Prof. Dr. Jhames SampaioUniversidade de Brasília

geométrica‣ variável aleatória geométrica‣ experimento‣ distribuição‣ exemplos‣ perda de memória

exemploroleta russa é um jogo de azar onde os participantes colocam um cartucho, tipicamente apenas um, em uma das câmaras de um revólver. O tambor do revólver é girado e fechado, de modo a que localização da bala seja desconhecida. Os participantes apontam o revólver para suas cabeças e atiram, correndo o risco da provável morte caso a bala esteja na câmara engatilhada.

‣ como o jogo é mórbido e temos a intenção de incentivar a vida, vamos imaginar uma versão divertida do jogo: suponha que um grupo de amigos irá brincar de roleta russa, que o tambor contenha oito compartimentos e apenas uma bala de festim; gira-se o tambor e aperta-se o gatilho; se ocorrer um disparo, o participante paga uma prenda

exemplo‣ qual a probabilidade de que o disparo ocorra já na primeira tentativa?

0,125tentativa 1

0,875tentativa 1

x 0,125tentativa 2

= 0,875 x 0,125 0,109

‣ qual a probabilidade de que sejam necessárias exatamente duas tentativas para que o primeiro disparo ocorra?

= 0,125

exemplo‣ qual a probabilidade de que sejam necessárias exatamente três tentativas

para que o primeiro disparo ocorra?

= 0,8752 x 0,125 0,0960,875

tentativa 2

x 0,125tentativa 3

0,875tentativa 1

x

‣ qual a probabilidade de que sejam necessárias exatamente quatro tentativas para que o primeiro disparo ocorra?

= 0,8753 x 0,125 0,0840,875

tentativa 3

x 0,125tentativa 4

0,875tentativa 2

x0,875tentativa 1

x

exemplo‣ qual a probabilidade de que sejam necessárias no máximo três tentativas

para que o primeiro disparo ocorra?

Cenário 1:

Cenário 2:

Cenário 3:

ou

ou

+

+

0,33

0,125tentativa 1

0,875tentativa 1

x 0,125tentativa 2

0,109

0,0960,875

tentativa 2

x 0,125tentativa 3

0,875tentativa 1

x

experimento

‣ quantos ensaios, independentes, devem ser realizados até que ocorra o primeiro sucesso?

‣ defina o evento:

“ocorrer o primeiro sucesso

no k-ésimo ensaio”

( )

‣ suponha que ensaios independentes, cada um com probabilidade de sucesso p, 0<p<1, sejam realizados até que um sucesso ocorra

distribuição“ocorrer o

primeiro sucesso no k-ésimo

ensaio”( )

eventos independentes

distribuição‣ se X representa a variável aleatória associada ao número de ensaios,

independentes, necessários para que ocorra o primeiro sucesso, segue que

notação:

condições para a geométrica

1. Os ensaios devem ser independentes entre si2. O número de ensaios não são pré fixados3. O resultado de cada ensaio deve ser classificado como sucesso ou fracasso4. A probabilidade de sucesso, p, deve ser a mesma para cada ensaio

a) Primeiramente, note que os ensaios são independentes entre si. Defina X como a variável relativa ao número de extrações necessárias para que saia uma bola preta e observe que a distribuição da variável X é geométrica de parâmetro p = 2/3

Uma urna contém 5 bolas brancas e 10 bolas pretas. As bolas serão selecionadas uma a uma, com reposição, até que saia uma bola preta. Com base nas informações responda aos itens abaixo:

a) qual a probabilidade de que sejam necessárias exatas 7 extrações?b) qual a probabilidade de que ao menos 5 extrações sejam necessárias?c) qual a esperança e a variância?

> dgeom(6, 2/3)

[1] 0.0009144947

R

exemplo

b)

De modo geral

Uma urna contém 5 bolas brancas e 10 bolas pretas. As bolas serão selecionadas uma a uma, com reposição, até que saia uma bola preta. Com base nas informações responda aos itens abaixo:

a) qual a probabilidade de que sejam necessárias exatas 7 extrações?b) qual a probabilidade de que ao menos 5 extrações sejam necessárias?c) qual a esperança e a variância?

exemplo

c)

Uma urna contém 5 bolas brancas e 10 bolas pretas. As bolas serão selecionadas uma a uma, com reposição, até que saia uma bola preta. Com base nas informações responda aos itens abaixo:

a) qual a probabilidade de que sejam necessárias exatas 7 extrações?b) qual a probabilidade de que ao menos 5 extrações sejam necessárias?c) qual a esperança e a variância?

exemplo

‣ queremos demonstrar que para n e k positivos

e

d) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias exatas 7 extrações?

e) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias mais de 7 extrações?

‣ para a solução desses dois itens, antes, iremos estudar uma importante propriedade da distribuição geométrica: a perda de memória

exemplo

‣ a ideia é que a geométrica “esquece o passado”

‣ vamos ao resultado

d) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias exatas 7 extrações?

e) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias mais de 7 extrações?

‣ para a solução desses dois itens, antes, iremos estudar uma importante propriedade da distribuição geométrica: a perda de memória

exemplo

obtém-se da mesma forma que no item b)

d) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias exatas 7 extrações?

e) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias mais de 7 extrações?

exemplo

d) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias exatas 7 extrações?

e) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias mais de 7 extrações?

exemplo

e)

d)

d) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias exatas 7 extrações?

e) dado que já foram realizadas 5 extrações sem sucesso, qual a probabilidade de que sejam necessárias mais de 7 extrações?

> dgeom(1, 2/3)

[1] 0.2222222

R

> 1-pgeom(1, 2/3)

[1] 0.1111111

R

exemplo

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