UFES Teoria dos Grafos Alguns conceitos de Teoria dos Grafos para Fluxo em Redes Maria Claudia Silva...

UFESTeoria dos Grafos

Alguns conceitos de Teoria dos Grafos para Fluxo em Redes

Maria Claudia Silva [email protected]

Mestrado em Informática


Motivação

• Definições e terminologias usadas em diferentes formulações e algoritmos de fluxo em redes


Discutiremos...

• Definições e terminologias de Teoria dos Grafos para fluxo em redes

• Estruturas de Dados para representação de Redes

• Transformações de modelos de problemas de fluxo em redes

UFESCC/EC/Mestrado Teoria dos Grafos

Conceitos Básicos

• O que é um grafo?G=(V, E)

V = {v1, ..., vn} E = {e1, ..., em}

vértices arestas

ek = {vi,vj}, k = 1,...,m, i,j = 1,..., n

vi e vj são ditos extremos de ek


ExemploG = (V, E)

V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,c},{b,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e4, e5, e7, e9}

a

e

b c

d

G = (V, E)

V = {a,b,c,d,e}E = {{a,b},{a,c},{b,b},{b,c},{b,d},{c,d},{c,d},{c,d},{c,e}} = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9}

Grafo simples

Multigrafo

e1 e2

e3

e4

e5

e6 e7e8

e9


Conceitos

• Uma aresta do tipo {vi,vi} é denominada laço. – A aresta e3 do exemplo anterior é um laço.

• Arestas que possuem os mesmos vértices extremos são ditas paralelas.– As arestas e6, e7 e e8 do exemplo anterior são

paralelas.• Um grafo que possui arestas paralelas é

denominado multigrafo.• Um grafo sem laços nem arestas paralelas é

denominado grafo simples.


Conceitos

• Os extremos de uma aresta são ditos incidentes com a aresta, e vice-versa.

u v

e

u e v são incidentes a e e é incidente a u e a v


Conceitos

• Dois vértices que são incidentes a uma mesma aresta são ditos adjacentes.

• Duas arestas que são incidentes a um mesmo vértice são ditas adjacentes.

u v

eu e v são adjacentes

e1 e e2 são adjacentes

ue2

e1


Observação

O conceito de incidência ou adjacência

é importante para a representação

da estrutura de um grafo como um diagrama


Conceitos

• O número de vértices de um grafo G é denotado por n = |V|. O valor n também é conhecido como ordem de G

• O número de arestas de um grafo é denotado por m = |E|

• Se n e m são finitos, o grafo é finito. Caso contrário é dito infinito.– Exemplo de grafo infinito: malhas


Conceitos

• O número de arestas incidentes a um vértice v é denominado grau(v) e representado por d(v).

• Grau também é conhecido como valência.

a

e

b c

d

d(a) = 3d(b) = 5d(c) = 4d(d) = 2d(e) = 2


Conceitos• Vértice isolado é o vértice que não possui arestas

incidentes (grau nulo)• Vértice folha ou terminal é o vértice que possui grau

1• Vizinhos de um vértice são os vértices adjacentes a

ele.

b

a

cd

e

d é um vértice folha e e é um vértice isoladob e c são vizinhos de a


Conceitos

• Pares de vértices (ou de arestas) não adjacentes são denominadas independentes.

• Um conjunto de vértices (ou arestas) é independente se nenhum par de seus elementos é adjacente.


Exemplo

a

b c

d

f

ege10

e1 e2

e3

e4e5

e6e7

e8

e9

•e1 e e5 são independentes•a e d são independentes•{b,e,g} é um conjunto independente•{e1, e5 } é um conjunto independente


Teorema 1:

Seja G = (V,E) um grafo simples com n vértices e m arestas. Então

∑ d(v) = 2mv Є V

u v

e

Prova:

• A aresta e é incidente aos vértices v e w• É contabilizada no cômputo do grau de v etambém de w.


Corolário 1:

O número de vértices de grau ímpar, de um grafo G, é par.

Prova:V

VI VP

∑ d(v) = ∑ d(v) + ∑ d(v) = 2mv Є V v Є VI v Є VP

par par par

2010/2 Teoria dos Grafos UFES

Subgrafos Subgrafo: G' = (N', A') é um subgrafo de G = (N, A) se N' N e A'

A. Subgrafo induzido por N': G' = (N', A') é um subgrafo de G = (N,

A) induzido por N' se G' contém todos os arcos de G que ligam apenas os vértices de N'.

• Subgrafo gerador: o subgrafo G' = (N', A') de G = (N, A) é gerador se N' = N e A' A.


Percursos Percurso: é um subgrafo de G = (N, A) que consiste de vértices e

arcos em uma sequência i1 – a1 – i2 – a2 – i3 – a3 - … - ir-1 – ir, que satisfaz a seguinte propriedade:

k, 1 k r-1, ak = (ik, ik+1) Aou ak = (ik+1, ik) A.

Percurso direcionado: todos os arcos do percurso estão na mesma direção.

Percurso simples direcionado: étodos os arcos do percurso direcionado não se repetem, podendo haver repetição de vértices.

• Caminho: percurso simples sem repetição de vértices.

• Caminho direcionado: percurso simples direcionado sem repetição de vértices.


Percursos Ciclo: percurso simples e fechado (o nó inicial coincide com o final). Ciclo direcionado: ciclo orientado com todos os arcos na mesma

direção. Rede acíclica: um grafo é acíclico se não contém ciclo direcionado.


Conexidade Dois vértices estão conectados se existe um caminho entre eles. Um grafo é conexo se todo par de vértices é conectado. Caso contrário

é desconexo. Grafo simplesmente conexo ou s-conexo: todo par de vértices é

unido por ao menos um caminho no grafo correspondente não direcionado.

Grafo semi-fortemente conexo ou sf-conexo: em todo par de vértices do grafo, um deles é atingível a partir do outro (ou seja, entre eles existe um caminho em ao menos um dos dois sentidos possíveis)

Grafo fortemente conexo ou f-conexo: todo par de vértices é mutuamente atingível, ou seja, a todo par de vértices está associado um par de caminhos de sentidos opostos. Todo vértice é atingível a partir de um vértice dado e todo vértice atinge todo vértice dado


Exemplosa

d

b c

a

d

b c

a

b c

d


Níveis de Conexidade

s-conexo

f-conexo

sf-conexo


Componentes f-conexas

• Um grafo orientado qualquer pode ser particionado em componentes f-conexas maximais.

• Se um grafo orientado é f-conexo: a partição é o próprio conjunto de vértices do grafo.


Corte de arcos• Um corte é um conjunto de arcos que define uma partição do

conjunto de vértices [S, N-S], de maneira que cada arco pertencente ao corte possui um dos seus extremos em S e o outro em N-S.

• Um corte s-t é um corte [S, N-S] com respeito a dois vértices s e t do grafo, de maneira que s S e t N-S.


Árvores• Uma árvore é um grafo conexo sem ciclos.• Algumas propriedades:

– Uma árvore com n nós possui exatamente n-1 arcos– Cada par de vértices de uma árvore está conectado por

exatamente um único caminho– Uma árvore possui pelo menos 2 folhas (vértices de grau

1)• Uma floresta é um grafo sem ciclos.• Subárvore: um subgrafo conexo de uma árvore• Árvore enraizada: algum vértice da árvore é escolhido como raíz e

todos os outros vértices são “hierarquizados” de acordo com essa raíz


Árvores• Uma árvore out-tree direcionada enraizada no nó s é uma árvore

T na qual o único caminho entre s e cada vértice de T é um caminho direcionado.

• Uma árvore in-tree direcionada enraizada no nó s é uma árvore T na qual o único caminho entre cada vértice de T e s é um caminho direcionado.

• Árvore geradora: Uma árvore T é uma árvore geradora de G se T é subgrafo gerador de G e é uma árvore.

• Um grafo G é bipartido se o seu conjunto de vértices pode ser particionado em 2 conjuntos N1 e N2 de forma que cada arco de G possui um dos extremos em N1 e o outro em N2 e não há arcos que liguem vértices de uma mesma partição.

– Propriedade: Um grafo G é bipartido sss cada ciclo em G possui comprimento par.

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