uAULA2

40
Sinais e Sistemas Aula 2 Professor: Rafael Antunes Nóbrega 1 https://dl.dropboxusercontent.com/u/108361786/MaterialAulas/SS.zip

description

Aula de SS

Transcript of uAULA2

  • Sinais e SistemasAula 2

    Professor: Rafael Antunes Nbrega

    1

    https://dl.dropboxusercontent.com/u/108361786/MaterialAulas/SS.zip

  • Sinais e Sistemas

    Captulo 1

    2

  • Continuao...

    Neste captulo 1 veremos definies/descries matemticas de sinais e sistemas e suas representaes:

    Sinais de tempo contnuo e de tempo discreto;

    Energia e Potncia de um sinal

    Transformaes de variveis independentes;

    Sinais peridicos

    Sinais senoidais e exponenciais;

    Funes impulso unitrio e degrau unitrio;

    Sistemas de tempo contnuo e de tempo discreto;

    Propriedades bsicas de sistemas; 3

  • Sinais peridicos

    Def.: Um sinal contnuo peridico com perodo T se e somente se

    OBS: Perodo fundamental, o menor perodo T que se observa a periodicidade do sinal x(t).

    Para sinais em tempo discreto temos

    k e N so inteiros. 4

    Sinais peridicos

    [ ] [ ]x n x n kN

    )()( Ttxtx t.)()( kTtxtx t e qq nmero inteiro de k.

  • Sinais peridicos

    Exemplo:

    O nmero de ciclos da oscilao por segundo f=1/T e f a freqncia em Hertz (Hz).

    5

    Sinais peridicos

  • Sinais peridicos

    O trem de pulsos ilustrado abaixo tambm um sinal peridico.

    6

    Sinais peridicos

  • Sinais peridicos

    Def.: Um sinal discreto x[n] peridico com perodo N se e somente se x[n + N] = x[n], onde n um nmero inteiro, n.

    Ex:

    7

    Sinais peridicos

  • 8 /

    Sinais peridicos

    Sinais peridicos

    x[n + N] = x[n]

    x(t + T) = x(t)

  • Sinais peridicos

    Exemplo - O sinal abaixo ou no peridico?

    9

    cos( ) se 0( )

    ( ) se 0

    t tx t

    sen t t

    Sinais peridicos

  • Sinais peridicos

    Exemplo:

    10

    cos( ) se 0( )

    ( ) se 0

    t tx t

    sen t t

    No peridico pois no respeita a condio:

    Exemplo, Note que T = 2piem t=0, x(t) = 0em t = 2pi, x(t+LT) = 0 (L = 1, 2, 3, 4, ...)em t = -2pi, x(t-LT) = 1

    ( ) ( )x t x t kT

    1

    Sinais peridicos

  • Sinais pares e mpares (simetria)

    Definio: x(t) par se e somente se x(-t) = x(t), t. x[-n] = x[n]

    x(t) mpar se e somente se x(t) = x(t), t. x[-n] = -x[n]

    As mesmas definies so vlidas para os sinais discretos. Ex:

    Um sinal mpar deve necessariamente ser zero em t=0 ou n=0 pois x(0) = -x(0) e x[0] = -x[0]

    11

    Sinais peridicos

  • Sinais pares e mpares (simetria)

    Exemplos:

    12

    par

    impar

    Sinais peridicos

  • Sinais pares e mpares (simetria)

    Qualquer sinal pode ser decomposto em uma soma de dois sinais: Um com simetria par E outro com simetria impar

    Definio: Para qualquer x(t), temos x(t) = xp(t) + xi(t), onde xp(t) = ,x(t) + x(t)-/2 xi(t) = ,x(t) x(t)-/2 O mesmo vale para os sinais discretos.

    Exemplo: Seja x[n] = e|n|. x*n+ = x*n+; portanto, x*n+ par xp[n] = x[n]; xi[n] = 0

    13

    Sinais peridicos

    e|0| = 1e|1| = 0,3679e|2| = 0,1353e|3| = 0,0480...

    n

  • Sinais pares e mpares (simetria)

    Exemplo: Faa a decomposio do sinal abaixo em parte par e mpar:

    14

    Sinais peridicos

  • Sinais pares e mpares (simetria)

    Soluo:

    15

    Sinais peridicos

  • Sinais pares e mpares (simetria)

    OBS: As funes pares e mpares apresentam as seguintes propriedades:

    O produto entre as funes par e mpar uma funo mpar,

    O produto entre duas funes pares uma funo par,

    O produto entre duas funes mpares uma funo par.

    16

    Sinais peridicos

  • Sistemas

    Definio: Sistema qualquer transformao que ao ser aplicada em um sinal (entrada) produz um novo sinal (sada). Exemplo: Sistema de alta fidelidade toma um sinal de udio como

    entrada e gera uma reproduo mais ntida daquele sinal.

    Motivao: Sistemas de muitas aplicaes diferentes tm descries matemticas muito parecidas.

    17

    Sistemas

    Sistemax(t) y(t)

  • Sistemas contnuos e discretos no tempo:

    18

    Sistemas

    Sistemas

  • Exemplo: Sistema c/ interconexo

    Podemos usar o nosso entendimento dos vrios subsistemas para analisar o comportamento do sistema como um todo.

    Temos que saber ento: Como descrever matematicamente sinais, sistemas e sua interao

    Como os sistemas se comunicam entre eles.19

    Interconexo de sistemas

    Sistemas

  • 20

    Interconexo de sistemas

    Sistemas

    SRIE

    PARALELA

    SRIE-PARALELA

  • Com realimentao: Automvel mede a velocidade do veculo e ajusta o fluxo de

    combustvel para manter a velocidade.

    A sada do Sistema 2 (que depende do Sistema 1) realimentada e adicionada entrada externa para compor a entrada do Sistema 1.

    21

    Interconexo de sistemas

    Sistemas

  • Exemplo contnuo:

    Realimentao.

    22

    Interconexo de sistemas

    Sistemas

  • Exemplo discreto:

    Realimentao.

    23

    Interconexo de sistemas

    Sistemas

    memria

  • Propriedades bsicas de sistemas

    Propriedades bsicas de sistemas

    1. Sistema com e sem memria

    2. Sistemas inversos e invertibilidade

    3. Causalidade

    4. Estabilidade

    5. Invarincia do tempo

    6. Linearidade

    24

    Propriedades bsicas de sistemas

  • Sem memria: Sada depende somente de entradas daquele mesmo instante. y[n] = (2x[n]-x2[n])2

    y(t) = Rx(t) (Resistor V = Ri)

    y(t) = x(t) e y[n] = x[n] (sistema identidade)

    Com memria: sada depende de entradas em momentos passados.

    Acumulador

    y[n] = x[n-1]

    Capacitor 25

    1. Sistemas com e sem memria

    Propriedades bsicas de sistemas

    n

    k

    kx ][ y[n]

    dxC

    t

    -)(

    1 y(t)

  • Sem memria: Sada depende somente de entradas daquele mesmo instante. y[n] = (2x[n]-x2[n])2

    y(t) = Rx(t) (Resistor V = Ri)

    y(t) = x(t) e y[n] = x[n] (sistema identidade)

    Com memria: sada depende de entradas em momentos passados.

    Acumulador

    y[n] = x[n-1]

    Capacitor 26

    Propriedades bsicas de sistemas

    n

    k

    kx ][ y[n]

    dxC

    t

    -)(

    1 y(t)

    Formalmente sistemas que dependem de valores futuros tambm so sistemas c/ memria.

    1. Sistemas com e sem memria

  • Sistema invertvel: entradas distintas levam a sadas distintas. Se o sistema invertvel existe um sistema inverso que recupera a

    entrada deste sistema.

    27

    2. Sistemas inversos e invertibilidade

    Propriedades bsicas de sistemas

  • Exemplos de sistemas no invertveis:

    y[n] = 0

    y(t) = x2(t)

    Neste casos, no podemos determinar o sinal de entrada a partir do conhecimento do sinal de sada.

    Um codificador por exemplo deve ser um sistema invertvel.

    28

    Propriedades bsicas de sistemas

    Codificador Decodificadormensagem mensagem

    2. Sistemas inversos e invertibilidade

  • Sada depende apenas de valores de entrada em tempo presente e passado: Sistema no antecipativo pois no antecipa valores futuros

    na entrada;

    Exemplo: o circuito RC pois a tenso do capacitor depende apenas de valores passados e presentes da fonte de tenso;

    Exemplos: e

    Exemplos de sistemas no-causais:

    29

    3. Causalidade

    Propriedades bsicas de sistemas

    n

    k

    kx ][ y[n] dxC

    t

    -)(

    1 y(t)

    ]1[][ y[n] nxnx )1( y(t) tx

    Todos os sistemas sem memria so causais.

  • Sistemas no-causais so bastante relevantes:

    Quando a varivel independente no o tempo: Processamento de imagens (fotografia);

    Quando processamos dados gravados previamente: Comum em sinais de fala, vdeos, metereolgicos, etc..

    Exemplo: Suavizao de um sinal (eliminao de altas frequncias) por:

    Mdia mvel

    30

    M

    Mk

    knxM

    ][12

    1 y[n]

    Propriedades bsicas de sistemas

    3. Causalidade

  • 4. Estabilidade

    Para toda entrada bounded, a sada ser tambm bounded. Se |x[n]| < Bx n , ento |y[n]| < By

    Onde Bx e By so finitos e positivos

    Tambm conhecido como BIBO (Bounded-Input Bounded-Output)

    Exemplo Grfico:

    31

    S1O teste feito atravs da injeo de um sinal degrau unitrio

    y[n]diverge

    Propriedades bsicas de sistemas

    u[n]

    SISTEMA NO-ESTVEL

  • Exemplo: y[n] = ny[n-1]+x[n] p/ n>0, estvel?

    32

    Propriedades bsicas de sistemas

    Exemplo

    4. Estabilidade

  • 5. Sistema Invariante no Tempo

    Comportamento e caractersticas de um sistema so fixos ao longo do tempo: a segunda propriedade mais usada, imposta a quase todos os filtros.

    Se

    Ento

    Onde n0 qualquer nmero inteiro.

    Essa relao deve ser vlida para qualquer entrada x[n] e sua respectiva sada.

    Essa propriedade garante que a resposta a um sinal de entrada especfico no dependa do momento em que ela foi aplicada.

    33

    S1x1[n] y1[n]

    S1xi[n] = xi[n-n0] yi[n] = yi[n-n0]

    Propriedades bsicas de sistemas

  • Exemplo: y[n] = nx[n] invariante no tempo?

    34

    Propriedades bsicas de sistemas

    5. Sistema Invariante no Tempo

    Exemplo

  • Exemplo: up-sampling invariante no tempo?

    35

    Propriedades bsicas de sistemas

    5. Sistema Invariante no Tempo

    Exemplo

  • Usaremos sistemas com essa caracterstica.

    Um sistema linear respeita o princpio da superposio.

    Essa propriedade deve ser vlida para quaisquer constantes A e B e para todas as entradas possveis x1[n] e x2[n].

    Facilita a anlise da resposta de uma sequncia complicada, decompondo-a em combinaes pesadas de sequncias simples.

    6. Sistema Linear

    36

    S1

    S1

    S1

    x1[n]

    x2[n]

    x[n] = Ax1[n] + Bx2[n]

    y1[n]

    y2[n]

    y[n] = Ay1[n] + By2[n]

    Propriedades bsicas de sistemas

  • Exemplo: y[n] = x2[n] linear?

    37

    6. Sistema Linear

    Propriedades bsicas de sistemas

    Exemplo

  • Exemplo: y[n] = nx[n] linear?

    38

    6. Sistema Linear

    Propriedades bsicas de sistemas

    Exemplo

  • Exemplo: acumulador linear?

    39

    6. Sistema Linear

    Propriedades bsicas de sistemas

    Exemplo

  • Na prxima aula: Captulo 2 do livro:

    Sistemas lineares invariantes no tempo.

    40 /