Trigonometria

Daniel Portinha Alves

Aula 6

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Transformações TrigonométricasNesta aula, trataremos da determinação do seno,cosseno ou tangente de ângulos que podem ser escritos como a soma de dois ângulos notáveis.

Por exemplo, sen 750 = sen (300+450), o que facilita o cálculo, pois trabalharemos com ângulos Notáveis.

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Sen (a + b)O sen (a+ b) = sen a cosb + sen b cos a

Exemplo: calcular sen 750

Sen 750 = sen (300+450)

sen (300+450) = sen 300 cos 450 + sen 450 cos 300

sen (300+450) = . + . = + =

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Sen (a – b)Neste caso, basta mudar o sinal:

sen (a - b) = sen a cosb - sen b cos a

Exemplo: calcular sen 150

Sen 150 = sen (450-300)

sen (450-300) = sen 450 cos 300 - sen 300 cos 450

sen (300+450) = . . = - =

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Cos (a+b)Cos (a + b) = cos a cos b - sen a sen b

Exemplo: Calcule cos 900

Cos 900 = cos(600+300)

cos(600+300) = cos600 cos300 – sen600 sen300

cos(600+300) = . = - = 0

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Cos (a-b)Cos (a - b) = cos a cos b + sen a sen b

Exemplo: Calcule cos 150

Cos 150 = cos(600 - 450)

cos(600- 450) = cos600 cos450 + sen600 sen450

cos(600- 450) = = + =

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tg (a+b)tg (a+b) = ,

a e a+b (kZ)

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tg (a + b)Exemplo: Calcular tg 750

Tg 750 = tg(300+450) =

tg(300+450) = = = = , racionalizando teremos

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Tg (a-b)Para calcular a tangente de a-b, o processo é análogo e utilizaremos a relação:

tg (a - b) = ,

a e a - b (kZ)

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Funções circulares de 2asen 2a = sen(a+a) = sena cosa +sena cos asen 2a = 2 sena cosa

cos 2a = cos(a+a) = cosa cos a – sena senacos 2a = cos2a - sen2a

tg 2a = tg (a+a) = =

a (kZ)

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AplicaçãoMostre que (sen x + cos x)2 = 1 + sen 2x.

(sen x + cos x)2 = sen2x + 2senxcosx + cos2x Como sen2x + cos2x = 1, teremos:

(sen x + cos x)2 = 1 + 2senxcosx

(sen x + cos x)2 = 1 + sen 2x

Trigonometria

Daniel Portinha Alves

Atividade 6

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Atividade 1Prove que cos (900 – x ) = sen x

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Soluçãocos (900 – x ) = sen x Como cos (a-b) = cos a cos b + sen a sen b, temos

cos (900 – x ) = cos 900 . cos x + sen 900 . sen x

cos (900 – x ) = 0 . cos x + 1 . Senx

cos (900 – x ) = 0 + sen x

cos (900 – x ) = sen x

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Atividade 2Mostre que tg 2a =

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Soluçãotg 2a = tg (a + a) =

Tg 2a = a (kZ)