Trigonometria-resumo
Transcript of Trigonometria-resumo
ESCOLA SECUNDÁRIA DE PAREDES TRIGONOMETRIA 11.º C - 2006/2007
1
”Círculo Trigonométrico”
1. Sinal das razões trigonométricas
1.º Quadrante 2.º Quadrante 3.º Quadrante 4.º Quadrante seno cosseno tangente cotangente
2. Razões trigonométricas de ângulos fundamentais:
Sistema sexagesimal 0o 90o 180o 270o Sistema circular
0 π2
π 32π
seno cosseno tangente cotangente
Sistema sexagesimal 30o 45o 60o Sistema circular
π6
π4
π3
seno
cosseno
tangente
cotangente
sen y
x
α
α
=
=
cos
tg
cotg
ααα
α
ααα
α
= ≠
= ≠
sense
sense sen
coscos
cos
0
0
− ≤ ≤ ∀ ∈
− ≤ ≤ ∀ ∈
1 1
1 1
sen IR
IR
α α
α αcos
Fórmula Fundamental da Trigonometria
sen
:
cos 2 2 1α α+ =
112
2+ =cotg α
αsen 1
122
+ =tg ααcos
eixo dos cossenos
eixos dos senos eixo das tangentes
eixo das cotangentes
O x
y
tg α
cotg α
sen α
cos α 1 x
y
α
sen α≠0 cos α≠0
ESCOLA SECUNDÁRIA DE PAREDES TRIGONOMETRIA 11.º C - 2006/2007
2
3. Redução ao 1.º quadrante:
sen
sen
tg g
g tg
πα α
πα α
πα α
πα α
2
2
2
2
−
=
−
=
−
=
−
=
cos
cos
cot
cot
sen
sen
tg g
g tg
πα α
πα α
πα α
πα α
2
2
2
2
+
=
+
= −
+
= −
+
= −
cos
cos
cot
cot
( )( )
( )( )
sen sen
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
− =
− = −
− = −
− = −
cos cos
cot cot
( )( )
( )( )
sen sen
tg tg
g g
π α α
π α α
π α α
π α α
+ = −
+ = −
+ =
+ =
cos cos
cot cot
sen
sen
tg g
g tg
32
32
32
32
πα α
πα α
πα α
πα α
−
= −
−
= −
−
=
−
=
cos
cos
cot
cot
sen
sen
tg g
g tg
32
32
32
32
πα α
πα α
πα α
πα α
+
= −
+
=
+
= −
+
= −
cos
cos
cot
cot
( )( )
( )( )
sen sen
tg tg
g g
− = −
− =
− = −
− = −
α α
α α
α α
α α
cos cos
cot cot
4. Equações trigonométricas:
ZZkkxcotgxcotg
ZZkkxtgxtg
ZZkkxkxx
ZZkkxkxsenxsen
∈+=⇔=
∈+=⇔=
∈+−=∨+=⇔=
∈+−=∨+=⇔=
,
,
,22coscos
,22
παα
παα
παπαα
παππαα
O x
y
1 α
ESCOLA SECUNDÁRIA DE PAREDES TRIGONOMETRIA 11.º C - 2006/2007
3
5. Gráficos das funções trigonométricas:
y sen x=
[ ]D DIR= = −' ,11
Paridade: É uma função ímpar
f x f x x IR( ) ( ),− = − ∀ ∈
Período: 2 2π π→ + = ∈∀sen x sen x x IR( ) , Zeros: x k k ZZ= ∈π ,
Máximos: x k k ZZ= + ∈π
π2
2 ,
Mínimos: x k k ZZ= − + ∈π
π2
2 ,
y tg x=
D x IR x k k ZZ= ∈ ≠ + ∈
: ,π
π2
D IR'=
Paridade: É uma função ímpar
f x f x x IR( ) ( ),− = − ∀ ∈
Período: π π→ + = ∈∀tg x tg x x Dtg( ) , Zeros: x k k ZZ= ∈π ,
Assimptotas: x k k ZZ= + ∈π
π2
,
y x= cos
[ ]D DIR= = −' ,11
Paridade: É uma função par
f x f x x IR( ) ( ),− = ∀ ∈
Período: 2 2π π→ + = ∈∀cos( ) cos ,x x x IR
Zeros: x k k ZZ= + ∈π
π2
,
Máximos: x k k ZZ= ∈2 π , Mínimos: x k k ZZ= + ∈π π2 ,
y g x= cot
{ }D x IR x k k ZZ= ∈ ≠ ∈: ,π D IR'= Paridade: É uma função ímpar
f x f x x IR( ) ( ),− = − ∀ ∈
Período: π π→ + = ∈∀cot ( ) cot , cotg x g x x D g
Zeros: x k k ZZ= + ∈π
π2
,
Assimptotas: x k k ZZ= ∈π ,
1 1
-1 -1
π/2
π/2 π/2
π/2 π
π π
π 3π/2
3π/2 3π/2
3π/2 2π
2π 2π
2π -π/2
-π/2 -π/2
-π/2
ESCOLA SECUNDÁRIA DE PAREDES TRIGONOMETRIA 11.º C - 2006/2007
4
6. Problemas 1. Faz a redução ao 1.º quadrante e calcula:
1.1.
−+
−+
πππ
314
623
430
cot sentgg 1.1. ( ) ( ) ( )º315º1380cos2º390 −++−− tgsen
2. Exprime nas razões trigonométricas do ângulo x:
2.1. ( )( ) )cos(5cos
25
3cot
xx
xtgxg
−−−
−−+
π
ππ
2.2. ( ) ( ) ( )xtgxsenxtg −−−−− º540º270
3. Sabendo que Q.º2∈α e que 5−=αtg , calcula o valor numérico de: ( )ααπ
−−
− cos
2cos .
4. Determina os valores do parâmetro real k que satisfazem a condição: Qkksen º22 2 ∈∧−= αα .
5. Determina os valores de RIp ∈ que satisfazem simultaneamente as equações: 2
cos1p
epsen =−= ββ .
6. Resolve as equações trigonométricas seguintes:
012cos301cos
05
)2(03cos20
22 =
−⋅==−
==−=−=
xsenxxtgx
tgxtgsenxsenyxsenπ
π
7. Resolve no intervalo [ ]π2,0 as equações trigonométricas: 21
2=
−
πxsen ( )
21
cos −=+ πx .
8. Determina o período das seguintes funções reais de variável real, definidas por:
−=
+=
+=
23)(
52)(3
3cos)(
πππxtgxh
xsenxgxxf
9. Considera a função real de v. real definida por: xsenxf 21)( += .
9.1. Determina o contradomínio de f e indica uma expressão geral dos seus maximizantes.
9.2. Calcula os zeros de f pertencentes ao intervalo ] [ππ ,− .
9.3. Sabendo que 51
2=
− atg
π e
−∈
2,
2ππ
a , calcula o valor numérico de )(af .
10. No domínio de validade das expressões demonstra que:
10.1. xtg
xtg
x
xg 2
21
cos
cot += 10.2.
xtgx
xsenxsen
cos1=− .
11. Ao tocar uma nota de música num piano forma-se uma onda sonora dada pela equação: ( )tseny π880002,0 ⋅= (t em segundos).
11.1. Sendo y=g(t) prova que: )(880
1tgtg −=
+ .
11.2. Determina a frequência f da nota, sabendo que p
f1
= e p é o período da função.