Transformaçõe Lineares
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1 TRANSFORMAÇÕES LINEARES I – Introdução : As funções ou aplicações onde o domínio e o contradomínio são espaços vetoriais são chamados de funções vetoriais ou transformações vetoriais. Assim, T: V W representará uma transformação do espaço vetorial V no espaço vetorial W. Como T é uma função, cada V tem um só vetor imagem W, tal que T . Exemplo : Seja a transformação T: 2 2 definida por T (x, y) = (x + y, y). Fazendo = (1, 2) e = (3, 1), teremos: T = (3, 2); T =(4,1) e T T (4, 3) = (7, 3) II ) Definição : Sejam V e W espaços vetoriais. Uma transformação T: V W é linear se: ( i ) ( ii ) , com V e um escalar qualquer. Obs:. Usaremos T.L. para nos referimos a uma transformações linear e, não colocaremos a “seta” em e . Exemplos.: 1) A transformação identidade I: V V tal que I é linear, pois: i) ii) 2) A transformação nula T: V W, f (v) = 0 é linear, pois i) y x 0 3 2 1 4 3 2 1 y x 0 1 2 3 3 4 7
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Material de aprendizado abordando profundamente sobre o tema em Álgebra Linear.
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1TRANSFORMAES LINEARESI Introduo:Asfunesouaplicaesondeodomnioeocontradomniosoespaosvetoriaissochamadosdefunes vetoriais ou transformaes vetoriais.Assim, T: V representar! uma transformao do espao vetorial V no espao vetorial ."omo T # uma funo, cadav V tem um s$ vetor ima%emw , tal &ue T w v = ' (.)*emplo: +e,a a transformao T: - - definida por T (*, .' / (* 0 ., .'.1a2endou/ (1, -' ev/ (3, 1', teremos:T' (u/ (3, -'4T' (v/(5,1' e T= + ' ( v u T (5, 3' / (6, 3'II ' 7efinio: +e,am V eespaos vetoriais. 8ma transformao T: V # linear se:( i '' ( ' ( ' ( v T u T v u T + = +( ii ' ' ( ' ( u T u T =, com v u , V e um escalar &ual&uer.9:s:. 8saremos T.;. para nos referimos a uma transformaes linear e, no colocaremos a > > ' ( v T u T v u T + = + = = +ii'' ( > . > ' ( u T u T = = =
3 ' +e,a a transformao T: - - : T (*, .' / (*, -.'..*>3-153 - 1.*>1-33 5 6 T
VOT-+e,amu/ (*1, .1' ev / (*-, .-'.i''? .( - , @ ' , , ( ' ('. , (e ' ( ' ( ' (- 1 - 1 - 1 - 1- -y y x x y y x x T v u Ty x v v T u T v u T+ + = + = += + = + ii'' ( ' - , ( ' - , ( ' , ( ' (1 1 1 1 1 1u T y x y x y x T u T = = = =+eu/ (1, -' ev/ (5, 1', teremos:T' (u/ (1, 5', T' (v/ (5, -' e T' ( v u +/ T (A, 3' / (A, B' / T ' (u 0 T' (vT' . - ( u/ T (-, 5' / (-, C' / -.(1, 5' / -.T ' (uIII Dropriedades:1E' +e T : V # uma T.;. ento T> ' ( = O , ou se,a, a ima%em do vetorO V # o vetorO .)sta propriedade decorre da condio ( ii ' da definio para / >. 9u se,a:( ii ' o o T u T o u o T u T u T = = = ' ( ' ( . ' , ( ' ( ' ( -E' +e T: V # uma T.;. e F / G ,..., H1 nv v # uma :ase de V, teremos:T.(a11v0... 0 an nv' / a1. T(1v'0... 0an.T.(nv', para a1,..., an .)sta propriedade decorre da definio de T.;., ou se,a:T.(a1 1v0 a- -v0... 0an nv' / T(a1 1v'0 T.(a- -v' 0... 0T.(an nv' / a1.T(1v' 0 a-T(-v'0... 0 an.T.(nv'."omo F / Hnv v , ,...1G # uma :ase para V, o con,untoH T(1v',...,T(nv' G # uma :ase para a ima%em datransformao.)*emplo.:1' +e,a a T.;. T: - 3 tal &ue T.(1, 1' / (-, I1, 1' e T(>, 1' / (>, >, 1'.7eterminar a ;ei de Transformao (*, .'.F / H (1, 1', (>, 1' G # :ase do - pois a1(1, 1' 0a-(>, 1' / (>, >' = += +>> >- 11a aaa1/ a-/ >, ou se,a,1v/ (1, 1' e -v/ (>, 1' so ;.I. ;o%o, todo vetor v -pode ser escrito comocom:inao linear de 1v e -v.(*, .' / a1.(1, 1' 0a-.(>, 1' = = += = +x y a y a ax a x a- - 11 1>Assim: (*, .' / *.(1, 1' 0(. *'.(>, 1' e, T.(*, .' / *.T.(1, 1' 0 (. *'.T.(>, 1' / *.(-, I1, 1' 0 (. *'. (>, >, 1'T.(*, .' / (-*, I*, .'-vIV JKcleo e Ima%em de uma T.;.7efinio: +e,a a transformao linear T : V .( i ' 9 nKcleo, ou Lernel, de T # o su:con,unto de V definido por:Ler (T' / J (T' / Hv V 4 T ( v' /> G( ii ' A ima%em de T # o su:con,unto dedefinido por Im (T' / Hw 4 T( u' /w, para al%umv V G3)*emplo1:+e,a a transformao linear T: - - definida por T(*, .' / (* 0-., -* 05.'. 7etermine o nKcleo e aima%em da T.;.JKcleo: 7evemos ter T.( v' />. ;o%o,(* 0-., -* 05.' / (>, >'> > >- > -> 5 -' - ( > - y x y xy xy x
J (T' / H (I-., .'4 . G4 dim J (T' / 1 e, uma :ase para o nKcleo pode ser F / H (I-, 1' G.Ima%em: T ( v'/ w. +e,aw/ (a, :', temos:(*0-., -* 05.' / (a, :' * 0 -. / a (I-'* 0-. / a -* 05. / :> 0 > / I-a 0: : / -a;o%o, Im (T' / H (a, -a'4 a G / Ha.(1, -'4 a Gdim Im (T' / 1 e uma :ase H (1, -' G.)*emplo -:+e,a T: 3 34 T (*, ., 2' / (* 0 -. 2,. 0 -2,* 03. 02'.a' 7eterminar o nKcleo de T, a dimenso do nKcleo e uma de suas :ases4:' 7eterminar a ima%em de T, a dimenso e uma de suas :ases.a' J (T' / M T ( v' />* 0-. 2 / > (I1' * 0 -. 2 / >. 0-2 / > . 0 -2 / >(I1' * 03. 02 / > > 0 . 0 -2 / >. / I-2 * 52 2 / > * / A2J (T' / H (A2, I-2, 2' 4 2 G / H 2 (A, I-, 1'4 2 G 7im J / 1 4Fase / H (A, I-, 1' G:' Im (T' / M(a, :, c' Im (T' se e*iste (*, ., 2' 3 tal &ue: VTIm T J ( T'5 (* 0-. 2,. 0-2,* 03. 02' / (a, :, c'ou* 0 -. 2 / a(I1' * 0 -. 2 / a* 0 -. 2 / a. 0 -2 / :. 0 -2 / :(I1' . 0 -2 / :* 0 3. 0 2 / c. 0 -2 / Ia 0 c> / I: a 0 cou c / a 0 :Im (T' / H (a, :, a 0:' : a, : G / H (a, >, a' 0 (>, :, :' 4 a, : G / H a (1, >, 1' 0 : (>, 1, 1' 4 a, : G. 1a2enso a / : / 1, temosFase / H (1, >, 1', (>, 1, 1' G e dim Im (T' /-.)*emplo 3:+e,a T :33uma T.;.e F 0 H 1v/ (>, 1, >',-v/(1, >, 1', 3v/ (1, 1, >' G uma :ase do 3.+a:endo &ue T (1u' / (1, I-', T (-v' / (3, 1' e T ( 3v' / ( >, -', determinar:a' A lei T. (*, ., 2':' 9 Ler Tc' A Im Ta' "omo F # uma :ase de 3, temos:(*, ., 2' / a.(>, 1, >' 0 :.(1, >, 1' 0 c. (1, 1, >' : 0 c / * a 0 c / .Temos:: / 24 c / * 2 e a / I* 0 . 02 : / 2)nto:(*, ., 2' / (I* 0 . 0 2'.(>, 1, >' 0 2 (1, >, 1' 0 (* 2 '. (1, 1, >'Aplicando T, temos:T (*, ., 2' / ( I* 0 . 0 2' T (>, 1, >' 0 2 T (1, >, 1' 0 (* 2' T (1, 1, >' / (I* 0 . 0 2' (1, I-' 0 2 (3, 1' 0 (* 2' (>, -' / (I* 0 . 0 2, -* -. -2' 0 (32, 2' 0 (>, -* -2' / (I* 0 . 0 52, 5* -. 32 ':' JKcleo: T (v' />(I* 0 . 0 52, 5* -. 32' / (>, >'I* 0 . 0 52 / >(-'I* 0 . 0 52 / >5* -. 32 / > -* 0 > 0 A2 / > * / -Az-Az0 . 0 52 / > A2 0 -. 0 C2 / > -3zy =J (T' / H ' ,-3,-A( zz z 2 G / H 2 ' 1 ,-3,-A( 4 2 GFase / H (' 1 ,-3,-A Gc' Ima%em: T ( u' /w(I* 0 . 0 52, 5* -. 32 ' / (a, :' I* 0 . 0 52 / aA 5* -. 32 / :
Exerccios1' 7ada a transformao linear T : 3 3 definida por T (*, .' / (-*, I. , * 0 .', determine:a' T (1, >' / :' T (I1, -' /c' T (I3, 5' 0 T (-, 3' /d' 3 T (1, -' / e' T @3.( 1, -'? /-' 7adas as funes a:ai*o, verifi&ue &uais so lineares:a' T: - 3, T (*,.' / (* ., 3*, I-.':' T: - -, T (*,.' / (. *, >'c' T: - -, T (*,.' / (. 0 1, *'d' T: -, T (*,.' / (*, -'e' T: - , T (*,.' / *f' T: 3 3 , T (*, ., 2' / (., *, >'%' T: 3 -, T (*, ., 2' / (*, 2'h' T: 3 -, T (*, ., 2' / (*, 2-'i' T: 3, T (*' / (>, *, 3*',' T: 3 , T (*, ., 2' / * 0 2 0 1.
