UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS

UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

ENGENHARIA CIVIL

MECÂNICA

EQUILÍBRIO DE PARTÍCULAS

ANÁPOLIS

NOVEMBRO/2013

ii

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE GOIÁS

UNIDADE UNIVERSITÁRIA DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS

ENGENHARIA CIVIL

MECÂNICA

EQUILÍBRIO DE PARTÍCULAS

Acadêmicos:

Angelita Ribeiro RamosBruno Martins SilvaDiogo Dionizio Amorim

Trabalho realizado para constituir nota na

disciplina de Mecânica, do curso de

Engenharia Civil-3º Período, ministrada

pelo professor Marcus Vinicius.

ANÁPOLIS

NOVEMBRO/2013

RESUMO

ii

Este trabalho possui um experimento para a seguinte finalidade:

Dado um cubo com um peso suspenso por três fios com molas no meio destes

apresentar:

1. Localização cartesiana do local onde estes fios estão afixados de acordo com o

referencial adotado;

2. Cálculo da deformação de cada mola;

3. Cálculo da constante elástica de cada mola utilizada no experimento;

4. Cálculo da força em cada fio para diferentes pesos.

Sabe-se que o erro esperado do experimento é de 1,5 %, e que deve ser observadas

a qualidade da armação de metalon e a conservação física das molas para que não ocorram

deformações que comprometam o experimento.

SUMÁRIO

ii

1.0 - INTRODUÇÃO.............................................................................................................5

2.0 – REFERENCIAL TEÓRICO..........................................................................................6

2.1 - CORPO RÍGIDO...........................................................................................................6

2.2 - EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS.........................................................................6

2.3 - FORÇA .........................................................................................................................6

2.4 – GRAVIDADE...............................................................................................................6

2.5 - LEI DE HOOKE............................................................................................................6

2.6 - LEIS DE NEWTON.......................................................................................................7

2.6.1 - 1ª LEI.......................................................................................................................7

2.6.2 - 2ª LEI.......................................................................................................................7

2.6.3 - 3ª LEI.......................................................................................................................7

2.7 – MOMENTO..................................................................................................................7

2.8 – PESO.............................................................................................................................8

2.9 – TRAÇÃO.......................................................................................................................8

2.10 – VETORES...................................................................................................................8

2.10.1 - PRODUTO ESCALAR..........................................................................................8

2.10.2 - PRODUTO VETORIAL........................................................................................8

2.10.3- CÁLCULO VETORIAL.........................................................................................9

3.0 - ARRANJO EXPERIMENTAL....................................................................................11

4.0 - RESULTADOS............................................................................................................14

4.1 - CÁLCULO DAS CONSTANTES............................................................................14

4.2 - CALCULOS DAS TRAÇÕES (VALORES PRÁTICOS).......................................16

4.3 - CALCULOS DAS TRAÇÕES (VALORES TEÓRICOS).......................................17

4.4 - CÁLCULO DO ERRO.............................................................................................18

5.0 - ANÁLISE.....................................................................................................................19

6.0 - CONCLUSÃO ............................................................................................................20

7.0 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................21

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1.0 – INTRODUÇÃO

Este trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de um experimento de

equilíbrio de partículas. Consiste em desenvolver uma estrutura de forma tridimensional,

assim optamos em utilizar um cubo, contendo apenas suas arestas para suspender dentro

desta estrutura um peso que será sustentado por fios, sendo que no meio destes fios haverá

uma mola para que possam ser medidas a força, constante e deformação da mola contidas

em cada fio.

Foram utilizados materiais de pesquisa como o livro de Mecânica Vetorial para

Engenheiros. Foram consultados também acadêmicos que também haviam feito o trabalho

anteriormente.

A partir de pesquisas previamente feitas foi projetado o cubo, de metalon, e feita à

confecção de molas para o experimento. Os cálculos realizados no projeto logo depois

foram conferidos para a verificação e comparação do resultado experimental com o

teórico.

ii

2.0 - REFERENCIAL TEÓRICO

2.1 - CORPO RÍGIDO

Denomina-se corpo rígido um corpo ideal em que desprezamos suas deformações e

supomos que o corpo possua sua forma definida e imutável.

2.2 - EQUILÍBRIO DE CORPOS RÍGIDOS

Quando as forças que atuam em pontos diferentes sobre um copo com massa

distribuída, para garantir que o corpo não possa girar: a soma dos torques em relação a

qualquer ponto deve ser igual à zero. Assim neste contexto podemos dizer que este corpo

esta em equilíbrio.

2.3 - FORÇA

Pode-se conceituar força como uma descrição quantitativa da interação entre dois

corpos ou entre o corpo e seu ambiente.

2.4 - GRAVIDADE

Força que tem como função atrair todos os copos para o centro da Terra. Essa força

gera uma aceleração denominada aceleração da gravidade.

2.5 - LEI DE HOOKE

É uma lei da física que está relacionada à elasticidade de corpos e também serve

para calcular a deformação causada pela força que é exercida sobre um corpo, sendo que

tal força é igual ao deslocamento da massa partindo do seu ponto de equilíbrio multiplicada

pela constante da mola ou de tal corpo que virá a sofrer tal deformação. A constante

elástica da mola depende principalmente da natureza do material de fabricação da mola e

de suas dimensões. A expressão matemática que representa essa lei é a seguinte:

F=K.X

Notando que segundo o Sistema Internacional:

F está em newtons

K está em newton/metro

X está em metros

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2.6 - LEIS DE NEWTON

As leis de Newton podem ser sintetizadas em conjunto de afirmações que definem

o movimento.

2.6.1 - 1ª LEI

Quando a força resultante que atua sobre um corpo é igual à zero, o movimento do

corpo não se altera.

2.6.2 - 2ª LEI

Relaciona a força com a aceleração quando a força resultante que atua sobre um

corpo não é igual à zero.

2.6.3 - 3ª LEI

É uma relação entre as forças de interação que um corpo exerce sobre o outro.

2.7 MOMENTO

O momento de uma força em relação a um eixo pode ser definido como a grandeza

física que dá uma medida da tendência de aquela força provocar rotação em torno de um

eixo. Podendo ser calculado pelas seguintes fórmulas:

M = r x f

Ou M = r x f x senθ

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2.8 - PESO

É a força de atração gravitacional exercida pela terra sobre o corpo, que pode ser

calculada pela seguinte fórmula:

P= m x g

2.9 – TRAÇÃO

A tração é a força aplicada em um corpo por intermédio de um fio, corda ou cabo.

Em qualquer ponto é o módulo da força que atua nesse ponto.

2.10 - VETORES

I. Grandezas vetoriais são descrita por um módulo, juntamente com uma

direção e sentido no espaço.

2.10.1 - PRODUTO ESCALAR

O produto escalar, de dois vetores v; w é o escalar denotado v ¢ w definido por:

(i) v ¢ w = v1w1 + v2w2;

(ii) Se v = (v1; v2) e w = (w1; w2) são vetores no plano, e por v ¢ w = v1w1 + v2w2 +

v3w3;

(iii) Se v = (v1; v2; v3) e w = (w1; w2; w3) são vetores no espaço.

2.10.2 - PRODUTO VETORIAL

O produto vetorial de dois vetores não nulos v e w que não são paralelos é o vetor

denotado v x w definido por:

(i) v x w tem direção perpendicular ao plano determinado por v e w;

(ii) v£w tem sentido determinado pela regra da mão direita: direcionando o polegar

direito no sentido de v e o restante dos dedos da mão direita no sentido de w, então

v x w tem o sentido projetando da palma da mão;

(iii) Se ângulo entre v e w, a norma de v x w é dada por:

(iv) Se v e w são paralelos, define-se v £ w = 0. Também definimos v x 0 = 0 e 0 vxv = 0.

ii

2.10.3- CÁLCULO VETORIAL

Para o melhor entendimento sobre o equilíbrio estático de partículas é necessário ter

um bom conhecimento sobre calculo vetorial que auxiliaram na localização dos vetores

força no espaço cartesiano.

Um vetor no espaço apresenta componentes x ,y, z.

Quando esse vetor representa uma força F, essa força pode ser decomposta ou

longo dos eixos x, y e z e representada da seguinte forma: fx, fy e fz.

O módulo de um vetor é calculado pela seguinte formula || F || = √( fx² + fy² + fz² ).

Geometricamente essa fórmula representa a distância entre a origem e a extremidade do

vetor.

Outro conceito de cálculo vetorial importante para o equilíbrio estático de corpos

rígidos é de cossenos diretores. Que nada mais são do que o cosseno dos ângulos formado

entre o vetor e os eixos x, y, z.

ii

Os cossenos diretores são representados por λx, λy, λz. E podem ser calculados por:

λx = xF / || F ||

λy = yF / || F ||

λz = zF / || F ||

Os cossenos diretores permite decompor um vetor facilmente. No caso de equilíbrio

estático ele permite a descoberta das componentes fx, fy e fz. Pois:

fx = F × λx

fy =F × λy

fz = F × λz

Com esses conceitos pode se definir o principio básico de equilíbrio que como já

foi dito, as forças externas se anulam. Que pode representado por:

Ʃfx = 0

Ʃfy = 0

Ʃfz = 0

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3.0- ARRANJO EXPERIMENTAL

Utilizou-se os seguintes materiais para realizar o experimento:

3 molas;

Linhas de aço;

Linhas de naylon;

Estrutura aberta em aço em forma de paralelepípedo;

Escalímetro;

Paquímetro;

6 pesos;

Balança Analítica;

Gancho;

Grampos;

Alicates;

Esquadro;

Figura 1.0 Figura 2.0 Figura 3.0

Primeiramente mediu-se em uma balança analítica a massa de cada peso, em

seguida calculou-se a medida das constantes elásticas utilizando a Lei de Hooke (F=K.X).

Para isso usou uma régua vertical de base fixa, linhas de nylon na qual a própria

passava por dentro de cada mola. Logo depois marcou no fio de nylon a posição inicial da

mola e em seguida colocou o peso e mediu a deformação da mola. Repetiu-se a etapa cinco

vezes em cada uma das três molas. Com base na média das deformações obtidas, pode-se

calcular a constante elástica de cada mola.

Foram obtidos os seguintes dados, considerando que foi utilizado um gancho de

peso 0,620 Kg para acoplar os pesos com os fios de aço.

ii

Figura 4.0

Em seguida foram definidas as coordenadas de onde seriam amarrados os fios de

aço que sustentariam os pesos, sendo que todos os pontos que sustentaria os fios seriam em

eixos coordenados, em que os pontos A e B foram colocados no eixo X e o ponto C no

eixo Y e a origem definida entre os pontos A e B.

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Figura 5.0

Em seguida colocou-se os fios na estrutura metálica nos pontos A, B e C. Todos os

fios que liga a mola a estrutura tinha 11,803, conforme medição no paquímetro.

Adiante centralizamos o peso a caixa, usando um escalímetro encontrou as

coordenadas dos pontos onde as linhas estão ligadas a estrutura, em seguida, para cada

peso, determinou-se as coordenadas de onde se encontravam as linhas.

Terminado o trabalho de armação da estrutura foi feito o cálculo dos cossenos

diretores, e por meio da fórmula:

Depois calculou-se a força para as retas PA, PB e PC.

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4.0 - RESULTADOS

4.1 - CÁLCULO DAS CONSTANTES

Para a mola A (vermelha):

Na tabela abaixo se encontram as especificações da mola e das

condições naturais na Cidade de Anápolis:

Considerando a aceleração da gravidade em Anápolis:

9,69223538m/s²

Comprimento o original da mola: 6,78 cm

Detalhes

Peso 1: 49,29 g

Peso 2: 50,00 g

Peso 3: 49,93 g

Peso 4: 50,00 g

Peso 5: 49,92 g

Peso 6: 49,94 g

Alternando as massas tivemos as seguintes deformações e constantes

elásticas:

Pesos

utilizados

Deformação(m) Constante elástica

1,2 0,0384 26,95905365 N/m

1,2,3 0,0665 24,84452591 N/m

1,2,3,4 0,09141 26,92177732 N/m

1,2,3,4,5 0,1221 25,37463299 N/m

1,2,3,4,5,6 0.1504 22,60688081 N/m

Assim a média das constantes elásticas da mola A é: 25,34131413 N/m.

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Para a mola B (verde):

Considerando a aceleração da gravidade em Anápolis: 9,69223538m/s²

Comprimento o original da mola: 6,8 cm

Detalhes

Peso 1: 49,29 g

Peso 2: 50,00 g

Peso 3: 49,93 g

Peso 4: 50,00 g

Peso 5: 49,92 g

Peso 6: 49,94 g

Alternando as massas tivemos as seguintes deformações e constantes

elásticas:

Pesos

utilizados

Deformação(m) Constante elástica

1,2 0,0374 27,67988398 N/m

1,2,3 0,0632 28,43945732 N/m

1,2,3,4 0,0912 29,34916814 N/m

1,2,3,4,5 0,1212 28,14336391 N/m

1,2,3,4,5,6 0,1482 32,52078195 N/m

Assim a média das constantes elásticas da mola B é: 29,22653106 N/m.

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Para a mola C(rosa):

Considerando a aceleração da gravidade em Anápolis: 9,69223538m/s²

Comprimento o original da mola: 7,10 cm

Detalhes

Peso 1: 49,29 g

Peso 2: 50,00 g

Peso 3: 49,93 g

Peso 4: 50,00 g

Peso 5: 49,92 g

Peso 6: 49,94 g

Alternando as massas tivemos as seguintes deformações e constantes

elásticas:

Pesos

utilizados

Deformação(m) Constante elástica

1,2 0,0471 21,97935586 N/m

1,2,3 0,0778 19,52649066 N/m

1,2,3,4 0,11062 18,86882924 N/m

1,2,3,4,5 0,1356 18,34591486 N/m

1,2,3,4,5,6 0,1631 22,00823083 N/m

Assim a média das constantes elásticas da mola C é: 20,14576429 N/m.

4.2 - CÁLCULOS DAS TRAÇÕES (VALORES PRÁTICOS)

Valores práticos da tração:

Mola Distensão da

mola

Constante Média Tração da mola

A(vermelha) 0,039 m 25,34131413 N/m 25,34131413 N

ii

B(verde) 0,0366 m 29,22653106 N/m 1,069691037 N

C(rosa) 0,0727 m 20,14576429 N/m 1,464597064 N

4.3 - CÁLCULOS DAS TRAÇÕES (VALORES TEÓRICOS)

Calculo teórico da tração:

Coordenadas dos pontos

Ponto Abscissa Ordenada Cota

A -15,30 0 0

B 14,6 0 0

C 0 44,24 0

D (Ponto de

carga)

0 18 -37,64

Cossenos diretores

Dir dx Dy Dz D ʎx ʎy ʎz

DA -15,30 -18 37,64 44,43933244 -0,35772067 -0,40504601 0,84699628

DB 14,60 -18 37,64 44,2032759 0,33029226 -0,40720964 0,8515206

DC 0 26,2

4

37,64 45,883626671 0 0.57188156 0,8203362

Componentes da força

Trações:

TDA = TDA (-0,35772067 i - 0,40504601 j + 0,84699628 k)

TDB = TDB (0,33029226 i - 0,40720964 j + 0,8515206 k )

TDC = TDC ( 0 i + 0.57188156 j + 0,8203362 k )

Peso:

Massa: 306,61g

P = 2,971773629 N

Para o sistema se encontrar em equilíbrio as forças em todos os eixos se anulam, portanto:

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-0,35772067 0,33029226 0 TDA 0

-0,40504601 -0,40720964 0,8515206 TDB = 0

0,84699628 0.57188156 0,8203362 TDC 2,971773629

Portanto as trações são:

TDA = 0,99617572843 N

TDB = 1,07911212123 N

TDC = 1,47394481904 N

4.4 - CÁLCULO DO ERRO

O obtemos o cálculo do erro através da formula:

E (% )=¿

Onde:

Vt: Valor teórico;

Ve: Valor experimental

Os erros encontrados foram:

Mola A (vermelha): 0,789466878%

Mola B (verde): 0,873040349%

Mola C (rosa): 0,634199796%

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5.0 – ANÁLISE

Ao se fazer um trabalho cujo objetivo é a análise de forças em um sistema real é

necessário que faça medidas precisas para que o erro calculado no final não comprometa a

análise dos resultados.

Neste trabalho em especial foi preciso medir diversas vezes para garantir a precisão

do trabalho, porém as falhas instrumentais, humanas e diferenças nas extremidades dos

materiais não contribuíram para que em todos os cálculos este rigor métrico pudesse ser

exercido.

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6.0 - CONCLUSÃO

Aplicar os conceitos de mecânica em um modelo real com todas as implicações, foi

bastante desafiador dado à quantidade de materiais existentes, escolher aqueles que

possuem maior resistência e oferecem maior precisão é o que torna impar um trabalho

experimental dessa magnitude.

Considerando que neste trabalho proposto um erro inferior a 1,5%, o que só é

possível com uma quantidade razoável de massas no sistema, tendo em vista que o quanto

menor a massa aplicada ao sistema maior o erro e menor a garantia de precisão nas

medidas.

Com isso pode-se inferir que a diferença dos modelos matemáticos e físicos

teóricos difere em muito dos modelos experimentais no que diz respeito ao erro e

quantidade de dados a serem considerados.

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7.0 - REFERÊNCIAS BIBLIÓGRAFIAS

http://www.mat.ufmg.br/~rodney/notas_de_aula/vetores.pdf, acessado no dia 30 de

outubro de 2013, ás 14:56.

http://www.fec.unicamp.br/~nilson/apostilas/tracaocompressaoleidehooke.pdf, acessado no

dia 30 de outubro de 2013, ás 8:12.

http://profclaytonpalma.netspa.com.br/FISICA1SERIE/ForcadeTracao.pdf acessado no dia

04 de novembro de 2013, ás 00:32.

SEARS E ZEMANSKY, Fisica I, 10 Ed., São Paulo: Pearson,2003.

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