Transições de Fase e Fenômenos Críticos PG – 2º Semestre de 2007
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Transições de Fase e Fenômenos Críticos PG – 2º Semestre de 2007 Instituto de Física, UFRJ última atualização: 16/8/20 Ementa: 1.Fenomenologia de transições de fase. 2.Modelos magnéticos simples. 3.Universalidade e scaling. 4.Métodos de aproximação. 5.Teoria de escala de tamanhos finitos. 6.Invariância conforme. 7.Sistemas desordenados. 8.Transições de fase quânticas.
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Transições de Fase e Fenômenos CríticosPG – 2º Semestre de 2007
Instituto de Física, UFRJ
última atualização: 16/8/2007
Ementa:1. Fenomenologia de transições de fase.2. Modelos magnéticos simples.3. Universalidade e scaling.4. Métodos de aproximação. 5. Teoria de escala de tamanhos finitos.6. Invariância conforme.7. Sistemas desordenados.8. Transições de fase quânticas.
1. Fenomenologia de Transições de Fase
Fluidos: p, V, T
Dados para CO2 (Andrews, 1869):• densidade média 0.5 g/cm3 • a T = 23 °C o fluido está segrega-do em duas fases coexistentes, separadas por um menisco:
líquida, de densidade liq(T ) gasosa, de densidade gas(T )
• a T = Tc = 31.04 °C, L e G ficam idênticas, com densidade liq=gas=c; menisco desaparece no meio de uma opalescência crítica• para qq T > Tc pode-se passar de um estado a outro continuamente
Tc e c não universais: • Tc depende das escalas de energia das interações (p.ex., Tc~5K para 4He e ~1500K para Hg); • c depende da escala de comprimentos relevante (p.ex., separação intermolecular)
T >> Tc
T << TcT < TcT < Tc~
T TcT > Tc
~
figuras segundo Stanley (1971)
A small sealed vial contains the correct mixture of aniline and cyclohexane to form a binary fluid when heated above its critical point, about 95 degrees Fahrenheit. The fluid is heated by hand or using a beaker of warm water. Then the vial is placed in the laser beam. When the fluid cools down to its critical point it breaks into cells, becoming cloudy, and scatters the laser beam chaotically. This is very dramatic because it happens very quickly.The photographs above show the scattering of the laser beam by the fluid above the critical point (left), at the critical point, when the cells are beginning to form (center), and well below the critical point, when the fluid is a cloudy mixture of the two individual fluids (right).
T = Tc
T < Tc
T > Tc
Gás Líquido
T
TT
TT
c
quando
quando 0
G fase na 0
L fase na 0
)()(2
1gasliq
figura segundo Stanley (1971)
parâmetro de ordem da transição
Ferromagnetos: H, M, T
Direção de magnetização determinada pela aplicação de um campo H ; p.ex., se o sistema tiver eixo fácil de magnetização, H quebra a simetria M -M
http://stargazers.gsfc.nasa.gov/resources/magnetism.htm
Outros arranjos magnéticos possíveis: antiferromagnetismo, incomensurável (espiral), etc
parâmetro de ordem da transição
J. Hemberger et al., Nature 434, 364 (2005)
Outra assinatura do ponto crítico: em Tc
Arredondamento devido a H 0
Calor específico perto do ponto crítico
0 se
0 se
casos, outros em ou,
ln
C
C
BBTTAC
BTTAC
C
C
TTH
TTH
figuras segundo LP Kadanoff et al. (1967)
Superfluidos: o caso do 4He
http://quench-analysis.web.cern.ch/quench-analysis/phd-fs-html/node45.html
Modelo de dois fluidos:- fração normal (entrópica): n
- fração superfluida:s
parâmetro de ordem da transição
Perto da transição superfluida (o chamado ponto-)...
TTS BTTAC ln
figuras segundo LP Kadanoff et al. (1967)
TTCS 0
parâmetro de ordem da transição
Transição metal-isolante:
Simmons et al., Phys. Rev. Lett., 84, 2489 (2000)
http://www.phys.unsw.edu.au/QED/research/2D-MIT.htm
carrier density
p.ex., GaAs-AlGaAs two-dimensional hole system
resistividade
Até hoje não há uma boa definição de parâmetro de ordem para a MIT
Supercondutividade:
Ek /
F
k/kF
2kk k 2)( E
( T
)(0
)
T/Tc
parâmetro de ordem da transição
k = |k| eionda-s isotrópico
Características comuns:• Parâmetro de ordem, :
0 na fase (mais) ordenada = 0 na fase desordenada perto de TC:
Funções-resposta singulares em TC
Resposta a um pico de calor: Calor específico
Resposta associada ao parâmetro de ordem: Suscetibilidade - mais simples de medir em alguns sistemas do que em outros, p.ex., M = H;
• Outras funções (a serem definidas oportunamente) também apresentam comportamentos singulares
TTC
CC TTCTTC ln 0, se ou,
CTT
Data collapse: Lei dos estados correspondentes
Gás Líquido
=1/3
Analogia entre fluidos e magnetos simples
• Alguns magnetos também são descritos por =1/3• As transições superfluida, supercondutora, e algumas magnéticas também têm mesmo valor de universalidadeN.B.: os mecanismos são completamente distintos; logo é verdadeiramente surpreendente que os valores sejam os mesmos.
Objetivos do estudo de transições de fase e fenômenos críticos:• identificar as classes de universalidade• identificar os mecanismos responsáveis pela definição das classes de universalidade• fazer previsões sobre diagramas de fase, etc.Para atingir estes objetivos, faremos agora uma revisão de Mecânica Estatística
Magnetos: variáveis independentes são T e h
extensiva extensiva :N.B.
:lidadeSusceptibi
1 :específicoCalor
:resposta-Funções
),(
),(ln),( :Gibbs
Tr ),(
2
2
/)(
T
TT
T
h
hh
T
B
E
TkhEH
χM
h
M
ΔhΔM
T
GTCΔQ
CΔT
h
GhTM
hTZTkhTG
eehTZ B
2ª aula: 7/8/2007
T quando T Tc
Para avançar a discussão: simplificações adicionais • isolantes magnéticos: spins localizados nos sítios de uma rede regular;• “spins de Ising”: só nos interessa a componente z de cada spin, Si ;• interações ferromagnéticas entre spins ......• interação com campo magnético uniforme se dê através de um termo – h Si .
arelacionad-descor parte
0000)( rrrr SSSSSSSSr
Função de Correlação (entre flutuações)
fornece o grau de influência que o spin no sitio 0 exerce no spin do sítio r.
O Teorema de flutuação-dissipação estabelece uma conexão com a susceptibilidade (1ª. Lista de Exercícios):
rB
T rTk
)(1
(de agora em diante, omitiremos o subscrito T da susceptibilidade)
são médias termodinâmicas:
AeZ
A H Tr 1
rB
rTk
)(1
divergente em Tc
(r) sobrevive a longas distâncias
cdrTT
rr
em ,1
~)(2
: outro expoente crítico: dimensão anômalaNa vizinhança de Tc, espera-se
cr
rTTer
para ,~)(
: comprimento de correlação mede alcance das correlações
)0(~1
)(1
qTk
rTk BrB
Fluidos: variáveis independentes são V e T
TT
T
T
V
VV
T
B
E
TkVEH
pp
V
VK
ΔpKV
ΔV
T
ATCΔQ
CΔT
V
AVTp
VTZTkVTA
eeVTZ B
11
:ilidadeCompressib
1 :específicoCalor
:resposta-Funções
),(
),(ln),( :Helmholtz
Tr ),(
2
2
/)(
KT quando T Tc
Generalização do modelo de Ising: o modelo de Potts
modelo de Ising FM: dois estados possíveis para o spin num sítioenergia de interação:
J se dois spins vizinhos num mesmo estado (paralelos) +J se dois spins vizinhos em estados diferentes (paralelos)N.B.: o importante é que há um E 0 separando estes estados, e não de quanto é a separação simetria discreta: {S } {S }
Questão [tese de doutorado proposta por C Domb a seu estudante RB Potts (tese de doutorado, Oxford, 1951)]: como generalizar Ising para q estados, preservando a simetria discreta?
Imagine vetores clássicos em cada sítio de uma rede que podem apontar em qq uma de q direções:
q = 2 q = 3 q = 4
q
JE
i
ij ji
,,2,1
Revisão: FY Wu (1982)
Modelo de Potts de 3 estados em 3 dimensões
NdAl2 PrAl2, e DyAl2 são ferromagnetos com simetria cúbica: na ausência de campo magnético H, a magnetização aponta em uma das dirções cristalinas [100], [010], ou [001].A aplicação de um campo magnético na direção [111] estabiliza qualquer uma das direções igualmente.
O sistema sofre uma transição de primeira ordem – descontinuidade na magnetização – em Hc (T)
B Barbara et al., JPC 11, L183(1978)
Modelo de Potts de 3 estados em 2 dimensões
Gases nobres (He, Kr,...) adsorvidos na superfície de grafite; eles ocupam os centros dos hexágonos
Berker et al., PRB 17, 3650 (1978)
Para cobertura (i.e., fração de sítios ocupados) 1/3, os átomos de Kr preferem ocupar uma das 3 sub-redes q = 3
Efeitos da dimensionalidadeModelo de Ising
Bk
JSzS )1(
3
2 :re temperatucritical field-Mean
d=3: séries; d=2: exato (Onsager); d=1: exato (Ising)
MF falha até mesmo em 3D:• Tc superestimada• descontinuidade, ao invés de divergência• ausência da cauda de altas temperaturas
Flutuações mais importantes quando d :• Tc descresce• Tc 0 em d =1
http://www.cs.adelaide.edu.au/~paulc/physics/spinmodels.html
Paul Coddington, University of Adelaide, [email protected]
Referências [RMP=Rev Mod Phys; PRX=Phys Rev X;]
LJ de Jongh and AR Miedema, Adv Phys 23, 1 (1974)LP Kadanoff et al., RMP 39, 395 (1967)HE Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, (Oxford), 1967FY Wu, RMP 54, 235 (1982); 55, 315 (1983) (E).JM Yeomans, Statistical Mechanics of Phase Transitions, (Oxford), 1992.
