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Ano: 2016

TRONCO DE CONE Aula 01

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos

Sumário SEÇÃO DE UM CONE REGULAR ............................................................................................................................... 1

A SEMELHANÇA ENTRE DOIS CONES REGULARES .................................................................................................. 1

O TRONCO DE UM CONE REGULAR ........................................................................................................................ 2

ÁREA DA BASE MENOR DE UM TRONCO DE CONE REGULAR ............................................................................ 2

ÁREA DA BASE MAIOR DE UM TRONCO DE CONE REGULAR .............................................................................. 2

ÁREA LATERAL DE UM TRONCO DE CONE REGULAR .......................................................................................... 2

ÁREA TOTAL DE UM TRONCO DE CONE REGULAR ............................................................................................. 2

VOLUME DE UM TRONCO DE CONE REGULAR ................................................................................................... 2

A SEÇÃO MERIDIANA DE UM TRONCO DE CONE REGULAR................................................................................ 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .................................................................................................................................. 2

Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Ramos Página 1

AULA 01 SEÇÃO DE UM CONE REGULAR Considere um cone com base contida em um plano 𝛼.

A uma distância ℎ do vértice 𝑉 desse cone passa um

plano 𝛽//𝛼, que o secciona, dividindo-o em 2 sólidos.

Na figura acima, temos:

CONE GRANDE

𝑯: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

𝑮: 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

CONE PEQUENO

𝒉: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜

𝒈: 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜

𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜

TRONCO DE CONE

Sólido que é parte do cone e está compreendido entre

os planos 𝛼 e 𝛽.

𝒉𝑻: 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒

𝒈𝑻: 𝑔𝑒𝑟𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒

𝒓: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒

𝑹: 𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑚𝑎𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑐𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑒

Observação 1.1: Observe que os cones pequeno e

grande são semelhantes.

A SEMELHANÇA ENTRE DOIS CONES

REGULARES Observe que

Se a razão de semelhança entre os elementos lineares

dos cones pequeno e grande for tal que

𝒓

𝑹=

𝒈

𝑮=

𝒉

𝑯=

𝒄

𝑪= 𝒌

Em que

𝒄: 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜

𝑪: 𝑝𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

Então, a razão entre as áreas das superfícies dos

cones pequeno e grande será tal que

𝑨𝒃

𝑨𝑩

=𝑨𝒍

𝑨𝑳

=𝑨𝒕

𝑨𝑻

= 𝒌𝟐

Em que

𝐴𝑏: á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜

𝐴𝐵: á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

𝐴𝑙: á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜

𝐴𝐿: á𝑟𝑒𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

𝐴𝑡: á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜

𝐴𝑇: á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

E a razão entre os volumes dos cones pequeno e

grande será

𝒗

𝑽= 𝑘3

Em que

𝒗: 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑜

𝑽: 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒

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O TRONCO DE UM CONE REGULAR Observe a figura apresentada na página anterior.

ÁREA DA BASE MENOR DE UM TRONCO

DE CONE REGULAR É igual à área da base do cone pequeno.

𝐴𝑏 = 𝜋𝑟²

ÁREA DA BASE MAIOR DE UM TRONCO DE

CONE REGULAR É igual à área da base do cone maior.

𝐴𝐵 = 𝜋𝑅²

ÁREA LATERAL DE UM TRONCO DE CONE

REGULAR Pode ser obtida fazendo-se a diferença entre as áreas

laterais dos cone grande e pequeno, nessa ordem.

Ou por meio da fórmula:

𝐴𝐿 = 𝜋 ∙ (𝑅 + 𝑟) ∙ 𝑔𝑇

ÁREA TOTAL DE UM TRONCO DE CONE

REGULAR É a soma das áreas de suas duas bases e da área de sua

superfície lateral.

𝐴𝑇𝑇 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝑏 + 𝐴𝐿

VOLUME DE UM TRONCO DE CONE

REGULAR Pode ser obtido pela diferença entre os volumes dos

cones grande e pequeno, nessa ordem.

Ou, por meio da fórmula:

𝑉𝑇 =𝜋 ∙ ℎ𝑇

3(𝑅2 + 𝑟2 + 𝑅 ∙ 𝑟)

A SEÇÃO MERIDIANA DE UM TRONCO DE

CONE REGULAR A seção meridiana de um tronco de cone regular é um

trapézio isósceles, como ilustrado na figura a seguir.

Uma ferramenta muito explorada em exercícios é o

trabalho com o triângulo retângulo destacado em

vermelho, pois por meio dele conseguimos encontrar

uma das medidas envolvidas quando conhecemos as

demais. Assim, temos:

(𝑔𝑇)2 = (ℎ𝑇)2 + (𝑅 − 𝑟)2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1) Um tronco de cone é tal que os comprimentos das

circunferências das suas bases menor e maior são,

respectivamente, iguais a 6𝜋 cm e 12𝜋 cm. Dado que a

geratriz desse tronco tem medida igual a 5 cm,

determine a área total e o volume desse tronco de

cone.

TAREFA 1: PSA: 1, 2, 4 e 7

+ LISTA: questões, 15 a 21