uAULA2

Sinais e SistemasAula 2

Professor: Rafael Antunes Nbrega

1

https://dl.dropboxusercontent.com/u/108361786/MaterialAulas/SS.zip

Sinais e Sistemas

Captulo 1

2

Continuao...

Neste captulo 1 veremos definies/descries matemticas de sinais e sistemas e suas representaes:

Sinais de tempo contnuo e de tempo discreto;

Energia e Potncia de um sinal

Transformaes de variveis independentes;

Sinais peridicos

Sinais senoidais e exponenciais;

Funes impulso unitrio e degrau unitrio;

Sistemas de tempo contnuo e de tempo discreto;

Propriedades bsicas de sistemas; 3

Sinais peridicos

Def.: Um sinal contnuo peridico com perodo T se e somente se

OBS: Perodo fundamental, o menor perodo T que se observa a periodicidade do sinal x(t).

Para sinais em tempo discreto temos

k e N so inteiros. 4

Sinais peridicos

[ ] [ ]x n x n kN

)()( Ttxtx t.)()( kTtxtx t e qq nmero inteiro de k.

Sinais peridicos

Exemplo:

O nmero de ciclos da oscilao por segundo f=1/T e f a freqncia em Hertz (Hz).

5

Sinais peridicos

Sinais peridicos

O trem de pulsos ilustrado abaixo tambm um sinal peridico.

6

Sinais peridicos

Sinais peridicos

Def.: Um sinal discreto x[n] peridico com perodo N se e somente se x[n + N] = x[n], onde n um nmero inteiro, n.

Ex:

7

Sinais peridicos

8 /

Sinais peridicos

Sinais peridicos

x[n + N] = x[n]

x(t + T) = x(t)

Sinais peridicos

Exemplo - O sinal abaixo ou no peridico?

9

cos( ) se 0( )

( ) se 0

t tx t

sen t t

Sinais peridicos

Sinais peridicos

Exemplo:

10

cos( ) se 0( )

( ) se 0

t tx t

sen t t

No peridico pois no respeita a condio:

Exemplo, Note que T = 2piem t=0, x(t) = 0em t = 2pi, x(t+LT) = 0 (L = 1, 2, 3, 4, ...)em t = -2pi, x(t-LT) = 1

( ) ( )x t x t kT

1

Sinais peridicos

Sinais pares e mpares (simetria)

Definio: x(t) par se e somente se x(-t) = x(t), t. x[-n] = x[n]

x(t) mpar se e somente se x(t) = x(t), t. x[-n] = -x[n]

As mesmas definies so vlidas para os sinais discretos. Ex:

Um sinal mpar deve necessariamente ser zero em t=0 ou n=0 pois x(0) = -x(0) e x[0] = -x[0]

11

Sinais peridicos


Exemplos:

12

par

impar

Sinais peridicos


Qualquer sinal pode ser decomposto em uma soma de dois sinais: Um com simetria par E outro com simetria impar

Definio: Para qualquer x(t), temos x(t) = xp(t) + xi(t), onde xp(t) = ,x(t) + x(t)-/2 xi(t) = ,x(t) x(t)-/2 O mesmo vale para os sinais discretos.

Exemplo: Seja x[n] = e|n|. x*n+ = x*n+; portanto, x*n+ par xp[n] = x[n]; xi[n] = 0

13

Sinais peridicos

e|0| = 1e|1| = 0,3679e|2| = 0,1353e|3| = 0,0480...

n


Exemplo: Faa a decomposio do sinal abaixo em parte par e mpar:

14

Sinais peridicos


Soluo:

15

Sinais peridicos


OBS: As funes pares e mpares apresentam as seguintes propriedades:

O produto entre as funes par e mpar uma funo mpar,

O produto entre duas funes pares uma funo par,

O produto entre duas funes mpares uma funo par.

16

Sinais peridicos

Sistemas

Definio: Sistema qualquer transformao que ao ser aplicada em um sinal (entrada) produz um novo sinal (sada). Exemplo: Sistema de alta fidelidade toma um sinal de udio como

entrada e gera uma reproduo mais ntida daquele sinal.

Motivao: Sistemas de muitas aplicaes diferentes tm descries matemticas muito parecidas.

17

Sistemas

Sistemax(t) y(t)

Sistemas contnuos e discretos no tempo:

18

Sistemas

Sistemas

Exemplo: Sistema c/ interconexo

Podemos usar o nosso entendimento dos vrios subsistemas para analisar o comportamento do sistema como um todo.

Temos que saber ento: Como descrever matematicamente sinais, sistemas e sua interao

Como os sistemas se comunicam entre eles.19

Interconexo de sistemas

Sistemas

20


Sistemas

SRIE

PARALELA

SRIE-PARALELA

Com realimentao: Automvel mede a velocidade do veculo e ajusta o fluxo de

combustvel para manter a velocidade.

A sada do Sistema 2 (que depende do Sistema 1) realimentada e adicionada entrada externa para compor a entrada do Sistema 1.

21


Sistemas

Exemplo contnuo:

Realimentao.

22


Sistemas

Exemplo discreto:

Realimentao.

23


Sistemas

memria

Propriedades bsicas de sistemas


1. Sistema com e sem memria

2. Sistemas inversos e invertibilidade

3. Causalidade

4. Estabilidade

5. Invarincia do tempo

6. Linearidade

24


Sem memria: Sada depende somente de entradas daquele mesmo instante. y[n] = (2x[n]-x2[n])2

y(t) = Rx(t) (Resistor V = Ri)

y(t) = x(t) e y[n] = x[n] (sistema identidade)

Com memria: sada depende de entradas em momentos passados.

Acumulador

y[n] = x[n-1]

Capacitor 25

1. Sistemas com e sem memria


n

k

kx ][ y[n]

dxC

t

-)(

1 y(t)

Sem memria: Sada depende somente de entradas daquele mesmo instante. y[n] = (2x[n]-x2[n])2

y(t) = Rx(t) (Resistor V = Ri)

y(t) = x(t) e y[n] = x[n] (sistema identidade)

Com memria: sada depende de entradas em momentos passados.

Acumulador

y[n] = x[n-1]

Capacitor 26


n

k

kx ][ y[n]

dxC

t

-)(

1 y(t)

Formalmente sistemas que dependem de valores futuros tambm so sistemas c/ memria.

1. Sistemas com e sem memria

Sistema invertvel: entradas distintas levam a sadas distintas. Se o sistema invertvel existe um sistema inverso que recupera a

entrada deste sistema.

27



Exemplos de sistemas no invertveis:

y[n] = 0

y(t) = x2(t)

Neste casos, no podemos determinar o sinal de entrada a partir do conhecimento do sinal de sada.

Um codificador por exemplo deve ser um sistema invertvel.

28


Codificador Decodificadormensagem mensagem


Sada depende apenas de valores de entrada em tempo presente e passado: Sistema no antecipativo pois no antecipa valores futuros

na entrada;

Exemplo: o circuito RC pois a tenso do capacitor depende apenas de valores passados e presentes da fonte de tenso;

Exemplos: e

Exemplos de sistemas no-causais:

29

3. Causalidade


n

k

kx ][ y[n] dxC

t

-)(

1 y(t)

]1[][ y[n] nxnx )1( y(t) tx

Todos os sistemas sem memria so causais.

Sistemas no-causais so bastante relevantes:

Quando a varivel independente no o tempo: Processamento de imagens (fotografia);

Quando processamos dados gravados previamente: Comum em sinais de fala, vdeos, metereolgicos, etc..

Exemplo: Suavizao de um sinal (eliminao de altas frequncias) por:

Mdia mvel

30

M

Mk

knxM

][12

1 y[n]


3. Causalidade

4. Estabilidade

Para toda entrada bounded, a sada ser tambm bounded. Se |x[n]| < Bx n , ento |y[n]| < By

Onde Bx e By so finitos e positivos

Tambm conhecido como BIBO (Bounded-Input Bounded-Output)

Exemplo Grfico:

31

S1O teste feito atravs da injeo de um sinal degrau unitrio

y[n]diverge


u[n]

SISTEMA NO-ESTVEL

Exemplo: y[n] = ny[n-1]+x[n] p/ n>0, estvel?

32


Exemplo

4. Estabilidade

5. Sistema Invariante no Tempo

Comportamento e caractersticas de um sistema so fixos ao longo do tempo: a segunda propriedade mais usada, imposta a quase todos os filtros.

Se

Ento

Onde n0 qualquer nmero inteiro.

Essa relao deve ser vlida para qualquer entrada x[n] e sua respectiva sada.

Essa propriedade garante que a resposta a um sinal de entrada especfico no dependa do momento em que ela foi aplicada.

33

S1x1[n] y1[n]

S1xi[n] = xi[n-n0] yi[n] = yi[n-n0]


Exemplo: y[n] = nx[n] invariante no tempo?

34



Exemplo

Exemplo: up-sampling invariante no tempo?

35



Exemplo

Usaremos sistemas com essa caracterstica.

Um sistema linear respeita o princpio da superposio.

Essa propriedade deve ser vlida para quaisquer constantes A e B e para todas as entradas possveis x1[n] e x2[n].

Facilita a anlise da resposta de uma sequncia complicada, decompondo-a em combinaes pesadas de sequncias simples.

6. Sistema Linear

36

S1

S1

S1

x1[n]

x2[n]

x[n] = Ax1[n] + Bx2[n]

y1[n]

y2[n]

y[n] = Ay1[n] + By2[n]


Exemplo: y[n] = x2[n] linear?

37

6. Sistema Linear


Exemplo

Exemplo: y[n] = nx[n] linear?

38

6. Sistema Linear


Exemplo

Exemplo: acumulador linear?

39

6. Sistema Linear


Exemplo

Na prxima aula: Captulo 2 do livro:

Sistemas lineares invariantes no tempo.

40 /

uAULA2

Documents

Transcript of uAULA2