1

UFBA- VESTIBULAR 2002- 2ª ETAPA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA

Por: Profa. Maria Antônia Gouveia.

QUESTÃO 11.

Considerando-se as funções f:R→R e g:R→R definidas pelas equações

f(x) = 7x2x2x 2+− e g(x) = x³+2x²+4x, é correto afirmar:

(01). O gráfico g intercepta o eixo das abscissas em dois pontos.

(02). O valor de f

2

1 é igual a 4.

(04). Se x ≤ 0 ou x ≥ 1, então f(x) = 2x²+5x. (08). A equação f(x) = g(x) tem uma única solução negativa. (16). Existe x < 0 tal que g(x) > 0. RESOLUÇÃO: (01). FALSA. Para verificar em quantos pontos o gráfico de g(x) = x³+2x²+4x intercepta o eixo das abscissas podemos encontrar a resposta analiticamente. Fazemos g(x) = x³+2x²+4x igual a zero e resolvemos a equação determinada: x³+2x²+4x=0 ⇒ x( x²+2x+4 )=0 ⇒ x = 0 ou x²+2x+4 = 0. Nesta última equação ∆ =4 – 16=-4 < 0. Então das raízes de g(x) uma única é real que é x =0. Afirmativa falsa. (02). VERDADEIRA.

Sendo f(x) = 7x2x2x 2+− , então f

2

1=

42

7

2

1

2

7

4

12

2

7

2

1

4

12

2

17

2

1

2

12

2

=+=+−×=+−×=×+−

× .

A afirmativa é verdadeira. (04). VERDADEIRA.

f(x) = 7x2x2x 2+−

Fazendo o estudo da variação do sinal da expressão 2x²-2x, teremos que suas raízes são 0 e 1. Analisando o resultado ao lado vemos que a expressão 2x²-2x é positiva para x ≤ 0 ou, x ≥ 1. Assim para os valores de x neste intervalo. f(x) = 2x²-2x +7x ⇒ f(x) = 2x² + 5x. Então a informação é verdadeira.

0 1

+ − +

2

(08). VERDADEIRA.

Fazendo f(x) = g(x) temos 7x2x2x 2+− = x³+2x²+4x ⇒ 2x2x 2

− = x³+2x²-3x.

Esta equação somente terá solução se o seu segundo membro for maior ou igual a zero. Vejamos então em primeiro lugar, onde este fato acontece. Primeiro achemos as raízes de x³+2x²-3x. x(x²+2x-3)=0. Suas raízes são –3, 0 e 1. Fazendo o estudo da variação do seu sinal de acordo com a

tabela ao lado vemos que a equação 2x2x 2− = x³+2x²-

3x somente terá solução no intervalo [-3,0] ∪ [1,+∞[

−3 0 1

− − + + x + − − + x²+2x-3

− + − + x(x²+2x-3)

• No intervalo x ≤ 0 ou x ≥ 1 já vimos que (2x² - 2x) assume sempre valores positivos, então: 2x² - 2x = x³+2x²-3x ⇒ x³-x = 0 ⇒ x(x2-1) =0 ⇒ x =0, x = ±1 (estes valores pertencem ao intervalo [-3,0] ∪ [1,+∞[).⇒ S1={-1,0,1}. (16). FALSA. Existe x <0, tal que g(x) > 0? Para responder a esta questão façamos o estudo analítico da questão:

Temos: x(x²+2x+4) >0 Como o polinômio : x²+2x+4 não tem raízes reais e o coeficiente a de x² é maior que zero, ele só assume valores positivos a solução da inequação x(x²+2x+4) >0 é R+.

14 QUESTÃO 12

Sendo as funções f: R →R *+ e g: R *

+ →R definidas pelas equações f(x) = 42

3 +− x

e g(x) = log x3

1 , é correto afirmar:

(01). A função f é crescente em todo o seu domínio. (02) A função g é a inversa da função f. (04) O valor máximo da função f é 81.

(08).A função g satisfaz a equação g(3x) = g(x) –1, para todo x > 0.

(16). O conjunto solução da inequação g(f(x)) ≤ 0 é o intervalo [-2,2].

(32). A figura ao lado representa um esboço do gráfico da função h, definida por

h(x) = ( )xg , para x ∈R*.

3

RESOLUÇÃO:

(01). FALSA.

O expoente da função f(x) = 3-x²+4 é a função do segundo grau y = -x² +4, cujas raízes são –2 e 2 que atinge seu valor máximo para x = 0. Para x > 0 o expoente (-x²+4) é drescente e conseqüentemente 3-x²+4 também decresce.

(02). FALSA.

Sendo o expoente da função f(x) = 42

3 +− x é uma função não injetora ⇒ f(x) = 42

3 +− x também o é ⇒ Não tem inversa.

(04). VERDADEIRA.

A função f(x) = 42

3 +− x ,como 3 > 1,atinge o seu valor máximo quando o seu expoente (-x²+4) também atingir o seu valor máximo.; o que acontece para x = 0. Logo o valor máximo de

f(x) = 42

3 +− x será f(0) = 30+4 = 81.

(08). VERDADEIRA

Como g(x) = log x3

1 , ⇒ g(3x) = log 3x3

1 = log 33

1 + log x3

1 ⇒ log x3

1 -1= g(x) - 1

4

(16). VERDADEIRA.

g(f(x)) ≤ 0 ⇒ log ( )4

3

1

2

3 +− X ≤ 0 ⇒ log ( )4

3

1

2

3 +− X ≤ log

0

3

1 3

1

. Como a função é decrescente temos·

3-x²+4 ≥ 1 ⇒ -x²+4 ≥ 0 ⇒

S = ]-2,2{

(32) VERDADEIRA.

g(x) g ( )x ( )xg

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

g(x)

60

QUESTÃO 13

Considerando-se p(x) = xxx 922 23−+ e q(x) um polinômio qualquer de grau 3 ,

pode-se afirmar: (01). Existem a,b,c ∈R, tais que p(x) = (a+1)x3+(b-2)x2+(a+b+c)x+a-c, para qualquer x ∈R. (02). O grau do polinômio p(x) + q(x) é igual a 3. (04). O número de raízes reais distintas do polinômio p(x).q(x) é, no mínimo, 3 e, no máximo, 6. (08). Se q(0) ≠ 0, então p(x).q(x) tem pelo menos 4 raízes reais e distintas. (16). Se o número complexo m + ni é raiz do polinômio p(x).q(x). com m,n ∈ R e n ≠ 0, então m - ni é raiz de q(x).

-2 2 + - -

5

RESOLUÇÃO: (01) FALSA.

Sendo p(x) = xxx 922 23−+ e p(x) = (a+1)x3+(b-2)x2+(a+b+c)x+a-c⇒

=⇒=−

−−⇒−−−−=⇒−−−=

+=

=

⇒

=−

−=++

=−

=+

101

21222199

22

1

0

9

22

21

cc

cbac

b

a

ca

cba

b

a

Falsa. Porque existem dois valores diferentes de c que não satisfazem o sistema ao mesmo tempo. (02). FALSA. Porque o termo de grau 3 em q(x) pode ser –2x³ e o polinômio soma não terá o termo em x³ . (04). VERDADEIRA.

As raízes de p(x) = xxx 922 23−+ ⇒ x(2x²+ 2 x-9)=0 ⇒ x = 0 ou 2x²+ 2 x-9 =0

∆= 2-4.2.(-9)= 2+72=74 ⇒ x=4

742 ±−⇒ x1 = 0, x2 =

4

742 −− e x3 =

4

742 +−.

P(x) tem então 3 raízes reais. De q(x) sabemos apenas que é um polinômio de grau 3. Se q(x) for idêntico a p(x) eles possuirão as mesmas raízes.Caso não sejam idênticos podem ter uma raiz, duas ou todas as raízes diferentes. Logo o polinômio p(x).q(x) tem no mínimo 3 raízes reais distintas e no máximo 6. (08). FALSA. Se q(0) ≠0, então pode ocorrer que ele tenha apenas uma raiz real não nula, e que esta raiz seja uma das de p(x). (16). VERDADEIRA. As raízes de p(x) são todas reais. Logo se p(x).q(x) tem m+ni como raiz é porque este valor é raiz de q(x) que terá então m-ni como raiz.

20

QUESTÃO 14

Considere-se as matrizes A =

( )

−

−−2

2

2

3

116log

23! e B =

− senxcosx

cosxsenx é correto

afirmar: (01). O determinante da matriz A é um número maior que 50. (02). A matriz B é inversível, qualquer que seja x ∈R. (04). Existe x ∈ R, tal que o determinante da matriz A×B é menor que 36.

(08). A matriz B é simétrica, se e somente se x = 2

π+ kπ para qualquer k ∈Z.

(16). A matriz B é diagonal, se e somente se 1senx ±= .

6

RESOLUÇÃO:

(01). FALSA.

Det(A) = ( )

2

2

2

3

116log

2!3−

−

−=

94

26 = ( 54 – 8) = 46 < 50

(02). VERDADEIRA.

Det(B) = ( ) 1xcosxsensenxcosx

cosxsenx 22=+=

−≠ 0 ⇒ a matriz B é inversível para qualquer valor real de x.

(04). FALSA.

det(A.B) = detA × det B = 46×1 = 46 > 36.

(08). VERDADEIRA.

Se x = 2

π+ kπ ⇒ 1senx ±= e 0cosx = ⇒ B é uma matriz simétrica.

(16). VERDADEIRA.

Se 1senx ±= ⇒ 0cosx = ⇒ B =

10

01 ou B =

−

−

10

01.

26

7

QUESTÃO 15

Na figura ao lado, o polígono MNPQ é um quadrado,

M = (0,1), a diagonal do quadrado mede 24 u.c., e a reta que contém os pontos M e N faz um ângulo de 30o com o eixo das abscissas.

Nessas condições, é correto afirmar:

(01). A soma das coordenadas do ponto N é 7+ 3 .

(02). Sendo S o ponto de interseção do segmento QP com o eixo das ordenadas, então o comprimento de QS é

4 2 u.c..

(04). O simétrico de MNPQ, em relação ao eixo das abscissas, intercepta esse eixo em dois pontos.

(08). O ponto N’= (0,5) é um dos vértices do polígono obtido,. A partir de MNPQ, pela rotação de 60o, em torno do ponto M, no sentido anti-horário.

(16). A circunferência de centro M e raio medindo 4u.c. intercepta o polígono MNPQ em exatamente dois pontos.

RESOLUÇÃO:

(01). FALSA.

A diagonal do quadrado MNPQ mede 24 = l 2 ⇒

l = 4.

A abscissa de N é xN = 4 cos30° = 2 3 .

A ordenada de N é yN = 1 + 4 sen30° = 1 + 4

2

1= 3.

Logo a soma de suas coordenadas é 2 3 + 3.

Como os triângulos retângulos ABN e AOM são semelhantes e sendo a razão de semelhança igual a

32

6

AM

AN== , temos BN = 3, AB =3 3 ⇒ OB =

3 3 - 3 = 2 3 . ⇒ N = (2 3 ,3). Logo a soma das

coordenadas de N é 2 3 +3.

8

9

(02). FALSA.

No triângulo SQM, a medida do ângulo QMS é 30° ⇒ QS = QM × tg 30° = 4 × 3

3 =

3

34 .

(04). FALSA.

Basta verificar os simétricos dos pontos N e M em relação ao eixo das abscissas que são respectivamente N”=

(2 3 ,-3) e M”= (0,-1).

(08). VERDADEIRA.

Conforme a figura ao lado, o polígono MN´P´Q´é o resultante, da rotação de 60° em torno do ponto M, no sentido anti-horário, do polígono MNPQ.

ON´= 1+4 = 5 ⇒ N´= ( 0,5)

(16). VERDADEIRA.

Traçando a circunferência de centro M e raio 4

Vemos que interceptará o quadrado MNPQ nos pontos N e Q.

24

10

QUESTÃO 16.

Considerando-se as funções f:

−

2

π,

2

π → ]-1,1[ e g:

−

2

π,

2

π→ R definidas por

f(x) = sen2x e g(x) = tg x ,é correto afirmar:

(01). Se g(b) = - 4

3, então

5

4cosb = .

(02). A função h, definida por h(x) = f(x).g(x), é par.

(04). Existe uma solução da equação cosxg(x)

f(x)= que pertence ao intervalo

−

4

π,

4

π.

(08). A função f admite inversa.

(16). A função é crescente.

(32). As funções f e g satisfazem a equação [ ][ ]

11)2(

1)( 2

2=

++

xgxf para todo

x ∈

−

4

π,

4

π.

RESOLUÇÃO:

(01). VERDADEIRA.

Sendo g(b) = - 4

3 ⇒ tg(b) = -

4

3. Considerando o

triângulo retângulo ao lado e sendo c , um dos seus ângulos agudos a redução de b ao primeiro quadrante, podemos a partir do triângulo encontrar todas as linhas trigonométricas de b que é um ângulo do quarto quadrante.

Sendo o domínio de g(x) o intervalo

−

2

π,

2

πe

tg b< 0 ⇒ b ∈

− 0,

2

π, ( quarto quadrante) ⇒

cos b > 0 ⇒

Cos b = 5

4

Como tg c = 4

3 ⇒ Considerando o triângulo retângulo de

ângulo c , cateto oposto a c medindo 3 e o cateto adjacente medindo 4, termos a hipotenusa medindo 5. Assim

sen c = 5

3 cos c =

5

4

11

(02). VERDADEIRA.

Sendo h(x) = f(x) . g(x) ⇒ h(x) = sen2x × tg x ⇒ h(-x) = sen(-2x)×tg(-x)= -sen(2x) × [-tg(x)] = sen2x × tg x ⇒ h(x) = h(-x) ⇒ a função h é par.

(04). FALSA.

cosxg(x)

f(x)= . O domínio desta equação é aquele para o qual g(x) ≠ 0, ou seja, x ≠ kπ.

cosxtgx

sen2x= ⇒ sen2x = tgx cosx ⇒ sen2x = x

x

xcos

cos

sen× ⇒ sen2x = senx ⇒

2senx cosx – senx =0 ⇒ senx =0 ou cosx = 2

1⇒

+±=

=

2kπ3

πx

ou kπx

⇒

...4

π,

4

ππx1k

4

π,

4

π

3

πou x 0) tgx porque satisfaz não que ( 0x 0k

−∉=⇒=

−∉=≠=⇒=

I) 2x=x + 2kπ ⇒ x = 2kπ ( valor para o qual g(x) = 0

(08). FALSA.

Observando o gráfico ao lado vemos que

f(x) = sen 2x não é injetora no intervalo do seu domínio,logo não é bijetora e por isso não tem inversa.

.1,570796..2

π≅±

(16).FALSA.

Ainda observando o gráfico acima vemos que f não é crescente nem decrescente.

Logo a afirmativa é falsa.

(32). VERDADEIRA.

[ ][ ]

11)2(

1)( 2

2=

++

xgxf ⇒ sen²2x + 1

12xtg

12

=+

⇒ sen²2x +2xsec

12

⇒ sen²2x + cos²2x=1

35

12

QUESTÃO 17.

Cada um dos gráficos a seguir representa a distribuição de freqüência das idades dos 50 funcionários de uma empresa, sendo 10 do Setor Administrativo e 40 do Setor de Produção.

De acordo com as informações acima, é correto afirmar:

(01). A média das idades, no Setor Administrativo, é igual a 22 anos.

(02). O desvio-padrão das idades, no Setor Administrativo, é igual a 5

52 anos.

(04). A mediana das idades, no Setor de Produção, é maior que 23 anos.

(08). A empresa possui exatamente 36% de funcionários com idade igual ou superior a 24 anos.

(16). A probabilidade de que um funcionário da empresa, escolhido ao acaso, tenha 22 anos de idade é igual

a 10

3.

(32). A probabilidade de que um funcionário da empresa, escolhido ao acaso, tenha 25 anos de idade ou

seja do Setor Administrativo é igual a 50

17

13

RESOLUÇÃO:

(01). VERDADEIRA.

Representando a média aritmética por xo teremos: xo = 2210

220

10

24235.2221.3==

+++

(02). VERDADEIRA.

SETOR DADMINISTRATIVO

DISTRIBUIÇÃCO DE FREQUÊNCIA

IDADE f fa xo-xi f(xo-xi)²

21 3 3 22-21=1 3

22 5 8 22-22=0 0

23 1 9 22-23=-1 1

24 1 10 22-24=-2 4

Cálculo da variância: V = n

)xf(x4

1i

2io∑

=

−

= 5

4

10

8=

Cálculo do desvio –padrão: d = 5

52

5

4V ==

(04). FALSA.

SETOR DE PRODUÇÃO

DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA

IDADE f fa

21 8 8

22 5 13

23 10 23

24 10 33

25 7 40

14

No setor de produção existem 40 funcionários. Não há um indivíduo mediano. Como 5,202

140=

+ ⇒ a

mediana será a média aritmética entre as idades dos 20º e 21º indivíduos.

Md = 232

2323=

+

(08). VERDADEIRA.

A –Número de funcionários com idade igual ou superior a 24 anos : 18.

B – Total de funcionários da empresa; 50.

36,050

18

B

A== ⇒ 36%

(16). FALSA.

A – Número de funcionários com 22 anos: 10.

B – Total de funcionários da empresa: 50.

Calculo da probabilidade pedida: 10

2

50

10

B

A==

(32). VERDADEIRA.

A – Número de funcionários com 25 anos: 7.

B – Número de funcionários do Setor Administrativo: 10

C – Total de funcionários: 50

n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B) = 7 + 10 – 0 = 17.

Cálculo da probabilidade: 50

17

C

B)n(A=

∩

43

15

QUESTÃO 18.

Um carro que custa R$ 30.000,00 pode ser adquirido em duas concessionárias nas seguintes condições:

Concessionária A: 50% de entrada e o restante ao final de 2 meses, com juros compostos de 10% ao mês.

Concessionária B: R$ 10.000,00 de entrada e uma parcela de R$ 24.000,00 ao final de 2 meses.

De acordo com as informações acima, pode-se afirmar:

(01). O valor da parcela a ser paga à concessionária A, ao final de 2 meses, será igual a R$ 18.150,00

(02). O valor dos juros do financiamento, na proposta da concessionária A, corresponde a 10% do preço do carro.

(04). A taxa de juros compostos cobrada pela concessionária B é de 10% ao mês.

(08). O valor financiado, na proposta da concessionária B, corresponde a 3

2 do preço do carro.

(16). O pagamento à vista, com 1% de desconto, será mais vantajoso para o comprador do que o financiamento proposto pela concessionária A, se a maior taxa de juros compostos que ele conseguir para aplicar seu dinheiro for de 10% ao mês.

RESOLUÇÃO:

(01). VERDADEIRA.

Concessionária A

Entrada: 0,5 × R$ 30.000,00= R$ 15.000,00

Quantia a ser financiada: R$15.000,00

Valor da prestação ao fim de dois meses sob regime de juros compostos:

(1+0,1)2 × 15.000 = 18.150.

(02). FALSA.

Valor dos juros do financiamento na concessionária A: 18.150 – 15.000= 3.150.

Valor do carro: 30.000.

0,105000.30

150.3

V

j== ⇒ 10,5% ≠ 10%

16

(04). FALSA.

Concessionária B

Entrada: R$ 10.000,00

Valor financiado R$ 20.000,00.

Parcela a ser paga sob regime de juros compostos ao final de 2 meses: R$ 24.000,00.

1,1² × 20.000 = 24.200 ≠ 24.000

(08). VERDADEIRA.

3

2

000.30

000.20=

(16). VERDADEIRA.

Pagamento à vista com desconto de 1% : corresponde a 0,99×30.000 = 29.700

Com desconto pagará em valor atual 10.000+ 2970029.834,7119834,71000.101,1

000.242

>=+=

O pagamento à vista é então mais vantajoso.

25

QUESTÕES 19 e 20.

INSTRUÇÃO: Efetue os cálculos necessários e marque o resultado na Folha de Respostas.

QUESTÃO 19.

Uma empresa de publicidade dispõe de 5 modelos femininos e 4 masculinos.Determine o número total de grupos formados por 3 modelos, havendo pelo menos um modelo do sexo feminino em cada grupo.

RESOLUÇÃO:

Como os grupos serão formados por 3 modelos, havendo pelo menos um modelo do sexo feminino em cada grupo, e a ordem não é importante então o cálculo do número total dos possíveis grupos será calculado por Combinação:

Os grupos

I) 1F + 2M → 24

15 CC ×

II) 2F + 1M → 14

25 CC ×

III) 3F → 35C

Número total de grupos =

80104030123

345

12

454

12

345CCCCC 3

514

25

24

15 =++=

××

××+

×

××+

×

××=+×+×

Resposta: 80 grupos.

17

QUESTÃO 20.

No plano cartesiano, considere os pontos A = (7,-1), B = (-1.3) e C = (c1,c2),com c1 > 0.

Sabendo-se que C pertence à mediatriz do segmento AB e que a distância de C ao ponto médio do segmento AB é

igual a 45 , determine c1+c2.

RESOLUÇÃO:

Chamemos de M o ponto médio do segmento AB . M = ( )1,32

2,

2

6

2

yy,

2

xx BABA =

=

++. O

coeficiente da mediatriz relativa a AB é 28

4

xx

yy1

BA

BA =

−−=

−

−−

−

. Assim a forma reduzida da equação

da mediatriz é y = 2x + b. Como o ponto M = (3,1) pertence à mediatriz ⇒

1 = 6 + b ⇒ b = -5 ⇒ y = 2x – 5.

O ponto C = (c1,c2), pertence a esta reta e a sua distância ao ponto M é 45 ⇒

( ) ( ) ( )

=−

=−++−−⇒

=−

=−+−

21

211

21

21

22

21

c52c

4562c96cc

c52c

451c3c

7ce6c0c035c4563c424c96cc 2e112

112

112

1 ==⇒=−⇒=+−++−

Logo c1+c2 = 6 + 7 = 13.

RESPOSTA: 13.

QUESTÃO DISCURSIVA.

Na circunferência ao lado, o centro O pertence ao segmento AC, o raio mede

2 u.c., e o ângulo AÔB, 3

2πrd.

Nessas condições, calcule:

a) o comprimento do segmento BC;

b) a área do triângulo AOB;

c) o volume do sólido de revolução obtido ao girar-se o triângulo AOB em torno da reta que contém o segmento AC.

18

RESOLUÇÃO:

a) O ângulo BÔC mede 3

2π=120°

No triângulo retângulo BOC , BO =2 cm.

BC = BO× sen60° ⇒ BC = 2 × 2

3= 3

Resposta: O comprimento do segmento BC é 3 cm.

b) A área do triângulo AOB pode ser calculada por meio da fórmula S

= )sen(AÔBBOAO2

1×××

S = 32

322

2

1=××× .

Resposta: A área do triângulo AOB é 3 cm².

c) O sólido de revolução obtido ao se girar o triângulo AOB em torno do lado AO está representado ao lado. Ele

é um cone eqüilátero de raio 3 cm. e altura AC. Como OC é o apótema da seção meridiana do cone então sua medida é a metade do raio, ou seja, 1 cm. Assim a medida de AC = (2+1) cm = 3 cm. Esse cone apresenta a partir de sua base uma cavidade em forma de um cone cujo altura OC mede 1 cm e cujo raio

BC mede 3 cm. O volume do sólido será então o volume do cone menos o volume da cavidade:

( ) ( )2ππ3π

3

13π

3

33π22

=−=×

−×

.

Resposta: O volume do sólido gerado é de 2πcm³ A ilustração desta questão foi feita por Hernani Borges.