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Sinais e SistemasAula 4

Professor: Rafael Antunes Nóbrega

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Continuação...

• CAPÍTULO 1: Introdução:– Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto;– Energia e Potência de um sinal– Transformações de variáveis independentes;– Sinais periódicos– Sinais senoidais e exponenciais;– Funções impulso unitário e degrau unitário;– Sistemas de tempo contínuo e de tempo discreto;– Propriedades básicas de sistemas;

• CAPÍTULO 2: Sistemas lineares invariantes no tempo:– Representações de sinais em termos de impulso;– Convolução.– Esquema de Interconexões– Propriedades de sistemas LIT

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visto

• Assim como no tempo discreto, um sinal contínuo arbitrário pode ser representado como uma superposição de pulsos deslocados e ponderados.

• Consequentemente, a resposta y(t) de um sistema linear será a superposição das respostas às versões deslocadas de ponderadas.

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Sistemas LIT de tempo contínuo:A resposta ao impulso

Sistemas Lineares invariantes no tempo (LIT)

k

k thkx )(ˆ)((t)y

• Assim como no tempo discreto, um sinal contínuo arbitrário pode ser representado como uma superposição de pulsos deslocados e ponderados.

• Consequentemente, a resposta y(t) de um sistema linear será a superposição das respostas às versões deslocadas de ponderadas.

• Na prática, com ∆ suficientemente pequeno, a resposta a δ∆(t-k∆) é essencialmente a mesma que a resposta a δ(t), logo:–

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Sistemas LIT de tempo contínuo:A resposta ao impulso


No limite ∆→0(t)h(t)hk

• Logo, no limite ∆→0:

• Se além de linear, o sistema for invariante no tempo, então:– hτ(t) = h0(t-τ)

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Sistemas LIT de tempo contínuo:Integral de convolução


k

k thkx )(ˆ)((t)y

dthx )()(y(t)

∆→0

dthx )()(y(t) Integral de convolução

)()(y(t) thtx

• Exemplo:

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h(t) = u(t)x(t) = e-atu(t), a>0 y(t) = ??

• Exemplo:

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h(t)x(t) y(t) = ??

1, 0 < t < Tx(t)

0, caso contrário

t, 0 < t < 2Th(t)

0, caso contrário

• Exemplo (solução):

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h(t)x(t) y(t) = ??

1, 0 < t < Tx(t)

0, caso contrário

t, 0 < t < 2Th(t)

0, caso contrário

• Exemplo:

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h(t) = u(t-3)x(t) = e2tu(-t) y(t) = ??


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h(t) = u(t-3)x(t) = e2tu(-t)

y(t)

Convolução no Matlab

• Função = conv(a, b)

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Propriedades da Convolução

• Comutativa

– x[n] * y[n] = y[n] * x[n]

• Associativa

– (x[n] * y[n]) * z[n] = x[n] * (y[n] * z[n])

• Distributiva

– x[n] * (y[n] + z[n]) = x[n] * y[n] + x[n] * z[n]

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• Comutativa

– x[n] * y[n] = y[n] * x[n]

• Associativa

– (x[n] * y[n]) * z[n] = x[n] * (y[n] * z[n])

• Distributiva

– x[n] * (y[n] + z[n]) = x[n] * y[n] + x[n] * z[n]

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h1 h2

h2 h1

h1

h3

h2

+


h1 h2 h3


• Tamanho da sequência de saída para entradas finitas:

• Considere y[n] = x[n] * h[n]

• Se x[n] é finito com Nx elementos

• e h[n] é finito com Nh elementos

• y[n] será finito com Ny = Nx + Nh - 1

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Esquema de InterconexõesConexão em Cascata

• A resposta ao impulso de todo o sistema é dado da convoluçãodos sistemas em cascata.

= =

• Segue que se h1 e h2 são estáveis, h é estável

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Esquema de InterconexõesConexão em Cascata

• Exemplo de uma aplicação Sistema Inverso.

• Imagine um sinal que deve ser enviado através de um canal.– Esse canal distorce o seu sinal de x[n] x[n]

– Se a resposta ao impulso desse canal for conhecida = h[n], podemos recuperar o sinal x[n].

– Ex.: Aplicando um sistema inverso na saída do canal (h[n]*hi[n]=δ[n]).• Pois, como visto, x[n]*δ[n] = x[n].

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^


Esquema de InterconexõesConexão em Paralelo

• A resposta ao impulso de todo o sistema é dado por:– h[n] = h1[n] + h2[n].

• Segue que se h1 e h2 são estáveis, h é estável

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Esquema de Interconexões

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• Exemplo:

??


Esquema de Interconexões

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• Sistema LIT com e sem memória– Como visto, depende apenas do valor de entrada daquele instante;

– Logo se temos que: h[n] = 0, para n ≠ 0 para um

sistema sem memória.

– Nesse caso, a resposta ao impulso tem forma:

– Sendo k = h[0], a convolução se reduz a:

• Se o sistema tem uma resposta ao impulso h[n] ≠ 0 para n ≠ 0, então o sistema tem memória.– Exemplo: y[n] = x[n] + x[n-1]

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Propriedades de sistemas LIT


][h[n] nk

][y[n] nkx

contrário caso 0,

h[n]

0,1n 1,

][][ y[n] knhkxk

• Sistema LIT com e sem memória– O mesmo é válido para um sistema contínuo.

– Note que se k = 1, e se tornam sistemas identidades, com saída igual a entrada e com a resposta ao impulso unitário, igual ao impulso unitário.

– Nesse caso x[n] = x[n] * δ[n] e x(t) = x(t) * δ(t).

– Que se reduzem às propriedades seletivas dos impulsos unitários:

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][h[n] nk )(h(t) tk

][][x[n] knkxk

dtx

)()(x(t)

• Sistema LIT invertíveis

– Ou seja, a condição h(t)*h1(t) = δ(t) deve ser respeitada;

– Assim como h[n]*h1[n] = δ[n]

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• Exemplo:

– Considere y(t) = x(t-t0)

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• Exemplo:

– Prove que h[n] = u[n] tem um sistema inverso dado por y[n] = x[n]-x[n-1]

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• Causalidade dos sistemas LIT– Depende apenas de valores presentes e passados

– Da convolução

– Vemos que para que um sistema seja causal, y[n] não deve depender de x[k] para k > n. Para que isso ocorra todos os h[n-k] que multiplicam valores de x[k] para k > n devem ser nulos.

– Isso leva a condição h[n] = 0, para n < 0, ou seja, a resposta ao impulso de um sistema LIT causal deve ser nula antes que o impulso ocorra.

– Logo, para um sistema LTI causal:



k

knhkx ][][y[n]

n

k

knhkx ][][y[n]

0

][][y[n]k

knxkhOu, de modo semelhante

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• Causalidade dos sistemas LIT

– Para o contínuo, de modo semelhante:

– Conclusão: de maneira geral, quando um sistema tem valores iguais a zero para n < 0 ou t < 0, esse sistema é causal.



0)()()()(y(t) dtxhdthx

t

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• Estabilidade para um sistema LIT

– Lembrete: Toda entrada limitada produz uma saída limitada.

– O que, a partir da convolução temos uma expressão para o módulo da saída:

– E considerando |x[n]| < B para todo n e usando o fato que:

– Logo, para um sistema estável temos:



k

knxkh ][][y[n]

k

knxkh ][][y[n]

??

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– Lembrete: Toda entrada limitada produz uma saída limitada.

– O que, a partir da convolução temos uma expressão para o módulo da saída:

– E considerando |x[n]| < B para todo n e usando o fato que:

– Logo, para um sistema estável temos:



k

knxkh ][][y[n]

k

knxkh ][][y[n]

k

kh ][Condição necessária e suficiente

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– Para o tempo contínuo, o mesmo raciocínio é válido:



• Exemplo: O acumulador é estável??

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n

k

kxny ][][

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• A resposta ao degrau unitário de um sistema LIT

– Vimos que a resposta ao impulso h[n] e h(t):• Caracteriza o sistema LIT completamente;

• Pode ser relacionada as propriedades do sistema, (ex. estabilidade, causalidade).

– A resposta ao degrau também pode ser importante:• s[n] = u[n]*h[n];

• s[n] pode ser vista como a resposta à entrada h[n] de um sistema LIT com reposta ao impulso unitário = u[n];

• Levando ao acumulador...



• Chegamos que:

– A resposta ao degrau de um sistema LIT é a soma cumulativa de sua resposta ao impulso.

• Levando a:

– Inversamente, a resposta ao impulso de um sistema LIT de tempo discreto é a diferença de primeira ordem de sua resposta ao degrau.

• Concluindo: A resposta ao degrau unitário também pode ser usada para caracterizar um sistema LIT, já que podemos calcular a resposta ao impulso unitário a partir dela.

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n

k

khns ][][

]1[][][ nsnsnh



• O mesmo raciocínio vale para o tempo contínuo:

– s(t) = u(t) * h(t)

• Igual a resposta do integrador [com resposta ao impulso = u(t)] à entrada h(t);

– A resposta ao impulso é a primeira derivada da resposta ao degrau:

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