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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE – Faculdade de Engenharia
Prof Dr. Engº Jorge Nhambiu 1
Transmissão de calor
3º ano
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Aula 2. Equação diferencial de condução de calor
Equação diferencial de condução de calor
Dedução da equação Básica
Aspectos Particulares da equação diferencial (leis
de Fourier, Poisson e Laplace)
Solução da Equação unidimensional de
transferência de calor em regime permanente
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2.1 Introdução
Prof Dr. Engº Jorge Nhambiu 3
A transferência de calor e a temperatura estão
directamente relacionadas, mas são de natureza
diferente. Diferente da temperatura o fluxo de calor
tem magnitude e direcção, logicamente é um
vector. Dai é necessário para além da magnitude,
descrever a direcção para caracterizar por completo
a transferência de calor num ponto.
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2.1 Introdução
O fluxo de
calor tem
direcção e
magnitude,
daí ser uma
grandeza
vectorial
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2.1 Introdução
Direcção do fluxo
de transferência de
calor (positivo na
direcção positiva e
negativo na
direcção negativa)
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2.1 Introdução
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A especificação da temperatura num ponto,
primeiro requer a descrição da localização do tal
ponto. Isso pode ser feito através da escolha de um
sistema de coordenadas que pode ser rectangular,
cilíndrico ou esférico, o que depende da forma do
corpo e da posição conveniente do ponto de
referência a utilizar.
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2.1 Introdução
Distâncias e ângulos envolvidos quando se descreve a localização de um ponto
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2.1 Introdução
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Os problemas de transferência de calor são
geralmente classificados em de regime transiente e
de estado permanente. O termo permanente
implica que não haja variações no tempo de
nenhum ponto do meio, enquanto transiente,
refere-se a problemas que tenham variação no
tempo ou que sejam dependentes do tempo.
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2.1 Introdução
Condução
transiente e
estacionária em
uma parede
plana
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2.1 Introdução
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Os problemas de transmissão de calor são
geralmente classificados em unidirecionais
bidireccionais e tridireccionais dependendo da
magnitude da transferência de calor em cada uma
das direcções e da precisão desejada na solução do
problema.
No caso geral o calor transmite-se de modo
tridimensional.
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
Transferência de
calor
bidimensional
numa barra
rectangular
longa
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
(W) dxdTkAQcond −=&
(W) nTkAQcond ∂∂
−=&
(2.1)
(2.2)
A Lei de Fourier para a transferência de Calor Unidimensional é dada por:
Se n for a normal à superfície isotérmica no ponto P, a taxa de transferência de calor nesse ponto pode ser expressa pela Lei de Fourier do seguinte modo:
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2.2 Transferência de Calor Multidimensional
kQjQiQQ zyxn
r&
r&
r&
r& ++=
e x x y y z zT T TQ kA Q kA Q kAx y z∂ ∂ ∂
= − = − = −′ ′ ′∂ ∂ ∂
& & &
(2.3)
(2.4)
Em coordenadas rectangulares o vector da condução de calor pode ser expresso em função dos seus componentes.
Onde i,j e k são vectores unitários e Qx, Qy e Qz são as magnitudes de transferência de calor nas direcções x, y e z.
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2.2.1 Geração de calor
(W) ∫= vdVgG &&
(W) VgG && =
(2.5)
O meio pelo qual o calor é conduzido pode envolver a conversão de
energia eléctrica, nuclear ou química em calor (energia térmica) .
Quando se faz análise da condução de calor, esta conversão de calor
denomina-se geração de calor.
A geração de calor é um fenómeno volumétrico. Ele ocorre ao longo
de todo o corpo, dai a a taxa de geração de calor ser dada em
unidades por volume as suas unidades são W/m3
No caso de geração uniforme de energia, caso da resistência eléctrica, a geração de energia transforma-se em:
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Exemplo 2.1
Uma resistência de 1200 W de um secador de
cabelo, tem 80 cm de comprimento e diâmetro de
0,3 cm. Determine a taxa de geração de calor na
resistência, por unidade de volume, em W/cm3 e o
fluxo de calor na superfície externa da resistência,
como resultado da geração de calor.
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Resolução do Exemplo 2.1
( ) ( ) ( )3
22
1200 212 W/cm4 0,3 4 80res
G G WgV D L cm cmπ π
= = = =⎡ ⎤⎣ ⎦
& &
( )( )21200 W 15,9 W/cm
0,3cm 80res
G GqA DL cmπ π
= = = =& &
&
A taxa de geração de calor determina-se dividindo o total do calor gerado, pelo volume da resistência.
Similarmente o fluxo na superfície externa da resistência, como resultado da geração de calor, é determinado pela divisão do total do calor gerado pela área superficial da resistência.
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2.3 Equação diferencial de condução de calor unidimensional
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Os problemas de transmissão de calor
unidimensionais são os problemas em que o calor é
transmitido por difusão em uma única direcção.
O termo unidimensional refere-se ao facto de
somente uma coordenada ser necessária para
descrever a variação espacial das variáveis
indedenpendentes.
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2.3.1 Parede Plana
Condução de
calor
unidimensional
através de um
volume elementar
numa grande
parede plana.
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Taxa de Calor
conduzido em x
Taxa de Calor
conduzido em x + Δx
Taxa de calor gerado no elemento
Taxa de variação da
energia contida no elemento
- + =
tE
GQQ telemenelementxxx Δ
Δ=+− Δ+
&&&
Ou seja:
(2.6)
2.3.1 Parede Plana
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( ) ( )tttttttttelement TTxCATTmCEEE −Δ=−=−=Δ Δ+Δ+Δ+ ρ
xAgVgG elementelement Δ== &&&
tTT
xCAxAgQQ tttxxx Δ
−Δ=Δ+− Δ+
Δ+ ρ&&&
tTT
Cgx
QQA
tttxxx
Δ−
=+Δ−
− Δ+Δ+ ρ&&&1
(2.7)(2.8)
(2.9)
(2.10)
2.3.1 Parede Plana
A variação de energia no elemento e a taxa de geração de energia no elemento, podem ser dadas pela expressão:
Substituindo na Equação 2.6 obtém-se:
Dividindo por AΔx:
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tTCg
xTkA
xA ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
=∂∂
=Δ−Δ+
→Δ xTkA
xxQ
xQQ xxx
x
&&&
0lim
tTCg
xTk
x ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
(2.11)
(2.12)
(2.13)
2.3.1 Parede PlanaCalculado o limite quando Δx→0 e Δt→0:
Da definição de derivada e da Lei de Fourier para a condução obtém-se:
Note-se que A é constante para a parede plana. Então a equação transienteunidimensional de transferência de calor num plano resulta em:
Condutibilidade térmica variável
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tT
kg
xT
∂∂
=+∂∂
α1
2
2 &
02
2
=+kg
dxTd &
tT
xT
∂∂
=∂∂
α1
2
2
02
2
=dx
Td
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
2.3.1 Parede PlanaA condutibilidade térmica em muitos problemas é considerada constante então a Equação 2.13 transforma-se em:
Onde α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material e denota a velocidade de propagação do calor pelo material
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente
Regime transiente sem geração de calor
Regime estacionário sem geração de calor
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2.3.2 Cilindro Longo
Condução de
calor
unidimensional
através de um
volume
elementar num
cilindro longo
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2.3.2 Cilindro Longo
Taxa de Calor
conduzida em r
Taxa de Calor
conduzida em r + Δr
Taxa de calor gerada no Interior do elemento
Taxa de variação da
energia contida no elemento
- + =
tE
GQQ telemenelementrrr Δ
Δ=+− Δ+
&&&
Ou por outra
(2.18)
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2.3.2 Cilindro Longo
( ) ( )tttttttttelement TTrCATTmCEEE −Δ=−=−=Δ Δ+Δ+Δ+ ρ
rAgVgG elementelement Δ== &&&
tTTrCArAgQQ ttt
rrr Δ−
Δ=Δ+− Δ+Δ+ ρ&&&
tTTCg
rQQ
Atttrrr
Δ−
=+Δ−
− Δ+Δ+ ρ&&&1
(2.19)
(2.20)
(2.21)
(2.22)
A variação de energia no elemento e a taxa de geração de energia no elemento podem ser dadas pela expressão:
Substituindo na Equação 2.18 obtém-se:
Dividindo por A·Δr obtém-se:
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2.3.2 Cilindro Longo
tTCg
rTkA
rA ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
=∂∂
=Δ−Δ+
→Δ rTkA
rrQ
rQQ rrr
r
&&&
0lim
tTCg
rTrk
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
1
(2.23)
(2.24)
(2.25)
Calculado o limite quando Δr→0 e Δt→0
Da definição de derivada e da Lei de Fourier para a condução obtém-se:
Condutibilidade térmica variável
Note-se que A=2πrl para este caso. Então a equação transienteunidimensional de transferência de calor num plano resulta em:
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2.3.2 Cilindro Longo
tT
kg
rTr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
α11 &
01=+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
kg
drdTr
drd
r&
tT
rTr
rr ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
α11
0=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
drdTr
drd
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
Para o caso da condutibilidade térmica constante então a Equação 2.25 transforma-se em:
Condutibilidade térmica constante
Onde mais uma vez α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material
Regime permanente
Regime transiente sem geração de calor
Regime estacionário sem geração de calor
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2.3.3 Esfera
Condução de
calor
unidimensional
através de um
volume
elementar de
uma esfera
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2.3.3 Esfera
tTCg
rTkr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&2
21
tT
kg
rTr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
α11 2
2
&
(2.30)
(2.31)
Condutibilidade variável
No caso da condutibilidade térmica constante reduz-se a:
Condutibilidade térmica constante
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2.3.3 Esfera
01 22 =+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
kg
drdTr
drd
r&
tT
rTr
rr ∂∂
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
α11 2
2
02 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
drdTr
drd 022
2
=+drdT
drTdrou
(2.32)
(2.34)
(2.34)
Onde mais uma vez α=k/ρC é a difusibilidade térmica do material
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente
Regime estacionário sem geração de calor
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2.4 Equação geral de condução de calor2.4.1 Coordenadas rectangulares
Condução de
calor
tridimensional
através de um
volume
elementar
rectangular
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2.4 Equação geral de condução de calor
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A maioria dos problemas de transferência de calor
encontrados na prática podem ser aproximados a
problemas unidimensionais.
Porém, este nem sempre não é o caso, e às vezes é
preciso considerar que o calor se transfere também
em outras direcções. Nesse caso a condução de
calor é multidimensional, e a equação diferencial
desses sistemas pode ser apresentada em
coordenadas rectangular, cilíndrica ou esféricas.
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
Taxa de Calor
conduzido em x, y e z
Taxa de Calor
conduzido em x+Δx,
y+Δy e z+Δz
Taxa de calor gerado no Interior do elemento
Taxa de variação da
energia contida no elemento
- + =
tE
GQQQQQQ telemenelementzzyyxxzyx Δ
Δ=+−−−++ Δ+Δ+Δ+
&&&&&&&
Ou seja
(2.35)
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
( ) ( )element t t t t t t t t tE E E mC T T C x y z T Tρ+Δ +Δ +ΔΔ = − = − = Δ Δ Δ −
element elementG gV g x y z= = Δ Δ Δ& & &
tTTzyxgQQQQQQ ttt
zzyyxxzyx Δ−
=ΔΔΔ+−−−++ Δ+Δ+Δ+Δ+ &&&&&&&
tTTCg
zQQ
yxyQQ
zxxQQ
zytttzzzyyyxxx
Δ−
=+Δ−
ΔΔ−
Δ−
ΔΔ−
Δ−
ΔΔ− Δ+Δ+Δ+Δ+ ρ&
&&&&&& 111
(2.36)
(2.37)
Note-se que o volume elementar é dado por Velement = Δx·Δy·Δz. A relação entre a variação de energia do elemento e a taxa de geração pode ser dada por:
Substituindo na Equação 2.35 obtém-se:
Dividindo por Δx·Δy·Δz recebe-se:
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
tTCg
zTk
zyTk
yxTk
x ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ&
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
ΔΔ−∂∂
ΔΔ=
∂∂
ΔΔ=
Δ−
ΔΔ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
ΔΔ−∂∂
ΔΔ=
∂∂
ΔΔ=
Δ−
ΔΔ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
ΔΔ−∂∂
ΔΔ=
∂∂
ΔΔ=
Δ−
ΔΔ
Δ+
→Δ
Δ+
→Δ
Δ+
→Δ
zTk
zzTyxk
zyxzQ
yxzQQ
yx
yTk
yyTzxk
yzxyQ
zxyQQ
zx
xTk
xxTzyk
xzyxQ
zyxQQ
zy
zzzzz
yyyy
y
xxxxx
111lim
111lim
111lim
0
0
0
&&&
&&&
&&&
(2.38)
As áreas de transferência de calor do elemento nas direcções x, y e z são Ax= ΔyΔz, Ay= ΔxΔz e Az= ΔxΔy, respectivamente e o limite de Δx,Δy,Δz e Δt→0 dá:
Da definição de derivada e da Equação de Fourier obtém-se:
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2.4.1 Coordenadas rectangulares
tT
kg
zT
yT
xT
∂∂
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2 &
02
2
2
2
2
2
=+∂∂
+∂∂
+∂∂
kg
zT
yT
xT &
tT
zT
yT
xT
∂∂
=∂∂
+∂∂
+∂∂
α1
2
2
2
2
2
2
02
2
2
2
2
2
=∂∂
+∂∂
+∂∂
zT
yT
xT
(2.39)
(2.40)
(2.41)
(2.42)Regime permanente, sem geraçãode calor (Equação de Laplace)
Regime transiente, sem geração de calor (Equação da Difusão)
Condutibilidade térmica constante
Regime permanente (Equação de Poisson)
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2.4.2 Coordenadas cilíndricas
Volume
elementar
diferencial em
coordenadas
cilíndricas
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2.4.2 Coordenadas cilíndricas
tTCg
zTk
zTkr
rrTkr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
φφ&2
11
zzryrx === e sin ,cos φφ
(2.43)
A equação de calor em coordenadas cilíndricas pode ser obtida do balanço de energia de um elemento volumétrico da equação diferencial usando as seguintes transformações:
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2.4.3 Coordenadas esféricas
Volume
elementar
diferencial em
coordenadas
esféricas
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2.4.3 Coordenadas esféricas
tTCgTk
rTk
rrTkr
rr ∂∂
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ ρ
θθ
θθφφθ&sin
sin1
sin11
2222
2 (2.44)
φθφθφ cos e sinsin ,sincos === zryrx
A equação de calor em coordenadas esféricas pode ser obtida do balanço de energia de um elemento volumétrico da equação diferencial usando as seguintes transformações
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2.5 Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente
Problema detransferência
de Calor
Formulação MatemáticaEquação diferencial e condições de contorno
Solução geral da equação
diferencial
Aplicação das condições de
fronteira
Soluçãodo problema
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2.5 Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente
Obtendo a solução
geral de uma de
uma simples
equação de segunda
ordem por meio de
integração.
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2.5 Solução da Equação unidimensional de transferência de calor em regime permanente
Quando se aplica as
condições de fronteira à
solução geral num ponto
específico as variáveis
dependentes e
independentes devem ser
substituídas pelos seus
valores específicos.