso de uma grandeza G expressa em funo das dimenses primrias como um produto da forma:[G] = Ma .Lb.Tc.dem que a, b, c e d so nmeros puros e [G] indica a dimenso da grandeza GUma grandeza fsica tem uma dimenso que representada por uma relao das grandezas primrias, e se essa relao unitria, o grupo denominado adimensional, isto , sem dimenso. Um exemplo de grupo adimensional o nmero de Reynolds:

2.1.2 Conceito de Analise Adimensional

Com base na lei da homogeneidade, na qual cada termo da equao deve ter a mesma representao dimensional, facilitado o estudo de situaes nas quais as variveis envolvidas em um fenmeno fsico so conhecidas.O uso dos grupos adimensionais facilita bastante o desenvolvimento dessas relaes, pois, como os grupos adimensionais so montados pelo agrupamento de diversas variveis, o nmero de grupos consideravelmente menos que o nmero de variveis fsicas.

2.1.3 Teorema dos s e Buckingham Quando no fenmeno fsico estiverem envolvidas (n) variveis (G1, G2,... Gn), e se esse fenmeno fsico puder ser descrito por uma funo [f (G1, G2,... Gn) = 0], ento ele tambm poder-se- ser descrito por uma funo adimensional [ (1, 2,... , n) = 0], de (n-r) grupos adimensionais independentes, onde (r) o nmero de dimenses bsicas. Cada () um grupamento adimensional. A independncia obtida se cada grupo adimensional envolver uma varivel fsica diferente dos demais,

2.1.4 Mtodo do Sistema Pr-Bsico

Uma aplicao de determinao dos nmeros adimensionais feita em etapas dar sistematizao ao processo de gerao dos grupos adimensionais.Uma esfera, de dimetro (D), submersa num fludo em movimento com uma velocidade (V) arrastada por uma fora (Fa). Considerando que o fludo seja incompressvel de massa especfica () e viscosidade dinmica ou absoluta ().

Para desenvolver uma equao da fora de arraste (Fa) em funo das demais variveis envolvidas preciso seguir as seguintes etapas:1. Identificar as variveis envolvidas no fenmeno fsico e exprimi-las matematicamente por meio de uma funo [f (G1, G2, ... Gn) = 0]; f (Fa, V, D, , )= 02. Exprimir cada varivel envolvida em termos das dimenses bsicas (F,L,T) ou (M,L,T);

3. Determinar o nmero de grupos adimensionais (s) igual a (J); J = n - r (5.5)No qual: J= nmero de grupos adimensionais (s); n = nmero de variveis envolvidas; r = nmero de dimenses bsicas necessriasJ =( 5 3 ) = 2 s (Dois grupos adimensionais)

4. Escolher as variveis repetitivas com expoentes desconhecidos, formando os (s). Cada () ser o produto das variveis repetitivas por mais uma varivel com expoente conhecido e igual (1). As variveis repetitivas formam o denominado sistema pro-bsico, devendo uma delas representar uma dimenso (L), a outra uma propriedade do fluido (=massa especfica a preferida), e a terceira uma grandeza cinemtica (V=velocidade deve ser a preferida)

Pro-bsico: (D, , V,) variveis repetitivas.

5. Para cada (), determinar os expoentes desconhecidos utilizando a lei da homogeneidade;

6. Substituir os expoentes algbricos pelos numricos calculados e montar os grupos adimensionais;

7. Montar a funo adimensional;V

2.2 Semelhana Dinmica

Antes de comear a falar sobre semelhana dinmica, tem-se que entender a definio de semelhana. De modo geral, semelhana indica que dois fenmenos possuem um mesmo comportamento. Na mecnica dos fluidos, o termo semelhana indica uma relao entre dois escoamentos que possuem uma semelhana geomtrica entre seus contornos, sendo que eles possuem dimenses diferentes. O escoamento que possui uma dimenso maior possui a denominao de escala natural ou prottipo, j o escoamento de escala menor denominado de modelo.Um dos tipos de semelhana que existe nos fluidos, aquela em que as foras que agem em massas correspondentes no escoamento do modelo e no escoamento do prottipo esto na mesma razo, e em toda a extenso do escoamento, sendo que essas foras sejam do mesmo tipo e paralelas. Assim, para que exista semelhana dinmica implica dizer que o modelo e o prottipo tero que ser geometricamente semelhantes e que os escoamentos tero que possuir semelhana cinemtica e semelhana na distribuio de massa.

A semelhana dinmica uma condio suficiente para considerar dois escoamentos como semelhantes. Um exemplo disso, a fora de arrasto em uma esfera:

Os escoamentos sero semelhantes se:

2.2.1 A semelhana dinmica e anlise adimensional

Muitas vezes precisam ser feitos experimentos em objetos que so muito grandes, para serem manipulados em experincias e com custo razovel, como em escoamentos ao redor de submarinos e navios, ou em escoamentos atravs de grandes bombas e turbinas. Esses escoamentos so geralmente realizados em laboratrios, com modelos que so menores que o prottipo, reduzindo assim os custos comparados com os estudos em escalas plenas.

possvel verificar-se que diferentes condies de um mesmo experimento levam mesma curva, devido ao fato de que a anlise dimensional faz com que diversas curvas sejam agrupadas em uma nica, pois ela reduz o nmero de variveis a serem investigadas nos trabalhos experimentais. Restringindo mais ainda as condies dos experimentos, possvel que experimentos de diferentes escalas apresentarem os mesmos valores para os grupos adimensionais que eles possuem, obtendo assim, diferentes condies geomtricas que levam ao mesmo ponto naquela curva. Um exemplo muito usado no uso do conceito de semelhana o teste em tnel de vento ou em gua, onde as linhas de corrente e as foras induzidas nos corpos submersos so avaliadas com muita preciso utilizando modelos em escalas menores.

2.2.2 Grupos adimensionais importantes

Devido ao fato das mltiplas aplicaes dos grupos adimensionais nos desenvolvimentos experimentais, e nos estudos de modelos e aplicaes de semelhana dinmica, foram criados vrios grupos nas diversas reas que compem os Fenmenos de Transporte. So extremamente importantes na correlao de dados experimentais.Alguns dos grupos mais importantes so:

Nmero de Weber:

Relao entre foras de inrcia e foras de tenso superficial. Ela muito importante em situaes onde a tenso superficial influencia o escoamento, como por exemplo, um escoamento com uma interface.

Nmero de Euler:

Relao entre foras de presso e as foras de inrcia. Muito usado em situaes, onde os escoamentos nas quais a queda de presso significativa.

Nmero de Reynolds:

Relao entre foras de inrcia e foras viscosas. Utilizada quando os escoamentos so influenciados por efeitos viscosos (escoamentos internos, escoamentos de camada-limite).

Nmero de Strouhal:

Relao entre fora centrfuga com foras de inrcia. Utilizada principalmente em um escoamento com uma componente no-permanente, que se repete periodicamente.

Nmero de Nusselt:

Relao entre fluxo de calor por conveco e o fluxo de calor por conduo no prprio fluido. um dos principais grupos adimensionais nos estudos de transmisso de calor por conveco.

Nmero de Prandtl:

Relao entre a difuso de quantidade de movimento e difuso de quantidade de calor. Outro grupo adimensional importante nos estudos de transmisso de calor por conveco.

2.3 Equacionamento experimental

2.3.1 Perda de carga em escoamentos sob presso

O escoamento interno em tubulaes sofre uma forte influncia interna das paredes, dissipando assim energia em razo do atrito viscoso das partculas do fluido. As partculas em contato com as paredes adquirem a velocidade dela, e influenciam as partculas vizinhas por meio da viscosidade e da turbulncia, dissipando energia, assim provocam uma reduo da presso total do fluido ao longo do escoamento. Essa dissipao de energia denomina-se perda de carga.A perda de carga que ocorre nos escoamentos sob presso possui duas causas distintas, a primeira a parede dos dutos retilneos, onde a presso total diminui gradativamente ao longo do comprimento do tubo e denomina-se perda de carga distribuda; a segunda constituda pelos acessrios de canalizao, pois possui vrias peas para a montagem da tubulao, e o escoamento sofre variaes bruscas de velocidade, em mdulo ou direo, assim a presso total intensifica em determinados pontos, por isso essa se denomina perdas de carga localizadas.

2.3.1.1 Perda de carga distribuda

Existe um conceito experimental de fcil entendimento em relao a perda de carga distribuda, que quando se tem dois tubos iguais, que comportam-se da mesma forma, de mesmo comprimento L, so submetidos mesma vazo Q, apresentando a mesma perda de carga p. Se os tubos forem montados em seqncia, um em frente do outro, o novo conjunto que foi formado ter agora o dobro de seu comprimento e ter tambm a perda de carga duplicada. Quando for colocado mais um tubo nesse conjunto, ele passar a ter o triplo de comprimento e a perda de carga multiplicada por trs. Esse conceito experimental indica que a perda de carga linearmente dependente do comprimento L. A equao que se usa para resolver problemas com perda de carga, a equao universal de perda de carga.

Onde:L = comprimento da tubulao ; D = dimetro do conduto ;v = velocidade do escoamento ; g = acelerao local da gravidade ; f = fator de perda de carga(ou fator de atrito).

2.3.1.2 Perda de carga localizada

Como j foi dito anteriormente, a perda localizada ocorre sempre que um acessrio inserido na tubulao, seja para promover a juno de dois tubos, para mudar a direo do escoamento ou para controlar a vazo. O clculo da perda localizada depende de coeficientes experimentais, que so estabelecidos com o auxlio da anlise dimensional e medidos a partir de uma amostra estatstica retirada de uma partida de fabricao dos acessrios. A perda nos acessrios pode ser quantificada por dois critrios, pelo comprimento equivalente que leva em conta o comprimento dos acessrios presentes na tubulao, e pelo coeficiente de perda em funo da carga cintica, que caracterstico de cada acessrio.

2.3.2 Foras nos escoamentos externos

Introduzido por Ludwig Prandtl, em 1904, a camada limite, este conceito introduziu a moderna mecnica dos fluidos. Essa camada a regio mais prxima superfcie, onde se forma o perfil de velocidades. Os estudos sempre se preocupam com as duas principais foras que aparecem sobre o corpo quando ele se movimenta imerso em um fluido: a sustentao e o arrasto. A sustentao a fora que aparece sobre um corpo e age nele perpendicularmente direo do movimento, j o arrasto a fora que aparece na direo do movimento e a ele se ope. Escoamento viscoso, laminar e incompressvel sobre uma placa semi-infinita.3 TRANSPORTE CONVECTIVO DE CALOR E MASSA

3.1.Transferncia de calor

Transferncia de Calor (ou Calor) energia em trnsito devido a uma diferena de temperatura. Sempre que existir uma diferena de temperatura em um meio ou entre meios ocorrer transferncia de calor. Se dois corpos a diferentes temperaturas so colocados em contato direto ocorrera uma transferncia de calor do corpo de temperatura mais elevada para o corpo de menor temperatura at que haja equivalncia de temperatura entre eles. Dizemos que o sistema tende a atingir o equilbrio trmico. Na realidade transporte de calor por conveco se processa da seguinte maneira: admita-se que uma molcula de um corpo fluido atinja uma regio de temperatura mais elevada; quando a molcula estiver nesta regio, elevar-se- sua temperatura, conseqentemente ficar menos densa uma vez que aumentar seu volume permanecendo com o mesmo peso, cedendo seu lugar, por conseguinte, a outra molcula mais densa, e assim sucessivamente, dando origem a um transporte de calor por conveco.Este processo de transmisso de calor tem duas classificaes: conveco natural ou livre e conveco forada. O transporte de calor por conveco parcialmente regido pela mecnica dos fluidos, uma vez que o fenmeno envolve movimento de fluido.O calor transferido por conveco, na unidade de tempo, entre uma superfcie e um fluido, pode ser calculado atravs da relao proposta por Isaac Newton : q = h. A.T onde,

q= fluxo de calor transferido por conveco ( kcal/h);A = rea de transferncia de calor (m2);T = diferena de temperatura entre a superfcie (Ts) e a do fluido em um local longe da superfcie (T ) (C);h = coeficiente de transferncia de calor por conveco ou coeficiente1.1Camada-Limite Trmica

A Camada-Limite Trmica a regio prxima do escoamento em que a temperatura do fluido varia. Imagina-se uma placa em contato com o fluido de um escoamento, sendo que a temperatura da placa maior que a temperatura do fluido, a regio do fluido vizinha placa ir aquecer , j a regio longe da placa no haver perturbaes com a temperatura. Essa regio vizinha placa na qual sofrer perturbaes de temperatura ser a camada-limite trmica.

Por se tratar de um escoamento, a energia trmica transferida para o fluido arrastada para uma nova regio, acumulando-se energia ali transferida e gerando um aumento da espessura da regio aquecida.

Para determinao da espessura da camada limite adota-se uma definio anloga quela empregada para camada-limite de velocidade. Sua fronteira definida como lugar geomtrico dos pontos para os quais a diferena entre a temperatura do ponto e da superfcie igual 99% da diferena entre a temperatura da superfcie e do fluido no perturbado.

T Ts = 0,99*(T - Ts)

De acordo com a formao da camada limite trmica, o processo de troca de calor por conveco pode ser natural ou forado, como j foi definido no item anterior. Em razo das semelhanas existentes entre as camadas-limite do processo de quantidade de movimento e de calor, pesquisadores tentaram solues anlogas s trocas de quantidade de movimento para troca trmica. Dentre essas analogias entram a analogia de Reynolds (1874), Prandtl (1910), Taylor (1919), Colburn (1933), Von Karman (1939), e a de Martinelli (1947).

3.2 Analogia de Reynolds para escoamento turbulento em tubos cilndricosA analogia de Reynolds repousa na hiptese de que o calor e a quantidade de movimento so transferidos, no escoamento turbulento, por processos anlogos.Como podemos ver na figura abaixo:

V= velocidade mdia T= temperatura da regio no perturbadaTs= temperatura da superfcie entre a placa e o fluidoAs camadas-limite trmica e hidrodinmica apresentam a mesma espessura para Pr =1 .

No escoamento turbulento, as equaes bsicas de turbulncia de quantidade de movimento e de calor podem ser aplicadas e a influencia da turbulncia introduzida por meio de um coeficiente de difuso turbulenta somando ao coeficiente difusivo das equaes bsica.O fluxo trmico na parede calculado pelas equaes de Newton da conveco, expressa na forma: q = h(Ts -T)A equao conhecida como analogia de Reynolds e sua correlao experimentais mostra resultados razoveis para valores do numero de Prandtl prximo a unidade Pr prximo do valor um. A equao de resume :Nu = Re*Pr *f / 8Sendo; f/8 = St

he o coeficiente de transferncia de calor. a densidade do fluido.Cp a capacidade calorfica a presso constante no fluido.V a velocidade do fluido.

v- velocidade mdia do fluidoD- longitude caracterstica do fluxo, odimetropara o fluxo no tubo -viscosidadedinmica do fluido -massa especficado fluido

:viscosidade cinemtica, = / , (em unidades doSI: m/s):difusividade trmica, =k/ (Cp), (unidades do SI: m/s):viscosidade dinmica, (unidades do SI: Pa s)k:condutividade trmica, (unidades do SI: W/(m K) )Cp:calor especfico, (unidades do SI: J/(kg K) ):densidade, (unidades do SI: kg/m ).

3.3 Outras analogias

A partir de Reynolds outras analogias foram sugeridas na literatura. Algumas como: Equao de Colburn: Muito utilizada, pois estende a aplicao da analogia de Reynolds para nmeros de Prandtl maiores que 1. St = Pr^(-2/3) * f/8Equao de Dittus-Boelter: Nu = 0,023 Re^(0,8) * Pr^(n) Onde n = 0,4 no aquecimento (T > Ts) en =0,3 noresfriamento (T< Ts) do fluido. A faixa de aplicabilidade a mesma que a da equao de Colburn.T= temperatura da placaTs= temperatura do fluido

3.4 O problema da transferncia de calor por conveco

Considerando o exemplo do item 1, resumindo na passagem de energia trmica da placa com temperatura Ts (temperatura da superfcie da placa) para um fluido com temperatura T aonde no h variao de temperatura. Em razo da diferena de temperatura entre a temperatura da superfcie da placa, deve haver uma troca de calor entre o slido e o meio tendendo ao equilbrio trmico. O problema da transferncia de calor entre o solido e o fluido, a conveco do calor, resume-se determinao da descarga trmica que ocorre entre o contorno e o meio.Newton formulou essa questo conceituando o coeficiente de pelcula mdio:q = h. A.Tq= fluxo de calor transferido por conveco ( kcal/h);A = rea de transferncia de calor (m2);T = diferena de temperatura entre a superfcie (Ts) e a do fluido em um local longe da superfcie (T ) (C);h = coeficiente de transferncia de calor por conveco ou coeficienteA avaliao do coeficiente de pelcula o passo fundamental para a soluo dos problemas de transmisso de calor por conveco.Os desenvolvimentos das equaes de avaliao do coeficiente de pelcula foram elaborados para as duas conveces (forada e natural).Conveco forada: movimento do fluido resulta da ao de foras externas, como um ventilador, uma bomba, etc.Os grupos adimensionais que regem esse fenmeno so:

L: o comprimento caracterstico do fenmeno.

Conveco natural: conveco induzida por diferena de densidades resultantes de diferenas de temperaturas no seio do fluido.

3.5 Frmulas empricas para conveco do calor

Expresses dos processos de clculo relacionados a conveco foram formuladas e escolhidas por sua simplicidade para facilitar o efeito didtico das formulas originais (mais complexas).Conveco foradaQuando o ndice a letra x, considera-se o nmero de Nusselt na posio x, denominando de Nusselt local. Se o ndice L, considera-se o nmero de Nusselt mdio sobre a dimenso L. Placa Plana, Regime Laminar (Re < 5x105),

0,6 < Pr < 50

0,6 < Pr < 50

Placa Plana, Regime turbulento (Re > 5x105)

0,6 < Pr < 60

0,6 < Pr < 605x105 < ReL 108 Recr = 5x105Cilindro com temperatura constante em escoamento cruzadoO numero de Nusselt calculado com base no dimetro do tubo e a temperatura de pelcula.

Escoamento ao redor de esferas com temperatura constante : lquido ou gasoso

0,7 < Pr < 3803,5 < ReD 8x104(2.38)

Conveco natural: Quando o ndice a letra x, considera-se o nmero de Nusselt na posio x, denominando de Nusselt local. Se o ndice L, considera-se o nmero de Nusselt mdio sobre a dimenso L.

Placa Plana vertical e cilindro vertical com temperatura constante:Escoamento laminar:

Gr < 109Escoamento turbulento:

Gr > 109Cilindro horizontal com temperatura constante:

Pr >0,5103