Ufpr - Introdução a Cosmologia
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8/18/2019 Ufpr - Introdução a Cosmologia
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Cosmologia Básica
Laerte Sodré Jr.
April 15, 2009
Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica
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objetivos:
abordagem rápida da cosmologia, focando no modelocosmológico padrão
uma abordagem mais completa requeriria aulas sobre a Teoriada Relatividade Geral
veremos como interpretar e calcular algumas quantidadesimportantes
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Figure: A composição do universo no modelo ΛCDM.Laerte Sodré Jr. Cosmologia Básica
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O modelo de trabalho atual: ΛCDM
o universo é plano e dominado por energia escura e matériaescura fria (Cold Dark Matter )
a matéria bariônica constribui com apenas ∼4% do conteudode matéria e energia do universo
a constante cosmológica Λ é a forma mais simples de energiaescura
a energia escura é necessária para explicar a aceleração douniverso, descoberta a partir da observação de supernovasdistantes
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O modelo de trabalho atual: ΛCDM
a matéria escura fria (CDM) explica as galáxias e asestruturas em grandes escalas
CDM- principais propriedades:
ela é escura, não interage com os fótons ela só interage gravitacionalmente ela é não-bariônica ela é fria ela é estável
(algumas dessas propriedades podem ser relaxadas...)
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A Teoria da Gravitação
Teoria da Relatividade Geral (TRG) (Einstein, 1915)
Porquê a gravitação ? em grandes escalas é a gravitação que determina a dinâmica
dos objetos no universo apenas as interações gravitacionais e eletromagnéticas são de
longo alcance como a matéria é em média eletricamente neutra, em grandes
distâncias apenas a gravitação é cosmologicamente relevante
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A Teoria da Gravitação
TRG: matéria+energia determinam a geometria do ET equações de Einstein:
G µν = 8πG
c 4 T µν
G µν : tensor de Einstein- depende da geometria doespaço-tempo através de g µν , o tensor métrico
T µν : o tensor de energia-momentum- depende da distribuiçãode matéria+energia
lado esquerdo: depende apenas da geometria lado direito: distribuição de matéria+energia a distribuição de matéria e energia pode distorcer a geometria
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A Teoria da Gravitação
Figure: A matéria distorce o espaço-tempo, como neste exemplo de lente gravitacional.
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A Teoria da Gravitação
testes da TRG: sistema solar; pulsar binário; lentes gravitacionais mal testada no limite de campos fortes (como buracos negros)
ou muito fracos (halo das galáxias)
limitação da TRG: não incorpora efeitos quânticos incompleta em escalas menores que a escala de Planck:
r Pl =
Gh
c 3
1/2= 4.0× 10−33 cm.
ou antes do tempo de Planck:
t Pl =
Gh
c 5
1/2= 1.3× 10−43 s.
precisamos de uma teoria quântica da gravitação
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O Prinćıpio Cosmológico
em escalas suficientemente grandes o universo é homogêneo e
isotr´ opico
homogêneo: todos os lugares são equivalentes
isotrópico: todas as direções são equivalentes evidências:
em escalas muito grandes (centenas de Mpc), a distribuição degaláxias é bastante uniforme(a uniformidade aumenta com a escala)
homogeneidade da radiação cósmica de fundo:
as flutuações de temperatura têm uma amplitude muitopequena
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O Prinćıpio Cosmológico
Figure: Mapa com as flutuações de temperatura da radiação cósmica de fundo medida pelo satélite WMAP.Este mapa é notavelmente uniforme; a amplitude média das flutuações é ∼ 10−5.
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A cosmologia newtoniana
modelo cosmológico baseado na gravitação newtoniana
as equações que descrevem a dinâmica do universo são muito
parecidas com as da Cosmologia Relativ́ıstica modelo proposto por Milne e McCrea em 1934
problema: aparecem algumas dificuldades conceituais que nãosão comportadas pela f́ısica newtoniana
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A cosmologia newtoniana
vamos supor que o universo é ocupado por um fluido:o fluido cosmológico
as part́ıculas deste fluido seriam, por exemplo, as galáxias
esse fluido obedece ao Prinćıpio Cosmológico: deve estar emrepouso ou em expansão ou contração isotrópica - observamosa expansão
os observadores que estão localmente em repouso com ofluido, que o acompanham em sua expansão, são chamados deobservadores comóveis
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A cosmologia newtoniana
para que as leis de Newton sejam válidas, os referenciaisusados devem ser inerciais
suponha que nossa galáxia seja um referencial inercial
PC: todos os observadores que participam da expansão (osobservadores comóveis) têm a mesma visão do universo
Logo, todos os observadores comóveis são inerciais, emborapossam apresentar acelerações entre si!
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A cosmologia newtoniana
Cosmologia Newtoniana: o universo deve ser infinito, casocontrário o PC não seria válido (nos bordos, por exemplo)
mas em um universo infinito e isotrópico, qual é a direção daaceleração gravitacional g ?
lei de Gauss:a aceleração da gravidade produzida por uma região esféricahomogênea de massa M centrada num ponto O é
g = G
r 2 ρdV = GM
r 2
se g = 0 em todos os lugares, então ρ = 0: o único universoque satisfaz o PC é um universo completamente vazio!
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A cosmologia newtoniana
Regra de Birkhoff :a velocidade (radial) v de qualquer galáxia vista por umobservador em O a uma distância r depende apenas da
atração gravitacional das galáxias dentro da esfera de raio r centrada em O
não tem justificativa na teoria newtoniana, mas permite odesenvolvimento de uma cosmologia newtoniana...
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A cosmologia newtoniana
O fator de escala
galáxias A e B: num certo instante t 1 elas estão separadas poruma distância r 1 e, num outro instante t , a separação entreelas é r
fator de escala R (t ):
r =
R (t )
R (t 1) r1
mede as variações nas escalas produzidas pela expansão(ou contração) do universo.
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A cosmologia newtoniana
lei de Hubble:
v = d r
dt = r1
R (t 1)
dR (t )
dt = R (t )
R (t 1) r1
1
R (t )
dR (t )
dt
Sendo
H (t ) = 1
R (t )
dR (t )
dt =
Ṙ
R
temosv = H (t )r
nesta formulação, H não é constante, mas uma função dotempo: o parâmetro de Hubble
H mede a taxa de expansão no instante t t 0: idade do universo; H 0 = H (t 0) fator de escala normalizado em relação ao valor atual:
a(t ) = R (t )
R (t 0) a(t 0) = 1
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A cosmologia newtoniana
A densidade da matéria o fluido cosmológico é não-viscoso:
caracterizado pelo campo de velocidades v(r, t ) e pelasdistribuições de densidade, ρ(r, t ), e pressão, p (r, t )
homogeneidade em grande escala (PC): ρ(r, t ) e p (r, t ) devem
ser os mesmos para todos os observadores comóveis em umtempo t - ρ(r, t ) = ρ(t )- p (r, t ) = p (t )
na cosmologia newtoniana assumimos p (t ) = 0:os efeitos dinâmicos da pressão da matéria são muitopequenos hoje
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A cosmologia newtoniana
evolução da densidade de matéria com o tempo:devido à expansão comóvel, uma certa quantidade de matéria,M , que num instante t 0 ocupava uma esfera de raio r 0, numinstante t ocuparia uma esfera de raio r
ρ(t
0) = 3M
/4πr 3
0
ρ(t ) = 3M /4πr 3
ou ρ(t ) = ρ0[r 0/r (t )]3
ou, em termos do fator de escala:
ρ(t ) = ρ0
R 0
R
3= ρ0 a(t )
−3
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A cosmologia newtoniana
A equação de evolução do universo
regra de Birkhoff: a dinâmica de uma galáxia de massa m,observada a uma distância r de um observador comóvel numponto O , depende apenas da massa dentro da esfera de raio r centrada em O :
M (r ) =
4
3 πr 3
ρ força de atração gravitacional que essa massa exerce sobre a
galáxia:
F = mr̈ =
−
GmM (r )
r 2
=
−
4π
3
Gmρr
ou,
r̈ = −4πG ρr 3
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A cosmologia newtoniana
Introduzindo o fator de escala
r = R (t )
R 0r 0 = a(t )r 0
vem
r̈ = ä(t )r 0e temos que
ä = −4πG 3
ρa
nessa equação não aparece r : a dinâmica da expansão,descrita pelo fator de escala a(t ), é determinada apenas peladensidade de matéria ρ(t )(na cosmologia relativ́ıstica depende também da pressão)
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A cosmologia newtoniana
Conservação de energia e o futuro da expansão
a gravitação tende a desacelerar a expansão. Mas será a
gravitação suficientemente forte para interromper a expansãoe revertê-la?
newtonianamente, o universo é gravitacionalmente ligado?
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A cosmologia newtoniana
galáxia de massa m a uma distância r de O energia total dessa galáxia (que deve se conservar durante aexpansão):
E = 1
2
mv 2
− GMm
r
= constante
E 0: o universo não é gravitacionalmente ligado e a
expansão será perpétua E = 0: caso cŕıtico, onde a expansão diminuirá sempre mas
sem entrar numa fase de contração
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A cosmologia newtoniana
E = 0:v 2
2 =
GM
r ou
H 2r 2
2 =
G
r ρ0
4
3πr 3
ou
ρ = 3H 28πG
densidade cŕıtica ρc : a densidade que o universo deveria terpara que E = 0
ρc = 3H 208πG
= 1.88× 10−29h2g cm−3
onde h ≡ H 0/(100 km/s/Mpc) ρ0 > ρc , então E 0
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A cosmologia newtoniana
equação de conservação de energia:
E = 1
2mv 2 − GMm
r = constante
como v = (ȧ/a)r , M = 4πr 3ρ/3 e r = r 0 a,
ȧ2 = 8πG
3 ρ(t )a2 − K
onde K é uma constante
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A cosmologia newtoniana
resumo: equações básicas da cosmologia newtoniana:
ä = −4πG
3 ρa
ȧ2 = 8πG
3 ρ(t )a2 − K
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Cosmologia Relativ́ıstica
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Cosmologia Relativıstica
equações de Einstein: estabelecem uma relação entre ageometria do espaço-tempo e a distribuição de mat́eria eenergia
G µν = 8πG c 4 T µν
a geometria é caracterizada pelo tensor de Einstein, G µν , quedepende dos coeficientes da métrica e de suas derivadas atésegunda ordem
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Métrica e curvatura de superf́ıcies
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Metrica e curvatura de superfıcies
métrica de superf́ıcies bi-dimensionais
métrica: distância entre dois pontos vizinhos, num dadosistema de coordenadas
por exemplo, numa superf́ıcie plana
ds
2
= dx 2
+ dy 2
= dr 2
+ r 2
d φ2
= ...
(em coordenadas cartesianas, polares, ...)
coordenadas (x 1, x 2):
ds 2 =
ij g ij (x 1, x 2)dx i dx j
ds 2 não depende do sistema de coordenadas: é um invariante
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Métrica e curvatura de superf́ıcies
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Metrica e curvatura de superfıcies
coordenadas (x 1, x 2):
ds 2 =
ij
g ij (x 1, x 2)dx i dx j
g ij : são as componentes do chamado “tensor métrico”, quecaracteriza a geometria e depende da curvatura
superf́ıcie esférica de raio R : superf́ıcie de curvatura constantee positiva
coordenadas esféricas:
ds 2 = R 2d θ2 + R 2 sin2 θd φ2
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Métrica e curvatura de superf́ıcies
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Metrica e curvatura de superfıcies
superf́ıcie esférica de raio R : superf́ıcie de curvatura constantee positiva
coordenadas esféricas:
ds 2 = R 2d θ2 + R 2 sin2 θd φ2
sistema de coordenadas onde A = R sin θ:
ds 2
= dA2
1− A2R 2
+ A2
d φ2
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p
reescrevendo como
ds 2 = R 2
d σ2
1− k σ2 + σ2d φ2
vale para qualquer superf́ıcie de curvatura constante! k = 0: plano; k = +1: superf́ıcie esférica k = −1 superf́ıcie de curvatura constante negativa
não ”cabe” num espaço tri-dimensional, mas podemos
projetá-la sobre um plano
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Métrica e curvatura de superf́ıcies
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p
Figure: Superf́ıcies de curvatura nula, positiva e negativa.
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p
Figure: Obra de Escher, representando a projeção de uma superf́ıcie de curvatura negativa constante sobre umplano.
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A métrica de Robertson-Walker (MRW)
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( )
Teoria da Relatividade Restrita: métrica de Minkowski,
ds 2 = c 2dt 2 − (dx 2 + dy 2 + dz 2)
separação entre dois eventos (pontos no espaço-tempo, ET)próximos
TRG: distribuição arbitrária de matéria pode levar a umespaço de curvatura arbitrária
PC: espaços de curvatura constante
métrica de Robertson-Walker:
ds 2 = c 2dt 2 − R (t )2
d σ2
1− k σ2 + σ2(d θ2 + sin2 θd φ2)
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A métrica de Robertson-Walker
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MRW:
ds 2 = c 2dt 2 − R (t )2
d σ2
1− k σ2 + σ2(d θ2 + sin2 θd φ2)
t : tempo R (t ): fator de escala σ,θ,φ: coordenadas comóveis k : “sinal da curvatura” (-1, 0, +1)
R (t ) determina como a distância entre 2 observadores
comóveis varia com o tempo observadores comóveis: em repouso em um sistema de
coordenadas comóveis
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A métrica de Robertson-Walker
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Figure: Coordenadas comóveis.
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tempo próprio τ : ds ≡ cd τ observador comóvel:
d σ = d θ = d φ = 0 −→ ds = cdt −→ dt = d τ o tempo t é o tempo próprio dos observadores comóveis
TRG: as trajetórias das part́ıculas livres são geodésicas no ET
Geodésicas: linhas de comprimento ḿınimo (ou máximo)entre 2 eventos no ET
a luz segue “geodésicas nulas”, ds 2 = 0, enquanto que
part́ıculas com massa seguem trajetórias time-like : ds 2 > 0
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O desvio espectral
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desvio espectral observado no espectro das galáxias:uma medida direta da expansão do universo
coordenadas comóveis: observador O : na origem - (σG , θG , φG ) = (0, 0, 0) galáxia G : (σG , θG , φG ) = (σG , 0, 0)
t 0: o observador recebe um fóton que foi emitido por G notempo t
t 0 + ∆t 0: o observador recebe um outro fóton que foi emitido
por G no tempo t + ∆t
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O desvio espectral
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Figure: Linhas de mundo de fótons emitidos por uma galáxia G.
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O desvio espectral
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como a luz viaja por geodésicas nulas (ds 2 = 0):
c dt
R (t ) = d σ√ 1− k σ2
e, portanto,
σG
0
d σ
√ 1− k σ2 = c
t 0
t
dt
R (t ) para o segundo fóton emitido em t + ∆t e recebido em
t 0 + ∆t 0:
σG 0
d σ
√ 1− k σ2 = c t 0+∆t 0
t +∆t
dt
R (t ) .
logo, t 0t
dt
R (t ) =
t 0+∆t 0t +∆t
dt
R (t )
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O desvio espectral
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vamos supor que ∆t e ∆t 0 são muito menores que t e t 0:
∆t
R (t ) ∆t 0
R (t 0)
vamos associar a ∆t e ∆t 0
o peŕıodo da radiação emitida erecebida
os comprimentos de onda correspondentes sãoλe = c ∆t e λ0 = c ∆t 0
Então,
λ0λe
= R (t 0)R (t )
= R 0R
= 1a(t )
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O desvio espectral
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temosλ0λe
= R (t 0)
R (t ) =
R 0
R =
1
a(t )
desvio espectral:
z ≡ λ0 − λe λe
portanto,
a(z ) = R
R 0
= 1
1 + z
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O desvio espectral
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relação entre desvio espectral e fator de escala:
1 + z = 1
a
z depende apenas da razão entre os fatores de escala quandoa luz foi emitida e quando foi recebida e, portanto, é uma
medida de quanto o universo se expandiu desde que a luz foiemitidaEx.: z = 1 −→ a = 1/2 - as escalas no universo eram metadedo que são hoje
universo em expansão: R (t 0) > R (t ) (ou a 0 eλ0 > λe −→ a radiação sofre redshiftHoje (a = 1): z = 0Big-Bang (a = 0): z = ∞
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Equações de Friedmann - Lemâıtre (EFL)
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as equações de evolução do fator de escala que derivamos na
cosmologia newtoniana são, na forma, parecidas com a que seobtém das equações de campo da TRG, com a MRW
tensor de energia-momentum: depende da distribuição dematéria e energia (ρ(t ) e p (t ))
(note que na TRG p contribui para a energia!) Equações de Friedmann - Lemâıtre:
ȧ
a2
= 8πG
3 ρ− Kc
2
a2
ä
a = −4πG
3
ρ +
3p
c 2
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Equações de Friedmann - Lemâıtre
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Equações de Friedmann - Lemâıtre (EFL):
ȧ
a
2=
8πG
3 ρ− Kc
2
a2
ä
a = −4πG
3
ρ +
3p
c 2
K = k /R 20 dessas equações vem que:
d dt
(ρa3) = − p c 2
d dt
(a3)
EXERĆICIO: MOSTRAR ISSO
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A equação de estado
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relação entre a pressão e a densidade: p = p (ρ) com a relação
d
dt (ρa3) = − p
c 2d
dt (a3)
temos, por exemplo: matéria (“poeira”, p = 0): ρm ∝ a−3 radiação (p = ρr c
2/3): ρr ∝ a−4 vácuo: p = −ρv c 2, ρv = Λ/(4πG ) (pressão negativa) modelo simples para energia escura:
p = w ρc 2, com w constante
diferentes equações de estado −→ diferentes modelos ecomportamentos para a(t )
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A constante cosmológica
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universo onde, além de matéria e radiação (com densidade epressão ρ e p ), tem também a energia do vácuo (w =
−1)
ρ → ρ + ρv e p → p + p v com p v = −ρv c 2,
ȧ
a2
= 8πG
3 ρ− Kc
2
a2 +
Λ
3
eä
a = −4πG
3
ρ +
3p
c 2
+
Λ
3
onde
Λ ≡ 4πG ρv é a chamada constante cosmológica
note que, se p e ρ são positivos, não existe solução estáticadas EFL sem constante cosmológica
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A constante cosmológica
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proposta por Einstein (1919) para se obter uma soluçãoestática (isto é, independente do tempo)
a lei de Hubble só seria descoberta em 1929
Einstein: “o maior erro de sua vida” hoje é associada à “energia do vácuo” (equação de estado
com pressão negativa)
vácuo: o estado de menor energia de um certo campo f́ısico
é a “explicação ” mais simples para a “energia escura”
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A constante cosmológica
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mas w pode depender do desvio espectral z !
modelo simples:
w == w 0 + w a[1− a(z )] = w 0 + w az
1 + z ,
com w 0 e w a constantes
este tipo de modelo deverá ser testado nos surveys dospróximos anos
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Parâmetros cosmológicos
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parâmetro de Hubble:
H (t ) = ȧ
a
parâmetro de densidade:
Ω = ρ(t )
ρc (t )
onde
ρc (t ) = 3H 2
8πG
é a densidade cŕıtica
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Parâmetros cosmológicos
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Quando se tem várias espécies simultaneamente, pode-sedefinir um parâmetro de densidade para cada espécie,Ωi = ρi (t )/ρc (t )
Por exemplo, para os bárions:
Ωb = ρb (t )
ρc (t )
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Parâmetros cosmológicos
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parâmetro de densidade do vácuo (ou constante cosmológica):
Ωλ = Λ
3H 2
parâmetro de curvatura:
Ωk ≡ − kc 2H 2R 2
parâmetro de desaceleração:
q = − äaȧ2 = − äaH 2 todos esses parâmetros dependem do tempo
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Parâmetros cosmológicos
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valores atuais desses parâmetros, de acordo com a equipe doWMAP (Hinshaw et al. 2008; assumindo Ωk = 0): H 0 =70.1 km s
−1 Mpc−1
ρc ,0 = 1.88× 10−29
h2
g cm−3
= 9.2× 10−30
g cm−3
Ωm,0 = 0.28 Ωλ = 0.72 Ωb ,0 = 0.0462
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Dinâmica dos universos de Friedmann
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modelos de Friedmann: dominados pela matéria (ρ = ρm),com constante cosmológica e pressão nulas
nesse caso, q = Ω/2 (EXERĆICIO: MOSTRAR ISSO)
3 soluções posśıveis: se q > 12 ou Ω > 1, então k = +1
universo fechado e oscilante se q = 12 ou Ω = 1, então k = 0
universo aberto em expansão perpétua se q < 12 ou Ω < 1, então k = −1
universo aberto em expansão perpétua
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Dinâmica dos universos de Friedmann
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Figure: Evolução do fator de escala nos modelos de Friedmann: (i) k=-1; (ii) k=0; (iii) k=+1.
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O modelo de Einstein-de Sitter
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modelo cosmológico muito simples: universo “plano”, apenascom matéria: k = 0, Λ = 0, p = 0 ρ = ρm = ρ0a
−3
a primeira das EFL fica:ȧ
a
2=
8πG
3 ρ =
8πG
3 ρ0a
−3
esta equação é fácil de resolver e dá
a(t ) = (6πG ρ0)1/3 t 2/3
logo,
ρ(t ) = 1
6πGt 2
H (t ) = 2
3t
ρc (t ) = 3H 2
8πG =
1
6πGt 2 = ρ(t ) −→ Ω = 1
EXERĆICIO: verifique essas equações
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As 4 eras do Universo
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O paradigma cosmológico atual sugere que o universo passoupor 4 etapas distintas: o Big-Bang e a inflação a era da radiação a era da matéria a era da energia escura
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A inflação
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Big-Bang: t = 0 e a = 0 singularidade nas equações possivelmente vai requerer uma nova f́ısica (do tipo gravitação
quântica)
inflação : fase muito curta, de expansão muito rápida (exponencial) teria ocorrido logo após o Big-Bang, talvez logo após a quebra
espontânea de simetria da grande unificação t ∼ 10−34 s (num certo cenário)
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A inflação
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dinâmica do universo inflacionário: durante um breve intervalo de tempo o universo pode
ser considerado dominado pela energia do vácuo de um campoescalar (o inflaton), agindo como uma constante cosmológica
ρ ρI = cte ρr então,
ȧ2 ≈ 8πG 3
ρI a2
e, portanto,a
∝exp(H I t )
onde H I = (8πG ρI /3)1/2 (parâmetro de Hubble) é constante
EXERĆICIO: MOSTRAR ISSO
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A inflação
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o problema da ”planura” (flatness ): WMAP: o universo tem curvatura nula, Ω = 1 para se ter Ω entre 0.95 e 1.05 hoje, na época da
recombinação (z ∼ 103) se deveria ter Ω entre 0.99995e 1.000005, a menos que a curvatura seja estritamente nula(k = 0)
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A inflação
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a inflação produz um universo localmente plano
Figure: Esfera inflada por um fator 3 entre 2 imagens sucessivas
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o problema do horizonte a informação viaja no máximo à velocidade da luz:há uma distância limite a que se tem acesso causal:raio do horizonte (∼ ct )
radiação cósmica de fundo: notavelmente uniforme na época em que ela foi emitida (z
∼1000), o
tamanho do horizonte era muito menor que o universoobservável hoje
nem todo o universo observável estava dentro de uma regiãocausalmente conexa e, portanto, não seesperaria que os fótons da radiação de fundo vindo de regiões
diferentes do céu tivessem essencialmente amesma temperatura!
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A inflação
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”solução ”: com a inflação o horizonte também cresceexponencialmente e todo o universo observável hoje estaria
dentro de uma região causalmente conexa antes da inflação
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A inflação
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flutuações primordiais de densidade: a inflação produz flutuações quânticas que são amplificadas:
as amplitudes dessas flutuações são aproximadamenteindependente da escala
a gravidade amplifica estas flutuações , produzindo galáxias,aglomerados, etc.
este cenário ajusta bem as observações
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A era da radiação
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logo após o Big-Bang (e a inflação ) o universo éextremamente quente
sua dinâmica é regida pela radiação: p = ρc 2/3
nesse caso,
ρ ∝a−4
No expoente, 3 é devido à variação na densidade de fótons e 1é devido à variação da energia de cada fóton
considera-se que a radiação está em equiĺıbrio termodinâmico:
o espectro da radiação é planckiano e depende apenas datemperatura T
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A era da radiação
densidade de radiacão em erg cm−3:
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densidade de radiaçao, em erg cm :
u = aT 4 = 7.566×
10−15T 4 erg cm−3 K−4
em g cm−3:
ρ = 4σSB
c 3 T 4 = 8.4× 10−36T 4 g cm−3 K−4
logo, a temperatura varia com o fator de escala como:
T ∝ a−1
fator de escala:
ȧ2 8πG
3 ρa2
pois no começo do universo, a densidade é muito grande. Dáı,
a ∝ t 1/2
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A origem da matéria
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supõe-se que a matéria seja formada a partir do campo deradiação :interconversão de part́ıculas
pares de part́ıcula e antipart́ıcula de massa m estão emequiĺıbrio termodinâmico se kT >> mc 2:
p + p̄ 2γ
quando a temperatura cai abaixo de kT ∼ 2mc 2, o par se“desacopla” do campo de radiação : p e p̄ se aniquilam e aspart́ıculas que sobrevivem constituem as reĺıquias
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A nucleośıntese primordial e a abundância dos bárions
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abundâncias t́ıpicas (em massa) observadas no universo hoje:H: ∼75%; He ∼25%; o resto: ∼1%
abundância do hélio: ∼25% estrelas: a nucleośıntese estelar só pode converter ∼5% da
massa em He Gamow (anos 40)- nucleośıntese primordial: nucleośıntese do
He no começo do universo
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A nucleośıntese primordial
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depois da aniquilação sobra mais matéria que anti-matéria(porquê?)
p e n que sobram ficam em equiĺıbrio, via interações fracas:
p + e − n + ν
n + e + p + ν̄
a densidade relativa de p e n é dada pelo fator de Boltzmannbaseado na diferença de massa ∆m = mn −mp :
r = nn/np = exp(−∆mc 2/kT ) exp(−1.5× 1010K /T )
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os n livres são instáveis (tempo de decaimento = 890 s):
a razão pela qual os n existem é que estas interações fracasdesacoplam logo e a nucleośıntese primordial ocorre poucosminutos depois disso, de modo que a maior parte delestermina no núcleo de He e de outros elementos leves
série de reações nucleares: p e n se combinam para formar
núcleos atômicos mais pesados que o do 1H
têm o deutério D como intermedíario:
p + n D + γ
D + D 3He + n 3H + p
3H + D 4He + n
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deutério: pode ser formado via n + p −→ D é frágil: facilmente destrúıdo acima de ∼ 109K por
fotodissociação : D + γ −→ n + p mas abaixo de ∼ 109K o D pode sobreviver
abundância em massa do He prevista: Y 0.24 além do 4He e do D, na nucleośıntese primordial forma-se um
pouco de 3He, 7Li, 7Be
elementos mais pesados não se formam porque não há núcleosestáveis com massa atômica 5 e 8
quando t ∼ 3 min a nucleośıntese primordial termina
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Figure: Śıntese dos elementos leves no universo primordial.
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parâmetro η: número de bárions sobre o número de fótons
η ≡ np + nnnγ
densidade numérica de fótons para um corpo negro:
nγ = 2ζ (3)
π2
k B
c
3
T 3 20.2× T 3 cm−3
ζ (x ): função zeta de Riemann
dáı,η 2.74× 10−8(T /2.73K)−3Ωb h2
Ωb : parâmetro de densidade dos bárions
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A nucleośıntese primordial
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Figure: Abundância dos elementos leves produzidos na nucleośıntese primordial em função da abundância debárions (e de η).
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dos elementos leves formados na nucleośıntese primordial,qual é o melhor bariˆ ometro ? que isótopo é melhor para se determinar η? a abundância do 4He é pouco senśıvel a η
3
He: sua formação e destruição em estrelas é pouco conhecida a abundância do D parece ser a melhor opção pois apresenta
forte dependência com η, além dele não ser produzido emestrelas
7Li: apresenta um comportamento com η não-monotônico
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Estimativas de abundâncias primordiais deut́erio
observações no UV (Ly-α); espectroscopia de alta resolução isótopo frágil: só é destrúıdo: sua abundância deve decrescer
com o tempo
meio interestelar local: D /H = (1.32± 0.08)× 10−
5 nuvem protosolar (4.6 Ganos atrás):
D /H = (2.1± 0.5)× 10−5
linhas de absorção em quasares (produzidos em ”nuvensLy-α”)D /H = (2.6± 0.4)× 10−5 (Kirkman et al. 2003)
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Figure: Observação de uma linha do D no espectro do quasar 1937-1009.
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ĺıtioi i i d ” l d S i ”
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estimativas a partir do ”plateau de Spite”(Li/H vs metalicidade): 7Li /H = (2.6
±0.4)
×10−5
(em número; Ryan et al. 2000)
Figure: Abundância do Li (em massa) em função da metalicidade (abundância do Fe).
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Figure: Observações de uma linha do Li em 5 estrelas do aglomerado globular NGC6397, com modelossobrepostos.
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A nucleośıntese primordial
4He
b d HII
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observações de regiões HII
extrapolação de Y
em função da metalicidade Y p = 0.2429± 0.0009 (Izotov & Thuan 2004)
Figure: Relação entre a abundância do 4He com a metalicidade de regiões HII. A abundância do He foideterminada a partir da intensidade das linhas λλ4471, 5876 e 6678 Å do He I.
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abundância dos bárions, obtida pela determinaçãodas abundâncias dos elementos leves(Kneller & Steigman, 2004):
4He: Ωb h2 = 0.0103± 0.0025
D: Ωb h2 = 0.0221
±0.0025
7Li : Ωb h2 = 0.0118± 0.0016 se Ωb h
2 0.022 e h = 0.7, temos que Ωb 0.045 note que Ωm 0.3, ou seja, a maior parte da matéria é não
bariônica!
É a matéria escura.
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A era da matéria
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depois da era radiativa segue-se a era dominada pela matéria num universo dominado pela matéria:
p ∼ ρv 2 v é a velocidade t́ıpica das gaĺaxias v c −→ p ρc 2 e pode ser desprezado nas EFL
então,ρm ∝ a−3
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A época da recombinação
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Figure: Definição da época da igualdade.
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A época da recombinação
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durante a era radiativa, como o universo era muito quente, amatéria era ionizada
após o começo da era da matéria a temperatura cai abaixo dopotencial de ionização do hidrogênio e torna posśıvel aformação de átomos:
é a época da recombinação: z rec 1100 o universo, que era opaco aos fótons, fica transparente e a
matéria bariônica fica praticamente neutra
para z
∼10
−30 a “reionização ” ocorrerá, quando as
primeiras estrelas começarem a se formar
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A era da energia escura
observações de SNs tipo Ia distantes levaram à descoberta deque o universo está se acelerando (ä < 0)
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que o universo esta se acelerando (a
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modelo canonico : ΛCDM
um universo dominado por matéria escura fria com umaconstante cosmológica
com a equação de Friedmann
ȧa2
=
8πG
3 ρ− Kc 2
a2
é fácil verificar que num universo com matéria, radiação econstante cosmológica temos
Ωm + Ωr + Ωλ + Ωk = 1
EXERĆICIO: MOSTRE ISSO
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O modelo padrão: ΛCDM
seja H( ) H E ( )
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seja H (z ) = H 0E (z )
E (z ) caracteriza a dependência em redshift do parâmetro deHubble
vamos reescrever o parâmetro de densidade de cada espécie:
Ωm
= ρm
ρc =
8πG ρm
3H 2
Como ρm = ρm0(R 0/R )3 = ρm0(1 + z )
3 e H = H 0E (z ),temos:
Ωm = 8πG ρm0(1 + z )3
3H 20 E 2 = Ωm0(1 + z )
3
E (z )2
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O modelo padrão: ΛCDM
Analogamente,
Ω = Ωr 0(1 + z )
4
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Ωr =E (z )2
,
Ωλ = Ωλ0E (z )2
,
Ωk = Ωk 0(1 + z )
2
E (z )2 ,
de modo que fica fácil ver que
E (z ) = [Ωm0(1 + z )3 + Ωr 0(1 + z )
4 + Ωλ0 + Ωk 0(1 + z )2]1/2
observações do WMAP e SNIa mais as considerações teóricasda inflação sugerem que o universo tem curvatura nula
(k = 0, Ωk = 0) e é dominado por matéria escura, Ωm0 0.3,e energia escura, Ωλ0 0.7
Ωr 0 é muito pequeno e a radiação pode ser desprezada(exceto na era radiativa, claro!)
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O modelo padrão: ΛCDM
modelo para o universo atual:k = 0, matéria e constante cosmológica
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g
a =
Ωm0Ωλ0
1/3
sinh2/3
3H 0Ω1/2λ02
t
Figure: Expansão para diferentes valores de Ωm e Ωλ. De cima para baixo as curvas descrevem(Ωm, Ωλ) = (0.3, 0.7), (0.3, 0), (1, 0), (4, 0).
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O modelo padrão: ΛCDM
o universo passou a maior parte de sua vida em expansãod l d i t t t t
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desacelerada mas, mais recentemente, a constante
cosmológica sobrepujou a densidade de matéria, produzindouma fase de expansão acelerada
inflexão desaceleração - aceleração : ä = 0
aI = Ωm0
2Ωλ01/3
isso acontece em
t I =
2
3H 0Ω1/2λ0
arcsinh 1
2
t 0/t I 1.84; z I 0.7
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O modelo padrão: ΛCDM
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num universo com k = 0, a densidade da energia escura (Ωλ)domina a da matéria (Ωm) para z
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¸ p
H = H 0E (z )
E (z ) =
Ωm0(1 + z )3 + Ωk 0(1 + z )
2 + Ωλ01/2
(onde desprezamos a radiação)
como H = ȧ/a e a = (1 + z )−1, temos
H = − ż 1 + z
ou,dt = − dz
(1 + z )H
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A idade do universo
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idade do universo no redshift z :
t (z ) = τ H
∞
z
dz
(1 + z )E (z )
look-back time de um objeto no redshift z :
t l (z ) = t 0 − t (z ) = τ H z
0
dz
(1 + z )E (z )
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A idade do universo
universo de curvatura nula:
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t (z ) = 23
τ H Ω−1/2λ0 arcsinh
Ωλ0
Ωm0(1 + z )3
1/2
no intervalo de interesse (0.1
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revisão: Demarque, 1997, The ages of globular star clusters -tem no Level 5 turn-off (TO): a estrela termina de queimar H no núcleo e vai
para o ramo das gigantes no diagrama HRlimite de Schemberg-Chandrasekhar (1942): a queima do Htermina quando
∼10% da massa da estrela é convertida em
He t TO : depende principalmente da massa da estrela, mas
também de Y , Z , convecção , rotação ...
t TO ∝ M −2
Maeder (XEAA): modelos com rotação aumentam asestimativas de idade dos AG até 25%!
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A idade do universo
Chaboyer et al. (1998): t AG = 11.5± 1.3 Ganos t 0: depende da época de formação dos AGs
P k t t´ t 12 16 G
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Peacock: t 0 esta entre 12 e 16 Ganos
Figure: Isócronas superpostas ao diagrama cor-magnitude do aglomerado globular M15.
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Figure: Estimativas de idade do universo e dos objetos mais velhos da galáxia (Lineweaver, 1999, Sci. 284,1503; tem no Level 5).
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A idade do universo
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Figure: Idade do universo e lookback time (em unidades do tempo de Hubble) em função do redshift paravários modelos cosmológicos (Ωm0, Ωλ0). Linha sólida: (1,0); pontilhada: (0.05,0); tracejada: (0.2,0.8).
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Distâncias
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Hogg (1999): Distance Measures in Cosmology ,astro-ph/9905116
o conceito de distância não é único em um espaço-tempodinâmico
medidas de distância relacionam 2 eventos em geodésicasseparadas que estão em um mesmo cone de luz; podem sercaracterizados pelos tempos t e e t 0 de emissão e observação,ou pelo fator de escala nesses tempos, R (t e ) e R (t 0), ou pelosredshifts correspondentes, z e e z 0
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Distância própria e comóvel
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distância própria entre dois eventos ao longo de umageodésica, D p note que não se mede D p !
elemento de distância própria: dD p = cdt
como dt =−
dz /[(1 + z )H ], é fácil verificar quedD p = D H dz /[(1 + z )E (z )], onde
D H = c
H 0 3000 h−1 Mpc
é a distância de Hubble
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Distância própria e comóvel
distância própria entre dois eventos em z 1 e z 2:
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D p = D H
z 2
z 1
dz
(1 + z )E (z )
toda a cosmologia está embutida em E (z )
distância comóvel D c
dD p = (R /R 0) dD c
distância comóvel entre z 1 e z 2:
D c = D H z 2
z 1
dz
E (z )
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Distância própria e comóvel
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note que não se pode medir diretamente nem as distânciaspróprias nem as distâncias comóveis
entre as distâncias que se medem, as mais importantes são asde luminosidade e de diâmetro
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Distância própria e comóvel
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Figure: Distância comóvel entre O e G, D c , sobre um ćırculo.
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Distância de luminosidade
D l : medida por métodos baseados na luminosidade aparente
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classicamente, fluxo, luminosidade e distância estãorelacionados como
f = L
4πD 2
elemento de área (hoje) na métrica de RW:
dA = R 20 σ2 sin θd θd φ = R 20 σ
2d Ω
área de uma esfera de “raio” σ hoje é
A = 4πR 20 σ2
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Distância de luminosidade
L(ν, t )d ν : energia emitida por uma galáxia G por segundocom frequência ν entre ν e ν + d ν no instante t
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esses fótons são recebidos com energia menor, devido aoredshift:
hν 0 = hν
1 + z
além disso, essa energia é recebida em um intervalo de tempo
maior:∆t 0 = (1 + z )∆t
energia recebida por cm2 por s (fluxo) no intervalo[ν 0, ν 0 + d ν 0]:
f (ν 0, t 0)d ν 0 = L(ν, t )d ν
4πR 20 σ2(1 + z )2
= L(ν, t )d ν
4πD 2l
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Distância de luminosidade
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f (ν 0, t 0)d ν 0 = L(ν, t )d ν
4πR 20 σ2(1 + z )2
= L(ν, t )d ν
4πD 2l
onde
D l = R 0σ(1 + z )
D l é denominada distância de luminosidade
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Distância de luminosidade
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Figure: Distância de luminosidade normalizada em função do redshift para três modelos de mundo:(Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha sólida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.
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Distância de diâmetro
distância de diâmetro (D A; “A” de aperture ): obtida pelosmétodos baseados no tamanho aparente
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sendo ∆θ o tamanho aparente de um corpo de diâmetro D , adistância de dîametro D A é tal que
∆θ = D
D A
dîametro próprio:D = R σ∆θ
como 1 + z = R 0/R , temos
D A = R 0σ1 + z
= D l
(1 + z )2
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Distância de diâmetro
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em estudos de lentes aparece a distância de diâmetro entre oredshift z 1 e z 2 (z 1
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em um universo dominado apenas por matéria, vale a relação de Mattig (1959):
D A(z ) = 2c
H 0Ω2m0(1 + z )2 [Ωm0z + (Ωm0− 2)( 1 + Ωm0z − 1)]
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Distância de diâmetro
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Figure: Distância de diâmetro normalizada em função do redshift para três modelos de mundo:(Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha sólida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.
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Cálculo das distâncias
”distância comóvel transversal”: D M R 0σ
http://goforward/http://find/http://goback/
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≡então, D l = (1 + z )D M e D A = D M /(1 + z ) logo, se conhecermos D M (z ) podemos calcular D l (z ) e D A(z )
distância comóvel de um objeto no redshift z :
D c = D H z
0
dz
E (z ) = R 0S (σ)
então, se k = +1: D M = R 0 sin(D c /R 0) k = 0: D M = D c k = −1: D M = R 0 sinh(D c /R 0)
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Cálculo das distâncias
2 2 2
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Ωk 0 = −kc /(H 0 R 0 ), de modo que, se k for diferente de zero,R 0 = D H /
|Ωk 0|
juntando tudo, temos:
k = +1: D M = D H / |Ωk 0| sin |Ωk 0|D c /D H
k = 0: D M = D c k = −1: D M = D H /
|Ωk 0| sinh
|Ωk 0|D c /D H
onde D c /D H =
z
0 dz /E (z )
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Volumes
espaço euclidiano: o elemento de volume é dV = r 2d Ωdr
espaços curvos, com a MRW,
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dV = R 2σ2d ΩRd σ√
1− k σ2
substituindo Rd σ/√
1
−k σ2 por cdt =
−cdz /[(1 + z )H ], o
elemento de volume fica:
dV = D H D
2Ad Ωdz
(1 + z )E (z )
elemento de volume comóvel:
dV c = (1 + z )3dV
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Volumes
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contagem de objetos: qual é o número de objetos dentro ded Ω e dz ?
dN = n(z )dV
onde n(z ) é a densidade de objetos no redshift z
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Volumes
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Figure: Elemento de volume comóvel normalizado,(1/d H )3(dV c /dz ), em função do redshift para três modelosde mundo: (Ωm, Ωλ) = (1, 0), linha sólida; (0.05,0), pontilhada; (0.2, 0.8), tracejada.
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Exerćıcios
1. Mostre que, com a constante cosmológica, é posśıvel obter-se uma
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solução estática para o universo: o “universo de Einstein”. ComoΛ se relaciona com ρ? Em termos de curvatura, que tipo deuniverso é esse? Qual é seu “raio”?
2. Um quasar em z = 1 varia com uma escala de tempo observada de
1 ano. Qual é a escala de tempo de variabilidade no referencial doquasar? Esse resultado depende do modelo cosmológico?
3. Suponha que k = 0 e Λ = 0. Calcule H (t ) para um universodominado apenas por radiação e apenas por matéria.
4. Suponha que a densidade de energia e a pressão estão relacionadascomo p = w ρc 2, com w constante. Mostre que ρ ∝ R −3(1+w ).
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Exerćıcios
M k2
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5. Mostre que, se k = 0 e p = w ρc , com w constante, entãoR ∝ t 23(1+w ) .
6. Mostre que η 2.74× 10−8(T /2.73K)−3Ωb h2.7. Suponha que o modelo de Einstein-de Sitter esteja correto e que os
aglomerados globulares tenham pelo menos 12 Ganos. O que vocediria sobre H 0?
8. Calcule t l e t (z ) para o modelo de Einstein-de Sitter. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessas quantidades emz = 1 e z = 15.
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Exerćıcios9. Mostre que
t (z ) = 2
3τ H Ω
−1/2λ0 arcsinh
Ωλ0Ωm0(1 + z )3
1/2
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é a idade do universo num redshift z para um universo decurvatura nula com matéria e constante cosmológica. Verifique,em termos do tempo de Hubble, o valor dessa quantidade emz = 1 e z = 15. Compare com Einstein-de Sitter.
10. Friaça, Alcaniz & Lima (2005) estudaram o quasarAPM08279+5255, em z = 3.91. A razão de abundância Fe/Oobservada é 3.3 em unidades solares. Usando um modelo deevolução qúımio-dinâmico do quasar, concluem que sua idade ét q =2.1 Ganos. Discuta as implicações disso para a constante deHubble, supondo um universo plano com Ωm0 = 0.3 e Ωλ0 = 0.7.
11. Mostre que num universo de Einstein-de Sitter, o diâmetroaparente em função do redshift tem um ḿınimo. Determine oredshift onde isso ocorre.
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Exerćıcios
12. Use Einstein-de Sitter para estimar a quanto corresponde, emminutos de arco, um diâmetro de 1Mpc em z igual a 0.5, 1., 1.5 e
2
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2.13. Faça um programa para reproduzir as figuras que mostram as
idades, e as distâncias de luminosidade e diâmetro em função doredshift.
14. Use o site icosmo (www.icosmo.org) para estudar um modelo ondea energia escura pode ser descrita como
w = w 0 + w a(1− a)
Suponha que w 0 = −1 e w a = ±0.1. Que variação isso produz nasdistâncias de diâmetro e luminosidade em z = 0.8 em relação aomodelo ΛCDM convencional ( w 0 = −1 e w a = 0)?
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Referências
Hi h G t l 2008 Xi 0803 0732
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Hinshaw, G. et al., 2008, arXiv:0803.0732Hogg, D.W., 1999, astro-ph/9905116Kneller, J.P., Steigman, G., 2004, astro-ph/0406320Peacock, J.A., 1999, Cosmological Physics , CUPSteigman, G., 2007, arXiv:0712.1100
um site muito útil é o Level 5:A Knowledgebase for Extragalactic Astronomy and Cosmology
http://nedwww.ipac.caltech.edu/level5/
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