Trigonometria - · PDF fileHipotenusa : Lado oposto ao angulo reto; ... mento do cateto...
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TrigonometriaReforco de Matematica Basica - Professor: Marcio Sabino - 1◦ Semestre 2015
1. Trigonometria
O nome Trigonometria vem do grego trigo-non “triangulo” + metron “medida”. Esta e um ramo da matematicaque estuda relacoes entre angulos e comprimentos dos lados de um triangulo retangulo.
2. Medidas de Angulos e Arcos
• Definicao de Angulo: Do latim angulu: canto, esquina. Do grego gonas: reuniao de duas semi-retas demesma origem nao colineares.
• Definicao de Arco: Do latim arcus: tudo o que tem a forma curva; uma porcao qualquer da circunferencia;e cada uma das partes em que uma circunferencia fica dividida por dois de seus pontos.
• O Grau: Do latim gradu: dividindo a circunferencia em 360 partes iguais, cada arco unitario que corresponde
a1
360da circunferencia denominamos de grau.
• O Radiano: e o arco cujo comprimento e igual ao comprimento do raio da circunferencia que o contem
Na figura temos o angulo central α = AOB com vertice no centro da circunferencia e um arco x = AB. Amedida do angulo central (em graus) e a medida do arco correspondente (em radianos) sao equivalentes.
O
A
B
xα
Na trigonometria convencionou-se que a circunferencia trigonometrica possui raio unitario, ou seja, r = 1 [u.c](OBS. A notacao [u.c] denota unidade de comprimento).
Uma volta completa sobre uma circunferencia de raio r, ou seja, o comprimento de uma circunferencia e definidopor C = 2πr. De forma equivalente, quando medimos uma volta completa em graus temos 360◦. Como o radiano e
o arco cujo comprimento e igual ao comprimento do raio da circunferencia que o contem, entao 360o = 2π [rad] ,
pois no nosso caso, r = 1. Temos entao a seguinte condicao para conversao entre graus e radianos.
• Conversao: Utilizar a regra de 3 simples: O angulo α esta para 360o assim como o arco x esta para 2π [rad].
• Ex.: Transforme α = 30o para radianos:
360o = 2π [rad]30o = x [rad]
360 · x = 30 · 2π ⇔ x =30 · 2π
360⇒ x =
π
6
Assim, α = 30o e equvalente a x =π
6[rad] .
2
3. Triangulo Retangulo
Um triangulo que possui um angulo interno de 90o, e denominado triangulo retangulo. O angulo reto, ou seja, oangulo de 90o e representado na figura com um quadrado com um pingo no centro.
Os comprimentos dos lados do triango retangulo sao denomidados:
• Hipotenusa : Lado oposto ao angulo reto;
• Catetos: Lados adjacentes ao angulo reto.
Considere o seguinte triangulo retangulo:
A
B
C
cateto
cateto
hipotenusa
B
C
Figura 1: Triangulo retangulo.
3.1. Teorema de Pitagoras
Considere um triangulo retangulo ABC da figura 1. O quadrado da medida do comprimento da hipotenusa e iguala soma das medidas dos comprimentos dos catetos, ou seja:
(hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto2)2
Este teorema e muito util quando estamos trabalhando apenas com as medidas dos comprimentos dos lados deum triangulo retangulo.
• Ex.: Na figura abaixo, temos um triangulo retangulo com cateto AB = 3 [u.c] e BC = 5 [u.c]. Qual ocomprimento do lado AC?
A
B
C
3 5
Solucao: Temos o valos de um dos catetos e da hipotenusa e queremos determinar o valor do outro cateto.Assim:
(hipotenusa)2 = (cateto1)2 + (cateto2)2
(BC)2 = (AC)2 + (AB)2
(5)2 = (AC)2 + (3)2
25 = (AC)2 + 925− 9 = (AC)2
16 = (AC)2
(AC)2 = 16
AC = ±√
16AC = ±4
Como AC e um comprimento, utilizamos a solucao AC = 4 [u.c]
3
3.2. Seno
Considere um angulo α interno a um triangulo retangulo. O seno deste angulo e a razao da medida do comprimentodo cateto oposto a esse angulo, dividido pela medida do comprimento da hipotenusa, ou seja:
sen(α) =cateto oposto ao angulo α
hipotenusa
• Ex.: Para a figura abaixo, temos que: sen(30◦) =cateto oposto ao angulo 30◦
hipotenusa=
2
4=
1
2⇒ sen(30◦) =
1
2.
A
B
C
2 4
30◦
Para utilizar a calculadora, deve-se tomar cuidado com a forma graus ou radiano. No exercıcio acima, o angulopedido foi 30◦. Assim, devemos colocar a calculadora para trabalhar no modo graus e depois fazer o calculo. Se o
pedido fosse sen(π
6
), teriamos que deixar a calculadora na forma de radianos para efetuar a operacao.
3.3. Cosseno
Considere um angulo α interno a um triangulo retangulo. O cosseno deste angulo e a razao da medida do compri-mento do cateto adjacente a esse angulo, dividido pela medida do comprimento da hipotenusa, ou seja:
cos(α) =cateto adjacente ao angulo α
hipotenusa
• Ex.: Para a figura abaixo, temos que: cos(30◦) =cateto adjacente ao angulo 30◦
hipotenusa=
2 ·√
3
4=
√3
2⇒
cos(30◦) =
√3
2.
A
B
C2 ·√
3
4
30◦
3.4. Tangente
Considere um angulo α interno a um triangulo retangulo. A tangente deste angulo e a razao da medida docomprimento do cateto oposto a esse angulo, dividido pela medida do comprimento do cateto adjacente ao mesmoangulo, ou seja:
tg(α) =cateto oposto ao angulo α
cateto adjacente ao angulo α
De forma equivalente, uma outra relacao para a tangente de um angulo e dada por:
tg(α) =sen(α)
cos(α)
4
• Ex.: Para a figura abaixo, temos que:
∗ tg(30◦) =cateto oposto ao angulo 30◦
cateto adjacente ao angulo 30◦=
2 ·√
3
6=
2/ ·√
3
6/=
√3
3⇒ tg(30◦) =
√3
3.
∗ De forma equivalente, podemos calcular a tangente por:
tg(30◦) =sen(30◦)
cos(30◦)=
12√32
=1
2· 2√
3=
1√3
=1√3·√
3√3
=1 ·√
3
3=
√3
3⇒ tg(30◦) =
√3
3.
A
B
C
2 ·√
3
6
30◦
3.5. Determinando o angulo
Para determinar o angulo α conhecendo o valor de seno, cosseno ou tangente, devemos fazer a seguinte perguna: “Qual o valor do arco cujo relacao trigonometrica vale x”? Temos entao as seguintes situacoes:
• Se sen(α) = x, entao arcsen(x) =?. “Qual o valor do arco cujo seno vale x”.
• Se cos(α) = x, entao arccos(x) =?. “Qual o valor do arco cujo cosseno vale x”.
• Se tan(α) = x, entao arctan(x) =?. “Qual o valor do arco cuja tangente vale x”.
Em algumas calculadoras, a notacao acima pode ser encontrada como: sen−1(x) =?, cos−1(x) =? e tan−1(x) =?.
• Ex.: Determine o angulo θ sabendo que sen(θ) =
√2
2.
Solucao: Queremos a resposta para: Qual o valor do arco sobre a circunferencia trigonometrica cujo sen(θ) =√2
2? Assim:
θ = arcsen
(√2
2
)=π
4[rad] ≈ 0, 7854 [rad], ou, fazendo a conversao, θ = 45◦.
Na calculadora, devemos selecionar antes o modo ao qual queremos que apareca o resultado, ou seja, em radianosou em graus.
• Ex.: Determine o angulo θ sabendo que cos(θ) =1
2.
Solucao: Vamos determinar o arco sobre a circunferencia trigonometrica, cujo cos(θ) =1
2. Assim:
θ = arccos
(1
2
)=π
3[rad] ≈ 1, 0472 [rad], ou, fazendo a conversao, θ = 60◦.
5
4. Triangulo Qualquer
Quando temos um triangulo retangulo, podemos utilizar o teorema de pitagoras e as relacoes trigonometricas seno,cosseno e tangente. Para um triangulo qualquer, ou seja, nao necessariamente retangulo, estas relacoes nao saovalidas e devemos utilizar a Lei dos Senos ou a Lei dos Cossenos.
4.1. Lei dos Senos
Considere um triangulo ABC qualquer, com lados BC, AC e AB medindo respectivamente a, b e c e com angulosinternos opostos a estes lados sendo respectivamente A, B e C, inscrito em uma circunferencia de raio r.
r
A
B
C
c
b
a
A
B
C
Figura 2: Triangulo ABC incrito em uma circunferencia de raio r.
A lei dos senos diz que:
a
sen(A)=
b
sen(B)=
c
sen(C)= 2.r
• Ex.: Dado o triangulo ABC abaixo, determine o comprimento do lado x:
A
B
Cx
3
30◦
45◦
Temos que:
x
sen(45◦)=
3
sen(30◦)⇔ x =
3 · sen(45◦)
sen(30◦)=
3 ·√
2
21
2
= 3 ·√
2
2· 2
1= 3 ·
√2
Assim, x = 3 ·√
2 [u.c] .
6
4.2. Lei dos Cossenos
Considere um triangulo ABC qualquer, com lados BC, AC e AB medindo respectivamente a, b e c e com angulosinternos opostos a estes lados sendo respectivamente A, B e C.
A
B
C
c
b
a
A
Figura 3: Triangulo ABC.
A lei dos cossenos diz que:
a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos(A)
Analogamente, temos as seguintes relacoes:
• b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos(B) ; • c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos(C) .
• Ex.: Dado o triangulo ABC abaixo, determine o comprimento do lado x:
A
B
C
3
5
x
60◦
Temos que:
x2 = (3)2 + (5)2 − 2 · (3) · (5) · cos(60◦)
x2 = 9 + 25− 2 · (3) · (5) · 1
2x2 = 34− 15x2 = 19
x = ±√
19
Assim, temos o comprimento x =√
19 [u.c] .
7
EXERCICIOS - Trigonometria
Reforco de Matematica Basica - Professor: Marcio Sabino - 1◦ Semestre 2015
Nome : Ra : Projetos Manha Projetos Noite
1. Faca as seguintes tranformacoes:
(a) x = 60◦ para radianos
(b) x = 150◦ para radianos
(c) x =π
4para graus
(d) x =π
2para graus
2. Considere cada item a figura correspon-dente:
(a) Determine o valor do comprimentoda aresta e do triangulo.
(b) Determine a altura do predio A.Determine tambem a distanciapercorrida pelo passaro para voarem linha reta do topo do predioA ao pao no solo e em seguida aotopo do predio B.
3. Um aviao voando paralelo ao solo a 600 [m] de altitude avista a pista de pousoe inclina-se 30◦ para iniciar a descida. Determine a distancia x percorrida peloaviao ate tocar a pista.
4. Quando o angulo de elevacao do sol e de 60o, a sombra de uma arvore mede 15 m. Calcule a altura da arvore.
5. Uma escada de 20 [m], encostada na parede de um edifıcio, tem seus pes afastados 10√
2 [m] do edifıcio,formando assim, com o plano horizontal, um angulo de β. Determine o angulo β?
6. Considere o esquema na figura onde um barcoesta proximo de uma torre em uma base deum porto. Determine o angulo θ.
7. Um aviao levanta voo sob um angulo de 30o. Depois de percorrer 8 km em linhareta, que altura estara o aviao?
8. Sob um angulo θo em relacao ao solo, um projetil sobe 8 [km] em linha reta e se desloca 4 [km] horizontalmente.Qual o angulo θ?
8
9. Considere uma peca plana que possui um formato triangular. Supondo um triangulo ABC, sabe-se queAB = 40 [cm] e que o angulo oposto a este lado vale 30◦, enquanto que o angulo oposto ao lado AC vale 60◦.Determine o comprimento do lado AC da peca.
10. Uma pessoa se encontra em um ponto A de uma planıcie, as margensde um rio e ve, do ooutro lado do rio, o topo do mastro de umabandeira, ponto B. Com o objetivo de determinar a altura h domastro, ela anda, em linha reta, 50 [m] para a direita do ponto emque se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pe do mastro, avaliaque os angulos ˆBAC e ˆBCD valem 30◦, e o angulo ˆACB vale 105◦,como na figura. Determine a altura h do mastro da bandeira.
11. A agua utilizada na casa de uma sıtio e captada e bombeada do riopara uma caixa de agua a 50 [m] de distancia. A casa esta a 80 [m]de distancia da caixa de agua e o angulo formado pelas direcoes casa-caixa de agua e caixa de agua-bomba e de 60◦. Determine quantosmetros sao necessario para levar agua diretamente da bomba ate acasa.
12. Considere o triangulo ABC da figura abaixo. Determine o comprimento x do triangulo.
A
B
Cx
7 cm3 cm
60◦
Solucoes
(1a) x =π
3rad
(1b) x =5π
6rad
(1c) x = 45◦
(1d) x = 90◦
(2a) e =√
6
(2b) h = 48 [m] e d = 110 [m]
(3) x = 1200 [m].
(4) h = 15 ·√
3 [m].
(5) β = 45◦.
(6) θ = 30◦.
(7) H = 4 [km].
(8) θ = 60◦.
(9) AC = 40 ·√
3 [cm].
(10) h =25 ·√
2
2[m].
(11) x = 70 [m].
(12) x = 8 [cm].