Tratamento Metodológico no Estudo Particular das Cónicas

Introdução

1. Apresentação do Trabalho

O presente trabalho de pesquisa trata sobre o Tratamento Metodológico para o

Estudo Particular das Cónicas no IIº Ciclo do Ensino Secundário, porém com muita dedicação e

carinho, onde alunos, professores e responsáveis na área da educação possam ler,

avaliarem e talvez terem como parâmetro, o assunto contido neste trabalho que não tem a

pretensão de contemplar todas as questões em " geometria analítica plana, isto é, no que

concerne o Estudo Particular das Cónicas ".

O objectivo do nosso trabalho é a pesquisa sobre as curvas do 2º grau que consiste em

demonstrar alguns tratamentos metodológicos para o estudo particular das cónicas, as suas

equações, as suas obtenções, o estudo sistemático de cada uma das cónicas, assim como a

resolução de alguns exercícios ligados ao tema.

A presente pesquisa analisa a possibilidade de uso de uma abordagem metodológica

diversificada para o ensino-aprendizagem de Geometria Analítica Plana, particularizando,

no estudo das secções cónicas (a elipse, a hipérbole e a parábola).

A partir da pesquisa realizada no que tange o estudo particular das curvas do segundo grau

e a leitura feita dos livros didáticos disponíveis, observamos uma grande semelhança na

exposição desse assunto. Todos deduzem as equações analíticas a partir da propriedade

bifocal. Elas são representadas no plano cartesiano como curvas (vale lembrar que a

parábola foi apresentada anteriormente como função) e assim surgem as suas

representações geométricas. Os parâmetros escolhidos são a, b e c na elipse e na hipérbole

e p, na parábola. Eles são exibidos através das equações reduzidas e a caracterização

dominante.

Enfim, o nosso estudo será inicialmente introduzida duas equações das rectas que

originam a uma equação global da recta e por sua vez define as cónicas, segundo vamos

analisar o estudo particular de elipse, hipérbole e parábola apresentando sua definição,

equação reduzida em coordenadas cartesianas, representação gráfica e elementos

característicos, finalizando com a resolução de alguns exercícios. Eis as formam reduzidas

mais comuns:

1

(E)≡ 12

2

2=+

b

y

a

x é uma Elipse;

(H ) ≡ 12

2

2=−

b

y

a

x é uma Hipérbole;

( P) ≡ y2 = 2p x é uma Parábola.

No caso da elipse e da hipérbole, são escolhidos os mesmos parâmetros a, b e c. O

parâmetro c não aparece na equação. A origem do plano cartesiano é colocada no centro da

cônica. O coeficiente a representa a distância entre o centro e um vértice tanto na elipse

como na hipérbole. O coeficiente c representa a distância entre o centro e um foco nas duas

curvas. Mas o parâmetro b tem significado diferente para cada uma delas. Na elipse, ele

significa o semi-eixos menor, enquanto na hipérbole significa um cateto perpendicular à

recta que contém os focos e que passa pelo vértice, sendo o outro cateto o coeficiente a. A

hipotenusa c está contida na assíntota da hipérbole. Esta relação pitagórica citada existe

também na elipse, mas com a diferença que a hipotenusa é o coeficiente a.

No entanto o trabalho apresenta os seguintes capítulos:

Capítulo I apresenta a fundamentação teórica que abre espaço para entender o fundamento

e perceber alguns conceitos ligados ao tema definidos entre diferentes autores ou cientistas

matemáticos e as intenções que nos escolher o tema em estudo.

Capítulo II apresenta a parte prática ligada ao tema, isto é, a aplicabilidade das fórmulas

reduzidas às secções cónicas ou curvas do 2 º grau.

Deste modo, fomos buscar exemplos e exercícios que apoiam a concretização das teorias

às práticas e vice-versa para tornar a nossa pesquisa mais acessível aos leitores.

Capítulo III apresenta os dados e suas análises de uma forma sistemática e ordenada onde

colocamos a pergunta com seu objectivo, finalmente a nossa dedução é ponto de reflexão

para entender o quadro de frequência.

2. Problemática:

2

Neste presente trabalho vamos analisar os problemas ligados ao ensino do estudo particular

das cónicas chamadas as vezes curvas do segundo grau.

Obviamente, o estudo em tratamento para os alunos da 12ª classe refere-se das noções

básicas sobre o estudo particular das cónicas que se fazem constar no programa de

matemática /geometria analítica plana como parte integrante e em vigor no nosso País.

Debruça-se de um estudo sistemático que vai ser aprofundado depois de ter feito uma

análise sistemática das lições estudadas e aprendidas aos alunos no que diz respeito, o

tratamento metodológico para este estudo em desenvolvimento.

Será podemos confirmar que as dificuldades encontradas pelos alunos do estudo particular

das cónicas são ligados:

1. à identificação de uma determinada cónica? Demonstra-se dos erros

cometidos pelos alunos, isto é, a origem dos mesmos?

2. à incapacidade na tradução das ferramentas matemáticas à uma ferramenta

geométrica ou ainda de uma ferramenta verbal a uma ferramenta

matemática?

3. Será os alunos são incapazes de detalhar e particularizar as cónicas para

obtenção de uma forma não adequada?

4. Será que os alunos são incapazes de tirar uma síntese de todos os requisitos

que demonstrem o estudo particular das cónicas?

3. Hipóteses

Neste trabalho, vamos nos concentrar das realidades vividas e prévias no fracasso do

estudo particular das cónicas é a ausência de uma boa formação no processo de ensino-

aprendizagem da matéria em tratamento, como uma ferramenta que opta na solução dos

problemas ligados ao tema e a seu prévio aproveitamento na aquisição de hábitos e

habilidades.

4.Objectivos

O objectivo fundamental deste trabalho consiste em demonstrar alguns tratamentos

metodológicos para o estudo particular das cónicas, as suas equações, as suas obtenções, o 3

estudo sistemático de cada uma das cónicas, assim como a resolução de alguns exercícios

relativos ao tema.

5. Motivação do trabalho

Neste trabalho, levantamos alguns dados relacionados ao tema no que concerne o

nível de aquisição de conhecimento na parte dos discentes na 12ª classe no IIº ciclo

do ensino secundário «Daniel Vemba» demonstrou-nos que, os alunos tiveram

grandes dificuldades na mesma matéria.

Razão pela qual, sugerimos com toda a ansiedade o desenvolvimento e

apresentação deste tema julgando necessário a capacidade de ultrapassar as

respectivas lacunas de compreensão encaradas aos discentes.

E daí, julgamos este tema é muito importante e irá resolver uma questão científica

no meio do trabalho docente e de um modo participativo a assimilação dos alunos

nas aulas de matemática.

6. Metodologia do trabalho

Para a realização desta pesquisa, pretendemos usar as estratégias de ir ao encontro dos

elementos envolvidos para nos perceber da situação em relação ao problema em estudo.

Foram usados os seguintes métodos:

Explicativo e Expositivo

A aplicação do método explicativo pois, quando se demonstram as cónicas deve se explicar

a sua essência aplicando assim a exposição dialogada.

Observação

Porém, a aplicação do método de observação será no centro das nossas atenções tendo em

conta a observância das aulas assistidas durante a realização da pesquisa do mesmo

trabalho em estudo e a participação do aluno em relação a sua aplicabilidade e a reacção do

aluno em relação ao mesmo método na sala de aula conforme exigido pela teoria do ensino

centrado no aluno.

Estatístico

4

Enquanto o método estatístico estabelece as debilidades e avanços observados ou

encontrados durante a realização da pesquisa desta monografia de uma forma crescente ou

decrescente.

Nesta conformidade, aplicou-se:

• Inquérito: permitiu-nos encarar as insuficiências da turma quanto à matéria

leccionada por meio de dados escritos, que neles recolhemos como fundamento da

nossa investigação.

• Entrevista: Este método auxiliou-nos na obtenção de uma ferramenta meramente

concreta a fim de procurar compreender as diferentes barreiras que impedem uma

boa aprendizagem do assunto em estudo.

• Questionário: foram elaboradas diferentes tipos de perguntas ou questões tendo

como finalidade a interação ou a participação dos discentes no que tange o grau de

assimilação e as suas habilidades referentes ao conteúdo em análise.

Análise Bibliográfica: consistindo em análise de livros didácticos, revistas, etc.,..

CAPÍTULO I. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

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A. Introdução histórica sobre as cónicas

Neste capítulo será feito um relato das cónicas por meio dos séculos mostrando o

desenvolvimento do estudo das mesmas.

Egípcios e babilónios, há mais de 3000 anos, utilizavam a geometria nas regiões

inundáveis dos vales do Nilo, Tigre e Eufrates, na demarcação das terras a fim de organizar

o plantio e facilitar a cobrança de impostos. Durante o período Helénico (400 a.C. – 476

d.C) , Alexandre Magno construiu Alexandria em 331 a.C., que em pouco tempo

transformou-se no centro mais suntuoso e cosmopolita do mundo . Depois da morte de

Alexandre, o império se dividiu em três impérios.

Ptolomeu ficou com o governo do Egipto, escolheu Alexandria como sua capital e lá

construiu a Universidade de Alexandria para atrair homens de saber, cabendo a Euclides o

Departamento de matemática. Apolônio, que foi um dos maiores estudiosos das cónicas,

nasceu em Perga e estudou em Alexandria onde ficou por um bom tempo (RODRIGUES

FILHO, 2007).

Para Youssef (2005), Menaecmus, astrónomo e geómetra grego foi o primeiro a

utilizar duas curvas: a parábola e hipérbole. No século IV a.C., ele solucionou o problema

da ‘’ duplicação do cubo’’ que consistia em encontrar um cubo cujo seu volume fosse igual

a dois, utilizando-se dessas duas curvas. Consequentemente, a elipse surgiu mais tarde

quando se seleccionou uma superfície cónica perpendicularmente a sua geratriz. Por isso o

nome sessões cónicas.

Segundo Lopes ( 2011) , para alguns historiadores a origem do estudo das cónicas

não é muito clara, mas tudo leva a crer que elas originaram-se no problema da duplicação

do cubo.

Hipócrates de Chios (470-410 a.C.) mostrou que esse problema ( a duplicação do

cubo ) se reduzia em encontrar curvas com propriedades expressas no proporção contínua

entre dois segmentos ,esse processo consistia em determinar médias proporcionais entre

duas grandezas dadas ,ou seja ,dados os segmentos a e b, encontrar dois outros x e y tais

que = = .

6

Hipócrates afirmou que para b = 2ª, a proporção contínua traduzia a solução do problema

da duplicação do cubo, pois isolando e eliminando y, conclui-se que x3 = 2a3.

Isto equivale, na notação actual, resolver simultaneamente quaisquer duas das três

equações x2= ay; y2 = 2ax e xy = 2a2 que representam Parábolas nos dois primeiros casos e

hipérbole no Terceiro.

Mas a descoberta dessas curvas se deu por Menaechmus (380-320 a.C.) por volta de 360

ou 350 a.C.. Ele construiu as curvas com essas propriedades algébricas e consequente

mente mostrou que ponto de intersecção delas daria as médias proporcionais desejadas.

A descoberta da elipse parece ter sido feita também por ele como um simples

subproduto dessa sua pesquisa (LOPES,2011,p.33-34

Para Venturi (1949), foi Apolônio quem introduziu os nomes elipse e hipérbole. Já

a parábola, provavelmente, foi nomeada por Arquimedes.

As secções cónicas eram conhecidas havia cerca de um século e meio quando Apolônio

escreveu seu célebre tratado sobre essas curvas. O tratado sobre Cónicas de Apolônio

derrotou todos os rivais no campo das secções cónicas, inclusive As cónicas de Euclides

(BOYER, 2010, p.99).

De acordo com Boyer (2010), Apolônio foi o primeiro a mostrar que as três

secções cónicas não eram obtidas necessariamente de três cones diferentes, mas poderiam

ser encontradas variando o ângulo de inclinação do plano da secção . Esse facto, foi

relevante para identificar e relacionar os três tipos de curvas. Apolônio também provou que

o cone pode ser oblíquo ou escaleno, não precisando ser recto e que as propriedades das

curvas não se modificam de acordo com o cone de origem.

Ainda para Boyer (2010), Apolônio poderia ter partido de qualquer cone e ter

obtido as mesmas curvas, ou seja, qualquer secção plana de qualquer cone poderia servir

de curva base em sua definição.

Menaecmus afirmava que cada secção cónica era encontrada em um formato

diferente de cone. Assim, as cónicas eram tratadas de forma separada. Somente com

Apolônio houve a unificação das mesmas (BORDALLO, (2011).

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De acordo com Quaranta (2008), Arquimedes classifica os cones como rectos

ou de revolução (rectângulo) quando este ângulo formado entre as geratrizes que

pertencem a um dado plano que passa pelo vértice do cone e pelo centro da circunferência

da base é recto: obtusângulo, quando este ângulo é obtuso e acutângulo, quando é agudo.

Arquimedes deu nome de ‘’ Orthotome’’ para parábola, que surgia de cone rectângulo,

‘’Oxythome’’ para elipse, que surgia do cone acutângulo e ‘’ Amblythome’’ para a

hipérbole que surgia do cone obtusângulo.

Menaecmus afirmava que cada secção cónica era encontrada em um formato diferente de cone. Assim, as cónicas eram tratadas de forma separada. Somente com Apolônio houve a unificação das mesmas (BORDALLO, 2011).

De acordo com Quaranta (2008), Arquimedes classifica os cones como recto ou de revolução (rectângulo) quando o ângulo formado entre as geratrizes que pertencem a um dado plano que passa pelo vértice do cone e pelo centro da circunferência da base é recto; obtusângulo, quando este ângulo é obtuso e acutângulo, quando é agudo. Arquimedes deu nomes de `òrthotome´´ para parábola, que surgia do cone rectângulo, `òxythome’’ para a elipse, que surgia do cone acutângulo e `àmblythome´´ para a hipérbole que surgia do cone obtusângulo.

Segundo Youssef (2005), Apolónio de parga (262-190 a.c.) escreveu um importante documento sobre as cónicas. Neste documento, acrescentou aos estudos de menaecmus várias proposições, mas de forma puramente geométrica. Pode-se destacar uma proposição sobre a posição do plano secante em relação ao eixo de rotação ou a geratriz de uma superfície cónica de resolução.

Para Boyer (2010), o cone de duas folhas surgiu quando Apolónio fez uma reta de comprimento indefinido que passava por um ponto fixo mover-se sobre uma circunferência de um círculo que não é coplanar ao ponto de origem, passando por todos os pontos dessa circunferência, a reta móvel dará origem a superfície de um cone duplo. Com isso surge o segundo ramo da hipérbole.

Apolónio foi o autor que mais contribuiu para o estudo das cónicas. Ele escreveu oito livros, dos quais os quatro primeiros apresentam resultados de outros matemáticos anteriores e os quatro últimos apresentam resultados desenvolvidos por ele mesmo. Apolónio é o primeiro a unificar as secções cónicas e afirmar que elas poderiam ser obtidas a partir de um único cone. Ele também duplicou o cone e dai a hipérbole passa a ter duas folhas (QUARANTA, 2008).

Segundo Bordallo (2011), Pappus fez um comentário sobre todos os matemáticos gregos de seu tempo em sua obra ``colecção matemática´´. Ele contribuiu para o estudo das cónicas com seus resultados sobre foco, diretriz e excentricidade. E de acordo com a variação da execentridade ele define cada curva.

8

Boyer (2010,p.101) afirma as cónicas eram conhecidas como ``lugares sólidos´´, pois as cónicas não eram definidas como secções planas, mas secções de figuras tridimensionais. Apolónio usava o cone para obter as cónicas, mas o dispensou logo que possível. A partir do cone ele desenvolveu uma propriedade plana fundamental (symptome) para a secções e a partir daí iniciou um estudo somente no plano, baseado nessa propriedade.

Ainda para Boyer (2010), Apolónio provou que quando um ramo de uma hipérbole intersecta os dois ramos de outra hipérbole, o outro ramo da primeira hipérbole não intersectara nenhum dos ramos da segunda em dois pontos, também se uma hipérbole encontra uma segunda hipérbole com sua concavidade em sentido oposto em um único ponto, o outro ramo da primeira não encontrara o outro ramo da segunda.

De acordo com Venture (1949,p. 20),Kepler foi fortemente influenciado pelo livro ``as cónicas´´ de Apolónio. Em 1609 ele mostra uma fundamental lei da astronomia: os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do sol, com o sol ocupando um dos focos. Kepler também introduziu a palavra foco, que vem do latim focos que galileu (1632) desprezando a resistência do ar diz que a trajectória de um projéctil é uma parábola.

Para Quaranta (2008), Kepler (1571-1630) também apresenta as cónicas de forma unificada usando a hipérbole para medições do fenómeno de reflexão. Ele também mostra pela primeira vez a parábola ele utiliza a mesma distância dos pontos ate o foco e ate a diretriz. Ele também afirma que a parábola tem o segundo foco no infinito, que ate então não era utilizado na geometria.

A.1. A parábola

É muito importante para aprendizagem dos alunos a demonstração da fórmula da parábola e não somente apresentá-la de forma pronta. Obviamente, Lehmann (1996) traz a seguinte definição para um lugar geométrico.

Lenmann (1996) ressalta ainda que importante é que se as coordenadas de um ponto satisfazem uma equação, esse ponto pertence ao gráfico dessa equação e reciprocamente, se um ponto está sobre o gráfico de uma equação suas coordenadas satisfazem a equação. Isto é, evidentemente, o enunciado de uma condição necessária e suficiente. Como as coordenadas dos pontos de um lugar geométrico estão restringidos por sua equação tais pontos estão localizados, em geral, em posição tais que, tomadas em conjunto, formem um traço definido chamado curva, gráfico ou lugar geométrico.

De acordo com CBC (CARNEIRO,2007), demonstrar factos geométricos é um instrumento formativo muito importante no processo de ensino-aprendizagem. Portanto, a habilidade de argumentar usando a linguagem matemática na demonstração dos factos só se adquire praticando com bastante paciência e que pode ser conquistada por todos os alunos.

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Para Quaranta et Al.(20079, o ensino das cónicas ficou restrito ao Ensino médio, apesar de ter uma importância histórica. Sendo abordado de forma analítica e trabalhado somente com manipulação e memorização de fórmulas, levando os alunos e até os professores a não quererem trabalhar com as cónicas. Assim, não é fácil transmitir esses conhecimentos e sua importância.

Lehmann 1996) afirma que a equação da parábola é deduzida a partir de sua definição como lugar geométrico de um ponto que se move de acordo com uma lei específica.

A.2. Elipse

Apolônio de Perga apelidado de Épsilon dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de curvas denominadas de cônicas. Em Cônicas, composto por 8 livros onde os quatro primeiros, eram uma introdução bastante elementar às propriedades básicas das cônicas. Os volumes 5 a 7, bastante originais, Apolônio discute normais às cônicas mostrando quantas podem ser desenhadas a partir de um ponto. Além disso, deu proposições que determinavam o centro de curvatura, o que conduzia imediatamente à equação cartesiana. Desenvolveu o hemicyclium (um relógio de sol, que tinha as linhas das horas desenhadas na superfície de uma secção cônica, obtendo grande precisão). Apolônio de Perga apelidado de Épsilon dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de curvas denominadas de cônicas. Em Cônicas, composto por 8 livros onde os quatro primeiros, eram uma introdução bastante elementar às propriedades básicas das cônicas. Os volumes 5 a 7, bastante originais, Apolônio discute normais às cônicas mostrando quantas podem ser desenhadas a partir de um ponto. Além disso, deu proposições que determinavam o centro de curvatura, o que conduzia imediatamente à equação cartesiana. Desenvolveu o hemicyclium (um relógio de sol, que tinha as linhas das horas desenhadas na superfície de uma secção cônica, obtendo grande precisão).

Os primeiros modelos de que há registro consideravam que as órbitas planetárias eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes Kepler, chegando à discordância entre os resultados teóricos e as observações do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, em que se apoiou.

Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas planetárias eram elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse.

A partir daí as cônicas, objetos até então exclusivamente matemáticos, revelaram a sua estreita ligação com a Natureza, em particular com as trajetórias dos planetas no Sistema Solar. Esta descoberta, associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (em 1680) Isaac Newton a formular a sua lei da gravitação universal. Apolônio de Perga apelidado de Épsilon dedicou-se principalmente ao estudo de uma família de curvas denominadas de — cônicas. Em Cônicas, composto por 8 livros onde os quatro primeiros, eram uma introdução bastante elementar às propriedades básicas das cônicas.

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Os primeiros modelos de que há registro consideravam que as órbitas planetárias eram circulares. Assim mesmo começou por considerar Johannes Kepler, chegando à discordância entre os resultados teóricos e as observações do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe, em que se apoiou.

Essa discordância veio a ser resolvida quando deduziu que as órbitas planetárias eram elípticas e publica em 1609 a sua descoberta de que a órbita de Marte em torno do Sol é uma elipse.

A partir daí as cônicas, objetos até então exclusivamente matemáticos, revelaram a sua estreita ligação com a Natureza, em particular com as trajetórias dos planetas no Sistema Solar. Esta descoberta, associada aos estudos de Galileu, levou posteriormente (em 1680) Isaac Newton a formular a sua lei da gravitação universal.

I.1.Noção de Curvas do 2º grau: As Cónicas

I.1.1.Equação Geral das Cónicas

Fermat mostrou que xy = k2 é uma hipérbole, que a2 ± x2 = by é uma parábola, que

x2 + y2 + 2ax + 2by = c2 é um círculo, que a2 - x2 = ky2 é uma elipse e que a2 + x2 = ky2 é

uma hipérbole.

Das suas investigações Descartes derivou que as curvas do plano são representadas

por equações de segundo grau assim expressa:

f( x,y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0 ( 1 ) ou

f( x,y) Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2F y + F = 0 ( 1´ ) . Sem expressar as formas

canônicas, «ele indicou condições sobre os coeficientes sob as quais a cónica é uma recta,

uma parábola, uma elipse, ou uma hipérbole﴾ …﴿» (BOYER, 1992, p.251).

Elegendo-se um sistema conveniente de coordenadas cartesianas o Aleksandrov

(1994) faz a exposição das formas canônicas que podem ser derivadas da equação

f( x,y) Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2F y + F = 0 ou

f( x,y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0 .

11

Ela contém seis coeficientes que são A, B, C, D, E e F. Como um ao menos é diferente de

zero, pode se dividir os dois membros da equação para este coeficiente: assim, temos cinco

parâmetros realmente independentes. Uma cónica é então determinada por cinco condições

tais que elas permitem de calcular os cinco parâmetros.

Uma condição é dita simples, dupla, triplo,...seguindo que ela permite de calcular um, dois,

três,...parâmetros da equação da cónica .

Se uma equação contém ainda um, dois,…parâmetros indeterminados, ela representa uma

família contendo uma infinidade simples, duplo,…das cónicas.

1.1.1.1.Obtenção da Equação geral das Cónicas

Sejam (r1) e (r2) duas rectas distintas, tem-se:

(r1) A1x + B1y + C1 = 0 (2) e (r2) A2x + B2y + C2 = 0 (3) , as duas versões utilizam-se

nos países lusófonos

Mas:

(r1) A1y + B1x + C1 = 0 (2´) e (r2) A2y + B2x + C2 = 0 ( 3´), utilizam-se muito nos

países francófonos e anglófonos.

Consideramos as duas rectas r1 e r2 .

Vamos multiplicar também as mesmas, tem-se:

r1. r2 (A1x + B1y + C1)( A2x + B2y + C2 ) = 0

r1. r2 A1x . A2x + A1B2x y + A1C2x + A2B1xy + B1y. B2y + B1C2y + A2 C1x+ B2C1y+ C1.

C2= 0

r1. r2 A1A2x2 + (A1B2 + A2B1 ) xy + B1B2y2 + (A1C2 + A2 C1 ) x + (B1C2+ B2C1) y + C1.

C2 = 0

12

Vamos agrupar os monómios semelhantes.

Assim, obtemos a equação global de duas rectas:

r1. r2 A1A2x2 + (A1B2 + A2B1 ) xy + B1B2y2 + (A1C2 + A2 C1 ) x + (B1C2+ B2C1) y + C1.

C2 = 0 (4)

Suponhamos:

A1A2= A

A1B2 + A2B1 = 2B

B1B2 = C

A1C2 + A2 C1 = 2D

B1C2+ B2C1 = 2E

C1. C2 = F

Vamos substituir as expressões supostas na equação global de duas rectas, tem-se:

r1. r2 Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2E y + F = 0

Assim, a equação obtida depois da suposição dos termos forma uma curva do

segundo grau em x e y e obtemos:

f( x,y) Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2F y + F = 0 (5), é uma versão que se utiliza

muito nos países lusófonos.

Também podemos consideramos as duas rectas r1 e r2 , distintas.

Vamos multiplicar também as mesmas, tem-se:

r1. r2 ( A1y + B1x + C1)(A2y + B2x + C2) = 0

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r1. r2 ( A1 A2)y2 +( A1 B2)xy + (A1C2)y +( A2 B1)xy + (B1 B2) x2 +( B1 C2)x + (A2 C1)y + (

B2 C1)x + C1 C2 = 0

Vamos agrupar os monómios semelhantes.

Assim, obtemos a equação global de duas rectas:

r1. r2 ( A1 A2)y2 +( A1 B2 + A2 B1)xy + (B1 B2) x2 + (A1C2 + A2 C1)y +( B1 C2 + B2 C1)x +

C1 C2 = 0

Suponhamos :

A1A2= A

A1B2 + A2B1 = 2B

B1B2 = C

A1C2 + A2 C1 = 2D

B1C2+ B2C1 = 2E

C1. C2 = F

Vamos substituir as expressões supostas na equação global de duas rectas, tem-se:

r1. r2 Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0 (4)

Assim, a equação obtida depois da suposição dos termos forma uma curva do

segundo grau em x e y e obtemos:

f( x,y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0 ( 5´ ), é uma versão que se

utiliza muito nos países francófonos e anglófonos.

f( x, y ,z) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D yz + 2E xz + Fz2 = 0 (6) , é uma equação da

cónica homogénea

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Os pontos a infinito são: ( 1,m, 0)

• Equação às direcções assintóticas onde A,B e C são tirados a partir da

equação geral da cónica, tem-se:

Am2 + 2Bm + C = 0 (7)

• Natureza da Cónica

A natureza de uma cónica é determinada a partir do binómio característico anota-

se ∆ ou δ.

A expressão ∆ ou δ calcula-se a partir da equação geral da cónica às suas direcções

assintóticas, obtemos:

Am2 + 2Bm + C = 0

∆ = δ = (2B)2 - 4 AC

∆ = δ = 4B2 - 4 AC

Factorizando a expressão por 4, tem-se:

∆ = δ = 4( B⇔ 2 - AC )

∆ = δ = B⇔ 2 - AC ( 8), é chamado binómio característico da equação da cónica.

( C ) Forma da equação geral da cónica utilizada nos Países Lusófonos

• f( x,y) Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2F y + F = 0 (5) ( uma equação do

segundo grau com as variáveis x e y ), é uma equação da cónica ou de uma

cónica degenerada Uma equação degenerada em que a sua natureza pode

ser uma recta, circunferência , ponto, cónica, etc…..

• Tendo a equação f( x, y) Ax2 + 2B xy + Cy2 + 2D x + 2F y + F = 0 (5), a

sua natureza é determinada pela fórmula (8) .

∆ = δ = B2 - AC ( 8 )

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• Condições necessárias

Se ∆ = δ > 0 : a cónica é uma hipérbole

Se ∆ = δ < 0 : a cónica é uma elipse

Se ∆ = δ = 0 : a cónica é uma parábola

• Se B = 0, a cónica tem eixos de simetria paralelos aos eixos

coordenados.

• Tomando a forma da equação geral da cónica chamada forma

universal ou francófona, tem-se:

f( x, y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0 ( 5´ ).

A determinação do binómio característico não fogem a da forma lusófona

que é :

∆ = δ = B2 - AC ( 8 )

Se ∆ = δ > 0 ⇔ B2 - AC > 0 (9)

A cónica é uma hipérbole e admite duas assíntotas reais (m1 ≠ m2) a partir

das equações às direcções assintóticas.

Se ∆ = δ <0 ⇔ B2 - AC <0 (10)

A cónica é uma elipse e possui duas assíntotas imaginárias. Não m real.

Se ∆ = δ = 0 ⇔ B2 - AC = 0 (11)

A cónica é uma parábola e admite duas assíntotas reais ( m1 = m2) a partir

das equações às direcções assintóticas.

1. Observações

16

A equação da cónica f( x, y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0, representa

também:

(1) Duas rectas sse:

A B D

B C E= 0

D E F

É um determinante de Hesse

(2) Um Círculo sse A = C e B = A Cos⍬

I.1.1.2.Exemplo numéricos

Determine a natureza das seguintes cónicas:

(a) f( x, y ) ≡ 9y2 - 16x2 - 144y + 224x - 352 = 0

(b) f( x, y ) ≡ 017682 =++− yxy

(c) f( x, y ) ≡ 03624844 22 =+−+−+ yxxyyx

(d) f( x, y ) ≡ 6y2 - 6x2 - 36y + 24x - 54 = 0

Resolução

(a) f( x, y ) ≡ 9y2 - 16x2 - 144y + 224x - 352 = 0

1º Passo : Determinar os coeficientes que envolvem a cónica

17

A = 9 B = 0 C = -16 D = - 72 E = 112 F = -352

2º Passo : determinar o binomio característico

∆ = B2 – AC ⇔ ∆ = 02 – 9( -16) ⇔ ∆ = 0 + 144 ⇔ ∆ = 144

Logo , concluimos que ∆ = 144 > 0 , é uma hipérbole

(b) f( x, y ) ≡ 017682 =++− yxy


A = 1 B = 0 C = 0 D = 3 E = - 4 F = 17


∆ = B2 – AC ⇔ ∆ = 02 – 1( 0) ⇔ ∆ = 0 – 0 ⇔ ∆ = 0

Logo , concluimos que ∆ = 0 , é uma parábola

(c) f( x, y ) ≡ 036248445 22 =+−+−+ yxxyyx


A = 4 B = -2 C = 5 D = - 12 E = 4 F = 36


∆ = B2 – AC ⇔ ∆ = (-2)2 – 4( 5) ⇔ ∆ = 4 - 20 ⇔ ∆ = -16

Logo , concluimos que ∆ = -16 < 0 , é uma elipse

(d) f( x, y ) ≡ 6y2 + 6x2 - 36y + 24x - 54 = 0


A = 6 B = 0 C = 6 D = -18 E = 12 F = -54

Mas constatamos que A = C= 6 e vamos normalizar a equação dividindo-a por 6, tem-se:

f( x, y ) ≡ y2 + x2 - 6y + 4x - 9 = 0 , representa um círculo de centro C ( 3, -2 ).

I.2. Definição das Curvas do 2º grau: as cónicas

18

Todavia o conceituado docente e matemático grego apolónio de Perga fez

referência as propriedades fundamentais das cónicas com bastante ênfase e amplitude, em

sua obra, se comparado às publicações da época. Isso pode ser claramente constatado em

sua primeira publicação que aborda a teoria dos diâmetros conjugados, que segundo Boyer

(1989, p.108), «Apolónio mostrou que os pontos médios de um conjunto de cordas

paralelas a um diâmetro de uma elipse ou hipérbole formarão um segundo diâmetro, os

dois sendo chamados diâmetros conjugados».

Portanto, as cónicas se construíram as maiores descobertas matemáticas de todos os

tempos, estudadas pelos maiores matemáticos da antiguidade estão presentes em quase

tudo na vida actual desde a arquitectura, monumentos, estradas e outros se fazem presente

às secções cónicas (Parábola, elipse e hipérbole).

Portanto, tem-se que vários pesquisadores abordaram as secções cónicas no

decorrer das épocas, para que estas servissem de base para evolução dos conceitos e

demonstrações da actualidade.

Denomina-se cónica o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma recta fixa d ou r é igual a uma constante não negativa e. O ponto fixo é chamado de foco, a recta fixa de directriz e a razão constante de excentricidade da cónica. Quando e = 1 a cónica é chamada de parábola, quando 0 < e < 1 de elipse e quando e > 1 de hipérbole.

Adoptando um sistema cartesiano de coordenadas rectangulares podemos supor:

• foco: ponto ;

• directriz: recta ;

• excentricidade: constante

19

Figura 1

De acordo com a definição, um ponto pertence à cónica .

Desenvolvendo os produtos notáveis e ordenando as potências de acordo com as potências

das variáveis e temos uma igualdade da forma:

f( x,y) Ay2 + 2B xy + Cx2 + 2D y + 2E x + F = 0 ( 5´ )

que é a forma geral da equação cartesiana geral das cónicas. Os vários valores que as

constantes A, B, C, D, E e F podem assumir fornecem: pontos, rectas, círculos, parábolas,

elipses e hipérboles.

Este capítulo tem por objectivo a classificação e a dedução das cónicas sendo assim, em

geometria, cónicas são as curvas geradas ou encontradas na intersecção de um plano que

atravessa um cone, ou melhor, um lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão

entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma recta fixa d ou r é igual a uma constante não

negativa C. as cónicas de apolónio foram caracterizadas por suas propriedades focais

(lugares geométricos), que dependendo do corte classificam – se em Parábolas, Elipses e

Hipérboles.

Euler (1707-1783) desenvolveu com detalhes o teorema sobre a possibilidade de

reduzir toda a equação de segundo grau a uma das formas canônicas

(ALEKSANDROV,1994)

20

CAPÍTULO II. TRATAMENTO METODOLÓGICO PARA O

ESTUDO PARTICULAR DA ELIPSE, HIPÉRBOLE E PARÁBOLA.

2.1. Tratamento Metodológico para o estudo particular das cónicas

2.1.1. Tratamento Metodológico para o estudo particular da Elipse

2.1.1.1.Definição

(a) Uma elipse é um lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias desses

pontos a dois pontos fixos chamados focos é igual a uma constante K= 2c.

(b) Uma elipse,Ε, de focos F1 e F2, é o conjunto do ponto que consiste de todos os

pontos P cuja soma das distâncias a F1 e F2 é igual a uma constante 2a > 0, maior do

que a distância entre os focos 2c ≥ 0. Ou seja:

21

E ≡ d( P, F1) + d( P, F2 ) = 2a (12)

0 ≤ c < a : d(F1, F2 ) = 2c

(c) Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2c um número real maior que a distância entre F1 e F2, chamamos de elipse o conjunto dos pontos do plano tais que a soma das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2c.

Elementos principais da Elipse

Observe a elipse a seguir. Nela, consideramos os seguintes elementos:

• Figura 2. Elipse

• Focos: os pontos F1 e F2

• Centro: o ponto O, que é o ponto médio de

• Semi-eixos maior: a

• Semi-eixos menores: b

• Semi-distância focal: c

• Vértices: os pontos A1, A2, B1, B2

• Eixo maior:

• Eixo menor:

• Distância focal:

Lactus Rectum: corda focal perpendicular ao eixo focal passando por um dos focos, isto é ;

=

22

Relação fundamental

Na figura acima, aplicando o Teorema de Pitágoras ao tri6angulo OF2B2 , retângulo em O, podemos escrever a seguinte relação fundamental:

a2 = b2 + c2

2.1.1.1.1.Elipse e a Recta

Como dissemos na definição, os pontos F1 e F2 são os focos da elipse.

A recta r ou l que contém os focos é a recta focal.

F1 F2 r ou lA intersecção da elipse com a recta r ou l consiste de exactamente dois pontos, A1 e A2,

chamados vértices da elipse sobre a recta focal.

2.1.1.1.2.Elipse com Centro C de Coordenada ( xo , yo ) e com eixos paralelos ox e oy

2.1.1.1.2.1.Elipse com Centro C de Coordenada ( xo , yo ) e com eixos paralelos ox

Como o centro O´= ( xo , yo ) pertence à recta focal , temos que ( r) y = yo é a equação

cartesiana da recta focal.

Além disso, como d (F1 , O´ ) = d (F2 , O´) = c , onde F1 e F2 são os focos da elipse ,

temos que F1= ( xo – O´, yo ) e F2= ( xo + O´, yo ).

Seja P = ( x´ + xo , y´ + yo ) um ponto pertencente à elipse , onde x ,y são suas coordenadas

no sistema O´ X´Y´, obtido transladando o sistema CXY para a origem O´ = ( xo , yo ).

Então, P pertence à elipse se , e somente se,

d ( P, F1 ) + d ( P, F2 ) = 2a

⇔ d ( ( x´ + xo , y´ + yo ) , ( xo - c, yo ) ) + d ( ( x´ + xo , y´ + yo ) , ( xo + c, yo ) ) = 2 a

23

⇔ d ( ( x´ , y´ ) , ( -c, 0 )) + d ( ( x´ , y´ ) , ( c, 0 )) = 2a

+ ⇔ +

Logo , a forma cánica da equação da elipse com centro no ponto ( xo , yo ) e eixo focal

paralelo ao OX é :

+ , onde b2 = a2 - c2 (13)

Os focos são F1 ( xo - c, yo ) , F2 ( xo + c, yo ); a recta focal é :

( r) - e ( r) +

• Figura 2.1- Elipse

2.1.1.1.2.2.Elipse com Centro C de Coordenada ( xo , yo ) e com eixos paralelos oy

Procedendo de maneira análoga ao caso anterior , pode-se verificar que a forma canónica

da equação da elipse com centro no ponto ( xo , yo ) e eixo focal paralelo ao eixo OY é :

24

+ , onde b2 = a2 - c2 (13´)

Neste caso , os focos são F1 ( xo , yo - c ) , F2 ( xo , yo + c ) ; a recta focal é

( r) - e ( r) +

• Figura 2.2 - Elipse

2.1.1.1.3.Direcção de uma Elipse

Considera a elipse E de centro na origem do sistema Oxy e focos em F1 ( c,0) e F2 ( -c,0).

Portanto, a equação que representa o lugar geométrico dos seus pontos é :

1b

y

a

x2

2

2

2

=+

25

(14)

Sendo assim, as equações das directrizes �1 e �2 de hipérbole são da forma x = � e

x = -�, respectivamente.

Ora � = a/e , então: x = a/e e x = - a/e

2.1.1.1.4.Excentricidade

Chamamos de excentricidade (e ) da elipse éa razão entre os comprimento do segmento

F1F2 e do segmento A1A2. Neste caso, temos:

e = c/a < 1.

2.1.1.2.Equação Cartesiana

Ilustrações

26

• Figura 2.3 . Elipse Figura 2.4. Elipse

Seja E uma elipse , F1 e F2 ou ainda F e F´ seus focos . Escolhemos os eixos das

coordenadas de tal maneira que :

O eixo dos x passa por F1 e F2 .

O eixo dos y seja a mediatriz do segmento .

O segmento .

Temos o eixo A1A2 de medida 2a, é denominado eixo maior da elipse e o eixo B1B2 de

medida 2b, é denominado eixo menor da elipse.

Chamamos 2c ou 2k , a distância dos focos : = 2c

Neste caso, vamos fazer uma demonstração resultante das coordenadas dos F1 e F2 são

respectivamente ( -c , 0 ) e ( c, 0) ,isto é , um ponto P( x,y) está na elipse se a soma das

distâncias de P a F1 e F2 for constante.

Seja P(x,y) é um ponto da elipse.

Por definição

Temos : d( P, F1) + d( P, F2 ) =k, onde k é uma constante qualquer que chamamos de 2c,

tem-se:

d( P, F1) + d( P, F2 ) =2a

( = 2a , usando a fórmula da distancia entre dois pontos, escrevemos:

⇔ a>0

⇔

27

Vamos aplicar o método de resolução de uma equação irracional simples , transferindo um

dos sinais radical no 2º membro e eleva-se os dois membro ao quadrado.

⇔

⇔

⇔ = 4 +

⇔ = 4 +

⇔ =4 -4cx

⇔ =4 -cx)

⇔ = -cx

Como o sinal radical está persistindo vamos continuar a elevar os dois membro ao

quadrado.

⇔ =

⇔ =

⇔ =

⇔ =

⇔ = ( )

28

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima, obtém-se a relação :

= ( )

Como no triângulo F1F2P, tem-se :

(uma desigualdade triangular)

⇒ 2a > 2c

⇒ a > c

⇒

⇒

Logo existe um número real b>0 ,tal que

Suponhamos , a equação

obtida torna-se:

⇔ = ( )

⇔ =

Dividindo ambos membro pela expressão , tem-se:

⇔ + =

29

⇔

(14)

É a equação reduzida da elipse

(a) Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo Maior Sobre o Eixo dos x:

Figura 2.5. Elipse

1b

y

a

x2

2

2

2

=+ (14)

(b) Equação da Elipse com Centro na Origem e Eixo maior sobre o eixo dos y:

30

1b

y

a

x2

2

2

2

=+

Figura 2.6. Elipse

1a

y

b

x2

2

2

2

=+ (14´ )

Exemplo numérico

1- Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.

Solução:

Temos que2a=12 →a = 62b = 8 → b = 4Assim,

2-Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0 , -3) e que o eixo menor mede 8.

Solução:

Temos queSe F1(0 , -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y.2b = 8 → b = 4Usando a relação notável: a2 = b2+c2, obtemos:a2 = 42+32 → a2 = 16 + 9 → a2 = 25 → a = 5Assim, a equação reduzida da elipse será:

31

II.1.1.3. Forma da Curva

(a) Se o centro é ( 0,0) e o eixo focal é 0y então :

Sua equação é: ,onde a b ˂

Os focos são F´( 0, -c) e F(0, c) ou F2( 0, -c) e F1(0, c)

As directrizes associadas a F´ e F têm por equações: y + = 0 e y - = 0

(b) Se a elipse tem por centro ( e eixo focal paralela ao eixo 0x, então :

Sua equação é : = 1

Os focos são : F´( α-c,�) e F(α+c, �) ou F2(α-c,�) e F1(α+c, �)

As directrizes associadas a F´ e F têm por equações respectivas:

X=α- e x =α+

32

(c) Se a elipse tem por centro ( α,�) e eixo focal paralela ao eixo 0y , então :

Sua equação é : : = 1

Os focos são : F´( α,c-�) e F(α, c+�) ou F2(α, c-�) e F1(α, c+�)


y=�- e y =�+

(d) Se a=b , então a equação da elipse torna-se como aquela da circunferência

2.1.2. Tratamento Metodológico para o estudo particular da Hipérbole

2.1.2.1.Definição

Considerando, num plano , dois pontos distintos, F1 e F2 , e sendo 2a um número real

menor que a distância entre F1 e F2 , chamamos de hipérbole o conjunto dos pontos do

33

plano tais que o módulo da diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre

igual a 2a.

Elementos da Hipérbole

• Focos: são os pontos F1 e F2,

• Distância Focal: é a distância 2c entre os focos,

• Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2,

• Vértices: são os pontos A1 e A2,

• Eixo Real ou transverso: é o segmento A1A2 de comprimento 2a,

• Eixo imaginário ou conjugado: é o segmento B1B2 de comprimento 2b,

• Excentricidade: é o número e dado por e=c/a. Como c>a, temos e>1.

• Lactus Rectum: corda focal perpendicular ao eixo focal passando por um dos focos,

isto é ; =

2.1.2.1.1.Hiperbole e a Recta

Para todo ponto P do plano, temos que:

│ d(P, F1 ) – d (P, F2 ) │≤ d (F1 , F2 )

E a igualdade ocorre se e somente se, P pertence à semi-recta de origem F1 que não contém

F2, ou à semi-recta de origem F2 que não contém F1. Em particular, como 2a <2c, nenhum

ponto sobre essas semi-rectas pertence à hipérbole.

2.1.2.1. 2.Hiperbole com Centro C de Coordenada (xo ,yo) e com eixos paralelos ox e

oy

2.1.2.1. 2.1. Hiperbole com Centro C de Coordenada ( xo , yo ) e com eixos paralelos ox

Como o centro O´ =( xo ,yo ) pertence à recta focal , temos que (r)≡ y= yo é a equação

cartesiana da recta focal .

34

Além disso,como: d ( F1 , O´) = d( F2 , O´) = c,

Onde F1 e F2 são os focos da elipse , temos que F1 = ( xo –c, yo ) e F2 = ( xo + c, yo ).

Seja P = ( x´+ xo , y´+ yo ) um ponto pertencente à hipérbole , onde X= x´+ xo , y = y´+ yo,

São as coordenadas no sistema OXY e x´,y´ são as suas coordenadas no sistema O´X´Y´,

obtido transladando OXY para a origem O´ =( xo ,yo ).

Então , P pertence à hipérbole se, e somente se.

⇔

⇔

⇔ – ⇔ –

Logo, a forma canônica da equação da hipérbole com centro no ponto ( xo ,yo ) e a recta

focal paralela ao eixo OX é

– ( 15 )

Ilustração

Y y´

35

B2

F1 F2

Yo X´ B1 X O Xo

Figura 2. Hipérbole

Onde b2 = c2 – a2

Os focus são F1 = ( xo –c, yo ) e F2 = ( xo + c, yo ) , a recta focal é (r )≡ y = yo, os vértices

são A1 = ( xo –a, yo ) e A2 = ( xo + a, yo ) ; recta não focal é (r )≡ x = xo,; os vértices

imaginários são B1 = ( xo , yo – b) e B2 = ( xo , yo + b), e as assimptotas são as rectas

b( x- xo) – a(y – yo ) = 0 e b( x- xo) + a(y – yo ) = 0

2.1.2.1. 2.1. Hipérbole com Centro C de Coordenada (xo,yo) e com eixos paralelos oy

Procedendo como no caso anterior , se verifica que a forma canônica da equação da

hipérbole com centro no ponto ( xo , yo ) e recta focal paralela ao eixo Oy é :

– (16)

Onde b2 = c2 – a2

Neste caso , os focos são F1 = ( x0 ,y0 – c ) e F2 = ( x0 ,y0 + c ); a recta focal ( r )≡ x = x0.

A1 = ( x0 ,y0 - a ) e A2 = ( x0 ,y0 + a ) são os vértices , a recta não focal é : ( r ) ≡ y = y0 ;

36

B1 = ( xo –b , yo ) e B2 = ( xo +b , yo ) são os vértices imaginários , e as assíntotas são as

rectas

a( x- xo) + b(y – yo ) = 0 e b( x- xo) -b(y – yo ) = 0.

Ilustração:

Y y´ F2 A2 Yo X´ A1

F1

X O Xo

Figura 3.1.Hipérbole

2.1.2.1.3. Direcção de uma Hipérbole

Considera a hipérbole H de centro na origem do sistema Oxy e focos em F1 ( c,0) e F2 (

-c,0). Portanto, a equação que representa o lugar geométrico dos seus pontos é :

1b

y

a

x2

2

2

2

=−

(17 )

Sendo assim, as equações das directrizes �1 e �2 de hipérbole são da forma x = � e

37

x = -�, respectivamente.

Ora � = a/e , então: x = a/e e x = - a/e

2.1.2.1.4. Excentricidade

Uma excentricidade ℮ da hipérbole é a razão entre os comprimentos dos segmentos F1 F2 e

A1 A2.

Neste caso, temos:

℮= c/a > 1

Exemplo numérico

Determine a excentricidade da hipérbole cujos comprimentos dos eixos transversos e

conjugados são iguais a 4 e 6 respectivamente.

Solução:

Temos que :

2a = 4 ⇒ a = 2

38

2b = 6 ⇒ b = 3

Tendo a relação c2 = a2 + b2 , tem-se :

c2 = 22 + 32 ⇒ c2 = 4 + 9 ⇒ c2 = 13 ⇒ C = ⇒ C =

Ora : e = c/a ⇒ e = /2

2.1.2.1.5. Equação Cartesiana

Figura 3.2.Hipérbole Figura 3.3.Hipérbole

39


Seja H uma hipérbole ,F1 e F2 seus focos .

Escolhemos os eixos das coordenadas de tal maneira que :

o eixo dos x passe por F1 e F2.

o eixo dos y seja a mediatriz do segmento .

Suponhamos =2c, a distância dos focos.

Neste caso, vamos fazer uma demonstração resultante das coordenadas dos F2 e F1 que são

respectivamente ( -c , 0 ) e ( c, 0) e tomando um ponto P( x,y) da hipérbole.

Seja P(x,y) é um ponto da hipérbole.

Por definição

Temos : d( P, F2) - d( P, F1 ) =k, onde k é uma constante qualquer que chamamos de 2c,

tem-se:

d( P, F2) - d( P, F1 ) =2a

= ( a> 0 )

usando a fórmula da distancia entre dois pontos, escrevemos:

40

⇔

⇔

Vamos aplicar o método de resolução de uma equação irracional simples, transferindo um

dos sinais radical no 2º membro e eleva-se os dois membro ao quadrado.

⇔ =

⇔ = 4 4a +

⇔ = 4 4a +

⇔ = 4 - -

⇔ = 4 -

⇔ 4 = 4 ( + )

⇔ = +

Como o sinal radical está persistindo vamos continuar a elevar os dois membro ao

quadrado.

⇔ =

⇔ =

41

⇔

⇔ =

⇔

Pondo a variável no primeiro membro e a expressão , tem-se:

⇔ + =

Com bastante paciência , desenvolvendo a expressão acima, obtém-se a relação :

⇔ + =

A expressão , é uma desigualdade triangular.

Neste triângulo MF1F2, (2a onde (a

⇔

Ora c > a

Então

ou ainda

Ilustração

42

Logo existe um número real b>0 ,tal que ou aplicando o teorema de

Pitágoras , tem-se:

C2 = a2 + b2

Suponhamos , a equação obtida torna-se:

⇔ + =

⇔ + =

⇔ + =

Dividimos os dois membros por

⇔ + =

⇔ (17 ) É a equação reduzida da hipérbole

Ou ainda multiplicando a expressão: + = ,em ambos

membros por (-1) , tem-se:

⇔ + = / (-1)

⇔ - =

Logo existe um número real b>0 ,tal que

43

Suponhamos , a equação obtida torna-se:

⇔ - =

⇔ - =

Dividindo ambos membro pela expressão , tem-se:

⇔ -

⇔ É a equação reduzida da hipérbole

(a) Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos

x:


A equação de uma Hipérbole cujos focos são F1 = (- c, 0) e F2 = (c, 0) é

44

1b

y

a

x2

2

2

2

=−

b) Equação da Hipérbole com Centro na Origem e Eixo Real sobre o eixo dos

y:


A equação de uma hipérbole cujos focos são F1 = (0, - c) e F2 = (0, c) é:

1b

x

a

y2

2

2

2

=−

( 17´ )

Exemplo numérico

1-Determine a equação reduzida da hipérbole com eixo real 6, focos F1(-5 , 0) e F2(5, 0).

Solução: Temos que

2a = 6 → a = 3

F1(-5, 0) e F2(5, 0) → c = 5

Da relação notável, obtemos:

c2 = a2 + b2 → 52 = 32 + b2 → b2 =25 – 9 → b2 = 16 → b = 4

45

Assim, a equação reduzida será dada por:

2- Encontre a equação reduzida da hipérbole que possui dois focos com coordenadas F2 (0,

10) e eixo imaginário medindo 12.

Solução: Temos que

F2(0, 10) → c = 10

2b = 12 → b = 6

Utilizando a relação notável, obtemos:

102 = a2 + 62 → 100 = a2 + 36 → a2 = 100 – 36 → a2 = 64 → a = 8.

Assim, a equação reduzida da hipérbole será dada por:

2.1.2.1.6. Equação das Assimptotas

II.1.2.1.6. 1.Definição

São as rectas da forma xa

by ±= , chamadas assimptotas da hipérbole.

Figura 4. Parábola

46

São retas das quais a hipérbole se aproxima cada vez mais à medida que os pontos se

afastam dos focos.

Cada hipérbole tem duas rectas determinadas assimptóticas que se interceptam no centro

da curva .

2.1.3. Forma da Curva

(a) Se o centro é ( 0,0) e o eixo focal é Oy então :

Sua equação é: 1b

y

a

x2

2

2

2

=− ( com b2 = c2 – a2 )

Os focos são F´( 0, -c) e F(0, c) ou F2( 0, -c) e F1(0, c)

As directrizes associadas a F´ e F têm por equações: y + = 0 e y - = 0 ,

que podem se escrever : y = c

a2

e y = - c

a2

As assíntotas têm por equação : y = xb

a e y = - x

b

a

(b) Se a hipérbole tem como centro ( e eixo focal paralela ao eixo 0x,

então :

Sua equação é :

Os focos são : F´( α-c,�) e F(α+c, �) ou F2(α-c,�) e F1(α+c, �)

As directrizes associadas a F´ e F têm por equações respectivas:47

y = � - e y= � +

As assíntotas tem por equações : y - � = ) ( α−xb

a e y - � = - ) ( α−x

b

a

(c) Se a hipérbole tem por centro ( α,�) e eixo focal paralela ao eixo 0y , então :

Sua equação é :

Os focos são : F´( α, �-c) e F(α, �+c) ou F2( α, �-c) e F1(α, �+c)


y = �- c

a2

e y = � + c

a2

As assíntotas tem por equações :

48

y - � = ) ( α−xb

a e y - � = - ) ( α−x

b

a

(d) A hipérbole equilátero é : x2 – y2 = a2

2.1.3. Tratamento Metodológico para o estudo particular da parábola

2.1.1.1.Definição

A parábola (do grego: παραβολή) é uma sessão cónica gerada pela intersecção de uma

superfície cónica de segundo grau e um plano paralelo a uma linha geradora do cone

(chamada de geratriz). Uma parábola também pode ser definida como o conjunto dos

pontos que são equidistantes de um ponto dado (chamado de foco) e de uma repta dada

(chamada de directriz). É uma curva plana.

(a) Uma parábola é um lugar geométrico dos pontos do plano situado a igual distância

de um ponto fixo e de uma recta fixa.

(b) Uma parábola é um lugar geométrico dos pontos do plano tal que as distâncias de

um qualquer desses pontos a uma recta fixa, chamada directriz e a um ponto fixo

chamado foco sejam iguais.

Elementos principais da Paráola

• Focos ( F) : ponto fixo

• Recta directriz ( d ou r ) : recta fixa

• Eixo focal ( e.f) : recta perpendicular à recta directriz passando pelo foco

• Vértice ( V ) : intersecção do eixo focal com a parábola ( ponto médio entre F e d )

• Corda : segmento de recta ligando um ponto da parábola com o foco

49

http://pt.wikipedia.org/wiki/Curva_plana

http://pt.wikipedia.org/wiki/Reta_(matem%C3%A1tica)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Ponto_(matem%C3%A1tica)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_(matem%C3%A1tica)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Cone

http://pt.wikipedia.org/wiki/Plano_(matem%C3%A1tica)

http://pt.wikipedia.org/wiki/Superf%C3%ADcie_c%C3%B4nica

http://pt.wikipedia.org/wiki/Se%C3%A7%C3%A3o_c%C3%B4nica

http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADngua_grega

• Corda focal: corda que passa pelo foco

• Lactus rectum : corda focal perpendicular ao eixo focal, isto é , = 4 p

2.1.1.2.Equação Cartesiana

Figura 4.1. Parábola

Seja dada uma parábola de recta r e foco F . Escolhemos o eixo y perpendicular à directriz

e contendo o foco. A origem é tomada como o ponto médio sobre o eixo dos y entre o foco

e a directriz . Observa-se que os eixos ( não a parábola ) estão sendo escolhidos de uma

maneira particular.

Neste sistema de coordenadas o foco é (F,p) , e a directriz é a recta horizontal de equação

y = -p. Um ponto P (x, y) está se e somente se P for equidistante de F e da directriz.

Resulta-se que a coordenada do foco é ( , 0 ) e a equação da directriz é x = -

Dando a F , as coordenadas ( , 0 ) e à A, as coordenadas (- , 0 ) e considera-se p > 0 .

P é um ponto qualquer do lugar geométrico , no qual vamos dar as coordenadas ( x, y).

Traçamos PV perpendicular à (r) e PF.

50

Por definição , = ⇔

Elevando ao quadrado ambos membros e reduzindo os termos semelhantes, a equação

torna-se:

⇔ =

⇔ =

⇔ =

⇔ =

⇔ =

⇔ =

( 18)

2p chama-se o parâmetro da parábola e permite sua abertura

Exemplo numérico

Dada a parábola de equação 2 8y x= − pedem-se

a) As coordenadas do foco

b) O gráfico

RESOLUÇÃO:

51

a) Sendo x o eixo de simetria, então ,02

PF = ÷

e a equação reduzida: 2 2y px= então

2 8 4 22

pp p= − ⇒ = − ⇒ = − sendo o foco ( )2,0F = − .

b)

Figura 4.3.Parábola

2.1.1.3.Forma da Curva

(a) Se o eixo focal é Oy e o vértice ( 0,0 ) , então a equação da parábola é :

X2 = 2py ou X2 = - 2py

O foco é F ( 0 , p/2 ) ou F ( 0 ,- p/2 )

As directrizes tem por equações y = -p/2 ou y = p/2

(b) Se o vértice é V( � ,� ) e o eixo focal paralelo a Ox então:

b.1. A equação da parábola é:

( y- � )2 = 2p( x- � ) (i)

52

Equação da diretriz:: 2 0d x − =

O foco é F (� + p/2 , � )

As directrizes tem por equações y = � -p/2

b.2. A equação da parábola é :

( y- � )2 = -2p( x- � ) (ii)

O foco é F (� - p/2 , � )

As directrizes têm por equações y = � + p/2

Logo, a expressão (i) e (ii) podem-se escrever:

53

y2 + Ay + Bx + F = 0

2.2. Estudo detalhado das cónicas

Considerar o determinante de Hesse da curva do seguinte grau.

- A∆, isto é,

= -A∆

ANÁLISE DOS CASOS

Primeiro Caso : A ≠ 0

II.2.1. O Estudo detalhado da Elipse

(1) Para δ < 0

(1.1) Se ─ A ∆ < 0 : ( Ei ) ⇒Elipse imaginária

( 1.2) Se ─ A ∆ > 0 : ( Er ) ⇒Elipse real.

54

( 1. 3) Se ─ A ∆ = 0 : ( Ee ) ⇒Elipse evanouissante.

II.2.2. O Estudo detalhado da Parábola

( 1) Para δ = 0 : Parábola

(1.1) Se ─ A ∆ > 0 e p= BD ─ AE ≥ 0 : A parábola é dita : parábola propriamente dita

voltada para as abscissas positivas ⇒ ( Ppd +)

(1. 2) Se ─ A ∆ > 0 e p < 0 : ( Ppd ─) ⇒ A parábola é dita : parábola propriamente dita

voltada para as abscissas negativas.

( 1.3) Se ─ A ∆ = 0 ; p = 0 e q = D2 ─AF > 0: ( Pdr) ⇒ Parábola degenerada em duas

rectas paralelas reais e distintas.

55

( 1. 4) Se ─ A ∆ = 0 ; p = 0 e q = D2 ─AF < 0: ( Pdi) ⇒ Parábola degenerada em

duas rectas paralelas imaginárias conjugadas.

( 1. 5) Se ─ A ∆ = 0 ; p = 0 e q = 0 : ( Pdc ) ⇒ Parábola degenerada em duas rectas

reais paralelas e confundidas.

2.2.3. O Estudo detalhado da Hipérbole

( 1) Para δ > 0 : Hipérbole

(1. 1) Se ─A∆ > 0 : a hipérbole é dita Hipérbole transversa. ( Ht) anota-se : Ht.

( 1.2) Se ─A∆ < 0 : a hipérbole é dita Hipérbole não transversa e anota-se Hnt.

(1.3) se ─A∆ = 0 : a hipérbole é dita Hipérbole degenerada em duas rectas reias secantes

e anota-se : Hd

2.2.4. Tabela sintética do estudo detalhado da Elipse, Hipérbole e Parábola

F ( x, y ) ≡ Ay2 + 2Bxy + Cx2 + 2 Dy + 2Ex +F = 0, é uma equação geral da cónica.

δ ─A∆ p Q CURVA δ ∆ r CURVA

─ † Er † †/─ ou Hpd─ 0 Ee † 0 Hd─ ─ Ei 0 †/─ Ppd† † Ht 0 0 † Pdr† 0 Hd 0 0 0 Pdc

56

† ─ Hnt 0 0 ─ Pdi

0† † Ppd+

Pdr: Parábola degenerada em 2 duatas //

0 † ── Ppd── reias e distintas 0 0 0 † Pdr

00 0 0 Pdc

Pdc : parábola degenerada em 2 rectas //

0 0 0 ─ Pdi reais confundidas

Tabela nº1. Tabela sintética do estudo detalhado da Elipse, Hipérbole e Parábola

2.3. Alguns exercícios Resolvidos Aplicando o Tratamento Metodológico para o

estudo particular e detalhado ou classificado das Cónicas.

2.3.1. Alguns exercícios Resolvidos Aplicando o Tratamento Metodológico para o

estudo particular das Cónicas.

(1) Considere as equações apresentadas na coluna da esquerda e os nomes das curvas planas descritas na coluna da direita.

Associe a 2ª coluna com a 1ª coluna.

A associação que relaciona corretamente a equação ao tipo de curva plana na sequencia de cima para baixo, é:

a) I, IV, II, V e III

b) I, V, III, IV e II

c) II, III, V, I e IV

d) III, II, IV, I e V

57

http://www.pensevestibular.com.br/wp-content/uploads/2011/06/conicas1.png

e) IV, II, V, I e III

Solução:

Para determinar que tipo de curva cada equação representa devemos observar algumas características das equações, observe:

Reta: x e y possuem expoentes iguais a 1, sendo que nem x, nem y podem estar no denominador, nesse caso item (II)

Circunferência: o número que multiplica x² e y² é sempre o mesmo e temos uma soma de x² e y² nesse caso o item (V)

Elipse: os números que multiplicam x² e y² são diferentes e temos uma soma de x² e y², item (I)

Hipérbole: temos uma subtração de x² e y², item (IV)

Parábola: temos só x² ou só y², item (III)

Alternativa letra A

(2) . Determine a distância focal da hipérbole com equação

Solução: Como a equação da hipérbole é do tipo

temos que:a2 = 16 e b2 =9

Da relação notável obtemos: c2 = 16 + 9 → c2 = 25 → c = 5A distância focal é dada por 2c. Assim,

2c = 2*5 =10Portanto, a distância focal é 10.

Dada a elipse : 16x²+12y²=192, determinar:

a. o semi-eixo horizontal.

b. o semi-eixo vertical.

58

c. a semi-distância focal.

d. a excentricidade da elipse.

e. as equações das rectas directrizes.

Resolução

Seja f( x,y) 16x²+12y²=192

Vamos verificar o binómio característico .

A= 16 , B= 0 ,C= 12

12.16

192 , é uma elipse

Vamos decompor a cónica na forma f( x,y) , dividindo toda a equação dada

por 192, tem-se:

f(x,y)

f(x,y) , onde:

= 12⇒ b =

59

⇒ b =

⇒ b = e

= 16 ⇒ a =

⇒ a =

ora

(a) o eixo maior é 2a = ⇒ o semi-eixo vertical é a = 4 .

(b) O eixo menor é 2b = ⇒ o semi-eixo horizontal é b =

60

(c) A distância focal é 2c ,enquanto C2 = a2 b2⇒ c =

⇒ c = ⇒ c = ⇒ c =

Logo a semi-distância focal é c = 2

(d) A excentricidade é ou ⇒ ⇒ ⇒

⇒

Logo, a excentricidade é :

(e) As equações das rectas directrizes são: X + = 0 e X - = 0 ou

X = e X =

61

⇒ X + = 0 ⇒ X + 4 = 0 ⇒ X + 8 = 0 e X - = 0⇒X - 4 = 0⇒ X-8 = 0 ou

⇒ X = e

⇒ X = ⇒ X = ⇒ X = ⇒ X =

(4) Determinar na hipérbole: 164

x

100

y 22

=−

a) A medida dos semi-eixos

b) Os focos

c) A excentricidade

d) As equações das assínotas

Resolução

Seja f (y, x) 164

x

100

y 22

=− ,

62

onde = ⇒ a = 10 e = ⇒ b = 8

(f) Consideramos o eixo maior é : 2a = 2.10 ⇒ a =20 ⇒ a =10 e o eixo menor é :

2b = 2.8⇒ b = 16 ⇒b = 8

Logo , as medidas do semi-eixo maior é a = 10 e do sem-eixo menor é b= 8

(g) Na determinação dos focos, considera-se a distância focal 2c ou Os focos são

determinados através a fórmula F´ ( -c , 0 ) e F ( c, 0 ) no eixo Ox e F´ ( 0, -c ) e

F (0, c ) no eixo Oy.

Ora o eixo focal da hipérbole determina-se na expressão :

C2 = a2 + b2 ⇒ C =

Como temos o valor de , vamos determinar assim o valor dos

focos .

63

⇒ C =

⇒ C =

⇒ C =

Logo , os focos são: F´ ( 0, - ) e

F (0, )

(h) A excentricidade é ou ⇒ ⇒

Logo, a excentricidade é

(i) As equações das assímptotas são : e

64

⇒ ⇒ e

⇒ ⇒

(5) Determinar a equação da elipse transportada aos eixos Ox e Oy se seu maior eixo vale

8 e a distância focal é 4.

Resolução

Conhecendo o eixo maior : 2a = 8 ⇒ a =

⇒ a = 4

A distância focal : 2C = 4 ⇒ C=

65

⇒ C = 2

A equação reduzida da elipse é :

Ora : C2 = a2 b2

Como o valor do eixo menor é desconhecido , vamos determiná-lo através a relação:

C2 = a2 b2 ⇒ b2 = a2 C2 ⇒ b =

⇒ b =

⇒ b =

66

⇒ b =

⇒ b =

⇒ b =

Logo , o valor de b =

Tendo o valor do eixo maior e menor , vamos determinar a equação reduzida da elipse

centrada á origem.

f( x , y ) ≡

f( x , y ) ≡

f( x , y ) ≡

vamos determinar o denominador comum de (12 e 16 ) = 48

67

f( x , y ) ≡

Aplicando a proporcionalidade, tem-se:

Logo, a equação da elipse é :

(6) Dada a elipse : 16x²+12y²=192, determinar:

f. o semi-eixo horizontal.

g. o semi-eixo vertical.

h. a semi-distância focal.

i. a excentricidade da elipse.

j. as equações das rectas directrizes.

Resolução

Seja f( x,y) 16x²+12y²=192

Vamos verificar o binómio característico .

A= 16 , B= 0 ,C= 12

12.16

68

192 , é uma elipse

Vamos decompor a cónica na forma f( x,y) , dividindo toda a equação dada

por 192, tem-se:

f(x,y)

f(x,y) , onde:

= 12⇒ a =

⇒ a =

⇒ a = e

= 16 ⇒ b =

69

⇒ b =

ora o eixo maior é 2a = ⇒ o semi-eixos vertical é a = .

O eixo menor é 2b =2. 4⇒ 2b =8⇒ b = 8 ⇒ o semi-eixo horizontal é b = 2

(7) As coordenadas dos focos da hipérbole da equação :

, vale :

A. ( 0, -4 ) e ( -6, 0 ) B. ( -6, 0) e ( 6, 0 ) C. ( -4, 0 ) e ( 4, 0 )

D. ( -8, 0 ) e ( 8, 0 ) E. ( 0, -8 ) e ( 8, 0 )

Resolução

Vamos determinar primeiramente a forma reduzida de uma equação da hipérbole

centrada á origem que é :

Neste caso , temos que transformar a equação dada na forma da equação reduzida da

hipérbole, dividindo-a por 252 ambos membros , tem-se:

70

⇒

⇒

⇒ , onde:

36 ⇒ a = ⇒ a = 6 e ⇒ b = 2

Os focos são determinados através a fórmula F´ ( -c , 0 ) e F ( c, 0 )


C2 = a2 + b2 ⇒ C =

Como temos o valor de , vamos determinar assim o valor dos focos .

71

C = ⇒ C = C = ⇒

Logo , os focos são : F´ ( -8 , 0 ) e F ( 8, 0 )

A opção certa é D.

(8) Determinar na hipérbole 06379 =−− 22 yx

a) A medida dos semi-eixos

b) Os focos

c) A excentricidade

d) As equações das assínotas

Resolução

Vamos determinar primeiramente a forma reduzida de uma equação da hipérbole centrada

á origem que é :

Neste caso , temos que transformar a equação dada na forma da equação reduzida da

hipérbole, dividindo-a por 63 ambos membros , tem-se:

f( x,y) 06379 =−− 22 yx ⇒ f( x,y) 9x2 – 7 y2 = 63

⇒ f( x,y)

72

⇒ f( x,y) =

⇒ f( x,y) = , onde:

9 a = ⇒ a = 3 e b⇒ 2 = 7 b = ⇒

(a) Consideramos o eixo maior é : 2a = 3.2 a = 6 e o eixo menor é : ⇒

2b = 2

Logo , as medidas do semi-eixo maior é a = 3 e do sem-eixo menor é b =

(b) Na determinação dos focos, considera-se a distância focal 2c ou Os focos são

determinados através a fórmula F´ ( -c , 0 ) e F ( c, 0 ) no eixo Ox e F´ ( 0, -c ) e

F (0, c ) no eixo Oy.


C2 = a2 + b2 C = ⇒ C = ⇒ C = ⇒ 4

Como temos o valor de a2 = 9 e b2 = 7 , vamos determinar assim o valor dos

focos .

C = ⇒ C = ⇒ C = ⇒ 4

Logo , os focos são: F´ ( 0, -4 ) e

F (0, 4)

73

A excentricidade é ou ⇒ e =

Logo, a excentricidade é e =

(c) As equações das assímptotas são : e

(d) ⇒ e

(e) ⇒

(9). Encontre uma equação da hipérbole de focos F1(0,-5) e F2(0,5) e eixo real de medida

6.

Resolução:

C = 5

2a = 6 ⇒ a= 3

Ora ( H) ≡ 1=−2

2

2

2

b

y

a

x, mas como a hipérbole está representada no eixo Oy ,tem-se:

( H) ≡ 1=−2

2

2

2

b

x

a

y

74

Se c2 = a2 + b2 ⇒ 25 = 9 + b2 ⇒ b2 = 25 – 9 ⇒ b2 = 16 ⇒ b = 4.

Logo , a equação da hipérbole é ( H)≡ 116

x

9

y 22

=−

(10) Encontre a equação da elipse que tem como eixo maior a distância entre as raízes da

parábola de equação y = x² - 25 e excentricidade e = 3/5.

Resolução:

(10) Encontre a equação da parábola que passa pelo ponto P(0,10) e pelos focos da

hipérbole de equação 9x² - 16y² = 144.

75

Resolução:

2.3.2. Alguns exercícios Resolvidos Aplicando o Tratamento Metodológico para o

estudo detalhado ou classificado das Cónicas

2.3.2.1. Discutir a natureza das cónicas seguintes e fazer o esquema

(a) f ( x, y ) ≡ y2 + 4kxy + x2 + 5ky +2x+1 = 0

1º Passo: Determinar os coeficientes que envolvem a cónica

A = 1 B = 2k C = 1 D = 5/2 E = 1 F = 1

2º Passo: determinar o binomio característico

∆ = B2 – AC ⇔ ∆ = (2k)2 – 1( 1) ⇔ ∆ = 4k2 – 1

k -∞ -1/2 1/2 +∞

76

4k2 – 1 + + + + 0 ─ 0 + + + + +

Observação

(a) Para k ⇒ a cónica é uma elipse pois δ < 0

( b) Para k ⇒ a cónica é uma hipérbole pois δ > 0

( c) Para k ⇒ a cónica é uma parábola pois δ = 0

Vamos determina o determinante de Hesse

- A∆, isto é, = -A∆

( 1+ 5k2 + 5k2 ) – ( )

1+ 5k2 + 5k2 ─ = 0

77

10 k2 ─ = 0 ⇒

⇒

⇒

Então , =

Vamos fazer estudo de sinais, tem-se

k 0

+ 0 +

P = BD AE

P = 2k . 1 .1 p = 5k⇒ 2 1

Vamos fazer estudo de sinais , tem-se

k

78

+ 0 0 +

Esquema da descrição

K 0

+ 0 0 +

+ + + + + 0 + + + + +

P + + 0 0 + + +

Conclusão da curva Ht Ppd+ Er Er Er Ee Er Er Er Ppd+ HtTabela nº 2. Tabela sintética do estudo detalhado da cónica:

f ( x, y ) ≡ y2 + 4kxy + x2 + 5ky +2x+1 = 0

b) f ( x, y ) ≡ (k- 2 )y2 + 2xy + x2 + 2y +5x+1 = 0

Resolução


A = k-2 B = 1 C = 1 D = 1 E = 5/2 F = 1


∆ = B2 – AC ⇔ ∆ = (k-2)2 – 1( 1) ⇔ ∆ = k2 -4k +4 -1 ⇔ ∆ = k2 -4k +3

⇔ k2 -4k +3 = 0

⇔ ∆ = (-4)2 -4.(1)(3)

⇔ ∆ = 16 – 12

⇔ ∆ = 4

2 raízes reais distintas⇔

79

x1 = -1 e x2 = - 3

k -∞ -3 -1 +∞

k2 -4k +3 + + + + 0 ─ 0 + + + + +

Observação

(a) Para k ⇒ a cónica é uma elipse pois δ < 0

(b) Para k ⇒ a cónica é uma hipérbole pois δ > 0

( c) Para k ⇒ a cónica é uma parábola pois δ = 0

Vamos determinar o determinante de Hesse.

80

- A∆, isto é, = -A∆

∆ = k -2 +3 +3 – ( 1 + 9( k – 2 ) +1 )

∆ = k +4 – ( 1 + 9k – 18 +1 )

∆ = k +4 – ( 9k – 16 )

∆ = k +4 – 9k + 16

∆ = -8k + 20

Então, - A∆ ⇒ k - 2 ( - 8k + 20 ) = - 8k2 +36k -40

Vamos fazer o estudo de sinais, tem-se:

k -∞ -5/2 -2 +∞

- 8k2 +36k -40 + + + + 0 ─ 0 + + + + +

p = BD- AE

p= 1.1 – 6( k-2) ⇒ p= 1 – 6k + 12 ⇒ p = 13– 6k

Vamos fazer o estudo de sinal de p

k -∞ 13/6 +∞

81

13 – 6k + + + + 0 ─ ─ ─

Esquema da descrição

k -5/2 -2 -1

+ 0 + +

- - - 0 + 0 - - - - -

p + + + + + + + + + 0 -

Conclusão da curva Hnt Ppd+ Ei Ee Er Ee Er Ppd- Hnt hnt HntTabela nº 3. Tabela sintética do estudo detalhado da cónica:

f ( x, y ) ≡ (k- 2 )y2 + 2xy + x2 + 2y +5x+1 = 0

2.3.2.Alguns Exercícios propostos

2.3.2.1.Determine a natureza das seguintes cónicas

2.3.2.1.1. f( x, y ) ≡ 0114822 =+−−− yxyx

2.3.2.1.2. f( x, y ) ≡ 07924764820 2 =−+−+ yxxyx

2.3.2.1.3. f( x, y ) ≡ 0436894 22 =+−−+ yxyx

2.3.2.1.4. f( x, y ) ≡ 043161849 22 =−−−− yxyx

2.3.2.1.5. f( x, y ) ≡x2 – 6x – 4y + 17 = 0

2.3.2.2. Determine as equações reduzidas,a distância focal, a excentricidade e os semi-

eixos das seguintes curvas:

( a) f ( x, y ) ≡

( b) f ( x, y ) ≡

( c) f ( x, y ) ≡

(d) f ( x, y ) ≡

( e) f ( x, y ) ≡

82

( f) f ( x, y ) ≡ 4843 22 =+ yx .

CAPÍTULO III- TRATAMENTO E ANÁLISE DE DADOS RECOLHIDOS

Este capítulo relata as normas e explica os diferentes modelos aplicados no trabalho

realizado no capítulo anterior é a preocupação de investigar as dificuldades que os

encontram ao tema em estudo.

3.1. Amostra e sua caracterização

Consideramos um número de 100 pessoas e denominamos do universo no qual fazem parte

4 directores, 5 professores e 91 alunos no conjunto de 2 escolas do 2º ciclo do ensino

secundário no Município de Mbanza Kongo, Província do Zaire, onde se realizou a nossa

pesquisa. Fez-se considerar em cada escola turmas de 10ª e 12 ª classe para a escolha de

forma aleatória a nossa amostra.

O quadro a baixo explica com mais detalha sobre o universo considerado.

Categorias Sexos

Homens Mulheres Total

Directores 4 0 4

Professores 5 0 5

Alunos 55 36 91

Total 64 36 100

Tabela nº4. Elementos que constituem o universo repartida em categorias e sexos

Para aquisição de informações referente a nossa pesquisa, partimos numa escolha aleatória de amostra entre ambos sexos cuja faixa etária varia entre 18 á 49 anos de idade e tivemos a razão de considerar 20 alunos como amostra em cada turma que escola possui. Eis a razão da diferencia de número de aluno em cada turma, dos quais 4 directores, 5 professores na qual todos leccionam 10ª e 12ª classe e 91 alunos no total de 100 elementos.

O quadro a baixo explica e caracteriza a nossa amostra.

Categoria Escola do II º Cíclo do Ensino Secundário ´´

Daniel Vemba``

Escola de

formação de

Total

83

Professores Turma A Turma B Turma C

H M HM H M HM H M HM H M HM

Directores 1 - 1 1 - 1 1 - 1 1 - 1 4

Professores 1 - 1 1 - 1 1 - 1 2 - 2 5

Alunos 13 7 20 12 8 20 10 10 20 20 11 31 91

Total 15 7 22 14 8 22 12 10 22 23 11 34 100

Tabela nº5. Amostra repartida em categorias, escolas e sexos

3.2. Observação Participativa e inquéritos.

De modo geral, o trabalho ocorreu nas turmas devidamente selecionadas tendo a

oportunidade de observar em diferentes salas, por outro notou-se a ausência de meios de

ensino e o elevado número de alunos nas salas, com estas realidades os alunos

apresentavam poucas probabilidades na assimilação da matéria, e o uso dos métodos,

também dificulta os professores exercer uma boa docência. Daí apontam os aspectos

negativos na aprendizagem desta matéria.

3.3. Teste Diagnósticos (Pré-teste)

Nós elaboramos um questionário de modo a avaliar o grau de dificuldade e o nível de

conhecimento que os alunos trazem nas classes anteriores.

3.4. Ficha de Trabalho

Usamos um trabalho de qualidade e com êxito, procedeu-se à realização de quatro aulas

em cada turma aplicando um algoritmo para servir de um instrumento válido ao tema em

estudo.

3.5. Questionário Pós-Teste

Depois de inquérito e alguma orientação de aulas foi aplicado um questionário ao mesmo

número de alunos nas turmas selecionadas, de maneira a comprovar o procedimento

didáctico aplicado sobre o estudo particular das cónicas.

3.6. Dados de Pré-Teste

84

3 .6. 1-Apresentação dos dados recolhidos na aplicação da definição das cónicas, isto é

o pré-teste e os seus dados.

Os dados que abaixo se apresentam são produtos de análise de uma pesquisa realizada nas

escolas do Município de Mbanza Kongo, Província do Zaire na República de Angola,

relativo ao problema em estudo.

As perguntas são feitas de uma forma fácil para permitir aos elementos envolvidos

responder com mais precisão e de uma forma rápida. Também permite aos investigadores

recolher, analisar e interpretar as informações com mais eficiência e adequação nas tabelas

de frequência.

Todos dados estão devidamente mencionados nas tabelas de frequência em forma de

resultados, frequência e percentagem. Abaixo de cada tabela segue uma pergunta e seu

objectivo depois análise e interpretação das respostas.

O inquérito levado a cabo postou com a presença de 91 intervenientes das 4 diferentes

turmas a fim de obtermos resultados satisfactórios tendo em conta a primeira colecta de

dados realizada partindo dum questionário constituído por 5 questões conforme mostra a

tabela de distribuição descrita abaixo.

Tabela Nº 6: Apresentação das questões certas e erradas no pré-teste

QUESTÕES CERTAS % ERRADAS % TOTAL1ª QUESTAO 40 43,95604 51 56,04396 1002ª QUESTAO 35 38,46154 56 61,53846 1003ª QUESTAO 8 8,791209 83 91,20879 1004ª QUESTAO 5 5,494505 86 94,50549 1005ª QUESTAO 2 2,197802 89 97,8022 100 Gráfico Nº 1: Representação dos dados do Pré-teste

85

No que concerne a verificação da compreensão do tema em estudo fomos obrigados de

realizarmos uma pesquisa profunda culminando na aplicação de um teste denominado pré-

teste, isto é, para saber o grau de conhecimentos que os envolventes neste processo

possuem. Das cinco questões postas à disposição dos intervenientes envolvidos no

processo de ensino-aprendizagem obtivemos os seguintes resultados: 56% a 98 % dos

alunos não conseguiram acertar as questões ligadas ao tema enquanto 2% a 44% dos

alunos conseguiram acertar as questões.

Chegamos ao consenso que 56% a 98 % dos alunos permaneciam com lacunas a respeito

do tema em estudo. Neste âmbito, fomos intensificando vários algoritmos para que o

assunto seja percebido de maneira fiável.

Tabela Nº 7: Tratamento Estatístico de dados do Pré-teste

0 10 10 0 -6,3186813 39,9257336 399,25732 5 15 10 -4,3186813 18,6510083 93,255043 12 27 36 -3,3186813 11,0136457 132,16374 9 36 36 -2,3186813 5,37628306 48,386555 15 51 75 -1,3186813 1,73892042 26,083816 1 52 6 -0,3186813 0,10155778 0,101558

86

7 5 57 35 0,68131868 0,46419515 2,3209768 5 62 40 1,68131868 2,82683251 14,134169 5 67 45 2,68131868 7,18946987 35,9473510 3 70 30 3,68131868 13,5521072 40,6563211 6 76 66 4,68131868 21,9147446 131,488512 4 80 48 5,68131868 32,277382 129,109513 7 87 91 6,68131868 44,6400193 312,480114 3 90 42 7,68131868 59,0026567 177,00815 1 91 15 8,68131868 75,365294 75,36529

= 91 575 1617,758

Como já salientamos na parte introdutória que ,para compreender melhor o assunto em

estudo requer uma apreciação estatística que por sua vez irá demonstrar o fio lógico ou

verdadeiro conteúdo investigativo através da sua veracidade.

Média aritmética

Obviamente a média aritmética é uma média tendencial central e às vezes expressas em

valor médio atribuído a todos intervenientes como se mostra na fórmula abaixo citada:

Correspondendo os dados na fórmula, obtém-se:

= 6,318681

Destes dados podemos verificar que, nesta primeira fase de inquérito ainda há uma

insuficiência de informação tendo em conta os resultados esperados são ainda distantes dos

20 pontos.

3. 7. Dados de Pós-Teste

3. 7. 1-Apresentação e tratamento estatístico dos dados do pós-teste.

87

Os dados que abaixo se apresentam são produtos de análises de uma pesquisa realizada nas

escolas do Município de Mbanza Kongo, Província do Zaire na República de Angola,

relativo ao problema em estudo.

As perguntas são feitas de uma forma fácil para permitir aos elementos envolvidos

responder com mais precisão e de uma forma rápida. Também permite aos investigadores

recolher, analisar e interpretar as informações com mais eficiência e adequação nas tabelas

de frequência.

Todos dados estão devidamente mencionados nas tabelas de frequência em forma de

resultados, frequência e percentagem. Abaixo de cada tabela segue uma pergunta e seu

objectivo depois análise e interpretação das respostas.

A realização desta pesquisa envolveu também 91 intervenientes a fim de obtermos

resultados significativos (ver tabela abaixo)

Tabela Nº 8: Apresentação das Questões Certas e Erradas no Pós-teste

Gráfico Nº2: Representação dos dados do pós-teste

88

QUESTÕES CERTAS % ERRADAS % TOTAL1ª QUESTÃO 87 95,6044 4 4,395604 100

2ª QUESTÃO 8694,50549 5 5,494505 100

3ª QUESTÃO 8189,01099 10 10,98901 100

4ª QUESTÃO 7582,41758 16 17,58242 100

5ª QUESTÃO 6065,93407 31 34,06593 100

Tendo em conta os resultados inadequados obtidos no pré-teste levaram-nos na

aplicabilidade do pó- teste para que o assunto seja percebido ou compreendido para todos

os envolventes no processo de ensino-aprendizagem. Os resultados obtidos nos mostram

que das cinco questões aplicadas , a percentagem varia de 66% a 96% das respostas certas

enquanto as respostas erradas varia de 4% a 34%.

Tabela Nº 9: Tratamento Estatístico dos dados do Pós-teste

89

5 20,021978 2,1978 10 10 -9,21978 85,00435 170,0087

6 10,010989 1,0989 15 6 -8,21978 67,56479 67,56479

8 30,032967 3,2967 18 24 -6,21978 38,68567 116,057

9 10,010989 1,0989 19 9 -5,21978 27,24611 27,24611

10 60,065934 6,5934 25 60 -4,21978 17,80655 106,8393

12 70,076923 7,6923 32 84 -2,21978 4,927424 34,49197

13 10 0,10989 10,989 42 130 -1,21978 1,487864 14,8786414 30 0,32967 32,967 72 420 -0,21978 0,048303 1,4491

15 90,098901 9,8901 81 135 0,78022 0,608743 5,478686

16 50,054945 5,4945 86 80 1,78022 3,169182 15,84591

18 60,065934 6,5934 92 108 3,78022 14,29006 85,74037

19 40,043956 4,3956 96 76 4,78022 22,8505 91,402

20 30,032967 3,2967 99 60 5,78022 33,41094 100,2328

22 20,021978 2,1978 101 44 7,78022 60,53182 121,0636

24 20,021978 2,1978 103 48 9,78022 95,6527 191,3054

= 91 1 100 1294 1149,604

Como referimos na parte pré-teste que a conclusão de uma monografia nas ciências exactas

requer uma ferramenta estatística para demonstrar de uma forma sadia a evolução do

processo correr ao conteúdo propriamente dito e concluímos que a parte pós-teste também

não foge a regra.

Média aritmética

90

Obviamente a média aritmética é uma média tendencial central e às vezes expressas em

valor médio atribuído a todos intervenientes como se mostra na fórmula abaixo citada

conforme a calculamos no pré-teste.

Correspondendo os dados na fórmula, obtém-se:

= 14,21978

Concluímos que o resultado é satisfactório em relação ao resultado do pré-teste.

3. 8. Abordagem comparativa e objetiva entre os dados recolhidos nos testes

Tabela Nº 10: Comparação entre as respostas certas e erradas nos dois testes

principais.

QUESTÕESPré-teste Pós-teste

CERTAS % ERRADAS % CERTAS % ERRADAS %1ª QUESTÃO 40 43,95604 51 56,04396 87 95,604396 4 4,39560442ª QUESTÃO 35 38,46154 56 61,53846 86 94,505495 5 5,49450553ª QUESTÃO 8 8,791209 83 91,20879 81 89,010989 10 10,9890114ª QUESTÃO 5 5,494505 86 94,50549 75 82,417582 16 17,5824185ª QUESTÃO 2 2,197802 89 97,8022 60 65,934066 31 34,065934

Gráfico Nº3: Comparação entre os dados do Pré-teste e Pós-teste

91

Tendo em conta a análise feita antes e depois de uma longa pesquisa, concluímos que, no

computo geral o assunto mereceu uma melhor atenção tanto aos alunos como professores

demonstrando assim um interesse significativo em termo da sua percentualidade na

aquisição de novos conhecimentos.

Todavia, o nosso aspecto comparativo vai abranger em dois diferentes eixos que são pré-

teste e pós-teste através das medidas de tendências centrais.

No que concerne a média

• No pré-teste: na opção de teste diagnóstico, revelando o quociente da turma no que

tange o grau de aquisição de conhecimento através da nossa metodologia aplicada

no processo chegou a consenso que tivemos um resultado de 6,318681 valores, que

é de uma forma geral não satisfactório.

• No pós-teste: na opção deste teste é a persistência da aplicabilidade de um

tratamento metodológico adequado, isto é, a aplicação de um algoritmo matemático

conduzindo a uma compreensão clara e significativa.

Concluímos que a média aritmética subiu para 14,21978 valores que é um

rendimento muito significativo no processo de aprendizagem.

92

III.9.Conclusões e Sugestões

3.9.1. Conclusões

O estudo realizado a volta do tema tratamento metodológico sobre o estudo particular

das cónicas no IIº ciclo do ensino secundário ligado ao processo de aprendizagem da

disciplina de geometria analítica plana – 12ª Classe na escola do IIº ciclo do ensino

secundário «Daniel Vemba» e escola de formação dos professores concluímos que através

deste trabalho procuramos oferecer uma diferenciada forma de estudo das curvas do

segundo grau ou cónicas usando diferentes recursos na obtenção das suas equações

reduzidas. Desenvolvemos e demonstramos a obtenção das mesmas e atribuí-las,

actividades que acreditamos possibilitar dinamismo às aulas. Não propomos aqui uma nova

forma de ensinar o tema, mas sim outras possibilidades de explorar o tema em estudo.

O nosso trabalho é fruto de uma pesquisa aprofundada nas escolas do segundo ciclo,

entretanto é importante que seja observada e considerada pela comunidade para que possa

ser aprimorada a fim de garantir bons resultados para o processo de ensino-aprendizagem.

As actividades foram propostas com intuito de trazer informações úteis ou interessantes

e paralelamente abrir margens a muitas observações, proporcionando discussões entre

professores e alunos.

93

3.9.2. Sugestões

Dentre de várias questões que constatamos durante a nossa investigação em ralação ao

tema em causa, aos objectivos educacionais no tratamento metodológico sobre o estudo

particular das cónicas no IIº ciclo do ensino secundário ligado ao processo de ensino-

aprendizagem da disciplina de geometria analítica na 12ª Classe no Município de Mbanza

Kongo, na província do Zaire, República de Angola; verifica que existe grandes problemas

no estudo da mesma como é exigido pelo Ministério da educação, Ciência e Tecnologia.

Não só também para o cumprimento dos planos estratégicos, surge a necessidade de propor

algumas sugestões para a melhoria da qualidade do ensino nesta disciplina:

Aos directores

• Criar um sistema pedagógico de controlo das actividades de ensino sobre o uso dos

métodos adequados na disciplina de matemática;

• Garantir que os professores da 12ª classe tenham conhecimentos suficientes à

matéria e o livro sobre Ensino Centrado aos alunos em uso nas Escolas do IIº Cíclo

do Ensino secundário;

• Assistem professores durante a leccionação da disciplina de matemática para

verificar o seu grau de atuação no processo de ensino-aprendizagem;

Aos Professores

• Usar as estratégias didácticas adequadas que proporcionam na participação activa

dos discentes no processo do ensino-aprendizagem na disciplina de matemática

directamente para explorar o conhecimento dos alunos (pressupõe que o aluno tem

vasto conhecimento sobre a natureza da sua vida) considerando aluno o central na

aprendizagem assegurando o cumprimento das orientações metodológicas desta

disciplina;

• Os professores devem dar tempo suficiente aos alunos para trocas das expressões

nas salas de aulas durante as aulas de matemática criando assim grupo na resolução

94

de exercícios e, promovendo ambiente de debates no meio dos alunos a fim de

exprimir as suas experiências.

• Estar à possessão dos manuais de actividades relacionadas ao ensino-aprendizagem

da matéria em uso na Escola do IIº Cíclo do Ensino secundário;

• Sugerimos portanto que, o professor, segundo suas experiências, seja criativo em

metodologia que mostre a validade de colocar o aluno no centro das atenções.

95

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