Trabalho pares

Praia

Matemática A- Trabalho de Pares António Almeida e Rute Resende 11ºA

Problema nº9

Praia

António Almeida e Rute Resende 11ºA

Numa praia da costa alentejana, mediu-se num determinado dia o nível médio das águas do mar, N, em metros, ao longo do tempo, t, em horas. Depois de registados os dados encontrou-se como modelo deste fenómeno periódico a seguinte função:


24,0,6

cos24)(

tttN

Nota: O argumento da função cosseno está expresso em radianos.

Enunciado do Problema:

Utilizando as capacidades da calculadora gráfica, introduziu-se a função N(t), com a janela de visualização , obtendo-se a seguinte representação gráfica:


Esboço da função obtida

yx 8,030,0

t

N(t)


Estudo da Função • A função apresentada é uma função

Cosseno. Assim, pôde-se retirar conclusões iniciais como:

• A função é par (paralela em relação ao eixo das ordenadas)

• O período da função é 12 ( 12 horas)

• A função não é injetiva ( existem diferentes horas com o mesmo nível médio de águas)

12H 24H

Período

Domínio da função com base no problema

t

N(t)


Nível médio das águas às 14h

3

142

124

3cos24

3

7cos24

6

14cos24

6cos24

N

t

R.: Às 14h o nível médio das águas do mar era de 3 metros

Para calcular o nível médio das águas do mar às 14 horas, substituiu-se t por 14 e simplificou-se a expressão.

ktkt

ktk

t

k

t

k

t

ktktt

tt

128124

123

2412

3

12

6

1

2

6

3

4

6

1

2

6

3

2

23

4

62

3

2

62

1

6cos

16

cos256

cos24


Valores de t para os quais N(t)=5

24,03228,2

24,02016,1

24,084,0

tttk

tttk

tttk

R.: O nível médio das águas do mar é 5 metros, às 4h, 8h, 16h e 20h

Calculou-se a hora em que o nível médio das águas do mar tinha o valor de 5 metros, igualando a expressão a 5.


Horas da manhã em que o nível médio das águas do mar é superior a 4 metros

(3,4) (9,4) (21,4) (15,4)

Introduziu-se a função y=4 e, utilizando as capacidades da calculadora gráfica, calculou-se a interseção das duas funções obtendo os pontos assinalados em baixo:

Conclui-se que o nível médio das águas do mar é superior a 4 metros, entre as 3h e as 9h da manhã, e entre as 15h e as 21h. (Não inclusive)

1.5) Sabendo que as marés podem ser traduzidas por funções do tipo: , justifica graficamente se, no cotexto do problema, a pode ser igual a zero.

)( dcxbsenay


Sabe-se que:

24,0,6

cos24)(

tttN

Logo

a b c

Igualando a a zero, obtém-se:

24,0,6

cos2)(

tttN


Utilizando as capacidades da calculadora introduziu-se as duas funções N(t), com a janela de visualização , obtendo-se a seguinte representação gráfica:

24,0,6

cos24)(

tttN

24,0,6

cos2)(

tttN

yx 8,330,0

Igualando a a zero e através da representação, pôde-se concluir que, a é uma transformação da função (na vertical), elevando os valores de y quatro unidades.

Assim, sem esta transformação, y toma valores negativos, logo, é impossível o problema ser representado igualando a a zero. Isto porque N representa uma medida, que nunca pode ser negativa.


1.6) E se b fosse o simétrico do atual?

Como já concluído anteriormente b= -2, assim o simétrico de b é 2. Utilizando as capacidades da calculadora introduziu-se a função N(t), com a transformação indicada e a função N(t) original, com a janela de visualização obtendo a seguinte representação gráfica:

yx 8,030,0

24,0,6

cos24)(

tttN

24,0,6

cos24)(

tttN

Pôde-se concluir que, com esta transformação o problema continua a ser representado corretamente. No entanto, os valores de N são simétricos para os mesmo valores de t, exceto em N=4, onde as funções se cruzam.

N=4


Conclui-se que…

A função N(t) representa uma medida, tal que, os seus valores são sempre positivos. Os a valores de t horas variam entre 0 e 24 porque o problema apresentado, diz respeito a valores de um dia completo.

A função tem um período de 12, neste caso 12 horas, sendo que para resolver o problema, utilizam-se os dois primeiros períodos ( ).

Para calcular valores de N, num certo valor de t, em horas, basta substituir t por esse mesmo valor.

Para calcular valores de t, para um certo valor de N, basta igualar a função a esse valor, obtendo números variáveis consoante uma incógnita k. Substituindo k, tendo em atenção o domínio da função N(t), obtém-se os valores de t correspondentes, neste caso, a um certo nível médio de águas do mar.

A função N(t) tem algumas transformações associadas, e substituindo esses valores por outros, ou por simétricos, as respostas ao problema tornam-se radicalmente diferentes, ou até impossíveis.

24,0t


Fim…

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