Transporte en un circuito minero con dos frentes de ... · Formulaci on del problema Simulando un...

Formulacion del problema Simulando un circuito con dos frentes Monotonıa de la funcion Tf Simulacion usando Monte Carlo

Transporte en un circuito minero condos frentes de explotacion

Edgard Kenny Venegas Palacios

29 de octubre de 2010

Edgard Kenny Venegas Palacios Transporte en un circuito minero con dos frentes de explotacion


1 Formulacion del problemaMaximizacion de la produccionMinimizacion de los tiempos finales

2 Simulando un circuito con dos frentesEl caso idealUn caso mas realCircuito minero con un refugio

3 Monotonıa de la funcion Tf

¿Por que estudiar la monotonıa de (Tf )i?(Tf )1 y (Tf )2 son monotonas no decrecientes¿Que vehıculo debe salir primero?

4 Simulacion usando Monte CarloUn metodo que utiliza una interpolacionResultados



Maximizacion de la produccion










Sean n1 y n2 el numero de vueltas que realizan respectivamente losvehıculos 1 y 2 en una jornada de t horas. Para cadai ∈ J = {1, 2} definamos Mk

i como la cantidad de mineraltransportada por el vehıculo i ∈ J en la vuelta k ∈ {1, · · · , ni}.Entonces nuestro problema sera

max

{(n1∑k=1

Mk1 +

n2∑k=1

Mk2

): T (1, n1),T (2, n2) ≤ t

}, (1)

donde T (i , ni ) es el tiempo de duracion de las ni vueltas querealiza el vehıculo i ∈ J.Debido a que no se puede conocer con exactitud los valores deMk

i , entonces podemos trabajar con valores promedios. Si Mi es lacapacidad de carga promedio (en tonelaje) del vehıculo i ∈ J,entonces debemos resolver el siguiente problema

max {n1M1 + n2M2 : T (1, n1),T (2, n2) ≤ t} . (2)




¿Como hallar n1 y n2?

Para determinar n1 y n2 tenemos que:

1 Simular los tiempos realizados en cada tramo.

2 Calcular explıcitamente los tiempos de espera (tiempomuerto).

3 Simular el circuito asumiendo que los vehıculos realizan unnumero (maximo) de vueltas.



Minimizacion de los tiempos finales











Es por ello que estudiaremos el problema de minimizacion de lostiempos finales realizados por los vehıculos que transportan elmineral fijado el numero de vueltas (N1 y N2):

mınt∈R+

(Tf )(t), (3)

donde (Tf ) : R+ → R+ se define como (Tf )(t) = mıni∈{1,2}

(Tf )i (t) y

(Tf )i (t) es el tiempo en el que se concluye el circuito cuando elvehıculo i sale primero (el primero en iniciar la jornada) y tsegundos (u otra unidad de tiempo) despues sale el otro vehıculo(el cual es el segundo en iniciar la jornada), en dondeR+ = [0,+∞).



El tipo de mina subterranea que modelaremos sera aquel queconsta de dos frentes de explotacion y un echadero en elmismo nivel. Simularemos un circuito tal que N1 y N2 seran elnumero de vueltas que realizaran los vehıculos 1 y 2 para cadavehıculo respectivamente. Desde luego, se debe cumplir:

N1 ≥ n1 y N2 ≥ n2.

Figura: Trayectoria del echadero a los frentes



El caso ideal









El caso ideal

Estudiando un modelo ideal

Asumiremos las siguientes condiciones ideales:1 Tiempo de carga (extraccion) y de descarga igual a cero.2 Velocidades (v1 y v2) de los vehıculos constante.3 No se pueden intersectar en el tramo que une el punto de

separacion y el echadero.

Figura: Modelo ideal de una mina con dos frentes.



El caso ideal

Determinacion de las funciones (Tf )i

Asociado a cada i ∈ J = {1, 2} definamos la funcion(Ttotal)i : J × R+ → R+, donde (Ttotal)i (j , t) es el tiempo totalrealizado por el vehıculo i , (esto es, al culminar las vuelta N1 y N2

respectivamente) cuando el vehıculo j ∈ J sale primero y el otrovehıculo sale t segundos despues. Entonces

(Tf )j = maxi∈J

(Ttotal)i (j , ·) (4)

Para cada i ∈ J y k ∈ {1, · · · ,Ni} definamos la funcion(Te)ki : J × R+ → R+, donde (Te)ki (j , t) es el tiempo de esperadel vehıculo i en la k-esima vuelta, cuando el vehıculo j ∈ J saleprimero y el otro vehıculo sale t segundos despues. Luego:

(Ttotal)i (j , t) = NiTi +

Ni∑k=1

(Te)ki (j , t). (5)



El caso ideal

donde Ti = 2

(L + Li

vi

).

Ahora, ¿que vehıculo debe ingresar primero al tramo T si ambosvehıculos se encuentran en el punto de separacion dirigiendose alechadero?. Responderemos esta pregunta asumiendo, sin perdidade generalidad, que

T1 ≥ T2.

Diremos que el caso 1 es cuando el vehıculo 1 espera en el tramoT, mientras que el caso 2 es cuando el vehıculo 2 espera en eltramo T.



El caso ideal

Implementando un programa con los siguientes valores:L1 = 125 m, L2 = 100 m, L = 20 m, v1 = v2 = 2 m/s yN1 = N2 = 20, se obtiene los siguientes tiempos finales:



El caso ideal

Ahora mostraremos los tiempos finales de un circuito con lascaracterısticas del circuito anterior pero con la diferencia de queL1 = 140 metros.



Un caso mas real









Un caso mas real

Un modelo ideal mas real

El siguiente paso es incluir los tiempos de carga y descarga yconsiderar velocidades distintas (de ida y vuelta).

Debido a que en la realidad los tiempos realizados no sonconstantes, entonces generaremos tiempos alrededor de los tiempospromedios.

Al final de esta presentacion utilizaremos el metodo de MonteCarlo para simular el circuito utilizando datos reales.



Circuito minero con un refugio











Una alternativa para reducir los tiempos finales es incluyendo unrefugio en el tramo T.

El tramo D1 tiene una longitud de Ld y el tramo D2 tiene unalongitud de L− Ld .




En la siguiente figura se ha considerado T1 = 276,67 s yT2 = 230 s L = 20 m y N1 = N2 = 20. Los tiempos de carga ydescarga son 60 s y 30 s respectivamente para ambos vehıculos.



¿Por que estudiar la monotonıa de (Tf )i ?










Estudiaremos la monotonıa de las funciones (Tf )1 y (Tf )2 en unavecindad de t = 0 s para el caso 2, considerando v1 = v2, N1 = N2

y L1 ≥ L2.




Por suerte en muchas ocasiones se obtiene que los tiempos finalescoinciden para los casos 1 y 2.



(Tf )1 y (Tf )2 son monotonas no decrecientes










Definamos para cada i ∈ {1, 2} y k ∈ {1, · · · ,N},(Tf )ki (t) : R+ → R+ como el maximo de los tiempos realizadospor los vehıculos 1 y 2 al concluir la k-esima vuelta, en donde elvehıculo i sale primero y t segundos despues sale el otro vehıculo.Por definicion: (Tf )N1 = (Tf )1 y (Tf )N2 = (Tf )2.

Proposicion

Sea un circuito minero con dos frentes de explotacion y unechadero, tal que ambos vehıculos tienen velocidad constante v ydeben recorrer el mismo numero de vueltas (N). Si L1 ≥ L2,

entonces (Tf )k2 es monotona no decreciente en

[0,

2(L2 + L)

v

]y

(Tf )k1 es monotona no decreciente en

[0,

2(L1 − L2)

v

), para todo

k ∈ {1, · · · ,N}.




Verifiquemos la proposicion anterior:2(L2 + L)

v= 120 s (2 min) y

2(L1 − L2)

v= 25 s (0.417 min)



¿Que vehıculo debe salir primero?










Supongamos que L1 − L2 ≤ L2 + L. Por la monotonıa obtenida,podemos afirmar que

(Tf )(0) = mınt∈[0,

2(L1−L2)v

)(Tf )(t),

donde (Tf )(t) = mıni∈J

(Tf )i (t) es tambien no decreciente en[0, 2(L1−L2)v

). En consecuencia, nos basta saber para que valores

τ ∈ R+ tendremos que (Tf )(τ) = (Tf )(0).

Lamentablemente, no podemos afirmar que exista τ0 ≥ 2(L1−L2)v tal

que(Tf )(τ0) = mın

t∈R+

(Tf )(t),

debido a que el comportamiento de (Tf ) es inestable.




En las simulaciones realizadas obtuvimos

(Tf ) = (Tf )1

en una vecindad de t = 0 s, lo cual implica que el vehıculo 1 debeiniciar el circuito.

Dado ε > 0, un problema interesante a resolver es hallar τ tal que

(Tf )(t) ∈ [(Tf )(0)− ε, (Tf )(0) + ε], ∀ t ∈ [0, τ ].

Al conocer τ obtenemos que para cada t ∈ [0, τ ]:

(Tf )(t)≈ mın

t∈R+

(Tf )(t).

En la siguiente figura se ha generado aleatoriamente los tiemposrealizados en cada tramo del circuito considerando T1 = 276,67 s yT2 = 230 s.




Si ε =1.5 minutos, entonces τ ≈ 14 minutos.

De modo que, nuestra simulacion sea mas real, generaremostiempos aleatorios teniendo en cuenta que hay una muestra dedatos.



Si tenemos los tiempos x0 < x1 < · · · < xn, entonces con elmetodo de la transformada inversa no podemos generar ningunelemento χ en el intervalo ]xk−1, xk [, para todo k ∈ {1, · · · , n}pues los valores posibles para χ son solamente los xk .

Figura: Generando la variable aleatoria discreta y uniforme XU



Un metodo que utiliza una interpolacion










Lo ideal es generar un valor XU ∈ ]xk−1, xk [. Proponemos realizaruna interpolacion con los pares ordenados (1/n, x1), (2/n, x2), · · · ,(1, xn). Es decir, hallar una funcion interpolante f y al generar U ∈]0, 1[ tendremos que f (U) = XU .




Regresando al problema de maximizacion de la produccion

Veamos primero una forma de hallar los valores de N1 y N2 tal que

N1 ≥ n1 y N2 ≥ n2.

Para cada i ∈ J = {1, 2} denotemos Ti como el tiempo promedioen que el vehıculo i da una vuelta.Pero ¿[|t/Ti |] + 1 ≥ ni ≈ [|(t − (Te)i )/Ti |] + 1?, donde (Te)i es eltiempo de espera realizado por el vehıculo i y t es la duracion de lajornada.

Sea T imin es el menor tiempo posible en el que el vehıculo i ∈ J

realiza una vuelta, entonces el valor de Ni que reemplazaremos enla ecuacion (2) es

Ni = [|t/T imin|] + 1 para cada i ∈ J. (6)



Resultados









Resultados

Maximizando la produccion

Los tiempos que hemos considerado como datos son recopilados dela Unidad Minera El Porvenir. Los vehıculos que transportan elmineral son scoops cuya capacidad de carga es de 10 toneladas.



Resultados

En esta figura se considera una jornada de t = 180 minutos y losvalores de los tiempos mınimos realizados son T 1

min = 183,01 s yT 1min = 216,17 s. Luego, por la ecuacion (6) tenemos que N1 = 60

y N2 = 50.Se observa que la maxima producion (930 Tn, donde n1 = 50 yn2 = 43) se obtiene cuando el scoop 1 inicia el circuito y despuesde 15 minutos sale el scoop 2.



Resultados

Circuito minero con 4 frentes

Supongamos que en el circuito mostrado anteriormente se explotadiaramente dos de los cuatro frentes de explotacion.

Si el primer dıa se extrae mineral de los frentes 1 y 2, y en elsegundo dıa se extrae de los frentes 3 y 4, entonces a partir deltercer dıa se puede simular todos los casos posibles.

Esto es, se puede predecir el comportamiento del transporte altrabajar los frentes: 1 y 3, 1 y 4, 2 y 3, 2 y 4. De este modopodemos conocer la cantidad extraıda a partir de la tercerajornada.



Resultados

Considerando que el modelo es dinamico

Denotemos tkLi al tiempo de ida promedio del vehıculo i en eltramo T1 en el dıa k ∈ {1, · · · ,N}, donde N es el numero de dıasque se ha estado extrayendo del frente i .

Veamos como simular el tiempo generado tN+1Li

; para ello

denotemos Lik como la longitud del tramo T1 el dıa

k ∈ {1, · · · ,N}.

Tendremos los pares ordenados (Li1, t1Li ), · · · , (Li

N, tNLi ) y la

longitud LiN+1 como datos y mediante una extrapolacion

podremos obtener tN+1Li

.


Transporte en un circuito minero con dos frentes de ... · Formulaci on del problema Simulando un...

Documents

Transcript of Transporte en un circuito minero con dos frentes de ... · Formulaci on del problema Simulando un...