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Turma 3° EM /Prof: Jaime Barizon

Educação para vida !

5 – Prisma: É um poliedro que está compreendido entre dois polígonos iguais (bases) e paralelos, cujas as faces laterais são paralelogramos.

Atribuições: I- Arestas Laterais paralelas II- Bases paralelas III- Altura (h) É a distância entre os planos das bases. IV- Área Lateral (AL) AL = é a soma das áreas das faces laterais i. V- Área total (AT) AT = AL + 2AB onde AB é a área de uma das bases. (área do polígono da base). VI- Volume (V) ] V = AB.h.

5.2 – Casos particulares

I. Prisma reto:

as arestas laterais formam um ângulo de 90o com as arestas de base. II. Prisma regular: é um prisma reto sendo o polígono de base regular. III. Paralelepípedo: prisma cujas bases são paralelogramos.

Formulário do paralelepípedo Reto Retângulo

- Área total: AT = 2( ab + ac + bc)

- Diagonal: D = 222 c b a

- Volume: V = a.b.c

Formulário do Cubo

- a é a medida das arestas. - Volume: V = a3 - Área total: AT = 6a2

- Diagonal da face: db = a 2

- Diagonal do cubo: dc = a 3

Exercícios

NIVEL 1

1-Calcular o volume de um prisma cuja base é um hexágono regular de 2 cm de lado e altura 15 cm.

2-Sabendo-se que um prisma reto e de base quadrada possui 16 m2 de superfície em sua base e que a altura é o dobro da diagonal base. Qual o volume, em m3, desse prisma?

3-Qual a área total de um prisma cuja base é um triângulo isósceles retângulo de área igual a 20 cm2 e altura igual a 20 cm.

4- Calcule o volume e a área total de um cubo de 10

3 cm de diagonal.

5- Sabendo que a área da base de um cubo está inscrita

em uma circunferência de raio 2 cm determine:

a) área total b) o volume do cubo c) a diagonal do cubo

6- A base do cesto reto da figura é um quadrado de lado 25cm. Se a parte lateral externa e o fundo externo do cesto devem ser forrados

h

base 1

arestas laterais

base 2



com um tecido que é vendido com 50cm de largura, o menor comprimento de tecido necessário para a forração é:

a) 1,115m b) 1,105m c) 1,350m d) 1,250m e) 1,125m

7- A figura ao lado apresenta um prisma reto cujas bases são hexágonos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5cm cada um e a altura do prisma mede 10cm.

a) Calcule o volume do prisma.

b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A, C e A’.

8- A partir de 64 cubos brancos, todos iguais, forma-se um novo cubo. A seguir, este novo cubo tem cinco de suas seis faces pintadas de vermelho. O número de cubos menores que tiveram pelo menos duas de suas faces pintadas de vermelho é

a) 24 b) 26 c) 28 d) 30 e) 32

9- A soma do número de faces, com o número de arestas e com o número de vértices de um cubo é:

a) 18 b) 20 c) 24 d) 26

10- Ao desdobrar um cubo, obteve-se a figura plana ao lado. Se o montarmos novamente, a face oposta à face B será a face:

a) A b) C c) D d) E e) F

11- Aumentando em 2cm a aresta a de um cubo C1, obtemos um cubo C2, cuja área da superfície total aumenta em 216cm2, em relação à do cubo C1.

Determine:

a) a medida da aresta do cubo C1;

b) o volume do cubo C2.

12- Considere o sólido da figura (em cinza), construído a partir de um prisma retangular reto.

Se AB = 2 cm,

AD = 10 cm,

FG = 8 cm e

BC = EF = x cm,

o volume do sólido, em cm3, é:

a) 4x.(2x + 5). b) 4x.(5x + 2). c) 4.(5 + 2x). d) 4x2(2 + 5x). e) 4x2(2x + 5).

13- Considere um pedaço de cartolina retangular de lado menor 10 cm e lado maior 20 cm. Retirando-se 4 quadrados iguais de lados x cm (um quadrado de cada canto) e dobrando-se na linha pontilhada conforme mostra a figura, obtém-se uma pequena caixa retangular sem tampa.

O polinômio na variável x, que representa o volume, em cm3, desta caixa é

a) 4x3 - 60x2 + 200x.

b) 4x2 - 60x + 200.

c) 4x3 - 60x2 + 200.

d) x3 - 30x2 + 200x.

e) x3 - 15x2 + 50x.

14- Considere um prisma hexagonal regular, sendo a altura igual a 5cm e a área lateral igual a 60cm2.

a) Encontre o comprimento de cada um de seus lados.

b) Calcule o volume do prisma.

15- De um cubo com 4 cm de aresta retira-se um paralelepípedo reto-retângulo, resultando no sólido mostrado na figura, com as medidas indicadas em centímetros. O volume desse sólido varia conforme o valor de x. O menor valor que esse volume poderá ter é:



a) 52 cm3

b) 36 cm3

c) 48 cm3

d) 40 cm3

e) 32 cm3

NIVEL 2

16- Eclusa é um canal que, construído em águas de um rio com grande desnível, possibilita a navegabilidade, subida ou descida de embarcações. No esquema abaixo, está representada a descida de uma embarcação, pela eclusa do porto Primavera, do nível mais alto do rio Paraná ate o nível da jusante.

A câmara dessa eclusa tem comprimento aproximado de 200 m e largura igual a 17 m. A vazão aproximada da água durante o esvaziamento da câmara e de 4.200 m3

por minuto.

Assim, para descer do nível mais alto até o nível da jusante, uma embarcação leva cerca de

a) 2 minutos. b) 5 minutos. c) 11 minutos. d) 16 minutos. e) 21 minutos.

17- Em um camping, sobre uma área plana e horizontal, será montada uma barraca com a forma e as dimensões dadas de acordo com a figura. Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca será amarrado um pedaço de corda, que será esticado e preso a um gancho fixado no chão, como mostrado na figura.

a) Calcule qual será o volume do interior da barraca.

b) Se cada corda formará um ângulo de 30° com a lateral da barraca, determine, aproximadamente, quantos metros de corda serão

necessários para fixar a barraca, desprezando-se os nós. (Use, se

necessário, a aproximação 3 = 1,73).

18- Foram feitas embalagens de presente em forma de prisma regular

de altura 36H

cm e base triangular de lado L = 8 cm, conforme ilustra a figura ao lado. Sabendo-se que as embalagens não têm tampa e que o custo para a sua produção, por cm2, é de R$ 0,05, o custo total de fabricação de cada unidade é:

Dado: Considere 713 ,

a) R$ 12,30 b) R$ 13,60 c) R$ 8,16 d) R$ 15,20 e) R$ 17,30

19- Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o prisma ACRPQO :

Sabe-se que:

» P, Q e R são, respectivamente, os pontos médios das arestas AE, CG e CD;

» o ponto O é o centro da face CDHG; e

» o volume do prisma ACRPQO é 24 cm3.

Então, é CORRETO afirmar que o comprimento de cada aresta desse cubo é

a) 4.3 3 cm

b) 2.3 3 cm

c) 4.3 3 cm

d) 2.3 2 cm



20- O cubo da figura tem aresta 2 2 . Se P e Q são, respectivamente, os pontos médios de ABe de BC , a área do quadrilátero PQDE é

a) 9 b) 10 c) 7 d) 12 e) 6

21- O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a

a) 5

3a

b) 3

3a

c) 2

3a

d) a 3 e) 2a 3

22- Para obter a peça esboçada na figura abaixo, um artesão deve recortar 8 cubos iguais, a partir dos vértices de um bloco maciço de madeira que tem as seguintes dimensões: 25cm x 18cm x 18cm

Se ele pretende que o peso da peça obtida seja 6,603 kg e sabendo que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, a aresta de cada cubo recortado deverá medir, em centímetros:

a) 6,5 b) 6 c) 5,5 d) 5 e) 4,5

23- Quando se diz que numa determinada região a precipitação pluviométrica foi de 10mm, significa que a precipitação naquela região foi de 10 litros de água por metro quadrado, em média. Se numa região de 10km2 de área ocorreu uma precipitação de 5cm, quantos litros de água foram precipitados?

a) 5 107. b) 5 108. c) 5 109. d) 5 1010. e) 5 1011.

24- Uma caixa d’água cúbica, de volume máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de uma casa, conforme mostra a figura ao lado.

Dados: AB = 6m, AC= 1,5m, CD= 4m.

a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa?

b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de 85% da altura da caixa, quantos litros de água podem ser armazenados na caixa?

25- Uma caixa é totalmente preenchida por cinqüenta cubos idênticos. Quantos cubos iguais a esses podem ser colocados em uma caixa cujas dimensões internas têm, respectivamente, o dobro das dimensões da caixa anterior?

a) 100 b) 150 c) 200 d) 400 e) 500

26- Uma piscina com o formato de um paralelepípedo retângulo tem dimensões, em metros, iguais a 20 por 8 por h, em que h é a profundidade. Quando ela está cheia de água até 80% de sua capacidade, o volume de água é 256m3. Podemos concluir que a medida em metros de h é:

a) Um número racional não inteiro.

b) Um número inteiro.

c) Um número menor que 1,8.

d) Um número maior que 2,2.

e) Um número irracional.

27- A figura acima representa uma caçamba com água, na qual as laterais oblíquas e o piso são retangulares e as laterais paralelas têm o

formato de trapézios isósceles. Se d = 2 a razão entre o volume de água e o volume total da caçamba é

a) 25

17

b) 32

21

c) 28

25

d) 28

17

e) 32

25



28- Considere um cubo ABCDEFGH cujas arestas medem 8cm. Tomam-se os pontos J, K, L e M sobre as arestas AE, BF, CG e DH, respectivamente, de modo que AJ = BK = 2dcm e GL = HM = dcm,

em que 0 < d < 4, como mostra a figura.

Seja S a área, em cm2, do quadrilátero JKLM.

a) Calcule S para que d seja igual a 1.

b) Calcule S para que d seja igual a 3.

c) Determine d para que S seja a menor possível.

29- Uma pedra de massa 25 kg tem a forma de um paralelepípedo com 2 cm de espessura. Sua base é um quadrado com 1 m de lado. Qual a massa de uma outra pedra, do mesmo material, que tem a forma de um paralelepípedo com 2 m de comprimento, 80 cm de largura e 3 cm de espessura?

30- Para uma demonstração prática, um professor utiliza um tanque com a forma de um paralelepípedo retângulo, cujas dimensões internas correspondem a 30 cm de largura, 60 cm de comprimento e 50 cm de altura. Esse tanque possui uma torneira que pode enchê-lo, estando ele completamente vazio, em 10 minutos, e um ralo que pode esvaziá-lo, estando ele completamente cheio, em 18 minutos. O professor abre a torneira, deixando o ralo aberto, e solicita que um aluno registre o tempo decorrido até que o tanque fique totalmente cheio. Estabeleça o tempo que deve ser registrado pelo aluno.

NIVEL 3

31- A figura construída segundo a seqüência abaixo e denominada Esponja de Sierpinski ou Esponja de Menger. Representa um fractal gerado a partir de um cubo. Partindo-se do

cubo inicial, obtêm-se outros cubos menores,

com arestas iguais a 4

1 da aresta deste. O

cubo central e os cubos do centro de cada face são removidos. O procedimento se repete cm cada um dos cubos menores restantes. O processo é interado infinitas vezes, gerando a Esponja.

Supondo que a medida da aresta do cubo inicial seja igual a 1 m, qual é a área, em m2, de uma face da figura 30?

a) 30

9

8

b) 29

9

8

c) 30

8

9

d) 19

27

20

e) 19

20

27

32- Considere o sólido obtido de um paralelepípedo retângulo, retirando-se um prisma, conforme indica a figura abaixo. Calcule, em centímetros cúbicos, a metade do volume desse sólido.

33- O recipiente da figura, que contém água, é um prisma reto cujas bases são triângulos eqüiláteros de altura 2. A superfície da água é paralela à face ABCD. Se o volume ocupado pela água é metade do volume do prisma, o valor de h é:



a) 5

6 b) 3 c) 2 d) 2

1 e) 4

3

34- A figura abaixo representa um paralelepípedo de dimensões 2 cm, 1 cm e 1 cm.

A

F

E H

G

C

B

D

A respeito desse paralelepípedo, é correto afirmar: a) A área do triângulo de vértices A, F e C é

2

5 cm2.

b) O número de caminhos com distância 4 cm entre os vértices B e E é 12. c) A menor distância entre os vértices A e H é

6 cm.

d) O volume da pirâmide de vértices A, B, C, D e E é igual a 1 cm3. e) O perímetro do retângulo de vértices A, C, F e H é igual a 2 + 5 cm.

35- Um recipiente cúbico, sem tampa, com aresta medindo 12 cm, está apoiado em um plano horizontal e contém água até um nível de h cm. Ao se inclinar esse recipiente sobre uma de suas arestas, de maneira que a face inferior faça um ângulo de 30° com o plano horizontal, são derramados 300 cm3 de água, conforme mostrado nestas figuras.

Determine o valor de h. 36- A figura é um prisma oblíquo cuja base é um triângulo equilátero de perímetro 18 cm.

O volume desse prisma, em centímetros cúbicos, é igual a:

a) 270 d) 45 2 b) 135 e) 45

c) 45 3

37- Se a área da base de um prisma diminui 10% e a altura aumenta 20%, o seu volume:

a) não se altera d) aumenta 8%.

b) aumenta 10%. e) diminui 8%.

c) diminui 10%.

38- Um prisma reto de base quadrada teve os lados da base e a altura diminuídos de 50%. O seu volume ficou diminuído de:

a) 50% d) 85%

b) 75% e) 60%

c) 87,5%

39- Uma formiga move-se na superfíciede um cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve seguir para ir de um vértice ao vértice oposto tem comprimento: 40- De um paralelepípedo reto-retângulo com dimensões x, 3x e 6x, são removidos dois cubos de aresta x, como indicado na figura. Qual o comprimento da aresta do cubo cujo volume é igual ao do sólido resultante?



41- Um engenheiro vai projetar uma piscina em forma de

paralelepípedo reto retângulo, cujas medidas internas são, em metros, expressas por x,20-x e 2. O maior volume que essa piscina poderá ter, em metros cúbicos, é igual a: a) 240 b) 220 c) 200 d) 150 e) 100

42- Dado um paralelepípedo onde as suas dimensões estão em P.A de razão 3 e a soma dessas dimensões é igual a 21 CM, calcule: a) O tamanho da diagonal desse paralelepípedo. b) O volume. c) A área total.

Gabaritos

1- 90 3 cm3

2- 128 2 m3

3- St = 40 (2 5 + 2 10 + 1) cm2.

4- 600 cm2

5- a) At =24 cm2 b) V = 8 cm3

c) D = 2 3 cm.

6- E

7- a ) 375. 3 cm3

b ) 50 3 cm3

8- A

9- D

10- C

11- a) 8cm

b) V = 1000 cm3

12- A

13- A

14- a) as arestas da base medem 2cm cada e as arestas laterais medem 5cm cada.

b) 30 3 cm3

15- C

16- D

17- a) 36m3

b) 9,23

18- B

19- C

20- A

21- C

22- D

23- B

24- a) 1,2m = 12dm

b) 0,85.123 = 1468,8 L

25- D

26- D

27- E

28- a) 8 89 cm2

b) 8 65 cm2

c) 8

3cm

29- Pedra 1: V1 = 1 . 1 . 0,02 m3 = 0,02 m3 massa = 25 kg

Pedra 2: V2 = 2 . 0,80 . 0,03 = 0.048 m3

4,210.2

10.8,4

02,0

048,0

V

V

2

2

1

2

massa da pedra 2 = 2,4 . massa da pedra 1 = 2.4 . 25 = 60 kg

30- O volume do tanque é: 30 x 60 x 50 = 90 000 cm3 = 90

Em cada minuto, entra no tanque:

910

90

Em cada minuto, sai do tanque:

518

90

Portanto, em cada minuto, resta no tanque 459

90 : 4 = 22,5 minutos

31- Cálculo das áreas das faces:

Fig. 1: S1 = 1 m2

Fig. 2: S2 = 22

m9

8

9

11

3

11

Fig. 3: S3 = 22

m81

64

81

8

9

8

9

1.8

9

8

Fig. 4: S4 = 22

m729

512

729

64

81

64

27

1.64

81

64

A seqüência das áreas:

,

729

512,

81

64,

9

8,1 é uma PG

onde a1 = 1 e q = 9

8

Portanto, temos a30 = a1 . q29 = 1 .

2929

9

8

9

8

32- Sejam A o paralelepípedo de dimensões 8 cm x 4 cm x 6

cm e B o prisma retirado. O prisma retirado B tem altura H = 4 cm e a base é um triângulo em que um dos lados mede 3 cm e a respectiva altura, 3 cm. V = VA – VB

VA = 8 . 4 . 6 = 192 VA = 192 cm3

VB = Sb.H = 2

3.3 . 4 = 18 VB = 18 cm3

V = 192 – 18 = 174 V = 174 cm3

A metade do volume 2

V = 87 cm3

33- O volume ocupado pela água é metade do volume do

prisma, quando área do triângulo EFG é metade da área do triângulo ADE (pois o prisma recipiente e o prisma ocupado pela água possuem a mesma altura).



2h

2h2

1

4

h

2

1

2

h

A

A2

22

ADE

EFG

34- a) Verdadeiro.

No AFC, retângulo em A, temos:

FA = 1 cm

AC2 = 22 + 12 AC2 = 5 AC = 5 cm

2

5

2

5.1S

cm2

A

F

E H

G

C

B

D

1

1

2

1

b) Falso. São 6 caminhos: BCHE, BCDE, BGHE, BGFE, BAFE, BADE. c) Verdadeiro. A menor distância entre A e H é a diagonal AH, obtida no triângulo:

D2 = 12 + 2

5 = 6 D = 6 cm

d) Falso.

3

21.1.2.

3

1h.S.

3

1V

Bpir cm3

e) Falso.

No retângulo ACHF temos: AC = FH = 5 cm e CH = AF = 1

cm.

Perímetro = 25.2 cm

35- 1) Volume inicial de água no recipiente: V1 = 12 . 12 . h =

144h 2) O volume que permanece sem água após a inclinação corresponde ao volume de um prisma de base triangular:

3cm328812.324V

3242

12.34A

34x3

3

12

x30tg

2

1

3) Volume de água que permanece no recipiente após o derramamento:

V3 = Vcubo – V2 =

3288123 cm3

4) V1 = V3 + 300 144h = 1 728 – 288 3 + 300 144h =

2 028 - 288 3 h = 12

324169

Se fizermos 3 = 1,7, teremos: h = 68,1012

8,40169

cm.

36- B

37- D

38- C

39- E

40- A

41- C

42- A) 165 cm

B) 280 cm³

C) 276 cm²

Cubo Quadrado Paralelogramo Paralelepípedo reto Retângulo Paralelepípedo

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