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Transformações lineares Introdução Estamos familiarizados com funções ordinárias tais como a função f definida pela equação f(x) = x2. Essa função transforma um número real em outro número real, no caso, no seu quadrado. Por exemplo, o número 2 é transformado em 4, isto é, f(2) = 4. Estudaremos agora funções que transformam vetores em vetores. Em geral, se V e W são espaços vetoriais, uma função ou TRANSFORMAÇÃO T de V para W é uma regra que associa a todo vetor x em V um único vetor em W que é denotado por T(x). Se x é um vetor em V, então T(x) é chamada a IMAGEM de x sobre a transformação T.

Por exemplo, se T é uma transformação do IR3 para o IR 2 definida pela equação: T(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x2 + x3)

Então T leva o vetor (1,1,1) no vetor T(1,1,1) = (2,2) e o vetor (3,2,0) no vetor T(3,2,0) = (5,2).

Definição

Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma transformação (ou aplicação) T: V W é

chamada de LINEAR se para todos os vetores x e y em V e para todo escalar ,

T(x + y) = T(x) + T(y)

T(x) = T(x)

Uma transformação linear T: V W preserva a adição e a multiplicação por escalar entre os vetores.

Usando-se as duas propriedades simultaneamente chegamos a uma terceira propriedade:

Sejam v1 e v2 vetores em V e 1 e 2 dois escalares, então:

T(1v1 + 2v2) = T(1v1) + T(2v2) = 1 T(v1) + 2 T(v2)

Diz-se que uma transformação linear satisfaz o princípio da superposição, que é essa terceira propriedade. Mas o princípio da superposição pode ser aplicado a n vetores em V e n escalares. Ora, mas isso é uma combinação linear. Logo, T preserva combinações lineares.

Exemplo 1: V = IR e W = IR

F : IR IR

u u ou F(u) = u

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F(u + v) = (u + v) = u + v = F(u) + F(v).

F(ku) = (ku) = ku = kF(u).

Então F é uma transformação linear.

Exemplo 2: Seja T a transformação dada por T(x,y)= (x-y, x+y). T é linear?

Exemplo 3: F(u) = u2 é uma transformação linear? Não, pois F(u + v) = (u + v)2 = u2 + 2vu + v2 =

F(u) + 2vu + F(v) F(u) + F(v).

Exemplo 4: L: 2 , L(v) = L(x,y) = 2x + 4 é uma transformação linear? Sejam u = (u1, u2) e v = (v1, v2)

L(u + v) = L(u1 + v1, u2 + v2) = 2 (u1 + v1) + 4

L(u + v) = 2u1 + 2v1 + 4 L(u) + L(v).

Portanto L não é uma transformação linear.

Exemplo 5: Seja D : Pn Pn, onde Pn é um polinômio e D é a aplicação derivada. Pelas propriedades das derivadas, sabe-se que:

D(f + g) = D(f) + D(g). D(kf) = k D(f).

Então D é uma transformação linear.

Observação: Decorre da definição que uma transformação linar T, T: V W leva o vetor nulo de V no vetor nulo de W, isto é, se

0 V, T(0) = 0 W. Isto nos ajuda a detectar transformações não lineares. Se T(0) ≠ 0, T não é linear. No entanto, T(0) = 0 NÃO é suficiente para que T seja linear.

Exemplo: T: 3 3 onde T(x,y,z) = (x+1, y,z) é linear?

Transformações do plano no plano Vamos apresentar uma visão geométrica das transformações lineares, dando alguns exemplos de transformações do plano no plano.

1. Expansão ou contração uniforme:

T : R2 R2 , V tal que T(u) = u

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(x,y) (x,y)

2. Reflexão em torno do eixo x:

T: R2 R2

(x,y) (x, -y)

3. Reflexão na origem:

T: R2 R2

(x,y) (-x, -y)

4. Rotação de um ângulo t no sentido anti horário:

Rt: R2 R2

(x,y) (x cos t – y sen t, y cos t + x sen t) Teorema: Dados dois espaços vetoriais reais V e W e uma base de V, {v1, ..., vn}. Sejam w1,

..., wn elementos arbitrários de W. Então existe uma única aplicação linear T : V W tal que: T(v1) = w1, ...., T(vn) = wn. Se v = a1v1 +... anvn, esta aplicação é dada por T(v) = a1T(v1) + ... + anT(vn) = a1w1 +... anwn

Isto significa que as aplicações lineares são determinadas conhecendo-se apenas seu valor nos elementos de uma base.

Exemplo: Qual é a transformação linear T: R2 R3 tal que T(1,0) = (2,-1,0) e T(0,1) = (0,0,1)? Imagem e Núcleo Imagem:

Im (T) = {w W; T(v) = w, para algum v V}.

Isto é, a imagem de T é o conjunto dos vetores w de W tais que existe um vetor v V, que satisfaz T(v) = w.

Im (T) W é um subconjunto de W e, além disso, um subespaço vetorial de W. Núcleo:

Ker(T) = {v V; T(v) = 0}.

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Ou seja, o conjunto de todos os vetores v V tais que T(v) = 0 é chamado núcleo de T, sendo denotado por Ker(T).

Ker(T) V é um subconjunto de V e, ainda mais, é um subespaço vetorial de V.

Exemplo: T: R2 R

(x,y) x+y

Im(T) = , pois dado w , w = T(w,0).

Ker(T) = {(x,y) 2 / x + y = 0} ou x = -y; v = (-1,1) gera o núcleo. O núcleo tem a dimensão de W, nesse caso.

Definição: Dada uma aplicação T: V W, diremos que T é INJETORA se dados u, v V com u ≠ v, então T(u) ≠ T(v)

Definição: A aplicação T: V W será SOBREJETORA se a imagem de T coincidir com W, ou seja, T(V) = W. Propriedade: Uma transformação linear é injetora se, e somente se, Ker(T) = {0}.

ESPAÇOS VETORIAIS ISOMORFOS

Quando uma transformação linear T : V W for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, dá-se o nome de ISOMORFISMO. Quando há tal transformação entre dois espaços vetoriais dizemos que estes são ISOMORFOS. Sob o ponto de vista da Álgebra Linear, espaços vetoriais isomorfos são, por assim dizer, idênticos. Em outras palavras, quando a correspondência biunívoca entre dois espaços vetoriais preserva as operações de adição e multiplicação por escalar, T(v + w) = T(v) + T(w) e T(kv) = k T(v), diz-se que esses espaços são isomorfos.

T : V W dim Ker(T) + dim Im(T) = dim V

Obs: Toda transformação linear pode ser representada por uma matriz. Exemplos: 1) Reflexão em torno do eixo x:

T: R2 R2

(x,y) (x, -y) 2) Reflexão na origem:

T: R2 R2

(x,y) (-x, -y)

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Transformação linear

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A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.

Em Matemática, uma transformação linear é um tipo particular de função entre dois espaços vetoriais que

preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também

pode ser chamada de aplicação linear ou mapa linear. No caso em que o domínio e contradomínio

coincidem, é usada a expressão operador linear. Na linguagem da álgebra abstrata, uma transformação

linear é um homomorfismo de espaços vetoriais.

Definição e consequências imediatas

Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K.

Diz-se que uma função T de V em W é uma transformação linear se

;

.

Exemplos de transformações lineares:

a função T de K em K definida por T(x) = 3x;

a função T de K2 em K definida por T(x,y) = x + y;

a função T de K2 em K

2 definida por T(x,y) = (3x + y,2x − 2y);

se D for o espaço das funções deriváveis de R em R e se F for o espaço de todas as funções de R em

R, então a derivação (isto é, a função de D em C que envia cada função na sua derivada) é linear.

Em contrapartida, se a ∈ K \ {0}, então a função T de K em K definida por T(x) = x + a não é uma

transformação linear.

Se T for uma função de um espaço vetorial V num espaço vetorial W, então afirmar que T é linear equivale

a afirmar que T preserva combinações lineares de pares de vetores, isto é, para quaisquer dois vetores

v1,v2 ∈ V e dois escalares α1,α2 ∈ K:

T(α1v1 + α2v2) = α1T(v1) + α2T(v2)

Para qualquer aplicação linear T de V em W tem-se:

T(0) = 0, pois T(0) = T(0 − 0) = T(0) − T(0) = 0.

se v ∈ V, então T( − v) = − T(v), pois T(v) + T( − v) = T(v − v) = T(0) = 0.

Núcleo

O núcleo de uma transformação linear T de V em W, denotado por ker(T), é o conjunto

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(onde 0 é o vetor nulo de W)

Exemplo: O núcleo da função T de K3 em K

3 definida por T(x,y,z) = (2x − z,2z + y,x + y + 3z / 2)

é:

O conjunto ker(T) é um subespaço vetorial de V, pois se v1,v2 ∈ ker(T) e se α1,α2 ∈ K, então

T(α1v1 + α2v2) = α1T(v1) + α2T(v2) = 0,

ou seja, α1v1 + α2v2 ∈ ker(T).

Se uma aplicação linear T de V em W for injectiva, então ker(T) = {0}, pois T(0) = 0 e, portanto, pela

injectividade de T,o único vector v ∈ V tal que T(v) = 0 é 0. Reciprocamente, se ker(T) = {0}, então T

é injectiva, pois, dados v,w ∈ V

.

Imagem

Sejam V e W espaços vectoriais sobre um corpo K. A imagem de uma transformação linear T de V em W é

o conjunto

.

Sejam w,w2 dois elementos da imagem de T e sejam . Então, como w1,w2 estão na imagem

de T, há vectores tais que w1 = T(v1) e que w2 = T(v2), pelo que

.

Logo, é um subespaço vectorial de W.

Dimensão da imagem e do núcleo

Sejam V e W espaços vectoriais sobre um corpo K, sendo V de dimensão finita, e seja T uma

transformação linear de V em W. Então

.

Vai ser visto como se pode demonstrar esse facto. Seja n = dim(ker(T)) e seja {v1,v2,…,vn} uma base

de ker(T). Como ker(T) é um subespaço de V, pode-se completar essa base até obtermos uma base de V.

Sejam então w1,w2, … ,wm ∈ V tais que {v1,v2,…,vn,w1,w2,…,wm} seja uma base de V; em particular,

dim(V) = n + m. Vai-se provar que {T(w1),…,T(wm)} é uma base de Im(T), de onde resultará que

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.

Se w ∈ Im(T), então w = T(v) para algum v ∈ V e v pode ser escrito sob a forma

,

pelo que

,

visto que v1,v2, … ,vn ∈ ker(T). Isto prova que {T(w1),…,T(wm)} gera Im(T). Por outro lado, os

vetores T(w1),T(w2) … T(wm) são linearmente independentes, pois se α1,α2, … ,αm ∈ K forem tais que

,

então

,

de onde resulta que α1w1 + α2w2 + ··· + αmwm é uma combinação linear dos vetores v1,v2, … ,vn, o

que é só é possível se α1 = α2 = ··· = αm = 0, pois o conjunto {v1,v2,…,vn,w1,w2,…,wm} é uma base

e, portanto, linearmente independente.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o

enunciado dependem do axioma da escolha.

Tipos especiais de transformações lineares

Denomina-se isomorfismo uma transformação linear que seja bijectiva.

Denomina-se endomorfismo ou operador linear uma transformação linear de um espaço vetorial «nele

mesmo», ou seja, uma transformação que tenha domínio igual ao contradomínio.

Se T for um endomorfismo de um espaço vetorial V de dimensão finita, então são condições equivalentes:

1. T é injectivo;

2. T é sobrejectivo;

3. T é bijectivo.

É claro que a terceira condição implica as outras duas. Se T for sobrejectivo, então

,

pelo que dim(ker(T)) = 0 e, portanto, ker(T) = {0}, pelo que T é sobrejectivo. Por outro lado, se T for

injectivo, então

,

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pelo que e, portanto, , ou seja, T é sobrejectivo.

Exemplos de matrizes de transformações lineares

Alguns casos especiais de transformações lineares do espaço R2 são bastante elucidativas:

rotação de 90 graus no sentido anti-horário:

rotação por θ graus no sentido anti-horário:

reflexão em torno do eixo x:

reflexão em torno do eixo y:

Projeção no eixo y:

Espaço das Transformações Lineares

Sejam V e W espaços vetoriais sobre o corpo K. Seja L(V,W) definido como o conjunto de todas

transformações lineares de V em W. Como funções, para quaisquer operadores T e U e qualquer escalar a,

podemos definir T + U e aT por:

(T + U)(v) = T(v) + U(v)

(aT)(v) = aT(v)

É imediato provar que T + U e aT também são transformações lineares de V em W, e que L(V,W) com a

soma de transformações e a multiplicação de um escalar por uma transformação forma um espaço vetorial

sobre K.

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Pelo fato de que, dadas bases de V e W, temos uma representação de cada transformação linear através de

uma matriz de dimensão n × m, concluímos que a dimensão de L(V,W) é nm (no caso de dimensão

infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

Espaço dos Operadores Lineares

Um caso particular importante é o espaço L(V,V), das transformações lineares de um espaço vectorial nele

mesmo (operadores lineares).

Como a composição de operadores lineares é um operador linear, este espaço tem uma estrutura de álgebra,

em que a composição de funções faz o papel do produto de operadores.

Assim, dado um operador linear T, podem-se definir as potências T2, T

3, ou, de modo geral, T

n para qualquer

n inteiro positivo. Portanto, se p(x) é um polinómio com coeficientes no corpo de escalares, faz sentido

definir p(T):

em que IV é o operador identidade em V.

Verificam-se facilmente as seguintes propriedades:

Se p(x) e q(x) são polinómios, então e .

Se o espaço V tem dimensão finita n, então L(V,V) também tem dimensão finita n2. Portanto, o conjunto de

n2+1 operadores é linearmente dependente. Logo, existem escalares ,

não todos nulos, tais que . Ou seja, existe um polinómio não-nulo

p(x) tal que p(T) = 0.

Se existe um polinómio não-nulo f(x) tal que f(T) = 0, então o conjunto não-vazio dos polinómios q(x) tais

que q(T) = 0 forma um ideal no anel de todos polinómios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um

único polinómio mónico p(x) tal que p(T) = 0. Este polinómio é chamado de polinómio mínimo de T.

Espaço Dual

Ver artigo principal: Espaço dual

Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. O espaço dual de V, representado por V * , é o espaço

vetorial L(V,K) das transformações lineares de V em K.