TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO. medida do cateto oposto a medida da hipotenusa sen = medida...
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TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIATRIÂNGULO RETÂNGULOTRIÂNGULO RETÂNGULO
medida do cateto oposto a medida da hipotenusasen =
medida do cateto adjacente a medida da hipotenusacos =
medida do cateto oposto a medida do cateto adjacente a tg =
Seno, cosseno e tangente do ângulo Dado o triângulo ABC, retângulo em A, temos que:
Temos também que:
Exemplos
Seno, cosseno e tangente do ângulo
a) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo do triângulo retângulo ABC a seguir.
Considerando o ângulo , o cateto oposto é , o cateto adjacente é e a hipotenusa é .
a) Aplicando as definições, obtemos:
medida do cateto oposto a medida da hipotenusasen = = = 0,63
5
medida do cateto adjacente a medida da hipotenusacos = = = 0,84
5
medida do cateto oposto a medida do cateto adjacente a tg = = = 0,753
4
Seno, cosseno e tangente do ângulo
b) Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente do ângulo .
Em relação ao ângulo , o cateto oposto é AB, o cateto adjacente é AC e a hipotenusa é CB.
Exemplos
Seno, cosseno e tangente do ângulo
b) Aplicando as definições, obtemos:
medida do cateto oposto a medida da hipotenusasen = = = 0,84
5
medida do cateto adjacente a medida da hipotenusacos = = = 0,63
5
medida do cateto oposto a medida do cateto adjacente a tg = = 1,334
3
Seno, cosseno e tangente do ângulo
Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos
sen = ba
cos = ca
tg = cb
sen = ca
cos = ba
tg = bc
No triângulo ABC a seguir, retângulo em A, as razões trigonométricas que envolvem os ângulos agudos e são:
Os ângulos agudos e são complementares, pois a soma de suas medidas é 90º. Assim, podemos escrever em função de : = 90º – .
Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos
sen = cos = cos (90º − )
Note também que sen = e cos = , então temos: sen = cos
Substituindo por 90º – na última igualdade, temos:
ba
ba
Substituindo por 90º – nessa igualdade, temos:
Também vale a relação:
sen2 + cos2 = 1
cos = sen = sen (90º − )
Observe também que cos a = e sen , então temos: cos = sen .
ca
ca
Relações entre seno, cosseno e tangente de ângulos agudos
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:
(hip)2 = (cat)2 + (cat)2, ou seja a2 = b2 + c2
Vamos começar aplicando o teorema de Pitágoras: a2 = 62 + 42 ⟹ a2 = 36 + 16 ⟹ a =
Vamos determinar o seno, o cosseno e a tangente dos ângulos agudos de um triângulo retângulo cujos catetos medem 6 cm e 4 cm.
Exemplo
1. Na dança folclórica do trança-fitas, geralmente se usa um mastro de 3 m de altura. Para certa passagem da dança, é preciso formar um ângulo de 30º entre a fita esticada(com uma ponta na extremidade superior do mastro e a outra ponta no chão) e o piso horizontal. Sabendo que sen 30º = 0,5, determinar o comprimento da fita e a distância da ponta ao mastro.
JUCA
MAR
TINS
/OLH
AR IM
AGEM
Resolução
No esquema a seguir, c representa o comprimento da fita e d, a distância pedida.
Então:
Pelo teorema de Pitágoras:d2 + 32 = 62 ⇒ d2 = 27 ⇒ d = ⇒ d ≃ 5,2
ResoluçãoAplicando a relação sen2 + cos2 = 1, temos:
Como é agudo, pode ser um dos ângulos de um triângulo retângulo, logo, cos e sen são razões entre os lados do triângulo e, portanto, são positivos. Então, cos =
2. Dado sen = , com o agudo, determinar cos .
Ângulos notáveis
30o 45o 60o
Seno
Cosseno
Tangente 1
3) Vamos imaginar que um foguete foi lançado formando com o solo um ângulo de 45º. Depois de percorrer 1.000 m em linha reta, a que altura o foguete estava do chão?
Para melhor visualizar a situação, é interessante fazer um esboço:
Aplicações das razões trigonométricasExemplos
a) Neste caso, para calcular a altura (h) do foguete, usamos o seno de 45º:
Considerando = 1,41, obtemos: h = 705O foguete estava a 705 m do chão.
4) Uma das extremidades de um cabo de aço está presa ao topo de um poste, formando um ângulo de 30º, enquanto a outra extremidade está fixada no chão a 5 m do pé do poste. Qual é o comprimento (c) do cabo de aço? Qual é a altura (h) do poste?
12.15
Neste caso, para calcular o comprimento (c) do cabo, usamos o seno de 30º.
O cabo de aço mede 10 m.
Considerando , obtemos: h = 8,65 m
Para determinar a altura (h) do poste, usamos a tangente de 30º.
5) Um barqueiro pretendia ir de uma margem à outra de um rio pela travessia mais curta possível. No entanto, a correnteza o arrastou 24 m além do atracadouro. Do local aonde o barco chegou, avista-se o ponto de partida de um ângulo de 60º em relação à margem onde o barqueiro está. Qual é a largura (r) do rio?
Para melhor visualizar a situação, fazemos um esboço:Neste caso, para calcular a largura, usamos a tangente de 60º :
Considerando =1,73, obtemos: r = 41,52. Logo, a largura do rio é 41,52 m.
6) Uma pequena árvore de altura x, ao ser replantada, foi escorada por duas vigas de madeira, como mostra a figura. Determinar as medidas de x e de y.
12.19
ResoluçãoΔ ABC: tg 30º = (I)
Δ ABD: tg 60o = (II)
Substituindo (II) em (I), obtemos:
Daí: y = 1 mComo x = , resulta: m