Trigonometria- Ficha de Trabalho 2

7/26/2019 Trigonometria- Ficha de Trabalho 2

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Trigonometria - Ficha de trabalho 2

1. Mostre que:

1.1 244 21cos sensen 1.2 2coscos 22 sensen

1.3 1cos2cos 222 sen 1.4

cos1

1cos sentg

2. Calcule:

2.1 )330()150cos()240( tgsen 2.2 )210cos()225()300( tgsen

2.3

6

7

4

7cos

4

5 tgsen 2.4

6

11cos

6cos

2

3cos

3

tg

3.

Simplifique cada uma das seguintes expresses:

3.1 xsenxtgxxsen 32322cos2

3.2 xsenxxsenxx 2cos33cos2cos

3.3 xtgxxsenxsen 2cos33

3.4

xxsenxxsen 2

7cos

2

9

2

3cos7

4. Sabendo que

2

3,

5

3cos

, calcule:

4.1 cossen 4.2 22 cossentg

5. Considere o ngulo de amplitude , tal que2

0 e

3

2)( sen

Calcule:

5.1 sen 5.2 )cos()3()cos( tg

6. Sabendo que 0cos x e xsenx cos3 , calcule:

6.1 xsenxtg

32

6.2)(

1

2

3cos

xtgx

7.

Sabendo que Q2 , determine m de modo que tenha significado a expresso m

mtg

1

.


2/7

8.

Determine os valores reais de m, de modo que tenham significado as expresses:

8.12cos9 m 8.2

3cos

2

1 me

msen

8.3 mtgesen 23

1 8.4 12 2 msen

9. Considere o tringulo issceles [ABC]. Sabe-se que 10AB e a amplitude do ngulo BAC.

Mostre que, qualquer que seja

2,0

, a rea do tringulo

[ABC], em funo de , dada pela expresso

cos100)( senA .

10.Na figura esto representados um semicrculo de dimetro

[AB] e um tringulo [ABC] nele inscrito.Sabe-se que:

x a amplitude do ngulo BAC e

2,0

x

10AB 10.1 Prove que a rea do tringulo [ABC] dada pela expresso

xsenxxA cos50)(

10.2 Calcule, recorrendo funo, a rea do tringulo para

4

x

11.

A figura ao lado representa um corte transversal de uma caleira.

11.1Mostre que a rea da seco da caleira, em funo de dada pela

expresso

2,0,1cos100)(

senA

11.2

Calcule a rea da seco da caleira para 3

.

x

C

BA

O Trapzio issceles


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Proposta de resoluo

1.

1.1 )2(

422

)1(

42244 1coscos sensensensen

...2121 2442 dqcsensensensen

1.2 22)2(

22cos2coscoscos sensensensen

...212cos22cos2cos2cos)1(

222222 dqcsensensensen

1.3 ...1cos2cos1cos)cos1(coscos 22222

)1(

22 dqcsen

1.4

sensensensensensensentg sen 1cos

cos1cos1

1cos

cos1cos

2

)(cos)1()3(

...

cos

1

1cos

1

1cos

cos

)1(

22

dqcsen

sen

sen

sensen

(1) Aplicando a frmula fundamental da trigonometria 1cos22 sen

(2)

Aplicando o caso notvel da multiplicao de binmios222

2)( bababa

(3)

Aplicando a frmula

cossentg

2.

2.1 3036030180cos60180)330()150cos()240( tgsentgsen

3

3

3

3

2

3

2

3)30())30cos(()60( tgsen

2.2 30180cos4518060360)210cos()225()300( tgsentgsen

12

31

2

3))30cos(()45()60( tgsen

2.3

66

6

44

8cos

44

4

6

7

4

7cos

4

5 tgsentgsen

3

3

2

2

2

2

64cos

4642cos

4

tgsentgsen

3

3


4/7

*2.4 1

6cos

2

3

66

12cos

2

3

03

6

11cos

6cos

2

3cos

3

tg

3.

3.1

)(2)(2cos32322cos2 xsenxtgxsenxxsenxtgxxsen

tgxxsenxsenxtgxxsenx 2cos22cos

3.2 xsenxxsenxx 2cos33cos2cos

)()cos(3cos2cos xsenxxsenxx

xxxxsenxxsenxxx cos2cos3cos2coscos3)cos(2cos

3.3 tgxxsenxsenxxtgxxsenxsen cos332cos33

tgxxsenx cos34

3.4

xxsenxxsen

2

7cos

2

9

2

3cos7

xxsensenxxsen

22

8cos

22

8

senxxsenxxsenxsenxxxsensenxxsen

coscos2cos2

4.

4.1Aplicando a frmula fundamental da trigonometria, 1cos22 sen e substituindo cos por

5

3 ,

obtemos a equao5

4

25

911

5

3 22

2

sensensen

Como

2

3,

, 5

4

sen logo 5

1

5

3

5

4cos

sen

4.2 Comox

senxtg

cos , substituindo obtemos

3

4

5

35

4

tgtg .

Ento75

79

25

9

25

16

3

4cos22 sentg

5. Considere o ngulo de amplitude , tal que2

0 e

3

2)( sen


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Calcule:

5.1Como sensen )( , conclumos que3

2sen

5.2Simplificando a expresso:

tgtgtg coscos)cos()3()cos(

Temos ento que calcular tg

Pela frmula fundamental da trigonometria, 1cos22 sen , logo

3

7cos

9

21cos1cos

3

2 222

Como

2

0 ,

3

7cos . Ento

7

14

7

2

37

3

2

tgtgtg

6. Sabendo que 0cos x e xsenx cos3 , conclumos que 3cos

x

senxou seja 3tgx

6.1Simplificando:

senx

senx

xxsen

x

xsen

xsenxtg cos

2cos

23

2

(*)3

1

cos3

cossenxsenx

x

x

Aplicando a frmulax

xtg2

2

cos

11 , conclumos que

10

10cos x

Como nos dito que 0cos x , conclumos que10

10cos x .

Ento10

103senx e portanto a expresso dada (*) tem como valor10

103

3

1

6.23

1

5

531

)(

1

2

3cos

tgxsenx

xtgx

7. Se Q2 ento 0tg logo temos que resolver a inequao 01

m

m.

0101)001()001(0

1

mmmmmmmmm

m

0,1m ( Se tiveres dificuldade em perceber este conjunto soluo repara que a condio


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01 mm impossvel e portanto, como se trata de uma disjuno, ficamos s com a primeiracondio cujo conjunto-soluo o que se apresenta.)

8. Determine os valores reais de m, de modo que tenham significado as expresses:

8.19

coscos92

2 mm Como 1cos1 , substituindo obtemos a inequao

090919

19

19

1 22222

mmmmm

A primeira inequao tem como conjunto-soluo o conjunto de todos os nmeros reais.

Para resolver a segunda inequao temos que considerar a equao

092 m

3092 mm

Observando o esboo da parbola, conclumos que

3,3191

2

m

m

8.2Pela frmula fundamental da trigonometria, 1cos22 sen logo, substituindo,

36491891

94

121

32

1 222222

mmmmmmmm

13

3129

26

32418

26

2713418180271813

2

2

mmmmm

*8.3Como

cossentg , conclumos que

mm

61cos

cos3

1

2

Como 1cos1 , podemos escrever: 16

111

6

11

mmComo a resoluo desta inequao

ainda ser estudada este ano, por enquanto ficamos por aqui.

8.42

112

22

msenmsen

Como 11

sen , podemos escrever

0103212112

11 2222

2

mmmmm

Seguindo um processo anlogo ao seguido em 8.1 obtemos o conjunto-soluo

1,1 .

9. Seja BH a altura do tringulo. Como se trata de um tringulo issceles H o ponto mdio de AC .

senBHBH

sen 1010

++

- 3-3


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cos1010

cos AHAH

...cos1002

cos200

2

2dqcsenrea

senrea

BHAHrea

10.

10.1 2

CBACrea

senxCBCB

senx 1010

xACAC

x cos1010

cos

Ento: ...cos502

10cos10dqcxsenxrea

senxxrea

10.2

2542

2

2

250

44cos

450

4

AAsenA

11.

11.1 senh

hsen 10

10

cos10

10cos x

x

senxxAsenxxreasenxx

rea )cos1(100)(10cos1010102

cos201010

11.2 37532

3

2

11100

333cos1100

3

AAsenA

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