ESTUDO COMPARATIVO DE CONTROLADORES DE SEGUIMENTO DE TRAJETÓRIA PARA

ROBÔS DE TRAÇÃO DIFERENCIAL: FUZZY, GANHOS FIXOS E BACKSTEPPING

EDUARDO ENRICO V. TOMMASI 1, HEITOR G. DE FARIA

1,

MARCO ANTONIO DE S. L. CUADROS

1, GUSTAVO M.

ALMEIDA1, CASSIUS Z. RESENDE

1 , DANIEL FERNANDO TELLO GAMARRA

2

1. Instituto Federal do Espírito Santo - Campus Serra

Rodovia ES 010, Km 6,5, 29173-087 Manguinhos, Serra, ES, Brasil.

E-mails: marcoantonio@ifes.edu.br, cassius@ifes.edu.br

2. Universidade Federal de Santa Maria - Control and Automation Engineering, Santa Maria, RS-Brazil. E-mails: fernandotg99@yahoo.com

Abstract This paper shows a performance comparison of three trajectory tracking controllers for differential drive robot. One is a fuzzy controller that corrects the robot position errors associating the position error with the linear velocity of the robot, in

addition to associate the orientation error of the robot with the angular velocity. In the sequence, the article presents two other

controllers that are designed following a methodology that ensures system stability, which are the kinematic trajectory tracking

controller of fixed gains and the back-stepping controller. Ultimately, experimental results are presented and the three controllers

are compared using the performance index IAE.

Keywords Control of Robots, Mobile Robot, Trajectory Tracking

Resumo O presente trabalho apresenta uma comparação do desempenho de três controladores de seguimento de trajetória pa-ra robôs de tração diferencial. Um deles é um controlador fuzzy próprio, que para corrigir os erros de posição do robô relaciona o

erro de posição com a velocidade linear do robô, além de relacionar o erro de orientação do robô com a velocidade angular. Na

sequência o artigo apresenta dois outros controladores projetados seguindo metodologias que garante a estabilidade do sistema,

que são o controlador cinemático de seguimento de trajetória de ganhos fixos e o controlador backstepping. Ao final, resultados

experimentais são apresentados e os três controladores são comparados utilizando-se o índice de desempenho IAE.

Palavras-chave Controle de Robôs, Robôs Móveis, Seguimento de Trajetória.

1 Introdução

A comparação de desempenho de três controladores

de seguimento de trajetória para robôs de tração

diferencial é apresentada neste artigo. Os referidos

controladores são: o controlador cinemático de se-

guimento de trajetória de ganhos fixos (Martins et

al., 2008) e (Resende et al. 2012), o controlador

back-stepping (Fierro e Lewis, 1998) e (Jun Ye,

2008), e um controlador fuzzy do tipo Mandani pró-

prio.

Para o desenvolvimento do controlador fuzzy,

foram escolhidas duas entradas, que são o erro de

posição e o erro de orientação do robô. Já as saídas

do controlador fuzzy são a velocidade linear e a velo-

cidade angular de referência para o robô controlado.

Inicialmente utilizada por (Antonelli et al., 2007) e

por (Zapata et al, 2010), a opção de escolher as velo-

cidades linear e angular como saídas do controlador

é interessante, já que a maioria dos robôs comerciais

possuem estas duas grandezas como variáveis de

controle. Para corrigir os erros de posição do robô, as

regras fuzzy do controlador relacionam o erro de

posição com a velocidade linear do robô, e também

relacionam o erro de orientação do robô com a velo-

cidade angular.

A metodologia fuzzy do tipo Mandani possui a

vantagem e a facilidade de permitir o controle de um

sistema sem necessariamente conhecer sua dinâmica.

Porém, a comprovação da estabilidade do controla-

dor não é trivial (Sala e Ariño, 2009), ou seja, se a

comprovação da estabilidade do controlador é essen-

cial, o controlador fuzzy do tipo Mandani deixa de ser

interessante.

Na literatura há controladores projetados de ma-

neira rigorosa, seguindo metodologias que garante a

estabilidade do sistema. Nesta linha cita-se o contro-

lador cinemático de seguimento de trajetória de ga-

nhos fixos desenvolvido por (Martins et al., 2008) e o

controlador backstepping desenvolvido por (Fierro e

Lewis, 1998). A principal diferença entre os últimos

trabalhos citados é que no trabalho de (Martins et al.,

2008) a posição do robô é definida por um ponto que

está a frente do eixo virtual que liga as rodas do robô.

Já no trabalho de (Fierro e Lewis, 1998) a posição do

robô é definida pelo ponto médio de tal eixo virtual.

Os três controladores citados foram implemen-

tados utilizando o software LabVIEW Robotics Mo-

dule e a plataforma robótica DaNI 2.0. Para compa-

rá-los utilizou-se o índice de desempenho Integral of

Absolute Error (IAE) que é baseado no cálculo da

integral do erro absoluto.

O restante deste artigo é organizado da seguinte

maneira: a Seção 2 apresenta os modelos cinemáticos

do robô móvel de tração diferencial; a Seção 3 apre-

senta os três controladores implementados; a Seção 4

detalha a plataforma robótica DaNI 2.0; a Seção 5

apresenta resultados de simulação, a Seção 6 apre-

senta os resultados experimentais, e, finalmente a

Seção 7 apresenta as conclusões obtidas no trabalho.

2 Modelo Cinemático do Robô Móvel de Tração

Diferencial

A configuração do robô móvel utilizado nesse traba-

lho está ilustrada na Figura 1. Um robô de tração

diferencial possui duas rodas paralelas de tração,

independentes uma da outra, e uma roda de apoio

(roda boba ou caster).

Figura 1. Modelo do robô móvel de tração diferencial.

No modelo da Figura 1, considera-se que as du-

as rodas motoras do robô são idênticas, com raio r, e

atuadores independentes. A distância entre as duas

rodas (tamanho do eixo virtual) é de 2L. A postura

do robô é definida pelos parâmetros ,

onde é o ângulo de orientação do robô, e ( ) é a

posição do robô no Sistema de Eixos Cartesianos xy.

O ponto C (considerado como centro de massa do

robô) será utilizado como ponto de referência, ou

ponto de interesse para o controle do robô no caso

dos controladores Fuzzy e backstepping, já no caso

especifico do controlador de ganhos fixos o ponto de

interesse será o ponto Di, que está a metros a frente

do eixo virtual que liga as rodas do robô.

A equação 1 representa o modelo cinemático do

robô utilizado no desenvolvimento dos controladores

Fuzzy e backstepping

, (1)

onde v e w são, respectivamente, as velocidades

linear e angular robô. Ressalta-se que em tal modelo

considera-se como a posição do robô o ponto de

interesse C.

A equação 2 apresenta o modelo cinemático

não holonômico de acessibilidade melhorada utiliza-

do no desenvolvimento do controlador cinemático de

ganhos fixos. Neste modelo a posição do robô é

definida pelo ponto de interesse Di (ver Figura 1).

(2)

Em relação ao comportamento do robô, quando

v1=v2 o robô ira se deslocar em linha reta. Se a velo-

cidade da roda direita (v1) for menor que a velocida-

de da roda esquerda (v2), o robô irá se mover em uma

trajetória circular no sentido horário.

3 Controladores

3.1 Controlador Cinemático de Seguimento de Traje-

tória de Ganhos Fixos (CCSTGF)

Partindo da equação 2, para cálculos posteriores é

definida a matriz A, dada por

(3)

Pode-se obter facilmente também sua inversa, que é

descrita por

. (4)

Utilizando a matriz inversa dada pela equação 4,

pode-se obter a cinemática inversa do robô, dada por

(5)

A partir das equações anteriormente descritas, é

possível propor a seguinte lei de controle:

, (6)

onde e são as saídas do controlador cinemáti-

co, e são as velocidades das posições desejadas

em X e Y, e são os erros de

posição nos eixos X e Y, e são os

ganhos do controlador, e são constan-

tes de saturação, e são as coordenadas

atual e desejada do ponto de interesse do robô.

Para o sistema em malha fechada, consideran-

do-se o seguimento perfeito de velocidade, ou seja,

e , pode-se determinar os valores de

velocidade do ponto de interesse do robô nas dire-

ções X e Y, substituindo-se a equação 6 na equação

2, obtendo-se que

(7)

x

y

o

2L

2r

v v2

v1 C

a Di

w

Para erros de posição elevados, a equação 7 po-

de ser aproximada por

(8)

uma vez que para ,

, e para ,

, onde representa o sinal do ar-

gumento. Assim, os valores das constantes de satura-

ção e da equação 7 podem ser determinados a

partir das seguintes considerações de velocidade

máxima:

Limites de velocidade para a trajetória pla-

nejada:

Limites de velocidade para o ponto de inte-

resse do robô nas direções X e Y:

Continuando, considerando que a velocidade da

trajetória planejada tenha o valor máximo permitido,

ou seja, , para que os limi-

tes de velocidade para o ponto de interesse do robô

sejam cumpridos, tem-se:

e . Concluin-

do-se que a adequação dos valores para as constantes

de saturação é dada por: .

Onde quanto maior os valores de e , mais rápido

o robô irá alcançar a trajetória de referência.

Já os valores adequados dos ganhos e são

determinados de forma experimental, que consiste

em executar o algoritmo de controle em tempo real

no robô e ajustar os ganhos de forma que o robô

seguisse a trajetória de forma mais adequada.

3.2 Controlador Backstepping

O segundo projeto refere-se à técnica de controle

Backstepping, o desenvolvimento do mesmo foi

baseado nos trabalhos de (Fierro e Lewis , 1996) e

(Ye, 2008). A Figura 2 apresenta os erros considera-

dos no desenvolvimento desse controlador, e que

estão organizados na forma matricial na equação (9)

(9)

A equação (10) apresenta a lei de controle do

controlador Backstepping apresentado em Kanayama

(1990) e bastante utilizada e recomendado nos traba-

lhos de (Fierro e Lewis, 1996), (Jiang e Nijmeijer,

1997) e (Kukao, Nakagawa e Adachi, 2000)

, (10)

onde , e são parâmetros de sintonia do con-

trolador, e são as saídas do controlador. Os

ganhos , e devem ser tais que o erro de posi-

ção do robô seja minimizado.

Figura 2. Erros no controlador Backstepping.

3.3 Controlador Fuzzy

O controlador de trajetória Fuzzy foi projetado com

as seguintes etapas: definição das variáveis de entra-

da e saída, criação das funções de pertinência, cria-

ção das regras do controlador, definição do método

de “defuzzificação” e ajuste de ganhos das variáveis

de saída.

Figura 3. Erros controlador fuzzy.

As regras do controlador Fuzzy foram definidas

a partir de duas entradas: o ângulo γ (erro de orienta-

ção) e a distância D (erro de posição), ambos ilustra-

das na Figura 3. O erro de orientação γ é calculado a

partir da equação 11

(11)

onde α é o ângulo do vetor D e θ o ângulo de orienta-

ção do robô. Já o erro de posição D é obtido através

da equação 12

X o

θr

θ

x

y

xr

yr

e1

e2

Y

. (12)

As duas saídas do controlador Fuzzy foram de-

finidas como sendo as velocidades linear e angular

de referência para o robô controlado. A velocidade

linear de referência será utilizada para minimizar o

erro D, assim como a velocidade angular de referên-

cia será utilizada para reduzir o erro γ.

A Tabela 1 apresenta todos os conjuntos fuzzy

criados para cada variável de entrada e saída do con-

trolador.

Tabela 1. Descrição dos conjuntos fuzzy.

Variável Sigla do

Conjunto

Descrição

γ

NG

NP

ZE

PP

PG

Negativo Grande

Negativo Pequeno

Zero

Positivo Pequeno

Positive Grande

D

MP

P

M

G

MG

Muito Pequeno

Pequeno

Médio

Grande

Muito Grande

v

MLe

Le

Me

Ra

MRa

Muito Lento

Lento

Médio

Rápido

Muito Rápido

EsRa

EsLe

Reto

DiLe

DiRa

Esquerda Rápido

Esquerda Lento

Reto

Direita Lento

Direita Rápido

Para relacionar as entradas e saídas anterior-

mente descritas, foram criadas 25 regras no formato

de regras if-then (se-então). Sendo que estas estão

apresentadas na Tabela 2.

Tabela 2. Tabela de regras fuzzy.

γ

NG NP ZE PP PG

D

MP MLe

EsRa

MLe

EsLe

MLe

Reto

MLe

DiLe

MLe

DiRa

P Le

EsRa

Le

EsLe

Le

Reto Le

DiLe

Le

DiRa

M Me

EsRa

Me

EsLe

Me

Reto

Me

DiLe

Me

DiRa

G Ra

EsRa

Ra

EsLe

Ra

Reto

Ra

DiLe

Ra

DiRa

MG MRa

EsRa

MRa

EsLe

MRa

Reto

MRa

DiLe

MRa

DiRa

O método de “defuzzificação” selecionado foi o

Centro da Area (CoA), também conhecido como

Centro de Gravidade (CoG).

4 Plataforma de Desenvolvimento

Os experimentos desse trabalho foram realizados em

duas etapas: simulações e testes práticos. A etapa de

simulação e todo o desenvolvimento dos códigos foi

implementado no software LabVIEW. Nos experi-

mentos práticos foi utilizado robô DaNI 2.0 (Figura

9), que forma parte do LabVIEW Robotics Starter

Kit. O DaNI 2.0 possui uma placa NI sbRIO que

integra um processador de tempo real, uma placa

FPGA e uma placa de entradas e saídas digitais e

analógicas. Essa placa possui integração com o Lab-

VIEW, possibilitando sua programação desde que os

módulos FPGA, Real-Time e Robotics estejam devi-

damente instalados. Uma adaptação extra foi feita na

estrutura original, adicionando um roteador Wi-Fi a

estrutura, permitindo a comunicação com o compu-

tador e monitoramento em tempo real do robô.

Figura 9. Estrutura e componentes do DaNI 2.0.

5 Resultados de Simulação

O modulo de robótica do software LabVIEW contém

um ambiente de simulação que permite testar e im-

plementar os códigos desenvolvidos para o DaNI 2.0.

Com pequenas alterações é possível testar os códigos

simulados no robô real. Um código foi desenvolvido,

para os três controladores, afim de realizar a simula-

ção e verificar o desempenho dos controladores antes

dos testes práticos.

Os resultados de simulação para os Controlado-

res CCSTGF, Backstepping e Fuzzy são mostrados

na Figura 10.

Figura 10. Simulação trajetória 8 (Gráfico xy).

1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X(m)

Y(m

)

Posição Desejada

Posição do Robô Cinemático

Posição do Robô Backstepping

Posição do Robô Fuzzy

O controlador Cinemático CCSTGF foi sintoni-

zado com ganhos , com constantes de

saturação . Já o valor de “a” utilizado

foi de cm. O controlador Backstepping foi sinto-

nizado com os ganhos: , e ,

para as velocidades m/s e rad/s.

Nota-se a posição inicial do robô foi (2;0,5) e que

após a inicialização o robô segue o trajeto desejado.

Nas Figuras 11 e 12 são mostrados os gráficos

comparativos dos erros absolutos nos eixos X e Y,

respectivamente. Nos gráficos e possível verificar o

desempenho de cada controlador em relação ao sinal

de referência.

Figura 11. Erro absoluto dos controladores para a variável x.

Figura 12. Erro absoluto dos controladores para a variável y.

Para análise e comparação dos resultados tanto

de simulação quanto práticos, foi utilizado o índice

de desempenho Integral Absolute Erros (IAE) que é

calculado através da integração do erro absoluto no

período de tempo analisado.

A Tabela 3 contém os indicadores de desempe-

nho dos três controladores obtidos para cada variável

durante as simulações.

Tabela 3. Valores de IAE de cada controlador na simulação.

Variável Backstep-

ping

Cinemático

CCFGT

Fuzzy

X 6.7134 25.1309 34.2814

Y 4.0363 13.1100 17.3630

Através da análise da tabela contendo os índices

pode-se verificar o desempenho superior do contro-

lador Backstepping em relação ao Cinemático

CCFGT e Fuzzy. Já os controladores Cinemático e

Fuzzy mostram desempenho semelhante.

6 Resultados Práticos

Nos testes de simulação, a posição do robô foi obtida

utilizando funções internas. Contudo, nos testes reais

isso não e possível, portanto, foi utilizada a odome-

tria do tipo Dead Reckoning. A postura é estimada

tendo como referência a posição inicial do robô e

utilizando a leitura dos encoders para determinar a

postura atual do robô. A Figura 13 mostra uma mon-

tagem de imagens dos testes práticos realizados com

o DaNI 2.0.

Figura 13. Imagem de testes práticos.

Para a parte prática não houve mudanças quanto

a sintonia do controlador Cinemático de ganhos

fixos, pois os distúrbios da dinâmica do robô DaNI

não foram suficientes para afetar o desempenho do

mesmo sobre o modelo cinemático.

Durante a execução da tarefa prática com o con-

trolador Backstepping notou-se um comportamento

não satisfatório do robô DaNI, ao adotar os mesmos

parâmetros de controle utilizados durante a simula-

ção, caracterizando uma resposta on-off ao sistema.

Como correção foram necessários pequenos ajustes

nos ganhos e nas velocidades da trajetória de refe-

rência. Os valores adotados para os ganhos foram:

, e , para as velocidades

e .

Figura 14. Prática trajetória 8 (Gráfico xy).

0 10 20 30 40 50 60 700

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Tempo (s)

Err

o X

(m

)

Erro Fuzzy

Erro Cinemático

Erro Backstepping

0 10 20 30 40 50 60 700

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

Tempo (s)

Err

o Y

(m

)

Erro Fuzzy

Erro Cinemático

Erro Backstepping

1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

X(m)

Y(m

)

Posição Desejada

Posição do Robô Cinemático

Posição do Robô Backstepping

Posição do Robô Fuzzy

Nas Figuras 15 e 16 são mostrados os gráficos

comparativos dos erros absolutos nos eixos X e Y,

respectivamente Nos gráficos é possível verificar o

desempenho de cada controlador em relação ao sinal

de referência.

Figura 15. Comparativo controladores para a variável x.

Figura 16. Comparativo controladores para a variável y.

A Tabela 4 contém os indicadores de desempe-

nho dos três controladores obtidos para cada variável

durante os experimentos práticos.

Tabela 4. Valores de IAE de cada controlador nos experimentos.

Variável Backstep-

ping

Cinemático

CCFGT

Fuzzy

X 9.3895 43.3502 43.0163

Y 6.3936 21.6197 23.9376

7 Conclusão

Entre as contribuições apresentadas neste trabalho é

possível mencionar a implementação em simulação e

experimentalmente de três controladores de segui-

mento de trajetórias para um robô móvel, os referidos

controladores são o cinemático CCSTGF, Fuzzy e

Backstepping. Os controladores foram testados utili-

zando a plataforma robótica DANI 2.0 que forma

parte do Labview Robotics Starter kit. Outra contri-

buição do artigo é a avaliação dos controladores de

seguimento de trajetória utilizando o índice de de-

sempenho IAE. Da analise dos resultados pode-se

concluir que o controlador Backstepping apresentou

um melhor desempenho tanto na simulação como nos

testes práticos em comparação com os controladores

Fuzzy y cinemático CCSTGF. Finalmente, é necessá-

rio sublinhar o projeto de um controlador fuzzy de

seguimento de trajetórias próprio como outra contri-

buições deste artigo.

Agradecimentos

Agradecemos ao CNPq, à SETEC/MEC e ao IFES

pelo apoio concedido às pesquisas que deram origem

a estes textos.

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0 10 20 30 40 50 60 700

0.05

0.1

0.15

0.2

Tempo (s)

Err

o X

(m

)

Erro Fuzzy

Erro Cinemático

Erro Backstepping

0 10 20 30 40 50 60 700

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tempo (s)

Err

o Y

(m

)

Erro Fuzzy

Erro Hip

Erro Back