Tutorial - Matemática Financeira

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MATEMTICA FINANCEIRA ON LINE

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PORCENTAGEM

Introduo

A porcentagem o estudo da matemtica financeira mais aplicado ao nosso dia-a-dia.

freqente o uso de expresses que refletem acrscimos ou redues em preos, nmeros ou quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:

A gasolina teve um aumento de 15% - Significa que em cada R$100 houve um acrscimo de R$15,00

O cliente recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00

Dos jogadores que jogam no Grmio, 90% so craques. - Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grmio, 90 so craques.

A idia de porcentagem foi utilizada em pocas to remotas como a do antigo Imprio Romano.

O imperador Augusto cobrava um imposto de 1/100 sobre o preo da venda de todos os bens. No sculo XV manuscritos italianos utilizavam expresses como 20 p100 e XX p cento para indicar vinte por cento.

Em 1650, o sinal per era utilizado para indicar porcentagem. Posteriormente esse sinal se perdeu no tempo, e ficou o sinal que se utiliza atualmente: % .

Razo centesimal

Toda a razo que tem para conseqente o nmero 100 denomina-se razo centesimal. Alguns exemplos:

Podemos representar uma razo centesimal de outras formas:

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As expresses 7%, 16% e 125% so chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Considere o seguinte problema:

Joo vendeu 50% dos seus 50 cavalos. Quantos cavalos ele vendeu? Para solucionar esse problema devemos aplicar a taxa percentual (50%) sobre o total de cavalos.

Logo, ele vendeu 25 cavalos, que representa a porcentagem procurada.

Definio de porcentagem

Porcentagem um modo de expressar uma proporo ou uma relao entre 2 valores (um a parte e o outro o inteiro) a partir de uma frao cujo denominador 100. Representamos porcentagem pelo smbolo % e l-se: por cento.

Deste modo, a frao uma porcentagem que podemos representar por 20%.

muito importante observar que quando escrevemos 25 por cento podemos faz-lo de trs maneiras:

25% ....... a forma percentual, clssica, mais indicada na textualizao, na comunicao entre as pessoas, em qualquer forma no matemtica.

10025

ou 41

....... a forma fracionria, e indicada nos clculos e equacionamento de

problemas.

0,25 ........ Esta a forma decimal ou unitria, a mais indicada nos clculos e equacionamento de problemas.

Para obtermos a forma decimal de 25% ns simplesmente deslocamos a vrgula duas casas esquerda de 25% , que resulta em 0,25 .

Alguns exemplos:

Exemplo 1: De um grupo de 100 jogadores, 30 praticam basquete. Isso significa que 30% (trinta por cento) dos

jovens praticam basquete.

Exemplo 2:


2



Num lote de 50 lmpadas, 13 apresentam defeito; a razo entre o nmero de lmpadas defeituosas e o total de lmpadas dada por:

O que significa que, se o lote contivesse 100 lmpadas, deveramos encontrar 26 com defeitos.

Exemplo 3:

Outro modo de representar a taxa de obtido, simplesmente, efetuando a diviso de 4 por 100: 4 : 100 = 0,04 Da forma:

37% = 0,37 80% = 0,80 = 0,8

14,5% = 0,145 100% = 1

250% = 2,50 = 2,5 0,7% = 0,007

Exerccio Resolvido:1) Um jogador de futebol, ao longo de um campeonato, cobrou 75 faltas, transformando em gols

8% dessas faltas. Quantos gols de falta esse jogador fez?

Portanto o jogador fez 6 gols de falta.

Exerccios Propostos:1. Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 20% foram com

cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez?

2. Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matria. Qual o nmero mximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele ser reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas ?

Clculo de uma Porcentagem

Todo o clculo de porcentagem, como informado, baseado no nmero 100.

O clculo de tantos por cento de uma expresso matemtica ou de um problema a ser resolvido indicado pelo smbolo (%), e pode ser feito, na soma, por meio de uma proporo simples.

Para que se possam fazer clculos com porcentagem (%), temos que fixar o seguinte:


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1) A taxa est para porcentagem (acrscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 est para a quantia a ser encontrada.

Exemplificando:

Um ttulo vale 30% do valor total de R$ 100,00. Qual o valor do ttulo?

100% : R$ 100,00

30% : X

X = R$ 30,00

2) O nmero que se efetua o clculo de porcentagem representado por 100.

Exemplificando:

Efetue o clculo 10% de 50

100% : 50

10% : X

100X = 500 X = 5

Obs. Nos dois exemplos dados foram usados o sistema de clculo de regra de trs.

3) O capital informado tem sempre por igualdade ao 100.

Exemplificando:

Efetua-se o resgate de um cheque pr-datado no valor de R$ 150,00 e obtm-se um desconto de 20%. Qual o valor do desconto?

100% : R$ 150,00

20% : X

100X = 3000 X = R$ 30,00

Exerccios Resolvidos:01. Quatro quantos porcento de cinco?

Resoluo

Sendo x% a taxa percentual, temos pela definio que:

ou de outra forma:

Resposta: 80%


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02. Quanto 23% de 200 000?

Resoluo

23% de 200 000 = = 200 000 = 46 000

Resposta: 46 000

03. Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a populao de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resoluo

67% de 56000 = 56 000 = 37 520

Resposta: 37 520 pessoas.

04. Quanto 20% de 70%?

Resoluo

20% de 70 % = = 0,14 ou 14%

Resposta: 14%

Exerccios Propostos:3. (Fuvest-SP) Quanto (10%)2 ?

4. (Vunesp-SP) O grfico publicado pela revista Veja, de 28/7/99, mostra como so divididos os 188 bilhes de reais do oramento da Unio entre os setores de Sade, Educao, Previdncia e outros.


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Se os 46 bilhes de reais gastos com a Previdncia fossem totalmente repassados aos demais setores de modo que 50% fossem destinados sade, 40% educao e os 10% aos outros, determine o aumento que o setor de Sade teria:

a) em reais;

b) em porcentagem, em relao sua dotao inicial, aproximadamente.

5. (Unicamp-SP) Como se sabe, os icebergs so enormes blocos de gelo que se desprendem das geleiras polares e flutuam pelos oceanos. Suponha que a parte submersa de um iceberg corresponda a 8/9 do seu volume total e que o volume da parte no submersa de 135 000 m3.

a) Calcule o volume total do iceberg.

b) Calcule o volume de gelo puro do iceberg supondo que 2% de seu volume total constitudo de impurezas, como matria orgnica, ar e minerais.

Lucro

Chamamos de lucro em uma transao comercial de compra e venda a diferena entre o preo de venda e o preo de custo.

Lucro = preo de venda preo de custo.

Caso essa diferena seja negativa, ela ser chamada de prejuzo.

Assim, podemos escrever:

Preo de custo + lucro = preo de venda.

Preo de custo prejuzo = preo de venda.

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Observao A mesma anlise pode ser feita para o caso de prejuzo.

ExemploUma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:

a) o lucro obtido na transao;

b) a porcentagem de lucro sobre o preo de custo;

c) a porcentagem de lucro sobre o preo de venda.


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Resoluoa)

Lucro = 800 500 Lucro = R$ 300,00

b)

LC = = 0,60 = 60%

c)

LV = = 0,375 = 37,5%

Exerccios Resolvidos:1. Um objeto custa R$ 75,00 e vendido por R$ 100,00. Determinar:

a) a porcentagem de lucro em relao ao preo de custo;

b) a porcentagem de lucro em relao ao preo de venda.

Resoluo

Preo de custo + lucro = preo de venda

75 + lucro =100

Lucro = R$ 25,00

a)

%33,337525

7575100

Pr=

=

CustodeeoLucro

b)

%2510025

10075100

Pr=

=

VendadeeoLucro

02. (PUC-SP) O preo de venda de um bem de consumo R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preo de custo deste bem. O valor do preo de custo :

ResoluoGanho = lucro


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= 25% lucro = 0,25 (preo de custo)

Preo de custo + lucro = preo de venda

Preo de custo + 0,25 (preo de custo) = preo de venda

1,25 (preo de custo) = 100

Preo de custo = R$ 80,00

Exerccios Propostos:6. Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa

percentual de lucro sobre o preo original?

7. (Cesgranrio-RJ) Joo vendeu dois rdios por preos iguais. Um deles foi vendido com lucro de 20% sobre o preo de custo e o outro com prejuzo de 20% sobre o preo de custo. No total, em relao ao capital investido, Joo teve lucro ou prejuzo, de quanto?

Aumento Percentual

Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor aps o aumento. Ento,

em que o fator de aumento ou multiplicao.

Exemplos


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Desconto Percentual

Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor aps o desconto. Ento,

em que o fator de desconto.

Exemplos

Exerccios Resolvidos01. Dado o valor V, exprimir em funo de V:

a) o valor de um aumento de 20%;

b) o valor aps um aumento de 20%;

c) o valor de um desconto de 30%;

d) o valor aps um desconto de 30%.

Respostaa) 0,2 V c) 0,3 V

b) 1,20 V d) 0,7 V

2. (Fuvest-SP) Aumentando-se os lados a e b de um retngulo em 15% e 20%, respectivamente, a rea do retngulo aumentada de:

Resoluorea inicial: a b


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rea final: 1,15 a 1,20 b = 1,38 a b = 1,38 rea inicial aumento de 38%.

Exerccios Propostos8. Uma empresa admite um funcionrio no ms de janeiro sabendo que, j em maro, ele ter

40% de aumento. Se a empresa deseja que o salrio desse funcionrio, a partir de maro, seja R$ 3 500,00, com que salrio deve admiti-lo?

9. (Vunesp-SP ) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preo de custo) e passou a revend-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoes, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preo de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoes, o dono do supermercado teve, sobre o preo de custo:

Aumentos e Descontos Sucessivos

Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele ir sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor aps o primeiro aumento, temos:

Sendo V2 o valor aps o segundo aumento, temos:

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele ir sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.

Sendo V1 o valor aps o primeiro desconto, temos:

Sendo V2 o valor aps o segundo desconto, temos:


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Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele ir sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.

Sendo V1 o valor aps o aumento, temos:

Sendo V2 o valor aps o desconto, temos:

Exerccios Propostos10. (MackenzieSP) Um produto teve um aumento total de preo de 61% atravs de 2 aumentos

sucessivos. Se o 1o aumento foi de 15%, ento o 2o foi de:

11. (Fuvest-SP) Barnab tinha um salrio de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salrio atual :

12. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% so equivalentes a um nico desconto de:

13. Um comerciante que no possuia conhecimentos de matemtica, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 30% de lucro e posteriormente aumentou o preo em mais 30%. Certo dia, um fregus pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preo, pensando que, assim, teria um lucro de 20%. O comerciante teve lucro ou prejuzo? Qual foi esse valor?


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